FORMULARIO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Fórmulas matemáticas
ÁLGEBRA
OPERACIONES ARITMÉTICAS
b
a+b
a
= +
c
c
c
a(b + c) = ab + ac
a
ad
b
c = bc
d
a
c
ad + bc
+ =
b
d
bd
EXPONENTES Y RADICALES
a m a n = a mn
am
= am–n
an
(ab) = a b
∙∙
n
n
n
m
an
a
= n
b
b
n
n
m
(a m) n = a mn
n
n
a –n =
n

ab = 
a 
b
mn
n


a =
a
a
 = 
a
∙b =
n
n
1
an
n
a m∙n = 
a m = (
a)
m
n

a
n

b
FACTORIZACIONES ESPECIALES
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-187 187
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 +ab + b2)
10/28/11 7:06:14 PM
188
Matemáticas VI
Cálculo integral
PRODUCTOS NOTABLES
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Teorema del binomio
(a + b) n =
donde
∙ 0∙ a + ∙ 1∙ a
n
∙ r ∙ = r!(n – r)!
n
n
n
n!
y
n–1
b+
∙ 2∙ a
n
x=
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-188 188
b – 4ac
–b ± 
2a
2
∙n – 1∙ ab
n
n–1
bn
n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙∙ (n – 1) n
FÓRMULA CUADRÁTICA
Si ax2 + bx + c = 0, la solución
para x es
b + ∙∙∙ +
n–2 2
VALOR ABSOLUTO
Para toda a > 0, entonces
∙ x∙ = a
significa que
x=a
∙ x∙ < a
significa que
–a < x < a
∙ x∙ > a
significa que
x>a
o
o
x = –a
x < –a
10/28/11 7:06:14 PM
Fórmulas matemáticas
189
GEOMETRÍA BÁSICA
FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTALES
Triángulos
1
1
Área = bh = ab sen θ
2
2
a
Sector de círculos
1
Área = r 2θ
s = rθ
2
Área = π r 2
Perímetro = 2π r
c
h
θ
Círculos
s
r
r
θ
b
r
Esfera
Cilindro
4
Volumen = π r 3
3
Área = 4π r 2
Cono
Área = 2π rh + 2π r
Volumen = π r 2h
2
1
3
Volumen = π r 2h
r
r
h
h
r
TRIGONOMETRÍA
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.
cateto2 + cateto2 = hipotenusa2
o
p
Hi
Cateto
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-189 189
a
a
us
n
te
b2 + c2 = a2
Cateto
c
b
10/28/11 7:06:19 PM
190
Matemáticas VI
Cálculo integral
SISTEMAS DE MEDIDAS
DE ÁNGULOS
180° = π radianes
s = rθ (θ medido en radianes)
r
s
θ
r
DEFINICIÓN DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
sen θ =
op
hip
cos θ =
ady
hip
tan θ =
op
ady
cot θ =
ady
op
x2 + y2 = 1
y
sen θ = = y
1
x
cos θ = = x
1
sen2 θ + cos2 θ = 1
θ
hip
csc θ =
op
LEYES DE SENOS Y COSENOS
Ley de senos. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos
a
b
c
=
=
sen A
sen B
sen C
Ley de cosenos. El coseno de un ángulo es igual a
la suma de los cuadrados de los lados que lo forman
menos el cuadrado del lado opuesto, todo dividido entre
dos veces el producto de los lados que lo forman
y
x
cos A =
b2 + c2 – a2
2bc
cos B =
a2 + c2 – b2
2ac
a2 + b2 – c2
cos C =
2ab
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-190 190
op
ady
hip
sec θ =
ady
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
1
θ
hip
B
a
c
C
b
A
10/28/11 7:06:22 PM
Fórmulas matemáticas
191
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y
y
y = senx
y = tanx
1
1
0
π
2π x
0
π
2π
0
x
y y = cotx
y = cosx
2π
x
y = cscx
y
1
1
0
π
1
1
y
y = secx
y
π
2π x
0
π
0
2π x
π
2π
x
1
1
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
sen2 θ + cos2 θ = 1
csc θ =
1
sen θ
cos θ = sen (90° – θ )
tan θ =
sen θ
cos θ
ctg θ =
sec2 θ = 1 + tan2 θ
tan θ = ctg (90° – θ )
cos θ
sen θ
sec θ =
csc2 θ = 1 + ctg2 θ
sen (–θ ) = –sen θ
1
cos θ
sen θ = cos (90° – θ )
cos (–θ ) = cos θ
tan (–θ ) = –tan θ
FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES
cos 2x = cos2 x – sen2 x = 2 cos2 – 1 = 1 – 2 sen2x
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-191 191
sen 2x = 2 sen x cos x
tan 2x =
2 tan x
1 – tan2x
10/28/11 7:06:26 PM
192
Matemáticas VI
Cálculo integral
FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS
sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y
sen (x – y) = sen x cos y – cos x sen y
tan (x + y) =
tan x + tan y
1 – tan x tan y
cos (x + y) = cos x cos y – sen x sen y
cos (x – y) = cos x cos y + sen x sen y
tan (x – y) =
tan x – tan y
1 + tan x tan y
FÓRMULAS DE MEDIO ÁNGULO
sen2 x =
1 – cos 2x
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
y = sen x
⇒ x = sen–1 y
y = cos x
⇒
y = tan x
⇒ x = tan–1 y
y = ctg x
⇒ x = ctg–1 y
y = sec x ⇒ x = sec–1 y
y = csc x
⇒
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-192 192
x = cos–1 y
x = csc–1 y
10/28/11 7:06:26 PM
Fórmulas matemáticas
193
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Distancia de A(x1, y1) a B(x2, y2)
División de un segmento AB en una razón r
r ≠1
(x
d = AB =
2
− x1
) +(y
2
2
− y1
)
2
x=
Punto medio r = 1
x1 + rx2
y + ry2
; y= 1
1+ r
1+ r
x=
x1 + x2
y + y2
; y= 1
2
2
B
B
B
P
A
A
A
Pendiente de la recta que pasa
por A(x1, y1) y B(x2, y2)
m=
PM
y2 − y1
x2 − x1
Ecuación de la recta que pasa
por P1(x1, y1) y pendiente m
Ecuación de la recta de
pendiente m y ordenada
en el origen b
y – y1 = m(x – x1)
y = mx + b
B
m
A
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-193 193
P(x1, y1)
(0, b)
m
10/28/11 7:06:32 PM
194
Matemáticas VI
Cálculo integral
CÍRCULOS
Ecuación del círculo con centro en (h, k) y radio r.
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
r
C (h, k)
Ecuación del círculo con centro en el origen y radio r.
x2 + y2 = r2
r
C
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-194 194
10/28/11 7:06:33 PM
Fórmulas matemáticas
195
CÁLCULO DIFERENCIAL
DEFINICIÓN DE DERIVADA
df ( x )
dx
punto
= lím
f ( x − h) − f ( x )
h→0
h
= mtan donde mtan es la pendiente de la tangente a f ( x ) en un
DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
d
c=0
dx
d
x =1
dx
d
d
cf ( x ) = c
f ( x)
dx
dx
d
d
d
d
 f ( x ) + g ( x ) − h ( x ) =
f ( x) +
g ( x) − h ( x)


dx
dx
dx
dx
dd
f f xx ⋅·⋅gg xx == f f xx gg  xx ++gg xx f f  xx

dx
dx
(( )) (( ))
(( )) (( )) (( )) (( ))
()
()
()
()
d n
du
u = nu n−1
dx
dx
() () () ()
()
g x f  x − f x g x
d f x
=
2
dx g x
g x 


Ciertos autores utilizan u = f x y v = g x , por tanto
du
dv
= f x y
= g x
dx
dx
()
()
DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
log a e d
d
u
log a u =
u dx
dx
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-195 195
d
1 d
ln u =
u
dx
u dx
d u
d
a = a u ln a u
dx
dx
d u
d
e = eu
u
dx
dx
10/28/11 7:06:40 PM
196
Matemáticas VI
Cálculo integral
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
d
d
senu = cos u u
dx
dx
d
d
cos u = −senu u
dx
dx
d
d
tan u = sec 2 u u
dx
dx
d
d
ctgu = − csc 2 u u
dx
dx
d
d
sec u = sec u tan u u
dx
dx
d
d
csc u = − csc uctgu u
dx
dx
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
d
1
d
arcsen u =
u
dx
1 − u 2 dx
d
1
d
arccos u = −
u
dx
1 − u 2 dx
d
1 d
arctan u =
u
dx
1 + u 2 dx
d
1 d
arcctg u = −
u
dx
1 + u 2 dx
d
1
d
arcsec u =
u
2
dx
dx
u u −1
d
1
d
arccsc u = −
u
2
dx
dx
u u −1
En la actualidad generalmente para escribir las funciones anteriores se utiliza la siguiente
notación
sen −1u , cos −1 u , tan −1 u , ctg −1u , sec −1 u , csc −1 u
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-196 196
10/28/11 7:06:48 PM
Fórmulas matemáticas
197
CÁLCULO INTEGRAL
DEFINICIÓN DE INTEGRAL
Integral definida
Integral indefinida
∫ f ( x ) dx = f ( x ) + C
∫ f ( x ) dx = F ( b) − F ( a )
b
a
INTEGRALES ELEMENTALES
∫ dx = x + C
n
∫ u dv =
u n+1
+ C , n ≠ −1
n +1
∫ e du = e
u
∫ sec
2
u
+C
udu = tan u + C
∫ cdu = c ∫ du
∫ ( du + dv − dw) = ∫ du + ∫ dv − ∫ dw
du
∫ u = ln u + C
u
∫ a du =
∫ sen udu = − cos u + C
∫ cosudu = sen u + C
∫ csc
∫ sec u tan udu = sec u + C
2
udu = −ctg u + C
au
+C
ln a
∫ csc u ctg udu = − csc u + C ∫ tan udu = ln sec u + C ∫ ctg udu = ln sen u + C
∫ sec udu = ln sec u + tan u + C
∫u
2
u
du
1
= arctan + C
2
a
a
+a
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-197 197
∫ csc udu = ln csc u − ctgu + C
∫u
2
du
1 u−a
ln
=
+C
2
2a u + a
−a
10/28/11 7:06:57 PM
198
Matemáticas VI
∫a
∫
∫
2
Cálculo integral
du
1 a+u
ln
=
+C
2
2a a − u
−u
du
u2 ± a2
(
)
= ln u + u 2 ± a 2 + C
u 2 ± a 2 du =
∫
u
= arcsen + C
a
a −u
∫
a 2 − u 2 dv =
(
du
2
2
u 2
a2
u
a − u2 +
arcsen + C
2
2
a
)
u 2
a2
u ± a 2 ± ln u + u 2 ± a 2 + C
2
2
INTEGRACIÓN POR PARTES
∫ udv = uv − ∫ vdu
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Expresión
Justificación
Sustitución
x = asenu
a2 − x 2
a
x
u
a 2 − x 2 = a cos u
a2 − x2
x = a tan u
a2 + x 2
x
a2 + x 2
u
a + x = a sec u
2
2
a
x = a sec u
x 2 − a2
Z03_JIMENEZ_MVI_xxxx_2ED_SE_187-198 198
x 2 − a 2 = a tan u
x
x 2 − a2
u
a
10/28/11 7:07:03 PM