Integración por sustitución trigonométrica

Integración por sustitución trigonométrica
Integrandos que incluyen √𝑎2 − 𝑥 2 , √𝑎2 + 𝑥 2 y √𝑥 2 − 𝑎2 .
Para racionalizar estas tres expresiones podemos suponer que a es positiva y
hacer las siguientes sustituciones:
Caso
√𝑎 2 − 𝑢 2
Cambio
u= asen θ
Diferencial
du=acos θ dθ
Transformación
√𝑎2 − 𝑢2 = acosθ
Triángulo
a
θ
u
√𝑎 2 − 𝑢 2
√𝑢 2 + 𝑎 2
u= a tan θ
2
du=a𝑠𝑒𝑐 θ dθ
√𝑢2 + 𝑎2 = asecθ
θ
u
a
√𝑢 2 − 𝑎 2
u= asec θ
du=asecθtanθdθ
u
√𝑢2 − 𝑎2
= 𝑎𝑡𝑎𝑛𝜃
√𝑢2 − 𝑎2
θ
a
Caso I. √𝑎2 − 𝑢2
Ejemplo: Encuentre ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥
θ𝑠𝑒𝑛−1 𝑎
← x = a sen θ
dx= a cosθ dθ
√𝑎2 − 𝑥 2 = a cosθ
∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
= ∫(𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑥) (𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ) 𝑑𝜃
a
= 𝑎2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 θ dθ
= 𝑎2 ∫
( 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)
2
x
θ
dθ
√𝑎2 − 𝑥 2
𝑎2
𝑎2
= 2 ∫ dθ =
=
=
=
𝑎2
θ -
2
𝑎2
θ -
2
𝑎2
θ -
2
𝑎2
2
2
𝑎2
∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑧
2
𝑎2
𝑎2
𝑎2
𝑥
𝑠𝑒𝑛−1 𝑎 -
𝑎2
2
dz= 2 dθ
𝑑𝑧
=
2
dθ
𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 + 𝐶
2
𝑥
= 2 𝑠𝑒𝑛−1 𝑎 =
z= 2θ
2
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑧 dz
4
𝑎2
𝑑𝑧
4
𝑎2
𝑥
4
𝑠𝑒𝑛−1 𝑎 -
(2 sen θ cos θ ) + C
𝑥
(𝑎.
√𝑎2 − 𝑥 2
𝑎
𝑥 √𝑎2 − 𝑥 2
2
)
+C
Ejemplo 2 :
𝑥2
Evaluar
𝑎2 = 9
∫ √9− 𝑥 2 𝑑𝑥
a= 3
x= 3 sen t
dx = 3 cos t dt
3
√9 − 𝑥 2 =3 cos t
𝑥
t = 𝑠𝑒𝑛−1 3
𝑥2
∫ √9− 𝑥 2 𝑑𝑥
=
(3 𝑠𝑒𝑛𝑡)2
3 𝑐𝑜𝑠𝑡
. 3 cos t dt
= 9 ∫ 𝑠𝑒𝑛 2 𝑡 𝑑𝑡
= 9 ∫( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 ) 𝑑𝑡
= 9 ∫ 𝑑𝑡 − 9 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 tdt
√9 − 𝑥 2
x
=9 t–9∫
( − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡)
2
9
9
= 9 t - 2 ∫ 𝑑𝑡 +
9
=9t-2 t +
=9t +
9
9
2
2
∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑧
z= 2t
𝑑𝑧
dz= 2 dt
2
𝑑𝑧
=
2
sen 2t + C
4
9
𝑥
9
= 2 𝑠𝑒𝑛−1 3 +
9
4
𝑥
9
= 2 𝑠𝑒𝑛−1 3 +
9
dt
𝑥
24
dt
(2 sen t cos t ) + C
𝑥
(2.(3.
√9− 𝑥2
3
)+C
𝑥
=2 𝑠𝑒𝑛−1 3 + 2 √9 − 𝑥 2 + C
Ejemplo 3:
∫
√1− 𝑥 2
𝑥
dx
Sea x = 1 sen t
dx= cos t dt
𝑐𝑜𝑠 𝑡
= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 cost dt
=∫
√1 − 𝑥 2 = cos t
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡
=∫
x
𝑠𝑒𝑛 𝑡
(1 −𝑠𝑒𝑛2 𝑡) 𝑑𝑡
√1 − 𝑥 2
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑡
= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 - ∫
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑡
dt
=∫ 𝑐𝑠𝑐𝑡 𝑑𝑡 - ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡
= ℒn |cscu + cotu| + cost + C
1
= ℒn | 𝑥 +
= ℒn |
√1− 𝑥 2
𝑥
1 + √1− 𝑥2
𝑥
|+ √1 − 𝑥 2 + C
| + √1 − 𝑥 2 + C