2015 GRUPO SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL Profesor: Integrantes: CASTRO VIDAL RAUL PEDRO ARANA-TAPIA-WILDER ODON LEZAMA-VEGA-DANNY JESUS LLIUYACC-LEON-EDWARD PALOMINO-FLORES-PEDRO MIGUEL PEREZ-CAMARGO-MICHEL BENITO 1313210064 1213210244 1313220623 [email protected] 1313220463 082183H Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica PROBLEMA (1) Considere el circuito serie RLC que se muestra en la figura con R=110 ohmios, L=1H, C=0.001F y hab habiendo iendo una batería que proporcion proporciona a E=120Co E=120Cos3t. s3t. Originalmente no hay corriente en el circuito ni carga en el condensador. En el instante t=0 se cierra el interruptor y se deja así, halle la intensidad de corrient corriente e resultante, interprete geométricamente y halle los valores óptimos en el circuito. Solución: Ecuación integro-diferencial de Kirchoff: 1 = Derivamos ambas partes y dividimos entre L: ′′ ′ ′′1 == ′ == == = 110= 1000 ∗. = = 3603 Ahora tenemos una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de orden 2, cuya forma es: Donde: Su solución será: *Solución Homogénea Polinomio característic característico: o: : =ℎ1:110 1000 ==00 1 1 1 0 1 0 0 0 = 0 = 10 ; = 100− − = Reales diferentes. Por teoría entonces la solución homogénea tendrá la forma: *Solución Particular : Método Coeficientes indeterminados: Luffi 1 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica 0 = 360= 33= 0 33360 3603 3 =0=; 0= 3 = ∞ ±±=10= 360 ±±3; 3 = 100 = 0 = → = 0 → = ±0 ± 0 = ±±00 ==3 0,0, =3 3 ′′==33 33 3 33 3 933 933 9 10003303 9393 1000 1000 11033303 = 360 10003 3 3 = 360 36033 9 333300= 360 1360 000 0003 333 03 1000000 330 330 993 3 9330 1000 = 0 10100000 33 3300 9 = 363600 , polinomio de grado , polinomio de grado , no es raíz del polinomio característico donde las raíces eran: Por lo tanto la solución particular tendrá la forma: Donde k es el máximo entre m y n son polinomios de grado 0. Reemplazamos estos valores de y los polinomios en la forma de la solución particular: Para hallar A y B derivamos y reemplazamos en la ecuación diferencial: Reemplazamos en: Luffi 2 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica = 0.108; = 0.327 Por lo tanto la solución particular será: .. .. .. − = −=. 0 = 0 0 = 0 0 0 1 = 0 0 = 0 = 1200 = 120 0 =120 ′=10 − 101000 − 0.3243 0.9813 0 = 0 ′0 = 120 Entonces la solución total es: Aplicamos las condiciones iniciales diferencial: y en la ecuación integro- Es una nueva condición inicial. Derivamos : Ahora aplicamos las condiciones iniciales y 0=0= 10 = 0.0. 10327 310027 0000. 0.0.3108 12400. 0.8 0 = 9810 = = . = .; = . = .− . − .. .. Por lo tanto la solución total es: Luffi 3 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica PROBLEMA (2) Resuelva la EDO: = − − = ()=22 (=)0 = 2 2 1 = 0 ≠ 0 1 22 1= 0= 0 = 1 = 1 ==1− = =− 2 = − − 2 : = − = − = |− | − = |− − | = − = − −2 = Solución: Sustituyendo: Factorizando Como: ( Pero: La multiplicidad de la raíz es 2 que da dos soluciones Solución particular: Y Calculando el wroskiano de Luffi y 4 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica = = 1 = lln2coscos 2 2 2 1 69 = 20 4507 5071110 l1n30 5182 2197 1156 46 2197 = ln 2 78 = 4 169169 1= cos2 cos2 2 26 6 12 12 338 338 1 7 8 10 10 2 2 2 cos 2 2 1 69 15 156 6 46 46 1 1 52) 50744 11011030182 = 20((507 2197 1 2197 1 1 4 169 169 cos2 cos2 26 2 6 12 12 338 338 46 9 46 9 3 + − = 2197 621975 +2197 6 21975 − 20ln47878 10 10 169 338 169 338 2 = 46 9 46 9 3 + − = La solución particular está dada por: Calculando : Calculando : La solución particular quedaría así: Simplificando: Luffi 1691696 21973383385 2197+ 1691696 2197 3383385 2197− 2ln20 4 5 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica PROBLEMA (3) Suponga la estructura representada por el siguiente modelo: Sobre el modelo actúa la fuerza variable Fe(t). Si el desplazamiento y la velocidad inicial de la masa son nulas, calcular el desplazamiento de la masa en función del tiempo. Solución: De la segunda ley de newton: ƩF=ma 1000cos60tt - 10g - 2600X - 20X’ = 10X’’ 1000cos60 X’’ + 2X’ + 260X = 100cos60t – 9.8 Solución general: X= Xc + Xp Hallando Xc: X’’ + 2X’ + 260X = 0 r1,2= −±√− r1= -1 + 16j r2= -1 – 16j Luffi 6 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica − cos1616 − sin16 Xc= Hallando Xp: Para la ecuación: X’’ + 2X’ + 260X = 100cos(60t) ……(1) Xp1= Acos(60t) + Bsen(60t) Xp1’= -60Asen(60t) + 60Bcos(60t) Xp1’’= -3600Acos(60 -3600Acos(60t) t) - 3600Bsen(60t) Xp1’’ + 2 Xp’ + 260 Xp = 100cos(60t) (120B-3340A)cos(60t) + (-3340B-120A)se (120B-3340A)cos(60t) (-3340B-120A)sen(60t)= n(60t)= 100cos(60t) 120B-3340A=100 -3340B-120A=0 A= -0.029 B= 0.001 Xp1= -0.029cos(60 -0.029cos(60t) t) +0.001sen(60t) Para la ecuación: X’’ + 2X’ + 260X = -9.8 ………(2) Xp2= -0.037 Xp= Xp1 + Xp2 Solución general: Xt= -0.029cos(60t) -0.001sen(60t) -0.037 Condiciones reemplazando en las iniciales: X(0)= 0 X’(o)= 0 C1=0.066 C2=-0.065 − cos1616 − sin16 Rpta: .− .− Xt= 0.037 Luffi -0.029cos(60t) -0.001sen(60t) - 7 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica PROBLEMA (4) Si se tiene dos tanques interconectados con los grifos A, B y C, cada tanque contiene 150 litros de agua con 150gr de sal disuelta y el segundo tanque contiene 60gr. De sal disuelta y por A ingresa solo agua a razón de 4 litros por minuto, la mezcla siempre se mantiene homogénea y los tres caños se abren simultáneamente t=0, determinar en qué tiempo habrá la máxima cantidad de sal en el segundo tanque, si por B y C circula la solución a razón de 4 litros por minuto. Solución: = ⇒ = ⁄ = ; = 0 ⇒ = 4⁄ . 150 − − 2 2 + = 75 ⇒ = 75 −−⇒ = ⇒ − = : 0 = 150 = ⇒ = 150 ⁄ = ; ==151502⇒150 50 =600 ⇒ = 4 150150 4 = 600 1 ∫ . = 600 :600 =11 ⇒⇒ .2 = 600 = 600 111 ∫ ∫ . = 600 6600 ⇒ = 60000 600 600 60060 0109 ⇒ = 540 : 0 = 6060=6600=00600600 Luffi 8 Universidad Nacional del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica PROBLEMA (5) Resuelva: + + − ∫ (1+ )ln( ) -2xy= ln( )-2arctgx donde y Solución: Entonces comencemos, así expresemos: expresemos: y= Encontrando la solución: Y= Y= artgx + + + ∫ - cuando x ∞ - art g x +[ ∫ −∫ + . + +art+gx++ + [ ( - - )dx + c ] )dx + c ] ∫[+ + + + ∫ + ln1 + + art+gx ⇒ ⇒ ∞ −π −π ⇒ ⇒∞ Y=ln(1+ ) Y= ln(1+ )[ Y=arctgx +xln(1+ C= - =0-0 + ]dx +c ]dx )+c = ) de donde ) c= +c +c - para : y - cuando x C=0. Luego la solución particu particulares: lares: y=arcta y=arctagx gx Dy/dx-2xy=cosx-2xsenx Dy/dx-2xy=cosx-2 xsenx , donde ¨y¨ es una funcions acotada ,cuando x Luffi 9
