pregunta-4

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ - ESCUELA DE GRADUADOS - Maestría en Ingeniería Civil
CIV-608 DINÁMICA DE ESTRUCTURAS Semestre 2015-2
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1
Un pórtico de concreto armado en un terreno en pendiente es idealizado con una
viga infinitamente rígida. La masa se asume concentrada en la viga y es igual a
70ton. Las columnas tienen secciones transversales de C1 (30cm x 50cm) y la C2
(30cm x 60cm). Asumir un módulo de elasticidad del concreto Ec=2x10⁷ kN/m² y una
razón de amortiguamiento de ξ=5%. Calcular la respuesta de desplazamiento (D),
pseudo-velocidad (V) y pseudo-aceleración (A), para un terremoto cuyo espectro
de respuesta se muestra en la figura para 5% de amortiguamiento. Determine las
fuerzas cortantes y los momentos flectores en la base de las columnas en el
instante de respuesta máxima.
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SOLUCION
El procedimiento para la solución inicia con el cálculo de las propiedades en vibración
libre del sistema. Luego haciendo uso del espectro de respuesta se calcularán las
solicitaciones del problema.
Para ello asumiremos un valor de m = 70 Ton
Los datos extraídos del problema son:

Columna C1: 0.30m x 0.50m x 5.00m

Columna C2: 0.30m x 0.60m x 3.50m

Elasticidad del concreto: Ec=2x10⁷ kN/m²

Razón de amortiguamiento: ξ=5%
Se asumirá que las columnas están orientadas de tal forma que el lado mayor de su
sección aporta a la rigidez lateral del pórtico planteado.
La inercia de las columnas es:
b  h3
12

0.30  0.50 3
I1 
12
I1  0.003125m4
I1 

b  h3
12
0.30  0.603
I2 
12
I2  0.0054m4
I2 
La rigidez del sistema es:
K  K1  K 2
12  E  I1 12  E  I2
K

H13
H2 3
kN 
kN 


4
4
12  2  10 7
12  2  10 7
 0.003125m
 0.0054m

2
2
m 
K

m 


3
5.00m
3.50m3
kN
kN
K  6000
 29667.638
m
m
kN
K  35667.638
m


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

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1.1 Determinación de Propiedades en vibración libre
Frecuencia circular natural
n 
k
35667.638kN / m

 22.573rad / seg
m
70Ton
Periodo natural de vibracion
2
2
T

 0.278seg
n
n 22.573


1.2 Determinación de Pseudo-Aceleración
Se tiene que para el periodo natural Tn = 0.278seg se tiene una aceleración máxima
de 0.35g = 0.35 x 9.81m/s² = 3.43m/s²
A=0.35g
Tn=0.278seg
Figura 1.1. Espectro de aceleración para el terremoto planteado
1.3 Determinación de respuesta del desplazamiento
m
3.43
A
s2
D

 0.0067m
2
2

rad
n



22.573
s
1.4 Determinación de Ps eudo-Velocidad
V  n  D  22.573
rad
 0.0067m  0.15 m
seg
s
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1.5 Determinación de la fuerza cortante en la base de las columnas
VB1  K 1  D
kN
 0.0067m
VB1  6000
m
VB1  40.20kN
VB2  K 2  D
VB2  29667.638
kN
 0.0067m
m
VB2  198.77kN
1.6 Determinación del momento flector en la base
MB1  fs1  D
MB1  40.20kN  5.00m
MB1  201kN  m
MB2  fs2  D
MB2  198.77kN  3.50m
MB2  695.695kN  m
Finalmente la respuesta al problema planteado es la siguiente:

El desplazamiento máximo del sistema es D=0.0067m y corresponde a un
periodo natural del sistema Tn=0.278seg

La pseudo-velocidad del sistema es V=0.15m/s

La pseudo-aceleración del sistema es A=3.43m/s²

La fuerza cortante para la columna de H=5m es VB1=40.20kN

La fuerza cortante para la columna de H=3.5m es VB2=198.77kN

El momento flector para la columna de H=5m es MB1=201kN-m

El momento flector para la columna de H=3.5m es MB2=695.7kN-m
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PROBLEMA 2
Una viga simplemente apoyada se ha idealizado como el modelo de masas
concentradas mostrado en la figura. Se pide:
a) Identificar los grados de libertad que representen las propiedades elásticas e
inerciales y ensamblar las matrices de rigidez y masa. Despreciar las
deformaciones por fuerza axial.
b) Formular las ecuaciones del movimiento de la viga. Aplicar condensación
estática para reducir el tamaño del problema.
c) Calcular los modos y frecuencias naturales de vibración. La viga se tiene una
sección de 300x500mm, E=20GPa, m=0,55ton y L=6m
SOLUCION:
El procedimiento usual consiste en considerar un sistema de 6 GDL, y luego condensar
a los 2 GDL traslacionales. Sin embargo, aquí se plantea solo 4 GDL ya que se conocen
las relaciones fuerza-desplazamiento para la viga con articulación en un extremo.
Para el planteamiento del sistema de 4GDL se despreciará las deformaciones por fuerza
axial.
Los datos extraídos del problema son:

Viga: 0.30m x 0.50m x 6.00m

Elasticidad del material: E=20GPa

m=0.55Ton/m

La inercia de la viga es:
b h3
0.30  0.50  0.003125m4
I1 

12
12
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2.1.
Identificación de los grados de libertad
Se colocaron los grados de libertad en los nudos de las masas concentradas y ello
nos permite a su vez plantear la matriz de fuerzas externas en los grados de libertad
del sistema.
3
1
2
4
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
L/3
L/3
L/3
Nodo 1
Nodo 2
Figura 2.1. Definición de GDL del sistema
2.2.
Ensamblaje de la matriz de masas
Debido a que solo las fuerzas verticales se aplican a las masas. Entonces la matriz
de masa es diagonal y cada elemento de la diagonal representa cada masa en la
estructura.
P1(t)
P2(t)
mL/3
mL/3
L/3
L/3
L/3
Figura 2.2. Definición de participación de masas
mL

 3
m




mL
3
 0.55  6
 
 3
 
 
0  
 
0 
0.55  6
3
6/24

 1.10

1.10
 
Ton
  


0 
0  

0 
 
0 
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2.3.
Ensamblaje de la matriz de rigidez
Para obtener la primera columna de la matriz de rigidez se impone un desplazamiento
unitario al 1er. grado de libertad.
K11
K31
K41
1m
L/3
K21
L/3
Nodo 1
L/3
Nodo 2
81EI/L³
81EI/L³
27EI/L²
81 EI 324  EI 405EI


L3
L3
L3
 324EI

L3
54  EI 27  EI 27EI


 2
L2
L2
L
54EI
 2
L
K 11 
1m
K 21
K 31
L/3
K 41
Nodo 1
324EI/L³
54EI/L²
324EI/L³
1m
54EI/L²
L/3
Nodo 1
L/3
Nodo 2
Figura 2.3. Diagrama de cuerpo libre (U1=1, U2=0, U3=0, U4=0)
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Para obtener la segunda columna de la matriz de rigidez se impone un
desplazamiento unitario al 2do. grado de libertad.
K22
K42
K12
K32
L/3
1m
L/3
Nodo 1
Nodo 2
 324EI
L3
81 EI 324  EI 405EI



L3
L3
L3
 54EI

L2
27EI 54EI  27EI
 2  2 
L
L
L2
81EI/L³
K12 
K
22
K 32
K 42
L/3
81EI/L³
1m
27EI/L²
L/3
Nodo 2
324EI/L³
54EI/L²
324EI/L³
1m
54EI/L²
L/3
L/3
Nodo 1
Nodo 2
Figura 2.4. Diagrama de cuerpo libre (U1=0, U2=1, U3=0, U4=0)
Para obtener la tercera columna de la matriz de rigidez se impone un giro unitario al
en el 3er grado de libertad.
K13
K33
K43
K23
1
1
L/3
L/3
Nodo 1
L/3
Nodo 2
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27EI/L²
27EI/L²
54  EI 27  EI 27EI

 2
L2
L2
L
54EI
 2
L
9EI 12EI 21EI



L
L
L
6EI

L
K 13 
9EI/L
K 23
1
K 33
L/3
K 43
Nodo 1
54EI/L²
54EI/L²
6EI/L
1
12EI/L
L/3
Nodo 1
L/3
Nodo 2
Figura 2.5. Diagrama de cuerpo libre (U1=0, U2=0, U3=1, U4=0)
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Para obtener la cuarta columna de la matriz de rigidez se impone un giro unitario al
en el 4to grado de libertad.
K13
K23
K43
K33
1
1
L/3
L/3
L/3
Nodo 1
Nodo 2
54EI
L2
27  EI 54  EI  27EI



L2
L2
L2
6EI

L
9  EI 12  EI 21EI
 L  L  L
27EI/L²
K13 
K 23
K 33
K 43
27EI/L²
1
9EI/L
L/3
Nodo 2
54EI/L²
54EI/L²
12EI/L
1
6EI/L
L/3
L/3
Nodo 1
Nodo 2
Figura 2.6. Diagrama de cuerpo libre (U1=0, U2=0, U3=0, U4=1)
Finalmente la matriz de rigidez queda de la siguiente manera:
K11

K
K   21
K 31

K 41
K12
K13
K 22
K 23
K 32
K 42
K 33
K 43
K14 

K 24 

K 34 

K 44 
 405EI  324EI
L3
 324EI
L3
405EI

 L3
L3
 27EI
 54EI

2
L
L227EI
54EI


 L2
L2
10/24
27EI
L2
 54EI
54EI 
L2 
 27EI
L2
21EI
L
6EI
L
L2 
6EI 
L 
21EI
L

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


18L 
 135  108
9L
 108

135  18L  9L
3EI
K  L3  9L
2
2 
 18L 7L
2L 


7L2 
 9L
2L2
 18L
kN 

18  6 
 108
96
 135
3  20 10 6
 0.003125m4
 108


135
 18  6  9  6


K
m2  3

2 
 9  6  18  6 7  6 2
6.00m
2

6


2
2 
2 6
7  6 
18  6  9  6
108 
54
 135  108
 108

15625
135  108  54 kN
K 

18  54
 108 252
72  m


72
252 
 54
108







2.4.
Ensamblaje del vector de cargas externas
Las cargas externas coinciden con los grados de libertad planteados, por lo tanto su
valor es colocado directamente el vector de cargas externas

P1(t)



P2 (t)
kN
P(t)  


0


0 




2.5.
Ecuación matricial del movimiento
Una vez determinadas las propiedades de masa y rigidez, se plantea la ecuación
matricial del movimiento estático.

mu(t)  k u(t)  P(t)
1.10






1.10
  
u1(t)
 135
15625  108
u (t)
 2  

 u (t) 
0
18  54
 3 

0  
 108
u4 (t)

11/24
108 
 108
54
u1(t)
135  108  54 u (t) 
 2  
 108 252
72 u3 (t)


 54
72
252 u4 (t)
P
 1(t)

P (t) 
 2 
 0 


 0 
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2.6.
Condensación estática
Se tienen grados de libertad rotacionales sin masa ni carga aplicada, por lo tanto se
puede dividir las matrices de masa y rigidez considerando solo grados de libertad
traslacionales de la siguiente manera.
k
k   tt
k ot

1.10
m  

1.10



k to 

k oo 
Donde la nueva matriz de rigidez condensa los grados de libertad rotacionales.


 135
kto  3EI  108
 3
k oo  L  9L

18L
k tt
k  
k ot
 18L


^

 108
135
 9L
18L 
9L

 18L  9L 
2
2 
2L 
7L

2L2
7L2 
1
k  k tt  k to k oo k ot


^
1
18L   7L2
 9L
3EI   135  108  9L

2L2   

k
 

  
 108
L3  
2
135   18L  9L  
7L2 
18L
2L

 3  12 

 135
^

5L  
 108  9L
18L  5L
3EI
  12
  
k  3  

 108
135   18L  9L
 
L
3  


5L  
5L

378 
 432

^
3EI 
5 
k  3  5

378
432
L


5 
 5
^
162EI  8  7
k 


 7 8 
5L3

kN 

162  20 106
 0.003125m4


^



 8  7
k 
m2
  7 8 
3
5  6.00m


^
 8  7 kN
k  9375

 7 8 m


 18L 



 9L 





Finalmente la ecuacion del movimiento sin los grados de libertad rotacionales es:

m  u(t)  k  u(t)  P(t)
 8  7u (t) P1(t)
1.10
u1(t) 



9375
 1   




1.10  

 7 8 u2 (t) P2 (t)
u2 (t)
 75000  65625u (t) P1(t)
1.10
 
u 1(t)  
 1   

1.10     65625 75000 u2 (t) P2 (t)

u2 (t)
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2.7.
Frecuencias naturales de vibración
Implica resolver en primer lugar la siguiente determinante
k  n2 m  0
 75000

 65625
 65625 

2 1.10
 n



75000 
1.10 

Sea λ=ωn²

k  n2 m  0
 65625 
1.10





75000  
1.10 
 65625  1.10

 75000


 

1.10 
 65625 75000  
 65625 
75000  1.10


75000  1.10 
  65625
 75000

 65625

La determinante del sistema nos da la siguiente ecuación cuadrática:
121
2 165000  1318359375
100
La solución de la ecuación cuadrática planteada es:
1  8522.727
2  127840.909
Finalmente la frecuencia circular de vibración es:
n1  1  8522.727  92.319rad / seg
n2  2  127840.909  357.548rad / seg
Periodo natural de vibracion
Tn1 
T
n2

2
2

 0.068seg
n1 92.319
2
2  0.018seg

n2 357.548
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Frecuencia natural de vibracion
fn1 
1
1

 14.71Hz
Tn1 0.068
fn2 
1
1

 55.56Hz
Tn2 0.018
MODO 1
Para ello usaremos los siguientes datos: ωn1=92.319rad/se y λ1=8522.727
Reemplazamos en la ecuación característica:
k  n12  m   
1 0
 65625  1.101
 11 
 75000


  
 65625 75000  
1.10

 
1   21 
75000  1.10  (8522.727)
 11 
 65625


  

65625
75000

1.10

(8522.727)
  21 

 65625  11 
 65625

  

65625

65625

  21 
65625  11  65625  21  0 


 65625    65625    0 
11


21
Procedemos a normalizar asumiendo Φ11=1
65625  11  65625  21  0
65625 1 65625  21  0
21  1
MODO 2
Para ello usaremos los siguientes datos: ωn2=357.548rad/se y λ2=127840.909
Reemplazamos en la ecuación característica:
k  n22  m   2 0
 75000  65625 1.10 2
 12 


  
 65625 75000  
1.10

 
2   22 

1.10

(127840.909
)
75000
 65625
 11 
  



65625
75000

1.10

(127840.909
)

 21 

 65625  65625 12 

 65625  65625  

  22 
 65625  12  65625  22  0


 65625    65625    0 
12


22
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Procedemos a normalizar asumiendo Φ12=1
 65625  11  65625  21  0
 65625 1 65625  21  0
21  1
1m
1m
Figura 2.7. Modo de Vibración 01
1m
1m
Figura 2.8. Modo de Vibración 02
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PROBLEMA 3
La figura muestra un pórtico de 3 pisos. Todas las columnas son de sección
rectangular de 0.30m x 0.90m (Ec=2.30x10⁶Tonf/m²). Asumir que las vigas tienen
rigidez a la flexión infinita. El peso total de los 2 primeros pisos se ha estimado en
Q=70 tonf en los dos primeros niveles, y 25 tonf en el último nivel. Se pide:
a) Calcular las matrices de rigidez y masa
b) Calcular los periodos, frecuencias y modos naturales de vibración. Normalizar
y graficar respecto al desplazamiento del último nivel.
SOLUCION
Debido a las condiciones del problema, estamos frente a un edificio de corte que es
gobernado solo por grados de libertad debido a la traslación. El sistema de 3GDL presenta
un grado de libertad traslacional por cada nivel de entrepiso.
Los datos extraídos del problema son:

Columna: 0.30m x (0.01*90)m = 0.30m x 0.90m

Elasticidad del material: E=2.30x10⁶Tonf/m²

Pesos de entrepiso: W 1=70Tonf, W 2=70Tonf, W 3=25Tonf

Alturas de entrepiso: h1=3.20m, h2=2.90m, h3=2.90m
La inercia de la columna típica es:
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I 
b h3
12

0.30  0.903
12
 0.018225m4
Las masas concentradas son:
m
W1
m
1
g
70Tonf
m1 
m
9.81
s2
Tonf  s2
m1  7.136
m
3.1.
W2
m
2
W3
3
g
70Tonf
m2 
m
9.81
s2
Tonf  s2
m 2  7.136
m
g
25Tonf
m3 
m
9.81
s2
Tonf  s2
m 3  2.548
m
Identificación de los grados de libertad
U3
m3
U2
m2
U1
m1
Figura 3.1. Definición de GDL del sistema
3.2.
m
Ensamblaje de la matriz de masas
m1



m
2
7.136
 
 
m 3  

2
 Tonf  s
7.136

2.548 
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m
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3.3.
Ensamblaje de la matriz de rigidez
Primero se calculará la rigidez de cada entrepiso.

12 E I

K1  2 
h13

12 E I
K 2  2 3
h2



12 E I

K 3  2 3

Tonf 

  0.018225m4
12  2.30  106
m2 
 2  
 30701.29
3
3.20m
Tonf 

12  2.30  106 2   0.018225m4
m 
 2  
 41248.92
3
2.90m
Tonf 

12  2.30  106 2   0.018225m4
m 
 2  
 41248.92
3
2.90m
h3

Tonf
m
Tonf
m
Tonf
m
La matriz de flexibilidades para un edificio de corte de 3 grados de libertad queda de
la siguiente manera:
 1

1
1
K
K
K

1
1
 1

1
1
1
1
1

f



K
K
K
K11 K12
1 1 1 2 1 
11

 


 K 1 K 1 K 2 K1 K 2 K 3 
1
1

30701.29
30701.29

1
1
1

f  

30701.29 30701.29 41248.92
1
1
1


 30701.29 30701.29 41248.92




0.000033

f  0.000033
0.000033
0.000033
0.000057
0.000057




1
30701.29
1

1
30701.29 41248.92

1
1
1




30701.29 41248.92 41248.92 


0.000033 

0.000057 

0.000081 


Finalmente la matriz de rigidez del sistema será la inversa de la matriz de
flexibilidades.
K  f 1
0.000033 0.000033
 0.000033 0.000057

0.000033 0.000057
0.000033 1
0.000057 

0.000081 
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
71950.21

K   41248.92


0
 41248.92
82497.84
 41248.92


3.4.
0
Tonf
 41248.92
m

41248.92 
Frecuencias y modos
Implica resolver en primer lugar la siguiente determinante
k  n2  m  0

 71950.21  41248.92
 41248.92 82497.84

 41248.92
0

0

7.136


 41248.92   2 
7.136
n 



41248.92 
2.548 
Sea λ=ωn²
k  n2  m  0
0
 41248.92
 71950.21

7.136


 41248.92 82497.84  41248.92  
7.136




0
 41248.92 41248.92  
2.548 

0
 41248.92
 7.136

 71950.21

 41248.92 82497.84  41248.92  
7.136
 



0

41248.92



41248.92

2.548

 

 41248.92
0
71950.21  7.136



 41248.92
82497.84  7.136
 41248.92



0
 41248.92
41248.92  2.548 

La determinante del sistema nos da la siguiente ecuación cuadrática:
 129.7513  4908753 .9572  4.411* 1010   5.224 * 1013
La solución de la ecuación cuadrática planteada es:
1  1391.961
 2  11682.392
 3  24757.895
Finalmente la frecuencia circular de vibración es:
n1  1  1391.961  37.309rad / seg
n2   2  11682.392  108.085rad / seg
n3   3  24757.895  157.346rad / seg
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Periodo natural de vibracion
2
2

 0.168seg
Tn1 
n1 37.309
2
2  0.058seg

T 
n2
n2 108.085
Tn3 
2
2

 0.040seg
n3 157.346
Frecuencia natural de vibracion
1
1

 5.95Hz
fn1 
Tn1 0.168
1
1

fn2 
 17.24Hz
Tn2 0.058
1
1

fn2 
Tn2 0.040  25.00Hz
MODO 1
Para ello usaremos los siguientes datos: ωn1=37.309rad/seg y λ1=1391.961
Reemplazamos en la ecuación característica:
k  n12  m   
1 0

 11 
0
 41248.92
 7.1361
 71950.21
   
 41248.92 82497.84  41248.92  
7.136
21

 
1
  
0
 41248.92 41248.92  
2.5481  31 

0
 11 
 7.1361
71950.21
 41248.92

   
 41248.92
82497.84  7.136
 41248.92
21

1
  
0
 41248.92
41248.92  2.5481  31 

0
 11 
 7.136  1391.961
71950.21
 41248.92

   
 41248.92
82497.84  7.136  1391.961
 41248.92
21

  
0
 41248.92
41248.92  2.548  1391.961 31 


0
 11 
 62017.176  41248.92
 41248.92 72564.806  41248.92  21 

  


0

41248.92

37702.203

  31 
 0
 62017.176  11  41248.92  21 

 41248.92    72564.806  
 41248.92    0 


11
21
31

 41248.92  21  37702.203  31  0

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

Procedemos a normalizar asumiendo Φ31=1

 62017.176  11
 41248.92  

11


11  0.608
21  0.914


31  1.000
 41248.92  21
 72564.806  
21
 41248.92  21
 0

 41248.92  1  0 


 37702.203  1 0 
1.000
0.914
0.608




Figura 3.2. Modo de Vibración 01
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MODO 2
Para ello usaremos los siguientes datos: ωn2=108.085rad/seg y λ2=11682.392
Reemplazamos en la ecuación característica:
k  n22  m   2 0

 12 
0
 7.136
 71950.21  41248.92
2

   
 41248.92 82497.84  41248.92  
7.136
22

 
2
  
0
 41248.92 41248.92  
2.548 2  32 

0
 12 
 7.136 2
71950.21
 41248.92

   
 41248.92
82497.84  7.136
 41248.92
22

2
  
0
 41248.92
41248.92  2.548 2  32 

0
 12 
 7.136  11682.392
71950.21
 41248.92

   
 41248.92
82497.84  7.136  11682.392
 41248.92
22

  
0
 41248.92
41248.92  2.548  11682.392  32 



0

11415.339

12 
  41248.92  41248.92  41248.92  
22 
 867.709

  

0

41248.92

11482.185  32 

 0
 11415.339  12  41248.92  22 

 41248.92  
 867.709  
 41248.92    0 


12
22
32


 41248.92  22  11482.185  32  0 


Procedemos a normalizar asumiendo Φ32=1
 11415.339  12
 41248.92  

12


12  1.006
 22  0.278 
   1.000 


 32
 41248.92  22
 867.709  
22
 41248.92  22
 0

 41248.92  1  0 


 11482.185  1 0 
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ - ESCUELA DE GRADUADOS - Maestría en Ingeniería Civil
CIV-608 DINÁMICA DE ESTRUCTURAS Semestre 2015-2



1.000
0.914
1.006



Figura 3.3. Modo de Vibración 02
MODO 3
Para ello usaremos los siguientes datos: ωn3=157.346rad/seg y λ3=24757.895
Reemplazamos en la ecuación característica:
k  n32  m   
3 0
 13 
   
23
3

 
2.5483  33 
0
 13 
71950.21  7.1363
 41248.92

   
 41248.92
82497.84  7.136
 41248.92
23

3

 




41248.92

0
41248.92  2.548 3   33 

0
 13 
 7.136  24757.895
71950.21

41248.92

   
 41248.92
82497.84  7.136  24757.895
 41248.92
23

 

 41248.92
0
41248.92  2.548  24757.895  33 

 71950.21
 41248.92

0

0
 41248.92
 7.136
3

 41248.92  
82497.84
 
 41248.92 41248.92  
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7.136
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

0
 13 
104722.129  41248.92

  41248.92

 94174.499  41248.92  23 

  
0
 41248.92  21834.196  33 

 0
 104722.129  13  41248.92  23


 41248.92  
 94174.499   23  41248.92   33  0 


13


 41248.92  23  21834.196  33  0 


Procedemos a normalizar asumiendo Φ33=1
 104722 .129  13

 41248.92  13


 13  0.208 
23  0.529
   1.000 


 33

 41248.92  23
 94174.499  23
 41248.92  23
 0

 41248.92  1  0

 21834.196  1 0



1.000
0.529
0.208


Figura 3.4. Modo de Vibración 03
24/24
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