Ecuaciones y desigualdades
Construcción en red
(Gabriel Rosero)
Ecuación
Desigualdad o
Inecuación
Encontrar el valor de una
incógnita
Encontar un intervalo de
solución que satisfaga la
incognita
7𝑥 − 5 = 4𝑥 + 7
7𝑥 − 4𝑥 = 7 + 5
3𝑥 = 12
12
𝑥= 3
𝑥=4
7𝑥 + 5 > 2𝑥 − 10
7𝑥 − 2𝑥 >− 10 − 5
5𝑥 >− 15
−15
𝑥> 5
𝑥 >− 3
expresando en intervalos se
representa de la siguiente
manera
(− 3, ∞)
Tipos de ecuaciones
Ecuaciones lineales ( Angy)
.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación
equivalente a una de la forma
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
donde a y b son números reales y x es la variable.
Ejemplo:
𝑥 + 4 = 15
𝑥 + 4 − 4 = 15 − 4 (Forma correcta)
𝑥 = 11
Ejemplo:
7(18 − 𝑥) − 6(3 − 5𝑥) = − (7𝑥 + 9) − 3(2𝑥 + 5) − 12
126 − 7𝑥 − 18 + 30𝑥 = − 7𝑥 − 9 − 6𝑥 − 15 − 12
− 7𝑥 + 30𝑥 + 7𝑥 + 6𝑥 = − 9 − 15 − 12 − 126 + 18
36𝑥 = − 144
𝑥 =−
144
36
𝑥 =− 4
Comprobar:
7[18 − (− 4)] − 6[3 − 5(− 4)] = − [7(− 4) + 9] − 3[2(− 4) + 5] − 12
7(18 + 4) − 6(3 + 20)
− (− 28 + 9) − 3(− 8 + 5) − 12
7 × 22 − 6 × 23
− (− 19) − 3(− 3) − 12
154 − 138
19 + 9 − 12
16
=
16
Ecuaciones cuadráticas ( William Alfonso)
La palabra cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el
exponente más grande es un NOTA cuadrado (en otras palabras x2).
También se les llama "Ecuaciones de Segundo Grado" (debido al "2" sobre la x).
Forma estándar
La Forma estándar de una Ecuación Cuadrática se ve parecida a esto:
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
● a, b y c son valores conocidos. a no puede ser 0.
● "x" es la variable o incógnita (todavía no sabemos su valor).
ejemplo:
2
a=2 b=5c=3
2𝑥 + 5𝑥 + 3 = 0
¡Pero a veces una ecuación cuadrática se ve diferente!
Por ejemplo:
Cuadrática
disfrazada
2
𝑥 = 3𝑥 − 1
Mueve los
términos hacia la
izquierda
En forma
estándar
a,b y c
𝑥 − 3𝑥 + 1 = 0
a = 1,
b = -3,
c=1
2
Las "soluciones" de una Ecuación Cuadrática son los valores donde la ecuación es
igual a cero.También se les llama "raíces", o incluso "ceros".
FÓRMULA CUADRÁTICA (Fórmula del estudiante)
2
𝑥1 =
𝑥2 =
−𝑏 + (𝑏 − 4𝑎𝑐)
2𝑎
−𝑏 −
2
(𝑏
− 4𝑎𝑐)
2𝑎
Discriminante
● cuando b2 − 4ac es positivo, obtenemos dos soluciones reales
● si es cero, sólo hay UNA solución real (en realidad las dos soluciones
son la misma)
● cuando es negativo, obtenemos un par de soluciones complejas
ejemplo de ecuacion cuadratica
2
2𝑥 + 9𝑥 + 10 = 0
a = 2 b = 9 c = 10
2
𝑥 =
−(9)± (9) −4.(2).(10)
2(2)
𝑥 =
−9± 81− 80
4
𝑥 =
−9 ± 1
4
𝑥 =
−9±1
4
𝑥1 =
−9+1
4
−9−1
4
𝑥2 =
=− 2
=−
10
4
=− 2. 5
Ecuaciones Cúbicas (Sebastián Colunge)
Las ecuaciones cúbicas también conocidas como
ecuaciones de tercer grado, son ecuaciones que
además de que tienen la incógnita elevada al cubo,
se resuelve por medio de la regla de Ruffini. De esta
manera se podrá factorizar o descomponer la
expresión para así poder llegar a una solución más
directa:
3
2
Ej: 𝑥 − 4𝑥 − 3𝑥 − 10 = 0
Posibles Raíces Racionales:
𝑃
𝑞
= {± 1, ± 2, ± 5, ± 10}
5
3
1
-4
5
-3
5
-10
10
1
1
2
0
2
(
2
)
𝑥 − 4𝑥 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5) 𝑥 + 𝑥 + 2
(
2
)
(𝑥 − 5) 𝑥 + 𝑥 + 2 = 0
𝑥 − 5 = 0, 𝑥 = 5
2
𝑥 +𝑥+2=0
x=
−𝑏 ±
2
(𝑏
− 4𝑎𝑐)
2𝑎
=
=
−1± −7
2
Solución 𝑥 = 5, 𝑥 =
−1± 1−4(1)(2)
2(1)
=
=
−1± −7
2
−1± 7𝑖
2
−1+ 7𝑖
2
, 𝑥=
−1− 7𝑖
2
Ecuaciones con raíz (Ivan Cruz)
Una ecuación con raíz es una donde la variable
aparece debajo de un signo de raíz cuadrada
los pasos para resolver una ecuación con raíz son:
1. Despejar la expresión racional.
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Si x = y entonces x2 = y2.
3. Una vez eliminado el radical, resuelve la
incógnita.
4. Comprueba todas las respuestas.
Ecuaciones con valor absoluto (Juan S Narvaez)
El valor absoluto de un número es su distancia desde
cero en una recta numérica, por ejemplo 4 y -4 tienen
el mismo valor absoluto (4). Así, el valor absoluto de
un número positivo es justo el mismo número, y el
valor absoluto de un número negativo es el opuesto.
Ejercicio:
|3𝑥 + 7| = 5𝑥 + 13
Prueba
|3(− 3) + 7| = 5(− 3) + 13
|− 2| =− 15 + 13
2 =− 2 Mal
caso 1 x=a
3𝑥 + 7 = 5𝑥 + 13
3𝑥 − 5𝑥 = 13 − 7
− 2𝑥 = 6
𝑥=
6
−2
caso 2 x=-a
3𝑥 + 7 =− (5𝑥 + 13)
3𝑥 + 7 =− 5𝑥 − 13
3𝑥 + 5𝑥 =− 13 − 7
8𝑥 =− 20
𝑥 =− 3
𝑥=
𝑥=
−20
8
−5
2
Ejemplos complementarios
1. (Javier Mosquera)
lineal
3(8𝑥 − 2) = 4(5𝑥 + 6)
24𝑥 − 6 = 20𝑥 + 24
24𝑥 − 20𝑥 = 24 + 6
4𝑥 = 30
𝑥=
𝑥=
30
4
15
2
𝑥 = 7. 5
2. (Beimar Bastidas)
3(2x-5) = 45-4x
6x-15 = 45-4x
6x+4x = 45+15
10x = 60
x=
60
10
x=6
3. (Santiago Ruano)
Cuadrática
5x (x + 2 ) + 6 = 3
. 5x
2
+ 10x + 6 - 3 = 0
2
. 5x + 10x + 3 = 0
Fórmula cuadrática
2
. x=
−𝑏 ± 𝑏 −4𝑎𝑐
2𝑎
. x=
−(10) ± (10) −4(5)(3)
2(5)
. x=
−10 ±
. x=
−10 ± 40
10
2
100 − 60
10
. x=
−10 ±
2
10
2
.2.5
. x=
−10 ± 2 10
10
.x=
−10
10
2 10
10
±
.x = -1 ±
10
5
. 2 formas:
. x1 = -1 −
10
5
= -1.63
. x2 = -1 +
10
5
= - 0.37
4. (Kevin Cordoba)
2
𝑥 + 3𝑥 = 0
2
𝑥 =
−𝑏± 𝑏 −4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−3± (3) −4.1.0
2.1
𝑥 =
−3± 9−0
2
−3±3
2
2
𝑥 =
1𝑥 =
−3+3
2
= 0
2𝑥 =
−3−3
2
=− 3
5. (Edison Benavides)
Cúbica
3
𝑥 − 7𝑥 + 6 = 0
3
2
𝑥 + 0𝑥 − 7𝑥 + 6 = 0
divisores del término independiente (6)
{± 1, ± 2, ± 3, ± 6}
1
0
-3
-7
9
6
-6
1
-3
2
0
-3
2
(𝑥 + 3) (𝑥 − 3𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 + 3 = 0, 𝑥 =− 3
𝑥 − 2 = 0, 𝑥 = 2
𝑥 − 1 = 0, 𝑥 = 1
6. (Dylan Ceron)
Cúbica
3
2
𝑥 +𝑥 -6x =0
2
x(𝑥 +x-6)=0
2
X=0 , 𝑥 +x-6 = 0
primer paso sacar factor común , por que no tiene término
independiente , y la regla de Ruffini se basa en el término
independiente
2
1
-3
1
1
2
-6
6
3 0
-3
1
0
x=0 ; x=2 ; x=-3 solución
otro método por el cual se puede operar
+
2
−𝑏− 𝑏 −4.𝑎 .𝑐
=
=
2.𝑎
−1+5
=
2
−1−5
=
2
+
=
2
−1− 1 −4.1(−6)
2.1
2
𝑥 +x-6 = 0
+
=
−1− 1+24
4
=2
2
−6
=-3
2
7. (Yilmer Lopez)
Radical
2𝑥 − 𝑥 + 7 = 1
2𝑥 − 1 = 𝑥 + 7
2
2
(2𝑥 − 1) = ( 𝑥 + 7)
2
2
2
(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏
2
(2𝑥)
2
− 2(2𝑥)(1) + (1) = 𝑥 + 7
2
4𝑥 − 4𝑥 + 1 = 𝑥 + 7
2
4𝑥 − 4𝑥 + 1 − 𝑥 − 7 = 0
2
4𝑥 − 5𝑥 − 6 = 0
2
+
=
−1− 25
2
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎 = 4 𝑏 =− 5 𝑐 =− 6
2
𝑥=
−𝑏± 6 −4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥=
−(−5)± (−5) −4(4)(−6)
2(4)
𝑥=
5± 25+96
8
𝑥=
5± 121
8
𝑥=
5±11
8
16
8
2
𝑥=
𝑥=2
5−11
8
−6
= 8
3
=− 4
𝑥=
𝑥
𝑥
8. (Sebastian Zambrano)
Valor absoluto
1 ejercicio
|w|=a
w = -a
|5x-2|= -3
5x = -3+2
5x=-1
x =
w=a
|5x-2|=3
5x =3+2
5x=5
−1
5
x=
R/x={
−1
5
5
5
=1
; 1}
conjunto de dos soluciones
2 ejercicio
|𝑎|
|𝑏|
=
𝑎
𝑏
|6-3x| = |2x+1|
|6−3𝑥|
| |2𝑥+1| =
|2𝑥+1|
|2𝑥+1|
|
|6−3𝑥|
| |2𝑥+1| | = 1
w = -a
|6−3𝑥|
|2𝑥+1|
w=a
= -1
6 − 3𝑥 =-1(2x+1)
6 − 3𝑥 = -2x-1
-3x+2x = - 1-6
-x= -7
x=7
|6−3𝑥|
|2𝑥+1|
=1
6 − 3𝑥= 1(2𝑥 + 1)
-3x-2x=1-6
-5x=
5
5
x=1
R/{ 7; 1}
Desigualdades
(Kevin Ruano)
Desigualdades
Lineales
Desigualdades
Cuadráticas
Son desigualdades de grado 1 que
contienen un símbolo de
desigualdad
Son desigualdades de grado 2 que
contienen un símbolo de
desigualdad
𝑎𝑥
𝑎𝑥
𝑎𝑥
𝑎𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
+
+
+
+
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
≥
≤
<
>
0
0
0
0
2
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
Desigualdades lineales
Ejercicios
1. (Duayen Florez)
12𝑥 + 7 ≥ 3𝑥 − 2
12𝑥 − 3𝑥 ≥ − 2 − 7
9𝑥 ≥− 9
𝑥≥
−9
9
𝑥 ≥− 1 Desigualdad
+
[− 1, ∞ ) Intervalo
Grafica
2. (David Solarte)
2𝑥+4
3
≥
𝑥
6
−3
(m.c.m: 3, 6)= 6
6(
2𝑥+4
3
𝑥
) ≥ 6( 6 ) - 6. 3
𝑥
2(2𝑥 + 4) ≥ 6( 6 ) - 6.3
4𝑥 + 8 ≥ 𝑥 − 18
4𝑥 − 𝑥 ≥ − 18 − 8
3𝑥 ≥ − 26
−26
3
𝑥≥
[
−26
3
, ∞)
3. (Bayron Chapal)
𝑥
2
+
𝑥
6
<7+𝑥
MCM=6
𝑥
6( 2 +
𝑥
6
)<6(7 + 𝑥)
3x+x<42+6x
(3+1)x<42+6x
4x-6x<42
(4-6)x<42
-2x<42
−2𝑥
−2
>
42
−2
x>-21
Intervalo
(− 21, ∞)
4. (Felix Ramirez)
𝑥
5
(
+
𝑥
5
𝑥
3
−1<
𝑥
3
+
−1<
𝑥
2
Minimo comun multiplo de (5,3,2)=30
𝑥
2
) 30
Se divide el mcm entre los
denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores.
6𝑥 + 10𝑥 − 30 < 15𝑥
6𝑥 + 10𝑥 − 15𝑥 < 30
Se mueven las constantes al otro lado con
signo contrario
16𝑥 − 15𝑥 < 30
Se agrupan términos semejantes
𝑥 < 30
𝑥 ∈ (− ∞ , 30) A x pertenecen todos los valores desde 30 hasta -∞
<----------
− ∞
Desigualdades Cuadrática
1. (David Florez)
2
𝑥 − 4𝑥 − 5 ≥ 0
(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) ≥ 0
𝑥−5=0 𝑥+1=0
𝑥 = 5 𝑥 =− 1
30
2. (Juan Portilla)
2
𝑥 + 2𝑥 − 15 ≥ 0
(x+5)(x-3)≥0
x+5=0
x=-5
x-3=0
x=3
=(-∞, − 5]𝑈[3, ∞)
3. (David Fajardo)
2
𝑥 − 3𝑥 − 10 < 0
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) < 0
𝑥 − 5 < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 5
𝑥 + 2 < 0 𝑠𝑖 𝑥 <− 2
−2<𝑥<5
𝑥 ∈ (− 2, 5)
2
(1) − 3(1) − 10 < 0 correcto
2
(− 3) − 3(− 3) − 10 < 0 Correcto
9 + 9 − 10 < 0
8 < 0
Aplicaciones
David Gallardo ( problema ecuaciones lineales)
https://www.youtube.com/watch?v=apPXOlZnRhg
{𝑥 + 6𝑦 = 27}1
{7𝑥 − 3𝑦 = 9}2
Despejo x en 1°
𝑥=
x+6y=27
9+3𝑦
7
27 + 6𝑦 =
9+3𝑦
7
x=27-6y
7(27 − 6𝑦) = 9 + 3𝑦
Despejo x en 2°
7x-3y=9
7x=9+3y
189 − 42𝑦 = 9 + 3𝑦
− 42𝑦 − 3𝑦 = 9 − 189
− 45𝑦 =− 180 (-1)
45𝑦 = 180
=
180
45
y=4
Estefania Lopez (problema ecuaciones lineales)
Luis invirtió una parte de los 8000 de sus ahorros en un plan con un
3% de rentabilidad anual y la otra parte la invierte en un plan con
un 5% de rentabilidad anual.
¿Cuánto dinero invirtió Luis en cada plan si después de un año
tiene 8340?
𝑥 + 𝑦 = 8000
Después de un año, en el plan del 3% tiene x+0.03x (es
decir, 1.03x) y en el plan del 5% tiene y+0.05y (es decir,
1.05y). En total, suman 8340$
1. 03𝑥 + 1. 05𝑦 = 8340
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
𝑥 + 𝑦 = 8000
1. 03𝑥 + 1. 05𝑦 = 8340
Solucion
𝑥 = 3000
𝑦 = 5000
3000 𝑎𝑙 3% 𝑦 5000$ 𝑎𝑙 5%.
Daniel Quetama( problema ecuaciones
cuadraticas)
El producto de 2 números enteros pares
consecutivos es igual a 48, ¿Cual son esos
números?
(𝑥)(𝑥 + 2) = 48
2
𝑥 + 2𝑥 − 48 = 0
(𝑥 + 8)(𝑥 − 6) = 0
𝑥+8=0
𝑥−6=0
𝑥 =− 8
𝑥=6
𝑥=6
𝑥+2=8
Reemplazamos en la ecuación
2
𝑥 + 2𝑥 − 48 = 0
36 + 12 − 48 = 0
48 − 48 = 0
0=0
Esto quiere decir que los valores están correctos
Francisco Ponce( problema ecuaciones
cuadráticas)
El cuadrado de un número más 25 nos da como
resultado 34 ¿de qué número estamos hablando?
expresamos el problema en lenguaje algebraico
para una mayor comprensión al operar.
2
𝑥 + 25 = 34
2
𝑥 = 34 − 25
2
𝑥 =9
2
𝑥 =± 9
𝑥 =± 3
PRUEBA:
2
𝑥 + 25 = 34
2
(3) + 25 = 34
9 + 25 = 34
2
(− 3) + 25 = 34
9 + 25 = 34
2
{
}
2
𝑥
{ − 9 = 0}
2
𝑥
{ − 9 = 0}
{(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0}
𝑥 =9
{𝑥
{𝑥
{𝑥
{𝑥
+ 3 = 0}
=− 3}
− 3 = 0}
=+ 3}
