LÓGICA PROPOSICIONAL APLICACIONES Resolver los siguientes problemas utilizando lógica proposicional 1) Doña Dalia acompaña a sus 3 sobrinos (José Martin, Andy, Junior) que llegaron de vacaciones de Cochabamba, ella les saca en un paseo por la bella ciudad de Oruro. Después cada sobrino afirma donde les llevó su tía Dalia: • José Martín : Fuimos al Parque Zoológico, pero no a la plaza 10 de febrero, aunque estuvimos en el Cerro Pie de Gallo • Andy: Estuvimos en el Parque Zoológico y en la Plaza 10 de febrero, pero no visitamos la Alcaldía ni llegamos al Cerro Pie de Gallo. • Junior: No fuimos al Parque Zoológico, pero estuvimos en el Cerro Pie de Gallo Sabiendo que cada sobrino miente una vez y solo una ¿Qué han visitado realmente con su tía Dalia? Justificar. Letras proposicionales p = Fuimos al Parque Zoológico q = Fuimos a la plaza 10 de febrero r = Fuimos al Cerro Pie de Gallo s = Fuimos a la Alcaldía Formalización 𝑱 = 𝒑 ∧∼ 𝒒 ∧ 𝒓 𝑨 = 𝒑 ∧ 𝒒 ∧∼ 𝒔 ∧∼ 𝒓 𝑱𝒖 =∼ 𝒑 ∧ 𝒓 Tomando en cuenta el enunciado, debemos negar una afirmación en cada proposición y asignar valores de verdad a p, q, r y s Entonces al negar ∼ 𝒑 en 𝑱𝒖 : 𝑱𝒖 = 𝒑 ∧ 𝒓 𝑱𝒖 = 𝟏 ∧ 𝟏 = 𝟏 Al negar ∼ 𝒒 en 𝑱 : 𝑱 =𝒑∧𝒒∧𝒓 𝑱 =𝟏∧𝟏∧𝟏= 𝟏 Al negar ∼ 𝒓 en 𝑨 : 𝑨 = 𝒑 ∧ 𝒒 ∧∼ 𝒔 ∧ 𝒓 𝑨 = 𝟏 ∧ 𝟏 ∧∼ 𝟎 ∧ 𝟏 = 𝟏 Tomando en cuenta los valores de p, q, r, y s 𝒑=𝟏 𝒒=𝟏 𝒓=𝟏 𝒔=𝟎 R.-Han visitado el Parque Zoológico, la plaza 10 de febrero y el Cerro Pie de Gallo 2) Después de hornear el pastel para sus dos sobrinas y dos sobrinos que tienen que visitarla, la tía Natalia deja el pastel en la mesa de la cocina para que se enfrié, luego, ella va al centro comercial para cerrar su tienda al resto del día. Al regresar, descubre que alguien se ha comido una cuarta parte del pastel e incluso tuvo el descaro de dejar su plato sucio junto al resto del pastel, puesto que nadie estuvo en casa ese día (excepto los cuatro visitantes), la tía Natalia se pregunta cuál de sus sobrinos se comería esa parte del pastel. Los cuatro sospechosos le dirían lo siguiente: • • • • Carlos: Jimena se comió el trozo de pastel. Delia: Yo no me lo comí Jimena: Toño se lo comió Toño: Jimena mintió cuando dijo que yo me había comido el pastel Si solo una de estas proposiciones es verdadera y solo uno de ellos cometió el terrible crimen ¿Quién es culpable para que la tía Natalia deba castigar severamente? Letras proposicionales p = Carlos se comió el trozo de pastel q = Delia se comió el trozo de pastel r = Jimena se comió el trozo de pastel s = Toño se comió el trozo de pastel Formalización 𝑪= 𝒓 𝑫 =∼ 𝒒 𝑱=𝒔 𝑻 =∼ 𝒔 C 𝒑 𝒒 𝒓 𝒔 𝒓 D J T ∼𝒒 𝒔 ∼𝒔 𝝈𝟏 1 1 1 1 1 0 1 0 𝝈𝟐 1 1 1 0 1 0 0 1 𝝈𝟑 1 1 0 1 0 0 1 0 𝝈𝟒 1 1 0 0 0 0 0 1 𝝈𝟓 1 0 1 1 1 1 1 0 𝝈𝟔 1 0 1 0 1 1 0 1 𝝈𝟕 1 0 0 1 0 1 1 0 𝝈𝟖 1 0 0 0 0 1 0 1 𝝈𝟗 0 1 1 1 1 0 1 0 𝝈𝟏𝟎 0 1 1 0 1 0 0 1 𝝈𝟏𝟏 0 1 0 1 0 0 1 0 𝝈𝟏𝟐 0 1 0 0 0 0 0 1 𝝈𝟏𝟑 0 0 1 1 1 1 1 0 𝝈𝟏𝟒 0 0 1 0 1 1 0 1 𝝈𝟏𝟓 0 0 0 1 0 1 1 0 𝝈𝟏𝟔 0 0 0 0 0 1 0 1 La valuación 12 nos da la respuesta ya que solo hay un culpable (Dalia) y solo una proposición es verdadera (∼ 𝒔) 3) Tres estudiantes Patricia, Marcelo y Daves dicen lo siguiente: • • • Patricia: Yo tengo 22 años, y dos menos que Marcelo y uno más que Daves Marcelo: No soy el más joven. Daves y yo no tenemos 3 años de diferencia Daves tiene 25 años. Daves: Yo soy más joven que Patricia. Patricia tiene 23 años. Marcelo tiene 3 años más que Patricia Determine la edad de los tres estudiantes sabiendo que únicamente una de las afirmaciones que hace cada estudiante es falsa. Letras proposicionales p = Patricia tiene 22 años q = Marcelo tiene 24 años r = Daves tiene 21 años Formalización 𝑷 =𝒑∧𝒒∧𝒓 𝑴 =∼ 𝒒 ∧∼ 𝒓 𝑫 = 𝒓 ∧∼ 𝒑 ∧∼ 𝒒 Tomando en cuenta el enunciado, debemos negar una afirmación en cada proposición y asignar valores de verdad a p, q y r: Entonces al negar ∼ 𝒓 en 𝑴 : 𝑴 =∼ 𝒒 ∧ 𝒓 = 𝟏 𝑴 =∼ 𝟎 ∧ 𝟏 = 𝟏 Entonces al negar 𝒒 en 𝑷 : 𝑷 = 𝒑 ∧∼ 𝒒 ∧ 𝒓 = 𝟏 𝑷 = 𝟏 ∧∼ 𝟎 ∧ 𝟏 = 𝟏 Entonces al negar ∼ 𝒑 en 𝑫 : 𝑫 = 𝒓 ∧ 𝒑 ∧∼ 𝒒 = 𝟏 𝑫 = 𝟏 ∧ 𝟏 ∧∼ 𝟎 = 𝟏 Tomando en cuenta los valores de p, q, y r 𝒑=𝟏 𝒒=𝟎 𝒓=𝟏 R.-Patricia tiene 22 años, Daves tiene 21 años y Marcelo de acuerdo a la afirmación de Daves tiene 25 años. 4) Los dos carteles siguientes están colgados respectivamente a la puerta de las habitaciones 1 y 2. Uno dice la verdad y otro miente. Sabiendo que en la misma habitación no puede haber una dama y un tigre y que puede haber dos damas y dos tigres, se pide decidir lógicamente qué puerta se debe abrir para liberar a la dama si es que existe. Ambas habitaciones están ocupadas. • • CARTEL 1: En esta habitación hay una dama y en la otra un tigre. CARTEL 2: En una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre. Letras proposicionales p = En la habitación 1 hay una dama q = En la habitación 2 hay una dama Formalización 𝑪𝟏 = 𝒑 ∧∼ 𝒒 𝑪𝟐 = (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ (∼ 𝒑 ∨∼ 𝒒) = (𝒑 ∧∼ 𝒒) ∨ (𝒒 ∧∼ 𝒑) Cartel 1 𝒑 𝒒 𝒑 ∧∼ 𝒒 Cartel 2 𝒑 ∧∼ 𝒒 ∨ (𝒒 ∧∼ 𝒑) 𝝈𝟏 1 1 0 0 0 0 𝝈𝟐 1 0 1 1 1 0 𝝈𝟑 0 1 0 0 1 1 𝝈𝟒 0 0 0 0 1 0 R.-En la valuación 3 vemos que ambos carteles dicen la verdad, la dama está en la habitación 2 y el tigre en la habitación 1 b) Suponiendo que los dos carteles siguientes dicen ambos la verdad o mienten ambos. Deducir en qué habitación hay una dama, sabiendo, como antes, que puede no haberla. • • CARTEL 1: Al menos en una de estas habitaciones hay una dama. CARTEL 2: Hay un tigre en la otra habitación. Letras proposicionales p = En la habitación 1 hay una dama q = En la habitación 2 hay una dama Formalización 𝑪𝟏 = 𝒑 ∨ 𝒒 𝑪𝟐 =∼ 𝒑 ∧ 𝒒 𝒑 Cartel 1 Cartel 2 𝒑∨𝒒 ∼𝒑∧𝒒 𝒒 𝝈𝟏 1 1 1 0 𝝈𝟐 1 0 1 0 𝝈𝟑 0 1 1 1 𝝈𝟒 0 0 0 0 R.-En la valuación 3 vemos que ambos carteles dicen la verdad, hay un tigre en la habitación 1 y una dama en la habitación 2 Si vemos la valuación 4 ambos carteles mienten y no hay dama. 5) Cada una de las tarjetas indicadas tiene en un lado un número y en el otro una letra. E K 4 7 Alguien afirmó: Todas las tarjetas que tienen una vocal en una cara tienen un número par en la otra. ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que hay que voltear para verificar si tal afirmación es verdadera? ¿Cuáles hay que voltear? Regla Si una tarjeta tiene una vocal en una cara tiene un número par en la otra Letras proposicionales p = La tarjeta tiene una vocal en una cara q = La tarjeta tiene un número par en la otra cara Formalización 𝒑 →𝒒 1er caso: 𝒑 →𝒒=𝟎 Al voltear la primera tarjeta 𝟏 →𝟎=𝟎 La regla no se cumple 2do caso: 𝒑 →𝒒=𝟏 Al voltearla la primera tarjeta 𝟏 →𝟏=𝟏 Solo queda voltear la tercera tarjeta y verificar la regla
