1. Estática. 1.1 Cuerpos en equilibrio. 1.1.1 A un cilindro de una pieza se le da forma que se muestra en la figura 1.1, con un cilindro central que sobresale desde el cilindro más grande. El cilindro es libre de dar vuelta en torno al eje central que se muestra en dicha figura. Una cuerda enrollada en torno al tambor, que tiene radio R1, ejerce una fuerza T1 hacia la derecha sobre el cilindro. a) ¿Cuál es el momento de torsión neto que actúa sobre el cilindro en torno al eje de rotación (eje z en la figura)? ∑ 𝑇 = 𝑇2 𝑅2 − 𝑇1 𝑅1 b) Suponga que T1 = 5 N, R1 = 1 m, T2 = 15 N y R2 = 50 cm. ¿Cuál es el momento de torsión neto en torno al eje de rotación y de qué forma da vuelta el cilindro si parte desde el reposo? ∑ 𝑇 = 𝑇2 𝑅2 − 𝑇1 𝑅1 → (15𝑁)(0.5𝑚) − (5𝑁)(1𝑚) → 7.5𝑁𝑚 − 5𝑁𝑚 = 2.5𝑁𝑚 Figura 1.1 – Cilindro sólido con un eje central en dirección de z a través de O. 1.1.2 Hallar el momento resultante respecto al origen del sistema de coordenadas del siguiente sistema de fuerzas concurrentes, aplicadas en el punto A de coordenadas rA = (2, 1, 0) m. F1 = (i + 2·j + 3·k) N F2 = (2·i + 3·j) N F3 = (4·j + k) N 1.2 Condiciones de equilibrio. 1.2.1 Una viga horizontal uniforme con una longitud de 8 m y un peso de 200 N se une por uno de sus extremos a una pared mediante una junta articulada. El otro extremo de la viga está sostenido con un cable que forma un ángulo de 53°, con respecto al eje de la viga. Una persona que tiene un peso de 600 N está de pie sobre la viga con una separación de 2 m de la pared. Encuentre: a) La tensión en el cable, así como la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce la pared sobre la viga ∑ 𝜏 = 𝑇𝑠𝑒𝑛(53)(8) − 600(2) − 200(4) = 0 → 𝑇 = 600(2) − 200(4) 𝑠𝑒𝑛(53)(8) = 313.03𝑁 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 ∑ 𝐹𝑥 = 𝑅𝑋 − 𝑇𝑐𝑜𝑠(53) = 0 → 𝑅𝑋 = 𝑇𝑐𝑜𝑠(53) → 313.03𝑐𝑜𝑠(53) = 188.386𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 𝑅𝑦 − 𝑇𝑠𝑒𝑛(53) − 600 − 200 = 0 → 𝑅𝑌 = −313.03𝑠𝑒𝑛(53) + 600 + 200 = 550𝑁 𝑅 = √(188.38𝑁)2 + (550𝑁)2 → 581.37𝑁 b) Elija el eje de rotación en el centro de gravedad de la viga y calcule nuevamente lo que se solicita en el inciso anterior, ¿existe alguna modificación en los valores calculados? Explique su resultado. ∑ 𝜏 = 𝑇𝑠𝑒𝑛(53)(4) − 600(−2) − 200(0) = 0 → 𝑇 = 600(−2) − 200(0) 𝑠𝑒𝑛(53)(4) = −375.64𝑁 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 ∑ 𝐹𝑥 = 𝑅𝑋 − 𝑇𝑐𝑜𝑠(53) = 0 → 𝑅𝑋 = 𝑇𝑐𝑜𝑠(53) → −375.64𝑐𝑜𝑠(53) = −226.06𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 𝑅𝑦 − 𝑇𝑠𝑒𝑛(53) − 600 − 200 = 0 → 𝑅𝑌 = 375.64𝑠𝑒𝑛(53) + 600 + 200 = 1099.99𝑁 𝑅 = √(−226.06𝑁)2 + (1099.99𝑁)2 = 1122.008𝑁 Si existe modificaciones en los resultados ya que si se elige el eje de rotación en el centro de gravedad, la tensión del cable disminuye y si la tensión del cable disminuye la fuerza de reacción en la pared se duplica c) Considerando que el eje de rotación de la viga pasa a través de la junta articulada, si la persona camina más lejos sobre la viga, sea d la distancia entre la persona y la bisagra en el extremo izquierdo de la viga. Demuestre que la tensión en el cable, el ángulo de dirección y la magnitud de la fuerza de la bisagra están descritas por: 𝑇 = 93.9𝑑 + 125 32 tan 𝜃 = ( − 1) tan 53° 3𝑑 + 4 𝑅 = √8.82 × 103 𝑑2 − 9.65 × 104 𝑑 + 4.96 × 105 Figura 1.2 – Persona sobre una viga uniforme sostenida por un cable y pegada a la pared. 1.2 Centro de gravedad. Debido a que la variación de g es despreciable en la extensión de la mayoría de las estructuras, el centro de gravedad de cualquier estructura puede coincidir con su centro de masa, efectivamente. La figura 1.3 muestra una matriz ficticia de seis partículas donde g varía significativamente, cada una con masa m, fijadas al borde de una estructura rígida de masa despreciable. La distancia entre partículas adyacentes a lo largo del borde es de 2 m La tabla 1.1 provee el valor de g (m/s2) en la ubicación de cada partícula. Utilizando el sistema de coordenadas mostrado, encuentre: (a) Las coordenadas (x, y) del centro de masa del sistema de seis partículas. (c) Las coordenadas (x, y) del centro de gravedad del centro de gravedad del sistema de seis partículas. Figura 3.1 – Sistema de seis partículas en las cuales varía g. Tabla 1.1 – Valores de g en cada una de las seis partículas. 2. Movimiento uniformemente acelerado. 2.1 Velocidad escalar y vectorial. 2.1.1 Se realiza el seguimiento de la trayectoria de un ave, donde las coordenadas de la posición del ave están dadas en función del tiempo y expresadas de la siguiente forma: 𝑥 = −0.31𝑡 2 + 7.2𝑡 + 28 𝑦 = 0.22𝑡 2 − 9.1𝑡 + 30 a) Ya que las coordenadas están en metros y el tiempo en segundos, ¿cuál es el vector de posición del ave para un t = 15 s, expresado en su notación de vector unitario y en su notación polar? A (5.22i,14.65j) y B (66.25i,57j) (66.25 − 5.22, 57 − 14.65) = (61.03, 42.35) 74.28𝑚 𝑠 , 34.75° b) Encuentre el vector de la velocidad instantánea del ave en un tiempo t = 15 s. Exprésela en su notación de vector unitario y notación polar. 𝑎= 𝑣 − 𝑣0 𝑡 2.2 Aceleración. 2.2.1 Considerando el problema anterior sobre el seguimiento de la trayectoria del ave, encontrar el vector de la aceleración instantánea del ave en un tiempo t = 15 s. Exprésela en su notación de vector unitario y notación polar. 2.3 Movimiento uniformemente acelerado. 2.3.1 Acorde a la figura 2.1, un avión de rescate sobrevuela a 198 km/h con una altitud constante de 500 m sobre el nivel del mar. Viaja hacia una posición que está directamente sobre una víctima y donde debe aterrizar una cápsula de rescate. a) ¿Cuál debería ser el ángulo de la línea de visión del piloto hacia la víctima, cuando la cápsula es liberada? 𝑡= √ 2∗ℎ 2 ∗ 500𝑚 →√ → 10.10 𝑠𝑒𝑔 9.8𝑚 𝑔 𝑠2 55𝑚 ∗ 10.10𝑠 = 555.8𝑚 𝑠 555.8𝑚 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = = 48.01° 500𝑚 b) Cuando la cápsula alcanza el agua, ¿cuál es el vector de su velocidad en notación de vector unitario y polar? Figura 2.1 – Trayectoria de un avión a velocidad constante que libera una cápsula de rescate. 2.4 Caída libre y aceleración de la gravedad. 2.4.1 Una jugadora de softball lanza una pelota hacia arriba con una dirección vertical y con una rapidez inicial de 12 m/s, como se muestra en la figura 2.2. Figura 2.2 – Una jugadora de softball lanza una pelota hacia arriba, donde las ecuaciones de caída libre aplican tanto para la elevación de la pelota como para su caída. a) ¿Cuánto tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? = 7.34 b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota por encima de su punto de partida? = 2.44𝑠 c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar un punto a 5 m por encima de su punto de partida? √1.49𝑠 2 12𝑚 0− 𝑣 − 𝑣0 𝑠 = 1.22𝑠 𝑡= =𝑡= 9.8𝑚 𝑔 − 2 𝑠 1 2 1 ℎ = 𝑣0 𝑡 + 𝑔𝑡 → (12𝑚/𝑠 ) ∗ (1.22) + (−9.8𝑚/𝑠 2 )(1.22𝑠)2 = 14.64𝑚 − 7.29𝑚 2 2 = 7.34𝑚 2ℎ 2 ∗ 7.34 14.68𝑚 𝑡= √ =√ =√ = √1.49𝑠 2 2 𝑔 −9.8𝑚/𝑠 9.8𝑚/𝑠 2
