Potencial Electrico

692
Capítulo 25
Potencial eléctrico
25.1 Diferencia de
potencial y potencial
eléctrico
25.2 Diferencias de
potencial en un
campo eléctrico
uniforme
25.3 Potencial eléctrico
y energía potencial
a causa de cargas
puntuales
Los procesos que suceden durante las tormentas eléctricas generan
grandes diferencias de potencial eléctrico entre una nube y la tierra. El
resultado son las descargas eléctricas conocidas como relámpagos, igual
que aparece aquí sobre Tucson, Arizona (© Keith Kent/Photo Researchers,
Inc.).
25
25.4 Obtención del valor
del campo eléctrico
a partir del potencial
eléctrico
25.5 Potencial
eléctrico debido a
distribuciones de
carga continuas
25.6 Potencial eléctrico
a causa de un
conductor con carga
25.7 El experimento de
la gota de aceite
de Millikan
25.8 Aplicaciones de la
electrostática
Potencial eléctrico
El concepto de energía potencial fue analizado en el capítulo 7 en relación con algunas
fuerzas conservativas como la fuerza gravitacional y la fuerza elástica ejercidas por un
resorte. Al aplicar la ley de conservación de energía, es posible evitar el trabajar directamente con fuerzas al resolver diferentes problemas de mecánica. además el concepto
de energía potencial es de gran valor para el estudio de la electricidad. Ya que la fuerza
electrostática es conservativa, los fenómenos de esta clase pueden describirse de manera
conveniente en términos de una energía potencial eléctrica. Esta idea permite definir
una cantidad escalar conocida como potencial eléctrico. Ya que el potencial eléctrico en un
punto cualquiera de un campo eléctrico es una cantidad escalar, es posible aplicar esto
para describir los fenómenos electrostáticos de una manera más simple que si tuviera
que depender sólo del campo eléctrico y las fuerzas eléctricas. El concepto de potencial
eléctrico tiene un gran valor práctico en la operación de circuitos eléctricos y aparatos
que estudiará en capítulos posteriores.
25.1
Diferencia de potencial
y potencial eléctrico
S
Cuando se coloca una carga de prueba q0 en un campo eléctrico E producido por alguna
S
S
distribución de carga fuente, la fuerza eléctrica que actúa sobre ella es q0E . La fuerza q0E
692
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Sección 25.1
693
Diferencia de potencial y potencial eléctrico
es conservativa, ya que la fuerza entre cargas descrita por la ley de Coulomb es conservativa. Cuando se traslada la carga de prueba por algún agente externo en el campo, el
trabajo consumido por el campo en la carga es igual al trabajo invertido por el agente
externo que origina el desplazamiento, pero con signo negativo. Esto es semejante a lo
que se presenta cuando se levanta un objeto con masa en un campo gravitacional: el trabajo invertido por el agente externo es igual a mgh y el trabajo consumido por la fuerza
gravitacional es mgh.
S
Al analizar los campos eléctricos y magnéticos, es común utilizar la notación d s para
representar un vector de desplazamiento infinitesimal que tiene una orientación tangente a una trayectoria a través del espacio. Esta trayectoria puede ser recta o curva, y la
integral calculada a lo largo de esta trayectoria se conoce como integral de la trayectoria, o
bien, integral de línea (los dos términos son sinónimos).
S
Para un desplazamiento infinitesimal d s de una carga puntual q0 inmersaS en un
S
campo eléctrico, el trabajo realizado por un campo eléctrico sobre la misma es F3 d s S
q0E ds. Conforme el campo consume esta cantidad de trabajo, la energía potencial del
S
S
sistema carga-campo cambia en una cantidad dU q0E d s . Para un desplazamiento
finito de la carga desde el punto 훽 al punto 훾, el cambio en energía potencial del sistema U U훾 U훽 es
¢U
S
S
(25.1)
E ds
q0
La integración se lleva a cabo a lo largo de la trayectoria que q0 sigue al pasar de 훽 a 훾.
S
Porque la fuerza q0E es conservativa, la integral de línea no depende de la trayectoria de
훽 a 훾.
Para una posición conocida de la carga de prueba en el campo, el sistema carga-campo
tiene una energía potencial U relativa a la configuración del sistema definido como U 0.
Al dividir la energía potencial entre la carga de prueba se obtiene una cantidad física que
depende sólo de la distribución de carga fuente y tiene un valor en cada uno de los puntos
de un campo eléctrico. Esta cantidad se conoce como potencial eléctrico (o simplemente
potencial) V:
V
U
q0
(25.2)
Ya que la energía potencial es una cantidad escalar el potencial eléctrico también es una
cantidad escalar.
Como queda descrito en la ecuación 25.1, si la carga de prueba es desplazada entre
las posiciones 훽 y 훾 en un campo eléctrico, el sistema carga-campo experimenta un cambio en su energía potencial. La diferencia de potencial V V훾 V훽 entre los puntos 훽
y 훾 de un campo eléctrico se define como el cambio en energía potencial en el sistema
al mover una carga de prueba q0 entre los puntos, dividido entre la carga de prueba:
¢V
¢U
q0
S
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 25.1
Potencial y energía potencial
El potencial es sólo una característica del campo sin importar
cualquier partícula de prueba
con carga que pueda estar
colocada en el campo. La energía potencial es característica del
sistema carga-campo debido a la
interacción del campo con una
partícula con carga colocada en
el mismo.
S
E ds
(25.3)
Cambio en la energía
potencial eléctrica de un
sistema
La diferencia de potencial
entre dos puntos
Al igual que en el caso de la energía potencial, sólo las diferencias en el potencial eléctrico tienen significado. A menudo conviene hacer que en algún punto el valor del potencial eléctrico sea igual a cero.
La diferencia de potencial no debe confundirse con la diferencia en energía potencial.
La diferencia de potencial entre 훽 y 훾 depende sólo de la distribución de carga fuente
(considere los puntos 훽 y 훾 sin la presencia de la carga de prueba), mientras que la diferencia en energía potencial existe sólo si se desplaza una carga de prueba entre los puntos.
Si un agente externo traslada una carga de prueba de 훽 a 훾 sin modificar la energía cinética de ésta, el agente realiza un trabajo que modifica la energía potencial del
sistema: W U. Imagine una carga q arbitraria localizada en un campo eléctrico. Por
la ecuación 25.3, el trabajo consumido por un agente externo al desplazar una carga q a
través de un campo eléctrico con una velocidad constante es
W
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q¢V
(25.4)
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694
Capítulo 25
Potencial eléctrico
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 25.2
Ya que el potencial eléctrico es una medida de la energía potencial por unidad de
carga, la unidad del SI, tanto del potencial eléctrico como de la diferencia de potencial,
es joules por cada coulomb, que se define como un volt (V):
Voltaje
Para describir la diferencia de
potencial entre dos puntos se
utiliza una gran variedad de términos; el más común es voltaje,
que surge de la unidad utilizada
para el potencial. Un voltaje
aplicado a un aparato, como una
televisión, o a las terminales de un
aparato, es lo mismo que la diferencia de potencial aplicada a las
terminales del dispositivo.
1V
1 J>C
Es decir, se deberá realiza 1 J de trabajo para trasladar 1 C de carga a causa de una diferencia de potencial de 1 V.
Además la ecuación 25.3 muestra que la diferencia de potencial tiene unidades de
campo eléctrico multiplicadas por la distancia. De esto se concluye que la unidad del SI
del campo eléctrico (N/C) también puede expresarse en volts por cada metro:
1 N>C
1 V>m
Por lo tanto, el campo eléctrico es una medida de la relación de cambio en función de la
posición del potencial eléctrico.
Una unidad de energía comúnmente utilizada en física atómica y nuclear es el electrón volt (eV), que se define como la energía que un sistema carga-campo gana o pierde
cuando se desplaza una carga de magnitud e (un electrón o un protón) a causa de una diferencia de potencial de 1 V. Porque 1 V 1 J/C y la carga fundamental es 1.60 1019
C, el electrón volt se relaciona con el joule de esta manera:
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 25.3
1 eV
El electrón volt
El electrón volt es una unidad
de energía, NO de potencial. La
energía de cualquier sistema
puede expresarse en eV, pero
esta unidad es la más conveniente para describir la emisión
y absorción de la luz visible de
los átomos. A menudo las energías en los procesos nucleares se
expresan en MeV.
1.60
10
19
C#V
1.60
10
19
(25.5)
J
Por ejemplo, un electrón en el haz de un cinescopio alcanza una rapidez de 3.0 107
m/s. Esto corresponde a la energía cinética de 4.1 1016 J, que es equivalente a 2.6 103 eV. Para alcanzar esta rapidez, el electrón tendrá que ser acelerado desde el reposo
por medio de una diferencia de potencial de 2.6 kV.
Pregunta rápida 25.1 En la figura 25.1, dos puntos, 훽 y 훾, se ubican dentro de una
región en la que hay un campo eléctrico. i) ¿Cómo describiría la diferencia de potencial
V V훾 V훽? a) Es positiva. b) Es negativa. c) Es cero. ii) Se coloca una carga negativa
en 훽 y luego se mueve hacia 훾. ¿Cómo describiría el cambio en energía potencial del
sistema carga-campo para este proceso? Elija entre las mismas posibilidades.
E
훽
25.2
훾
Diferencias de potencial en
un campo eléctrico uniforme
Las ecuaciones 25.1 y 25.3 son válidas en todos los campos eléctricos, sean uniformes o
variables, pero estas ecuaciones se simplifican si el campo es uniforme. Primero, imagine
un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje negativo y, como se muestra en
la figura 25.2a. Calcule la diferencia de potencial entre dos puntos 훽 y 훾 separados por
S
S
una distancia s d, donde s es paralela a las líneas de campo. La ecuación 25.3 da
Figura 25.1 (Pregunta rápida
25.1) Dos puntos en un campo
eléctrico.
V
V
S
¢V
1E cos 0°2 ds
S
E ds
E ds
Porque E es constante, puede retirarla de la integral; esto lo conduce a
Diferencia de potencial
entre dos puntos en un
campo eléctrico uniforme
¢V
E
ds
Ed
(25.6)
El signo negativo indica que el potencial eléctrico en el punto 훾 es inferior al del punto
훽; es decir, V훾 V훽. Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en dirección en que
disminuye el potencial eléctrico, como se muestra en la figura activa 25.2a.
Ahora suponga que una carga de prueba q0 se mueve desde 훽 hacia 훾, se puede calcular cambio en la energía potencial del sistema carga–campo con las ecuaciones 25.3 y 25.6:
¢U q 0 ¢V
q 0Ed
(25.7)
Este resultado, muestra que si q0 es positiva, en tal caso U es negativa. Debido a eso,
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9/11/08 5:22:37 PM
Sección 25.2
훽
훽
d
d
q0
E
Figura 25.2
m
훾
S
a) Cuando el campo eléctrico E se dirige hacia abajo, el punto
훾 está en un potencial eléctrico menor que el punto 훽.
Cuando una carga de prueba positiva se mueve del punto 훽
al punto 훾, la energía potencial eléctrica del sistema cargacampo disminuye. b) Cuando un objeto de masa m se mueve
S
hacia abajo en la dirección del campo gravitacional g , la energía
potencial gravitacional del sistema objeto-campo disminuye.
훾
g
a)
b)
un sistema consistente de una carga positiva y un campo eléctrico pierde energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo. Esto significa que un
campo eléctrico realiza trabajo en una carga positiva cuando ésta se mueve en la dirección del campo eléctrico. (Esto es similar al trabajo que realiza un campo gravitacional
en un objeto en caída, como se muestra en la figura 25.2b.) Si una carga de prueba
positiva en reposo es liberada en este campo eléctrico, experimenta una fuerza eléctrica
S
S
q0E en la dirección de E (hacia abajo en la figura 25.2a). En consecuencia, se acelerará
hacia abajo, adquiriendo energía cinética. Conforme esta partícula con carga adquiere
energía cinética, el sistema carga-campo pierde una cantidad igual de energía potencial.
Esto no debe sorprenderle, simplemente es la conservación de la energía mecánica en
un sistema aislado, como se vio en el capítulo 8.
Si q0 es negativa, en tal caso U en la ecuación 25.7 es positiva y la situación se invierte:
Un sistema formado por una carga negativa y un campo eléctrico adquiere energía potencial
eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo. Si se libera una carga negativa
desde el reposo en un campo eléctrico, se acelera en la dirección opuesta a la dirección del
campo. Para que una carga negativa se mueva en la dirección del campo, deberá existir un
agente externo que aplique una fuerza y realice un trabajo positivo en la carga.
Ahora considere el caso más general de una partícula con carga que se mueve entre
S
훽 y 훾 en un campo eléctrico uniforme, en el cual el vector s no es paralelo a las líneas
de campo, como se muestra en la figura 25.23. En este caso, la ecuación 25.5 da
S
¢V
S
E ds
S
S
E
ds
S
S
E s
(25.8)
I
m
g
E
훾
s
q 0 ¢V
S
S
q 0E s
d
훿
Figura 25.3 Campo eléctrico
uniforme dirigido a lo largo del eje
positivo de las x. El punto 훾 está
a un potencial eléctrico inferior al
punto 훽. Los puntos 훾 y 훿 están
al mismo potencial eléctrico.
S
¢U
u
훽
donde una vez más se retira E de la integral ya que es una constante. El cambio en la
energía potencial del sistema carga-campo es
Cambio en la energía
potencial cuando se
desplaza una partícula
con carga en un campo
eléctrico uniforme
(25.9)
Por último, se concluye por la ecuación 25.8 que todos los puntos en un plano perpendicular a un campo eléctrico uniforme tienen el mismo potencial eléctrico. Se puede
reconocer en la figura 25.3, donde la diferencia de potencial V훾 V훽 es equivalente a
la diferencia de potencial V훿 V훽. (Puede comprobarlo si resuelve el producto punto
S
S
S
S
S
E s para s 훽→훾, donde el ángulo u entre E y s es arbitrario, como se muestra en la
S
figura 25.3, y el producto punto en el caso de s 훽→훿, donde u 0.) Debido a eso, V훾
V훿. A cualquier superficie formada por una distribución continua de puntos con el
mismo potencial eléctrico se le denomina superficie equipotencial.
Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico uniforme consisten en una familia de planos paralelos, todos ellos perpendiculares al campo. En secciones posteriores se
describen superficies equipotenciales asociadas con campos que tienen otras simetrías.
Pregunta rápida 25.2 Los puntos marcados en figura 25.4 están sobre una serie de
superficies equipotenciales asociadas con un campo eléctrico. Clasifique (del mayor al
menor) el trabajo realizado por el campo eléctrico en una partícula con carga positiva que
se mueve desde 훽 hasta 훾; de 훾 a 훿; de 훿 a ; de  a .
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695
Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme
훾
9V
훽
8V
7V
훿


6V
Figura 25.4 (Pregunta rápida
25.2) Cuatro superficies equipotenciales.
9/11/08 5:22:38 PM
696
Capítulo 25
EJEMPLO 25.1
Potencial eléctrico
Campo eléctrico entre dos placas paralelas de carga opuesta
Una batería tiene una diferencia de potencial específica V entre sus terminales y se establece dicha diferencia de potencial entre los conductores unidos a las terminales. Una
batería de 12 V se conecta entre dos placas paralelas, como se muestra en la figura 25.5.
La separación entre las placas es d 0.30 cm y se supone que el campo eléctrico entre las
placas es uniforme. (Esta suposición es razonable si la separación de las placas es pequeña
en relación con las dimensiones de las placas y no se consideran ubicaciones cerca de los
bordes de las placas.) Encuentre la magnitud del campo eléctrico entre las placas.
A
B
+
d
SOLUCIÓN
Figura 25.5 (Ejemplo 25.1)
Una batería de 12 V conectada
a dos placa paralelas. El campo
eléctrico entre las placas tiene
una magnitud determinada por
la diferencia de potencial V
dividida entre la separación de
placa d.
Conceptualizar En capítulos anteriores investigó el campo eléctrico uniforme entre
placas paralelas. La nueva característica a esta problema es que el campo eléctrico se
relaciona con el concepto reciente de potencial eléctrico.
Categorizar El campo eléctrico se evalúa a partir de una correspondencia entre campo
y potencial conocido en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un problema
de sustitución.
0 VB
E
Use la ecuación 25.6 para evaluar la magnitud
del campo eléctrico entre las placas:
VA 0
12 V
0.30 10
d
V = 12 V
–
2
103 V>m
4.0
m
La configuración de las placas en la figura 25.5 se llama capacitor de placas paralelas y se examina con mayor detalle en el
capítulo 26.
EJEMPLO 25.2
Movimiento de un protón en un campo eléctrico uniforme
+
+
+
+
+
+
훽
+
+
Un protón se libera desde el reposo en el punto 훽 en un campo eléctrico uniforme que
tiene una magnitud de 8.0 104 V/m (figura 25.6). El protón se somete a un desplaS
zamiento de 0.50 m al punto 훾 en la dirección de E . Encuentre la rapidez del protón
después de completar el desplazamiento de 0.50 m.
v훽 = 0
d
E
SOLUCIÓN
Conceptualizar Visualice el protón en la figura 25.6 en movimiento hacia abajo a causa
de la diferencia de potencial. La situación es análoga a un objeto que cae libre a través de
un campo gravitacional.
–
Escriba la reducción adecuada de la ecuación 8.2, la
ecuación de conservación de la energía, para el sistema
aislado de la carga y el campo eléctrico:
Sustituya los cambios en energía para ambos términos:
Resuelva para la rapidez final del protón:
Cap_25_Serway.indd 696
¢V
Ed
18.0
–
–
104 V>m2 10.50 m2
¢K
1 12mv 2
v
–
–
–
–
Figura 25.6 (Ejemplo 25.2) Un
protón acelera de 훽 a 훾 en la
dirección del campo eléctrico.
Categorizar El sistema del protón y las dos placas en la figura 25.6 no interactúan con
el ambiente, así que se le modela como un sistema aislado.
Analizar Use la ecuación 25.6 para encontrar
la diferencia de potencial entre los puntos 훽 y 훾:
v훾
훾
¢U
4.0
104 V
0
02
e ¢V
B
2e ¢V
m
0
9/11/08 5:22:39 PM
Sección 25.3
697
Potencial eléctrico y energía potencial a causa de cargas puntuales
v
Sustituya valores numéricos:
2 11.6
B
10
19
1.67
2.8
C 2 1 4.0
10
27
104 V 2
kg
106 m>s
Finalizar Ya que V es negativa, U también es negativa. El valor negativo de U significa que la energía potencial del
sistema disminuye conforme el protón se mueve en la dirección del campo eléctrico. Conforme el protón acelera en la
dirección del campo, adquiere energía cinética y el sistema pierde energía potencial eléctrica al mismo tiempo.
La figura 25.6 se orienta de modo que el protón cae hacia abajo. El movimiento del protón es análogo al de un objeto que
cae en un campo gravitacional. Aunque el campo gravitacional siempre es hacia abajo en la superficie de la Tierra, un campo
eléctrico puede estar en cualquier dirección, dependería de la orientación de las placas que producen el campo. Por lo tanto,
la figura 25.6 podría girarse 90 o 180°, ¡y el protón caería horizontalmente o iría hacia arriba en el campo eléctrico!
25.3
훾
Potencial eléctrico y energía potencial
a causa de cargas puntuales
En la sección 23.4 se explicó el hecho de que una carga puntual positiva q produce un
campo eléctrico que está dirigido radialmente alejándose de la carga. Para determinar
el potencial eléctrico en un punto ubicado a una distancia r de la carga, inicie con la expresión general para la diferencia de potencial:
u
dr
ds
r훾
r
훽
r훽
V
S
S
E ds
V
ˆr
q
donde 훽 y 훾 son los dos puntos arbitrarios que se muestran en la figura 25.7. En
cualquier
punto en el espacio, el campo eléctrico a causa de la carga puntual es
S
E
1k e q>r 2 2 r (ecuación 23.9), donde r̂ es un vector unitario dirigido desde la carga haS
S
cia el punto. La cantidad E d s puede expresarse como
S
S
E ds
ke
q
r2
S
r̂ d s
S
Ya que la magnitud de r̂ es 1, el producto punto r̂ d s ds cos u, donde u es el ánS
gulo entre r̂ y ds. Además, ds cos u es la proyección de d s sobre r̂; debido a eso ds cos u
S
dr. Es decir, cualquier desplazamiento d s a lo largo de la trayectoria del punto 훽 al
punto 훾 produce un cambio dr en la magnitud de r̂, el vector de posición del punto
S
S
en relación con la carga que crea el campo. Con estas sustituciones, E d s (keq/r2)dr;
en consecuencia, la expresión de la diferencia de potencial se convierte en
r
V
V
dr
r2
ke q
r
V
V
k eq c
ke
1
d
r
1
r
S
Figura 25.7 La diferencia de
potencial entre los puntos 훽 y 훾
a causa de una carga puntual q
depende sólo de las coordenadas
radiales r훽 y r훾 inicial y final. Los
dos círculos discontinuos representan las intersecciones de las superficies equipotenciales esféricas
con la página.
q r
`
r r
(25.10)
S
Esta ecuación muestra que la integral de E d s es independiente de la trayectoria entre
los puntos 훽 y 훾. Al multiplacar por una carga q0 que se mueve entre los puntos 훽 y 훾,
S
S
la integral de q0E d s también es independiente de la trayectoria. Esta última integral
representa el trabajo realizado por la fuerza eléctrica, que señala que la fuerza eléctrica
es conservativa (véase la sección 7.7). Al campo que se relaciona con una fuerza conservativa se le define como campo conservativo. Debido a eso, la ecuación 25.10 indica que
el campo eléctrico de una carga puntual fija es conservativo. Además, la ecuación 25.10
expresa el resultado importante de que la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera 훽 y 훾 en un campo producido por una carga puntual depende sólo de las
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9/11/08 5:22:40 PM
Potencial eléctrico
2
2
1
y
0
Potencial eléctrico (V)
Capítulo 25
Potencial eléctrico (V)
698
x
1
0
–1
–2
a)
b)
Figura 25.8 El potencial eléctrico en el plano alrededor de una simple carga positiva está trazado sobre
el eje vertical. (La función potencial eléctrico para una carga negativa se vería como un agujero, no
como una colina.) La línea roja muestra la naturaleza 1/r del potencial eléctrico, como se observa en la
ecuación 25.11. b) El potencial eléctrico en el plano que contiene un dipolo.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 25.4
coordenadas radiales r훽 y r훾. Por lo común se elige la referencia del potencial eléctrico
de una carga puntual, de forma que sea V 0 en r훽 . Con esta referencia, el potencial
eléctrico establecido por una carga puntual a cualquier distancia r de la carga es
Advertencia respecto
a ecuaciones similares
No confunda la ecuación 25.11,
para el potencial eléctrico de
una carga puntual, con la
ecuación 23.9, relativa al campo
eléctrico de una carga puntual.
El potencial es proporcional a
1/r, en tanto que el campo es
proporcional a 1/r2. El efecto de
una carga sobre el espacio que
la rodea puede describirse de
dos maneras: la carga establece
un
vector de campo eléctrico
S
E , relacionado con la fuerza
que experimenta una carga de
prueba colocada en el campo, y
establece también un potencial
escalar V, que se relaciona con la
energía potencial del sistema de
dos cargas, cuando en el campo
se coloca una carga de prueba.
Potencial eléctrico
debido a varias cargas
puntuales
Cap_25_Serway.indd 698
V
q
r
ke
(25.11)
La figura 25.8 muestra el trazo del potencial eléctrico sobre el eje vertical para una
carga positiva ubicada en el plano xy. Considere la siguiente analogía en relación con
el potencial gravitacional: piense que intenta rodar una canica hacia la cima de una
colina de forma similar a la de la superficie de la figura 25.8a. Empujar la canica colina arriba es semejante a empujar un objeto con carga positiva hacia otro objeto con
carga positiva. De manera similar, la gráfica del potencial eléctrico de la región que
rodea una carga negativa es análoga a un “agujero” respecto a cualesquier objeto con
carga positiva acercándose. Un objeto con carga debe estar infinitamente alejado de
otra carga antes de que la superficie de la figura 25.8a sea “plana” y tenga un potencial
eléctrico igual a cero.
El potencial eléctrico resultante de dos o más cargas puntuales se obtiene mediante
la aplicación del principio de sobreposición. Es decir, el potencial eléctrico total en algún punto P debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales debidos a
las cargas individuales. Para un grupo de cargas puntuales, puede expresar el potencial
eléctrico total en P como
V
ke a
i
qi
ri
(25.12)
donde el potencial es otra vez igual a cero en el infinito y ri es la distancia del punto P a
la carga qi. Observe que la suma de la ecuación 25.12 es una suma algebraica de escalares en lugar de ser una suma vectorial (la cual se utiliza para calcular el campo eléctrico
S
de un grupo de cargas). Por lo tanto, a menudo es más sencillo evaluar V que evaluar E . El
potencial eléctrico alrededor de un dipolo se ilustra en la figura 25.8b. Observe la pendiente exagerada del potencial entre las cargas, que representa una región de un campo
eléctrico intenso.
Considerar ahora la energía potencial de un sistema formado por dos partículas con
carga. Si V2 es el potencial eléctrico en un punto P debido a la carga q2, por lo tanto el
trabajo que debe realizar un agente externo para traer una segunda carga q1 desde el infinito hasta P sin aceleración es igual a q1V2. Este trabajo representa una transferencia de
energía hacia el interior del sistema y aparece en éste como energía potencial U cuando
9/11/08 5:22:42 PM
Sección 25.3
r12
q2
699
Potencial eléctrico y energía potencial a causa de cargas puntuales
r12
q2
P
q
V ke r 2
12
q1
b)
a)
Figura 25.9
a) Si dos cargas puntuales están separadas una distancia r12, la energía potencial del par de cargas se conoce
por keq1q2/r12. b) Si se retira la carga q1, existe un potencial keq2/r12 en el punto P debido a la carga q2.
las partículas están separadas una distancia r12 (figura 25.9a). Por lo tanto, exprese la
energía potencial del sistema como1
U
ke
q 1q 2
r12
(25.13)
Observe que si las cargas son del mismo signo, U es positiva, un agente externo debe realizar un trabajo positivo sobre un sistema para acercar las dos cargas (ya que cargas del
mismo signo se repelen). Si las cargas son de signos opuestos, U es negativa; un agente
externo deberá realizar un trabajo negativo en contra de la fuerza de atracción entre
cargas de signo opuesto al acercar la una a la otra; debe aplicarse una fuerza opuesta al
desplazamiento para impedir que q1 se acelere hacia q2.
En la figura 25.9b, se ha retirado la carga q1. En la posición donde se encontraba previamente la carga, el punto P, se puede utilizar las ecuaciones 25.2 y 25.13 para definir
el potencial debido a la carga q2 como V U/q1 keq2/r12. Esta expresión es consistente
con la ecuación 25.11.
Si el sistema consiste en más de dos partículas con carga, se obtiene la energía potencial total si calcula U para cada par de cargas y suma los términos algebraicamente.
Como un ejemplo, la energía potencial total del sistema de tres cargas que se muestra
en la figura 25.10 es
U
q 1q 2
ke a
r12
q 1q 3
r13
q 2q 3
b
r23
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 25.5
¿Cuál trabajo?
Existe una diferencia entre el
trabajo realizado por un elemento
de un sistema sobre otro elemento
y el trabajo realizado por un
agente externo sobre un sistema. En
la explicación que se relaciona
a la ecuación 25.14 considere
el grupo de cargas como el sistema; el agente externo realiza
trabajo sobre el sistema para
mover las cargas desde una
separación infinita a una separación más pequeña.
q2
(25.14)
Físicamente, puede interpretar el resultado como sigue: imagine que q1 está fija en la
posición que se muestra en la figura 25.10 pero que q2 y q3 están en el infinito. El trabajo
que deberá realizar un agente externo para traer a q2 del infinito a una posición cerca
de q1 es keq1q2/r12, que es el primer término de la ecuación 25.14. Los dos últimos términos representan el trabajo requerido para mover a q3 del infinito a una posición cerca
de q1 y q2. (El resultado es independiente del orden en el cual se transporten las cargas.)
Pregunta rápida 25.3 En la figura 25.9a, considere q1 como la fuente de carga negativa
y q2 como la carga de prueba. i) Si q2 inicialmente es positiva y cambia a una carga de la
misma magnitud pero negativa, ¿qué ocurre con el potencial en la posición de q2 debido
a q1? a) Aumenta. b) Disminuye. c) Permanece igual. ii) Cuando q2 cambia de positiva a
negativa, ¿qué ocurre con la energía potencial del sistema de dos cargas? Elija entre las
mismas posibilidades.
r 12
r 23
q1
r 13
q3
Figura 25.10 Tres cargas puntuales están fijas en las posiciones
que se muestran. La energía potencial de este sistema de cargas
se conoce por la ecuación 25.14.
1
La expresión de la energía potencial eléctrica de un sistema formado por dos cargas puntuales, la ecuación 25.13, es de la misma estructura que la ecuación de la energía potencial gravitacional de un sistema
formado por dos masas puntuales: Gm1m2/r (véase el capítulo 13 del volumen I). La similitud no es sorprendente en vista de que ambas expresiones se deducen de una ley de fuerzas del cuadrado inverso.
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700
Capítulo 25
EJEMPLO 25.3
Potencial eléctrico
Potencial eléctrico debido a dos cargas puntuales
Como se muestra en la figura 25.11a, una carga q1 2.00 mC
se ubica en el origen y una carga q2 6.00 mC se ubica en (0,
3.00) m.
y
y
– 6.00 mC
–6.00 mC
3.00 m
A) Encuentre el potencial eléctrico total debido a estas cargas en
el punto P, cuyas coordenadas son (4.00, 0) m.
3.00 m
P
2.00 mC
x
2.00 mC
4.00 m
x
3.00 mC
4.00 m
a)
SOLUCIÓN
b)
Figura 25.11 (Ejemplo 25.3) a) El potencial eléctrico en
P debido a las dos cargas q1 y q2 es la suma algebraica de los
potenciales debidos a las cargas individuales. b) Una tercera
carga q3 3.00 mC se lleva desde el infinito al punto P.
Conceptualizar Reconozca que las cargas de 2.00 mC y de
6.00 mC son cargas fuente y establecen un campo eléctrico así
como un potencial en todos los puntos del espacio, incluido el
punto P.
Categorizar El potencial se evalúa con una ecuación desarrollada en este capítulo, así que este ejemplo se clasifica como
un problema de sustitución.
Use la ecuación 25.12 para el sistema de dos cargas
fuente:
Sustituya valores numéricos:
ke a
VP
VP
18.99
109 N # m2>C2 2 a
6.29
q1
r1
q2
b
r2
2.00 10 6 C
4.00 m
6.00 10
5.00 m
6
C
b
103 V
B) Encuentre el cambio en energía potencial del sistema de dos cargas más una tercera carga q3 3.00 mC conforme la
última carga se mueve del infinito al punto P (figura 25.11b).
SOLUCIÓN
Asigne Ui 0 para el sistema en una configuración en
que la carga q3 está en el infinito. Use la ecuación 25.2
para evaluar la energía potencial para la configuración
en que la carga está en P :
Sustituya valores numéricos para evaluar U:
Uf
¢U
Uf
Ui
1.89
0
q 3VP
10
2
q 3VP
13.00
10
6
C 2 1 6.29
103 V 2
J
Por lo tanto, ya que la energía potencial del sistema disminuyó, un agente externo tiene que hacer trabajo positivo para
retirar la carga del punto P de regreso al infinito.
¿Qué pasaría si? Trabaja este ejemplo con una compañera de clase y ella le dice: “¡Espera un minuto! En el inciso B) se
ignoró la energía potencial asociada con el par de cargas q1 y q2!”. ¿Cómo respondería?
Respuesta Dado el enunciado del problema, no es necesario incluir esta energía potencial porque en el inciso B) pide
el cambio en energía potencial del sistema conforme q3 se lleva desde el infinito. Ya que la configuración de las cargas q1 y
q2 no cambia en el proceso, no hay U asociada con estas cargas. Sin embargo, si el inciso B) hubiese pedido encontrar el
cambio en energía potencial cuando las tres cargas inician separadas desde el infinito y después se llevan a las posiciones en
la figura 25.11b, tendría que calcular el cambio usando la ecuación 25.14.
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Sección 25.4
25.4
701
Obtención del valor del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico
Obtención del valor del campo eléctrico
a partir del potencial eléctrico
S
El campo eléctrico E y el potencial eléctrico V están relacionados, como se mostró en la
S
ecuación 25.3 que se usa para enconrart V si el campo eléctrico E se conoce. Ahora se
muestra cómo calcular el valor del campo eléctrico en una región específica si el potencial eléctrico se conoce.
Mediante la ecuación 25.3 exprese la diferencia de potencial dV entre dos puntos
separados una distancia ds como
dV
S
S
E ds
S
dV
dx
S
dV
dr
q
+
(25.16)
Es decir, la componente en x del campo eléctrico es igual al negativo de la derivada del
potencial eléctrico respecto a x. Pueden hacerse enunciados similares acerca de las componentes en y y en z. La ecuación 25.16 es la afirmación matemática del hecho de que el
campo eléctrico es una medida de la relación de cambio del potencial eléctrico con su
posición, como se mencionó en la sección 25.1.
Experimentalmente, el potencial eléctrico y la posición se pueden medir con facilidad
si utiliza un voltímetro (véase la sección 28.5) y una regleta de medición. En consecuencia, un campo eléctrico se determina al medir el potencial eléctrico en varias posiciones
en el campo y dibujando una gráfica de los resultados. De acuerdo con la ecuación 25.16,
la pendiente de la gráfica de V en función de x en un punto determinado nos proporciona la magnitud del campo eléctrico en ese punto.
S
Cuando una carga de prueba se somete a un desplazamiento d s a lo largo de una
superficie equipotencial, en tal caso dV 0 ya que el potencial es constante en una suS
S
perficie equipotencial. Por la ecuación 25.15, se reconoce que dV E d s 0; por lo
S
tanto, E debe ser perpendicular al desplazamiento a lo largo de la superficie equipotencial. Esto demuestra que las superficies equipotenciales siempre deben ser perpendiculares a las líneas de campo eléctrico que pasan a través de ellas.
Como se mencionó al final de la sección 25.2, las superficies equipotenciales para un
campo eléctrico uniforme están constituidas en una familia de planos perpendiculares a
las líneas de campo. La figura 25.12a muestra algunas superficies equipotenciales representativas de esta situación.
Si la distribución de carga que origina un campo eléctrico tiene simetría esférica tal
que la densidad de carga volumétrica depende sólo de la distancia radial r, el campo
S
S
eléctrico es radial. En este caso, E d s Er dr, y se puede expresar dV en la forma dV Er dr. Por lo tanto,
Er
a)
(25.15)
Si el campo eléctrico tiene sólo una componente Ex, en tal caso E d s Ex dx. Por tanto,
la ecuación 25.15 se convierte en dV Ex dx, o
Ex
E
(25.17)
b)
c)
Figura 25.12 Superficies equipotenciales (las líneas azules punteadas son las intersecciones de estas
superficies con la página) y las
líneas de campo eléctrico para a)
un campo eléctrico uniforme producido por un plano infinito de
carga, b) una carga puntual, y c)
un dipolo eléctrico. En todos los
casos, las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas
de campo eléctrico en todos los
puntos.
Por ejemplo, el potencial eléctrico de una carga puntual es V keq/r. Debido a que V
es sólo función de r, la función potencial tiene simetría esférica. Al aplicar la ecuación
25.17, encuentra que el campo eléctrico debido a la carga puntual es Er keq/r2, un
resultado familiar. Observe que el potencial sólo cambia en dirección radial, no en cualquier dirección perpendicular a r. Por tanto, V (igual que Er) sólo es función de r. De
nuevo, esto es consistente con la idea de que las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo. En este caso, las superficies equipotenciales forman una
familia de esferas concéntricas con la distribución de carga de simetría esférica (figura 25.12b). Las superficies equipotenciales para un dipolo eléctrico se trazan en la figura
25.12c.
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702
Capítulo 25
Potencial eléctrico
En general, el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas espaciales.
Si V(r) se da en coordenadas cartesianas, las componentes Ex, Ey y Ez del campo eléctrico
pueden ser determinadas fácilmente a partir de V(x, y, z) como derivadas parciales2
Determinación del
campo eléctrico a partir
del potencial
0V
0x
Ex
(25.18)
Pregunta rápida 25.4 En cierta región del espacio el potencial eléctrico es igual a cero
en todos los puntos a lo largo del eje x. De ello es posible concluir que en esta región
la componente en x del campo eléctrico es: a) cero, b) en la dirección de x, o c) en la
dirección de x.
EJEMPLO 25.4
Potencial eléctrico debido a un dipolo
Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto separadas
por una distancia 2a como se muestra en la figura 25.13. El dipolo está a lo largo del eje
x y tiene centro en el origen.
y
P
a
a
R
A) Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje y.
x
–q
q
SOLUCIÓN
x
Conceptualizar Compare esta situación con la del inciso B) del ejemplo 23.5. Es la
misma situación, pero en este caso se busca el potencial eléctrico en lugar del campo
eléctrico.
Figura 25.13 (Ejemplo 25.4)
Dipolo eléctrico ubicado sobre el
eje x.
Categorizar Ya que el dipolo consiste sólo en dos cargas fuente, el potencial eléctrico
se puede evaluar al sumar los potenciales debidos a las cargas individuales.
VP
Analizar Use la ecuación 25.12 para hallar el potencial
eléctrico en P debido a la dos cargas:
ke a
qi
ri
ke a
ke a
qi
ri
ke a
i
q
2a 2
q
2a 2
y2
y2
b
0
B) Calcule el potencial eléctrico en el punto R sobre el eje x.
SOLUCIÓN
Use la ecuación 25.12 para encontrar el potencial eléctrico en
R debido a las dos cargas:
VR
i
q
x
q
a
x
a
b
2k eqa
x2
a2
C) Calcule V y Ex en un punto sobre el eje x lejos del dipolo.
SOLUCIÓN
Para el punto R lejos del dipolo tal que x >> a, ignore a2
en el denominador de la respuesta al inciso B) y escriba
V en este límite:
2
VR
lím a
2k eqa
x
xWa
2
a
2
b
2k eqa
x2
1x W a 2
S
En notación vectorial, a menudo E se escribe en los sistemas de coordenadas cartesianas de la forma
S
E
§V
a î
0
0x
ĵ
0
0y
k̂
0
bV
0z
donde = es conocido como el operador gradiente.
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Sección 25.5
Use la ecuación 25.16 y este resultado para calcular la
componente x del campo eléctrico en un punto sobre
el eje x lejos del dipolo:
Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuas
Ex
dV
dx
d
a
dx
2k e qa
d 1
a b
dx x 2
2k e qa
x2
703
b
4k e qa
x3
1x W a2
Finalizar Los potenciales en los incisos B) y C) son negativos, porque los puntos sobre el eje x están más cerca de la
carga negativa que de la carga positiva. Por la misma razón, la componente x del campo eléctrico es negativa. Compare el
resultado del inciso C) con la del problema 18 en el capítulo 23, donde el campo eléctrico sobre el eje x debido a un dipolo
se calculó directamente.
¿Qué pasaría si? Suponga que quiere encontrar el campo eléctrico en un punto P sobre el eje y. En el inciso A), se encontró
que el potencial eléctrico es cero para todos los valores de y. El campo eléctrico, ¿es cero en todos los puntos sobre el eje y?
Respuesta No. Que no haya cambio en el potencial a lo largo del eje y dice sólo que la componente y del campo eléctrico
es cero. Vea de nuevo la figura 23.13 en el ejemplo 23.5. Se demostró que el campo eléctrico de un dipolo sobre el eje y sólo
tiene una componente x. No se puede encontrar la componente x en el ejemplo actual porque no se tiene una expresión
para el potencial cerca del eje y como función de x.
25.5
Potencial eléctrico debido
a distribuciones de carga continuas
Existen dos maneras de calcular el potencial eléctrico debido a una distribución de
carga continua. Si conoce la distribución de carga, considere el potencial debido a un
elemento de carga dq pequeño, y trate a este elemento como una carga puntual (figura
25.14). Por la ecuación 25.11 el potencial eléctrico dV en algún punto P, debido al elemento de carga dq, es
dV
ke
dq
r
(25.19)
donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto P. Para tener el potencial
total en el punto P, integre la ecuación 25.19 a fin de incluir las contribuciones de todos
los elementos de la distribución de carga. Ya que cada elemento está, por lo general, a
una distancia diferente del punto P, y ke es constante, exprese V como
V
ke
dq
r
(25.20)
Potencial eléctrico debido a una distribución
de carga continua
En efecto, ha reemplazado la suma en la ecuación 25.12 por una integral. En esta expresión
para V el potencial eléctrico se supone igual a cero cuando el punto P se encuentra infinitamente lejos de la distribución de carga.
Si debido a otras consideraciones, como la ley de Gauss, el campo eléctrico ya es
conocido, con la ecuación 25.3 es posible calcular el potencial eléctrico debido a una
distribución de carga continua. Si la distribución de la carga tiene suficiente simetría,
S
primero, mediante la ley de Gauss, evalúe E y después sustituya el valor obtenido en la
ecuación 25.3, para determinar la diferencia de potencial V entre dos puntos cualesquiera. A continuación se elige el valor del potencial eléctrico V de cero en algún punto
conveniente.
dq
r
P
ESTRATEGIA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Cálculo de potencial eléctrico
El siguiente procedimiento se recomienda para resolver problemas que involucren la
determinación de un potencial eléctrico debido a una distribución de carga.
1. Conceptualizar. Piense cuidadosamente en las cargas individuales o en la distribución de
carga que plantea el problema e imagine qué tipo de potencial sería establecido. Recurra
a cualquier simetría en el ordenamiento de cargas para ayudarse a visualizar el potencial.
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Figura 25.14 Es posible calcular
el potencial eléctrico en el punto
P debido a una distribución
de carga continua, al dividir
la distribución de carga en los
elementos de carga dq y sumar
las contribuciones del potencial
eléctrico de todos ellos.
9/11/08 5:22:46 PM
704
Capítulo 25
Potencial eléctrico
2. Categorizar. ¿Analiza un grupo de cargas individuales o una distribución de carga continua? La respuesta a esta pregunta le dirá cómo proceder en la etapa Analizar.
3. Analizar. Cuando trabaje problemas que involucren potencial eléctrico, recuerde que
es una cantidad escalar, de modo que no hay componentes a considerar. Por tanto,
cuando use el principio de sobreposición para evaluar el potencial eléctrico en un
punto, simplemente tome la suma algebraica de los potenciales debidos a cada carga.
Sin embargo, debe acordarse de los signos.
Igual que con la energía potencial en mecánica, sólo son significativos los cambios
en el potencial eléctrico; por ende, el punto donde el potencial se establece en cero es
arbitrario. Cuando se trata con cargas puntuales o una distribución de carga de tamaño
finito, por lo general se define V 0 como un punto infinitamente alejado de las cargas. No obstante, si la distribución de carga en sí se extiende hasta el infinito, se debe
seleccionar algún otro punto cercano como el punto de referencia.
a) Si analiza un grupo de cargas individuales: use el principio de sobreposición, que afirma que cuando están presentes varias cargas puntuales, el potencial resultante en
un punto en el espacio es la suma algebraica de los potenciales individuales debidos
a las cargas individuales (ecuación 25.12). El ejemplo 25.4 demostró este procedimiento.
b) Si analiza una distribución de carga continua: sustituya las sumas para evaluar el potencial
total en algún punto P a partir de cargas individuales mediante integrales (ecuación
25.20). La distribución de carga se divide en elementos infinitesimales de carga dq
ubicados a una distancia r del punto P. En tal caso un elemento se trata como una
carga puntual, de modo que el potencial en P debido al elemento es dV ke dq/r. El
potencial total en P se obtiene al integrar sobre toda la distribución de carga. Para
muchos problemas es posible, al realizar la integración, expresar dq y r en términos
de una sola variable. Para simplificar la integración tenga especial cuidado con la
geometría involucrada en el problema. Los ejemplos del 25.5 al 25.7 demuestran tal
procedimiento.
Para obtener el potencial a partir del campo eléctrico: otro método utilizado para obtener
el potencial es comenzar con la definición de la diferencia de potencial dada por la
S
ecuación 25.3. Si conoce E o lo puede obtener fácilmente (como a partir de la ley de
S
S
Gauss), se puede evaluar la integral de línea de E d s .
4. Finalizar. Compruebe para ver si su expresión para el potencial es consistente con la representación mental y refleja cualquier simetría notada previamente. Imagine variar parámetros tales como la distancia del punto de observación desde las cargas o el radio
de cualquier objeto circular para saber si el resultado matemático cambia en una forma
razonable.
EJEMPLO 25.5
Potencial eléctrico debido a un anillo con carga uniforme
A) Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en un punto P ubicado so-bre
el eje central perpendicular de un anillo con carga uniforme de radio a y carga total
Q.
dq
a
公a 2 x 2
SOLUCIÓN
Conceptualizar Estudie la figura 25.15, en la que el anillo se orienta de modo que
su plano es perpendicular al eje x y su centro está en el origen.
Categorizar Ya que el anillo consiste en una distribución continua de carga en lugar
de un conjunto de cargas discretas, en este ejemplo debe usar la técnica de integración
representada por la ecuación 25.20.
Analizar Tome el punto P a una distancia x desde el centro del anillo, como se
muestra en la figura 25.15. Observe que todos los elementos de carga dq están a la
misma distancia 1a 2 x 2 del punto P.
Cap_25_Serway.indd 704
x
P
Figura 25.15 (Ejemplo 25.5) Un
anillo de radio a con carga uniforme,
yace en un plano perpendicular al
eje x. Todos los elementos dq del
anillo están a la misma distancia de
un punto P que se encuentra sobre
el eje x.
9/11/08 5:22:47 PM
Sección 25.5
705
Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuas
Aplique la ecuación 25.20 para expresar V en términos de la geometría:
Al notar que a y x son constantes, quite 1a 2 x 2 de la integral
e integre sobre el anillo:
V
dq
r
ke
ke
V
2a 2
dq
ke
2a 2
k eQ
dq
x2
x2
2a 2
(25.21)
x2
B) Hallar una expresión para la magnitud del campo eléctrico en el punto P.P.
SOLUCIÓN
S
A partir de la simetría, Observe que, a lo largo del eje x, E puede tener
sólo una componente x. Por lo tanto, aplique la ecuación 25.16 a la
ecuación 25.21:
dV
dx
Ex
k eQ 1
1a
Ex
k eQ
d
1a 2
dx
1a 2
x22
1
22
ke x
x 2 2 3>2
2
x22
3>2
1>2
12x2
(25.22)
Q
Finalizar La única variable en las expresiones para V y Ex es x. Esto no es de sorprender porque los cálculos son válidos
sólo para puntos a lo largo del eje x, donde y y z son cero. Este resultado para el campo eléctrico concuerda con el obtenido
mediante integración directa (ejemplo 23.7).
EJEMPLO 25.6
Potencial eléctrico debido a un disco con carga uniforme
Un disco con carga uniforme tiene radio R y densidad de carga superficial s.
公 r 2x2
R
r
A) Encuentre el potencial eléctrico en un punto P a lo largo del eje central perpendicular del disco.
x
dA 2pr dr
SOLUCIÓN
dr
Conceptualizar Si considera que el disco es un conjunto de anillos concéntricos, es
posible usar el resultado del ejemplo 25.5 que da el potencial establecido por un anillo
de radio a y sumar las aportaciones de todos los anillos que conforman el disco.
Figura 25.16 (Ejemplo 25.6) Un
disco de radio R, con carga uniforme,
yace en un plano perpendicular
al eje x. El cálculo del potencial
eléctrico en cualquier punto P
sobre el eje x se simplifica al dividir
el disco en muchos anillos de radio
r y ancho dr, con área 2pr dr.
Categorizar Ya que el disco es continuo, se evalúa el potencial debido a una distribución de carga continua en lugar de un grupo de cargas individuales.
Analizar Encuentre la cantidad de carga dq en un anillo de
radio r y ancho dr, como se muestra en la figura 25.16:
R
Esta integral es de la forma común un du y tiene el valor un1/(n
1), donde n ½ y u r2 x2. Use este resultado para evaluar
la integral:
Cap_25_Serway.indd 705
k e dq
dV
V
pk e s
0
V
s 12pr dr2
sdA
dq
Use este resultado en la ecuación dada por V en el ejemplo
25.5 (con r en lugar de a y dq en lugar de Q) para encontrar
el potencial debido al anillo:
Para obtener el potencial total en P, integre esta expresión
sobre los límites r 0 a r R, y observe que x es una constante:
P
2r
2
k e 2psr dr
x
2
2r 2
R
2r dr
2r 2
2psr dr
x2
pk e s
2pk e s 3 1R 2
x2
1r 2
x22
1>2
2r dr
0
x 2 2 1>2
x4
(25.23)
9/11/08 5:22:48 PM
706
Capítulo 25
Potencial eléctrico
B) Encuentre la componente x del campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje central perpendicular del disco.
SOLUCIÓN
Como en el ejemplo 25.5, use la ecuación 25.16 para encontrar
el campo eléctrico en cualquier punto axial:
Ex
2pk e s c 1
dV
dx
1R
x
2
x 2 2 1>2
d
(25.24)
S
Finalizar Compare la ecuación 25.24 con el resultado del ejemplo 23.8. El cálculo de V y E para un punto arbitrario fuera
del eje x es más difícil de realizar y en este libro no se trata dicha situación.
EJEMPLO 25.7
Potencial eléctrico debido a una línea de carga finita
y
Una barra de longitud ubicada a lo largo del eje x tiene una carga total Q y una
densidad de carga lineal uniforme l Q/. Encuentre el potencial eléctrico en un
punto P ubicado sobre el eje y a una distancia a del origen (figura 25.17).
P
r
a
SOLUCIÓN
dq
Conceptualizar El potencial en P debido a cada segmento de carga sobre la barra
es positivo porque cada segmento tiene una carga positiva.
Categorizar Ya que la barra es continua, evalúe el potencial debido a una distribución de carga continua en lugar de un grupo de cargas individuales.
x
Figura 25.17 (Ejemplo 25.7) Línea de
carga uniforme, de longitud , ubicada
a lo largo del eje x. Para calcular el
potencial eléctrico en P, la línea de
carga se divide en segmentos, cada uno
de longitud dx y carga dq l dx.
dV
ke
dq
r
ke
/
V
Encuentre el potencial total en P al integrar esta expresión sobre
los límites x 0 a x :
/
Evalúe el resultado entre los límites:
¿Qué pasaría si?
V
ke
Q
/
3ln 1/
ke l
V
0
2a 2
/2 2
dx
2a 2
ln a4
x2
ke
Q
/
l dx
2a 2
x2
l dx
ke
2a 2
0
Observe que ke y l Q/ son constantes y se pueden retirar de la
integral, evalúe la integral con la ayuda del apéndice B:
dx
Analizar En la figura 25.17, la barra se encuentra a lo largo del eje x, dx es la
longitud de un segmento pequeño y dq es la carga en dicho segmento. Ya que la
barra tiene una carga por cada unidad de longitud l, la carga dq sobre el segmento
pequeño es dq l dx.
Encuentre el potencial en P debido a un segmento de la barra:
x
O
ke
ln a
/
Q
/
x2
ln 1x
2a 2
x22 `
/
0
2a 2
a
/2
b (25.25)
¿Y si se le pide encontrar el campo eléctrico en el punto P ? ¿Sería un cálculo simple?
Respuesta Calcular el campo eléctrico mediante la ecuación 23.11 sería un poco engorroso. No hay simetría que se pueda
usar y la integración sobre la línea de carga representaría una suma vectorial de campos eléctricos en el punto P. Al usar la
ecuación 25.18 podría encontrar Ey al sustituir a con y en la ecuación 25.25 y realizar la diferenciación respecto a y. Puesto
que la barra con carga de la figura 25.17 yace por completo a la derecha de x 0, el campo eléctrico en el punto P tendría
una componente x a la izquierda si la barra está cargada positivamente. Sin embargo, no puede usar la ecuación 25.18 para
Cap_25_Serway.indd 706
9/11/08 5:22:49 PM
Sección 25.6
707
Potencial eléctrico a causa de un conductor con carga
encontrar la componente x del campo, porque el potencial debido a la barra se evaluó en un valor específico de x (x 0) en
lugar de un valor general de x. Tendría que encontrar el potencial como función tanto de x como de y para ser capaz de
encontrar las componentes x y y del campo eléctrico con la ecuación 25.25.
25.6
Potencial eléctrico a causa
de un conductor con carga
En la sección 24.4 descubrió que cuando un conductor sólido en equilibrio tiene una
carga neta, la carga se encuentra en la parte externa de la superficie del conductor. Además, que el campo eléctrico justo en el exterior del conductor es perpendicular a la superficie y que el campo en el interior es igual a cero.
Ahora aprenderá que cada punto de la superficie de un conductor cargado en equilibrio tiene el mismo potencial eléctrico. Examine dos puntos 훽 y 훾 sobre la superficie de
un conductor con carga, como se muestra en la figura 25.18. En una trayectoria superfiS
S
cial que conecta estos puntos, E siempre es perpendicular al desplazamiento d s ; por tanto
S
S
E d s 0. Con este resultado y la ecuación 25.3, concluya que la diferencia de potencial
entre 훽 y 훾 es necesariamente igual a cero:
V
V
S
S
E ds
0
Este resultado es válido para dos puntos cualesquiera sobre la superficie. Por tanto, V es constante en cualquier punto de la superficie de un conductor con carga en equilibrio. Es decir,
la superficie en cualquier conductor con carga en equilibrio electrostático es una
superficie equipotencial. Además, ya que el campo eléctrico es igual a cero en el
interior del conductor, el potencial eléctrico es constante en cualquier punto en
el interior del conductor y en la superficie es equivalente a su valor.
El valor constante del potencial, no requiere ningún trabajo para mover una carga de
prueba del interior de un conductor con carga a su superficie.
Considere una esfera conductora metálica sólida de radio R con una carga total positiva Q, como se muestra en la figura 25.19a. Como se determinó en el inicio A) del
ejemplo 24.3, el campo eléctrico en el exterior de esta esfera es keQ/r2 y apunta radialmente hacia afuera ya que el campo exterior de una distribución de carga con simetría
esférica es idéntico al de una carga puntual, debe esperar que el potencial también sea
de una carga puntual, keQ/r. En la superficie de la esfera conductora de la figura 25.19a,
el potencial debe ser keQ/R. Porque que existe el mismo potencial en toda la esfera, el
potencial en cualquier punto dentro de la esfera debe ser keQ/R. La figura 25.19b es
una gráfica del potencial eléctrico como una función de r, y la figura 25.19c muestra la
forma en que el campo eléctrico varía en función de r.
Cuando se coloca una carga neta en un conductor esférico, la densidad de carga
superficial es uniforme, como se indica en la figura 25.19a. Sin embargo, si el conductor no es esférico, como en la figura 25.18, la densidad de carga superficial es elevada donde el radio de curvatura es pequeño (como se vio en la sección 24.4), y es reducida donde el radio de curvatura es grande.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 25.6
El potencial puede no ser igual
a cero
En la figura 25.18 el potencial
eléctrico en el interior del
conductor no necesariamente
es igual a cero, a pesar de que
el campo eléctrico es cero. La
ecuación 25.15, muestra que
un valor cero del campo da
como resultado un potencial sin
cambio de un punto a otro en
el interior del conductor. Por
tanto, el potencial en todo el
interior del conductor, incluso
en la superficie, tiene el mismo
valor, que puede o no ser
cero, depende de dónde se ha
definido el cero del potencial.
+
a)
+
+
+
+
+
+
+
R
+
+
+
+
+
+
+
+
V
b)
k eQ
r
k eQ
R
r
k eQ
E
r2
c)
++
++
R
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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++
+
+
+
+
+
+훾
+
+
+
훽
E
Figura 25.18 Conductor de forma arbitraria con una carga positiva. Cuando
el conductor se encuentra
en equilibrio electrostático, la totalidad de la carga
S
reside
en
la
superficie,
0 en el interior del conductor, y la dirección de
E
S
E justo afuera del conductor es perpendicular a la superficie. El potencial
eléctrico es constante en el interior del conductor y es igual al potencial en
la superficie. Observe que, por el espaciamiento de los signos positivos, la
densidad de carga superficial no es uniforme.
r
Figura 25.19 a) La carga
excedente en una esfera
conductora de radio R está
uniformemente distribuida sobre
su superficie. b) Potencial eléctrico
en función de la distancia r desde
el centro de la esfera conductora
con carga. c) Magnitud del campo
eléctrico en función de la distancia
r desde el centro de la esfera
conductora con carga.
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708
Capítulo 25
Potencial eléctrico
Debido a que el campo eléctrico justo afuera del conductor es proporcional a la densidad de carga superficial, el campo eléctrico es grande cerca de puntos convexos que
tienen pequeños radios de curvatura y alcanza valores muy elevados en puntos puntiagudos. En el ejemplo 25.8 se explora matemáticamente la correspondencia entre campo
eléctrico y radio de curvatura.
EJEMPLO 25.8
Dos esferas con carga conectadas
Dos conductores esféricos, con radios r1 y r2, están separados un distancia mucho
mayor que el radio de cualquier esfera. Las esferas están conectadas mediante un
alambre conductor, como se muestra en la figura 25.20. Las cargas en las esferas en
equilibrio son q1 y q2, y están uniformemente cargadas. Encuentre la relación de las
magnitudes de los campos eléctricos en las superficies de las esferas.
r1
q1
SOLUCIÓN
r2
Conceptualizar Imagine que las esferas están mucho más alejadas de lo que se
muestra en la figura 25.20. Puesto que están tan separadas, el campo de una no afecta la distribución de carga sobre la otra. El alambre conductor entre ellas garantiza
que ambas esferas tengan el mismo potencial eléctrico.
q2
Figura 25.20 (Ejemplo 25.8) Dos
conductores esféricos con carga están
conectados por un alambre conductor.
Las esferas están al mismo potencial
eléctrico V.
Categorizar Como las esferas están muy alejadas, la distribución de carga sobre
ellas se modela como esféricamente simétrica y el campo y el potencial afuera de las
esferas se modela como el debido a cargas puntuales.
V
Analizar Iguale los potenciales eléctricos en las superficies
de las esferas:
12
Resuelva para la proporción de cargas en las esferas:
Escriba expresiones para las magnitudes de los campos eléctricos en las superficies de las esferas:
ke
E1
ke
Evalúe la proporción de estos dos campos:
Sustituya para la razón de cargas de la ecuación 1):
22
q1
r 12
q1
r1
ke
q2
r2
q1
q2
r1
r2
y
E2
E1
E2
q 1 r 22
q 2 r 12
E1
E2
r 1 r 22
r 2 r 12
ke
q2
r 22
r2
r1
Finalizar El campo es más intenso en la vecindad de la esfera más pequeña aun cuando los potenciales eléctricos en las
superficies de ambas son iguales.
Una cavidad dentro de un conductor
Ahora considere que un conductor de forma arbitraria contiene una cavidad como se
muestra en la figura 25.21. Suponga que no hay cargas en el interior de la cavidad. En
este caso, el campo eléctrico en el interior de la cavidad debe ser igual a cero, sin importar
la distribución de la carga en la superficie exterior del conductor, como se mencionó en la
sección 24.4. Además, el campo en la cavidad es igual a cero aun si existe un campo eléctrico en el exterior del conductor.
Para probarlo, recuerde que todos los puntos del conductor tienen el mismo potencial eléctrico y, por tanto, dos puntos cualesquiera 훽 y 훾 en la superficie de la cavidad
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Sección 25.7
El experimento de la gota de aceite de Millikan
709
S
deben de estar al mismo potencial. Ahora imagine que existe un campo E en la cavidad y
evalúe la diferencia de potencial V훾 V훽 definida en la ecuación 25.3:
V
S
훾
S
E ds
V
S
훽
S
Debido a que V훾 V훽 0, la integral de E d s debe ser cero para todas las trayectorias
entre dos puntos cualesquiera 훽 y 훾 en el conductor. La única manera de que esto
S
pueda ser válido para todas las trayectorias es si E es igual a cero en cualquier sitio de la
cavidad. Entonces, una cavidad rodeada por paredes conductoras es una región libre de
campo eléctrico, siempre y cuando no existan cargas en el interior de la misma.
Efecto corona
Figura 25.21 Un conductor en
equilibrio electrostático con una
cavidad. El campo eléctrico en el
interior de la cavidad es igual a
cero, sin importar la carga en el
conductor.
El fenómeno conocido como efecto corona se observa a menudo cerca de un conductor como el de una línea de transmisión de energía de alto voltaje. Cuando el campo
eléctrico es suficientemente intenso en las cercanías del conductor, los electrones que
resultan de las ionizaciones al azar de las moléculas del aire que están cerca del conductor se aceleran y alejan de sus moléculas madre. Estos electrones de movimiento rápido
ionizan otras moléculas cercanas al conductor, crean más electrones libres. El resplandor observado (descarga en corona) resulta de la combinación de estos electrones libres
con las moléculas de aire ionizadas. Si un conductor tiene una forma irregular, el campo
eléctrico puede ser muy elevado cerca de las puntas o los bordes afilados del conductor;
en consecuencia, lo más probable es que el proceso de ionización y el efecto corona se
presenten cerca de esos puntos.
El efecto corona se utiliza en la industria de la transmisión eléctrica para localizar componentes rotos o defectuosos. Por ejemplo, un aislante roto en una torre de transmisión
tiene bordes filosos donde es muy probable que se presente este efecto. De manera similar, el mismo efecto ocurrirá en el extremo puntiagudo de un filamento conductor roto.
Observar estas descargas es difícil, porque la radiación visible emitida es débil y la mayor
parte de la radiación está en la zona ultravioleta. (En la sección 34.7 se explica la radiación
ultravioleta y otras secciones del espectro electromagnético.) Incluso la utilización de
cámaras ultravioleta tradicionales resulta de poca ayuda porque la radiación a causa de la
descarga en corona es opacada por la radiación ultravioleta del sol. Aparatos de espectro dual de reciente desarrollo combinan una cámara ultravioleta de banda angosta con
una cámara de luz visible para mostrar una vista a la luz de día del efecto corona en la
ubicación real de la torre o cable de transmisión. La porción ultravioleta de la cámara
está diseñada para operar en un intervalo de longitud de onda en que la radiación solar
es muy débil.
25.7
El experimento de la gota de aceite
de Millikan
De 1909 a 1913 Robert Millikan realizó brillantes experimentos en los cuales midió la
magnitud de la carga elemental de un electrón e, y demostró la naturaleza cuantizada
de esta carga. Sus aparatos, ilustrados en la figura 25.22, contienen dos placas metálicas
Gotitas de aceite
Agujero de alfiler
+ –
Figura 25.22
Dibujo esquemático del aparato
de Millikan.
d
q
v
Telescopio
con cuadrante graduado en el ocular
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710
Capítulo 25
Potencial eléctrico
FD
v
q
mg
a)
qE
E
v
FD
mg
b)
Figura 25.23 Fuerzas que
actúan sobre una gotita de aceite
negativamente cargada en el
experimento de Millikan. a) Con
el campo eléctrico desactivado,
la gotita cae a una velocidad
terminal Sv , bajo la influencia de
las fuerzas gravitacionales y de
arrastre. b) Cuando el campo
eléctrico está activado, la gotita
se mueve hacia arriba a una
velocidad terminal Sv ¿ bajo la
influencia de las fuerzas eléctrica,
gravitacional y de arrastre.
paralelas. Un atomizador permite pasar gotitas de aceite a través de un orificio pequeño
en la placa superior. Millikan utilizó rayos X para ionizar el aire en la cámara; así, los electrones liberados se adhieren a las gotitas de aceite y las cargan negativamente. Se aplicó
un haz de luz dirigido en forma horizontal para iluminar las gotas de aceite, que son observadas a través de un telescopio cuyo eje mayor es perpendicular al haz de luz. Cuando
las gotitas se observan de esta manera, dan la apariencia de estrellas luminosas contra un
fondo oscuro, lo cual permite determinar la rapidez a la cual cae cada gota.
Considere una sola gota con masa m y carga negativa q que es observada. Si no hay
un campo eléctrico presente entre las placas, las dos fuerzas que actúan sobre la cargaS
S
son la fuerza gravitacional m g , que actúa hacia abajo,3 y la fuerza de arrastre viscosa F
D, que actúa hacia arriba, como se indica en la figura 25.23a. La fuerza de arrastre es
proporcional a la rapidez de caída como se explicó en la sección 6.4. Cuando la gota
alcanza su rapidez terminal v, las dos fuerzas se equilibran (mg 5 FD).
Ahora suponga que una batería conectada a las placas crea un campo eléctrico entre éstas de forma que la placa superior quede con el potencial eléctrico más elevado.
S
En este caso, una tercera fuerza qE actúa sobre la gota con carga. Porque q es negativa y
S
E se dirige hacia abajo, la fuerza eléctrica se dirige hacia arriba, como se muestra en la
figura 25.23b. Si esta fuerza hacia arriba
es lo suficientemente intensa, la gota se moverá
S
hacia arriba y la fuerza de arrastre F39D actuará hacia abajo. Cuando la fuerza eléctrica
S
qE hacia arriba
equilibra la suma de la fuerza de la gravedad y la fuerza de arrastre haS
cia abajo F39D, la gota alcanzará una nueva rapidez terminal v9 hacia arriba.
Con el campo activado, una gotita se mueve lentamente hacia arriba, a centésimos
de un centímetro por segundo, la rapidez de caída en ausencia de un campo es comparable. En consecuencia, uno puede seguir una gotita durante horas, subiendo y bajando
alternativamente, sólo con activar o desactivar el campo eléctrico.
Después de registrar las mediciones de miles de gotas, Millikan y sus ayudantes encontraron que todas las gotitas tenían, con aproximadamente 1% de precisión, una
carga igual a algún entero múltiplo de la carga elemental e:
q
ne
n
0, 1, 2, 3, p
donde e 1.60 1019C. El experimento de Millikan produce evidencia concluyente
de que la carga está subdividida en cantidades discretas (cuantizada). Por este trabajo,
obtuvo el premio Nobel de Física en 1923.
25.8
Aplicaciones de la electrostática
La aplicación práctica de la electrostática está representada por aparatos como pararrayos y precipitadores electrostáticos y por procesos como la xerografía y la pintura de automóviles. Los aparatos científicos según los principios de la electrostática incluyen los
generadores electrostáticos, el microscopio iónico de efecto de campo y los motores de
cohete iónico.
El generador Van de Graaff
Los resultados experimentales han demostrado que cuando un conductor con carga se
pone en contacto con el interior de un conductor hueco, toda la carga del conductor con
carga se transfiere al conductor hueco. En principio, la carga en el conductor hueco y su
potencial eléctrico pueden incrementarse sin límite mediante la repetición del proceso.
En 1929 Robert J. Van de Graaff (1901-1967) utilizó este principio para diseñar y
construir un generador electrostático; una representación esquemática aparece en la figura 25.24. Este tipo de generador tiene una intensa utilización en la investigación de la
física nuclear. La carga es llevada continuamente a un electrodo a un alto potencial por
medio de una banda transportadora hecha de material aislante. El electrodo de alto vol3
También existe una fuerza de flotación en la gota de aceite debida al aire que la rodea. Esta fuerza se
S
incorpora como una corrección a la fuerza gravitacional m g sobre la gota, así que para este análisis no se
tomará en cuenta.
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9/11/08 5:22:52 PM
Sección 25.8
711
Aplicaciones de la electrostática
taje es un domo metálico hueco montado sobre una columna aislante. La banda se carga
en el punto por medio de un efecto corona entre unas agujas metálicas parecidas a
un peine y una rejilla a tierra. Las agujas se mantienen a un potencial eléctrico positivo
que es de 104 V. La carga positiva de la banda transportadora se transfiere al domo mediante un segundo peine de agujas en el punto . Ya que el campo eléctrico en el interior
del domo es despreciable, la carga positiva de la banda se transfiere con facilidad al conductor a pesar del potencial del conductor. En la práctica es posible aumentar el potencial
eléctrico del domo hasta que se presenta una descarga eléctrica a través del aire. Porque
la “ruptura” del campo eléctrico del aire es casi de 3 106 V/m, el potencial de una esfera de 1m de radio se eleva a un máximo de 3 106 V. Este potencial se incrementa aún
más si aumenta el radio del domo y coloca todo el sistema en un recipiente lleno de gas
a presión alta.
Los generadores de Van de Graaff producen diferencias de potencial de hasta 20 millones de volts. Los protones acelerados a través de diferencias de potencial tan grandes,
reciben suficiente energía para iniciar reacciones nucleares entre ellos y entre diferentes
núcleos objetivo. Con frecuencia los generadores pequeños están en los salones de clases
de ciencia y en los museos. Si una persona no hace contacto con tierra y toca la esfera
de un generador Van de Graaff, es posible elevar el potencial eléctrico de su cuerpo de
manera considerable. El cabello adquiere una carga positiva neta, y cada mechón repele
a todos los demás, como se muestra en la fotografía de introducción del capítulo 23.
El precipitador electrostático
Una aplicación importante de la descarga eléctrica en los gases es el precipitador electrostático. Este aparato retira partículas de materia de los gases de combustión, por lo que
reduce la contaminación en el aire. Los precipitadores son de especial utilidad en plantas eléctricas que consumen carbón y en operaciones industriales que generan grandes
cantidades de humo. Los sistemas actuales son capaces de eliminar más de 99% de la
ceniza del humo.
La figura 25.25a muestra un diagrama esquemático de un precipitador electrostático. Entre un alambre que corre hacia abajo en el centro de un ducto y las paredes del
mismo, que están a tierra, se mantiene una diferencia de potencial elevada (de 40 a 100
kV). El alambre se mantiene a un potencial eléctrico negativo respecto a las paredes, así
que el campo eléctrico está dirigido hacia el alambre. Los valores del campo cercano al
alambre se elevan lo suficiente para causar un efecto producidos alrededor del alambre;
el aire cerca del alambre contiene iones positivos, electrones y iones negativos, como
por ejemplo el O2. El aire que hay que limpiar entra al ducto y se mueve cerca del cable. Conforme los electrones y los iones negativos producidos por la descarga aceleran
hacia la pared exterior debido al campo eléctrico, las partículas de polvo en el aire se
Domo metálico
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Banda
transportadora
P
Tierra
Aislador
Figura 25.24 Diagrama
esquemático de un generador Van
de Graaff. La carga se transfiere
al domo metálico en la parte
superior por medio de una banda
transportadora. La carga se
deposita en la banda en el punto
y se transfiere al conductor
hueco del punto .
Pesa
Salida de los desechos
a)
© Alexander Tolstykh/Shutterstock
Entrada
de
aire
sucio
Salida de
aire
limpio
Rei O‘Hara/Black Star/PNI.
© Ray Stubbiebine/Reuters/Corbis
Aislador
b)
c)
Figura 25.25 a) Diagrama esquemático de un precipitador electrostático. El elevado potencial eléctrico negativo que se mantiene en el
alambre en espiral del centro crea un efecto corona cerca de él. Compare la contaminación del aire cuando un precipitador electrostático está
b) en operación y c) inactivo.
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712
Capítulo 25
Potencial eléctrico
Lente
Patrón entrelazado
de líneas láser
Rayo
láser
Tambor cubierto
de selenio
a) Carga del tambor
b) Formación de la imagen
del documento
Tóner
negativamente
cargado
c) Aplicación del tóner
d) Transferencia del
tóner al papel
e) Tambor de impresora láser
Figura 25.26 El proceso xerográfico: a) La superficie fotoconductora del tambor está positivamente cargada. b) Mediante el uso de una fuente
de luz y de una lente, en la superficie se forma una imagen constituida por cargas positivas. c) La superficie que contiene la imagen se cubre
con polvo negativamente cargado, el cual se adhiere sólo al área de la imagen. d) Un pedazo de papel se coloca sobre la superficie y se le da una
carga positiva que transfiera la imagen al papel ya que las partículas de polvo negativamente cargadas emigran hacia el papel. Después se somete
el papel a un tratamiento térmico para “fijar” el polvo. e) Una impresora láser opera de manera similar excepto que la imagen es producida
mediante la conexión y desconexión de un haz láser conforme éste pasa sobre el tambor recubierto de selenio.
cargan por colisiones y captura de iones. Ya que la mayoría de las partículas de polvo cargadas son negativas, éstas también son atraídas hacia las paredes del ducto por el campo
eléctrico. Si el ducto es sacudido de manera periódica, las partículas se sueltan y se recolectan en el fondo.
Además de reducir el nivel de partículas de materia en la atmósfera (compare las
figuras 25.25b y c), el precipitador electrostático recupera materiales valiosos en forma
de óxidos metálicos.
Xerografía e impresoras láser
La idea básica de la xerografía4 fue desarrollada por Chester Carlson, al que se le concedió en 1940 la patente del proceso xerográfico. La característica distintiva de este proceso es el uso de un material fotoconductor para formar una imagen. (Un fotoconductor es
un material que es un mal conductor eléctrico en la oscuridad pero que se convierte en
buen conductor cuando es expuesto a la luz.)
El proceso de xerografía se ilustra en las partes de la a) a la d) en la figura 25.26. Primero, a la superficie de una placa o de un tambor que ha sido recubierto con una película delgada de un material fotoconductor (selenio o algún compuesto de éste) se le da
una carga electrostática positiva en la oscuridad. Después, la página a copiar es enfocada
por una lente sobre la superficie con carga. La superficie fotoconductora se convierte en
conductora sólo en las áreas donde es tocada por la luz. En estas áreas, la luz produce
portadores de carga en el fotoconductor que mueven la carga positiva del tambor. Sin
embargo, quedan las cargas positivas en aquellas áreas donde el fotoconductor no fue
expuesto a la luz, dejando una imagen latente del objeto en forma de una distribución
superficial de carga positiva.
Después, sobre la superficie fotoconductora se esparce un polvo cargado negativamente, llamado tóner. El polvo con carga se adhiere sólo a aquellas áreas de la superficie
que contienen la imagen positivamente cargada. Por lo tanto, el tóner (y por ende la imagen) es transferido a la superficie de una hoja de papel positivamente cargada.
Por último, el tóner se “fija” a la superficie del papel al derretirse cuando pasa por
unos rodillos de temperatura alta. Esto da como resultado una copia permanente del
original.
Una impresora láser (figura 25.26e) funciona con el mismo principio, excepto que
se utiliza un haz láser dirigido por computadora para iluminar el fotoconductor en lugar
de hacerlo mediante una lente.
4
El prefijo xero viene de la palabra griega que significa “seco”. Note que en la xerografía no se utiliza tinta
líquida.
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713
Preguntas
Resumen
DEFINICIONES
S
Una superficie equipotencial
es aquella donde todos los
puntos tienen el mismo
potencial eléctrico. Las
superficies equipotenciales
son perpendiculares a líneas
de campo eléctrico.
La diferencia de potencial V entre los puntos y en un campo eléctrico E se
define como
¢V
¢U
q0
S
S
E ds
(25.3)
donde U se conoce por la ecuación 25.1 abajo. El potencial eléctrico V U/q0 es una
cantidad escalar y tiene las unidades de joules por cada coulomb, donde J/C 1 V.
CONCEPTOS Y PRINCIPIOS
La diferencia de potencial entre dos puntos y separados una distancia d en un campo eléctrico
S
S
uniforme E , donde s es un vector que apunta de a S
y es paralelo a E , es
Cuando una carga de prueba positiva q0 se mueve
S
entre los puntos y en un campo eléctrico E ,
el cambio en la energía potencial del sistema cargacampo es
¢U
q0
S
S
E ds
(25.1)
Si define V 0 en r `, el potencial eléctrico debido a
una carga puntual a cualquier distancia r desde la carga es
V
ke
q
r
Si conoce el potencial eléctrico como función de las
coordenadas x, y y z, puede obtener las componentes
del campo eléctrico al tomar la derivada negativa del
potencial eléctrico respecto a las coordenadas. Por
ejemplo, la componente x del campo eléctrico es
dV
dx
E
(25.16)
ds
Ed
(25.6)
La energía potencial asociada con un par de cargas
puntuales separadas una distancia r12 es
U
(25.11)
El potencial eléctrico asociado con un grupo de cargas
puntuales se obtiene al sumar los potenciales debidos a las
cargas individuales.
Ex
¢V
ke
q 1q 2
r 12
(25.13)
La energía potencial de una distribución de cargas
puntuales se obtiene al sumarlas como en la
ecuación 25.13 sobre todos los pares de partículas.
El potencial eléctrico debido a una distribución de
carga continua es
V
ke
dq
r
(25.20)
Cada punto en la superficie de un conductor cargado
en equilibrio electrostático tiene el mismo potencial
eléctrico. El potencial es constante en todas partes
dentro del conductor e igual a su valor en la superficie.
Preguntas
O indica pregunta complementaria.
1. Explique la diferencia entre potencial eléctrico y energía potencial eléctrica.
2. O En cierta región del espacio, un campo eléctrico uniforme está en la dirección x. Una partícula con carga
negativa es llevada de x 20 cm a x 60 cm. i) ¿La
energía potencial del sistema carga-campo a) aumenta,
b) permanece constante, c) disminuye o d) cambia de
Cap_25_Serway.indd 713
manera impredecible? ii) ¿La partícula se mueve a una
posición donde el potencial es a) mayor que antes, b)
no cambia, c) menor que antes o d) impredecible?
3. O Considere las superficies equipotenciales que se
muestran en la figura 25.4. En esta región del espacio,
¿cuál es la dirección aproximada del campo eléctrico?
a) afuera de la página, b) hacia la página, c) hacia la
9/11/08 5:22:55 PM
714
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Capítulo 25
Potencial eléctrico
derecha, d) hacia la izquierda, e) hacia lo alto de la
página, f) hacia la parte baja de la página, g) el campo
es cero.
O Una partícula con carga 40 nC, está en el eje x en
el punto con coordenada x 0. Una segunda partícula, con carga 20 nC, está en el eje x en x 500 mm.
i) ¿Existe algún punto a una distancia finita donde el
campo eléctrico sea cero? a) Sí, está a la izquierda de
x 0. b) Sí, está entre x 0 y x 500 mm. c) Sí, está
a la derecha de x 500 mm. d) No. ii) ¿El potencial
eléctrico es cero en este punto? a) No, es positivo. b)
Sí. c) No, es negativo. d) No existe tal punto. iii) ¿Existe
algún punto a una distancia finita donde el potencial
eléctrico sea cero? a) Sí, está a la izquierda de x 0. b)
Sí, está entre x 0 y x 500 mm. c) Sí, está a la derecha de x 500 mm. d) No. iv) ¿El campo eléctrico es
cero en este punto? a) No, apunta a la derecha. b) Sí.
c) No, apunta a la izquierda. d) No existe tal punto.
Dé una explicación física de por qué la energía potencial de un par de cargas con el mismo signo es positiva,
en tanto que la energía potencial del par de cargas con
signos opuestos es negativa.
Describa las superficies equipotenciales de a) una línea
de carga infinita y b) una esfera uniformemente cargada.
O En cierta región del espacio, el campo eléctrico es
cero. A partir de este hecho, ¿qué puede concluir acerca del potencial eléctrico en esta región? a) Es cero. b)
Es constante. c) Es positivo. d) Es negativo. e) Ninguna
de estas respuestas es necesariamente cierta.
O Un filamento, continuo a lo largo del eje x desde el
origen hasta x 80 cm, conduce carga eléctrica con
densidad uniforme. En el punto P, con coordenadas (x
80 cm, y 80 cm), este filamento establece un potencial de 100 V. Ahora agrega otro filamento a lo largo
del eje y, continuo del origen hasta y 80 cm, y porta la misma cantidad de carga con la misma densidad
uniforme. En el mismo punto P, ¿el par de filamentos
establece un potencial a) mayor que 200 V, b) 200 V, c)
entre 141 y 200 V, d) 141 V, e) entre 100 y 141 V, f) 100
V, g) entre 0 y 100 V, o h) 0?
O En diferentes ensayos experimentales, un electrón,
un protón o un átomo de oxígeno doblemente cargado
(O ) se dispara dentro de un tubo de vacío. La trayectoria de la partícula la lleva a un punto donde el potencial eléctrico es de 40 V y luego a un punto con un
potencial diferente. Clasifique cada uno de los siguientes casos de acuerdo con el cambio de energía cinética
de la partícula sobre esta parte de su vuelo, de mayor
aumento a mayor disminución de energía cinética. a)
Un electrón se mueve de 40 a 60 V. b) Un electrón se
mueve de 40 a 20 V. c) Un protón se mueve de 40 a 20
V. d) Un protón se mueve de 40 a 10 V. e) Un ion O se mueve de 40 a 50 V. f) Un ion O se mueve de 40
a 60 V. Para comparar, incluya también en su clasificación g) cambio cero y h) 10 electrón volts de cambio
en energía cinética. También despliegue cualquier caso
de igualdad.
10. ¿Qué determina el potencial máximo al cual puede elevarse el domo de un generador Van de Graaff?
11. O i) Una esfera metálica A, de 1 cm de radio, está a
varios centímetros de distancia de una cubierta esférica
metálica B de 2 cm de radio. Sobre A se coloca una carga
de 450 nC, sin carga en B o en los alrededores. A continuación, los dos objetos se unen mediante un alambre
metálico largo y delgado (como se muestra en la figura
25.20) y al final se quita el alambre. ¿Cómo se comparte
la carga entre A y B? a) 0 en A, 450 nC en B, b) 50 nC
en A y 400 nC en B, con iguales densidades de carga
volumétrica, c) 90 nC en A y 360 nC en B, con iguales
densidades de carga superficial, d) 150 nC en A y 300
nC en B, e) 225 nC en A y 225 nC en B, f) 450 nC en A
y 0 en B, g) en alguna otra forma predecible, h) en
alguna forma impredecible. ii) Una esfera metálica A,
de 1 cm de radio, con 450 nC de carga, cuelga de un
hilo aislante dentro de una cubierta esférica delgada
metálica sin carga B, de 2 cm de radio. A continuación,
A toca temporalmente la superficie interior de B.
¿Cómo comparten la carga? Elija las mismas posibilidades. Arnold Arons, hasta ahora el único profesor de
física cuya fotografía aparece en la portada de la revista
Time, sugirió la idea para esta pregunta.
12. Estudie la figura 23.3, así como el texto al pie de la figura sobre la explicación de cargas por inducción. Puede también compararlo con la figura 3.24. Cuando en
la figura 23.3c el alambre a tierra toca el punto más a la
derecha de la esfera, los electrones salen de la esfera y
la dejan positivamente cargada. En vez de lo anterior,
suponga que el alambre a tierra toca el punto más a
la izquierda de la esfera. Si así ocurre, ¿los electrones
seguirán acercándose más a la varilla negativamente
cargada? ¿Qué clase de carga, si es que existe alguna,
Problemas
Sección 25.1
Diferencia de potencial y potencial eléctrico
1. a) Calcule la rapidez de un protón acelerado desde el reposo
a causa de una diferencia de potencial de 120 V. b) Calcule
la rapidez de un electrón que se acelera a causa de la misma
diferencia de potencial.
2 intermedio; 3 desafiante;
Cap_25_Serway.indd 714
2. ¿Cuánto trabajo realiza una batería, un generador o alguna
otra fuente de diferencia de potencial, al mover el número
de Avogadro de electrones desde un punto inicial, donde el
potencial eléctrico es 9.00 V a un punto donde el potencial es
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:22:57 PM
Problemas
de 5.00 V? (En cada caso el potencial se mide en relación
con un punto de referencia común.)
Sección 25.2 Diferencias de potencial en un campo
eléctrico uniforme
3. La diferencia de potencial entre las placas aceleradoras del cañón de electrones de un cinescopio de televisión es de aproximadamente 25 000 V. Si la distancia entre estas placas es de
1.50 cm, ¿cuál es la magnitud del campo eléctrico uniforme
en esta región?
4. En la figura P25.4, un campo eléctrico uniforme de magnitud
325 V/m está dirigido hacia el lado negativo de las y. Las coordenadas del punto A son (0.200, 0.300) m, y las del punto
B son (0.400, 0.500) m. Calcule, utilizando la trayectoria azul,
la diferencia de potencial VB VA.
y
B
x
715
hilo y el punto de giro yacen en una mesa horizontal libre de
fricción. La partícula es liberada del reposo cuando el hilo
forma un ángulo u 60.0° con un campo eléctrico uniforme
de magnitud E 300 V/m. Determine la rapidez de la partícula cuando el hilo es paralelo al campo eléctrico (punto a
de la figura P25.8).
m
q
L
P
u
E
a
Vista superior
Figura P25.8
9. Una varilla aislante con una densidad de carga lineal l 40.0 mC/m y densidad de masa lineal m 0.100 kg/m se libera del reposo en un campo eléctrico uniforme E 100 V/
m dirigido perpendicularmente a la varilla (figura P25.9). a)
Determine la rapidez de la varilla después de que ha recorrido 2.00 m. b) ¿Qué pasaría si? ¿De qué manera cambiaría su
respuesta al inciso a) si el campo eléctrico no fuera perpendicular a la varilla? Explique.
A
E
Figura P25.4
5. Un electrón que se mueve paralelamente al eje de las x tiene
una rapidez inicial de 3.70 106 m/s en el origen. Su rapidez
se reduce a 1.40 105 m/s en el punto x 2.00 cm. Calcule
la diferencia de potencial entre el origen y ese punto. ¿Cuál
de los puntos está a mayor potencial?
6. A partir de la definición de trabajo, demuestre que en todos los puntos de una superficie equipotencial, ésta debe ser
perpendicular al campo eléctrico existente en ese punto.
7. Problema de repaso. Un bloque de masa m y carga Q está
conectado a un resorte que tiene una constante k. El bloque
se encuentra en una pista horizontal aislada libre de fricción,
y el sistema está dentro de un campo eléctrico uniforme de
magnitud E, dirigido como se muestra en la figura P25.7. Si el
bloque se libera del reposo cuando el resorte no está estirado
(en x 0): a) ¿Cuál es la cantidad máxima que se estirará el
resorte? b) ¿Cuál es la posición de equilibrio del bloque? c)
Demuestre que el movimiento del bloque es un movimiento
armónico simple, y determine su periodo. d) ¿Qué pasaría
si? Repita el inciso a), si el coeficiente de la fricción cinética
entre bloque y superficie es mk.
E
E
l, m
Figura P25.9
Sección 25.3 Potencial eléctrico y energía potencial debidos a
cargas puntuales.
Nota: a no ser que se exprese de otra manera, se supone que
el nivel de referencia del potencial es V = 0 en r = ∞.
10. Dadas dos cargas de 2.00 mC, como se muestra en la figura
P25.10, y una carga de prueba positiva q 1.28 1018 C colocada en el origen, a) ¿cuál es la fuerza neta ejercida por las
dos cargas de 2.00 mC sobre la carga de prueba q?; b) ¿cuál es
el campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas de 2.00
mC?, y c) ¿cuál es el potencial eléctrico en el origen debido a
las dos cargas de 2.00 mC?
y
2.00 mC
q
2.00 mC
x
m, Q
x 0.800 m
k
E
x 0
Figura P25.7
8. Una partícula con una carga q 2.00 mC y masa m 0.010 0 kg
está conecta a un hilo que tiene L 1.50 m de largo y está
atado en el punto de pivote P en la figura P25.8. La partícula,
2 intermedio; 3 desafiante;
Cap_25_Serway.indd 715
0
x 0.800 m
Figura P25.10
11. a) Determine el potencial a una distancia de 1 cm de un protón. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre dos puntos
que se encuentren a 1.00 y 2.00 cm, de un protón? c) ¿Qué
pasaría si? Repita los incisos a) y b) pero para un electrón.
12. Una partícula con carga q está en el origen. Una partícula con
carga 2q está en x 2.00 m sobre el eje x. a) ¿Para qué valores
finitos de x el campo eléctrico es cero? b) ¿Para qué valores finitos de x el potencial eléctrico es cero?
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:22:57 PM
716
Capítulo 25
Potencial eléctrico
13. A cierta distancia de una partícula con carga, la magnitud del
campo eléctrico es de 500 V/m y el potencial eléctrico es de
3.00 kV. a) ¿Cuál es la distancia a la partícula? b) ¿Cuál es la
magnitud de la carga?
14. Dos partículas cargadas, Q1 5.00 nC y Q2 3.00 nC,
están separadas 35.0 cm. a) ¿Cuál es la energía potencial del
par? ¿Cuál es el significado del signo algebraico en su respuesta? b) ¿Cuál es el potencial eléctrico en un punto a medio
camino entre las partículas con carga?
15. Las tres partículas con carga de la figura P25.15 están en los
vértices de un triángulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la base, si q 7.00 mC.
q
4.00 cm
–q
20. Compare este problema con el problema 19 del capítulo 23. Cinco
partículas con carga negativas idénticas q están colocadas
simétricamente alrededor de un círculo de radio R. Calcule el
potencial eléctrico en el centro del círculo.
21. Compare este problema con el problema 35 del capítulo 23. Tres partículas con cargas positivas iguales q se encuentran en las esquinas de un triángulo equilátero de lado a, como se muestra
en la figura P23.35. a) ¿En qué punto, si es que hay uno, del
plano de las cargas, existe un potencial eléctrico igual a cero?
b) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto P debido a las
dos cargas que se encuentran en la base del triángulo?
22. Dos cargas puntuales de igual magnitud están localizadas a
lo largo del eje de las y a iguales distancias por encima y por
debajo del eje de las x, como se muestra en la figura P25.22.
a) Trace una gráfica del potencial en puntos a lo largo del eje
de las x en el intervalo 3a x 3a. Debe trazar el potencial
en unidades de keQ/a. b)Permita que la carga localizada en y
a sea negativa y trace el potencial a lo largo del eje de las
y en el intervalo 4a y 4a.
y
–q
2.00 cm
Q
Figura P25.15
0
a
16. Compare este problema con el problema 16 del capítulo 23. Dos partículas con carga, cada una de ellas con una magnitud de 2.0
mC, se localizan en el eje de las x. Una está a x 1.00 m, y la
otra está a x 1.00 m. a) Determine el potencial eléctrico
sobre el eje de las y en el punto y 0.500 m. b) Calcule el
cambio en la energía potencial eléctrica del sistema al traer
una tercera carga de 3.00 mC desde un punto infinitamente
lejano a una posición en el eje de las y en y 0.500 m.
17. Compare este problema con el problema 47 del capítulo 23. Cuatro
partículas con carga idénticas (q 10.0 mC) están ubicadas en las esquinas de un rectángulo, como se muestra en la
figura P23.47. Las dimensiones del rectángulo son L 60.0
cm y W 15.0 cm. Calcule el cambio en la energía potencial
eléctrica del sistema cuando la partícula del vértice inferior
izquierdo en la figura P23.47 se coloca en esta posición trayéndola desde el infinito. Suponga que las otras tres partículas
en la figura P23.47 permanecen fijas en su posición.
18. Dos partículas con carga tienen efectos en el origen, descritos
por las expresiones
8.99
109 N # m2>C2 c
7 10 9 C
cos 70° i ̂
10.07 m2 2
7 10 9 C
sen 70°j ̂
10.07 m2 2
8 10 9 C
j d̂
10.03 m2 2
y
8.99
109 N # m2>C2 c
7
10 9 C
0.07 m
8
10 9 C
d
0.03 m
a) Identifique las posiciones de las partículas y las cargas sobre
ellas. b) Encuentre la fuerza sobre una partícula con carga
16.0 nC colocada en el origen. c) Encuentre el trabajo requerido para mover esta tercera partícula cargada al origen
desde un punto muy distante.
19. Demuestre que la cantidad de trabajo requerida para colocar
cuatro partículas con carga idénticas de magnitud Q en las
esquinas de un cuadrado de lado s es igual a 5.41 keQ 2/s.
2 intermedio; 3 desafiante;
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x
a
Q
Figura P25.22
23. Problema de repaso. Dos esferas aislantes tienen radios
de 0.300 cm y 0.500 cm, con masas de 0.100 kg y 0.700 kg, y
cargas uniformemente distribuidas de 2.00 mC y 3.00 mC.
Cuando sus centros están separados una distancia de 1 m, estas esferas se liberan partiendo del reposo. a) ¿Cuáles serán
sus velocidades cuando entren en colisión? (Sugerencia: considere la conservación de la energía, así como el momento
lineal.) b) ¿Qué pasaría si? Si las esferas fueran conductoras,
¿las velocidades serían mayores o menores que las calculadas
en el inciso a)? Explique.
24. Problema de repaso. Dos esferas aislantes tienen radios r1
y r2, masas m1 y m2, y cargas uniformemente distribuidas q1 y
q2. Cuando sus centros están separados por una distancia d,
son liberadas del reposo. a) ¿Qué tan rápida se moverá cada
una cuando entren en colisión? (Sugerencia: considere la conservación de la energía y la conservación de la cantidad de
movimiento lineal.) b) ¿Qué pasaría si? Si las esferas fueran
conductoras, ¿sus magnitudes de velocidad serían mayores o
menores que las calculadas en el inciso a)? Explique.
25. Problema de repaso. Un resorte ligero sin tensar tiene una
longitud d. Dos partículas idénticas, cada una con carga q, están conectadas a los extremos opuestos del resorte. Las partículas se mantienen inmóviles separadas una distancia d, y luego son liberadas simultáneamente. El sistema, entonces, oscila
en una mesa horizontal libre de fricción. El resorte tiene un
poco de fricción cinética interna, por lo que su oscilación es
amortiguada. Las partículas al final dejan de vibrar cuando
están separadas una distancia 3d. Determine el incremento en
energía interna en el resorte durante las oscilaciones. Suponga que el sistema del resorte y de las dos partículas cargadas es
un sistema aislado.
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:22:58 PM
717
Problemas
26. En 1911 Ernest Rutherford y sus ayudantes Geiger y Marsden llevaron a cabo un experimento en el cual dispersaron
partículas alfa provenientes de láminas delgadas de oro.
Una partícula alfa, con una carga de 2e y una masa de 6.64
1027 kg, es el producto de ciertos decaimientos radioactivos. Los resultados del experimento llevaron a Rutherford a
la idea de que la mayor parte de la masa de un átomo existe
en un núcleo muy pequeño, con electrones en órbita a su
alrededor; su modelo planetario del átomo. Suponga que
una partícula alfa, inicialmente muy alejada de un núcleo
de oro, es lanzada a una velocidad de 2.00 107 m/s hacia
el núcleo (carga 79e). ¿Cuánto se acerca la partícula alfa al
núcleo antes de retroceder? Suponga que el núcleo de oro
se mantiene inmóvil.
27. Cuatro partículas idénticas cada una tienen una carga q y
una masa m. Son liberadas del reposo desde los vértices de
un cuadrado de lado L. ¿Qué tan rápido se mueve cada carga
cuando se duplica su distancia al centro del cuadrado?
28. ¿Cuánto trabajo se requiere para colocar ocho partículas con
cargas idénticas, cada una de ellas de magnitud q, en las esquinas de un cubo de lado s?
V
ke
Q
/
ln a
/
2a 2
a
Sección 25.5 Potencial eléctrico debido a distribuciones de
carga continuas
34. Imagine un anillo de radio R con una carga total Q con distribución uniforme en su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de
potencial entre el punto del centro del anillo y un punto en el
eje a una distancia 2R del centro?
35. Una varilla de longitud L (figura P25.35) yace a lo largo del eje
de las x, con su extremo izquierdo en el origen. Además tiene
una densidad de carga no uniforme l ax, donde a es una
constante positiva. a) ¿Cuáles son las unidades de a? b) Calcule el potencial eléctrico en A.
y
B
b
d
x
A
L
Figura P25.35
Problemas 35 y 36.
36. Para el arreglo descrito en el problema 35, calcule el potencial
eléctrico en el punto B, que está en la bisectriz perpendicular de
la varilla, a una distancia b por encima del eje de las x.
37. Compare este problema con el problema 27 del capítulo 23. Una varilla
aislante con carga uniforme con una longitud de 14.0 cm se
dobla en forma de semicírculo, como se muestra en la figura
P23.27. La varilla tiene una carga total de 7.50 mC. Determine
el potencial eléctrico en O, el centro del semicírculo.
38. Un alambre con una densidad de carga lineal uniforme l se
dobla como se muestra en la figura P25.38. Determine el potencial eléctrico en el punto O.
R
2R
A
b
Utilice este resultado para derivar una expresión para la componente en y del campo eléctrico en P. (Sugerencia: reemplace
a por y.)
Sección 25.4 Obtención del valor del campo eléctrico a partir
del potencial eléctrico
29. El potencial en una región entre x 0 y x 6.00 m es V a
bx, donde a 10.0 V y b 7.00 V/m. Determine a) el potencial en x 0, 3.00 m, y 6.00 m, y b) la magnitud y dirección
del campo eléctrico en x 0, 3.00 m, y 6.00 m.
30. El potencial eléctrico en el interior de un conductor esférico
cargado de radio R se conoce por V keQ/R, y el potencial en
el exterior se conoce por V keQ/r. A partir de Er dV/dr,
derive el campo eléctrico a) en el interior y b) en el exterior
de esta distribución de carga.
31. En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V 5x
3x2y 2yz2. Determine las expresiones correspondientes
para las componentes en x, y y z del campo eléctrico en esa
región. ¿Cuál es la magnitud del campo en el punto P cuyas
coordenadas son (1, 0, 2) m?
32. La figura P25.32 muestra varias líneas equipotenciales cada
una de ellas marcadas por su potencial en volts. La distancia
entre líneas de la rejilla cuadriculada representa 1.00 cm. a)
¿La magnitud del campo es mayor en A o en B? Explique su
razonamiento. b) Explique lo que puede establecer respecto
S
a E en B? c) Represente la forma en que se vería el campo al
dibujar por lo menos ocho líneas de campo.
/2
O
2R
Figura P25.38
×
Sección 25.6 Potencial eléctrico debido a un conductor con carga
0
2
4
6
8
B
Figura P25.32
33. En el ejemplo 25.7 se demuestra que el potencial en un punto
P a una distancia a por encima de un extremo de una varilla
uniforme con carga de longitud que está a lo largo del eje
x es
2 intermedio; 3 desafiante;
Cap_25_Serway.indd 717
39. Un conductor de forma esférica tiene un radio de 14.0 cm y
una carga de 26.0 mC. Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico a las siguientes distancias del centro a) r 10.0
cm, b) r 20.0 cm, y c) r 14.0 cm.
40. ¿Cuántos electrones deben retirarse de un conductor de forma esférica inicialmente sin carga, de radio 0.300 m, para producir un potencial de 7.50 kV en la superficie?
41. El campo eléctrico sobre la superficie de un conductor con
forma irregular varía de 56.0 kN/C a 28.0 kN/C. Calcule la
densidad de carga superficial local en el punto sobre la superficie donde el radio de curvatura de la superficie es a) mayor
y b) menor.
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:22:59 PM
718
Capítulo 25
Potencial eléctrico
42. Una aeronave en vuelo puede acumular una carga eléctrica.
Quizás haya observado la presencia de extensiones metálicas
en forma de aguja en las puntas de las alas y en la cola del
avión. Su propósito es permitir que la carga se disperse antes
de que se acumule una gran cantidad. El campo eléctrico que
rodea una aguja es mucho mayor que el campo que rodea el
fuselaje del avión, y puede llegar a ser tan grande como para
producir una ruptura dieléctrica en el aire, lo que descargaría
al avión. Para representar este proceso, suponga que dos conductores esféricos cargados están interconectados mediante
un alambre conductor largo, y en la combinación se coloca
una carga de 1.20 mC. Una esfera, que representa el fuselaje
del avión, tiene un radio de 6.00 cm, y la otra, que representa la punta de la aguja, tiene un radio de 2.00 cm. a) ¿Cuál
es el potencial eléctrico de cada esfera? b) ¿Cuál es el campo
eléctrico en la superficie de cada esfera?
Sección 25.8
Aplicaciones de la electrostática
© Jay Wang/Shutterstock
43. Los relámpagos son estudiados con un generador Van de
Graaff, que consiste esencialmente en un domo esférico en el
cual se deposita carga en forma continua mediante una banda
transportadora. Se añde carga hasta que el campo eléctrico en
la superficie del domo sea igual a la resistencia dieléctrica del
aire. Cualquier carga adicional será dispersada en forma de
chispas, como se muestra en la figura P25.43. Suponga que el
domo tiene un diámetro de 30.0 cm y está rodeado por aire
seco, con una resistencia dieléctrica de 3.00 106 V/m. a)
¿Cuál es el potencial máximo del domo? b) ¿Cuál es la carga
máxima del domo?
Figura P25.43
44. Un tubo Geiger-Mueller es un detector de radiación que consiste en un cilindro metálico cerrado y hueco (el cátodo) de radio interior ra y un alambre cilíndrico coaxial (el ánodo) de
radio rb (figura P25.44). La carga por cada unidad de longitud
sobre el ánodo es l, y la carga por cada unidad de longitud sobre
el cátodo es l. Entonces un gas llena el espacio entre los electrodos. Cuando una partícula elemental de alta energía pasa
a través de este espacio, ioniza un átomo del gas. La intensidad del campo eléctrico hace que el ion y electrón resultantes
aceleren en direcciones opuestas; golpean otras moléculas del
gas y las ionizan, lo que produce una avalancha de descarga
eléctrica. El pulso de la corriente eléctrica entre el alambre y el
cilindro se cuenta mediante un circuito externo. a) Demuestre
que la magnitud de la diferencia de potencial entre el alambre
y el cilindro es
ra
¢V 2k e l ln a b
rb
b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el espacio entre cátodo y ánodo es
E
¢V
1
a b
ln 1r a >r b 2 r
2 intermedio; 3 desafiante;
Cap_25_Serway.indd 718
donde r es la distancia desde el eje del ánodo al punto donde
se calcula el campo.
Cátodo
l
ra
l
rb
Ánodo
Figura P25.44
Problemas 44 y 45.
45. Los resultados del problema 44 también aplican a un precipitador electrostático (figuras 25.25 y P25.44). Una diferencia
de potencial aplicado V Va – Vb 50.0 kV debe producir
un campo eléctrico de 5.50 MV/m de magnitud en la superficie del alambre central. Suponga que la pared cilíndrica exterior tiene radio uniforme ra 0.850 m. a) ¿Cuál debe ser el
radio rb del alambre central? Necesitará resolver una ecuación
trascendental. b) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en
la pared exterior?
Problemas adicionales
46. Problema de repaso. Desde una gran distancia, una partícula
de 2.00 g de masa y 15.0 mC de carga se dispara a 21.0î m/s directo hacia una segunda partícula, originalmente estacionaria
pero libre de moverse, con 5.00 g de masa y 8.50 mC de carga.
a) En el instante de máximo acercamiento, ambas partículas se
moverán a la misma velocidad. Explique por qué. b) Encuentre esta velocidad. c) Encuentre la distancia de máximo acercamiento. d) Encuentre las velocidades de ambas partículas
después de que se separan de nuevo.
47. El modelo de la gota líquida del núcleo atómico sugiere que
las oscilaciones de alta energía de ciertos núcleos pueden dividir el núcleo en dos fragmentos desiguales, además de algunos neutrones. Los productos de la fisión adquieren energía
cinética gracias a la repulsión mutua de Coulomb. Calcule
la energía potencial eléctrica (en electrón volts) de dos fragmentos esféricos de un núcleo de uranio con las siguientes
cargas y radios: 38e y 5.50 1015 m; 54e y 6.20 1015 m.
Suponga que la carga está distribuida uniformemente en todo
el volumen de cada fragmento esférico y que inmediatamente
antes de separarse están en reposo con sus superficies en contacto. Puede ignorar los electrones que rodean el núcleo.
48. Cuando hay buen clima, el campo eléctrico en el aire en una
ubicación particular inmediatamente sobre la superficie de la
Tierra es de 120 N/C dirigidos hacia abajo. a) ¿Cuál es la densidad de carga superficial en el suelo? ¿Es positiva o negativa?
b) Imagine que la atmósfera se retira y que la densidad de carga
superficial es uniforme en todo el planeta. ¿Cuál es en tal caso
la carga de toda la superficie de la Tierra? c) ¿Cuál es el potenci
al eléctrico de la Tierra? d) ¿Cuál es la diferencia en potencial
entre la cabeza y los pies de una persona de 1.75 m de alto?
e) Imagine que la Luna, con 27.3% del radio de la Tierra,
tiene una carga de 27.3%, con el mismo signo. Encuentre la fuerza eléctrica que la Tierra ejercería sobre la Luna.
f) Establezca cómo se compara la respuesta del inciso e) con
la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre la Luna. g)
Una partícula de polvo de 6.00 mg de masa está en el aire cer-
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:23:00 PM
Problemas
49.
50.
51.
52.
ca de la superficie de la esfera terrestre. ¿Qué carga debe tener
la partícula de polvo para estar suspendida en equilibrio entre
las fuerzas eléctrica y gravitacional ejercidas sobre ella? Ignore la fuerza de flotación. h) La Tierra no es una esfera perfecta, tiene un abultamiento ecuatorial debido a su rotación, de
modo que el radio de curvatura de la Tierra es ligeramente mayor en los polos que en el ecuador. ¿La partícula de polvo en la
parte g) requeriría más o menos carga para estar suspendida
en el ecuador, en comparación con su suspención en uno de
los polos? Explique su respuesta con referencia a variaciones
tanto en la fuerza eléctrica como en la fuerza gravitacional.
El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno afirma que un
electrón solitario sólo puede existir en ciertas órbitas permitidas alrededor del protón. El radio de cada órbita de Bohr es
r n2 (0.052 9 nm), donde n 1, 2, 3,. . . Calcule la energía
potencial eléctrica de un átomo de hidrógeno cuando el electrón está en a) la primera órbita permitida, con n 1, b) la
segunda órbita permitida, con n 2, y c) ha salido del átomo,
con r . Exprese sus respuestas en electrón volts.
En un día seco de invierno frota las suelas de sus zapatos contra
una alfombra y recibe una descarga cuando extiende la punta
de uno de sus dedos en dirección a la perilla de una puerta
metálica. Si la habitación está oscura, podrá ver una chispa
de aproximadamente 5 mm de largo. Haga estimaciones de
orden de magnitud a) del potencial eléctrico del cuerpo y
b) de la carga en el cuerpo antes de tocar el metal. Explique
su razonamiento.
El potencial eléctrico inmediatamente afuera de una esfera
conductora con carga es 200 V, y 10.0 cm, más lejos del centro
de la esfera el potencial es 150 V. a) ¿Esta información es suficiente para determinar la carga en la esfera y su radio? Explique. b) El potencial eléctrico inmediatamente afuera de otra
esfera conductora con carga es 210 V y 10.0 cm, más lejos del
centro de la magnitud del campo eléctrico es 400 V/m. ¿Esta
información es suficiente para determinar la carga en la esfera
y su radio? Explique.
Como se muestra en la figura P25.52, dos grandes placas paralelas, conductoras, colocadas verticalmente, están separadas
por una distancia d y están cargadas de forma de que sus potenciales sean V0 y V0. Una pequeña esfera conductora de
masa m y radio R (donde R
d) está colgada en el punto
medio entre las placas. El hilo de longitud L que soporta la
esfera es un alambre conductor conectado a tierra, de forma
que el potencial de la esfera se ha fijado en V 0. Cuando V0
es lo suficientemente pequeño la esfera cuelga hacia abajo y en
equilibrio estable. Demuestre que el equilibrio de la esfera es
inestable si V0 excede el valor crítico ked2mg (4RL). (Sugerencia:
considere las fuerzas que actúan sobre la esfera cuando ésta es
desplazada una distancia x
L.)
719
53. El potencial eléctrico en todas partes del plano xy se conoce por
V
2 1x
36
45
12 2
y2
2x 2
1y
222
donde V está en volts y x y y en metros. Determine la posición
y carga en cada una de las partículas que establecen este potencial.
54. Compare este problema con el problema 28 del capítulo 23. a) Una
cubierta cilíndrica con carga uniforme tiene una carga total Q,
radio R y altura h. Determine el potencial eléctrico en el punto a una distancia d del extremo derecho del cilindro, como
se muestra en la figura P25.54. (Sugerencia: utilice el resultado
del ejemplo 25.5 que considera el cilindro como si fuera un
conjunto de anillos con carga.) b) ¿Qué pasaría si? Utilice el
resultado del ejemplo 25.6 para resolver el mismo problema
pero con un cilindro sólido.
h
d
R
Figura P25.54
55. Calcule el trabajo que debe realizarse para cargar una cubierta
esférica de radio R hasta alcanzar una carga total Q.
56. a) Use el resultado exacto del ejemplo 25.4 para encontrar
el potencial eléctrico establecido por el dipolo descrito en el
punto (3a, 0). b) Explique cómo se compara esta respuesta
con el resultado de la expresión aproximada que es válida
cuando x es mucho mayor que a.
57. De la ley de Gauss, el campo eléctrico establecido por una línea de carga uniforme es
S
E
a
l
b r̂
2pP0r
donde r̂ es un vector unitario que apunta radialmente alejándose de la línea y l es la densidad de carga lineal a lo largo de
la línea. Derive una expresión para la diferencia de potencial
entre r r1 y r r2.
58. Cuatro esferas, cada una con masa m, están conectadas por
cuatro hilos no conductores para formar un cuadrado de lado
a, como se muestra en la figura P25.58. Todo el ensamble se
coloca en una superficie horizontal libre de fricción y no conductora. Las esferas 1 y 2 tienen carga q, y las esferas 3 y 4 no
tienen carga. Determine la rapidez máxima de las esferas 3 y 4
después de cortar el hilo que conecta las esferas 1 y 2.
1
2
a
L
a
3
4
Figura P25.58
V0
V0
d
Figura P25.52
2 intermedio; 3 desafiante;
Cap_25_Serway.indd 719
59. El eje de las x es el eje de simetría de un anillo inmóvil con
carga uniforme de radio R y de carga Q (figura P25.59). Al inicio en el centro del anillo se ubica una partícula Q de masa M.
Cuando ésta es desplazada ligeramente, la partícula se acelera
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:23:02 PM
720
Capítulo 25
Potencial eléctrico
a lo largo del eje de las x hacia el infinito. Demuestre que la
rapidez final de la partícula es
a
v
2k eQ 2
MR
b
1>2
Q
R
Q
x
v
Anillo
uniformemente cargado
Figura P25.59
60. La varilla delgada con carga uniforme que se muestra en la
figura P25.60 tiene una densidad de carga lineal l. Encuentre
una expresión para el potencial eléctrico en el punto P.
exprese V en función de coordenadas cartesianas con r (x2 y2)1/2 y
y
cos u
2
1x
y 2 2 1>2
A apartir de estos resultados y de nuevo con r
a, calcule las
componentes del campo Ex y Ey.
62. Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de carga
uniforme r y una carga total Q. Derive una expresión para su
energía potencial eléctrica total. (Sugerencia: imagine que la
esfera está construida por capas sucesivas de cubiertas concéntricas de carga dq (4pr2 dr)r, y utilice dU V dq).
63. Un disco de radio R (figura P25.63) tiene una densidad de
carga superficial no uniforme s Cr, donde C es una constante y r se mide a partir del centro del disco a un punto en
la superficie del disco. Determine (por integración directa) el
potencial en P.
R
y
P
x
P
b
Figura P25.63
x
a
L
Figura P25.60
61. Un dipolo eléctrico se ubica a lo largo del eje de las y, como
se muestra en la figura P25.61. La magnitud del momento
eléctrico del dipolo se define como p 2qa. a) En el punto P,
que está lejos del dipolo (r
a), demuestre que el potencial
eléctrico es igual a
V
k e p cos u
r2
b) Calcule la componente radial Er y la componente perpendicular Eu del campo eléctrico asociado. Observe que
Eu (1/r)(≠V/≠u). ¿Para u 90° y 0°, le parecen razonables estos resultados? ¿Para r 0? c) Para el dipolo mostrado,
Er
y
P
r1
q
Eu
r
a u
r2
x
a
q
Figura P25.61
2 intermedio; 3 desafiante;
Cap_25_Serway.indd 720
64. Un filamento con carga uniforme yace a lo largo del eje
x entre x a 1.00 m y x a 3.00 m, como se muestra en la figura 23.15. La carga total en el filamento es 1.60
nC. Calcule aproximaciones sucesivas para el potencial eléctrico en el origen, al modelar el filamento como a) una sola
partícula con carga en x 2.00 m, b) dos partículas cargadas de 0.800 nC en x 1.5 m y x 2.5 m, y c) cuatro partículas cargadas de 0.400 nC en x 1.25 m, x 1.75 m,
x 2.25 m y x 2.75 m. A continuación, escriba y ejecute
un programa de computadora que reproduzca los resultados
de las partes a), b) y c) y extienda su cálculo a d) 32 y e)
64 partículas con carga igualmente espaciadas. f) Explique
cómo se comparan los resultados con el potencial dado por
la expresión exacta
V
k eQ
/
ln a
/
a
a
b
65. Dos placas paralelas con cargas de igual magnitud pero de
signo opuesto están separadas 12.0 cm. Cada placa tiene una
densidad de carga superficial de 36.0 nC/m2. De la placa positiva se libera un protón que parte del reposo. Determine
a) la diferencia de potencial entre las placas, b) la energía
cinética del protón cuando se impacte en la placa negativa,
c) la rapidez del protón justo antes de impactar la placa negativa, d) la aceleración del protón, y e) la fuerza ejercida sobre
el protón. f) A partir de la fuerza, determine la magnitud del
campo eléctrico y demuestre que es igual al campo eléctrico
existente, debido a las densidades de carga en las placas.
66. Una partícula con carga q se ubica en x R, y una partícula
con carga 2q se ubica en el origen. Pruebe que la superficie
equipotencial que tiene potencial cero es una esfera con centro en (4R/3, 0, 0) y tiene radio r 2R/3.
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:23:04 PM
Respuestas a las preguntas rápidas
para puntos en el exterior de la esfera, donde V0 es el potencial eléctrico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación
para determinar las componentes x, y y z del campo eléctrico
resultante.
67. Cuando una esfera conductora sin carga de radio se coloca
en el origen de un sistema de coordenadas xyz que se encuentra en un campo eléctrico inicialmente uniforme E E0k̂ , el
potencial eléctrico resultante es V (x, y, z) V0, para puntos
en el interior de la esfera, y
V 1x, y, z2
V0
E 0z
1x 2
E 0a 3z
y2
721
z 2 2 3>2
Respuestas a las preguntas rápidas
25.1 i) a) De la ecuación 25.3, U q0 V, por lo que si se traslada una carga de prueba negativa a través de una diferencia de
potencial negativa, el cambio en la energía potencial será
positiva. Debe realizarse un trabajo para mover la carga en
dirección opuesta a la fuerza eléctrica aplicada sobre ésta.
S
S
ii) b) Cuando se mueven en línea recta de a , E y d s
apuntarán hacia la derecha. Debido a eso, el producto punto
S
S
Ed s de la ecuación 25.3 es positivo y V es negativo.
25.2 a , a , a , a . Al trasladarse de a se
reduce el potencial eléctrico en 2 V, por lo que el campo eléctrico realiza 2 J de trabajo por cada coulomb de carga positiva
que se mueva. Al trasladarse de a se reduce el potencial
eléctrico en 1 V, por lo que el campo realiza 1 J de trabajo.
2 intermedio; 3 desafiante;
Cap_25_Serway.indd 721
No es necesario realizar ningún trabajo para mover la carga
de a , debido a que el potencial eléctrico no cambia. Al
trasladarse de a se incrementa el potencial eléctrico en
1 V, y entonces el campo realiza 1 J de trabajo por unidad
de carga positiva que se mueve.
25.3 i) c) El potencial lo establece la carga fuente y es independiente de la carga de prueba. ii) a) La energía potencial del
sistema de dos cargas es negativa al inicio, debido a los productos de cargas de signos opuestos de la ecuación 25.13. Cuando
el signo de q2 cambia, ambas cargas son negativas, y la energía
potencial del sistema es positiva.
25.4 a) Si el potencial es constante (cero en este caso), su derivada
a lo largo de esta dirección es igual a cero.
razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
9/11/08 5:23:05 PM