VAD, VAC y Teoremas Límites

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD DE SONORA
NOMBRE: DUARTE MOLINA MAURO ALAN GRUPO: 2 CALIF.:
Sem. 2022-1
I.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
1. Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a una estación de radio
muy popular tiene una probabilidad de 0.02 de que la línea no esté ocupada. Suponga
que las llamadas son independientes.
P= es la probabilidad de que la línea se encuentre libre es decir .02
K= el numero de llamadas realizadas a la emisora.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima que realiza
una persona?
Se
aplica
distribución
geométrica
en
este
caso
la
formula
𝑘−1
𝑃𝑋(𝑘) = (1 − 𝑝) 𝑝
Donde k seria 10 y p seria .02 por lo que 𝑃𝑥(10) = (1 − .02)10−1 ∗ .02 = (. 98)9 ∗ .02 =
.016674
Entonces la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima es de .016674
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar más de cinco veces para hallar
desocupada la línea?
P(X>5)=1-P(X<=5)=1-∑5 . 98𝑘−1 ∗ .02 = 1 − (. 02 + .0196 + .019208 + .01882 +
𝐾=1
.01844) = 1 − .09608 = .903932
La probabilidad de tener que llamar mas de 5 veces es de .903932
c. ¿Cuál es le número promedio de llamadas que deben de hacerse para hallar desocupada
la línea?
El numero promedio seria E(x)=1/p, en este caso p siendo .02 por lo que 1/.02= 50 por lo
que el numero promedio de llamadas que se deben realizar para encontrar la línea
desocupada es de 50 llamadas.
2. Un sistema de satélite consta de 4 elementos y puede funcionar adecuadamente sólo si
por lo menos 2 de los 4 componentes están en condiciones de funcionar. Si cada
componente está, independientemente, en condiciones de funcionar con una
probabilidad de 0.6, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione
adecuadamente?
N= seria el número total de componentes
k= el número de componentes funcionando
P= La probabilidad de que los componentes funcionen
Aplicaremos distribución nominal para cada situación en la que funcione e sistema, es decir
cuando funcionan 2,3 y 4 componentes y sumaremos esas probabilidades
𝑃𝑋(𝑘) = 𝐶𝑘𝑛𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝐶4. 62(1 − .6)4−2 + 𝐶4. 63(1 − .6)4−3 + 𝐶4. 64(1 − .6)4−4
2
3
4
= 0.3456 + .3456 + .1296 = .8208
La probabilidad de que funcione el sistema es .8208
3. Las tarjetas de circuito impreso se envían en una prueba de funcionamiento después de
haber montado en ellas todos los chips. Un lote contiene 140 tarjetas y se toman 20 sin
reemplazo para hacerles la prueba de funcionamiento.
N=140 TARJETAS
r problema a= 20
r problema b= 5
n= 20
k= 1 y 0
a. Si 20 tarjetas están defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas
se encuentren en la muestra?
Para calcular la probabilidad de que al menos dos de las 20 de prueba sean defectuosas
calcularemos la probabilidad de que 0 o ninguna lo sean y se lo restaremos a la probabilidad
total, para calcularlo seria
20 140−20
20 140−20
P(k)=1 − (𝐶1 𝐶 20−1 + 𝐶0 𝐶 20−0 )=1-(.1410+.03561)=.8233
140
𝐶20
140
𝐶20
b. Si 5 tarjetas están defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas se
encuentren en la muestra?
𝐶5𝐶140−5 𝐶5𝐶140−5
1 − ( 1 20−1 + 0 20−0 ) = 1 − (. 3940 + .4570) = .1489
140
140
𝐶20
𝐶20
4. El número de baches en la carretera Hermosillo-Guaymas que requieren reparación
urgente, puede modelarse con una distribución de Poisson que tiene una media de 2
baches por cada 5 kilómetros.
 k e
formula a usar
PX (k) 
k!
 (cantidad de baches esperados en el punto a)=(2/5)*10=4 baches
 (cantidad de baches esperados en el problema b)=2/5=.4 baches por km
 (cantidad de baches esperados en el punto c)=(2/5)*100=40 baches
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya baches qué reparar en un tramo de 10
kilómetros? K seria 0
40 ∗ 𝑒−4
𝑃𝑥(0) =
= .0183
0!
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario reparar al menos un bache en un tramo
de un kilómetro? Para calcular la de al menos un bache vamos a restar a 1 la
probabilidad menor a 1, es decir a que toquen 0 baches.
. 40 ∗ 𝑒−.4
= 1−
= 1 − .67032 = .3296
0!
c. ¿cuántos baches se espera reparar, en promedio, en un tramo de cien kilómetros?
Seria multiplicar la cantidad de bache por kilometro promedio(.4) por 100 por lo que se
esperaría reparar 40 baches en promedio en 100 km.
5. Una compañía proveedora de productos químicos tiene actualmente en existencia100
libras de cierto producto, que vende a clientes en lotes de 5 libras. Sea X = número de
lotes ordenados por un cliente seleccionado al azar, y suponga que la función de
distribución de probabilidades es:
xi
1
2
3
4
0.2
0.4
0.3
0.1
Determine E(X) y V(X) e interprete estos valores.
E(X)=1*.2+2*.4+3*.3+4*.1=.2+.8+.9+.4=2.3 es la cantidad de lotes que se espera
vender en promedio por cliente
V(X)= 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2
E(X^2)=1*.2+4*.4+9*.3+16*.1=.2+1.6+2.7+1.6=6.1
V(X)=6.1-(2.3^2)=6.1-5.29=.81 es el promedio al cuadrado de lotes que se espera
vender a cada cliente.
P(xi )
II. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
1. Se supone que el diámetro de un cable eléctrico X es una variable aleatoria continua
con función de densidad: f(x)=6x(1-x) para 0<x  1 y cero en cualquier otro caso.
Primero hay que comprobar si la función si es función identidad usando de criterio que
si
𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥
∞
∈ 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑖 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
1= 1 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (6𝑥 − 6𝑥2)𝑑𝑥 = (3𝑥2 − 2𝑥3)1 = 3 − 2 =
𝑅𝑥
0
0
1, 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
a. Obtenga la función de distribución acumulada  X (t) .
0
𝑠𝑖 𝑡 < 0
∅𝑥(𝑡) = {3𝑡2 − 2𝑡3 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 1
𝑠𝑖 1 ≤ 𝑡
2 1
1
1


P X  
b. Calcule P X
y


 3
2 
3 




1
-P[𝑋 > 2] → 1 − (3 (. 5) 2 − 2 (0.5 )3) = .5
2
3
2
3
1
2
2
2
1
1
-P[ ≤ 𝑋 ≤ ] → ∅𝑋 (𝑏) − ∅𝑋 (𝑎) → (3 (3 ) − 2 (3 ) ) − (3 ( 3) − 2 ( 3) ) =
7
27
3
13
3
= 27
c. ¿Cuál es le diámetro esperado del cable?, ¿Cuál es su desviación
estándar?
1
1
2
3
-𝐸(𝑋) = ∫𝑅𝑋 (𝑋) ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 (𝑥)(6𝑥 − 6𝑥 )𝑑𝑥 = [2𝑥 −
6𝑥4
4
6
20
−
27
1
] = 2 − = = 0.5
0
4
2
1
6𝑥4
0
4
-Varianza:𝐸(𝑋) = ∫ (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2)(6𝑥 − 6𝑥2)𝑑𝑥 = (
6
5
=
30
20
−
24
20
=
6
=
20
𝑅𝑥
3
10
−
6𝑥5 1
)
5
6
= −
0
4
= .3
𝜎𝑥2 = 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)2] =
-Desviacion:
3
13 2
497
−[ ] =
= .0681
10
27
7290
𝜎𝑥 = √𝑣(𝑥) = √497/7290 = .261
2. En un proceso fotográfico, el tiempo X en segundos, de revelado de las copias es una
variable aleatoria continua que se distribuye uniformemente en el intervalo (15,17).
Calcular la probabilidad de que el revelado tarde:
0
𝑠𝑖 𝑡 < 15
𝑡 − 15
∅𝑥 (𝑡) = {
𝑠𝑖 15 ≤ 𝑡 < 17
2
1
𝑠𝑖 17 ≤ 𝑡
a. Entre 15.5 y 16.5 segundos;
16.5 − 15 15.5 − 15
−
= 0.5
𝑃(15.5 < 𝑋 < 16.5) = ∅𝑋(15.5) =
2
2
b. Al menos 15.8 segundos;
15.8 − 15
𝑃(𝑋 ≥ 15.8) = 1 − ∅𝑋(15.8) = 1 −
= 0.6
2
c. A lo más 16.3 segundos.
16.3 − 15
𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = ∅𝑥(𝑎) =
= .65
2
d. Determine el valor esperado de la variable X y su varianza. Interprete sus
resultados.
𝐵+𝐴
17+15
𝐸(𝑋) =
=
= 16 𝑆𝐸𝐺𝑈𝑁𝐷𝑂𝑆es el tiempo en promedio que se espera que
2
2
tome en revelar las copias.
𝑉(𝑋) =
(𝑏−𝑎)^2
12
=
(17−15)^2
12
=
22
4
1
= 12 = 3
12
variación al cuadrado del tiempo
promedio que se espera que tarde en revelarse la copia.
3. Sea T el tiempo de vida de un aparato electrónico. Supongamos que T puede
considerase como una variable aleatoria continua cuya distribución es exponencial
con  =0.0002 hr-1
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
∅𝑥(𝑡) = {
1 − 𝑒−  t 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
∅𝑥 (𝑡 ) = {
1 − 𝑒−.0002t 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡
a. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho aparato dure al menos 1400 horas?
𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 1 − 𝑃(𝑋 < 𝑎 = 1 − ∅𝑋(𝑎) = 1 − [1 − 𝑒−.0002(1400)] = .75578
b. ¿Cuánto tiempo se espera que dure el aparato?, ¿Con qué desviación estándar?
1
1
= 5000 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜.
𝐸(𝑇) =  =
. 0002

1
=
1
= 5000
.
0002

4. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente
clasificados por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm y una
desviación estándar igual a 0.001 cm. Para que un pistón sirva, su diámetro debe
encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. Si el diámetro del pistón es menor a 4.998 se
desecha; si es mayor que 5.002 el pistón puede reprocesarse.
𝑋 ≅ 𝑁(5, .000001)
a. ¿Qué porcentaje de pistones servirá?
𝑃[4.998 ≤ 𝑋 ≤ 5.002] = ∅𝑋(4.998) − ∅𝑋(5.002) = .097725 − .02275
= .9545
b. ¿Qué porcentaje de pistones será desechado?
𝑃(4.998 > 𝑋) = ∅𝑋(4.998) = .02275
c. ¿Qué porcentaje de pistones será reprocesado?
𝑃(𝑋 < 5.002) = .02275
𝜎𝑟 =
III. TEOREMAS LÍMITES
1. El número de órdenes llenadas por el Departamento de un gran taller de
reparaciones es una variable aleatoria con media y desviación estándar de 142 y 12
órdenes respectivamente. De acuerdo con la desigualdad de Chebyshev, ¿con qué
probabilidad podemos asegurar que un día cualquiera se llenarán entre 82 y 202
órdenes?
X= numero de ordenes
Con 𝜇 = 142 𝑦 𝜎 = 12
P[82<X<202]=𝑃[82 − 142 < 𝑋 − 𝜇 < 202 − 142]
1
1
P[82<X<202]= 𝑃[−60 < 𝑋 − 𝜇 < 60] = 𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≤ 60] ≥ 1 − = 1 −
𝐾2
5^2
60
𝐾𝜎 = 60 → 𝐾 =
=5
12
𝑃[82 < 𝑋 < 202 ≥ .96
2. Un encuestador considera que el 10% de los votantes en cierta área está a favor de
la emisión de valores bursátiles. ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra a fin de
que la probabilidad de que, la frecuencia de votantes a favor de la emisión de
valores bursátiles ( Pˆ ) difiera de 0.1, en menos de 0.03, sea al menos 0.97?
𝑃[|𝑝 − 𝑝| < 0.03] ≥ 0.97
𝑝(1 − 𝑝)
𝑃[|𝑝 − 𝑝| < 0.03 ≤ 𝜀] ≥ 1 −
𝑛 ∗ 𝜀2
. 1 ∗ .9
𝑛≥
= 3333.33333
(1 − .97)(. 03)2
3. Un cierto número de voltajes, Vi , con i = 1, 2, ..., n, se reciben en lo que se llama
un "sumador". Si V representa la suma de los voltajes recibidos, es decir, V =
n
V
i
y las variables son independientes y distribuidas uniformemente en el
i1
intervalo (0,10), ¿Cual es la probabilidad de que el total del voltaje recibido V
tome valores entre 162 y 192?. Suponga que n = 36.
4. La probabilidad de que cierto componente electrónico falle en menos de 1000
horas de uso continuo es de 0.25. Determine la probabilidad de que de entre 200
de esos componentes
n=200 p=.25 q=1-p=1-.25=.75
𝜇 = 𝑛𝑝 = 200 ∗ .25 = 50
𝜎 = √200 ∗ .25 ∗ .75 = 6.123
a. fallen menos de 45 antes de 1000 horas de uso continuo.
𝑋−𝜇
45−50−.5
45− 50−.5
P(X<45)=𝑃(𝑋 ≤ 44) = 𝑃
≤
= [𝑍 ≤
]
𝜎
√37.5
√37.5
P(X<45)=𝑃[𝑍 ≤ −.898] = .1867
b. entre 35 y 60 fallen antes de 1000 horas de uso continuo.
35−50−.5
60−50+.5
P(35<X<60)=𝑃(36 ≤ 𝑋 ≤ 59) =
≤𝑍≤
√37.5
√37.5
P(35<X<60)=𝑃(−2.531 ≤ 𝑍 ≤ 1.714) = ∅𝑍(1.714) − ∅𝑍(−2.531) = .956 −
.0057 = .9503
40−50+.5
c. Al menos 40 fallen antes de 1000
horas de uso
continuo.
P(X>40)=𝑃(𝑋 ≥ 41) = 𝑃 [𝑍 ≥
] → 𝑃 [𝑍 ≥ −1.55 ] = .9343
√37.5