Determinantes: Guía de Estudio de Álgebra Lineal

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Asignatura: Álgebra lineal
Número de la guı́a: 3
Tema: Determinantes.
Introducción: En esta guı́a se ilustrán las propiedades básicas de los determinantes. Los determinantes nos
proporcionan un método para el cálculo de la matriz inversa de una dada (en caso de existir) y un
criterio para estudiar si una matriz es o no invertible. Sus aplicaciones son múltiples en todas las ramas
de las ciencias que tratan problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto,
determinantes.
Objetivo: El estudiante estará en capacidad de reconocer las propiedades básicas de los determinante y
aplicarlas en el cálculo del determinante de una matriz.
Desarrollo Temático:
Determinantes
Dada una matriz cuadrada A, se le puede asignar un número real denominado el determinante de A y
denotado por det(A) o por |A| y se definirá de manera inductiva, es decir, se usará lo que se sabe de
un determinante de una matriz de 2 × 2 para definir el determinante de una matriz de 3 × 3, que a su
vez se usará para el determinante de 4 × 4, y ası́ sucesivamente..
Si A es de tamaño 1 × 1 entonces det(A) = |a11 | = a11 .
Si A es de tamaño 2 × 2 entonces det(A) =
a11
a21
a12
a22
= a11 a22 − a12 a21 . (Como en la guı́a 2).
Si A es de tamaño 3 × 3 entonces
det(A) =
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
= a11
a22
a32
a23
a33
− a12
a21
a31
a23
a33
+ a13
a21
a31
a22
a32
.
Resulta que el cálculo del determinante de una matriz de 3 × 3 como se definió anteriormente no es
única. A continuación se definirá el determinante de una matriz A ∈ Mn (R).
Definición. El determinante de una matriz A ∈ Mn (R) es una función det : Mn (R) → R definida por
ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain ,
desarrollo por la fila i;
A 7→ det(A) = |A| =
a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj , desarrollo por la columna j.
donde Aij = (−1)i+j |Mij | y Mij es la matriz que resulta de A al quitar la fila i y la columna j. El
término Aij se denomina el cofactor ij de A y Mij se llama menor ij de A.


1 2 3
Ejemplo 1. Si A =  4 5 6  entonces
2 0 1
5 6
2 3
2 3
M11 =
M21 =
M31 =
0 1
0 1
5 6
4 6
1 3
1 3
M12 =
M22 =
M32 =
2 1
2 1
4 6
1
4
2
M13 =
5
0
M23 =
1
2
2
0
M33 =
1
4
2
5
El cálculo del determinante por la primera fila es
|A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
= A11 + 2A12 + 3A13
= (−1)1+1 |M11 | + 2(−1)1+2 |M12 | + 3(−1)1+3 |M13 |
5
0
1+1
= (−1)
6
1
+ 2 (−1)
1+2
4
2
6
1
+ 3 (−1)
4
2
1+3
5
0
= 5 + 2(8) + 3(−10)
= −9.

1
 0
Ejemplo 2. Sea A = 
 1
0
2
1
0
0

4
3 
 el cálculo del determinante por la primera fila es
2 
2
3
2
3
1
|A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14
= A11 + 2A12 + 3A13 + 4A14
=4+2−6+4
= 4;
ya que
A11 = (−1)
2
A13 = (−1)
4
1
0
0
0
1
0
2
3
1
1
0
0
3
2
2
3
2
2
=
=
1
0
0
0
1
0
2
3
1
1
0
0
3
2
2
3
2
2
= 4,
A12 = (−1)
= −2,
A14 = (−1)
3
5
0 2 3
1 3 2
0 1 2
0 1 2
1 0 3
0 0 1
0 2 3
=− 1 3 2
0 1 2
0 1 2
=− 1 0 3
0 0 1
= 1,
= 1.
Nota: Según la definición de determinante, un camino que facilita el cálculo de este, es tomando la fila
o columna con mayor número de ceros.
Propiedades de los determinantes
1. |AT | = |A|.
2. Si An×n es una matriz triangular entonces, el determinante de A es el producto de los elementos
de la diagonal. Es decir, |A| = a11 a22 · · · ann
3. Sean A, B, C tres matrices iguales excepto por la i-ésima fila, es decir,

a11
a21
..
.




A=
 ai1

 .
 ..
an1
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
..
.
a1j
a2j
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
ai2
..
.
ai3
..
.
...
..
.
aij
..
.
...
..
.
ain
..
.
an2
an3
...
anj
...
ann






;








B=
 bi1

 .
 ..
an1
2
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
..
.
a1j
a2j
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
bi2
..
.
bi3
..
.
...
..
.
bij
..
.
...
..
.
bin
..
.
an2
an3
...
anj
...
ann











a11
a21
..
.




C=
 ai1 + bi1


..

.
an1

a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
..
.
a1j
a2j
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
ai2 + bi2
..
.
ai3 + bi3
..
.
...
..
.
aij + bij
..
.
...
..
.
ain + bin
..
.
an2
an3
...
anj
...
ann
+









Entonces |C| = |A| + |B| .
Ejemplo 3.
a+b
h+l
3
c+d
e
f
g+k
4
5
=
a
h+l
3
c
f
4
e
g+k
5
=
a
h
3
e
g
5
+
c
f
4
a c
l 0
3 4
b
h+l
3
d
f
4
0
g+k
5
e
k
5
b
h
3
d
f
4
+
0
g
5
+
b d
l 0
3 4
0
k
5
4. Si una matriz tiene una fila (o columna) nula entonces su determinante es cero.
Ejemplo 4.
1
5
0
1
A=
2
6
0
2
3
7
0
3
4
0
0
4
= (0)A31 + (0)A32 + (0)A33 + (0)A34 = 0.
5. Si una fila de una matriz A se multiplica por un número diferente de cero, entonces su determinante
queda multiplicado por ese número. Es decir,
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
kai1
..
.
kai2
..
.
···
..
.
kain
..
.
an1
an2
···
ann
=k
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
ai1
..
.
ai2
..
.
···
..
.
ain
..
.
an1
an2
···
ann
Ésta propiedad se puede generalizar por |kAn×n | = k n |A|.


a b c
Ejemplo 5. Si A =  d e f  y |A| = 4 entonces
g h i
a)
b)
2a 2b
2d 2e
g h
−a −b
−d −e
−g −h
2c
a
b
c
a b c
2f = 2 2d 2e 2f = 22 d e f = 4|A| = 16
i
g h
i
g h i
−c
−f = (−1) (−1) (−1) 4 = (−1)3 4 = −4
−i
6. Si se intercambian dos filas cualesquiera en una matriz, su determinante cambia de signo.
3
0
0
6
= 18,
0
3
6
0
= −18
3
7. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, entonces su determinante es cero.
8. Si una fila (columna) de una matriz es múltiplo de otra fila (columna), entonces el determinante
de la matriz es cero.
9. Si una fila (columna) de una matriz se multiplica por un número diferente de cero y se le suma a
otra fila (columna), su determinante no varı́a.
Ejemplo 6.
a
d
h
b
e
i
c
f
l
=
a
b
2a + d 2b + e
h
i
=
a
2a
h
2R1 +R2
b c
2b 2c
i
l
a
a
h
=2
b
b
i
c
c
l
=0+
a
d
h
b
e
i
a
d
h
b
e
i
c
f
l
=
c
2c + f
l
a
d
h
+
+
a
d
h
c
f
l
b
e
i
b
e
i
c
f
l
c
f
l
(por propiedad 2)
(por propiedad 5)
(por propiedad 7)
10. |AB| = |A||B|.
Determinantes e inversas
Si A es invertible, entonces |A| =
6 0y
|A−1 | =
1
|A|
La adjunta de una matriz A
cofactores de A ası́,

A11 A12
 A21 A22

adj(A) =  .
..
 ..
.
An1
denotada por adj(A) se define como la transpuesta de la matriz de los
An2
···
···
..
.
A1n
A2n
..
.
···
Ann
T





 =


A11
A12
..
.
A21
A22
..
.
···
···
..
.
An1
An2
..
.
A1n
A2n
···
Ann





Además, A(adj(A)) = (adj(A))A = |A|I que da como resultado, siempre que |A| =
6 0, entonces
A−1 =
1
adj(A)
|A|

1
Ejemplo 7. Sea A =  0
0
3
2
0

4
1  , entonces |A| = 6. Por otro lado, los cofactores de A son
3
A11 = (−1)1+1
2
0
1
3
= 6,
A21 = (−1)2+1
3
0
4
3
= −9,
A12 = (−1)1+2
A22 = (−1)2+2
4
0
0
1
3
1
0
= 0,
4
3
= 3,
A13 = (−1)1+3
A23 = (−1)2+3
0
0
2
0
1
0
=0
3
0
=0
3
2
A31 = (−1)3+1
4
1
1
0
A32 = (−1)3+2
= −5,
4
1
A33 = (−1)3+3
= −1,
1
0
3
2
ası́

A11

A12
adj(A) =
A13
A21
A22
A23
 
A31
6
A32  =  0
A33
0

−5
−1 
2
−9
3
0
además

1
A(adj(A)) =  0
0
 
4
6
1 ∗ 0
3
0
3
2
0
−9
3
0
 
−5
6
−1  =  0
2
0
0
6
0


0
1
0  = 6 0
6
0
0
1
0

0
0 
1
y
A−1

6
1
0
=
6
0
−9
3
0
 
−5
1
−1  =  0
2
0

−5/6
−1/6 
1/3
−3/2
1/2
0
Ejercicios.
1. Evalúe el determinante
2. Si
a
d
g
b
e
h
a)
2a
3d
g
b)
g
a
d
c
f
i
5
1
0
2
−1
−6
−7
0
1
5
8 0
6 0
4 0
5 1
3 0
c)
a+g
d
g
d)
−a
d
g
= −6 hallar
2b
3e
h
h
b
e
2
0
0
0
4
2c
3f
i
i
c
f
b+h
e
h
c+i
f
i
−b −c
e
f
h
i
e)
a
b
c
d
e
f
f)
5a 5d
5b 5e
5c 5f
g
h
i
5g
5h
5i
3. Si A3×3 y |A| = 2, calcular
b) A−1 .
a) |2A| .
4. Demostrar que
b+c
a
1
c+a
b
1
5. Demostrar que
a1
a2
a3
6. Demostrar que
a+b b+c
1
1
b+1 c+1
7. Demostrar que
a−b−c
2b
2c
b1 + ta1
b2 + ta2
b3 + ta3
b+a
c
1
c) 2A−1 .
= 0.
c1 + rb1 + sa1
c2 + rb2 + sa2
c3 + rb3 + sa3
c+d
1
d+1
d ) (2A)−1 .
a b
1 1
b c
=
2a
2a
b−c−a
2b
2c
c−a−b
5
a1
a2
a3
=
b1
b2
b3
c1
c2
c3
c
1
d
= (a + b + c)
3
=2
8. Una matriz A se llama ortogonal
entonces det(A) = ±1

3
9. Considere la matriz A =  −2
5
si A es invertible y A−1 = At . Demuestre que si A es ortogonal,

1 0
4 3  Hallar
4 −2
b) adj(A−1 )
a) adj(A)

1
10. Determine si la matriz  0
0
c) (adj(A))−1
d ) A adj(A).

1
1
0
1
1  es invertible.
1
α
−3
11. Para que valores de α la matriz
es no invertible?
4 1−α


−a a − 1 a + 1
2
3  tiene inversa?
12. Para que valores de a la matriz A =  1
2−a a+3 a+7
n
13. Demostrar que |An | = |A| .
14. Si A y B son invertibles de orden n, demostrar que:
a) adj(adj(A)) = |A|n−2 A
b) adj(kA) = k n−1 adj(A) donde k es un escalar.
n−1
15. Demostrar que |adjA| = |A|
.
16. Demostrar que adj(AB) = adj(B)adj(A).
Autoevaluación: Desarrollar la autoevaluación de las secciones 2.1 y 2.2 y 2.4 en el texto: ÁLGEBRA
LINEAL, Stanley I. Grossman, sexta edición. Páginas 177, 194 y 209.
Recursos:
Material bibliográfico presentado en el programa académico de la asignatura que puede consultar
en la biblioteca.
Programa Winplot que se descarga de forma gratuita por internet, tener acceso al programa
DERIVE y/o MATLAB.
Material de apoyo y lista de páginas Web que puede consultar en el curso que administra el profesor
mediante la plataforma MOODLE.
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