Guia 17 Aplicaciones Derivadas (1)

U N IV E R S ID A D F IN IS T E R R A E .
CÁLCULO 1
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Pregunta 1
La ecuación de demanda de un producto es p = 12
en que se obtiene el máximo ingreso?
0; 01x2 : ¿Cuál es el precio
Pregunta 2
La función de demanda para un determinado artículo es p = 20e
x
10
(2:1) Encuentre el valor de p en que el ingreso es máximo para 0
x
20
(2:2) Encuentre el valor de p en que el ingreso es máximo para 0
x
5
Pregunta 3
La función de demanda de un determinado articulo es p = 200 2x y la función
de costo es C (x) = 200 + 4x: ¿En que nivel de producción se maximizará la
utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?
Pregunta 4
150
La ecuación de demanda de un determinado articulo es p = p y la función de
x
costo total es C (x) = 200+25x: ¿Cuál es el precio que dará la utilidad máxima?
¿Cuál es la utilidad máxima?
Pregunta 5
8000
La ecuación de demanda de un determinado artículo es p = p y la función
x
de costo promedio es
100
C (x) = 50 +
x
¿Cuál es el precio y el nivel de producción que dará la utilidad máxima?. Demuestre que en este nivel el ingreso marginal es igual al costo marginal.
Pregunta 6
Una empresa tiene capacidad de producir como máximo 15000 unidades al mes
de cierto producto. El costo total de producción Ct en miles de dólares por mer
responde a la expresión
Ct (q) =
q3
3
15 2
q + 36q + 81
2
1
donde q es el número de unidades producidas en miles de unidades por mes.
Determine la producción mensual de la empresa que minimiza el costo total
de producción y calcule el costo.
Pregunta 7
Un fabricante vende x artículos por semana a un precio unitario p que depende
de x; según la expresión
p (x) = 200 0; 01x
el costo total de producción de x artículos es
c (x) = 50x + 2000
Calcula el número de artículos que el fabricante debe producir para obtener
máxima ganancia y el correspondiente precio de venta por unidad.
Pregunta 8
Los costos …jos de una empresa son de $1200; los costos combinados de material
100
y trabajo son de $2 por unidad y la ecuación de demanda es p = p : ¿Qué
x
nivel de producción maximizará la utilidad? ¿Cuál es el precio en el cual la
utilidad es máxima?
Pregunta 9
La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es p = 600 2x; y
la función de costo total es C (x) = 0; 2x2 + 28x + 200: Encuentre la producción
y el precio que maximizarán la utilidad y determine la utilidad correspondiente.
Si el gobierno establece un impuesto de $22 por unidad al fabricante.¿Cuáles
serían entonces la producción y el precio que maximizarian la utilidad? ¿Cuál
será ahora la utilidad?
Pregunta 10
Suponga que la cantidad demandada semanalmente de cierto vestido
se relaciona
p
con el precio unitario p mediante la ecuación de demanda p = 900 x; donde
p en dólares y x se re…ere a los vestidos fabricados. ¿Cuántos vestidos deben
fabricarse y venderse por semana para maximizar los ingresos?
2
Pregunta 11
La cantidad mensual demandada de cierto reloj se relaciona con el precio unitario mediante la ecuación
p=
50
:
0; 01x2 + 1
0
x
20
donde p se mide en dólares y x en unidades de miles. ¿Cuántos relojes se deben
vender para obtener el máximo ingreso?
Pregunta 12
Una empresa de televisión por cable tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno
$18 mensuales, y puede conseguir 150 suscriptores más por cada $0; 5 menos en
la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y cuál será este
ingreso?
Pregunta 13
Una empresa de bienes raices posee 100 departamentos tipo jardín. Cada departamento puede arrendarse en $400 por mes. Sin embargo, por cada $10
mensuales de incremento, habrá dos departamentos vacíos, sin posibilidad de
arrendarlos de nuevo.
(15:1) ¿Qué arriendo por departamento maximizará el ingreso mensual?
(15:2) ¿Cuántos departamentos se arriendan?
(15:3) ¿Cuál es el ingreso máximo mensual?
Pregunta 14
Un estudio de productividad efectuado en una fábrica, indica que un trabajador
medio que inicia su labor a las 8:00 AM habrá producido Q(t) = t3 + 9t2 + 12t
unidades de producto t horas después del inicio. En que momento de la mañana
el trabajador es más e…ciente ?. Se de…ne el momento de e…ciencia máxima
aquél en el que el ritmo de producción es máximo, también conocido como el
punto de bene…cios decrecientes.
Pregunta 15
Para determinar el precio de un modelo de notebook, una tienda utiliza la
función:
p
P (x) = 1000x + 50000
con 1
x
440, donde x corresponde al número de unidades demandadas y
P (x) es el precio en miles de pesos por unidad. Determinar
3
(17:1) El ingreso total cuando la demanda de notebooks es de 110 unidades.
(17:2) El ingreso marginal cuando la demanda de notebooks es de 200 unidades.
Pregunta 16
Un ciclista se mueve a lo largo de una plaza de forma horizontal, de modo que
la distancia recorrida en metros, transcurridos t segundos de su partida, está
dada por la función:
f (t) = 3t2 12t
Determine la rapidez instantánea del ciclista a los 5 segundos de haber partido.
Pregunta 17
El costo, en millones de pesos, de fabricar x camionetas de lujo, está determinado
por la función:
C (x) = 0; 02x3 + 5x + 3
Determine
(19:1) El costo de fabricar 3 camionetas de lujo.
(19:2) El costo marginal por la fabricación de 4 camionetas de lujo.
Pregunta 18
El costo total, en cientos de miles de pesos, por la instalación de x paneles
solares se determina por la función:
C (x) = 0; 25x + 5
Además el ingreso total, en cientos de miles de pesos, derivado por la instalación
de x paneles solares es
I (x) = 0; 01x2 + 0; 3x
Se pide
(20:1) Determinar la utilidad total por la instalación de 25 paneles solares.
(20:2) Calcular la utilidad marginal por la instalación de 30 paneles solares.
Pregunta 19
Un terreno de forma rectangular tiene un área de 2700 mt2 , será cercado por
una barda y se empleará una barda adicional para dividir el terreno por la mitad.
El costo de la barda central es de $2 por metro lineal y el de la barda, a lo largo
de los lados es de $3 por metro lineal. Hallar las dimensiones del terreno para
que el costo de la barda sea mínimo.
4
Pregunta 20
Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de
3000 unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender x unidades
mensuales está dada por
U (x) =
100000 + 60000q + 985q 2
1 3
q
3
Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual.
Pregunta 21
Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 120
unidades diarias. La función de costo promedio está dada por
C (x) = 100 + 30x +
75000
x
Encuentre el nivel de producción que minimiza el costo promedio.
Pregunta 22
El ingreso que puede obtener un barbero a la semana está dado por
I (x) = 25x
x2
2
el precio del corte. Encuentre el precio que debe …jar a …n de obtener el máximo
ingreso
(24:1) si el corte no puede tener un precio mayor a 20UM.
(24:2) si el corte puede tener un precio mayor a 20UM.
Pregunta 23
El costo total de producir q unidades de un artículo está dado por
1
C (x) = 5000 + 4x + x2
2
(25:1) ¿Cuántas unidades deberá producirse a …n de obtener el mínimo costo
promedio por unidad?
(25:2) ¿Cuál es ese mínimo costo promedio?
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Pregunta 24
El costo total de producir q unidades de un artículo está dado por
C (x) = 1000 + 300x +
1 2
x
20
Si la ecuación de demanda está dada por p (x) = 200
0; 1x
(26:1) ¿Cuántas unidades deberá producirse a …n de obtener la máxima utilidad?
(26:2) ¿Cuál es el precio en que se tiene la máxima utilidad?
(26:3) ¿Cuál es la utilidad máxima posible?
(26:4) Si el gobierno impone un impuesto de 10UM por unidad ¿Cuál es el nuevo
nivel de producción que maximiza la utilidad?
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