Demostración del teorema de Stokes con el teorema de Green

DEMOSTRACIÓN DEL
TEOREMA DE STOKES CON
EL TEOREMA DE GREEN
1. Ejercicio.
Dada la integral ‫ 𝑥 ׯ‬− 𝑧 ⅆ𝑥 + 𝑥 3 + 𝑦𝑧 ⅆ𝑦 − 3𝑥𝑦 2 ⅆ𝑧
a) Calcularla por integral de línea
b) Calcularla por Teorema de Stokes
𝑎Ԧ = 𝑥 − 𝑧 𝑖Ԧ + 𝑥 3 + 𝑦𝑧 𝑗Ԧ − 3𝑥𝑦 2 𝑘
A lo largo del circulo limitado por
𝑧 = 2 − 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 = 0.
Para realizarla por integral de línea, primeramente buscamos una parametrización de la curva dada.
• 𝑟Ԧ = 𝑥ⅈ + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
• Puesto que la figura esta en el plano xy, se considera lo siguiente: 𝑟Ԧ = 𝑥ⅈ + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘, por
lo tanto “z” se consⅈⅆera como “cero”.
• Teniendo en cuenta lo anterior, nos queda lo siguiente:
𝑟Ԧ = 𝑥ⅈ + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
rԦ = 2 cos θ i + 2 sin θ j + 0 k
con coordenadas polares
• Calculamos los diferenciales de línea:
x
y
z
rԦ = 2 cos θ i + 2 sin θ j + 0 k
dL = [-2 sin θ i + 2 cos θ j + 0 k]
Diferencial dx
de línea
dy
dz
Teniendo esto completamos lo siguiente:
ර 𝑥 − 𝑧 ⅆ𝑥 + 𝑥 3 + 𝑦𝑧 ⅆ𝑦 − 3𝑥𝑦 2 ⅆ𝑧
Resolvemos las dos integrales:
1) Solución de la integral 1
Resultado de la
integral 1
2) Solución de la integral 2
=
=
=
=
=
=
=
Continuación de la solución de la integral 2
Resultado de la
integral 2
Una vez de haber calculado las dos integrales principales, nos queda lo siguiente, y
resolvemos:
Resultado de la
integral de línea
SOLUCIÓN POR TEOREMA DE STOKES
ර 𝑥 − 𝑧 ⅆ𝑥 + 𝑥 3 + 𝑦𝑧 ⅆ𝑦 − 3𝑥𝑦 2 ⅆ𝑧
es igual a
• Prⅈmeramente se necesⅈta el “rotacⅈonal”, es ⅆecⅈr
Para i
Para j
Para k
Ya teniendo i, j, k, queda lo siguiente:
rot ⋅ 𝐹Ԧ
Parametrⅈzar la superfⅈcⅈe “ds"
{Parametrización}
• Calculamos “ds”, usando parciales en 𝑟Ԧ
•
El siguiente paso es calcular “ds” con la formula:
• Resolvemos la integral mediante un cambio a coordenadas polares, x = u cos 𝜃, y = u
sin 𝜃, con
Resultado de la
integral por el
Teorema de Stokes
Conclusión
Como se puede observar una vez realizadas la operaciones correspondientes por ambos métodos o
teoremas, se cumple la igualdad del resultado, por lo que podemos decir que el principio se cumple.