Funciones
Definición: Una función es una relación de correspondencia entre dos conjuntos A y B
tal que a cada elemento x, perteneciente al conjunto A, le corresponda un único
elemento y perteneciente al conjunto B
Sean A conjunto de partida o Dominio
y B conjunto de llegada o Codominio
se define f: A → B/ f(x)=y
(Aunque no todas las relaciones entre dos conjuntos son funciones)
Condiciones restrictivas de la definición: Condición de existencia y de unicidad
Analicemos algunos ejemplos para identificar si son funciones:
• La relación entre el espacio que recorre un automóvil y el tiempo transcurrido.
• El área de un circulo y la longitud de su radio.
• La relación de desigualdad “es mayor que” en el conjunto de los números reales
Importante
Las funciones pueden expresarse mediante fórmulas o expresiones algebraicas,
usando tablas y también con gráficas
• Si f: R→R / f(x) = 2. x
la función se expresa mediante fórmula
• Si utilizamos la fórmula entonces podremos explicitar valores para x y obtener una
tabla
• Mediante gráfica
x
-1
0
2
1/2
F(x)=2.x
-2
0
4
1
Análisis de gráficas:
Si observamos el siguiente gráfico C
De la función f, las proyecciones de
C sobre los ejes cartesianos x e y
Permiten determinar el Conjunto D
(dominio de f: Domf) y el conjunto I
(imagen de f: Imf) respectivamente
¿Pero toda gráfica es representativa de una función?
Algunas funciones algebraicas típicas
Función constante
f: R→R / f(x) = k , con k constante
Su gráfica es una recta horizontal paralela al eje de las abscisas
(en el ejemplo k=3)
Función lineal
f: R→R / f(x) = m.x +b con m, b constantes y m≠0
Su gráfica es una recta oblicua, y dominio e imagen están
definidos por el conjunto de los números Reales.
(Para m:pendiente de la recta, b:ordenada al origen)
Función cuadrática:
f: R→R / f(x) = a.x2 + b.x + c
Donde a, b y c son constantes
a: término cuadrático
b: término lineal
c: término independiente
Función racional
f: R→R / f(x) = P(x) / Q(x) para Q(x)≠0
Por ejemplo f(x) = 1/X
Domf= R - {0}
Dadas las siguientes funciones, determinar y analizar los conjuntos dominio,
codominio e imagen: (realiza las tablas si lo crees necesario)
a- f(x) = -2
b- f(x) = x + 1
c- f(x) = x2 - 8x + 15
d- f(x) = 1/2x
e- f(x)= (3x + 2) / (x – 1 )
f-
g-
Función lineal
Definición: Una función de la forma:
f: ℜ→ℜ / f(x) = m· x + b ; donde ℜ simboliza el conjunto de los números reales, m y b
son números reales, es una función lineal.
Una función en la que a incrementos iguales de una variable corresponden
incrementos iguales en la otra se denomina función lineal.
La gráfica de una función lineal es una recta de ecuación y = m·x + b.
En la fórmula y = m·x + b,
• El número m representa la constante de variación, se denomina pendiente de la
recta y determina la inclinación de la misma.
• El número m indica que por cada unidad que aumenta la variable independiente,
la dependiente varía m unidades.
• Al número b se denomina ordenada al origen.
Es el valor donde la recta interseca al eje y. Es decir b es el valor que toma la función
cuando x = 0, es decir f(0): f(0) = m·0+b = b
Son ejemplos de funciones lineales:
f: R→R / f(x) = 4x
f(x) = -3x + 1
f(x) = ½ x - 2
Analizamos la variabilidad de los incrementos constantes para las siguientes rectas
Si f(x) = m.x +b
Donde m = Δ y / Δx = ( y1 – y0 ) / ( x1 - x0 )