Unidad II Bioestadística clase 2 Probabilidad

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS
Escuela de Matemática
Mario Antúnez Murillo
Cubículo 9
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 1
Probabilidad
Teoría y ejemplos
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 2
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 3
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
Se puede escribir como fracción, decimal o porcentaje 12  0.48  48%
25
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 4
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
Se puede escribir como fracción, decimal o porcentaje 12  0.48  48%
25
Probabilidad clásica (Regla de Laplace)
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
probables, y se define la probabilidad de un evento A como el cociente de
resultados favorables a que ocurra el evento A y el numero de resultados
posibles del experimento, se representa por P(A)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 5
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
Se puede escribir como fracción, decimal o porcentaje 12  0.48  48%
25
Probabilidad clásica (Regla de Laplace)
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
probables, y se define la probabilidad de un evento A como el cociente de
resultados favorables a que ocurra el evento A y el numero de resultados
posibles del experimento, se representa por P(A)
número de resultados favorables de A n(A)
P(A) 

número total de posibles resultados
n(S)
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PAGINA 6
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
Se puede escribir como fracción, decimal o porcentaje 12  0.48  48%
25
Probabilidad clásica (Regla de Laplace)
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
probables, y se define la probabilidad de un evento A como el cociente de
resultados favorables a que ocurra el evento A y el numero de resultados
posibles del experimento, se representa por P(A)
número de resultados favorables de A n(A)
P(A) 

número total de posibles resultados
n(S)
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?
Sea el evento A: sale un número par
S={1,2,3,4,5,6} número total de posibles resultados n(S)=6
A={2,4,6}
número de resultados favorables n(A)=3
Interpretación: Existe un 50% de posibilidad de que salga un número par
MARIO ANTUNEZ
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PAGINA 7
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
Se puede escribir como fracción, decimal o porcentaje 12  0.48  48%
25
Probabilidad clásica (Regla de Laplace)
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
probables, y se define la probabilidad de un evento A como el cociente de
resultados favorables a que ocurra el evento A y el numero de resultados
posibles del experimento, se representa por P(A)
número de resultados favorables de A n(A)
P(A) 

número total de posibles resultados
n(S)
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?
Sea el evento A: sale un número par
S={1,2,3,4,5,6} número total de posibles resultados n(S)=6
A={2,4,6}
número de resultados favorables n(A)=3
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PAGINA 8
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
Se puede escribir como fracción, decimal o porcentaje 12  0.48  48%
25
Probabilidad clásica (Regla de Laplace)
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
probables, y se define la probabilidad de un evento A como el cociente de
resultados favorables a que ocurra el evento A y el numero de resultados
posibles del experimento, se representa por P(A)
número de resultados favorables de A n(A)
P(A) 

número total de posibles resultados
n(S)
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?
Sea el evento A: sale un número par
S={1,2,3,4,5,6} número total de posibles resultados n(S)=6
A={2,4,6}
número de resultados favorables n(A)=3
P(A) 
número de resultados favorables de A n(A) 3

  0.5  50%
número total de posibles resultados
n(S) 6
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PAGINA 9
Probabilidad
Valor entre cero (evento imposible) y uno (evento seguro) que mide o describe
la posibilidad de que ocurra un evento.
Se puede escribir como fracción, decimal o porcentaje 12  0.48  48%
25
Probabilidad clásica (Regla de Laplace)
Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
probables, y se define la probabilidad de un evento A como el cociente de
resultados favorables a que ocurra el evento A y el numero de resultados
posibles del experimento, se representa por P(A)
número de resultados favorables de A n(A)
P(A) 

número total de posibles resultados
n(S)
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?
Sea el evento A: sale un número par
S={1,2,3,4,5,6} número total de posibles resultados n(S)=6
A={2,4,6}
número de resultados favorables n(A)=3
P(A) 
número de resultados favorables de A n(A) 3

  0.5  50%
número total de posibles resultados
n(S) 6
Interpretación: Existe un 50% de posibilidad de que salga un número par
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PAGINA 10
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una
moneda?
MARIO ANTUNEZ
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PAGINA 11
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una
moneda?
Un espacio muestral asociado al experimento es
S= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara), (escudo , escudo)}
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PAGINA 12
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una
moneda?
Un espacio muestral asociado al experimento es
S= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara), (escudo , escudo)}
Sea A: Sale al menos una cara
A= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara)}
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PAGINA 13
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una
moneda?
Un espacio muestral asociado al experimento es
S= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara), (escudo , escudo)}
Sea A: Sale al menos una cara
A= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara)}
P(A) 
número de resultados favorables de A n(A) 3

  0.75  75%
número total de posibles resultados
n(S) 4
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PAGINA 14
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una
moneda?
Un espacio muestral asociado al experimento es
S= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara), (escudo , escudo)}
Sea A: Sale al menos una cara
A= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara)}
P(A) 
número de resultados favorables de A n(A) 3

  0.75  75%
número total de posibles resultados
n(S) 4
Interpretación: Existe un 75% de posibilidad de obtener al menos una cara
al lanzar una moneda dos veces
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PAGINA 15
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una
moneda?
Un espacio muestral asociado al experimento es
S= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara), (escudo , escudo)}
Sea A: Sale al menos una cara
A= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara)}
P(A) 
número de resultados favorables de A n(A) 3

  0.75  75%
número total de posibles resultados
n(S) 4
Interpretación: Existe un 75% de posibilidad de obtener al menos una cara
al lanzar una moneda dos veces
Probabilidad de frecuencia relativa o probabilidad empírica
La probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los
eventos similares que ocurrieron en el pasado.
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PAGINA 16
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una
moneda?
Un espacio muestral asociado al experimento es
S= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara), (escudo , escudo)}
Sea A: Sale al menos una cara
A= {(cara, cara), (cara, escudo), (escudo, cara)}
P(A) 
número de resultados favorables de A n(A) 3

  0.75  75%
número total de posibles resultados
n(S) 4
Interpretación: Existe un 75% de posibilidad de obtener al menos una cara
al lanzar una moneda dos veces
Probabilidad de frecuencia relativa o probabilidad empírica
La probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los
eventos similares que ocurrieron en el pasado.
número de veces que ocurrió el evento n(A)
P(A) 

número total de observaciones pasadas n(S)
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PAGINA 17
Conde de Bufon (1707 -1788)
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Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
4040
2048
0.5080
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PAGINA 18
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
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PAGINA 19
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
MARIO ANTUNEZ
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PAGINA 20
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
En el limite P(X)  lim P(Xn )  0.5
n
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PAGINA 21
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
En el limite P(X)  lim P(Xn )  0.5
n
MARIO ANTUNEZ
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PAGINA 22
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
En el limite P(X)  lim P(Xn )  0.5
n
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de Estadística apruebe la
clase si de 550 alumnos que han cursado la asignatura 418 lo hicieron?
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PAGINA 23
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
En el limite P(X)  lim P(Xn )  0.5
n
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de Estadística apruebe la
clase si de 550 alumnos que han cursado la asignatura 418 lo hicieron?
Sea A: el alumno aprueba la clase
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PAGINA 24
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
En el limite P(X)  lim P(Xn )  0.5
n
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de Estadística apruebe la
clase si de 550 alumnos que han cursado la asignatura 418 lo hicieron?
Sea A: el alumno aprueba la clase
P(A) 
número alumnos que aprobaron la clase
418

 0.76  76%
número total de alumnos que cursaron la clase
550
MARIO ANTUNEZ
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PAGINA 25
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
En el limite P(X)  lim P(Xn )  0.5
n
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de Estadística apruebe la
clase si de 550 alumnos que han cursado la asignatura 418 lo hicieron?
Sea A: el alumno aprueba la clase
P(A) 
número alumnos que aprobaron la clase
418

 0.76  76%
número total de alumnos que cursaron la clase
550
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PAGINA 26
Numero de tiradas
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Conde de Bufon (1707 -1788)
4040
2048
0.5080
K Pearson (1857 – 1936)
12000
6019
0.5016
Jhon Kerrick
10000
5067
0.5067
En el limite P(X)  lim P(Xn )  0.5
n
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de Estadística apruebe la
clase si de 550 alumnos que han cursado la asignatura 418 lo hicieron?
Sea A: el alumno aprueba la clase
P(A) 
número alumnos que aprobaron la clase
418

 0.76  76%
número total de alumnos que cursaron la clase
550
Interpretación
Existe un 76% de posibilidad de aprobar la clase
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PAGINA 27
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
MARIO ANTUNEZ
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PAGINA 28
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 29
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
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PAGINA 30
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
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PAGINA 31
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
B
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
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PAGINA 32
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
B
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
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PAGINA 33
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
B
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
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PAGINA 34
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
B
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
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PAGINA 35
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
B
9%
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
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PAGINA 36
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
B
9%
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
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PAGINA 37
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
B
9%
3%
6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
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PAGINA 38
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
B
9%
3%
6%
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 39
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
S
A
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
B
9%
3%
6%
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 40
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
S
A
12%
B
9%
3%
6%
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 41
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
S
A
12%
B
9%
3%
6%
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 42
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
S
A
12%
9%
B
5%
3%
6%
3%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
C
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 43
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
S
A
12%
9%
B
5%
3%
6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
3%
3%
C
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 44
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
S
A
12%
9%
B
5%
3%
6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
3%
3%
C
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
59%
PAGINA 45
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
S
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
A
12%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
5%
3%
6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
3%
3%
a. P(ABC)=41%
b. P[A-(BC)]=12%
c. P[(BC)-A]=P[(BC)Ac]=11%
MARIO ANTUNEZ
9%
B
MM241 BIOESTADISTICA
C
59%
PAGINA 46
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
S
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
A
12%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
5%
3%
6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
3%
3%
a. P(ABC)=41%
b. P[A-(BC)]=12%
c. P[(BC)-A]=P[(BC)Ac]=11%
MARIO ANTUNEZ
9%
B
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C
59%
PAGINA 47
Ejemplo
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% lee A, el 20% lee B y el
15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C y finalmente el 3% A, B y C.
a) ¿Qué porcentaje de personas lee al menos uno de los tres periódicos?
b) ¿Qué porcentaje lee sólo A?
c) ¿Qué porcentaje lee B o C, pero no A?
S
30% lee A: P(A)=30%
20% lee B: P(B)=20%
15% lee C: P(C)=15%
A
12%
12% lee A y B: P(AB)=12%
9% lee A y C: P(AC)=9%
6% lee B y C: P(BC)=6%
5%
3%
6%
3% A, B y C: P(ABC)=3%
3%
3%
a. P(ABC)=41%
b. P[A-(BC)]=12%
c. P[(BC)-A]=P[(BC)Ac]=11%
MARIO ANTUNEZ
9%
B
MM241 BIOESTADISTICA
C
59%
PAGINA 48
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 49
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 50
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 51
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 52
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
Se sabe que en las ultimas 6 carreras, el ciclista A ha ganado 3. Asigne la
probabilidad de ocurrencia del evento T, según el enfoque de probabilidad indicado:
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PAGINA 53
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
Se sabe que en las ultimas 6 carreras, el ciclista A ha ganado 3. Asigne la
probabilidad de ocurrencia del evento T, según el enfoque de probabilidad indicado:
a. Enfoque clásico:
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 54
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
Se sabe que en las ultimas 6 carreras, el ciclista A ha ganado 3. Asigne la
probabilidad de ocurrencia del evento T, según el enfoque de probabilidad indicado:
a. Enfoque clásico: 1/3=0.3333
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 55
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
Se sabe que en las ultimas 6 carreras, el ciclista A ha ganado 3. Asigne la
probabilidad de ocurrencia del evento T, según el enfoque de probabilidad indicado:
a. Enfoque clásico: 1/3=0.3333
b. Enfoque frecuencia relativa:
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 56
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
Se sabe que en las ultimas 6 carreras, el ciclista A ha ganado 3. Asigne la
probabilidad de ocurrencia del evento T, según el enfoque de probabilidad indicado:
a. Enfoque clásico: 1/3=0.3333
b. Enfoque frecuencia relativa: 3/6=0.5
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 57
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
Se sabe que en las ultimas 6 carreras, el ciclista A ha ganado 3. Asigne la
probabilidad de ocurrencia del evento T, según el enfoque de probabilidad indicado:
a. Enfoque clásico: 1/3=0.3333
b. Enfoque frecuencia relativa: 3/6=0.5
c. Enfoque subjetivo, si se sabe que el ciclista A es un atleta bien entrenado y el
ciclista B no:
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PAGINA 58
Probabilidad subjetiva Bayesiana
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar
la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. La probabilidad se
asigna a partir de cualquier información que encuentre disponible.
Un equipo de administración piensa que hay una probabilidad de 0.35 de que
un nuevo producto tenga éxito en el mercado, esto constituye una probabilidad
subjetiva
El valor 0.35 es una opinión, más que un valor basado en una evidencia
objetiva.
Suponga el experimento que consiste en observar una carrera entre dos ciclistas,
ciclista A y ciclista B.
Sean los eventos:
T: El ciclista A gana la carrera.
R: El ciclista A pierde la carrera.
S: Hay un empate (u otro resultado inesperado)
Se sabe que en las ultimas 6 carreras, el ciclista A ha ganado 3. Asigne la
probabilidad de ocurrencia del evento T, según el enfoque de probabilidad indicado:
a. Enfoque clásico: 1/3=0.3333
b. Enfoque frecuencia relativa: 3/6=0.5
c. Enfoque subjetivo, si se sabe que el ciclista A es un atleta bien entrenado y el
ciclista B no: 1
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 59
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 60
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 61
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 62
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 63
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 64
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø
Demostrar que: P( )= 0
MARIO ANTUNEZ
(Utilizar:   S = )
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PAGINA 65
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø
Demostrar que: P( )= 0
(Utilizar:   S = )
P(S) = P(S U  )=P(S )+P() = 1+ P()
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MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 66
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø
Demostrar que: P( )= 0
(Utilizar:   S = )
P(S) = P(S U  )=P(S )+P() = 1+ P() =1  P( )= 0
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PAGINA 67
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø
Demostrar que: P( )= 0
(Utilizar:   S = )
P(S) = P(S U  )=P(S )+P() = 1+ P() =1  P( )= 0
Teorema de la probabilidad complementaria
Para un suceso A y su complementario Ac en el espacio muestral S:
P(Ac) = 1 - P(A)
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PAGINA 68
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø
Demostrar que: P( )= 0
(Utilizar:   S = )
P(S) = P(S U  )=P(S )+P() = 1+ P() =1  P( )= 0
Teorema de la probabilidad complementaria
Para un suceso A y su complementario Ac en el espacio muestral S:
P(Ac) = 1 - P(A)
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac)
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PAGINA 69
Probabilidad Axiomática (Kolmogorov)
La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser
desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría
o el Álgebra.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada evento A del
espacio muestral S un valor numérico P(A), verificando los siguientes
axiomas:
(1) No negatividad: 0 ≤ P(A)
(2) Normalización: P(S) = 1
(3) Aditividad: P(A  B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø
Demostrar que: P( )= 0
(Utilizar:   S = )
P(S) = P(S U  )=P(S )+P() = 1+ P() =1  P( )= 0
Teorema de la probabilidad complementaria
Para un suceso A y su complementario Ac en el espacio muestral S:
P(Ac) = 1 - P(A)
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac)=1  P(Ac )=1-P(A)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 70
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 71
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 72
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 73
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, si A  B
P(A)<P(B)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 74
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, si A  B
P(A)<P(B)
B
A
S
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 75
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, si A  B
P(A)<P(B)
B
A
S
Del diagrama de Venn vemos que el área de A es menor que el área de B
(la cardinalidad en este caso es el área)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 76
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, si A  B
P(A)<P(B)
B
A
S
Del diagrama de Venn vemos que el área de A es menor que el área de B
(la cardinalidad en este caso es el área)
n(A)<n(B)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 77
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, si A  B
P(A)<P(B)
B
A
S
Del diagrama de Venn vemos que el área de A es menor que el área de B
(la cardinalidad en este caso es el área)
n(A)<n(B)
n(A) n(B)
<
n(S) n(S)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 78
Demostrar que: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(S) = P(A U Ac )=P(A )+ P(Ac) =1  P(A )  1-P(Ac)  1, de donde
0  P(A )  1
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, si A  B
P(A)<P(B)
B
A
S
Del diagrama de Venn vemos que el área de A es menor que el área de B
(la cardinalidad en este caso es el área)
n(A)<n(B)
n(A) n(B)
<
n(S) n(S)
P(A)<P(B)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 79
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 80
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
S
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 81
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
ABc AB BAc
S
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 82
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
ABc AB BAc
S
Del diagrama de Venn
B=(A  B)  (B  Ac) de donde P(B)=P(A  B) + P(B  Ac)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 83
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
ABc AB BAc
S
Del diagrama de Venn
B=(A  B)  (B  Ac) de donde P(B)=P(A  B) + P(B  Ac)
P(B  Ac)=P(B)-P(A  B)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 84
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
ABc AB BAc
S
Del diagrama de Venn
B=(A  B)  (B  Ac) de donde P(B)=P(A  B) + P(B  Ac)
P(B  Ac)=P(B)-P(A  B)
Regla de la suma:
Dados dos sucesos A y B en el espacio muestral S:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 85
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
BAc
S
Del diagrama de Venn
B=(A  B)  (B  Ac) de donde P(B)=P(A  B) + P(B  Ac)
P(B  Ac)=P(B)-P(A  B)
Regla de la suma:
Dados dos sucesos A y B en el espacio muestral S:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Del diagrama de Venn
A B = A (B Ac)  P(AB) =P(A)+P(B Ac)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 86
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
BAc
S
Del diagrama de Venn
B=(A  B)  (B  Ac) de donde P(B)=P(A  B) + P(B  Ac)
P(B  Ac)=P(B)-P(A  B)
Regla de la suma:
Dados dos sucesos A y B en el espacio muestral S:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Del diagrama de Venn
A B = A (B Ac)  P(AB) =P(A)+P(B Ac)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 87
Teorema
Dados dos eventos A y B en el espacio muestral S, tenemos que
P(B  Ac) = P(B) - P(A  B)
A
B
S
Del diagrama de Venn
B=(A  B)  (B  Ac) de donde P(B)=P(A  B) + P(B  Ac)
P(B  Ac)=P(B)-P(A  B)
Regla de la suma:
Dados dos sucesos A y B en el espacio muestral S:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Del diagrama de Venn
A B = A (B Ac)  P(AB) =P(A)+P(B Ac)
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A  B)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 88
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 89
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 90
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
Se tiene en este caso que la probabilidad que dos de ellos ocurran es cero
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 91
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
Se tiene en este caso que la probabilidad que dos de ellos ocurran es cero
Eventos colectivamente exhaustivos
Varios eventos son colectivamente exhaustivos cuando uno de ellos debe
ocurrir.
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 92
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
Se tiene en este caso que la probabilidad que dos de ellos ocurran es cero
Eventos colectivamente exhaustivos
Varios eventos son colectivamente exhaustivos cuando uno de ellos debe
ocurrir.
Se tiene que suma de las probabilidades de eventos exahustivos es uno
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 93
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
Se tiene en este caso que la probabilidad que dos de ellos ocurran es cero
Eventos colectivamente exhaustivos
Varios eventos son colectivamente exhaustivos cuando uno de ellos debe
ocurrir.
Se tiene que suma de las probabilidades de eventos exahustivos es uno
Cuatro candidatos están buscando una vacante en un consejo escolar. Si A
tiene el doble de posibilidad que B de ser elegido, tanto A y C tienen las
mismas posibilidad de ser electos, mientras que C tiene el doble de
posibilidades que D de ser electo. ¿Cuál es la probabilidad de qué C gane?
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 94
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
Se tiene en este caso que la probabilidad que dos de ellos ocurran es cero
Eventos colectivamente exhaustivos
Varios eventos son colectivamente exhaustivos cuando uno de ellos debe
ocurrir.
Se tiene que suma de las probabilidades de eventos exahustivos es uno
Cuatro candidatos están buscando una vacante en un consejo escolar. Si A
tiene el doble de posibilidad que B de ser elegido, tanto A y C tienen las
mismas posibilidad de ser electos, mientras que C tiene el doble de
posibilidades que D de ser electo. ¿Cuál es la probabilidad de qué C gane?
P(A)=2P(B)
P(A)=P(C)
P(C)=2P(D)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 95
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
Se tiene en este caso que la probabilidad que dos de ellos ocurran es cero
Eventos colectivamente exhaustivos
Varios eventos son colectivamente exhaustivos cuando uno de ellos debe
ocurrir.
Se tiene que suma de las probabilidades de eventos exahustivos es uno
Cuatro candidatos están buscando una vacante en un consejo escolar. Si A
tiene el doble de posibilidad que B de ser elegido, tanto A y C tienen las
mismas posibilidad de ser electos, mientras que C tiene el doble de
posibilidades que D de ser electo. ¿Cuál es la probabilidad de qué C gane?
P(A)=2P(B)
P(A)=P(C)
P(C)=2P(D)
MARIO ANTUNEZ
P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 96
Eventos mutuamente excluyentes
Varios eventos son mutuamente excluyentes cuando al ocurrir uno de ellos, los
otros eventos no pueden ocurrir.
Al considerar el género de una persona: femenino, masculino
Al lanzar una moneda: sale cara, sale escudo
En una urna hay bolas de color rojo, negro, verde, se extrae una:
el color de la bola es rojo, negra, verde
Se tiene en este caso que la probabilidad que dos de ellos ocurran es cero
Eventos colectivamente exhaustivos
Varios eventos son colectivamente exhaustivos cuando uno de ellos debe
ocurrir.
Se tiene que suma de las probabilidades de eventos exahustivos es uno
Cuatro candidatos están buscando una vacante en un consejo escolar. Si A
tiene el doble de posibilidad que B de ser elegido, tanto A y C tienen las
mismas posibilidad de ser electos, mientras que C tiene el doble de
posibilidades que D de ser electo. ¿Cuál es la probabilidad de qué C gane?
P(A)=2P(B)
P(A)=P(C)
P(C)=2P(D)
MARIO ANTUNEZ
P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
MM241 BIOESTADISTICA
1
P(C) 
3
PAGINA 97
Herramientas para resolver problemas de probabilidad
Regla de la adición:
A
B
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
En eventos complementarios:
c
A
A
P(Ac) = 1 - P(A)
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 98
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 en el lanzamiento de dos
dados?
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA 99
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 en el lanzamiento de dos
dados?
Sea A: la suma de los números al lanzar dos dados
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA100
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 en el lanzamiento de dos
dados?
Sea A: la suma de los números al lanzar dos dados
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA101
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 en el lanzamiento de dos
dados?
Sea A: la suma de los números al lanzar dos dados
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA102
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 en el lanzamiento de dos
dados?
Sea A: la suma de los números al lanzar dos dados
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
P(A) 
número de resultados favorables de A 6

 0.1667  16.67%
número total de posibles resultados
36
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA103
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7 en el lanzamiento de dos
dados?
Sea A: la suma de los números al lanzar dos dados
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
P(A) 
número de resultados favorables de A 6

 0.1667  16.67%
número total de posibles resultados
36
Existe un 16.67% de obtener un siete al lanzar dos dados
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA104
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA105
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA106
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA107
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA108
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
Ejemplo
En cierta comunidad, la probabilidad que una familia tenga televisor es 0.83,
que tengan lavadora es 0.62 y que tengan ambos es 0.51.
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga lavadora? Rta: 0.38=38%
¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga televisor o lavadora? Rta: 94%
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga televisor ni lavadora? Rta. 6%
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA109
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
Ejemplo
En cierta comunidad, la probabilidad que una familia tenga televisor es 0.83,
que tengan lavadora es 0.62 y que tengan ambos es 0.51.
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga lavadora? Rta: 0.38=38%
¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga televisor o lavadora? Rta: 94%
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga televisor ni lavadora? Rta. 6%
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA110
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
Ejemplo
En cierta comunidad, la probabilidad que una familia tenga televisor es 0.83,
que tengan lavadora es 0.62 y que tengan ambos es 0.51.
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga lavadora? Rta: 0.38=38%
¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga televisor o lavadora? Rta: 94%
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga televisor ni lavadora? Rta. 6%
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA111
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
Ejemplo
En cierta comunidad, la probabilidad que una familia tenga televisor es 0.83,
que tengan lavadora es 0.62 y que tengan ambos es 0.51.
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga lavadora? Rta: 0.38=38%
¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga televisor o lavadora? Rta: 94%
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga televisor ni lavadora? Rta. 6%
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA112
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueva mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
Ejemplo
En cierta comunidad, la probabilidad que una familia tenga televisor es 0.83,
que tengan lavadora es 0.62 y que tengan ambos es 0.51.
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga lavadora? Rta: 0.38=38%
¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga televisor o lavadora? Rta: 94%
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA113
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueve mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
Ejemplo
En cierta comunidad, la probabilidad que una familia tenga televisor es 0.83,
que tengan lavadora es 0.62 y que tengan ambos es 0.51.
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga lavadora? Rta: 0.38=38%
¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga televisor o lavadora? Rta: 94%
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga televisor ni lavadora?
MARIO ANTUNEZ
MM241 BIOESTADISTICA
PAGINA114
Ejemplo
La probabilidad que llueva mañana es 0.20, la probabilidad que truene es 0.10,
la probabilidad que llueva y truene es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad qué llueva
o truene mañana?
A: llueve mañana P(A)=0.20
B: Truene mañana P(B)=0.10
A y B: llueva y truene P(A  B)=0.07
Nos piden
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)
= 0.20+0.10-0.07=0.23=23%
Existe un 23 % de posibilidad de que llueva o truene mañana
Ejemplo
En cierta comunidad, la probabilidad que una familia tenga televisor es 0.83,
que tengan lavadora es 0.62 y que tengan ambos es 0.51.
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga lavadora? Rta: 0.38=38%
¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga televisor o lavadora? Rta: 94%
¿Cuál es la probabilidad que una familia no tenga televisor ni lavadora? Rta. 6%
MARIO ANTUNEZ
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