Tangencias

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TANGENCIAS
Conceptos previos
Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia se encuentra situado sobre la recta que une los
dos centros.
Si una recta es tangente a una circunferencia en un
punto de tangencia, el radio que une el centro de la
circunferencia y el punto de tangencia es perpendicular
a la recta.
El radio de una circunferencia que une su centro con el
punto medio de de una cuerda cualquiera, es perpendicular a ella.
El centro de todas las circunferencias tangentes a dos
rectas que se cortan, están en la bisectriz del ángulo
que forman.
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PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÄNGULO
Baricentro
Es el centro de gravedad del triángulo, punto donde se
cortan sus tres medianas.
Incentro
Es el centro de la circunferencia inscrita y el punto de
corte de las tres bisectrices de los ángulos del triángulo.
Ortocentro
Es el punto de corte de las alturas del triángulo.
Se genera el triángulo órtico.
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Circuncentro
Es el centro de la circunferencia circunscrita y punto
de corte de las mediatrices de los lados del triángulo.
Trazado
Con regla y compás
Con escuadra y cartabón
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TANGENCIAS DADO EL RADIO
Tangentes a un recta
Tangentes exteriores a una circunferencia
Tangentes interiores
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Tres circunferencias tangentes exteriores
Tangentes a dos rectas que se cortan
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Tangente a una recta y que pase por un punto dado
Tangente a otra circunferencia y que pase por un punto dado
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Circunferencias exteriores tangentes a un recta y a otra circunferencia
Circunferencias interiores tangentes a un recta y a otra circunferencia
TANGENCIAS DADO EL PUNTO DE TANGENCIA
Circunferencia que pasa por un punto dado y es tangente a una recta conocido el
punto de tangencia
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Circunferencia que pasa por un punto dado y es tangente a una recta conocido el
punto de tangencia
Circunferencias tangentes a dos rectas dadas conocido un punto de tangencia
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Tangentes interiores y exteriores a tres rectas que se cruzan
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PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TANGENCIAS
Ejes radicales
Dilataciones
Dilataciones concéntricas
Dilataciones por Homotecia
Inversión
POTENCIA. EJES RADICALES. CENTRO RADICAL
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Es el valor constante del producto de los segmentos determinados sobre una secante que pasa
por un punto dado y los de intersección de la circunferencia.
Cuando el punto es exterior, su potencia es igual al cuadrado del segmento tangente PT2.
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Llamando d a la distancia del punto P al
centro O y r al radio de la circunferencia, se
obtiene:
si P es interior :
Pot P, C = r2 - d2
si P es exterior a la circunferencia:
Pot P, C = d2 - r2
Eje radical de dos circunferencias
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias.
Circunferencias Secantes
Cuando las circunferencias son secantes, el eje
radical es la recta que pasa por los dos puntos
de intersección.
Es la recta secante común a ambas, que pasa
por sus puntos de intersección.
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Tangentes
Si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la perpendicular común a ambas circunferencias, la tangente común a ambas.
Si las circunferencias son concéntricas, su eje radical es impropio.
No secantes ni tangentes
Cuando las circunferencias no se cortan, una forma de trazar el eje radical es con otra circunferencia
auxiliar secante a ambas dibujar dos circunferencias que corten a las dos circunferencias dadas y unir
los puntos de intersección.
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Centro radical de tres circunferencias
Se obtiene en la intersección de los ejes radicales correspondientes a dos pares.
Dadas tres circunferencias, si trazamos los ejes radicales de las circunferencias dos a dos, veremos que los tres ejes radicales se cortarán en un punto, que se llama centro radical de las tres
circunferencias.
Tangentes trazadas desde un punto perteneciente al eje radical
Si desde un punto P se trazan las tangentes, las longitudes de tangencia son iguales.
Cicunferencias secantes
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Circunferencias tangentes exteriores
Circunferencias tangentes interiors
Si los centros de las circunfrencias están alineados el centro radical sería impropio.
Tangentes trazadas desde el centro radical
Como el centro radical C tiene la misma potencia
respecto a las circunferencias, las longitudes de
tangentes son iguales.
También lo serán las trazadas a las circunferencias auxiliares.
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Si las circunferencias son tangentes
dos a dos
o dos pares
o un solo par,
las longitudes de las tangentes tambien son iguales.
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APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE TANGENCIAS
Se trata de hallar puntos de tangencia y la situación de los centros, para trazar las soluciones.
Circunferencias tangentes a otras dos, dado el punto de tangencia, sobre una de
ellas
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Circunferencias tangentes a una recta, que pasan por dos puntos dados
Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasan por un puntos dado
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Circunferencias tangentes a otra dada, que pasan por dos puntos
Exteriores
Interiores
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Circunferencias tangentes a otra y a una recta, dado el punto de tangencia sobre la
recta.
Circunferencias tangentes a otra en un punto dado de ella y a una recta dada.
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Circunferencias tangentes a otra y a dos rectas
Exteriores
Interiores
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Circunferencias con centro sobre una recta r, que pasan por un punto P de ella y son
tangentes a otra circunferencia dada
Circunferencias con centro sobre una recta, que pasan por un punto dado y son tangentes a otra circunferencia dada.
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DILATACIONES
Son construcciones que resuelven problemas de tangencias reduciendo a un punto una circunferencia dato para poder ser sustituida por otra análoga, pero más sencilla y que permiten una
solución sustitutoria, que resulta concéntrica u homotética a la definitiva.
DILATACIONES CONCÉNTRICAS
Rectas tangentes comunes a dos cicunferencias dadas
A. Exteriormente
Reduciendo la circunferencia menor al
punto O’ y restando su radio de la mayor,
el problema se reduce a trazar una tangente exterior a una circunferencia desde un
punto dado.
Por traslación y por simetría sobre OO’, se
encuentra la solución.
B. Interiormente
Se aplican procesos análogos que en la
anterior, pero teniendo en cuenta que
en este caso la dilatación es positiva.
La circunferencia auxiliar tiene por
radio R + r.
También por traslación y por simetría
sobre OO’, se encuentra la solución.
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Circunferencias tangentes a otra dada y a una recta dada en un punto de tangencia
de ella
A. Exteriormente
B. Interiormente
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Circunferencias tangentes a otra dos dadas, conocido el punto de tangencia en una
de ellas
A. Exteriormente
B. Interiormente
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DILATACIONES POR HOMOTECIA
La Homotecia está relacionada con la semejanza y la proporcionalidad.
Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasan por un punto dado
Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos dados
Los puntos están situados en el mismo semiplano
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En un triángulo dado, inscribir un conjunto de circunferencias tangentes y centros
alineados
En un triángulo dado inscribir un conjunto de dos circunferencias tangentes una mayor que otra
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INVERSIÓN
Concepto
Dos puntos (A, B) son inversos cuando se cumplen las siguientes condiciones:
1. Estar en línea recta con otro punto fijo O, llamado centro de inversión.
2. Que el producto de las distancias de los puntos al centro de inversión sea una cantidad constante K, llamada potencia de inversión:
OA ∙ OA’ = OB ∙ OB’ = K
Inversión Positiva
Inversión Negativa
Propiedades
Dos pares de puntos inversos son concíclicos, es decir, pertenecen a una misma circunferencia.
Partiendo de la definición de potencia de un punto respecto a una circunferencia se verifica que
si:
OA ∙ OA’ = OB ∙ OB’ = K
Los cuatro puntos pertenecen a la misma circunferencia.
Inversión Positiva
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Inversión Negativa
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CONSTRUCCIONES INVERSAS
Dados el centro de inversión, dos puntos homólogos y otro punto, hallar su inverso
Inversión Positiva
Trazar la circunferencia que pasa por AA’B para encontrar sobre ella y y en la recta OB la solución B’.
Inversión Negativa
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CIRCUNFERENCIA DE PUNTOS DOBLES
Es aquella que contiene los puntos que son inversos a sí mismos, es decir, aquellos que su distancia al centro de inversión es la raíz cuadrada de la potencia de inversión.
Si se verifica que:
(OT)2 = OA ∙ OA’ = K
La circunferencia de centro en O y radio OT = √K
contiene todos los puntos dobles.
ÁNGULOS IGUALES QUE SE FORMAN
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RECTA Y CIRCUNFERENCIA INVERSAS
La figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no
pasa por dicho centro y que es perpendicular a la recta que une el centro de la cicunferencia con
el centro de inversión.
La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por él y es homotética a la primera.
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POLO Y POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA
Asociados a la inversión están los conceptos de polo de una recta respecto de una circunferencia
y de polar de un punto respecto de una circunferencia:
Consideremos una circunferencia cualquiera, con centro un punto O.
La inversión con centro O es una transformación del plano.
Si P es un punto exterior a la circunferencia, trazamos una tangente PR a dicha circunferencia y
proyectamos R sobre la semirrecta OP para obtener el punto Q, el punto inverso de P.
De forma recíproca, si Q es un punto interior a la circunferencia, levantamos sobre OQ una perpendicular que corta a la circunferencia en R.
Ahora, una perpendicular a OR corta a la recta OQ en P.
Si O es el inverso de P:
A la perpendicular a OQ que pasa por P se le llama polar del punto Q
El punto Q es el polo de dicha recta.
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APLICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE TANGENCIAS
Circunferencia tangente a otra y a una recta
Exterior
Interior
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Circunferencia tangente a otra, a una recta y pasa por un punto
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