X3-SM conjuntos numéricos, sistema de los números reales, desigualdades e intervalos

CONJUNTOS NUMÉRICOS, SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES, DESIGUALDADES E
INTERVALOS
I. CONJUNTOS NUMÉRICOS. A continuación, mostramos los distintos conjuntos numéricos que
serán estudiados en nuestro curso:}
-
El conjunto de los números naturales
ℕ = {0, 1, 2, 3, … }
-
El conjunto de los números enteros
ℤ = {… , −2, −1, 0, 1, 2, … }
-
El conjunto de los números racionales
𝑚𝑚
ℚ = �� � /𝑞𝑞 ≠ 0 ∧ {𝑚𝑚, 𝑛𝑛} ⊂ ℤ�
𝑛𝑛
-
El conjunto de los números irracionales
𝐼𝐼 = {𝑝𝑝 / 𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛𝑛}
-
El conjunto de los números reales
ℝ = ℚ ∪ 𝐼𝐼
-
El conjunto de los números complejos
ℂ = �𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏/ 𝑎𝑎 ∈ ℝ , 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑖𝑖 = √−1�
II. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES. El sistema de los números reales es el conjunto ℝ
provisto de dos operaciones adición (+) y multiplicación (•), una relación de orden (<) que se lee
menor que y de un axioma llamado axioma del supremo. El sistema de los números reales se
denota con (ℝ, +, •, <), pero por simplicidad se usa la notación ℝ. Además, a cada elemento 𝑥𝑥 ∈
ℝ se le llama número real.
Adición y multiplicación de números reales. La adición y multiplicación de números reales son
dos operaciones en ℝ que satisfacen los siguientes axiomas:
A1 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ∈ ℝ (clausura)
A2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ (conmutatividad)
A3 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐), ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ (asociatividad)
A4 Existe el número real cero denotado por 0, tal que 𝑎𝑎 + 0 = 𝑎𝑎 ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ (elemento neutro)
A5 Para cada número real 𝑎𝑎 existe un número real llamado opuesto de 𝑎𝑎 y es representado por
-a y es tal que 𝑎𝑎 + (−𝑎𝑎) = 0 (elemento opuesto)
M1 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎𝑎. 𝑏𝑏 ∈ ℝ (clausura)
M2 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏, ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ (conmutatividad)
M3 (𝑎𝑎𝑎𝑎)𝑐𝑐 = (𝑎𝑎)(𝑏𝑏𝑏𝑏 ), ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ (asociatividad)
M4 Existe el número real uno, denotado por 1, tal que 𝑎𝑎. 1 = 𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ (elemento neutro)
M5 Para cada número real 𝑎𝑎 diferente de 0, existe un número real llamado inverso de 𝑎𝑎 y se
1
1
denota por 𝑎𝑎−1 o y es tal que 𝑎𝑎. 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎. � � = 1 (elemento inverso)
𝑎𝑎
𝑎𝑎
D 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎, ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℝ (distributividad)
Relación de orden. La relación de orden de ℝ se denota “<” y se lee menor que. Esta relación de
orden tiene las siguientes propiedades:
𝑖𝑖) Si 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ 𝑏𝑏 < 𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐 ∀{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐} ⊂ ℝ
𝑖𝑖𝑖𝑖) Si 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ∀{𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐} ⊂ ℝ
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Si (𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ 𝑐𝑐 > 0) ⇒ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑏𝑏
Axioma del supremo. Todo subconjunto no vacío, acotado superiormente, 𝐵𝐵 ⊂ ℝ posee
supremo 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆(𝐵𝐵) ∈ ℝ
III. DESIGUALDADES. Son expresiones que indican que un número es mayor o menor que otro.
Definiciones
𝑖𝑖) 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ⇔ (𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏)
𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ⇔ (𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏)
Propiedades
1. 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0 ⇔ 𝑎𝑎 = 0 ∨ 𝑏𝑏 = 0
2. Si 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 ∧ 𝑐𝑐 ≠ 0 ⇒ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏
3. 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐𝑐 ⇔ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ 𝑏𝑏 < 𝑐𝑐
4. 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ 𝑐𝑐 < 𝑑𝑑 ⇒ 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑
5. 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ⇔ −𝑎𝑎 > −𝑏𝑏
6. 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 ∧ 𝑐𝑐 < 0 ⇒ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑏𝑏
7. 𝑎𝑎 ≠ 0 ⇔ 𝑎𝑎2 > 0
8. 𝑎𝑎2 ≥ 0, ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ
9. Si 0 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ 0 ≤ 𝑐𝑐 < 𝑑𝑑 ⇒ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑏𝑏
10. Si 𝑎𝑎 > 0, entonces 𝑎𝑎−1 > 0. Si 𝑎𝑎 < 0, entonces 𝑎𝑎−1 < 0
11. Si 0 < 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏, entonces 𝑎𝑎−1 > 𝑏𝑏 −1 > 0. Si 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 < 0, entonces 0 > 𝑎𝑎−1 > 𝑏𝑏 −1
12. 𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0 ⇔ [(𝑎𝑎 > 0 ∧ 𝑏𝑏 > 0) ∨ (𝑎𝑎 < 0 ∧ 𝑏𝑏 < 0)]
13. 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 0 ⇔ [(𝑎𝑎 < 0 ∧ 𝑏𝑏 > 0) ∨ (𝑎𝑎 > 0 ∧ 𝑏𝑏 < 0)]
14. Si 𝑎𝑎 > 0 y 𝑏𝑏 > 0, entonces
𝑎𝑎+𝑏𝑏
2
≥ √𝑎𝑎𝑎𝑎 (la media geométrica de dos números reales
positivos no es mayor que la media aritmética de los mismos números positivos)
1
15. ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ+ , 𝑎𝑎 + ≥ 2
𝑎𝑎
1
16. ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ− , 𝑎𝑎 + ≤ −2
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑐𝑐
17. Sean ({𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 } ⊂ ℝ+ / < ) ⇒
𝑏𝑏
𝑑𝑑
18. 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = 0 ⇔ 𝑎𝑎 = 0 ∧ 𝑏𝑏 = 0
𝑎𝑎
𝑏𝑏
<
𝑎𝑎+𝑐𝑐
𝑏𝑏+𝑑𝑑
<
𝑐𝑐
𝑑𝑑
19. 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏 2 ⇔ 𝑎𝑎 = 0 ∨ 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏
20. Si 𝑏𝑏 ≥ 0, entonces 𝑎𝑎2 > 𝑏𝑏 ⇔ 𝑎𝑎 > √𝑏𝑏 ∨ 𝑎𝑎 < −√𝑏𝑏
21. Si 𝑏𝑏 > 0, entonces 𝑎𝑎2 < 𝑏𝑏 ⇔ −√𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < √𝑏𝑏
22. 𝑖𝑖) Si 𝑎𝑎 > 0, 𝑏𝑏 > 0 ∧ 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎2 < 𝑥𝑥 2 < 𝑏𝑏 2
𝑖𝑖𝑖𝑖) Si 𝑎𝑎 < 0, 𝑏𝑏 < 0 ∧ 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎2 > 𝑥𝑥 2 > 𝑏𝑏 2
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑎𝑎 < 0, 𝑏𝑏 > 0 ∧ 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 ⇒ 0 ≤ 𝑥𝑥 2 < 𝑚𝑚á𝑥𝑥{𝑎𝑎2 , 𝑏𝑏 2 }
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑖𝑖𝑖𝑖) Si 0 < 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ∧ 0 < 𝑐𝑐 < 𝑑𝑑 ⇒ 0 < <
𝑑𝑑
𝑐𝑐
IV. INTERVALOS. Son subconjuntos de los números reales.
Tipos
1. Intervalos acotados. Sus extremos son finitos.
Intervalo cerrado:
Intervalo abierto:
Intervalos semiabiertos:
2. Intervalo no acotado. Al menos uno de sus extremos es infinito.
Ejercicios
1. (CEPRE UNMSM 2020-I)
Dados los tres conjuntos 𝑀𝑀 = ⟨−24, −5] ∪ [3, 14⟩ ∪ {18}, 𝑁𝑁 = ⟨−17, −2⟩ ∪ [5, 20] y 𝑃𝑃 =
⟨−12, 8⟩ ∪ [12, 19] ∪ {−15}, el profesor Enrique propone a sus estudiantes de su clase hallar la
suma de los elementos enteros de (𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁) − 𝑃𝑃 . Si los estudiantes Hugo, Paco y Luis participan
respondiendo: – 18, – 13 y – 17 respectivamente, ¿cuál de los tres estudiantes entregó la
respuesta correcta al profesor Enrique?
A) Hugo
B) Paco
C) Luis
D) Ninguno de los tres
2. (CEPRE UNMSM 2020-I)
El fondista peruano Cristhian Pacheco campeón Panamericano 2019, se alista para competir en
los Juegos Olímpicos de Tokio 2020, corriendo los fines de semana la longitud de (𝑀𝑀 ∪ 𝑁𝑁) ∩
(𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁)𝐶𝐶 en kilómetros, donde:
𝑀𝑀 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ/−2 < 𝑥𝑥 − 3 < 4} y 𝑁𝑁 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ/−3 < 5 − 2𝑥𝑥 < 7},
¿cuántos kilómetros corre el fondista Pacheco cada fin de semana?
A) 5 km
B) 7 km
C) 4 km
D) 3 km
3. (CEPRE UNMSM 2020-I)
Dado el conjunto 𝑀𝑀 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ/𝑥𝑥 ≥ 2 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ≤ 6}, el número de gallinas que quiere comprar
Pedro equivale numéricamente a la longitud del conjunto real 𝑇𝑇 = {3𝑥𝑥 + 2/𝑥𝑥 ∈ 𝑀𝑀} y el precio
de cada gallina (en soles) es la longitud del intervalo 𝑆𝑆 = {5𝑥𝑥 − 3/𝑥𝑥 ∈ 𝑀𝑀}. Halle el costo total
que deberá pagar Pedro por todas las gallinas que compra.
A) 240 soles
B) 220 soles
C) 200 soles
D) 280 soles
4. (CEPRE UNMSM 2020-I)
Dados los conjuntos:
𝑀𝑀 = {(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 1) ∈ ℝ/−2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4} y 𝑁𝑁 = �
3𝑥𝑥−2
𝑥𝑥−2
∈ 𝑅𝑅/𝑥𝑥 > 3�
Determine la cantidad de elementos enteros de 𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁.
A) 6
B) 14
C) 0
D) 3
5. (CEPRE UNMSM 2017-II)
Determine la suma de los elementos enteros de la intersección de los conjuntos 𝑀𝑀 =
�
2𝑥𝑥+3
𝑥𝑥−6
∈ ℝ/−2 < 𝑥𝑥 ≤ 5� y 𝑁𝑁 = {𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4 ∈ ℝ/−5 < 𝑥𝑥 ≤ 2}
A) – 23
B) – 17
C) – 15
D) 0
E) 5
Ejercicios propuestos
1. (CEPRE UNMSM 2020-II)
Si 𝑃𝑃 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ− /(𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 2 ≥ 4(𝑥𝑥 − 1)} y 𝐿𝐿 = ⟨−1, 0] ∪ {−2}, determine 𝑃𝑃 − 𝐿𝐿.
A) ⟨−1, 0⟩
B) ⟨−2, −1⟩
C) [−2,1]
D) ⟨−2, −1]
2. (CEPRE UNMSM 2020-II)
Dados 𝑊𝑊 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ/ 2𝑥𝑥 − 1 < 𝑥𝑥 + 2 ≤ 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1} y 𝑇𝑇 = �
determine el número de elementos enteros de 𝑊𝑊 ∩ 𝑇𝑇.
A) 1
B) 2
3𝑥𝑥−1
𝑥𝑥−2
∈ ℝ/−3 < 𝑥𝑥 < 1�,
C) 3
D) 4
3. (CEPRE UNMSM 2019-I)
Dados los conjuntos 𝑇𝑇 = {(𝑥𝑥 2 − 6) ∈ ℝ/ 𝑥𝑥 ∈ ⟨−4, −2⟩} y 𝑊𝑊 = �
6𝑥𝑥
𝑥𝑥 2 +1
∈ ℝ/𝑥𝑥 ∈ ℝ+ �. Halle la
suma de los cuatro menores elementos enteros positivos del complemento de (𝑇𝑇 − 𝑊𝑊).
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 13
4. (CEPRE UNMSM 2017-I)
Si 𝑀𝑀 = [−4, 7⟩ y {2𝑥𝑥 − 3/ 4 < 𝑥𝑥 ≤ 9}, halle la longitud de uno de los intervalos del conjunto
(𝑀𝑀 − 𝑁𝑁) ∪ (𝑁𝑁 − 𝑀𝑀).
A) 2
B) 5
C) 7
D) 9
E) 12
5. (CEPRE UNMSM 2017-I)
Dados los conjuntos 𝑀𝑀 = {𝑥𝑥 + 2/ 3𝑥𝑥 + 6 ≥ 0 ∧ 2𝑥𝑥 − 4 ≤ 8} y 𝑁𝑁 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ/𝑥𝑥 2 > 16},
determine la suma de los elementos enteros de 𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁.
A) 28
B) 27
C) 26
6. Dados los conjuntos 𝑀𝑀 = �𝑥𝑥 ∈ ℝ/
D) 25
3−𝑥𝑥
−2
≤ 𝑥𝑥 − 1 ∧
determine la suma de los elementos enteros de N.
A) 40
B) 50
C) 55
D) 45
E) 20
−1
2
1
≥ � y 𝑁𝑁 = {𝑥𝑥 2 + 1 ∈ ℝ/𝑥𝑥 + 2 ∈ 𝑀𝑀},
𝑥𝑥
E) 108