Matemática y su didáctica II Suma y resta Justificación del problema Según Broitman podemos encontrar diferentes clasificaciones a los significados de los problemas de suma y resta. Este tipo de problemas nos permiten ver que los alumnos, no solo deben resolver las diferentes cuentas de suma y resta, sino que además se debe lograr que ellos encuentren sentido del conocimiento matemático que involucra: la suma y la resta las que incluye el dominio de diversas estrategias de cálculo, como el reconocimiento del campo del problema que se resuelven en dichas operaciones. Así la construcción del conocimiento irá variando, evolucionando y cambiando en un momento y en distintas situaciones, donde el alumno podrá pensar qué sentidos de las operaciones se están propiciando a raíz de los problemas planteados, los procedimientos a utilizar, identificando de manera autónoma cuáles pueden resolverse sumando, cuáles restando y cuáles con ambas operaciones. Así el alumno encontrará una manera de representar matemáticamente los problemas y podrá desplegar diferentes procedimientos o recursos para llegar a la respuesta La construcción del sentido por parte de los alumnos implicará que resuelvan situaciones próximas a su entorno, en las cuales funcionen las sumas y restas. Seguramente a través del análisis se desarrollarán diferentes formas y procedimientos de cálculo a partir de los conocimientos que los alumnos dispongan, hasta llegar a estrategias más elementales con recursos cada vez más elaborados y económicos. Los problemas de estructura aditiva son todos aquellos para cuya resolución intervienen sumas y restas. VERGNAUD PROPONE UNA CLASIFICACION Significado del problema Se puede clasificar las diferentes relaciones aditivas en seis categorías: 1_ composición de dos medidas: nos presentan medida de ambas colecciones y el resultado será una composición de medidas a partir de ellos podemos encontrar dos tipos de problemas. a- Si la incógnita se encuentra en alguna de las medidas. Laura y Malena tienen juntas 11 figuritas. Si Laura tiene 5 ¿Cuántas tiene Malena? Estos problemas se pueden resolver por resta o conteo. Problema más complejo: Laura y Malena tienen las dos $159. Si Laura tiene 46, ¿Cuánto tiene Malena? Abordar este tipo de problemas implicará trabajar a partir de procedimientos de conteo y de suma para que en otros problemas con números más grandes los niños puedan reconocer que se resuelven con una resta. b- Si el problema tiene la incógnita en el total: Laura tiene 5 figuritas y malena 6 ¿Cuántas tienen entre las dos? En este tipo de problemas no encontramos para los alumnos una gran dificultad, incluso en el inicio de la escolaridad primaria. Es uno de los primeros sentidos de la suma que reconocen los alumnos. 2_Una transformación opera sobre una medida. Se encuentran seis tipos de problemas según donde sea la transformación y el lugar de la incógnita. a- Transformación positiva. Incógnita en el estado final. Laura tiene 5 figurita y gano 6 ¿Cuántas tiene ahora? En este caso el sentido de la suma no es compleja para los niños, el clásico sentido de la suma como agregar fácilmente es reconocido como un problema que se resuelve con suma, rápidamente. b- Transformación positiva. Incógnita en el estado inicial. Carlos tiene 1150 bolillas, en el recreo gano 10 bolillas ¿Cuántas bolillas tiene ahora? La búsqueda del estado inicial en muchos alumnos es más compleja que la búsqueda del estado final, ya que implica un cambio temporal. En este problema se precisará que el alumno reconstruya la situación para interpretar y comprender que había en la colección, mostrando un sentido más complejo de la resta. c-Transformación positiva. Incógnita en la transformación. Carlos tiene al comenzar el año 250 bolillas, ahora tiene 3050 ¿Cuánto gano en los recreos a lo largo del año? En este tipo de problemas muchos alumnos confunden el estado final con la transformación, tienen dificultad de reconocer que se está preguntando. Se trata de un problema a resolver con resta, aunque esto no será evidente para algunos niños. d-Transformación negativa. Incógnita en el estado final. Laura tiene 6 figuritas perdió 3 ¿Cuántas tiene ahora? El sentido de la resta involucrado en estos tipos de problemas es uno de los primeros en ser construidos por los alumnos. e-Transformación negativa. Incógnita en el estado inicial. Laura perdió 3 figuritas y ahora le quedan 6 ¿Cuántas tenía antes de jugar? En este tipo de problemas se trata de utilizar la suma en un problema de perder, dándole a esta operación un nuevo sentido: permite averiguar estados iniciales en problemas de transformaciones negativas. f-Transformación negativa. Incógnita en la transformación. Laura tenía 6 figuritas y luego de jugar se quedó con 2 ¿Cuántas perdió jugando? En este problema la dificultad se presenta en que en los niños en más difícil encontrar una transformación que un estado final, ya que es difícil, reconstruir la situación y determinar que sucedió en el medio. 3_una relación entre dos medidas. La situación es que vinculan dos medidas, pueden variar de la siguiente manera. Variación en el lugar de la incógnita. - Laura tiene 7 figuritas y malena 6 figuritas mas ¿Cuántas tiene Malena? - Laura tiene 7 figuritas, malena tiene 13 ¿Cuántas más tiene que Laura? Variación en el modo de explicar la relación (más que o menos que) Estos problemas, también llamado de comparación, presentan en muchos casos una exigencia de mayor elaboración conceptual para los alumnos. El obstáculo o reside en las operaciones a trabajar sino en la comprensión del mismo. 4_Dos transformaciones que se componen para dar lugar a otra transformación. a- Incógnita en la composición. Transformaciones negativas. Laura perdió primero 6 figuritas, luego 3 figuritas ¿Cuántas perdió en total? En este tipo de problemas los alumnos quieren saber cuál es el estado inicial, y ahí se presenta el conflicto, porque no saben cómo se puede perder algo que no se tiene, otra confusión es que no logran comprender si es un problema de perder, se resuelve a través de una suma. b- Incógnita en una de las transformaciones. Transformación negativa. Laura en el primer partido 6 figuritas. Entre el primero y segundo partido 9 ¿Cuántas perdió en el segundo partido? A los alumnos suele resultarles más complejos hallar una transformación, que la composición de ambas. Este tipo de problemas exige un abordaje específico a partir de la resolución de varios problemas similares y la reflexión sobre los mismos, otorgando un nuevo sentido a la resta. c- Incógnita en la composición. Transformaciones positivas. Laura gano en el primer partido 6 en el segundo 3 ¿Cuántas gano en total? No se suelen presentar dificultades, pues solo se debe sumar dos números positivos d- Incógnita en una de las transformaciones. Transformación positiva. (Crear un problema) Aquí los alumnos no logran determinar qué deben averiguar, y además existe una contradicción por tratarse de un problema de transformación positiva, que debe ser resuelto con una resta. Estas operaciones en la clase surgen como un trabajo colectivo, con problemas similares, partiendo de los más sencillo a los más complejos. e- Incógnita en la composición. Una transformación positiva y una negativa. (Crear un problema) Los alumnos exigen en estos casos conocer el estado inicial, para evaluar las posibilidades, además también la dificultad se encuentra en que se deben trabajar una suma y una resta consecutiva para resolver la s ituación. Estos problemas deben ser trabajados en forma grupal, planteando diferentes situaciones más simples, luego más complejas, hasta llegar a la comprensión de la resolución. f- Incógnita en la transformación. Una transformación positiva y una negativa. En este caso se incrementa la dificultad, ya que la operación y el valor de la operación de la transformación total dependen de la magnitud de los valores de las transformaciones. La operación para resolver el problema es simple, pero el problema carga con una dificultad en la comprensión, ya que se den compensar las ganancias y pérdidas. 5_una transformación opera un estado relativo. En el interior de este tipo de problemas se pueden plantearse diferentes situaciones, según si la transformación es negativa, positiva, si se trata de determinar el estado final, el inicial o la transformación que se ha operado. Laura le debe 6 figuritas a Malena. Le devuelve 4 ¿Cuántas le debe ahora? 6_dos estados relativos se componen para darle lugar a otro estado relativo. Laura le debe 6 figuritas a Malena, pero Malena le debe 3 a Laura. ¿cuántas entonces le debe Malena a Laura? En este caso dos estados relativos se componen para dar lugar a un nuevo estado relativo, pueden compensarse, o complementarse entre ellos, pero no se sabe el momento en que sucede cada estado. Existe simultaneidad de las situaciones.
