UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL DE PROCESOS LABORATORIO N°2 DINÁMICA DE PROCESOS Integrantes: Nicolás Figueroa A. Carolina Morales C. Profesor: Nicolás Pailahueque B. Ayudante: Elizabeth Pellegrini M. Curso: Instrumentación y Control de procesos RESUMEN Los modelos dinámicos son ecuaciones matemáticas que representan el comportamiento de un sistema en función del tiempo. A través de ellos, es posible estudiar cómo cambian e interactúan las variables involucradas en un sistema determinado. En el presente informe se detalla la formulación, resolución y análisis de modelos dinámicos de nivel y temperatura para un estanque que vacía por gravedad. También se estudia el comportamiendo del sistema frente a una doble perturbación simultánea de nivel y temperatura. Del sistema experimental , se obtiene una constante de vaciado 𝐾𝑡 = 2,06 ∙ 10−4 [𝑚2,5 /𝑠] , un caudal de entrada de 𝑄1 = 5,043 ∙ 10−5 [𝑚2 /𝑠] , una temperatura constante de 𝑇 = 19,06 °𝐶 y un tiempo 𝑡 = 205,2 [𝑠] para volver al estado estacionario. Se formularon modelos de nivel y temperatura para el sistema de estanque que vacía por gravedad y con la herramienta Simulink de MATLAB se simuló y comprobó el comportamiento del sistema experimental Además se obtuvo que luego de provocar la perturbación, el sistema tarde 600 [𝑠] en volver a un nivel de 0,06 [𝑚] y 200 [𝑠] en volver a un temperatura de 19 °𝐶. ÍNDICE I. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 4 II. OBJETIVOS .......................................................................................................................... 6 Objetivo General ........................................................................................................................... 6 Objetivos Específicos .................................................................................................................... 6 III. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL ............................................................................ 7 IV. RESULTADOS .................................................................................................................... 10 V. VI. CONCLUSIONES ................................................................................................................... 16 REFERENCIAS .................................................................................................................. 16 ANEXOS .......................................................................................................................................... 17 I. INTRODUCCIÓN La modelación se refiere a la acción y al efecto de modelar a partir de una base, ya sea física o empírica, así esta palabra deriva del latín “modus” = molde, modo o medida. El modelado de procesos está conectado con las pruebas que se realizan para ver las posibilidades que trae cada proceso. Permite un conocimiento más profundo de las pruebas y los resultados, estableciendo un sólido comienzo para la optimización de procesos, por lo que es posible y más fácil de ver los obstáculos y puntos ineficientes, permitiendo de esta manera el análisis de variables implicadas en el desarrollo de este. Así un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto de la realidad. En su estructura intervienen, por una parte, los elementos que caracterizan la realidad modelizada y, por otra parte, las relaciones existentes entre ellos. Existiendo de esta forma un Modelo real el cual se refiere a la disposición física de equipos en el proceso, el modelo mental que es el diagrama de bloques, la representación del proceso en el dibujo según norma, el modelo formal el cual partir de datos de base se puede llegar a desarrollar un modelado de matemático, el cual usa modelos y balances ya sean de materia, energía, Entalpia… entre otros, como referentes de lo que se quiere construir, realizando un diagrama previo, que ayude a observar las interacciones de este complejo sistema. La formulación de un modelo tiene como ventajas: o Inexistencia total o baja disponibilidad del Proceso real para experimentación. o Altos costos en pruebas sobre el Proceso real. o Imposibilidad de operar el Proceso real en regiones de riesgo. o Tiempos de ensayo en el Proceso real demasiado largos. o Determinación de condiciones óptimas de diseño de una etapa o Proceso y delimitación de su región de operación óptima. o Diseño de sistemas de monitoreo, automatización, control y diagnóstico de fallas, utilizando los modelos para predecir comportamientos. o Caracterización y extracción de conocimiento sobre el comportamiento de un Proceso real. Un modelo matemático es un tipo de modelo basado en la lógica matemática, cuyos elementos son esencialmente variables y funciones, y las relaciones entre ellos vienen expresadas a través de relaciones matemáticas (ecuaciones, inecuaciones, operadores lógicos...) que se corresponden con las correspondientes relaciones del mundo real que modelizan (relaciones tecnológicas, leyes físicas, restricciones del mercado...) Así se plantea un modelo dinámico del proceso el cual se puede resolver de 3 formas o Analíticos (mediante separación de variables e integración analítica) o Numéricos (Método Euler, Runge Kutta) o Programas (MatLab-simulink) MATLAB, el lenguaje de cálculo técnico desarrollado por MathWorks, es un entorno de programación para el desarrollo de algoritmos, análisis de datos, visualización y cálculo numérico. Simulink es un entorno gráfico para simulación y diseño basado en modelos de sistemas dinámicos multidominio e integrados. En el desarrollo de esta actividad se busca el planteamiento de un modelo para un estanque vaciado por gravedad, buscando de esta manera la constante de vaciado, el caudal de entrada y finalmente su reacción ante una perturbación del tipo impulso. Después del desarrollo a partir de los balances de masa y energía y de los datos obtenidos del desarrollo de este se logró plantear los siguientes modelos. Modelo Dinámico de Nivel 𝐴𝑒 𝜕ℎ = 𝑄𝑒 − 𝐾𝑡 ∙ √ℎ + 𝑎 𝜕𝑡 Modelo Dinámico de Temperatura 𝜕𝑇 𝑄𝑒𝜌19°𝐶 (𝑇1 − 𝑇) = 𝜕𝑡 𝐴𝑒 ∗ ℎ ∗ (−0.0045𝑇 2 − 0.0174𝑇 + 999.84) Este fue utilizado para la modelación en Simulink y el siguiente para la obtención de las funciones de transferencia suponiendo que la densidad no varía de una manera muy importante. 𝜕𝑇 𝑄𝑒(𝑇1 − 𝑇) = 𝜕𝑡 𝑉 II. OBJETIVOS Objetivo General - Modelar un estanque de vaciado por gravedad, para una perturbación simultánea de nivel y temperatura. Objetivos Específicos - Obtener el valor de la constante de vaciado experimental del estanque. - Formular y resolver modelos dinámicos de temperatura y nivel para el estanque. - Discutir efecto de las perturbaciones provocadas al sistema. III. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL A continuación, se detalla el procedimiento experimental de la dinámica de procesos. 3.1. Montaje del sistema 3.1.1. Medir un recipiente plástico (bidón) a una altura de 13 cm y marcar una línea por todo el contorno. 3.1.2. Cortar con precisión por la línea antes demarcada y limpiar el interior. 3.1.3. Realizar un orificio en una de las esquinas de la parte inferior. El orificio debe ser pequeño porque por ahí saldrá el líquido del recipiente. Menor a 1 cm de diámetro. 3.1.4. Desde el orificio, realizar marcas cada 1 cm a lo largo del recipiente. 3.1.5. Conseguir una tapa o cierre para el orificio de la parte inferior, con el fin de evitar pérdidas durante el llenado. 3.2. Determinar la constante de vaciado 3.2.1. Llenar el recipiente con agua de grifo a una altura conocida de 12 cm 3.2.2. Medir y registrar el tiempo de vaciado. Se debe medir el tiempo que demora en avanzar 1 cm a lo largo del recipiente. 3.2.3. Repetir el paso anterior con el fin de tener un duplicado de tiempo en segundos, para mayor precisión en el tratamiento de datos. 3.2.4. Ver Figura 3.1. 3.3. Determinar el primer estado estacionario 3.3.1. Con el recipiente tapado (sin salida de líquido) se llena hasta unos 6 cm que corresponde a la mitad de la altura. 3.3.2. Abrir la llave de paso que alimenta el estanque y junto con la tapa del estanque. 3.3.3. Regular de forma manual la llave del grifo hasta conseguir que el nivel de líquido al interior no sea mayor a la mitad del recipiente. 3.3.4. Con el sistema constante, medir la temperatura del líquido con el sensor de temperatura calibra de la experiencia anterior, evitando que el sensor toque las paredes del recipiente. 3.3.5. Registrar la temperatura del flujo constante. 3.3.6. Ver Figura 3.2. 3.4. Perturbación 3.4.1. Una vez ejecutados los pasos de los puntos 3.2 y 3.3, agregar al sistema de flujo constante un volumen de aproximadamente 1/3 del contenido al interior del recipiente. El volumen que se agrega debe estar a 100°C. 3.4.2. Medir en todo momento el tiempo y temperatura del sistema, desde que se agrega el agua caliente hasta que el sistema no presente cambios durante mínimo 5 min. 3.4.3. Registrar datos de tiempo y temperatura. 3.4.4. Ver figura 3.3. Figura 3.1. Montaje del sistema Figura 3.2. Sistema en estado estacionario. Figura 3.3. Perturbación del sistema. IV. RESULTADOS A continuación, se presentan los resultados obtenidos en la experiencia de modelos dinámicos. Experimental Para obtener el valor de la constante de vaciado se realiza un balance de masa al sistema, del cual se obtiene: √ℎ𝑡 + 𝑎 = −𝐾𝑡 ∙ 𝑡 + √ℎ0 + 𝑎 2 ∙ 𝐴𝐸 (𝑒𝑐. 1) La ecuación 1, corresponde a una ecuación lineal donde la constante de vaciado se encuentra contenida en la pendiente. Por ello, se grafican los datos registrados para el vaciado del sistema. 0,40 0,35 0,30 √(h+a) 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 tiempo [s] Figura 4.1. Nivel en función del tiempo. Tabla 4.1. Parámetros de linealización. Ecuación de Recta 𝑌 = −0,0036𝑋 + 0,3544 Coeficiente de Correlación 𝑹𝟐 0,996 Desde la pendiente de la ecuación de recta mostrada en la Tabla 4.1. se obtiene el valor de constante de vaciado (𝐾𝑡 ). Tabla 4.2. Constante de vaciado del sistema. 𝐾𝑡 [ 𝑚2,5 ] 𝑠 2,06 ∙ 10−4 Se determina el caudal de entrada al sistema que permite tener un nivel no mayor a la mitad del recipiente, es decir, a una altura h = 0,06 [m]. Se plantea en estado estacionario. Tabla 4.3. Caudal y Temperatura del primer estado estacionario. 𝑚2 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 (𝑄1 ) [ ] 𝑠 5,043 ∙ 10−5 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 [°𝐶] 19,06 Al provocar una perturbación sobre el sistema, se determina el tiempo requerido para volver al estado estacionario. Tabla 4.4. Tiempo para volver al estado estacionario. 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 [𝑠] 205,2 Formulación de modelos dinámicos Para el desarrollo de los modelos dinámicos se plantean los siguientes balances: Balance de masa: 𝜕𝑚 = 𝑊𝑒 − 𝑊𝑠 𝜕𝑡 Definición de flujo: 𝑊 = 𝑄𝜌 Balance de energía mecánica (BEM): ∆𝑍 + ∆𝑉 2 ∆𝑃 𝐸𝑣 + + =𝑊 2𝑔 𝜌𝑔 𝑔 Balance de energía: 𝜕𝐻 = 𝐻𝑒 − 𝐻𝑠 𝜕𝑡 Definición de entalpía: 𝐻 = 𝑚𝐶𝑝 (𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓 ) Del tratamiento algebraico de los balances se obtienen: Modelo Dinámico de Nivel: 𝐴𝑒 𝜕ℎ = 𝑄𝑒 − 𝐾𝑡 ∙ √ℎ + 𝑎 𝜕𝑡 Modelo Dinámico de Temperatura: 𝜕𝑇 𝑄𝑒𝜌19°𝐶 (𝑇1 − 𝑇) = 𝜕𝑡 𝐴𝑒 ∗ ℎ ∗ (−0.0045𝑇 2 − 0.0174𝑇 + 999.84) Funciones de transferencia Para obtener las funciones transferencia de cada modelo se deben linealizar. Se plantean en estado estacionario, formando la variable desviación y aplicando Transformada de Laplace. Modelo dinámico de Nivel en el plano de Laplace: ℎ′ (𝑠) = 1 𝛽 𝛼𝑒 𝐴 ( 𝑒 𝑠 + 1) 𝑠 𝛽 Modelo Dinámico de Temperatura en el plano de Laplace: 𝑇 ′ (𝑠) = 1 𝛽𝑒 𝑉 (𝑄 𝑠 + 1) 𝑠 𝑒 Aplicando antitransformada de Laplace, se obtiene: Función de transferencia Modelo Dinámico de Nivel: ℎ′ (𝑡) = 𝛽 1 −𝑡 𝛼𝑒 (1 − 𝑒 𝐴𝑒 ) 𝛽 Función de transferencia Modelo Dinámico de Temperatura: 𝑄𝑒 𝑇 ′ (𝑡) = 𝛽𝑒 (1 − 𝑒 −𝑡 𝑉 ) A continuación, se compara el comportamiento experimental y simulado del sistema Utilizando herramienta Excel para el comportamiento experimental se obtiene la Figura 4.2 Figura 4.2. Nivel en función del tiempo (experimental) Utilizando herramienta Simulink de Matlab para el comportamiento simulado, se obtiene la Figura 4.5. Figura 4.5. Nivel en función del tiempo (simulado) Es posible observar de las figuras anteriores que, corresponden a como varía el nivel de líquido para un estanque que se vacía por gravedad. La Figura 4.4 muestra la parte inicial de la Figura 4.5, la cual es una línea recta con pendiente negativa. Al simular el comportamiento experimental y obtener una curva de vaciado similar a la que se obtuvo de la toma de datos experimentales, se puede comprobar cómo se comporta el sistema si se lleva a cabo en un período de tiempo más largo. Por ello, la curva de la Figura 4.5 tiende a cero en valores de nivel. A continuación, se muestra cómo se comporta el sistema frente a la perturbación Utilizando la herramienta Simulink de Matlab se obtienen las Figuras 4.6 y 4.7. Figura 4.6. Comportamiento del Nivel frente a la perturbación. Figura 4.7. Comportamiento de Temperatura frente a la perturbación. Como se puede observar en las figuras anteriores, una vez provocada la perturbación sobre el sistema, este busca volver al equilibrio. Así, según la simulación, se requieren 600 [s] en el caso del nivel, para volver al estado estacionario y 200 [s] en el caso de la temperatura. Los valores de estado estacionario que se desean alcanzar son, 0,06 [m] de nivel y 19°C. V. CONCLUSIONES Se obtuvo la constante de vaciado de forma experimental. Además del caudal de entrada de necesario para mantener el nivel a la mitad de la altura del estanque y su temperatura. Se formularon y plantearon los modelos dinámicos de nivel y temperatura para el estanque que vacía por gravedad. El tiempo que tarda el sistema experimental en volver al estado estacionario, se comprueba con el modelo simulado y tarda aproximadamente 200 [s] en alcanzar una temperatura de 19°C. En cambio el nivel, tarda 600 [s] en alcanzar el estado estacionario. VI. REFERENCIAS Sistemas Dinámicos Lineales Introducción. (2020, 27 febrero). Control Automático Educación. https://controlautomaticoeducacion.com/sistemas-dinamicos-lineales/modelos-dinamicoslineales/ Reyes, A. (s. f.). Escurrimiento de fluidos - Alejandro Reyes.pdf. Scribd. Recuperado marzo de 2021, de https://es.scribd.com/document/407772945/Escurrimiento-de-fluidos-AlejandroReyes-pdf Tablas de densidades del agua líquida. recuperada el 5 de marzo del 2021. https://www.ugr.es/~elenasb/teaching/densidadtemperatura_agua_tabla.pdf ANEXOS MEMORIA DE CÁLCULOS