Guía de Estadística Empresarial UTEPSA

Modalidad Presencial
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Edición: 1 Año: 2018
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
1
Misión de UTEPSA:
“Lograr que cada estudiante desarrolle una
experiencia académica de calidad, excelencia, con
valores, responsabilidad social, innovación,
competitividad, y habilidades emprendedoras
durante su formación integral para satisfacer las
demandas de un mercado globalizado.”
Esto se sintetiza en:
“Educar para emprender y servir”
Visión de UTEPSA:
“Ser una universidad referente y reconocida por
su calidad académica, investigación y compromiso
con la comunidad, en la formación de
profesionales íntegros, emprendedores e
innovadores, según parámetros y normativas
nacionales e internacionales”.”
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¿Qué es la Guía MAAP?
Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros
contenidos, orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo
aprovechamiento.
Esta herramienta, otorga independencia en el aprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras
actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar
diferentes competencias.
I.
Recordatorios y Recomendaciones
A su servicio
Aunque las normas generales están claramente
establecidas, si a usted se le presenta una situación
particular o si tiene algún problema en el aula, o en
otra instancia de la Universidad, el Gabinete
Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para
ayudarlo.
Comportamiento en clases
Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna
circunstancia comen o beben dentro
el aula y tampoco organizan festejos
u otro tipo de agasajos en estos espacios,
para este fin está el Patio de Comidas.
Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los
espacios identificados para fumadores.
También se debe evitar la desconcentración o
interrupciones molestas por el uso indebido de
equipos electrónicos como teléfonos y tablets.
Asistencia y puntualidad
Su asistencia es importante en TODAS las clases.
Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el
Reglamento de la Universidad se contemplan tres
faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del
Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted
sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA
ASIGNATURA.
Se considera “asistencia” estar al inicio, durante y
al final de la clase. Si llega más de 10 minutos
tarde o si se retira de la clase antes de que esta
termine, no se considera que haya asistido a
clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y
la puntualidad los días de evaluación.
Cualquier falta de respeto a los compañeros, al
docente, al personal de apoyo o al personal
administrativo, será sancionada de acuerdo al
Reglamento de la Universidad.
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II.
Orientaciones para el aprendizaje
La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con
algunos símbolos.
La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:
Símbolo
Actividad
Preguntas
Prácticos y/o
Laboratorios
Descripción
A través de cuestionarios, se repasan las
bases teóricas generales para una mejor
comprensión de los temas.
Los prácticos permiten una experiencia
activa; a través, de la puesta en práctica de
lo aprendido las cuales según la carrera,
pueden desarrollarse en laboratorios.
Casos de Estudio
y ABP
Son planteamientos de situaciones reales,
en los que se aplica los conocimientos
adquiridos de manera analítica y
propositiva.
Investigación
Las actividades de investigación, generan
nuevos conocimientos y aportes a lo
aprendido.
Innovación y/o
Emprendimiento
A través de esta actividad, se agrega una
novedad a lo aprendido, con el fin de
desarrollar habilidades emprendedoras.
Aplicación
Al final de cada unidad y después de
haber concluido con todas las actividades,
se debe indicar, cómo los nuevos
conocimientos se pueden aplicar y utilizar
a la vida profesional y a las actividades
cotidianas.
Ética
Responsabilidad
Serán actividades transversales que
Social
pueden ser definidas en cualquiera de las
Formación
anteriores actividades.
Internacional
Idioma Ingles
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III. Datos Generales
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
SIGLA: BMA-301
PRERREQUISITO: BMS-300 Matemática Empresarial
APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL:
La materia de Estadística Empresarial, constituye en uno de los aportes más importante a la
formación de profesionales, la evolución de la estadística ha llegado al punto en que su proyección
se percibe en casi todas las áreas de trabajo; abarca la recolección, presentación y caracterización
de información para ayudar tanto en el análisis e interpretación de datos como en el proceso de
la toma de decisiones correctas en el ejercicio de su profesión. La probabilidad y estadística es
parte esencial de la formación profesional, es hasta cierto punto una parte necesaria para toda
profesión.
El estudiante después de terminar con el contenido de la materia, por una parte con el
conocimiento de la Estadística Descriptiva será capaz de recoger, organizar y obtener los
parámetros de una serie de datos, mientras que con el conocimiento de la Estadística Inferencial
será capaz de describir, predecir, comparar y generalizar los resultados obtenidos de una muestra
a toda la población, convirtiéndose en un hábil profesional para la toma de decisiones
fundamentadas en datos de la realidad.
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA:
El objetivo general de la asignatura es proporcionar al estudiante los modelos estadísticos básicos:
descriptivos, probabilísticos e inferenciales que le permitan organizar la información cualitativa y
cuantitativamente, presentarla en forma ordena, describirla, interpretarla y hacer inferencia, de
tal manera que pueda aplicar dichos modelos en la resolución de problemas sociales, económicos
y físicos de las diversas áreas de conocimiento, así mismo incorporar al estudiante en una serie
de actividades que le permitan manejar grandes volúmenes de datos reales por los medios
tecnológicos apropiados para ello.
ESTRUCTURA TEMÁTICA
Unidad 1
Unidad 1
Tema: Datos y distribuciones de frecuencia
Contenido:
1.1. Clasificación de la estadística
1.2. Población y Muestra
1.3. Variables discretas y continuas
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5
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
Ordenación de datos
Categorías e intervalos de clase
Distribución de frecuencias
Representación gráfica de los datos agrupados
Histogramas
Ojivas
Diagrama de Sectores
Pictogramas
Excel en laboratorio
Unidad 2
Tema: Medidas de tendencia central y posición
Contenido:
2.1 Media
2.2 Moda
2.3 Mediana
2.4 Relación entre media, mediana y moda.
2.5 Media Cuadrática
2.6 Fractiles
Unidad 3
Tema: Medidas de dispersión
Contenido:
3.1 Rango
3.2 Desviación media
3.3 Rango semintercuartil
3.4 Desviación típica
3.5 Varianza
3.6 Coeficiente de variación
3.7 Diagrama de box plot
3.8 Teorema de Chevychev
Unidad 4
Tema: Medidas de forma
Contenido:
4.1 Definición
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4.2 Sesgo
4.3 Coeficiente de asimetría de Pearson
4.4 Kurtosis
UNIDAD 5
Tema: Índices
Contenido:
5.1 Tipos de números índices
5.2 Números índices más usados
5.3 Tasa de interés nominal actual
5.4 Tasa de inflación
Unidad 6
Tema: Elementos de probabilidad
6.1 Definiciones básicas
6.2 Introducción a la Teoría de probabilidades.
6.3 Tipos de probabilidad
6.4 Reglas de probabilidad
6.5 Teorema de Bayes
Unidad 7
Tema: Variables aleatorias y funciones de probabilidad
Contenido:
7.1 Interpretación de variables aleatorias
7.2 Funciones de probabilidad
7.3 Valor esperado en la toma de decisiones
Unidad 8
Tema: Distribución de probabilidades
Contenido:
8.1 Distribución Binomial
8.2 Distribución de Poisson
8.3 Variables aleatorias continuas
8.4 Distribución Normal
8.5 Tablas de distribución
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Unidad 9
Tema: Estimación
Contenido:
9.1 Definición de estimación puntual
9.2 Estimación por intervalos de confianza
9.2.1 Intervalos de confianza para muestras grandes
9.2.2 Intervalos de confianza para muestras pequeñas
9.2.3 Intervalos de confianza para una proporción poblacional
Unidad 10
Tema: Muestra
Contenido:
10.1 Definición de muestra
10.2 Tipos de muestreo
10.2.1 Método de muestreo aleatorio simple
10.2.2 Método de muestreo sistemático
10.2.3 Método de muestreo estratificado
10.2.3 Método de muestreo por conglomerados
10.3 Cálculo para determinar el tamaño de la muestra.
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
o Córdova M. (2014). Estadística Descriptiva e Inferencial. Lima Perú: Moshera
SRL.
o Lind, MArchal, Wathen. (2008). Estadística Aplicada a los negocios y la
economía. México: McGraw Hill
COMPLEMENTARIA
o Castejón P. J. M..; Lafuente Lechuga M.; Faura Martinez U. (2015): Guía
Práctica de estadísticas aplicada a la empresa y al marketing. España:
Paraninfo.
o Casas, J. M.; García, C.; Rivera; Zamora, A.I. (2006): Ejercicios de Estadística
Descriptiva y Probabilidad. Ed. Pirámide.
o Borrego del Pino S. (2008) Estadística Descriptiva e Inferencial. Granada
España.
o Casas J. (2008) Inferencia Estadística para Economía y Administración de
Empresas.
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IV. Sistema de Evaluación
A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:
NÚM.
TIPO DE
EVALUACIÓN
UNIDADES A EVALUAR
PUNTOS SOBRE 100
1
PRUEBA PARCIAL
Unidades 1 a 4
15
2
PRUEBA PARCIAL
15
3
TRABAJOS PRÁCTICOS
(CASOS-EJERCICIOS –
TRABAJO FINAL)
Unidades 4 a 8
Problemas ABP y solución de
casos realizados en clases y
en su domicilio.
4
EVALUACIÓN FINAL
Todos los temas de forma
integral Unidades 1 a 10
20
50
Descripción de las características generales de las evaluaciones:
PRUEBA
PARCIAL 1
La primera evaluación está referida a conceptos generales de la asignatura y
a problemas ABP de aplicación de estadística Descriptiva.
PRUEBA
PARCIAL 2
La segunda evaluación está referida a la aplicación en problemas ABP de
estadística Inferencial.
TRABAJOS
PRÁCTICOS
Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje como el Trabajo Final
de aplicación de Estadística Descriptiva e Inferencial, que los estudiantes realizarán
durante la materia, ya sea en forma individual o grupal.
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Se dará un examen final escrito de todo lo avanzado en la asignatura, de los 50 puntos
le corresponden 30 puntos.
El proyecto final tiene como objetivo la aplicación de todos los contenidos
aprendidos en clases. Se realizará en grupos de alumnos no mayores a 4 estudiantes.
EVALUACIÓN FINAL
Entrega del Trabajo: El trabajo debe ser avanzado durante el desarrollo de la materia.
Se valorará la estructura, el contenido, la redacción y ortografía. De los 50 puntos de
la casilla Examen Final: 10 corresponden al avance, contenido y entrega del informe
escrito y 10 para la presentación y defensa del mismo.
Defensa del trabajo: Los grupos defenderán sus trabajos en las clases 19 y 20 del
módulo. Los alumnos podrán decidir el orden de exposición de cada uno de sus
integrantes, pero el docente podrá hacer preguntas de verificación a cada uno de los
miembros del grupo.
5. Guía para el Trabajo Final
INSTRUCCIONES
Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final.
El trabajo deberá presentarse impreso con las siguientes características:
 Hoja de papel boom tamaño carta.
 Margen superior de 3 cm. Inferior de 3 cm. derecho de 4 cm. e inferior 2.5 cm.
 Letra Calibri 11, Interlineado de 1,5.
OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL:
Llevar a la práctica los conocimientos adquiridos en la materia de probabilidad y estadística
referente a la Estadística Descriptiva en un caso real.
ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:
i)
CARÁTULA
 Nombre de la Universidad
 Nombre de la Facultad a la que pertenece
 Nombre de la Carrera
 Nombre de la Materia
 Nombre del Docente
 Nombre de los Integrantes del grupo
 Fecha y año
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ii)
CONTENIDO INTERNO
ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN
 Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio: Años de
funcionamiento, tipo de empresa, ubicación, tamaño de la empresa.
II. OBJETIVOS
2.1. Objetivo general

Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo
2.2. Objetivos específicos
 Pasos a seguir para llegar al objetivo general
III. FUNDAMENTOS TEORICOS
 Realizar mínimo los conceptos teóricos de las unidades de donde se realiza el trabajo.
IV. TABULACIÓN DE DATOS
4.1. Recolección de Información a través de las encuestas (mínimo 200 encuestas)
4.2. Cálculos
4.3. Tabla de datos (Realizar para cada una de las preguntas)
4.4. Gráficos e interpretaciones (Realizar para cada una de las preguntas)
V.PROBABILIDADES
5.1 Probabilidades e interpretación
5.2 Modelos de distribución de probabilidades
5.3 Tamaño de la muestra
VI. CONCLUSIONES
 Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en cada una de las
interpretaciones realizadas en el trabajo.
VII. RECOMENDACIONES
 Propuestas de mejora sobre las actividades realizadas que se han analizado en el trabajo.
ANEXOS
Encuestas, tablas, gráfico, foto o elemento que no sea texto y que se refiera al trabajo.
- La EXPOSICIÓN y DEFENSA oral se realizará en la fecha mencionada al inicio de la materia.
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V.
Objetivos y Actividades de cada Unidad
Unidad 1
ELEMENTOS DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Objetivos de aprendizaje:
 Lograr que el estudiante comprenda la importancia y uso de la ciencia Estadística en las
actividades cotidianas. Que construya e interprete las tablas estadísticas de frecuencias,
exprese en forma de gráfico la información contenida en tablas de frecuencias. Identifique sin
problemas entre variables media, mediana y moda en Estadística. Reconozca la necesidad de
tomar muestras y valorar la representatividad y comprenda el concepto de encuestas e
identificar sus fases.
Preguntas
1. ¿Cuál la diferencia entre Estadística y Estadísticas?
2. ¿Qué se entiende por Estadística como ciencia?
3. ¿Cuál la diferencia entre Estadística Descriptiva y Estadística Inferencial?
4. Indique 5 aplicaciones de la Estadística en el campo empresarial.
5. ¿Cuál la diferencia entre Población y Muestra?
6. Indique 5 ejemplos de población desde el punto de vista estadístico.
7. De tres ejemplos de población finita y tres ejemplos de población infinita.
8. ¿En qué consiste un Censo?
9. ¿Cuál es la diferencia entre variable y dato? Indique con un ejemplo.
10. ¿Cuáles son los tipos de variables que estudia la estadística?
11. Indique la subdivisión de las variables cualitativas y cuantitativas.
12. Indique la clasificación de la estadística en relación con el tiempo.
13. Indique la diferencia entre el redondeo de datos numéricos y los dígitos
significativos.
14. ¿Qué programas o paquetes informáticos se utilizan en Estadística para procesar
una voluminosa información?
15. ¿Cuáles son las fuentes de obtención de información desde el punto de vista
estadístico?
16. ¿Cuáles son los métodos de recolección de la información a través de la Fuente
más importante?
17. ¿Qué se entiende por gráfico desde el punto de vista estadístico?
18. ¿Cuáles son las principales características de un gráfico estadístico?
19. ¿En que se basa la construcción de un gráfico cuáles son sus principales
limitaciones?
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20. Indique 4 recomendaciones para construir un gráfico.
21. ¿Cuáles son los principales gráficos utilizados para presentar informes ilustrados
de carácter general?
22. Cuáles son los gráficos específicos que se utilizan para graficar información
estadística de carácter cualitativo y cuantitativo?
23. A partir de que gráfico se hace el análisis de asimetría y kurtosis?
24. ¿Cuál es la clasificación de las curvas de frecuencia desde el punto de vista de la
asimetría o sesgo?
25. Cuál es la clasificación de las curvas de frecuencia desde el punto de vista de la
kurtosis?
Fundamenta tus respuestas con bibliografía de biblioteca
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INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
Ventas
12 000
14 000
15 000
Hubs
10
15
18
Switch
2
5
8
Está ciencia tiene que ver con la recopilación,
presentación, análisis y uso de datos para
resolver problemas, cualquier persona tanto
en su carrera como en la vida cotidiana recibe
información a través de periódicos, de la
televisión y de otros medios. A menudo es
necesario obtener alguna conclusión a partir
de la información obtenida en los datos,
puesto que los ingenieros obtienen y analizan
datos de manera rutinaria, el conocimiento
de la estadística tiene gran importancia en
este campo.
De manera específica, el conocimiento de la estadística y la probabilidad puede constituirse en
una herramienta poderosa para ayudar a los ingenieros a diseñar nuevos productos y sistemas, a
perfeccionar los existentes y a diseñar, desarrollar y mejorar procesos de producción, de redes,
sistemas de información, etc.
Este texto busca dotar a los ingenieros de herramientas estadísticas básicas que les permitan
practicar con éxito esos aspectos profesionales.
CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA
ESTADISTICA
ESTADISTICA
DESCRIPTIVA
PROBABILISTICA
Esta basada en hechos anteriores. Recolecta y
organiza los datos
Analiza la información para la toma de decisiones.
La usamos para describir el pasado.
También para resumir la informacciòn
La usamos para pronosticar el futuro.
También para generalizar
En todo estudio estadístico aparecen los siguientes conceptos básicos:
 POBLACIÓN
Conjunto de los elementos que son objeto de estudio. Si ésta es muy grande, se considera solo
una parte de ella denominada muestra.
 INDIVIDUO
Cada uno de los elementos de la poblacion
 VARIABLE ESTADISTICA
Propiedad o característica de la población que estudiamos.
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A continuación veremos cuál es la población, los individuos y las variables estadísticas de
diferentes estudios estadísticos:
Estudio Estadístico
Medio transporte que
utilizan más
frecuentemente los
habitantes de una ciudad
Número de cafés servidos
en la Av. Monseñor
Tiempo promedio diario
que dedican los habitantes
para leer un periódico.
Población
Habitantes de la ciudad.
Av. Monseñor
Habitantes de la ciudad.
Unidad Estadística
Variable Estadística
Cada uno de los
habitantes.
Medio de transporte
utilizado.
Cada uno de los cafés de la
Av. Monseñor.
Número
servidos.
Cada uno de los
habitantes.
Tiempo medio
dedicado a la lectura
de la prensa.
de
PASOS PARA REALIZAR UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
PRIMER PASO
FORMULARSE LA PREGUNTA
Que resultado quiero obtener a través de esta
INVESTIGACION
SEGUNDO PASO
Identificar tipo de variable (cualitativa o cuantitativa)
TERCER PASO
Definir si el estudio de investigación estadística será
realizado a través de una muestra o una población
CUARTO PASO
Seleccionar la/s herramienta/s válidas para el levantamiento
de datos (encuestas, censos, informes contables, informes
económicos, cuestionarios, test, prensa escrita,
observación)
QUINTO PASO
Tabulación, clasificación de la información recolectada a
través del cuadro de distribución de frecuencias.
SEXTO PASO
Realización de los gráficos correspondientes
SEPTIMO PASO
Interpretación de los gráficos, conclusiones
Fuente : Ing. Luis Fernando Villarroel – Taller Estadistica Utepsa
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cafés
MUESTRA
Sucede que al recolectar la información muchas veces se hace imposible o muy costoso
económicamente obtener los datos de todos los elementos que componen una población, por lo
que usualmente se recurre a tomar sólo una muestra de los datos.
Por ejemplo, imagina que el diario El DEBER quisiera elaborar un estudio sobre las preferencias
literarias y musicales de la juventud cruceña. Está claro que no se puede preguntar a todos los
individuos pues la población es demasiado grande.
Población
Población
Una población es aquella
que está formada por la
totalidad de las
observaciones en las
cuales se tiene cierto
interés.
Muestra
Individuo
Cada uno de los
elementos de la
población
Muestra
Una muestra es un
subconjunto de
observaciones
seleccionadas de una
población.
Se podrá observar y concluir que es
una tarea imposible y muy costosa
preguntar a cada individuo sobre la
preferencia literaria y musical.
Es por eso que resulta conveniente
escoger una pequeña parte de esta
población (una muestra) que sea
representativa del total de la
población.
TIPOS DE VARIABLES
Existen dos tipos de variables:
 Variables cuantitativas (continuas y discretas)
 Variables cualitativas (ordinales y nominales)
TABULACIÓN DE ENCUESTAS
Cuando se tabulan encuestas, las características de una población o variables, se clasifican en uno
de los tres niveles de medida siguientes:
 VARIABLES DE ESCALA
Los valores de los datos son numéricos en una escala de intervalo o de razón. Las variables
continuas son todas aquellas que se pueden medir, por ejemplo: ingresos, tiempo, peso,
temperatura, notas de los alumnos, gastos de una empresa, etc. Las variables discretas son
todas aquellas que se pueden contar, por ejemplo: Edad, personas, autos.
 VARIABLES ORDINALES
Los valores de datos representan categorías con un cierto orden intrínseco, por ejemplo:
Bajo, medio y alto. Las variables ordinales pueden ser valores numéricos que representan
categorías diferentes (por ejemplo, 1= bajo, 2 = medio, 3 = alto)
 VARIABLES NOMINALES
Los valores de datos representan categorías sin un orden intrínseco, por ejemplo: División de
una compañía: administración, contabilidad, producción, ventas, etc.
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Las variables nominales pueden ser de valores numéricos que representan categorías
diferentes (por ejemplo, 1 = Hombre, 2 = Mujer)
DISEÑO DEL CUESTIONARIO
Las encuestas utilizando la herramienta de los cuestionarios se realizan con el objeto de recabar
información de algún tipo. A la hora de formular las preguntas es importante tener en cuenta lo
siguiente:
 Las preguntas deben formularse de forma concreta y precisa. Evitar el uso de palabras
abstractas o ambiguas.
 No deben hacerse preguntas que obliguen a consultar archivos o a realizar cálculos
numéricos complicados
 Las preguntas han de ser preferentemente cerradas
Existen en diferentes formatos, veamos algunos tipos de preguntas que se pueden formular:
TIPOS DE PREGUNTAS SEGÚN…
EJEMPLO
Abierta: deja libertad al encuestado a ¿Qué tipo de programa televisivo prefiere?.........
responder
¿Cuál es su grupo musical favorito?........
ELECCION SIMPLE O
COMPARATIVAS
MULTIPLE
O DE
ORDINALES
Cerrada: el encuestado debe elegir la
PONDERACION
respuesta entre las que propone el
Sus
programas Califique del 1 al 6 La programación
cuestionario
televisivos
favoritos sus preferencias
televisiva le
son:
televisivas:
parece:
 Debates
Debates:……
 Muy
 Musicales
Musicales:…..
Interesante
 Documentales Documentales:……  Interesante
 Películas
Películas:……….
 Indiferente
 Deportes
Deportes:……..
 Poco
 Informativos
Informativos:…….
interesante
 Concursos
Concursos:……….
 Nada
 Ninguno
interesante
Sexo:
De identificación: permite
 Femenino
determinar el sexo, la edad,
 Masculino
profesión, nacionalidad ,etc.
Nacionalidad:
 Boliviana
 Extranjera
De información: permite determinar
los conocimientos del entrevistado
¿Conoce los riesgos de la adicción al tabaco:?.................
respecto al tema en concreto.
¿Sabe dónde se celebrará el próximo mundial de futbol? ……..
De opinión: permite conocer la ¿Qué opina sobre la pena de muerte? ………………..
opinión del entrevistado acerca de un ¿Cree que hay demasiada violencia en la programación
tema.
televisiva?.......................
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VARIABLE CUALITATIVA
Una variable cualitativa es aquella que expresa una cualidad o un atributo físico de la población
o muestra de estudio, características expresada en palabras
Ejemplos:
 Estado civil
 Religión
 Nivel social
 Nivel de educación
 Calificación en la calidad de un producto
 Genero
 Ocupación
 profesión
 color de piel
 color de ojos
Existen preguntas que claramente nos indican que son variables cualitativas, por ejemplo:

¿Qué…?

¿Cómo…?

¿Cuándo…?

Opine…
Cuando se organiza la información, para estudiar una variable cualitativa se siguen los mismos
pasos que cualquier estudio estadístico:
1.
2.
3.
4.
Elaborar una tabla o cuadro
Elaborar un grafico
Interpretar los resultados
Analizar los resultados
PARTES DE UN CUADRO O GRÁFICO:
1.- Numeración.
2.- Titulo.
3. El cuadro o gráfico correspondiente
4. Interpretación y análisis
GRÁFICOS
La aplicación de graficos para la representacion de un fenomeno estadistico, se le atribuye a
WILLIAM PLAYFAIR , a fines del siglo XVIII.
Un grafico es la representacion de un fenomeno estadistico por medio de figuras geometricas
(puntos, lineas, rectangulos, paralelepipedos,etc) cuyas dimensiones son proporcionales a la
magnitud de los datos representados.
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Su objeto principal es la representacion de datos de forma grafica, que permita de un solo golpe
de vista visualizar como estan distribuidos los datos y evidenciar sus variaciones y
caracteristicas.
 El grafico es un auxiliar del cuadro estadistico, es decir es su complemento.(Rufino Moya,
E.Descriptiva)
De acuerdo al tipo de variable corresponde su tipo de grafico, entre los mas usuales tenemos:
 Grafico de sectores
 Grafico de Diagrama de Barras
 pictogramas
Veamos un problema ABP resuelto:
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Paso # 2
Elaborar un gráfico
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20
Paso # 3
Paso # 4
VARIABLE CUANTITATIVA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Al manejar gran cantidad de datos resulta útil resumir la información en un cuadro o tabla, para
su posterior interpretación y análisis. Este cuadro recibe el nombre de “cuadro de distribución de
frecuencias”
Para elaborar este cuadro se siguen básicamente 8 pasos iniciales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
PASO:
PASO:
PASO:
PASO:
PASO:
PASO:
PASO:
PASO:
Ordenar los datos en forma ascendente.
Determinar los valores mínimo y máximo
Calcular el rango
Calcular el número de intervalos
Determinar la amplitud de clase
Calcular el rango ideal y margen de desplazamiento
Calcular el límite inferior inicial
Finalmente calcular los demás limites inferiores
Nota.
Diversos autores
recomiendan hacer la
distribución de frecuencias
a partir de n = 20 datos.
Estos pasos se describirán con un ejemplo.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
21
PROBLEMA ABP RESUELTO
AT&T multinacional norteamericana, diseña un componente
electrónico para una nueva tarjeta de red. La empresa ha recopilado
información acerca del tiempo de vida útil de este componente en
años. Resuma la información en un cuadro de distribución de
frecuencias.
7
12
15
4
12
5
18
5
11
5
4
4
15
7
10
5
4
7
9
6
11
5
9
15
5
10
17
3
17
7
11
9
12
7
12
9
1. Ordenamos los datos en forma ascendente.
3
4
4
4
4
5
7
7
7
7
7
9
11 11 12 12 12 12
2. Determinamos los valores mínimo y máximo
5
9
15
6
11
18
MIN  3
MAX  18
3. Calculamos el rango
RANGO  MAX  MIN
RANGO  18  3  15
# I  1  3.32  Log( n )
4. Calculamos el número de intervalos
# I  1  3.32  Log(30)  5.90  6
5. Determinamos la amplitud de clase
C
15
C
 2.5  3
6
RI  6  3  18
Condición: RI > RANGO
(POR LO MENOS EN DOS UNIDADES)
Margen de desplazamiento:
Rideal  R
#I
RI # I  C
6. Calculamos el rango ideal
MD 
RANGO
1 (abajo)
MD  18  15  3
“ojo” Si la diferencia en el numerador es par
Dividimos entre dos, pero si es impar solo
Compartimos en la forma más equitativa
en dos números entero
2 (arriba)
Tomamos el número más pequeño. MD = 1
Condición:
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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MD < C
22
7. Calculamos el límite inferior de la primera clase
Lo  MIN  MD
Lo = Min – MD = 3 – 1 = 2
8. Calculamos los demás límites inferiores
L1 = 2 + 3 = 5
L2 = 5 + 3 = 8
L3 = 8 + 3 = 11
L4 = 11 + 3 = 14
L5 = 14 + 3 = 17
CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Acum
10
Menor
11
que
12
Acum
13
Mayor
14
que
#
I
INTERV
Limites
Li Ls
FRONTERAS
FREC.
Absoluta
fI
Frec. Rel.
%
fr%
Fi(-)
Fr(-)
Fr% (-)
Fi(+)
Fr(+)
Fr%
(+)
1
2
2 - 4
5 - 7
1.5 - 4.5
4.5 - 7.5
lIIII
lllllllllI
5
10
Marcas
De
clase
MC
3
6
Frec. Rel.
fr
Fs
HOJA
DE
REC
0.167
0.333
16.7
33.3
5
15
0.167
0.50
16.7
50
30
25
1
0.833
100
83.3
3
4
5
6
8 11 14 17 -
7.5 10.5 13.5 16.5 -
Illl
Illllll
Il
Il
9
12
15
18
0.133
0.233
0.067
0.067
1
13.3
23.3
6.7
6.7
100%
19
26
28
30
0.633
0.867
0.933
1
63.3
86.7
93.3
100
15
11
4
2
0.50
0.367
0.133
0.067
50
36.7
13.3
6.7
Fi
10
13
16
19






10.5
13.5
16.5
19.5
4
7
2
2
n = 30
La primera columna # i
Indica en cuantos grupos hemos dividido los datos.
La segunda columna Límites
Indica el valor inicial y el valor final de cada grupo o en otras palabras indica los límites de
cada grupo de datos.
La tercera columna Fronteras
Representan los límites verdaderos o reales entre un grupo de datos y otro. Estos valores
se calculan para prevenir la existencia de valores decimales en los datos.
La cuarta columna MC
Representa las marcas de clase, estas marcas de clase son el valor representativo de cada
grupo de datos, y no son otra cosa que un promedio.
La quinta columna fi
Indica la frecuencia, que no es otra cosa que el número de elementos que tiene cada
grupo de datos. Por ejemplo, el primer valor indica que solamente un dato del total se
encuentra en la primera clase o grupo, entre 2-4.
La sexta columna MC
Representa la frecuencia acumulada, que representa el número de datos que existen por
debajo de la correspondiente Frontera superior.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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23


La séptima columna fr %
Indica la frecuencia relativa porcentual, que es en realidad el porcentaje del total de los
datos de cada grupo de datos. Por ejemplo, el primer valor indica que 3% del total de los
datos se encuentra en la primera clase, entre 2-4.
Finalmente la última columna Fr (-)%
Representa la frecuencia relativa acumulada porcentual, es la misma interpretación de la
frecuencia acumulada sólo que en porcentaje.
GRAFICOS REPRESENTATIVOS DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Una forma visual y más rápida de analizar e interpretar datos es a través de gráficos. Existen
muchos de ellos nosotros nos ocuparemos esencialmente de 3 de ellos:
POLIGONO
10
9
9
8
8
7
FRECUENCIAS
FRECUENCIAS
HISTOGRAMA
10
6
5
4
3
7
6
5
4
3
2
2
1
1
0
0
0,5-3,5
3,5-6,5
6,5-9,5
9,5-12,5
12,5-15,5
15,5-18,5
-1
FRONTERAS
2
5
8
11
14
17
20
MARCAS DE CLASE
OJIVA MENOR QUE
FRECUENCIA ACUMULADA
32
Con ayuda de su Profesor y de la Ojiva
responda:
28
24
A. Qué cantidad de Componentes tiene
vida útil menor a 5 años?
B. Qué porcentaje de componentes tiene
vida útil mayor a 10 años?
C. El porcentaje de componentes tiene
vida útil entre 9 y 11 años?
20
16
12
8
4
0
0,5
3,5
6,5
9,5
12,5
15,5
18,5
FRONTERAS
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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24
Preguntas:
1. ¿Cuáles son las diferencias entre el Histograma y el Gráfico de barras Verticales?
2. Rellene los espacios en blanco.
1. La Sumatoria de las frecuencias Absolutas es igual al ____________.
2. La Sumatoria de las frecuencias relativas es igual a la _______________.
3. La Sumatoria de las frecuencias porcentuales es igual al _____________.
3. Rellene los espacios en blanco.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
La última Frecuencia Absoluta Acumulada Ascendente es igual al: _______________
La última Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente es igual a la: _______________
La última Frecuencia Porcentual Acumulada Ascendente es igual al: _______________
La primera Frecuencia Absoluta Acumulada Descendente es igual al: _______________
La primera Frecuencia Relativa Acumulada Descendente es igual a la: _______________
La primera Frecuencia Porcentual Acumulada Descendente es igual al:
_______________
g) Hay dos gráficos que pueden estar los dos en un mismo plano: Estos son:
__________________ y ________________
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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25
PRÁCTICO No1
1. Clasifique cada una de las siguientes afirmaciones en ESTADISTICA
DESCRIPTIVA o ESTADISTICA INFERENCIAL
a. Durante la gestion pasada el puntaje promedio del examen de admision de jovenes
estudiantes fue de 71 pts en la Universidad Gabriel Rene Moreno
b. Probablemente en la siguiente prueba de admision a un cargo para el area de ventas ,
llegaran aproximadamente 85 postulantes.
c. La compania “R&M” predijo quien seria el ganador de una eleccion presidencial , despues
de conocer los resultados de las votaciones de 25 mesas de sufragio de un total de 1500
mesas.
2. Indica cual es la poblacion y la variable estadistica de cada uno de los siguientes estudios
estadisticos. Señala ademas que tipo es la variable estadistica.
a) Preferencia deportiva de los estudiantes de tu materia
b) Tiempo promedio invertido por los trabajadores UTEPSA en desplazarse desde su
domicilo hasta su centro de trabajo.
c) Numero de veces, en un año, que asisten al cine los habitantes de tu ciudad.
Señala cuales de los estudios estadisticos mencionados seria necesario tomar una muestra.
Justifica tu respuesta.
3. Se requiere elaborar un cuestionario que permita determinar como emplea la juventud
cruceña su tiempo libre. Elabore:
a) Preguntas abiertas
b) Preguntas cerradas en base a la modalidad aprendida en clase.
4. Formar equipos de trabajo y planicar una encuesta para conocer el medio de transporte
utilizado por los alumnos UTEPSA. Elaborar un cuestionario con preguntas cerradas de
selección simple y/o multiple con variables:
a) ordinales
b) Nominales
c) Cuantitativas
Aplicación de lo aprendido
Averigua el nombre de 2 empresas privadas que elaboren encuestas, Indica:
a) Que tipo de investigacion efectúan.
b) Indaga: La representatividad, coste y tiempo son factores que hay que considerar
conjuntamente a la hora de decidir el tamaño de la muestra. ¿Porqué están
involucrados?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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26
PRÁCTICO No2
Resuelve los siguientes problemas ABP para variable cualitativa:
1. Con el fin de conocer la forma de viajar de una población se ha preparado una encuesta para
ver cuál es el medio de transporte preferido por dicha comunidad:
OMNIBUS
AVION
TREN
BARCO
BARCO
BARCO
OMNIBUS
AVION
TREN
TREN
AVION
AVION
TREN
TREN
TREN
AVION
AVION
OMNIBUS
TREN
AVION
Se pide:
a) Realizar el cuadro estadístico
b) ¿Cuál es el medio de transporte más preferido por dicha comunidad?
c) Construya un gráfico de Barras para la presentación de datos
2.Usted es Gerente de Recursos Humanos de la Cooperativa “AHORRA FELIZ”, muchas personas
se han quejado del trato que le brinda el asesor de Crédito Facundo Torres, para verificar las
quejas de los clientes, se ha decidido llamar telefónicamente a 12 clientes que el señor Torres
atendió. Se les ha preguntado: ¿Qué le pareció el trato que recibió de nuestro asesor de créditos
Facundo Torres?
A continuación se muestran los resultados obtenidos:
MALO
NORMAL
BUENO
BUENO
EXCELENTE
MALO
BUENO
MALO
BUENO
EXCELENTE
MALO
BUENO
Se pide:
a) Realizar el cuadro estadístico
b) ¿Cuál es el mayor porcentaje de calificación que los clientes dieron al asesor de créditos?
c) Construya un gráfico de SECTORES para la interpretación de los datos
3. El siguiente cuadro muestra las entregas por mercado de las gaseosas que se venden en nuestra
ciudad. La empresa investigadora “ Éxito S.A.” tiene algunas interrogantes.
GASEOSAS
COCA COLA
PEPSI
MENDOCINA
TOTALES
LOS POZOS
15
20
5
40
LA RAMADA
35
10
10
55
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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ABASTO
30
25
5
60
TOTALES
80
55
20
155
27
Se pide:
a) Realizar el cuadro estadístico
b) Realizar diagrama de barras por mercado individual
c) Interpretación de los gráficos
4. En concepción se encuestaron a 20 personas y se les preguntó ¿Qué le pareció el sabor de la
nueva marca de Sodas “Sodín”?, los resultados se muestran a continuación.
No me gustó
Excelente
Regular
No me gustó
Regular
Regular
Regular
Muy Buena
Muy Buena
Excelente
Excelente
No me gustó
Normal
Regular
No me gustó
Regular
Excelente
No me gustó
No me gustó
Regular
¿Si usted fuera el dueño de la empresa, lanzara su producto?, responda con base a análisis
estadístico.
5. Nokia que produce y comercializa teléfonos celulares, necesita conocer el porcentaje mayor y
menor de la variedad de colores, para sus planes de producción. A continuación el informe
presentado por el departamento de ventas de las unidades vendidas del semestre pasado.
Realizar cuadro estadístico, gráfico e interpreta.
Blanco brillante
Negro metálico
Lima magnético
Gris metálico
Rojo fusión
130
104
325
455
256
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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28
PRÁCTICO No3
Resuelve los siguientes problemas ABP para variable cuantitativa:
1. Las calificaciones de matemáticas de 25 estudiantes del Centro de Nivelación
“EMPRENDEDOR” se indican a continuación:
69
64
80
55
85
72
44
90
51
86
73
62
55
92
67
86
96
70
66
60
82 45 62
56
63
a)
Elaborar el CDF.
b) Graficar el histograma y el polígono de la
frecuencia relativa porcentual.
c) Interprete del intervalo 5, las columnas 5,
9 y 14.
2. Los siguientes datos representan el consumo diario de combustible, en barriles, de una empresa
de servicios petroleros que trabaja para EBR:
15
12
30
41
20
24
22
15
31
40
12
22
16
20
32
35
15
28
18
25
40
36
32
21
16
15
19
29
34
22
A. Elabore una tabla de distribución de frecuencias del mismo ancho.
B. Grafique el histograma, el polígono la ojiva menor.
C. Con ayuda del histograma, indique entre que valores se tiene la mayor y la menor
frecuencia de consumo.
3. Los jornales aproximados por semana en la industria metalmecánica, en dólares, son:
62
47
48
41
54
40
43
49
48
53
46
60
62
69
28
58
45
40
36
69
30
56
58
40
51
A. Elabore una tabla de distribución de frecuencias del mismo ancho.
B. Grafique el histograma, el polígono la ojiva menor.
C. Con ayuda del histograma, indique entre que valores están los mayores y menores
salarios.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
29
4. A continuación se presenta la distribución de frecuencias de los salarios (en dólares) de un
grupo de 50 obreros de la fábrica de aceite CRISOL LTDA., en el mes pasado
SALARIOS
No DE
TRABAJADORES
114 - 119
1
120 - 125
4
126 - 131
8
132 - 137
13
138 - 143
10
144 - 149
11
150 - 155
3
A. Complete el cuadro de distribución de frecuencias.
B. Con ayuda de la Ojiva menor, indique el porcentaje de obreros que ganan menos de 125
dólares.
C. Con ayuda de la Ojiva menor, indique la cantidad de obreros que ganan más de 145
dólares.
D. Con la ayuda de la ojiva menor, por debajo de que valor se encuentra el 60% de los salarios
5. Los siguientes datos muestran la cantidad de minutos que un grupo de clientes se
demoraron para ser atendidos en las instalaciones del Banco Económico 1 . Realice un
estudio que nos muestre un panorama general de lo que pasó ese día.
8
13
20
15
18
19
12
19
15
17
18
15
15
25
34
30
34
20
11
13
19
25
20
30
10
32
20
21
24
25
20
16
18
19
12
18
A. Elabore una tabla de distribución de frecuencias del mismo ancho.
B. Grafique el histograma, el polígono la ojiva menor.
C. Con ayuda del histograma, indique entre que valores están los mayores y menores
resultados del tiempo en que demoraron en ser atendidos los clientes del Banco.
1
Estos datos no son reales, ni reflejan las condiciones de atención del Banco Económico, la única razón por la que se pone el
nombre es para familiarizar al estudiante con el tema.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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30
6. Los siguientes datos muestran las edades de los integrantes del Club Social 21 de abril. Realice
una tabla de Distribución de frecuencias y conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Qué porcentaje de los integrantes del Club son mayores de 46 años?
b) ¿Qué porcentaje de los integrantes del Club son menores de 50 años?
c) Construya el Histograma de Frecuencias Absolutas.
d) Construya el Polígono de Frecuencias Relativas.
e) Construya las ojivas menor y mayor que de frecuencias Absolutas.
35
65
47
45
45
32
43
48
48
42
40
40
42
40
32
32
40
60
39
34
50
50
40
37
65
52
42
38
32
53
41
50
35
45
41
34
37
48
42
62
7. Los siguientes datos muestran los ingresos de los obreros del Ingenio Guabirá, construya una
tabla de distribución de frecuencias y los 12 gráficos del estudio cuantitativo.
100
300
321
290
178
150
280
200
265
186
123
235
254
245
185
164
300
345
265
195
130
340
320
235
120
210
321
365
203
150
200
190
300
300
203
321
254
200
254
240
159
236
250
170
230
8. Los siguientes datos muestran la cantidad de veces que un grupo de 32 encuestados en Pailón
se refriaron el año pasado.
1
3
3
5
1
4
1
0
2
5
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
3
1
2
3
3
3
2
4
2
A. Elabore una tabla de distribución de frecuencias del mismo ancho.
B. Grafique el histograma, el polígono la ojiva menor.
C. Interprete los valores mayores y menores de las frecuencias absolutas.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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31
9. Los siguientes datos muestran las ventas de la empresa “Aqualoe” de los primeros tres meses
(expresadas en dólares). Construya una tabla de distribución de frecuencias y los tres Histogramas
y polígonos de frecuencias.
100
147
156
195
200
120
158
123
174
225
150
123
100
185
230
130
100
125
165
232
180
123
125
132
232
190
120
165
154
231
152
150
187
123
231
135
159
185
102
235
100
125
156
189
215
200
150
150
180
190
160
180
180
220
200
185
205
180
195
170
10. Los datos que se muestran a continuación son el número de autos que ocuparon los servicios
de lavado de los cuatro lavaderos de Don Alberto el mes de marzo del 2018. Realice una tabla de
distribución de frecuencias para cada sucursal y una tabla general de todos los lavaderos.
2
10
8
5
4
15
18
20
5
8
Norte
15
15
12
10
29
5
5
24
20
21
12
15
18
16
15
14
13
15
10
14
5
6
9
6
10
12
15
20
19
5
Sur
6
8
8
12
1
15
1
18
15
10
10
14
11
10
15
1
4
5
2
10
15
10
12
5
4
5
12
12
16
10
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
Este
10
5
15 10
12
4
16
5
18
6
20
4
5
1
4
2
7 10
9 15
10
10
15
11
5
4
7
4
7
8
Oeste
12
20
21
25
14
16
18
19
20
12
12
14
16
15
18
9
9
9
1
6
32
11. Los siguientes datos muestran los puntajes de calificación de la materia Contabilidad Básica
de los 2 grupos de la Universidad (noviembre 2017)
78
85
56
98
100
54
65
85
80
90
Grupo A
100
95
51
80
40
75
45
70
85
60
80
54
75
80
65
64
65
100
64
72
55
65
60
59
80
75
65
64
80
95
Grupo B
100
95
94
96
91
40
51
65
54
81
64
54
76
85
94
65
46
51
70
75
56
64
54
100
Realice una tabla de Distribución de frecuencias para cada uno de los grupos y una tabla general
de toda la materia.
12.Complete la siguiente tabla de Distribución de Frecuencias y construya las 6 ojivas.
Tabla III - 1
“Edades de los profesores del Colegio Rio Nuevo”
Front
Front
Lim Inf Lim Sup Inf
Sup
# Int
Li
Ls
Fi
Fs
Xi fi
fr
fr% Fi(-) Fr(-) Fr%(-) Fi(+) Fr(+) Fr%(+)
1
30
15
5
36
100
15
15%
30
20
90
97
8
3
Fuente: Elaboración propia con los datos del Colegio. (Enero/2018)
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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33
Prácticos y/o
Laboratorios
1. A partir del siguiente cuadro referido a alumnos matriculados en diferentes
carreras en una universidad, realizar mediante el programa de Excel, el gráfico del
diagrama de barras para ambas frecuencias.
CUADRO I.1
ALUMNOS MATRICULADOS POR CARRERAS EN UNA UNIVERSIDAD
CARRERA
NUMERO DE ALUMNOS
%
Administración
800
15.69
Contaduría Pública
600
11.76
Derecho
1200
23.53
Economía
700
13.73
Ingeniería Industrial
1300
25.49
Psicología
500
9.80
TOTAL
5.100
100,00
Fuente: Elaboración propia
2. Realizar los gráficos de líneas en el programa de Excel para los ingresos y costos
CUADRO I.2
NGRESO Y COSTO
(Expresado en cientos de millones de $us)
AÑOS
INGRESOS
COSTOS
CIENTOS DE MILLONES
EN CIENTOS DE MILLONES
2009
260
110
2010
380
200
2011
300
150
2012
620
420
2013
470
360
2014
720
510
2015
870
620
Fuente: Elaboración propia
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
34
Innovación y/o Emprendimiento
INNOVACION: EXPRESIONES NUEVAS INCORPORADAS AL LENGUAJE PARA LA
FORMACION PROFESIONAL
Indicar el significado de las siguientes palabras y expresiones y entre paréntesis colocar
su equivalente en el idioma inglés, además colocar las expresiones en orden alfabético.
1. Estadística
2. Estadística Descriptiva
3. Estadística Inferencial
4. Fuente Primaria
5. Fuente secundaria
6. Encuesta
7. Población Estadística
8. Población finita e infinita
9. Muestra
10. Parámetro
11. Estadístico de la muestra
12. Censo
13. Datos
14. Variables
15. Diagrama de frecuencia
16. Histograma de frecuencia
17. Curva de frecuencia
18. Redondeo de datos
19. Dígitos significativos
20. Tabulación
21. Sesgo
22. Curtosis
23. Distribuciones simétricas
Ética Responsabilidad Social Formación Internacional Idioma Ingles
Artículo extractado y adecuado de: Estadística para Administración, Varios Autores.
6ta. Edición. Editorial Pearson. 2014
ETICA: (Según el Diccionario) Referida a la moral en el comportamiento humano.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
35
LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA: DESVENTAJAS Y ASPECTOS ETICOS
En la materia se explica la forma en que un conjunto de datos numéricos puede
describirse por medio de los estadísticos que proporcionan las medidas de tendencia
central, de variación y de localización. En las empresas a menudo se incluyen estadísticos
descriptivos como los que hemos estudiado, en los informes ejecutivos que se preparan
en forma periódica.
El volumen de información disponible en Internet, en los periódicos y en las revistas ha
provocado gran escepticismo acerca de la objetividad de los datos. Cuando lea
información que incluya estadísticos descriptivos, debe tener en mente el sarcasmo que
suele atribuirse a Benjamín Disraeli, el famoso estadista británico del siglo XIX: “Existen
tres clases de mentiras: las mentiras, las malditas mentiras y la estadística”.
Por ejemplo, cuando examine estadísticos, debe comparar la media y la mediana. ¿Son
similares o son diferentes? O bien, ¿solo se proporciona la media?
Las respuestas a estas preguntas ayudarán a determinar si los datos están sesgados o son
simétricos, y si la mediana podría ser una mejor medida de tendencia central que la
media. Además, deberá determinar si también se incluyó la desviación estándar o el rango
intercuartil para un conjunto de datos muy sesgado. Sin esta información, es imposible
determinar la cantidad de variación que existe en los datos.
Al decir que resultados debe incluir en un informe surgen consideraciones éticas. Es
necesario documentar tanto los resultados buenos como los malos. Además, al hacer
presentaciones orales y al presentar informes escritos, se deben reportar los resultados
de una forma justa, objetiva y neutral. Cuando de forma intencional no se reportan los
hallazgos que afectan de manera negativa a una postura en particular, se incurre en una
conducta poco ética.
Instrucciones: En una hoja de papel tamaño carta, en forma manuscrita escriba su opinión
personal acerca del artículo precedente en un mínimo de 12 líneas o renglones y
preséntela al docente en la fecha que el indique.
Aplicación de lo aprendido
En base al tema de investigación a desarrollar, una vez realizada su encuesta, aplique
todos los temas aprendidos en esta unidad, utilizando un software (SPSS, Excel) e
interpreta los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la
materia.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
36
UNIDAD 2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Objetivos de aprendizaje:
Identificar, calcular e interpretar las medidas de tendencia central más utilizados.
Preguntas:
1.- ¿Que se entiende por Estadígrafo?
2.- ¿Que se entiende por Promedio?
3.- ¿Cuáles son los principales estadígrafos que se estudiaron en la unidad?
4.- ¿Cual la diferencia entre Media Poblacional y media Maestral?
5.- ¿Cómo se define la media ponderada?
6.- ¿Cuál es la diferencia entre media para datos no tabulados y datos tabulados?
7.- ¿Cuáles son las ventajas de la media aritmética?
8.- ¿Cuáles son las ventajas de la media aritmética?
9.- ¿Que se entiende por Mediana?
10.- ¿Cual la diferencia entre mediana para datos tabulados y datos no tabulados?
11.- ¿Cual la diferencia entre la media y la mediana?
12.- ¿En qué situaciones en que la media no es un estadígrafo representativo se debe
utilizar la mediana para obtener un promedio válido?
13.- ¿Cuáles son las situaciones en las que la media no puede calcularse?
14.- ¿Se puede decir que la mediana es representativa de todos los datos? ¿Por qué?
15.- ¿Cuáles son las desventajas de la mediana?
16.- ¿Que se entiende por Moda?
17.- ¿Cuáles son las ventajas de la Moda?
18.- ¿Si el conjunto de datos es multimodal el valor modal es válido? ¿Por qué?
19.- ¿Desde el punto de vista matemático cuál de los tres estadígrafos es más manejable?
20.- Desde el punto de vista de la Disimetría ¿cuál es la relación que se establece entre la
media, la mediana y la moda?
21.- Cual es la medida de tendencia central que NO debe utilizarse cuando se tiene una
distribución notablemente sesgada?
22.- Qué se entiende por Media Geométrica?
23.- En que situaciones se utiliza la Media Geométrica?
24.- Cual es la otra denominación del segundo cuartil
25.- Que se entiende por primer Cuartil y tercer cuartil?
26.- Cual es la otra denominación del segundo cuartil?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
37
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Del mismo modo que los gráficos pueden mejorar la presentación de los datos, las descripciones
numéricas también tiene gran valor. Una característica importante de un conjunto de datos es su
tendencia central, las medidas de tendencia central determinan que tan agrupados se encuentran
los datos alrededor de un valor fijo. Entre estas tenemos:







media (aritmética)
media geométrica
media cuadrática
media armónica
mediana
moda
fractiles (cuartiles, deciles y percentiles)
Nosotros estudiaremos las siguientes medidas:
MEDIA
La medida más común de centro de un conjunto de datos es el promedio o media aritmética.
Matemáticamente:
Para datos agrupados
x
 xi . fi
Para datos no agrupados
Calcular el promedio, como se
hace normalmente.
n
Nota:
La media aritmética se
la utiliza para variables
cuantitativas.
MEDIANA
Es otra medida de tendencia central, representa el punto o valor donde el conjunto de datos se
divide en dos partes iguales. La palabra “mediana” es sinónimo de parte media.
Matemáticamente:
Para datos agrupados
n
 Fi -1
Me  Fi  2
C
f
Para datos no agrupados
Ordenar los datos de menor a
mayor y ubicar el valor o los
valores, según corresponda, a la
mitad de los datos.
Nota:
La mediana se la utiliza normalmente para variables ordinales, pero también se usa en variables
cuantitativas.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
38
MODA
Es la observación que se presenta con mayor frecuencia, o dicho de otro modo, es la observación
que se repite más veces. Matemáticamente:
Para datos agrupados
Mo  Fi 
1
 
1
2
Para datos no agrupados
Buscar dentro de los datos el número que
se repite mayor cantidad de veces.
C
Nota:
La moda se la utiliza normalmente para variables nominales, pero también se usa en variables
cuantitativas
FRACTILES
Los fractiles son valores que dividen a un conjunto de datos en partes iguales. Por ejemplo los
cuartiles dividen el conjunto de datos en 4 grupos de igual tamaño, los deciles en 10 grupos y los
percentiles en 100 grupos.
PROBLEMA ABP RESUELTO (Para datos agrupados)
INDUSTRIAS FINO, analiza las ventas de un nuevo aceite de maíz,
correspondientes al mes de Junio de 2017. Se ha recopilado
información acerca de las ventas en miles de dólares de una sucursal.
Resuma la información en un cuadro de distribución de frecuencias.
7
12
15
4
12
5
18
5
11
5
4
4
15
7
10
5
4
7
9
6
11
3
17
7
11
9
12
7
12
9
Determine la media aritmética, la mediana y la moda correspondientes a las ventas de aceite de
maíz de INDUSTRIAS FINO:
CUADRO DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Limites
Fronteras
MC =
#I
Xi
Li
Ls
Fi
Fs
1
2
4
1.5
4.5
3
2
5
7
4.5
7.5
6
3
8
10
7.5
10.5 9
4
11
13
10.5 13.5 12
5
14
16
13.5 16.5 15
6
17
19
16.5 19.5 18
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
fi
Fi (-)
fr%
Fr% (-)
5
10
4
7
2
2
5
15
19
26
28
30
16.67
33.33
13.33
23.33
6.67
6.67
16.67
50.00
63.33
86.66
93.33
100
39
s
s

MEDIA
Xi fi
Xi.fi
3
6
9
12
15
18
15
60
36
84
30
36
5
10
4
7
2
2
x
 xi.fi
n

261
 8.70 miles de dólares
30
Interpretación:
Las ventas diarias de aceite alcanzan un promedio de 8,700 dólares
261

MEDIANA
Fi
fi
Fi(-)
1,5
4,5
7,5
10,5
13,5
16,5
5
10
4
7
2
2
5
15
19
26
28
30

n
 Fi - 1(ant.)
15  5
Me  Fi  2
 C  4.5 
 3  7.50 miles de dólares
10
f
Interpretación:
50% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 7,500 dólares.
MODA
Fi
fi
1,5
4,5
7,5
10,5
13,5
16,5
5
10
4
7
2
2
1 =10-5 =5
2 = 10-4 =6
Mo  Fi 
Δ1
Δ Δ
1
2
 C  4.5 
5
 3  5.86 miles de dólares
56
Interpretación:
Lo más frecuente (lo más común) es que se venda diariamente 5,860
dólares
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
40
PRÁCTICO No4
Resuelve los siguientes problemas ABP de medidas de tendencia central
1. Usted tiene los datos de ventas de las últimas 6 semanas. ¿Cuál es el
promedio de ventas semanales, mediana y moda?
1356
1456
1409
1567
1321
1564
2. Los siguientes datos muestran la cantidad de prendas compradas por una muestra aleatoria
de 8 personas en el Mercado “7 calles” ubicada en el centro de la Ciudad de santa Cruz de la
Sierra, Bolivia. Indique de las 8. ¿Cuál es el promedio que se gastó en compras, mediana y
moda?
12
14
10
7
5
12
30
26
3. El Ministerio de Educación informó que durante los últimos años recibieron grados de
licenciatura en diferentes carreras el siguiente número de personas: 5.033, 5652, 6407, 7201,
8719, 11.154 y 15.121. ¿Cuál es la media del número anual de personas que se graduaron?
¿Es una media muestral o una media poblacional?
4. En el siguiente cuadro se refiere a los tiempos de servicio para varios empleados que se retiran
o jubilan:
Empleado
Tiempo servicios(años)
M Arce
13
S. Jiménez
22
T.Teran
27
B. Sorel
24
L. Arce
19
a) ¿Cuál es la media aritmética de los tiempos de servicio?
b) ¿Cuál es la mediana de dichos tiempos?
5. En una muestra de 15 estudiantes de primaria sobre el monto de su gasto se observan
los siguientes montos equivalentes en dólares americanos en orden ascendente de
magnitud son las siguientes: 0,10; 0,10; 0,25; 0,25; 0,25; 0,35; 0,40; 0,53; 0,90; 1,25; 1,35;
2,45; 2,71; 3,09; 4,10. Determine:
a) La media, la mediana y la moda.
b) El segundo cuartil
c) el segundo decil.
d) el punto percentil 40 de este monto de gastos
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
41
6. En una muestra de paquetes que salen de una oficina de courrier se encuentra que los
pesos dados hasta la onza más cercana son: 21, 18, 30, 12, 14, 17, 28, 10, 16, 25 onzas.
Determine: a) el tercer cuartil, b) el tercer decil c) el punto percentil 70.
7. La fundación INFOCAL, por concepto de cursos de capacitación, genera mensualmente
los siguientes ingresos, en miles de bolivianos:
5
12
18
11
4
20
12
3
16
15
15
12
19
2
25
12
6
3
9
10
A. Elabore una tabla de distribución de frecuencias del mismo ancho.
B. Determine la media aritmética, la mediana y la moda de estas observaciones.
C. Calcular los fractiles e interprete.
8.Las ventas semanales de monitores Samsung de la empresa LOGIC COMPUTERS, el distribuidor
más grande de Santa Cruz, de los últimos 6 meses se detallan a continuación:
100
60
66
85
80
72
55
83
70
55
70
72
52
69
63
82
75
110
91
90
A. Elabore una tabla de distribución de frecuencias del mismo ancho.
B. Determine la media aritmética, la moda y la mediana de estas observaciones.
C. Grafique estas observaciones en un histograma y polígono de frecuencias relativas
porcentuales.
9.Complete la siguiente tabla de distribución de frecuencias determine: la media, la mediana
moda y los fractiles e interprete.
#I
Intervalos
1
2
3
4
5
6
11
15
19
23
27
31
14
18
34
Fronteras
Xi
10,50 14,50 12,50
14,50 18,50 16,50
18,50 22,50
26,50
30,50
30,50 34,50 32,50
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
fi
Fi(-)
fr%
Fr%(-)
1
2
0
12
1
1
20
20
5,00
10,00
0,00
60,00
20,00
5,00
5,00
15,00
15,00
75,00
95,00
100,00
42
10. HOTEL CORTEZ, está tratando de obtener un crédito. El banco dará el crédito si se demuestra
que el 50% de los ingresos del hotel están por arriba de los 400 dólares diarios.
A continuación, se detallan los ingresos del hotel de los últimos 20 días:
485 490 610 485 495
410 450 390 495 400
610 680 450 510 420
500 495 480 590 510
A. Resuma la información en un cuadro de distribución de frecuencias
B. Demuestre cuantitativamente si el hotel recibirá o no el crédito del banco.
11. La distribución de acciones de una sociedad es:
Acciones
Accionistas
0-50
23
50-100
72
100-150
62
150-200
48
200-250
19
250-300
8
300-350
14
350-400
7
400-500
7
Calcular:
a) El número medio de acciones que posee un accionista.
b) Número de acciones que más frecuentemente posee un accionista.
c) Número de acciones que debe poseer un accionista para que la mitad de los restantes
accionistas tengan menos acciones que él.
d) Calcule los fractiles e interprete
12.En la empresa de telecomunicaciones VIVA existe un reclamo por parte de las mujeres
mencionando la hipótesis que ellas ganaban menos que los hombres, usted como analista
estadístico debe explicar si esto es cierto ó falso.
Sueldos (dólares)
100
200
200
300
300
400
400
500
500
600
600
700
700
800
hombres
10
12
20
13
5
4
1
65
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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Mujeres
5
3
12
15
12
15
3
65
43
Casos de Estudio y ABP
RELACION ENTRE LA MEDIANA, LA MEDIA Y LA MODA
Ejercicio 1:
Utilizando el siguiente cuadro de distribución, hallar: la media, la moda y la mediana.
SALARIOS SEMANALES PARA TRABAJADORES NO CALIFICADOS
________________________________________________________
Salario Semanal
xi
fi
xi fi
Fi(-)
140
159
……..
7
……….
……..
160
179
……… 20
………
……..
180
199
……… 33
……….
……..
200
219
……… 25
……….
…….
220
239
……… 11
……….
……..
240
259
………
4
……….
……….
Totales
100
………
Ejercicio 2:
Una firma de contadores públicos se anota el tiempo necesario para hacer una auditoría
de 50 balances contables, como se indica en la siguiente tabla. Calcule a) la media, b) la
mediana c) la moda d) comente la forma de la distribución para los tiempos de auditoria
presentados.
Tiempo de Auditoria
xi
Número de
xi. fi
Fi(-)
(en minutos)
registros (fi)
10
19
14,5
3
……..
……
20
29
24,5
5
……..
…….
30
39
34,5
10
…….
……
40
49
44,5
12
……..
…….
50
59
54,5
20
……..
…….
TOTALES
50
……….
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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44
Investigación
Utilizando la bibliografía complementaria y los enlaces en Internet investigue lo siguiente:
1) ¿Cuándo un conjunto de datos contiene valores extremos se recomienda no
utilizar la media y en su lugar se recomienda utilizar la mediana o la moda, que
otra medida se puede utilizar en lugar de estas y cuál sería el procedimiento?
2) Obtenga los siguientes promedios de fuente secundaria confiable, realizando la
interpretación o indicando su significado dentro de su contexto:
Tasa de crecimiento promedio del PIB en los últimos 10 años
Edad promedio de los bolivianos estimado al 2017
Consumo per-cápita de leche en Bolivia
Esperanza de vida de los bolivianos en la actualidad
Consumo per-cápita de huevos en Bolivia
PIB per-cápita en Bolivia al 2016
Innovación y/o Emprendimiento
GLOSARIO. Indicar el significado de las palabras nuevas incorporadas en la presente
unidad, indicando además su equivalente en el idioma inglés, además de detallar en
forma alfabética.
1. Media Aritmética
2. Estadígrafo de tendencia central
3. Promedio
4. Media Geométrica
5. Media Armónica
6. Mediana
7. Moda
8. Media Cuadrática
9. Quartiles
10. Deciles
11. Percentiles
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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45
Unidad 3
Tema: Medidas de Dispersión
Objetivo de aprendizaje:
Identificar, calcular e interpretar las medidas de dispersión más aplicadas.
Preguntas
1.- Cual es el objeto principal para el estudio de la dispersión?
2.- Cuales son las principales medidas de dispersión?
3.- En que consiste la Amplitud total?
4.- Define lo que se entiende por Desviación media Absoluta.
5.- Defina lo que se entiende por Varianza?
6.- Que otra denominación recibe la varianza?
7.- Qué se entiende por Desviación Estándar?
8.- Escriba la fórmula de la Varianza Poblacional y la fórmula de la Varianza Muestral.
9.- Indique la formulación del Teorema de Chevyshev
10.- En que consiste la Regla empírica a partir del Teorem de Chevyshev?
11.- Cómo se define el Coeficiente de Variación?
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de tendencia central no necesariamente proporcionan información suficiente para
describir datos de manera adecuada. Es así que surgen las medias de dispersión que indican cuan
dispersos o alejados están los datos con relación a un valor fijo.
Las medidas de dispersión son importantes cuando se comparan grupos de datos provenientes
de distintas fuentes. Entre las medias de dispersión más usuales tenemos a:
RANGO
Esta es una medidas de dispersión que solo toma en cuenta el valor mínimo y el valor máximo de
un conjunto de datos para dar una idea de la variabilidad del conjunto. Matemáticamente:
RANGO  MAX  MIN
para datos agrupados y no agrupados
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46
DESVIACION MEDIA
Medida de dispersión que determina la dispersión tomando valores absolutos, para su cálculo
utiliza a todo el conjunto de datos. Matemáticamente:
DM 
 xi  x .fi
para datos agrupados, DM 
n
 xi  x
n
para datos no agrupados
RANGO SEMI-INTERCUARTIL
Medida de dispersión calculada en función a los cuartiles. Matemáticamente:
RSI 
Q 3  Q1
2
Para datos agrupados y no agrupados
Nota.
Otra forma de interpretar
las medidas de dispersión
es decir que representan
la homogeneidad de los
datos, mientras más
pequeña es la dispersión
los datos están más juntos
y viceversa.
DESVIACION TIPICA O ESTÁNDAR
Otra medida de dispersión, la más usada por que utiliza a todos los datos para su cálculo.
Matemáticamente:
s
s
2
 xi  x  . fi
O s
n

 xi  x
n

2
O s
2
 xi  x  .fi
n 1

 xi  x
n 1

para datos agrupados
Nota.
A. Si n  30 se usa la
formula con el
termino n-1.
B.
2
para datos no agrupados
SI n ≥ 30 se usa la
formula con el
termino n.
VARIANZA
Matemáticamente:
Varianza  s
2
Para datos agrupados y no agrupados
COEFICIENTE DE VARIACION
Permite calcular en porcentaje la dispersión, es una medida de dispersión relativa.
Matemáticamente:
CV 
s
x
 100
Para datos agrupados y no agrupados
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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47
PROBLEMA ABP ANTERIOR (Para datos agrupados)
Determine la desviación media, el rango semi-intercuartil, la desviación estándar y la varianza
correspondientes a las ventas de aceite de maíz de INDUSTRIAS FINO:
 DESVIACION MEDIA
|
Xi
fi
xi.fi
3
6
9
12
15
18
5
10
4
7
2
2
15
60
36
84
30
36
28.5
27.0
1.2
23.1
12.6
18.6
261
111

xi  x  fi
x
 Xi.fi
n
DM 
fi
Fi(-)
1,5
4,5
7,5
10,5
13,5
16,5
5
10
4
7
2
2
5
15
19
26
28
30
 xi  x .fi

n
111
 3.70 miles de dólares
30
1.n
 Fi -1
7.5  5
4
Q  Fi 
 C  4.5 
 3  5.25
1
10
f
3.n
 Fi -1
22.5  19
Q  Fi  4
 C  10.5 
 3  12
3
RSI 
7
f
Q3  Q1
2

12  5.25
 3.38 miles de dólares
2
DESVIACION ESTANDAR
xi
fi
xi.fi
xi  x  fi
3
6
9
12
15
18
5
10
4
7
2
2
15
60
36
84
30
36
162.45
72.9
0.36
76.23
79.38
172.98
261
564.3

261
 8.70
30
RANGO SEMI-INTERCUARTIL
Fi


VARIANZA
2
x
 xi.fi

n
s


261
 8.70
30
2
 xi  x .fi

n
564.3
 4.34 miles de dólares
30
2
2
Varianza  s  4.34  18.84 miles de dólares
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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48
PROBLEMA APE RESUELTO (Para datos no agrupados)
Burger King – Santa Cruz analiza los tiempos de servicio, desea
determinar el cuál de la dos sucursales, el CRISTO o la BLACUTT, los
tiempos de servicio están mejor controlados, esto debido a quejas de
los clientes.
Para este efecto, se hace un pequeño estudio y se determinan los
siguientes tiempos, en minutos:

SUC. EL CRISTO
x
 xi  11.43 minutos
SUC. EL CRISTO
12
15
14
15
9
8
7
SUC. BLACUTT
12
15
10
6
7
5
13
Importante:
Para datos no
agrupados resulta más
rápido calcular la
media y la desviación a
través del uso de las
funciones de una
calculadora científica.
Consulte a su docente
como realizar esto.
n

 xi  x
n -1
s
CV 
s
2  3.41minutos
 100 
x
3.41
 100  29.83 %
11.43

SUC. PLAZUELA BLACUTT
x
 xi  9.71 minutos
s
CV 
n

 xi  x
n -1
s
x
2  3.82 minutos
 100 
Nota:
Observe que para hacer
la comparación entre
dos grupos de datos se
determina el CV.
3.82
 100  39.30 %
9.71
Como conclusión diremos que como el coeficiente de variación de la sucursal EL CRISTO es el más
pequeño los tiempos de servicio están mejor controlados o son más homogéneos en esta sucursal.
Note que la variación se produce por la existencia de valores bajos y altos y que esta no se puede
evitar, pero si controlar. Por ejemplo, en el caso de las sucursales habrá que ver que hace que los
empleados no tengan el mismo tiempo de atención para los clientes, ya sea por desgano, pedidos
voluminosos, gran afluencia de gente, etc.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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49
DIAGRAMA BOX PLOT (DIAGRAMA DE CAJA)
Este es un diagrama muy usado para observar la dispersión de los datos. Para construir este
diagrama se siguen los siguientes pasos:
 Se ordenan los datos.
 Se determina el valor máximo y el valor mínimo.
 Se encuentran los cuartiles (Q1, Q2 y Q3)
 Se realiza una escala (vertical u horizontal).
 Se grafican los valores.
PROBLEMA ABP RESUELTO
INDUSTRIAS FINO, analiza las ventas de un nuevo aceite de maíz,
correspondientes al mes de Junio de 2017. Se ha recopilado
información acerca de las ventas en miles de dólares de una sucursal.
Grafique el BOX PLOT
3
7
11
4
7
11
4
7
12
4
7
12
4
7
12
5
9
12
5
9
15
5
9
15
5
10
17
6
11
18
MIN = 3
MAX = 18
1.n
 Fi -1
7.5  5
Q  Fi  4
 C  4.5 
 3  5.25
1
fi
10
2.n
 Fi -1
15  5
Q  Fi  4
 C  4.5 
 3  7.50
2
fi
Nota:
Observe que los
cuartiles han sido
calculados
anteriormente
10
3.n
 Fi -1
22.5  19
Q  Fi  4
 C  4.5 
 3  12
3
fi
7
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
50
24
20
16
12
8
ventas diarias
4
0
0
4
8
12
16
20
24
ventas diarias
TEOREMA DE TCHEBYSHEV
En todo conjunto de datos que represente una distribución simétrica se cumple que, dentro de:
x  1s existe un
68.27% de los datos
x  2s existe un
95.45% de los datos
x  3s existe un
99.73% de los datos
Nota:
Toda distribución
simétrica recibe el
nombre de distribución
normal.
Para verificar este teorema utilizaremos las siguientes fórmulas de cálculo:
(x  1s)  FiA
(x  1s)  FiB

 100
(x  1s)%  f A 
 f A   f INTERNAS 
 fB  
c
c

 n
(x  2s)  FiA
(x  2s)  FiB

 100
(x  2s)%  f A 
 f A   f INTERNAS 
 fB  
c
c

 n
(x  3s)  FiA
(x  3s)  FiB

 100
(x  3s)%  f A 
 f A   f INTERNAS 
 fB  
c
c

 n
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
51
PRÁCTICO No 5
Resuelve los siguientes problemas ABP de medidas de dispersión
1. Dos obreros del mismo trabajo muestran los siguientes resultados en un
periodo determinado en minutos.
Medidas
Tiempo promedio para el desarrollo de su trabajo
Desviación típica
A
42
8
Obreros
B
35
6
Calcular:
a) ¿Cuál es el más regular en el desarrollo de su trabajo?
b) ¿Cuál es el más rápido en terminar el trabajo?
2. Los pesos de una muestra de cajas listas para embarcarse a Francia son: (en
kilogramos): 103, 97, 101, 106 y 103. A) Cual es la desviación media? B) Cómo se la
interpreta?
3. Los pesos de un grupo de cajas que se van a enviar a un determinado país son en
kilogramos: 95, 103, 105, 110, 104, 105, 112 y 90 a) calcule la desviación media, b)
Interprete el resultado obtenido. C) Compare la dispersión de los pesos de los envíos que
van a Francia con la dispersión del presente ejercicio.
4.Diez expertos clasificaron una galleta con trozos de chocolate de nuevo desarrollo en
una escala de 1 a 50. Sus Calificaciones fueron: 34, 35, 41, 28, 26, 29, 32, 36, 28, y 40, a)
Cual es la amplitud de las calificaciones?, ¿b) Cual es su media aritmética?, c) Cuál es su
desviación media? Interprete su resultado, d) Un segundo grupo de expertos calificó el
mismo producto. La amplitud total fue 8, la media 33,9 y la desviación media 1,9. Compare
la dispersión en estas calificaciones con la del primer grupo de expertos.
5.- Las edades de los pacientes en el pabellón de aislados en el hospital de la ciudad son:
38, 26, 13, 41 y 22 años. ¿Cuál es la varianza de esa población? Cuál se desviación
estándar?. Interprete el último resultado.
6.- Una población está formada por los pesos de todos los integrantes de un equipo de
basket y son: (en libras) 204, 215, 207, 212, 214, y 208. ¿Cuál es la varianza poblacional?
¿Cual es la desviación estándar poblacional?
7.- Los pesos contenidos de varios frascos pequeños de aspirina son: (en gramos): 4, 2, 5,
4, 5, 2 y 6. Cuál es la varianza muestral y la desviación estándar muestral?, ¿la desviación
estándar muestral está en las mismas unidades de medición que en el problema original?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
52
8. Industria PIL, realiza diariamente un control de la calidad de temperatura en ºC con que llega
la leche a la planta procesadora, las mediciones de las últimas tres horas, ya tabuladas, se
muestran a continuación:
Intervalos de
temperatura
05 – 09
10 – 14
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 - 34
Frecuencia
4
12
25
32
11
12
A. Complete la tabla de distribución de frecuencias.
B. Determine la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación.
9. BANCO BISA, ha sacado al mercado un nuevo tipo de préstamo a una tasa de interés accesible.
La cantidad de dinero prestada, en miles de dólares, así como la cantidad de clientes que han
hecho los préstamos se detallan a continuación:
Monto de
los
préstamos
01 – 30
31 – 60
61 – 90
91 - 120
Nº de
clientes
95
114
10
1
A. Complete la tabla de distribución de frecuencias.
B. Determine la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación.
10. En dos empresas petroleras se realizó un estudio del número de accidentes que se dan por no
usar ropa y accesorios de seguridad. Se quiere saber en cuál de ellas está mejor controlada la
seguridad y por qué.
BOLINTER
PETBOL
8
12
7
5
6
12
5
6
9
9
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
9
6
6
4
4
5
7
3
5
4
53
11. El gerente de marketing de TIENDAS LEVI`S – SANTA CRUZ, analiza las ventas en dos de sus
sucursales. Indíquele Ud. en cuál de ellas las ventas son más homogéneas y permiten hacer una
planificación a futuro con objeto de ampliar la tienda. (Los datos representan las ventas en cientos
de dólares mensuales).
SUCURSAL1
SUCURSAL2
42
42
40
53
46
52
45
37
39
51
39
46
38
44
44
53
51
52
12. A continuación presentamos los datos de una muestra de la tasa de producción diaria de
escobas de una empresa en el TORNO:
17, 21, 18, 27, 17, 21, 20, 22, 18, 23
El gerente de producción de la empresa siente que una desviación estándar de más de 4 escobas
diarias indica variaciones de tasas de producción inaceptables. ¿Deberá preocuparse el gerente
por las tasas de producción de la empresa?
13. El número de cheques cobrados diariamente en una sucursal del BANCO NACIONAL DE
BOLIVIA durante el mes anterior tuvo la siguiente distribución de frecuencias:
CLASE
0 – 199
200 – 399
400 – 599
600 – 799
800 - 999
fi
10
13
17
42
18
El director de operaciones del banco, sabe que una desviación media en el cobro de cheques
mayor a 200 ocasiona problemas de personal y organización en la sucursal. ¿Deberá preocuparse
por la cantidad de empleados que va ha ocupar el siguiente mes?
14. FERROTODO analiza el desempeño de 3 de sus vendedores, se ha calificado la coherencia en
torno a los objetivos de venta establecidos. Las calificaciones mostradas son las de los últimos 5
meses:
LINDA KATHY ANA
88
76
104
68
88
88
89
90
118
92
86
88
103
79
123
Cuál de las vendedoras ha sido más coherente.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
54
15. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes de 2
proveedores. Envía estas muestras a un laboratorio donde se realizan pruebas respecto a la vida
útil, con los siguientes resultados:
Duración de la vida útil
(En horas)
700 – 899
900 – 1099
1100 – 1299
1300 - 1499
Muestra de:
Proveedor A
Proveedor B
10
3
16
42
26
12
8
3
A. Las lámparas de qué proveedor tienen mayor promedio de duración.
B. Las lámparas de qué proveedor tienen mayor uniformidad, respecto a su vida útil.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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55
UNIDAD 4:
Medidas de forma
Objetivo del aprendizaje:
Identificar, calcular e interpretar las medidas de forma
Preguntas
1.- En qué consisten las medidas de asimetría?
2.- Cuando existe asimetría positiva?
3.- Cuando existe asimetría negativa?
4.- Cuando la distribución es simétrica?
5.- Como se llama el autor que desarrolló la medida para evaluar el sesgo?
6.- Cual es la fórmula del coeficiente de asimetría(C.A.)?
7.- Qué estadígrafos de tendencia central se utiliza para las medidas de forma?
8.- Cual es la fórmula que se utiliza para medir el grado de asimetría?
9.- Cual es el otro nombre que recibe la curtosis?
10.- Cual es la fórmula para medir la curtosis?
MEDIDAS DE FORMA
Las curvas que representan los puntos de datos de un conjunto de datos pueden ser simétricas o
sesgadas (asimétricas). Las curvas simétricas tienen una forma tal que una línea que pase por el
punto más alto dividirá el área de esta en dos partes iguales.
Las curvas sesgadas son aquellas que representan distribuciones de frecuencias que están
concentradas el extremo inferior o en el superior de la escala de medición.
La medida más simple de asimetría se basa en la distancia que pueda existir entre la media
aritmética y la mediana. Por tanto, se puede definir un coeficiente de asimetría como sigue:
AS 
_
3( x - Me)
s
AS = (+)
Cas 
Nota:
Si bien esta fórmula en
la práctica tiene un uso
limitado, nosotros la
utilizaremos de manera
didáctica. La medición
de la asimetría
requiere técnicas más
avanzada que las aquí
presentadas.
_
( x - Moda)
s
AS = 0
AS = (-)
Si AS es +, entonces la
curva esta sesgada a la
derecha.
Si AS es , entonces la
curva esta sesgada a la
izquierda.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
56
EJEMPLOS DE ASIMETRIA
 El número de días que se encuentra almacenada la fruta en un depósito.
 El tiempo de atraso en el pago de un crédito a una institución bancaria.
 La nota de los alumnos en un examen difícil.
KURTOSIS O APUNTAMIENTO
Cuando medimos la KURTOSIS estamos midiendo su grado de agudeza. En la figura del ejemplo
las curvas A, B y C difieren entre sí solamente en que tiene un pico más grande que la otra. Tiene
la misma posición central y la misma dispersión, y ambas son simétricas. Los estadísticos dicen
que tiene un grado distinto de KURTOSIS.
Nota:
Si K = (-),
entonces la curva es
PLATICURTICA
Si K = 0
entonces la curva es
MESOCURTICA
Si K = (+),
entonces la curva es
LEPTOCURTICA
El coeficiente de KURTOSIS, más simple, lo denominaremos K, y se determina a través de:
K
RSI
P P
90 10
 0.263
EJEMPLO
Determine la asimetría y la kurtosis correspondientes a las ventas de aceite de maíz de
INDUSTRIAS FINO:
AS 
_
3( x - Me)
s
3(8.70  7.50)
 0.83
4.34
=
Como este coeficiente es positivo, la distribución está sesgada a la derecha
Para determinar la kurtosis debemos calcular Q1, Q3, P10 y P90
Fi
f
fa
1.5
4.5
7.5
10.5
13.5
16.5
5
10
4
7
2
2
5
15
19
26
28
30
1.n
 fa
4
Q  Fi 
1
f
 C  4.5 
7.5  5
 3  5.25
10
3.n
 fa
22.5  19
4
Q  Fi 
 C  10.5 
 3  12
3
7
f
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
57
10.n
F
i -1
30
P  Fi  100
 C  1.5 
 3  3.3
10
5
fi
RSI 
90.n
P
90
 Fi  100
F
i -1
 C  13,5 
fi
27 - 26
 3  15
2
Q3  Q1 12  5.25

 3.78
2
2
K

RSI
P P
90
10
 0.263 
3.78
 0,263  0,060 la distribución es Leptocurti ca.
15  3.3
PRÁCTICO No 6
Resuelve los siguientes problemas ABP de medidas de forma
1. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas
incandescentes de 2 proveedores. Envía estas muestras a un laboratorio donde se realizan
pruebas respecto a la vida útil, con los siguientes resultados:
Duración de la vida útil
(En horas)
700 - 899
900-1099
1100-1299
1300-1499
Muestras de:
Proveedor Proveedor
A
B
10
3
16
42
26
12
8
3
A. Indique el coeficiente de asimetría para cada proveedor.
B. Indique el coeficiente de Kurtosis para cada proveedor.
2. Los siguientes datos representan el consumo diario de combustible, en barriles, de una
empresa de servicios petroleros que trabaja para EBR:
15
12
30
41
20
24
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
22
15
31
40
12
22
16
20
32
35
15
28
18
25
40
36
32
21
16
15
19
29
34
22
58
A. Elabore un Box Plot.
B. Determine el coeficiente de asimetría.
C. Determine la kurtosis.
D. Verifique si se cumple el teorema de TCHEBYSHEV PARA x  2s
3. De la siguiente tabla, calcular la asimetría y kurtosis por los métodos conocidos y realizar
gráfico.
PESO (Kg)
fi
44 – 53
2
54 – 63
3
64 – 73
4
74 – 83
4
84 – 93
6
94 - 103
14
4. La puntuación que han obtenido 50 personas que se presentaron para ocupar un puesto en la
plantilla de una empresa, ha sido la siguiente:
Puntuación
Nº personas
14-17
3
18-19
6
22-25
11
26-29
15
30-33
8
34-37
7
A. Puntuación media y puntuación más frecuente
B. Coeficiente de asimetría de Pearson y significado
C. ¿Qué tipo de Kurtosis presenta la distribución?
5. Se hizo una encuesta a un grupo de estudiantes sobre sus edades. Obteniendo los siguientes
resultados. Calcular Asimetria y Kurtosis
EDADES
26 – 37
38 – 49
50 – 61
62 – 73
74 – 85
86 - 97
fi
3
4
5
5
3
2
6.Las duraciones de estancia en el piso de cancerología de un hospital se organizaron en
una distribución de frecuencias. La duración media fue de 28 días, la mediana 25 días, y
la duración modal 23 días. Se calculó una desviación estándar de 4,2 días.
a) Es la distribución simétrica o asimétrica con sesgo positivo o sesgo negativo?
b) Cuál es el coeficiente de asimetría? Interprételo.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
59
7. Una muestra de operadores de captura de datos muy experimentados reveló que su velocidad
media al teclear es de 87 palabras por minuto, con una mediana de 73. La desviación estándar es
16,9 palabras por minuto. ¿Cuál es el coeficiente de asimetría? Interprételo.
8.Una muestra de casa que se ofrecen en la zona del Urubó en venta por una inmobiliaria, reveló
que el precio medio solicitado es $us 75.900. la mediana $us70.100, y la moda $us 67.200. La
desviación estándar de la distribución es $us 5900,-.
a) La distribución de precios es simétrica o asimétrica con sesgo negativo o sesgo positivo?
b) Cual es el coeficiente de asimetría? Interprételo.
Aplicación de lo aprendido
En el trabajo de investigación aplicar todas las medidas estadísticas aprendidas en la unidad,
utilizando un software e interpretar los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto
final de la materia.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
60
Unidad 5
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL
Objetivo de aprendizaje:

Que el estudiante Identifique los diferentes métodos de ajuste, Aplique el método de mínimos
cuadrado, así también sea capaza de determinar pronósticos en base a datos históricos e
Interpretar el grado de correlación entre dos variables y de analizar los resultados mediante
el coeficiente de correlación y sus aplicaciones
A.
B.
C.
D.
Preguntas
¿Cuáles son los diferentes métodos de ajuste?
¿Cómo se determinan los pronósticos en base a datos históricos?
¿Cómo se Interpreta el grado de correlación entre dos variables?
¿Dónde se puede aplicar la ecuación de regresión lineal?
Fundamente su investigación con Bibliografía de la Biblioteca
AJUSTE DE CURVAS (REGRESION)
En la práctica encontramos a menudo que existen relaciones entre dos o más variables, por
ejemplo, el precio de un automóvil depende del ingreso familiar, la demanda de helados está en
función a la temperatura ambiente, etc.
Suele ser deseable expresar tales relaciones en forma matemática determinando una ecuación
que conecte las variables, este proceso de encontrar la ecuación se conoce con el nombre de
regresión.
METODO DE MINIMOS CUADRADOS
Este es un método que minimiza los errores de aproximación a una curva dada, este método
proporciona diversas ecuaciones de aproximación como ser:
AJUSTE
Lineal
Exponencial
Logarítmico
Potencial
ECUACIÓN
Y  A  BX
Y  Ae BX
Y  Ln( A)  B ln( X )
Nota
El análisis de regresión
puede usarse para
construir un modelo que
permita predecir y
determinar la relación
entre variables.
Y  AX B
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UTEPSA – Guía MAAP
61
Nosotros nos ocuparemos del ajuste lineal, lo que trata es de hallar los coeficientes de la siguiente
ecuación de la línea recta:
Para ello ocuparemos las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales:
 Y  X   X  XY
A
N  X  ( X )
2
2
2
B
N  XY   X  Y
N  X 2  ( X ) 2
Las cuales salen de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Y  AN  B X
 XY  A X  B X
2
5.1. CORRELACION
La correlación trata del grado o fuerza de interconexión (asociación) entre las variables, tratando
de explicar con qué precisión se describe o se explica la relación entre variables en una ecuación
o dicho de otra madera que tan precisa es la ecuación de regresión que estamos usando.
Cuando están en juego sólo 2 variables estamos hablando de correlación simple. Hay dos
coeficientes que nos interesan:


Coeficiente de correlación
Coeficiente de determinación
r
r2
(-1 ≤ r ≤ 1)
( 0 ≤ r2 ≤ 1)
El Coeficiente de regresión lineal (coeficiente de Pearson) es una cantidad que permite determinar
el grado de correlación entre dos variables, matemáticamente:
Nota
El coeficiente r2 es el
coeficiente que se
interpreta, como:
Se dice que si:
0 ≤ r2 ≤ 0.4
0.4 < r2 ≤ 0.8
0.8 < r2 ≤ 1.0
no existe correlación
la correlación es débil
la correlación es fuerte
“El % de la variación total
de la variable
dependiente que se
explica debido a la
variación de la variable
independiente.”
ERROR ESTANDAR DE ESTIMACION
El error estándar de estimación determina el error promedio que se comete al realizar un
pronóstico de Y a partir de X. Esta medida es también útil para cuál de varias curvas de estimación
tiene mejor ajuste.
Nota
Esta fórmula sólo es para
regresión lineal.
USO DE LA REGRESION Y ANALISIS DE CORRELACION
Lea detenidamente las páginas 695 y 696 del libro: “ESTADISTICA PARA ADMINISTRADORES” DE
LEVIN & RUBIN
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
62
MESES
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
PROBLEMA ABP RESUELTO No1
CASA GRANDE – SANTA CRUZ, distribuidor exclusivo de camisas Polo de
Ralph Lauren, analizó las ventas de su tienda central. Quiere determinar el
crecimiento o no de las ventas de los últimos 13 meses. Se presenta la
siguiente tabla:
VENTAS
(docenas)
12
18
18
20
24
22
28
28
31
31
32
35
34
A. Encuentre el diagrama de dispersión
B. En el supuesto de una relación lineal utilice el método de los mínimos cuadrados para calcular
los coeficientes de regresión A y B.
C. Interprete el significado de la pendiente B, este problema.
D. Prediga las ventas para enero de 2004.
SOLUCION
A. El diagrama se dibuja abajo.
Rellenamos la tabla que se muestra en el lado
izquierdo
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
91
Y
12
18
18
20
24
22
28
28
31
31
32
35
34
333
X2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
819
Y2
144
324
324
400
576
484
784
784
961
961
1024
1225
1156
9147
DIAGRAMA DE DISPERSION
VENTAS
(DOCENAS)
40
XY
12
36
54
80
120
132
196
224
279
310
352
420
442
2657
36
32
28
24
20
16
12
Y = 13,077 + 1,791X
8
4
R2 = 0,946
TIEMPO
(MESES)
0
0 1
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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2 3 4
5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
63
B. Utilizando las fórmulas determinamos los coeficientes:
 Y  X   X  XY
A
N  X  ( X )
2
2
B
2
A = 13.077
Entonces:
Y = A + BX
N  XY   X  Y
N  X 2  ( X ) 2
B=1.791

Y = 13.077 + 1.791X
C. Interpretación de B =1.791
por cada mes que aumente el tiempo, la demanda aumentará en 1,791  2 docenas.
D. En enero de 2004, X = 13 + 6 = 19
Y = 13.077 + 1.791(19) ≈ 47 docenas
PROBLEMA ABP RESUELTO No2
El gerente de personal de la empresa del BANCO UNION S.A. considera
que puede haber una relación entre el ausentismo y la edad, y querría
usar la edad de un empleado para predecir el número de días de ausencia
durante un año calendario. Se selecciona una muestra aleatoria de 10
empleados, con los resultados en la siguiente tabla:
Edad
(años)
Días de
ausencia
27
61
37
23
46
58
29
36
64
40
15
6
10
18
9
7
14
11
5
8
A. Encuentre el diagrama de dispersión
B. En el supuesto de una relación lineal utilice el método de los mínimos cuadrados para calcular
los coeficientes de regresión A y B.
C. ¿Cuántos días predecirá usted que va a estar ausente un empleado de 40 años de edad?
D. Determine e interprete el coeficiente de determinación.
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64
SOLUCION
A. Diagrama de dispersión
AUSENCIA
(DIAS)
20
18
16
14
12
10
8
6
Y =21,587 - 0,268X
4
R2 = 0,869
2
EDAD
(AÑOS)
0
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
B. Ecuación de regresión
 Y  X   X  XY
N  X  ( X )
2
A
2
B
2
A = 21.587
Entonces:
Y = A + BX
N  XY   X  Y
N  X 2  ( X ) 2
B = -0.268

Y = 21.587 – 0.268X
C. PRONOSTICO
Y =?
X = 40 años
Y = 21.587 – 0.268(40) ≈ 11 días
D. COEFICIENTE DE DETERMINACION
R
N  XY   X  Y
2
2
2
2
(N  X   X  )(N  Y   Y  )
=  0.932
R2 = ( 0.932)2 = 0,869  87% de la variación total de la ausencia de los empleados se debe a
la variación de la edad de los mismos.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
65
PRÁCTICO No 7
Resuelve los siguientes problemas ABP
1. El gerente de una cadena de heladerías SAVORY quiere estudiar el efecto de la temperatura
ambiente sobre las ventas de la temporada de calor. Se selecciona una muestra aleatoria de
10 dias y los resultados se dan en la siguiente tabla:
Temperatura
17 21 23 24 27 28 29 31 32 33
(0C)
Ventas por heladería
(en
cientos
de 15 17 18 20 24 22 27 29 31 31
dólares)
A.
B.
C.
D.
E.
Encuentre un diagrama de dispersión
En el supuesto de una relación lineal, encontrar los coeficientes de la regresión A y B.
Interprete el significado de la pendiente B en este problema.
Prediga las ventas por heladería, por día, cuando la temperatura es de 36 °C.
Calcule el coeficiente de determinación r2 e interprete su significado en este problema
2. Una economista que trabaja en el rubro de automóviles desea medir la relación del precio de
compra de los automóviles nuevos en función al ingreso familiar. Se selecciona una muestra
aleatoria de 9 personas que compraron autos nuevos con los resultados de la siguiente tabla:
Ingreso Familiar
10. 14. 16. 20. 24. 11. 32.
(miles
de
9.4
2
4
3
0
3
6
8
dólares)
Precio
de
compra
3.6 4.1 3.9 5.2 5.1 3.9 7.8 3.4
(miles
de
dólares)
26.
7
9.1
A. Encuentre la curva de ajuste lineal.
B. Calcule el coeficiente de correlación r entre el ingreso familiar y el precio de compra.
C. ¿Hay relación lineal entre las variables?. Demuestre su respuesta.
3. Una organización de estudio de consumidores desea determinar la relación entre el precio de
una pila para radio de transmisores en función al número de horas de duración de la pila. Se
compró una muestra de 11 pilas con los resultados dados en la siguiente tabla:
Precio
(dólares)
Duración
(horas)
24
32
49
49
39
69
69
89
5.4
4.8
6.3
7.2
6.3
7.4
6.8
10.2
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
119
79 35
13.1 9.2 6.0
66
A. Encuentre la curva de ajuste lineal.
B. Calcule el coeficiente de correlación r.
C. ¿Hay relación lineal entre las variables?. Demuestre su respuesta.
4. En un estudio técnico económico se dispone de la siguiente información histórica de ventas
de BATERIAS TOYO, en miles de unidades, de fabricación Boliviana:
TOYO
AÑO
VENTAS
2008
12
2009
14
2010
15
2011
13
2012
16
2013
19
2014
18
2015
20
2016
22
Se desea efectuar la proyección de las ventas para los próximos tres años.
5. Una economista que trabaja en el rubro de automóviles desea medir la relación del precio de
compra de los automóviles nuevos en función al ingreso familiar. Se selecciona una muestra
aleatoria de 9 personas que compraron autos nuevos con los resultados de la siguiente tabla:
Ingreso familiar (miles de dólares) 10.2 14.4 16.3 20.0 24.3 11.6 32.8
9.4
26.7
Precio de compra (miles de dólares) 3.6
4.1
3.9
5.2
5.1
3.9
7.8
3.4
9.1
6, Realizar la proyección de la oferta de Leche (Lt.), para los próximos 5 años de acuerdo a los
siguientes datos.
Datos Históricos de la oferta de Leche “Pil “
(en miles)
Año
2010
2011 2012 2013 2014 2015
Oferta (Lts.) 150
180
220
235
255
265
7.Encuentre la proyección de abastecimiento de frutilla de los valles cruceños para los próximos
cinco años a partir de la siguiente información.
Año Producción de Frutilla (kilos)
2011
875
2012
905
2013
947
2014
972
2015
1007
8. Se sabe que la producción de naranja en la zona norte del departamento de Santa cruz, en los
últimos dos años fue de:
Año
Producción de Naranja (kilos)
2014
975
2015
1005
Determinar la proyección para los siguientes 5 años siguientes
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
67
2017
24
9. Una organización de estudio de consumidores desea determinar la relación entre el precio de
una pila para radio de transmisores en función al número de horas de duración de la pila. Se
compró una muestra de 11 pilas con los resultados dados en la siguiente tabla:
Precio (dólar) 24
32
49
39
69
69
89
119
79
35
Duración (horas)5.4
4.8
6.3
7.2
6.3
7.4
6.8
13.1 9.2
6.0
a) Encuentre la curva de ajuste lineal
b) Calcule el coeficiente de correlación r.
c) Cuando la vida útil es de 4 horas; 7 horas; 10 horas cuanto será su precio.
Aplicación de lo aprendido
En una empresa del medio identifica un problema para resolver aplicando el método aprendido
en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados
obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
68
UNIDAD 6
Índices
Objetivo del aprendizaje:
Identificar e interpretar los índices y su utilización
Preguntas
1.- ¿Qué se entiende por Índice?
2.- ¿Que se entiende por número índice?
3.- ¿Quién y cuándo utilizó por primera vez el cálculo de los índices?
4.- ¿Cual es el índice más utilizado actualmente?
5.- Indique si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:
a) Poder de compra, poder adquisitivo, e ingreso real son conceptos equivalentes.
b) La relación de intercambio es desfavorable para los países en vías de desarrollo por que
los precios de sus importaciones son mayores que los precios de sus exportaciones.
c)Si los índices de precios de Laspeyres y Paasche coinciden en valor numérico, para cierto
período, quiere decir que la estructura de ponderaciones es exactamente igual a la del
período base.
d) Los índices de precios de Laspeyres no pueden tomar valores negativos.
e) El índice de valor debe ser siempre mayor que el índice de precios.
f) En un período caracterizado por una completa estabilidad de precios, los índices de
Laspeyres y Paasche para precios coinciden necesariamente en valor numérico.
g) El índice de precios de Laspeyres es el que más se presta para el cálculo de variaciones
en el costo de vida, principalmente por que toma como ponderaciones las cantidades de
un período base considerado como normal.
h) Los índices de base variable, tienen la desventaja de que no puede establecerse
comparaciones entre ellos.
i) Si un obrero en 2017 tiene un sueldo superior en 30% al de 2016 y por otra parte, el
índice de precios al consumidor para 2016 es de 70, quiere decir que la situación del
obrero en cuanto a poder de compra no ha variado.
j) En épocas de inflación un índice de cantidad constituye una mejor medida de la
producción real que un índice correspondiente de valor.
6.- ¿Cuáles son los índices de precio más conocidos?
7.- ¿Qué se entiende por período base?
8.- ¿Cuáles son los rasgos más importantes en la construcción de un número índice?
9.- ¿Cuál es la subdivisión de los números índice según su composición?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
69
10.- ¿Cómo se obtiene un índice simple?
11.- ¿Cómo se obtiene un índice variable?
12.- ¿Cuáles son los índices ponderados de precios?
13.- ¿Cómo se interpreta el índice de precios de Laspeyres?
14.- ¿Que se determina el índice de precios de Paasche?
15.- ¿Cómo se obtiene el Índice de Fisher?
16.- ¿Cómo se obtiene el índice de Keynes?
17.- ¿Cuál es la ponderación de un índice de cantidad?
18.- ¿Cuáles son las aplicaciones principales de los números índice?
19.- ¿Cuál es la diferencia entre salario nominal y real?
20.- ¿Cómo se obtiene la tasa de cambio o tipo de cambio?
21.- ¿Qué es deflactar y como se realiza?
Practico No 8
1.- Tomando en cuenta el siguiente cuadro se pide calcular: índice de precios der
Laspeyres, Índice de Precios de Paasche y el índice de Valor e indique en un cuadro
adicional las diferencias entre uno y otro índice:
Año 0 Año 1 Año 2
Artículos P Q P Q P Q
A
10 4 12 5 20 3
B
4 3 4 3 5 3
C
8 10 8 12 7 15
D
20 2 30 2 40 3
2.- Para los artículos A, B, C y D se tiene los siguientes precios y cantidades en los años
que se indican:
Artículos
A
B
C
D
Años
p
q
p
q
p
q
p
q
2012
10
12
4
15
1
10
30
10
2013
12
12
4
15
1
15
30
15
2014
15
20
5
10
2
20
50
20
2016
20
20
5
10
2
30
50
20
2017
30
30
6
15
2
50
60
20
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
70
Calcule para todo el período:
a) Un índice de precios de Laspeyres con base en 2012
b) Un índice de cantidad de Paasche con base 2012
c) Un índice de Valor
3.- El índice de base variable de los precios de los productos agropecuarios muestra el
siguiente comportamiento:
Años
Índice
2010
………..
2011
104
2012
102
2013
108
2014
120
2015
150
2016
130
Calcule el índice tomando 2013 como base fija
4.- Con los siguientes datos sobre producción de cemento (miles de toneladas métricas).
2016
Meses
Producción cemento
(miles de Ton. Métricas)
Enero
185
Febrero
178
Marzo
220
Abril
179
Mayo
199
Junio
175
Julio
216
Agosto
207
Septiembre
199
Octubre
208
Noviembre
218
Diciembre
213
a) Calcular los índices simples tomando como base el mes de enero.
b) Calcular los índices simples, tomando como base el mes de mayo.
c) Calcular los índices simples con base variable.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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71
5.- Con la siguiente información, se pide calcular los índices para 2016 con base en 20113,
aplicando las fórmulas:
2013
2016
ARTICULO
UNIDAD
Precio ($) Cantidad Precio($) Cantidad
A
Kgrs
2.600
10
3.800
8
B
Kgrs
6.000
5
10.000
7
C
Lts
1.000
2
4.000
5
D
Doc.
6.000
1
15.000
2
E
Kgrs.
3.000
2
2.000
1
a) Laspeyres, Paasche y Fisher para el índice de predcios.
b) Keynes Marshall, Sidgwick y Walsh para cantidades
c) Laspeyres y Paasche de cantidad
6.- El índice nacional de costos de la construcción de vivienda para el período 2011-2016
es el siguiente:
Años
2011
2012
2013
2014
2015
2016
Índice 2011=100
161,52
205,68
235,34
283,15
371,28
495,82
Si el valor promedio de una vivienda de 2 pisos con tres dormitorios, sala comedor, cocina,
y patio de ropas es de $us113.000.000 para 2011, de acuerdo al incremento del índice,
¿Cuál será el valor en 2016?
Investigación
1.- Investigue en que consiste el I.P.C. (Índice de Precios al Consumidor) y de cuantos
artículos (bienes y servicios) está compuesto en Bolivia.
2.- En que consiste la Indexación y que otras denominaciones recibe?
3.- En que consiste el Índice de Productividad?
4.- En que consiste el Índice Bursátil mundial del Dow Jones?
5.- En que consiste la Tasa de Desempleo? ¿Cuáles son los principales indicadores de
desempleo?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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72
Unidad 6
ELEMENTOS DE PROBABILIDAD
Objetivos de aprendizaje:
Que el estudiante analice la información estadística utilizando la teoría de
probabilidades e interprete las definiciones básicas de los elementos de
probabilidad. Además, Identifique el tipo de evento definido en el mismo espacio
muestral y sea capaza de reconocer la importancia de la aplicación del Teorema
de Bayes y desarrollar habilidades para resolver problemas de probabilidades.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Investigación:
Orígenes de la Estadística Inferencial
Aplicaciones de la estadística Inferencial
En un ejemplo real explique la aplicación de la Estadística Inferencial
¿A que se denomina inferencia estadística?
¿A que se denomina inducción estadística?
Que es probabilidad
Definición de Evento; Espacio muestral; Experimento.
¿Cuáles son las leyes de la Probabilidad?
i) ¿Entre que valores numéricos fluctúa la probabilidad?
j) Indique tres ejemplos cuando la probabilidad es igual a 0 y tres ejemplos cundo la
probabilidad es igual a 1.
k) ¿Cuál es la expresión analítica en la que se expresa la probabilidad?
l) ¿A que es igual la probabilidad de que ocurra un evento y que no ocurra?
m) ¿Cuáles son los dos enfoques de la probabilidad?
n) ¿Cuál es la subdivisión de la probabilidad objetiva?
o) ¿En qué consiste la probabilidad subjetiva? De 4 ejemplos de esta probabilidad.
p) ¿Cuál es la fórmula del enfoque clásico de la probabilidad?
q) ¿Cuál es la fórmula del enfoque relativo de la probabilidad?
r) ¿Cuáles son las dos clases de reglas de la probabilidad?
s) ¿Cuáles son las reglas de adición?
t) ¿Cuáles son las reglas de multiplicación?
u) ¿Quién y en qué año planteó el Teorema de Bayes?
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v) ¿Cuáles son las principales aplicaciones del Teorema de Bayes?
w) ¿Cuáles la fórmula del Teorema de Bayes?
x) ¿Con que regla de probabilidad esta ´vinculado el teorema de Bayes?
Fundamenta tus respuestas con bibliografía de biblioteca
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
En general la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se pueden
expresar de tres maneras como:
Fracciones ¾, ½, ¼, …
Decimales 0.75, 0.50, 0.25, …
Porcentajes 75%, 50%, 25%, …
Las probabilidades están siempre entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que
algo nunca va suceder; una probabilidad de uno indica que algo va suceder siempre.
CONCEPTOPS BÁSICOS
DEFINICIÓN DE EVENTO
En teoría de la probabilidad, un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer un
experimento. En otras palabras, un evento es todo lo que puede suceder.
DEFINICIÓN DE EXPERIMENTO ( Ex )
Un experimento es aquella actividad que origina un evento.
DEFINICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL ( S )
Es el conjunto de todos los posibles resultados o eventos de un experimento.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES ( ME )
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes, si uno y solo uno de ellos puede tener
lugar en un mismo tiempo.
EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES ( NME )
Se dice que dos eventos no son mutuamente excluyentes si pueden ocurrir juntos o la vez.
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Ejemplo
Si se lanza un dado una vez. Determinar el espacio muestral.
Ex = “Lanzar un dado una vez” ( Experimento ).
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ( Espacio Muestral ).
Si se tienen los siguientes pares de eventos indicar si son
Mutuamente excluyentes o no.
A = Que el resultado al lanzar el dado sea un 3.
B = Que salga un número par.
C = Que salga un número impar.
D = Que salga un número mayor a 5.
A y B ………………..
A y C ………………..
A y D ………………..
B y C ………………
B y D …………… ..
C y D ………………
CLASIFICACION DE LA PROBABILIDAD DE ACUERDO A SU ORIGEN
Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad:
PROBABILIDAD DE TIPO CLASICA Matemáticamente:
Probabilidad de un evento 
una parte
total
PROBABILIDAD DE TIPO DE FRECUENCIA RELATIVA
Cuando las probabilidades se hallan a través de la observación de un evento durante un gran
número de veces, esto origina normalmente los cuadros de distribución de frecuencias.
Este método se basa en observaciones pasadas.
PROBABILIDAD DE TIPO SUBJETIVA
Es aquella que está basada en opiniones o creencias de las personas.
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REGLAS DE PROBABILIDAD
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O INDEPENDIENTES
Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos
puede suceder a la vez. Matemáticamente, la probabilidad que al menos uno de ellos
suceda se calcula con:
P( AoB)  P( A )  P( B)
EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES O DEPENDIENTES
Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si ambos pueden suceder
a la vez. Matemáticamente, la probabilidad que al menos uno de ellos suceda se calcula
con:
P(AoB)  P(A)  P(B)  P(AB)
DESCRIPCION DE LOS TIPOS DE PROBABILIDAD
PROBABILIDAD SIMPLE
Es la posibilidad de que ocurra un solo evento, se simboliza por una sola letra mayúscula.
Ejemplo: P(A)
PROBABILIDAD CONJUNTA
Es la posibilidad de que ocurran dos eventos al mismo tiempo, se simboliza por dos
letras que corresponden a los eventos. Ejemplo: P ( A  B )
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Es la posibilidad de que ocurra un evento sabiendo que otro evento ya ocurrió. Se
simboliza por dos letras que corresponden a los eventos A que es el que queremos
calcular en este caso y B el evento que ya ocurrió. Ejemplo: P(A / B)
EVENTOS DEPENDIENTES
Se dice que dos eventos A y B son dependientes cuando el resultado de uno de ellos
afecta el posterior resultado de otro experimento.
Probabilidad Condicional
P(A/B) 
P(AB)
P(B)
Probabilidad Conjunta
P(AB)  P(B).P(A / B)
Probabilidad marginal
P( A)  P( AB)  P( AC )  P( AD)  ........
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EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que dos eventos A y B son independientes cuando el resultado de uno de ellos
no afecta el posterior resultado de otro experimento.
Probabilidad Marginal
P(A) = P(A)
Probabilidad Conjunta
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
Probabilidad Condicional
P(A / B) =
P(A)
TEOREMA DE BAYES
La formula básica de la probabilidad condicional se conoce como TEOREMA DE BAYES:
P(AB)
P( A ) 
B
P(B)
El Teorema de Bayes ofrece un método estadístico para evaluar nueva información y
revisar nuestras anteriores estimaciones.
Se puede generalizar la fórmula anterior cuando se presentan varias condicionales. La
fórmula general es:
P(R ).P(A)
A
P(A ) 
R
R
P(
).P(A)  P(R ).P(B)  . . . . .
A
B
EJEMPLO
De darse la capitalización de las empresas papeleras el próximo año, la probabilidad de
que el papel de imprenta aumente de precio es de 90%. Pero si la capitalización no se
realiza, la probabilidad de un aumento es de 40%. En general, estimamos que hay una
posibilidad de 60% de que la se realice la capitalización el próximo año.
a) Elabore un árbol de probabilidades de esta situación que implica eventos
independientes, empleando C y C´ Para la capitalización y no capitalización y A y A´ para
el aumento y no aumento en el precio del papel.
b) Supongamos que, en efecto, el precio del papel aumenta en el curso del año próximo.
¿Cuál es la probabilidad de que se realice la capitalización de las papeleras?
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77
Respuestas:
a)
0.90
0.60 C
A
0.10
A´
0.40
A
0.40 C´
0.60
A´
b) El teorema de Bayes se expresa así:
P(C/A) =
P( A / C ) P(C )
0.90 * 0.60

P( A / C ) P(C )  P( A / C´)P(C´) 0.90 * 0.60  0.40 * 0.40
Entonces la respuesta es: 0.77 ó 77%
PROBABILIDADES
Ejemplo: Según el enfoque de probabilidad clásica cuál es la probabilidad de que usted gane un
sorteo que tiene 100 números y compró 3 cupones.
3
𝑃(𝑔𝑎𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑜) = 100 = 0,03 = 3%
Usted tiene un 3% de probabilidades de ganar el sorteo.
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Calculo de la probabilidad de la Adición para eventos independientes
Ejemplo: Se tiene una baraja de cartas (52 cartas sin jokers), ¿Cuál es la probabilidad de sacar
una Reina ó un As? Sea A = sacar una reina y sea B = sacar un as, entonces:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A) =
4
52
;
P(A ∪ B) =
P(B) =
4
52
4
4
8
+
=
52 52 52
Calculo de la probabilidad de la Adición para eventos dependientes
Ejemplo: Se lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado es par ó divisible por tres
¿Cuál es la probabilidad de ganar? Lo que primero hacemos es definir los sucesos:
Sea A = resultado par: A = {2, 4, 6}
Sea B = resultado divisible por 3: B = {3, 6} .
Ambos sucesos tienen intersección? (A ∩ B) = {3}
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
3 2 1 4
P(A ∪ B) = + − =
6 6 6 6
Cálculo de una probabilidad Condicional.
Se tiene un grupo de 10 estudiantes, 4 son hombres y 6 damas, de los 4 hombres 1 estudia
economía y de las mujeres 3. Si se toma una persona al azar y es economista.
a) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?
P (A/B) =
𝑃 (𝐴∩𝐵)
𝑃 (𝐵)
En nuestro caso sería:
P (mujer/economista) =
𝑃 (𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟∩𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎)
𝑃 (𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎)
3
= 4 = 0,75 ---- 75%
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Calculo de la probabilidad de la Multiplicación para eventos independientes
Ejemplo: La cafetería de la Universidad tiene un 20% de probabilidad de vender pizza y un 30%
de probabilidad de vender refresco de piña. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente venga y pida
un pollo y un refresco de piña?
Como notamos no tienen relación el pollo y la piña, bien la persona puede pedir una
hamburguesa y una soda. Este ejercicio se resuelve muy fácil.
 El Evento A es la compra de la Pizza.
 El Evento B es la compra del Refresco de Piña.
La probabilidad de dos eventos independientes:
P (A ∩ B) = P(A) * P(B)
P(A ∩ B) = (0,2 x 0,3) = 0,06 ------ 6%
Se tiene un 6% de probabilidad que la persona compre una pizza y un refresco de piña.
Calculo de la probabilidad de la Multiplicación para eventos dependientes
Ejemplo: El gerente de crédito de la Cooperativa Jesús Nazareno recolecta datos de 100 de sus
clientes. De los 60 hombres, 40 tienen tarjetas. De las 40 mujeres, 30 tienen tarjetas. Diez de los
hombres tiene saldos vencidos, mi entras que 15 de las mujeres tienen saldos vencidos. El gerente
quiere determinar la probabilidad que un cliente seleccionado al azar sea.
a) Una mujer con tarjeta.
La probabilidad de dos eventos dependientes:
P (A ∩ B) = P(A) x P (B/A)
En nuestro caso:
P (Mujer ∩ Tarjeta) = P (Mujer) x P (Tarjeta dado que es mujer)
P (Tarjeta dado que es mujer) =
(𝑇𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡𝑎 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)
𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)
=
30
40
= 0,75
P (Mujer ∩ Tarjeta) = 0,4 x 0,75 = 0,3------30%
Tenemos un 30% de probabilidades de seleccionar una persona al azar y sea una mujer con
tarjeta.
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Una mujer con saldo.
P (Mujer ∩ Saldo) = P (Mujer) x P (Saldo dado que es mujer)
P (Saldo dado que es mujer) =
(𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)
𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)
=
15
40
= 0,375
P (Mujer ∩ Saldo) = 0,4 x 0,375 = 0,15------15%
Tenemos un 15% de probabilidades de seleccionar un encuestado al azar y sea una Mujer con
saldo.
Ejemplo 2: Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en cuenta
que el producto no ha entrado al mercado local usted realizó una degustación masiva en ciertos
sectores estratégicos de la Ciudad preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva soda?
Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia.
Sector
Centro
Urubó
Urbarí
Equipetrol
Plan 3000
Polanco
Banzer
Regular
20
30
25
0
15
15
30
Buena
40
60
80
20
20
30
45
Excelente
100
120
80
50
40
100
80
Total
160
210
185
70
75
145
155
Total
135
295
570
1000
Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?
a) ¿Qué opine que el sabor es Excelente?
570
P(J) = 1000 = 0,57→ 57%
El 57% opinan que el sabor es excelente
b) ¿Qué sea de Equipetrol?
70
P(D) = 1000 = 0,07→ 7%
El 7% de los degustadores son de equipetrol
c) ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?
80
𝑃(𝐶 ∩ 𝐼) = 1000 = 0,08→8%
El 8% de los degustadores son de Urbari y creen que el sabor de la soda es bueno.
d) ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?
30
𝑃(𝐺 ∩ 𝐻) = 1000 = 0,03→ 3%
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UTEPSA – Guía MAAP
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El 3% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es regular.
e) ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?
160
75
235
P(A ∪ E) = P(A) + P(E) = 1000 + 1000 = 1000 = 0,235→23,5%
El 23,5% de los degustadores son del centro o del plan 3000.
f) ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?
145
210
355
P(F ∪ B) = P(F) + P(B) = 1000 + 1000 = 1000 = 0,355→35,5%
El 35,5% de los degustadores son de polanco o del urubo.
g) ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?
P(G ∪ I) = P(G) + P(F) − P(G ∩ I)
P(G ∪ I) =
155
295
45
+
−
1000
1000
1000
=
405
1000
= 0,4050→40,5%
El 40,5% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es bueno.
h) ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?
𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐽) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐽 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) =
570
70
50
+
−
1000
1000
1000
=
590
1000
= 0,59→ 59%
El 59% de los degustadores tienen una opinión excelente o son de Equipetrol.
i) ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?
𝐴
𝑃 (𝐻) =
𝑃(𝐴∩𝐻)
𝑃(𝐻)
20
= 135 = 0,1481→14,84%
El 14,81% son del centro dado que dicen que el sabor es regular.
j) ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la Ciudad?
H
P (A) =
P(H∩A)
P(A)
20
= 160 = 0,125→12,5%
El 12,5% de los degustadores dicen que el sabor es regular dado que son del centro de la ciudad.
Teorema de Bayes:
Ejemplo: La planta de cerveza Real está en Warnes, cuenta con 5 máquinas para producirla, la
primera produce 1000 latas por hora y solo 50 salen con desperfectos, la segunda produce 1500
latas solo el 2% salen en muy mal estado, la tercera produce el doble que la primera y 200 salen
en condiciones no muy buenas, mientras que la cuarta produce lo mismo que la segunda y el
mismo porcentaje defectuoso que la primera. La quinta es una maquina nueva y de tecnología
de punta, esta produce 1000 latas por hora y todas salen en buen estado. La primera trabaja 5
horas al día, la segunda 3, la tercera 10, y la cuarta y la quinta 8. Ayer llego un cliente
protestando porque tomo una lata con desperfectos.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
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Maquina 1
Maquina 2
Maquina 3
Maquina 4
Maquina 5
Producción
√
x
Hrs.*día
1000
1500
2000
1500
1000
0,95
0,98
0,90
0,95
1
0,05
0,02
0,10
0,05
0
5
3
10
8
8
Producción
Total
5000
4500
20000
12000
8000
Ʃ49500
Proporción
0,1010
0,0909
0,4040
0,2424
0,1616
Ʃ1
Árbol de Probabilidades
0,1010
maq 1
0,95
√
0,05
0,98
x
√
0,02
0,90
x
√
0,10
0,95
x
√
0,05
1
x
√
0
x
Ʃ=1
0,0909
maq 2
Ʃ=1
Ʃ=1
0,4040
maq 3
Ʃ=1
0,2424
maq 4
Ʃ=1
0,1616
maq 5
Ʃ=1
a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la segunda maquina?
(0,02)(0,9090)
(0,02)(0,0909)+(0,05)(0,1010)+(0,10)(0,4040)+(0,05)(0,2424)
0,001818
= 0,059388 = 0,0306 →3,06%
Existe un 3,06% de probabilidad que la lata defectuosa la haya producido la maquina 2.
b) Pedro tiene en la mano una lata en buen estado ¿Cuál es la probabilidad que haya sido
producida por la tercera o la quinta maquina?
(0,90)(0,4040)
0,3636
= 0,940512 → 38,65%
(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)
(1)(0,1616)
0,1616
= 0,940512
(1)(0,1616)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)
→17,18%
Se tiene un 55,83% de probabilidad que la lata en buen estado haya sido producida por la
tercera o la quinta máquina
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UTEPSA – Guía MAAP
83
PRÁCTICO No 7
Resuelve los siguientes problemas ABP
1. Si se saca una carta de una baraja de 52 cartas. Cuáles de las siguientes parejas de eventos
son mutuamente excluyentes y cuáles no.
A = Que sea una carta roja.
B = Que sea una carta de corazón.
C = Que sea un número par.
D = Que sea un 3 de espadas.
S=
A y B ………….. B y C ………….
A y C ………….. B y D ………….
A y D ………….. C y D ………….
2. Si se lanzan dos dados a la vez y se quiere analizar la suma de los dos resultados. Determinar
si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes o no.
A = La suma de los dos resultados sea un número par.
B = La suma es un número cinco.
C = Un cinco en uno de los dados.
D = La suma sea mayor que 7.
Espacio Muestral (S)
A y B ………….. B y C ………….
A y C ………….. B y D ………….
A y D ………….. C y D ………….
3. Si se lanza una moneda tres veces, y se quiere analizar el número de caras que se
pueden obtener. Determinar si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes o
no.
A = Que salgan 3 caras
B = Que no salga ninguna cara.
C = Que salgan tres sellos.
D = Que salgan 2 o mas caras.
A y B ………….. B y C ………….
A y C ………….. B y D ………….
A y D ………….. C y D …………
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
84
4. Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de
que ambas sean corazones?
5. El mes pasado en la Universidad UTEPSA se aplicó una encuesta para conocer a profundidad.
¿Cuántas personas utilizaban facebook y con qué objetivo lo hacían?, los resultados fueron
escalofriantes. De los 380 encuestados, 370 tenían una cuenta, 300 admitieron que lo usan todos
los días, y 230 admiten estar conectados más de 2 horas diarias, 103 alumnos ingresan por el mero
hecho de solo estar informado de la vida de otros y 68 comentan que lo utilizan con fines
académicos. De todos los que ingresan solo para socializar el 40% es de sexo masculino y de los
que están más de 2 horas diarias el 74% son mujeres.
También se realizó una encuesta en la UDABOL. En dicha institución se entrevistaron a 360
estudiantes y 302 de ellos admitió tener una cuenta en el facebook, lo curioso es que el 90% de
los que tienen cuenta admiten entrar todos los días y de estos el 80% más de 2 horas.
Teniendo en cuenta esta información conteste las siguientes preguntas.
a) Del total de los encuestados. ¿Qué porcentaje utiliza facebook.com?
b) Del total de usuarios del facebook. ¿Qué porcentaje lo utiliza todos los días?
c) Del total de usuarios diarios de UTEPSA. ¿Qué porcentaje permanece conectado más de 2
horas?
d) Del total de usuarios del facebook de UTEPSA. ¿Qué porcentaje ingresan con fines
académicos?
e) ¿Qué cantidad de hombres representan el 40% de los usuarios que ingresan al facebook solo
para socializar en la UTEPSA?
f) ¿Qué cantidad de mujeres representa el 74% de las personas que se conectan más de 2 horas
por día en UTEPSA?
g) ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que utilizan el facebook?
h) ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que ingresan al facebook todos los
días?
i) De todos los encuestados en ambas universidades. ¿Qué cantidad de estudiantes representa
el porcentaje de estudiantes que están conectados más de 2 horas por día?
6. La Universidad Tecnológica Privada de Santa Cruz (UTEPSA) cuenta con una población de 10.000
estudiantes, cada uno con sueños y metas diferentes, pero con una misma misión, aprender a
formar un negocio propio. Usted como analista de información de la Universidad necesita conocer
las proporciones por sexo de las Facultades y el departamento de Sistemas le muestra el siguiente
cuadro. Teniendo en cuenta la información que en este se encuentra y que usted se encontró un
estudiante en la calle. Responda las siguientes preguntas.
Facultades.
Facultad. Ciencias Empresariales.
Facultad. Ciencias Tecnológicas.
Facultad. Ciencias Jurídicas.
Facultad. Relaciones Internacionales.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
Hombres
1500
2500
500
500
Mujeres
2500
1000
1000
500
85
Preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea mujer?
b) ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea de la Facultad de Ciencias Tecnológicas?
c) ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre y de la Facultad de Relaciones Internacionales?
d) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer y estudie en la Facultad de Tecnología?
e) Bajo el supuesto que el estudiante fue hombre. ¿Cuál es la probabilidad que estudie en la
facultad de Ciencias Empresariales?
f) Bajo el supuesto que el estudiante pertenece a la Facultad de Tecnología. ¿Cuál es la
probabilidad que sea Mujer?
g) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer ó de la Facultad de Relaciones Internacionales?
h) ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó de la Facultad de Tecnología?
i) ¿Cuál es la probabilidad que sea de la Facultad de Ciencias Empresariales ó Tecnológicas?
j) ¿Cuál es la probabilidad que sea de cualquier Facultad menos la de Ciencias Jurídicas?
7. Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en cuenta que el
producto no ha entrado al mercado local usted realizó una degustación masiva en ciertos sectores
estratégicos de la Ciudad preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva soda? Los
resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia.
Sector
Regular
Buena
Excelente
Centro
20
40
100
Urubó
30
60
120
Urbarí
25
75
83
Equipetrol
10
23
50
Plan 3000
15
25
40
Polanco
35
35
110
Banzer
36
45
80
Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?
A. ¿Qué opine que el sabor es Excelente?
B. ¿Qué sea de Equipetrol?
C. ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?
D. ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?
E. ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?
F. ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?
G. ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?
H. ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?
I. ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?
J. ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la Ciudad?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
86
8. Usted es el nuevo gerente Comercial del taller mecánico “Páez”, al mismo asisten muchos
clientes con autos de tres clases. Nissan, Toyota y Ford. A cada uno de los clientes que vino el mes
pasado se le hizo una encuesta preguntándole por la calidad del servicio del taller. Los resultados
se muestran a continuación en una tabla de contingencia.
Pésima
Regular
Buena
Excelente
Toyota
18
30
35
23
Nissan
32
15
25
17
Ford
25
10
20
60
a)
b)
c)
d)
e)
¿Qué porcentaje de los clientes vino con un auto Ford?
¿Qué porcentaje de los clientes opina que la atención es Regular y vino en Nissan?
¿Qué porcentaje de los clientes vino en Nissan ó Toyota?
¿Qué porcentaje de los clientes vino en Ford ó el servicio le pareció excelente?
¿A qué porcentaje de los clientes que vinieron en Toyota y la atención les pareció
excelente?
f) ¿Qué porcentaje de cliente trajeron vehículos Nissan y Ford?
g) ¿A qué porcentaje de los clientes la atención le pareció Regular?
h) Teniendo el criterio de Excelente. ¿Cuál es la marca de auto que más satisfecha salió del
taller?
i) ¿Qué porcentaje de los clientes vinieron con Ford dado que la atención les pareció
pésima?
9. Usted es el gerente Comercial de la empresa de Investigación de Mercados “Mercadeando”, su
último cliente “VIVA” tiene algunas preguntas acerca del estudio que se hizo de su marca.
Insatisfecho Indiferente Satisfecho
Norte
50
120
200
Sur
150
85
60
este
60
115
70
Oeste
40
30
20
Preguntas:
a)
b)
c)
d)
e)
¿Qué porcentaje de los encuestados son del Sur de la Ciudad?
¿Qué porcentaje de los encuestados son del este ó el oeste?
¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte y están insatisfechos?
¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos ó son del sur?
¿Qué porcentaje de los encuestados creen tiene una opinión por lo menos
indiferente?
f) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte dado que están satisfechos?
g) ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos y son del este?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
87
10. Usted es el Gerente Comercial del Café 24, local de distracción del centro de la Ciudad, el
mismo es frecuentado por cruceños, pero está enfocado en ser el lugar de pasada por excelencia
de los extranjeros y visitantes de otros departamentos. Usted está preocupado por la atención
que reciben los clientes y decide hacer una encuesta a las diversas personas que asisten al boliche
preguntándole. ¿Qué le ha parecido la atención? Los resultados se muestran a continuación.
Cruceños
Pésima
Regular
Buena
Muy buena
Excelente
20
12
8
15
15
Turistas
Nacionales
3
13
24
12
13
Turistas
Extranjeros.
23
0
14
12
16
a)
b)
c)
d)
e)
¿Qué porcentaje de los encuestados son Cruceños?
¿Qué porcentaje del total de encuestados son Extranjeros y la atención les pareció Buena?
¿Qué porcentaje de los Cruceños la atención le pareció excelente?
¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas (nacionales y extranjeros)
¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales ó la atención le pareció Muy
Buena?
f) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales dado que la atención les
pareció Regular?
g) ¿A qué porcentaje de los encuestados el trato le pareció Bueno?
11. Usted es el gerente comercial de la empresa distribuidora de Bebidas “Bodegas El buen gusto”,
uno de los tantos productos con que cuenta la empresa es la Soda que se importa de Brasil. Para
penetrar el mercado usted debe hacer degustación en diversos puntos de la Ciudad y recoger
opiniones. Los siguientes datos muestran las opiniones del sabor de los encuestados.
Opinión
Regular
Buena
Excelente
Zona Norte 20
30
10
Zona Sur
15
45
30
Zona Este
20
25
50
Zona Oeste 10
15
30
a) Si usted debe comenzar por la zona que más aceptación tuvo el producto. ¿Por qué zona
comenzaría la distribución?
b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Sur y la soda le parece Buena?
c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Este ó la soda le pareció Excelente?
d) ¿Qué porcentaje de los encuestados el producto le pareció por le menos buena?
e) ¿Cuál es la probabilidad que un encuestado sea de la zona oeste dado que tiene una
opinión Regular?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
88
PRÁCTICO No8
Problemas ABP propuestos del Teorema de bayes
1.La materia de Investigación de Mercados la dictan 4 profesores, Ana, Evelio, Carlos y Juan, de
los 15 grupos que se van a abrir Ana tiene asignado 2, Evelio 3, Carlos 4 y Juan 6 , los comentarios
la han llegado que con Ana el 80% aprueba, con Evelio un 75%, con Carlos un 60% y con Juan un
90%.
Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante haya cursado con Evelio sabiendo que
reprobó?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se sabe que
reprobó?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se sabe que
aprobó?
2. Usted es propietario de la imprenta “Sirena”, por carnavales la producción de volantes ha
aumentado muchísimo, las dos máquinas que tiene son muy buenas pero cada 1000 impresiones
la primera saca 40 con fallas y la segunda de cada 2000 impresiones la pasa lo mismo. Un cliente
vino ayer a quejarse que sus volantes estaban mal hechos, ¿Cuál es la probabilidad que lo haya
impreso la segunda máquina?
3. Una constructora está considerando la posibilidad de construir un condominio en la zona de la
carretera a Porongo. Si el consejo municipal aprueba la construcción del nuevo puente a Porongo,
hay posibilidad de 0.90 de que la compañía construya el condominio en tanto, que, si no es
aprobada la construcción del nuevo puente al Piray, la probabilidad es de solo 0.20 que construya
el condominio. Basándose en la información disponible, el gerente de la constructora estima que
hay probabilidad de 0.60 que la construcción del puente sea aprobada, por parte del Consejo
Municipal.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía al aprobarse la construcción del puente,
construya el condominio?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía no construya el condominio dado que se aprueba
la construcción del puente?
4. La fábrica de tasas del oriente boliviano tiene 3 máquinas, la primera produce 230 unidades por
día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble que la primera y 3 unidades
más que la primera máquina y tienen algún tipo de desperfecto, la tercera máquina produce 290
unidades por día y el 99% de los mismos salen en buen estado. Se toma una tasa al azar y está en
buen estado.
a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la segunda máquina?
b) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la tercera maquina dado que salió
con algún defecto?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
89
5. Una compañía petrolera, debe decidir, si taladra o no un lugar determinado que tiene bajo
contrato. Por investigaciones geológicas practicadas, se sabe que existe una probabilidad de 0.45
que una formación tipo I se extiende debajo del lugar prefijado para taladrar, y de 0.30 de
probabilidad que existe una formación de tipo II para taladrar, finalmente se tiene una
probabilidad de 0.25 para que sea una formación de tipo III, para realizar la taladrada. Estudios
anteriores indican que el petróleo se encuentra en un 30% de las veces en las formaciones tipo I,
un 40% en las de tipo II y aseguran que en un 80% no se encuentra petróleo en las formaciones
de tipo III.
a) ¿Determinar la probabilidad que, si no se encontró petróleo, la perforación fue hecha en
la formación del tipo I?
b) ¿Cuál es la probabilidad que la perforación haya sido realizada por la formación tipo III
dado que si encontraron petróleo?
6. La fábrica de vasos “La Estrella” tiene 3 líneas de producción, la primera produce 150 unidades
por día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble que la primera y 18 de
ellos tienen algún tipo de desperfecto, la tercera línea de producción produce 300 unidades por
día y el 18% de los mismos salen rotos. Se toma un vaso al azar y está en buen estado. ¿Cuál es la
probabilidad que haya sido producido en la tercera línea de producción?
7. La fábrica de tasas del oriente boliviano tiene 4 máquinas, la primera produce 120 unidades por
día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble que la primera y 15 de ellos
tienen algún tipo de desperfecto, la tercera máquina produce 310 unidades por día y el 20% de
los mismos salen rotas y la cuarta maquina produce lo mismo que la segunda, pero con un 5% de
defectuosos. Se toma una tasa al azar y está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya
sido producido por la cuarta máquina?
8. Los datos de producción de la Guaraná Conti la empresa se los mandó de Brasil, en sí son cinco
las máquinas que producen dicha soda. La primera produce 1000 cajas por día y 50 salen en mal
estado, la segunda produce el doble que la primera y la misma proporción de desperfectos que la
cuarta. La tercera produce la mitad que la quinta y el 2% sale en mal estado, la cuarta produce el
triple que la primera y la misma proporción de desperfectos que la tercera, mientras que la quinta
produce el cuádruple que la primera y ninguna en mal estado. El lote que la fábrica envió a Bolivia
fue la producción total del mes pasado. La máquina uno trabajó los 30 días, la dos y los tres 25
días, los cuatro 20 días y los cinco 22 días. Preguntas:
a) Si un cliente se quejó porque una caja estaba en mal estado ¿Cuál es la probabilidad que haya
sido producida por la cuarta máquina?
b) Si una caja está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la
tercera máquina?
Aplicación de lo aprendido
En base al proyecto de descriptiva identifica un problema para resolver aplicando el método
aprendido en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los
resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
90
Unidad 8
VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCION DE PROBABILIDAD
Objetivos de aprendizaje:
 Que el estudiante identificar, calcule e interprete variables y distribuciones continua y
uniforme medidas de forma.
Investigación
1. ¿Qué es una variable aleatoria: discretas y continua?
2. ¿Cuándo se dice que una función de distribución continúa?
3. ¿Qué es una distribución uniforme?
Fundamenta tus respuestas con bibliografía
VARIABLES ALEATORIAS
Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula, tal como X, y con una letra
minúscula, como x, el valor posible de X
En c/u de los ejemplos, determine la variable aleatoria y cuáles son posibles valores que toma.



Se analiza una muestra de 5 celulares, se quiere observar cuántos poseen una avería interna
en las pilas.
Una empresa posee un sistema de comunicación por voz de 30 líneas, se estudia el número
de líneas ocupadas en cualquier momento.
Hay que contar él número de defectos que se pueden encontrar en la superficie de una bobina
grande de acero galvanizado.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS.
Si la variable aleatoria sólo puede tomar un valor de un conjunto limitado de valores, entonces es
una variable aleatoria discreta. En el otro extremo, sí se puede tomar cualquier valor dentro de
un intervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua.
Otra forma de describir las variables aleatorias es:


Una variable aleatoria es discreta si se puede CONTAR los valores que ella toma.
Una variable aleatoria es continua si se pueden MEDIR los valores que ella toma.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
91
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad, de una variable aleatoria X, es una descripción del conjunto de
valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada a c/u de estos valores.
Nota.
Existen dos tipos de estas distribuciones o funciones de probabilidad:


Función de probabilidad, cuando se habla de variables discretas
Función de densidad de probabilidad, cuando se trata de variables continúas.
Comúnmente las
distribuciones de
probabilidad son
conocidas como funciones
Función de densidad de
probabilidad
Matemáticamente, es la función Matemáticamente, es aquella
P(X=x) que va desde el conjunto función de una variable aleatoria
posible de los valores de la variable continua X que cumple las
discreta X al intervalo[0,1]
siguientes condiciones:
Función de probabilidad
Propiedades:
Propiedades:
1. P(X = x) ≥ 0
1. ----------
2.  P(X = x) =1
2.

 f(x)dx  1

b
b
3.
P(a  X  b)   P(X  x )
3.
a
P(a  X  b)   f(x)dx
a
a
4.
P(X  a )   P(X  x )
4.
----------
0
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad, de una variable aleatoria X, es una descripción del conjunto de
valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada a c/u de estos valores.
Existen dos tipos de estas distribuciones o funciones de probabilidad:


Nota.
Comúnmente las
distribuciones de
probabilidad son
conocidas como funciones
Función de probabilidad, cuando se habla de variables discretas
Función de densidad de probabilidad, cuando se trata de variables continúas.
VALOR ESPERADO
El valor esperado de una variable aleatoria es el equivalente a la media o promedio aritmético,
que se utiliza para identificar el valor central de la variable aleatoria.
Matemáticamente, se define:
μ X  E(x) 
 x.P(x) ,
para variables discretas

μ X  E(x) 
 x.f(x)dx ,
para variables continuas

CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
92
EJEMPLO
El Hub de la figura posee desperfectos en sus puertos,
el número de puertos que fallan y sus respectivas
probabilidades se muestran en el cuadro de abajo.
Determine el valor esperado del número de puertos
que fallan.
x
2
4
8
12
16
P(x)
0,45
0,20
0,15
0,10
0,10
SOLUCIÓN
Como la variable es discreta, aplicamos la fórmula:
E(x)   x.P(x)
E(x)  2  0.45  4  0.20  8  0.15  12  0.10  16  0.10
E(x)  5.7 puertos que fallan en promedio.
APLICACIONES A LA TOMA DE DECISIONES
EJEMPLO 1
Una empresa vende equipos y accesorios de telecomunicaciones
MOTOROLA, la demanda mensual de estos accesorios se
distribuye de la siguiente manera:
x
10
12
14
18
P(x)
0.40
0.20
0.35
0.05
Si cada accesorio 50 dólares y se vende a un 40% más por cuestiones de impuestos, determine
cuántos de estos accesorios se deberán tener en stock mensualmente para minimizar las pérdidas
esperadas.
SOLUCIÓN
DATOS:
Costo = 50 $u$/unid
Precio = 50 + 50*0.40 = 70 $u$/unid
Por sobrar = Costo = 50
Por faltar = Precio – Costo = 70 – 50 = 20
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
93

Se arma la siguiente matriz (VER FIGURA 1):
P(x)
10
12
14
18
10
12
14
18
10
0.40
10
0.40
0
100
200
400
12
0.20
12
0.20
40
0
100
300
14
0.35
14
0.35
80
40
0
200
18
0.05
18
0.05
160
120
80
0
FIGURA 1

P(x)
FIGURA 2
Hablaremos en forma matricial para referirnos a cada celda, nos preguntamos si sobran o
faltan, y calculamos los costos (VER FIGURA 2):
No sobra ni falta:
Faltan 2:
Faltan 4:
Faltan 8:
A11 =
0
A21 = 2x20= 40
A31 = 4x20= 80
A41 = 8x20=160
Sobran 2:
No sobra ni falta:
Faltan 2:
Faltan 6:
A12 = 2x50=100
A22 =
0
A32 = 2x20= 40
A42 = 6x20=120
Sobran 4:
Sobran 2:
No sobra ni falta:
Faltan 4:
A13 = 4x50=200
A23 = 2x50=100
A33 =
0
A34 = 4x20= 80
Sobran 8:
Sobran 6:
Sobran 4:
No sobra ni faltan:
A14 = 8x50=400
A42 = 6x50=300
A43 = 4x50=200
A44 =
0

Para encontrar las pérdidas esperadas se realiza la operación xP(x):
E(10) = 0.40x0 + 0.20x40 + 0.35x80 + 0.05x160 = 44 
E(12) = 0.40x100 + 0.20x100 + 0.35x40 + 0.05x120 = 60
E(14) = 0.40x200 + 0.20x100 + 0.35x0 + 0.05x80 =104
E(18) = 0.40x400 + 0.20x300 + 0.35x200 + 0.05x0 = 290

Escogemos el menor de estos costos esperados, el cual corresponde con la decisión de tener
10 accesorios mensualmente en stock, debido a que este valor ocasionará la menor pérdida
esperada en el futuro.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
94
EJEMPLO 2
El número de motos de cuatro ruedas solicitadas en renta en una caseta de alquiler de motos en
las orillas del río Piraí durante un periodo de 50 días se identifica en la tabla siguiente:
Demanda( X) Número de días
3
6
4
10
5
15
6
9
7
6
8
4
a) Construir la función de probabilidad.
b) Determinar el valor esperado.
c) Graficar la función de probabilidad.
Se elabora un cuadro calculando la probabilidad de demanda diaria y luego el valor esperado:
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Demanda (X) Probabilidad P(X) Valor Esperado[X*P(X)]
3
0.12
0,36
4
0.20
0,80
5
0.30
1,50
6
0.18
1,08
7
0.12
0,84
8
0.08
0,64
1.00
E(X) = 5,22
b) El valor esperado es 5,22 motos.
c) Graficar
P
0.3
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
3
4
5
6
7
8
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
X
95
PRÁCTICO No 9
PROBLEMAS ABP PROPUESTOS
1.- Construya una distribución de probabilidad basada en la siguiente distribución de frecuencia
Movilidades atendidas en la estación de servicios
“VELOZ”
Número de días del estudio
102 105 108 111 114 117
10
20
45
15
20
15
a) Construir la función de probabilidad y graficarla.
b) Determinar el valor esperado.
c) Determinar: i) P(X = 105); ii) P(X ≥ 103); iii) P(X < 106); iv) P (105 ≤ X < 118);
v) P (104 < X < 114)
2.- Basándose en la siguiente gráfica de una distribución de probabilidad, construya una tabla que
corresponda a la gráfica y determine el valor esperado.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
6
7
8
9
10
96
Unidad 9
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Objetivos de aprendizaje:
 Que el estudiante Identifique los diferentes métodos de distribución, binominal, de pasión,
normal y sus métodos de ejecución aplicaciones junto con la metodología t-Student.
PRÁCTICO No10
Resuelve los siguientes Problemas ABP propuestos de distribuciones de probabilidades:
Distribución Binomial
1. En una universidad el 50% de los estudiantes están inscritos en carreras del área empresarial,
el 20% en carreras de Ingeniería, el 20% en derecho y el 10% en carreras de humanidades. Si se
toma una muestra de 8 alumnos, cual es la probabilidad:
a)
b)
c)
d)
Que hayan más de 4 alumnos del área de empresariales.
Que exactamente 3 alumnos sean de derecho
Que como máximo 3 alumnos sean de Ingeniería
Que a lo sumo 5 sean del área de humanidades
2. Un examen consta de siete preguntas, cada pregunta es de solución múltiple con cuatro
opciones de las cuales solo una es correcta. Un estudiante que desconoce la materia intenta
resolver el examen respondiendo las preguntas al azar:
a) Si necesita responder como mínimo 5 preguntas correctas para aprobar el examen. ¿Cuál
es la probabilidad que apruebe?
b) Cuál es la probabilidad de que conteste al menos 3 preguntas correctas?
c) Cuál es la probabilidad de que conteste como máximo 4 preguntas correctas, y repruebe
el examen?
3.- Suponga que un avión tiene seis motores. Cada motor trabaja de forma independiente, y la
probabilidad de falla de cada motor es de 3 %. Determinar cuál es la probabilidad de que en un
vuelo cualquiera:
a) No ocurra ninguna falla.
b) Fallen como máximo 2 motores.
c) Si un avión necesita como mínimo tres motores funcionando para mantenerse en vuelo,
cual es la probabilidad de que el avión se caiga.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
97
4. Supongamos que un avión tiene cuatros motores. Cada motor trabaja de forma independiente
y la probabilidad de falla de cada motor es de 0.15.
Determinar cuál, es la probabilidad de que en un vuelo cualquiera:
a) No ocurra ninguna falla en ninguno de los motores?
b) Cuál es la probabilidad que ocurran fallas mínimo en un motor?
c) Cuál es la probabilidad que fallen máximo 2 motores
5. La probabilidad de acertar en el blanco es 0.3, si se dispara 6 veces.
a) Cual es la probabilidad de que se acierte exactamente en cinco ocasiones?
b) Cual es la probabilidad que le acierto más de 3 ocasiones
c) Cual es la probabilidad que le acierte menor a 2 ocasiones
6. La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,2 cada vez que se viaja, si se
realizan 300 viajes, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
7. La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de
que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?
8. Se sabe que el 30% de los habitantes de una ciudad depende del asma. Determinar la
probabilidad de que en una muestra aleatoria de 4 personas.
a) Ninguna padezca de agua.
b) más de 2 sufran de asma.
Distribución Poisson
9. En un banco llegan un promedio de 60 personas para hacer alguna operación en las
cajas de atención al público. Cuál es la probabilidad de que en 15 minutos:
a) Lleguen 20 personas.
b) El número de clientes que llegan sea como mínimo 12.
c) El número de clientes este entre 13 y 18.
10. El número de casos admitidos de emergencia en cierto hospital durante 1 hora es una
variable aleatoria con una distribución de poisson con un promedio de 3 personas.
Determinar la probabilidad de que en cierta hora:
a) Ningún caso de emergencia es admitido.
b) Más de 4 casos de emergencia son admitidos.
c) Por lo menos 2 casos sean admitidos.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
98
11. Al cajero que se encuentra frente al Mercado de la Mutualista del BNB entran 10
personas por hora.
a) Cuál es la probabilidad que en la próxima hora entren a la tienda 6 personas?
b) Cuál es la probabilidad de que entren Menos de 3 personas usen la caja durante una
hora aleatoriamente seleccionada?
c) Cuál es la probabilidad que no ingrese ninguna persona?
12. Al cajero del Banco BCP, que se encuentra en el Mercado de la Mutualista entran en
promedio 7 personas por hora. ¿Cuál es la probabilidad que en la próxima hora entren al
cajero máximo 5 personas?
13. La probabilidad de que haya un accidente sobre el tercer anillo interno a la salida de
la UTEPSA es de 0,3 por cada día.
a) ¿Cuál es la probabilidad de tener 1 accidentes en un día cualquiera?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran menos de 2 accidentes?
c) Calcular la probabilidad de que no ocurra ningún accidente?
d) Cual es la probabilidad que ocurran más de 2 accidentes al día?
14. Supongamos que un libro de 585 páginas contiene 41 errores de ortografía
distribuidos aleatoriamente. Cuál es la probabilidad que en diez páginas seleccionadas al
azar:
a) Ninguna página tenga errores.
b) Hayas 23 páginas con errores.
c) Como máximo 3 paginas tengas errores.
Distribución Normal
15. Usted es el Gerente Comercial en Santa Cruz de la Sierra de Laboratorios Inti. Un
estudio previo a su gestión mostró que el consumo promedio de mentisan de los
habitantes del departamento era de Bs. 100 anual con una desviación de 11 Bs. Teniendo
en cuenta estos datos, responda las siguientes preguntas.
a)¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran de 70 a 110 Bs?
b)¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran Más de 130 Bs?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
99
16. Dado la variable aleatoria X tiene una distribución normal con media de 6.4 y
desviación tipica de 2.3, encontrar:
a) P(4< X <5) =
b) P(X> 2) =
c) P(X≤ 2) =
17. Las esturas de 1000 estudiantes están distribuidas normalmente con una medida de
174 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros ¿qué porcentaje de
estudiantes:
a) Miden menos de 160cm.
b) Entre 171 y 182cm.
c) Mayor o igual a 188cm.
18. Un súper mercado almacena 30kg de queso fundido cada semana. Si la demanda
semanal de queso fundido esta normalmente distribuida con una medida de 24 kg una
desviación estándar de 5 kg. Determinar la probabilidad de queso en un semana
cualquiera.
19. Los gastos mensuales de comida de familias de cuatro miembros promedian $us 420
con una desviación estándar de $us 80. Suponiendo que los gastos mensuales de comida
se distribuyen normalmente.
a)
b)
c)
d)
¿Qué porcentaje de estos gastos son inferiores a $us 360?
¿Qué porcentaje de estos gastos están entre $us 260 y $us 360?
¿Qué porcentaje de estos gastos están entre $us 260 y $us 460?
¿Qué porcentaje de estos gastos son superiores a $us 360?
20. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 Kg y la desviación típica
3 Kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes
pesan:
a) Entre 60 Kg y 75 Kg
b) Más de 90 Kg
c) Menos de 64 Kg
21. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con una
media 78 y desviación típica 36. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga
una calificación superior a 72?
b) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72. ¿Cuál es la
probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
100
Distribución t-Student
Obtención de las puntuaciones con una probabilidad asociada:
Supongamos que la variable t se distribuye según el modelo t10, y queremos hallar:
a) El valor para el que la probabilidad acumulada es 0,95.
b) El valor para el que la probabilidad de observar valores mayores es igual a 0,10.
c) P [ t1  t  t2 ] = 0, 975
Obtención de probabilidades asociadas a determinados valores:
Supongamos que la variable t se distribuye según el modelo t con 25 grados de libertad, y
queremos obtener las probabilidades de que esta variable adopte:
a) Valores como mucho iguales a 1,316.
b) Valores como mínimo iguales a 2,060
c) Valores comprendidos entre 1.316 y 2.060
3.- Para una distribución t-student encuentre:
a) P ( t < t ) = 0.90 cuando r = 5
b) P ( -1.812  t  2.228 ) =  cuando r = 10
c) P ( - t < t < t ) = 0.90 cuando r = 14
d) P ( t > t ) = 0.01 cuando r = 10
e) P ( t > 2.228 ) =  cuando r = 10
f)
P ( t > 1.318 ) =  cuando r = 24
g) P ( t < 2.365 ) =  cuando r = 7
h) P ( t > - 2.567) =  cuando r = 17
i)
P ( k < t < 2.807 ) = 0.095 cuando r = 23
4. Una compañía manufacturera asegura que las baterías utilizadas en sus juegos
electrónicos duran un promedio de 30 Horas. Para conservar este promedio se prueban
16 baterías. Si el valor calculado de t cae entre - t y t superior a 0.025, la compañía
está satisfecha con su afirmación. ¿Qué conclusión sacaría la empresa de una muestra
que tiene una media de X = 27.5 Horas y una desviación estándar S=5 horas? Suponga que
la distribución de la duración de las baterías es aproximadamente normal.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
101
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Es cualquier experimento formado por una serie de n ensayos repetidos tales que:
1. los ensayos son independientes.
2. cada ensayo tiene dos resultados posible, denominados “éxito” y “fracaso”
3. la probabilidad de éxito de cada ensayo, denotada por p, permanece constante.
Las probabilidades se calculan a través de la siguiente formula:
P(X  r / n, p ) 
n!
x!n  x !
x nx
p q
La variable puede tomar los valores x = 0, 1, 2,…n
PROPIEDADES
μ X  E(x)  np  X2  V(x)
 npq
PROBLEMA ABP RESUELTO
Después de una auditoria externa en una empresa financiera se determinó que el 30% de sus
créditos están en mora. Si el auditor interno toma una muestra aleatoria de cinco de esas cuentas,
determine la probabilidad de que exactamente dos créditos estén en mora.
Utilizando la formula binomial tenemos:
P(X = r/ n,p) =
n!
 p r q nr
r!(n  r )!
Donde:
n=5
p=0,3
p+q =1
q = 0,7
P(X = 2/n = 5, p = 0,3) =
5!
(0.30) 2 (0.7) 3  0.3087
2!(5  2)!
Entonces la probabilidad es 0.3087
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
102
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Dado un intervalo de números reales, suponga que el conteo de ocurrencias es aleatorio en
dicho intervalo. Si este puede dividirse en subintervalos suficientemente pequeños tales
que:
1. la probabilidad de ocurrencia más de una ocurrencia en dicho subintervalo es cero.
2. la probabilidad de ocurrencia en un subintervalo es la misma para todos los
subintervalos, y es proporcional a la longitud de éstos.
3. el conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de los demás
subintervalos.
P(X  x) 
e
-λ x
λ
x!
PROPIEDADES
μ X  E(x)  λ  X2  V(x)  λ
PROBLEMA ABP RESUELTO
Un promedio de cinco personas por hora realizan transacciones en una ventanilla de servicios
especiales de un banco comercial. Suponiendo que el arribo de esas personas tiene una
distribución independiente y es igualmente probable a lo largo del periodo de interés ¿Cuál es la
probabilidad de que exactamente diez personas deseen realizar transacciones en la ventanilla de
servicios especiales durante una hora en particular?
P(X  x) 
e
-λ x
λ
x!
P(X  10) 
e
-5
10
5
P(X = 10) = 0,0181
10 !
Donde:
e = Base del logaritmo neperiano (2, 7182)
λ = promedio
x = valor buscado
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
103
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Es sin duda la distribución más utilizada para modelar experimentos aleatorios. La distribución
normal es una distribución continua que se ajusta a las distribuciones reales observada en muchos
fenómenos como ser:




Las mediciones de velocidad de transmisión de datos.
Las mediciones de corriente eléctrica
Las mediciones de temperatura
En general todo lo que se puede medir.
Tiene las siguientes propiedades:




La curva o distribución de los datos es unimodal.
La media de la población cae dentro del grafico y coincide con el centro de la grafica.
Los dos extremos de la distribución normal se extienden indefinidamente y nunca
tocan el eje horizontal (desde luego, esto es imposible de mostrar de manera grafica)
Para definir una distribución normal se necesitan solamente dos parámetros la media
y la desviación estándar.
La distribución es simétrica
con respecto a la línea vertical
que pasa por la media µ
FIG. GRAFICA DE LA DISTRIBUCION NORMAL
No es necesario ni posible tener una tabla distinta para cada distribución normal posible, en lugar
de ellos se utiliza una distribución normal estándar para encontrar las probabilidades. Para ello
se utiliza la siguiente transformación:
z
x -μ
σ
PROPIEDADES
E(x)  μ
V(x)  
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
2
104
PROBLEMA ABP RESUELTO
En una clínica de niños en la sección de emergencia, se tiene registrada la edad de cada uno de
los niños que ha sido atendido durante el año pasado. Tomando estos datos se encuentra que la
edad media corresponde a 10 años, con una desviación típica de 3 años. Si se escoge un niño al
azar, para analizar su expediente médico, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El niño sea mayor a 13 años.
El niño sea menor a 5 años.
El niño este entre 6 y 15 años.
El niño este entre 11 y 14 años.
El niño tenga como máximo 12 años.
El niño sea por lo menos de 8 años.
SOLUCION
DATOS
Distribución normal
µ = 10 años
 = 3 años
a) P(x  13) = ?


x = 13
La tabla de probabilidades sólo calcula menor o igual “”. Hay que sacar el complemento:
P(x  13) = 1 – P(x  13) . . . . . . . . . 
Ahora estandarizamos para poder entrar en tablas:
z

µ = 10
x -μ
σ

13  10
 1.00
3
Entrando a tablas con Z = 1.00 tenemos:
Z
0.0
0.1
0.1
0.1
0.1
0.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
1.0 0.8413
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
105

Reemplazando en la ecuación 
P(x  13) = 1 – P(x  13) = 1 – 0.8413 = 0.1587
b) P(x ≤ 5) = ?
x=5


Como se tiene menor o igual “”. No hay necesidad de sacar el complemento:
Ahora estandarizamos para poder entrar en tablas:
z

µ = 10
x -μ
σ

5  10
 1.67
3
Entrando a tablas con Z = -1.67 tenemos:
Z
0.0
0
0.0
1
0.0
2
0.0
3
0.0
4
0.0
5
0.0
6
0.07
-3.5
-3.4
-3.3
-3.2
-3.1
0.04
75
-1.6

Finalmente
P(x  5) = 0.0475
c) P(6 ≤ x ≤ 15) = ?
x=6
x = 15

Hay que realizar la siguiente transformación
P(6 ≤ x ≤ 15) = P( x ≤ 15) - P( x ≤ 6) . . . . . 

Ahora estandarizamos para poder entrar en tablas:
z
x -μ
σ

15  10
3
 1.67
z
x -μ
σ

6  10
 1.33
3
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
106

Entrando a tablas con Z = 1.67 y después con Z = -1.33 tenemos:
Para Z = 1.67, la probabilidad es:
0.9525
Para Z = -1.33, la probabilidad es: 0.0918

Reemplazando en la ecuación 
P(6 ≤ x ≤ 15) = P( x ≤ 15) - P( x ≤ 6) = 0.9525 – 0.0918 = 0.8607
d) P(11 ≤ x ≤ 14) = ?
x = 11 x = 14


Hay que realizar la siguiente transformación
P(11 ≤ x ≤ 14) = P( x ≤ 14) - P( x ≤ 11) . . . . . 
Ahora estandarizamos para poder entrar en tablas:
z


x -μ
σ

14  10
z
 1.33
3
x -μ
σ

11  10
 0.33
3
Entrando a tablas con Z = 1.67 y después con Z = -1.33 tenemos:
Para Z = 1.33, la probabilidad es:
0.9082
Para Z = 0.33, la probabilidad es:
0.6293
Reemplazando en la ecuación 
P(11 ≤ x ≤ 14) = P(x ≤ 14) - P(x ≤ 11) = 0.9082 – 0.6293 = 0.2789
e) P(x ≤ 12) = ?
x = 12


Como se tiene menor o igual “”. No hay necesidad de sacar el complemento:
Ahora estandarizamos para poder entrar en tablas:
z
x -μ
σ

12  10
 0.67
3

Entrando a tablas con Z = 0.67
La probabilidad es 0.7486

Finalmente
P(x ≤ 12) = 0.7486
f) P(x ≥ 8) = ?
x=8
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
107

Hay necesidad de sacar el complemento:
P(x ≥ 8) = 1 - P(x  8) . . . . . 

Ahora estandarizamos para poder entrar en tablas:
x -μ
z
σ

8  10
 0.67
3

Entrando tablas con Z = -0.67
La probabilidad es 0.2514

Reemplazando en 
P(x ≥ 8) = 1 - P(x  8) = 1 -0.2514 = 0.7486
DISTRIBUCIÓN t-Student
Si
a) Sean Z1 , Z2 .......Zr La t- student se aplica cuando el tamaño de la muestra es
pequeño y cuando la desviación estándar se desconoce.
b) y formamos la variable T según la siguiente fórmula
T
x-u
S2
/n
Entonces, la variable aleatoria T se ajusta al modelo t con r grados de libertad ( r = n-1)
T ------> tr
f(x)

PROPIEDADES:
1) Simétrica respecto al valor 0.
2) En este valor 0 coinciden media, mediana y moda.
3) Puede adoptar valores positivos y negativos.
4) Asintótica respecto al eje de abscisas.
5) La distribución t se aproxima a la normal a medida que los grados de libertad tienden
a infinito.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
108
Unidad 10
ESTIMACIÓN
Objetivos de aprendizaje:
 Que el estudiante analice la información mediante estimación puntual y dominar los intervalos
de confianza utilizados para la toma de decisiones y desarrollar habilidades para resolver
problemas de probabilidades.
Estimación por Intervalos de Confianza.
Usted se habrá preguntado. ¿Por qué se llama Estadística Inferencial?, ¿Qué es inferir?, ¿De qué
se tratará la Unidad?, bueno, esta es una de las partes más lindas y apasionantes de la Estadística
Inferencial, los intervalos de confianza como su nombre lo dice son aproximaciones reales que
otorgamos a la población según los valores seleccionados en la muestra.
Es importante dividir este estudio en dos, primero en el caso de las muestras grandes. (Mayores
de 30) y por segundo las muestras pequeñas (menores que 30) todo esto vamos a explicarlo muy
fácilmente en este capítulo de nuestra guía.
Como tal Inferencial viene de inferir, generalizar, ejemplo, si se realizó una encuesta a 300
estudiantes de la Universidad con la intención de conocer la aceptación del nuevo método de
inscripciones por internet, en el estudio se mostró que el 40% estaba satisfecho con el método y
un 60% no, por lo tanto inferimos que toda la universidad piensa lo mismo. Este proceso que
hemos hecho tan fácilmente tiene su grado de complejidad que vamos a desmenuzar en esta
parte de la guía.
Pautas para que un intervalo de confianza funcione.
1.- Para que tenga validez el intervalo de confianza la encuesta debe estar hecha por muestreo.
2.- Los intervalos como su nombre lo dice son infinitos valores entre un rango no un valor
específico.

Intervalo de confianza para hallar una media poblacional (u), cuando conocemos la varianza
poblacional y tenemos una muestra mayor a 30 datos.
La única forma de hallar “u” media poblacional, es trabajando un censo, como no podemos
trabajar con censos en la mayoría de las ocasiones por su elevado costo tomamos una muestra,
los resultados de la muestra debemos inferirlos a la población mediante un intervalo de confianza.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
109
Ejemplo:
Se tomó una encuesta de 100 personas en Santa Cruz para estimar la demanda de pantalones
jeans, los datos mostraron un promedio de gasto anual en estas prendas de 150 dólares. Estudios
anteriores mostraron una varianza poblacional de 81 dólares. Estime con los datos de esta
muestra los valores de la población con un 95% de confiabilidad.
Fórmula:
𝐼𝐶 = 𝑥̅ ± 𝑍∝/2
𝜎
𝑓𝑐
√𝑛
La Desviación estándar del promedio puede calcularse de esta forma.
Solución:
Como podemos ver en los datos del problema nos dan la Varianza, que hallándole la raíz podemos
tener la desviación estándar, también tenemos el tamaño de la muestra, solo nos faltaría el valor
del estadígrafo “Z”, que ya aprendimos a buscarlos en el capítulo de Distribuciones de
probabilidad.
Como podemos ver nos piden un 95% de confiabilidad, por lo tanto buscamos en la tabla
el valor de “Z” con un 95% de confiabilidad y tenemos que es 1.96, luego sustituimos y lo demás
es una simple operación matemática.
𝑢 = 150 ± 1.96
√81
.1
√100
= 150 ± 1.96
9
.1
10
= 150 ± 1.96 (0.9). 1 = 𝟏. 𝟕𝟔𝟒
Ahora podemos hacer el intervalo de confianza.
[150 − 1.764 ≥ 𝑢 ≥ 150 + 1.764]
[148.23 ≥ 𝑢 ≥ 151.764]
Interpretación: Estamos seguros que en el 95% de todas las posibles muestras que se pudieron
haber obtenido en la población, los valores de la media oscilan entre 148.23 y 151.76 dólares.
4.1 Intervalo de confianza para hallar una media poblacional (u), cuando “NO” conocemos la
varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a 30 datos.
En caso de que no conociéramos el valor de la varianza poblacional, tomamos la de la muestra.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
110
Ejemplo:
Usted es el jefe de personal de la fábrica de caramelos “Dulcete” que tiene sus instalaciones a las
afueras de la Ciudad de Santa Cruz, en este momento la empresa tiene un buen posicionamiento
en el mercado cruceño, datos de nuestros socios de negocio indican que dos empresas del mismo
rubro de la Argentina van a incursionar en el mercado local, hace falta investigar el mercado de
los caramelos en Santa Cruz completa, teniendo en cuenta que los niños de 3 a 11 años son el
95% de nuestros clientes se los va a tomar como población objetivo. Se visitan 100 colegios y se
hace una encuesta a 15.000 estudiantes mostrando un promedio de gasto de 40 bolivianos por
mes. Con un valor máximo de compra de 85 bolivianos y un mínimo de 5 bolivianos. Calcular el
intervalo de confianza que muestra los datos de toda la población de niños de Santa Cruz con un
90% de confianza.
Solución:
Como podemos ver tenemos el valor del Rango, que sería (85 – 5), en este caso 80 bolivianos, la
teoría estadística muestra que el Rango dividido entre 4 es la Desviación Estándar. En este caso
80/4= 20.
El valor de “Z” para un 90% de confianza es 1.65
20
𝑢 = 40 ± 1.65
= 40 ± 0.2694
√15.000
[40 − 0.2694 ≥ 𝑢 ≥ 40 + 0.2694]
[39.7306 ≥ 𝑢 ≥ 40.2694]
Interpretación: Estamos seguros que en el 90% de todas las posibles muestras que se pudieron
haber obtenido en la población, los valores de la media oscilan entre 39.7306 y 40.2694 dólares.
Intervalo de confianza en muestras pequeñas. (Distribución “t”)
Anteriormente trabajamos con muestras grande (≥30); pero hay casos en que no se puede
trabajar con este tipo de muestras, ejemplo. Si usted es el encargado de probar la seguridad de
los autos Toyota y para realizar su prueba tiene que chocar un auto contra un muro, le garantizo
que no va a chocar 30 autos o más. En estos casos que tenemos muestras pequeñas trabajamos
con la distribución “t” de student.
Fórmula:
𝐼𝐶 = 𝑥̅ ± 𝑡∝/2
𝑆
√𝑛
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
𝑓𝑐
111
Ejemplo:
El promedio de ventas que debe tener la sucursal de “Ford” en Argentina es de 100.000 al mes
para dólares por mes para cubrir sus costos de producción y mantenimiento de la empresa. Usted
ha sido contratado como asesor e investigador de mercado y tiene que sugerirle al gerente
general ¿Qué hacer con la situación de la empresa?, ya que con menos de 100.000 dólares al mes
no puede seguir operando. Los datos de los últimos 7 meses muestran un ingreso promedio de
90.675 dólares y una desviación estándar de 5.000 dólares. Con un 99% de confiabilidad ¿Qué
consejo profesional le diría al gerente general?
El valor de “t” para un 99% de confianza es 3.7007 , y los grados de libertad son 7-1=6
𝑢 = 90.675 ± 3.7007
5.000
√7
= 90.675 ± 6.993,66
[90.675 − 6.993.66 ≥ 𝑢 ≥ 90.675 + 6.993.66]
[83.681.34 ≥ 𝑢 ≥ 97.668,66]
Interpretación: En este caso, podemos aconsejarle al gerente que cierre la empresa por que los
resultados muestran que con un 99% de confiabilidad las ventas están entre 83.681 y 97.668
dólares que no cubren el costo de producción.
Intervalo de Confianza para hallar una proporción poblacional.
En el caso de las proporciones a diferencia de las medias siempre vamos a utilizar “Z”, no importa
que sean muestras grandes ó pequeñas.
Fórmula:
𝑝𝑞
Que es lo mismo que decir. √ 𝑛
𝐼𝐶 = 𝑝̅ ± 𝑍∝/2 √
𝑝. 𝑞
𝑓𝑐
𝑛
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
112
Ejemplo:
Usted es el jefe de campaña del candidato “Augusto Hernández” para las elecciones
municipales, en la encuesta que usted tomó a 1.000 ciudadanos con su grupo de trabajo, el
candidato tenía el 40% de los votos, teniendo en cuenta un 95% de confiabilidad y teniendo en
cuenta que para ganar la elección se requiere el 36.85% de los votos, ¿Qué le diría al candidato?
Como vemos p= 0.4, q= 0.6, n= 1000 y “Z” para un 95% de confianza es 1.96.
𝑝𝑞
0.4∗0.6
𝜋 = 𝑝 + Z√ 𝑛 . 1 = 0.4 ± 1.96√ 1.000 . 1= 0.4 ± 1.96 (0.01549)
[0.4 − 0.03 ≥ 𝜋 ≥ 0.4 + 0.03]
[0.37 ≥ 𝜋 ≥ 0.43]
Interpretación: Puede decirle al candidato que está tranquilo que estamos seguros que en un 95%
de todas las posibles muestras que se pudieron haber tomado, el candidato aparece como
ganador. ¡¡Felicidades!!.
PRACTICO No 11
Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es conocida.
1.- Cien latas de de 16 onzas de la salsa de tomates Jakes Mom tienen un promedio de 15.2
onzas. La desviación estándar poblacional en peso es de 0.96 onzas. ¿A un nivel de confianza del
95% las latas están llenas con un promedio de 16 onzas?
2.- Una muestra de 500 personas muestran un promedio de consumo de 80 Bs en refrescos (Soda)
mensual. Teniendo en cuenta que se conoce por datos anteriores que la desviación estándar
poblacional es de 135 bolivianos. Determine el intervalo de confianza para el 95% y el 90% que
muestre donde estaría la media poblacional.
3.- Un investigador que se dedica a la creación de un nuevo producto alimenticio tiene
preocupación acerca de la continuidad de sus actividades debido a que las reglas para
financiamiento de su investigación predican que si tiene una tasa de 78 errores en promedio por
mes dejarían de enviarle fondos. Una muestra de 235 de sus productos muestra un error
promedio de 70. Se sabe que la desviación Varianza poblacional es de 196 errores. Según un
intervalo de confianza que consejo profesional usted le puede dar al investigador.
4. Una máquina está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se distribuye
aproximadamente normal con una desviación igual a 0.15 decilitros. Encuentre un intervalo de
confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta máquina si una muestra
aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25 decilitros.
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
113
5. Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribución
aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene
una vida promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media
poblacional de todos los focos que produce esta empresa?
Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es desconocida.
(Cuando σ es desconocida se utiliza la desviación estándar de la muestra que se debe tomar de
una prueba piloto ó dividiendo el Rango entre seis)
1. Un teatro del cine local desea desarrollar un intervalo para estimar las cajas promedio de
pipocas que se venden por sala de cine. Si los registros llevados por 70 salas revelan un promedio
de 54.98 cajas y una desviación estándar de 12.7. Calcule e interprete el intervalo de confianza
para del 92% de la media poblacional.
2. El Banco Ganadero otorgará un crédito de 105.000 dólares a la universidad que presente
estudiantes con una nota promedio superior a 83.5 puntos paras mejorar la infraestructura. Por
cuestiones ajenas a nuestra voluntad el señor que traía los datos fue atracado y solo se pudieron
tener algunas calificaciones de cada universidad que se presentan a continuación.
UPSA
UTEPSA
UDABOL
Franz
Domingo Sabio
Tamayo
Promedio
82.5
87
85
78
82
(muestral)
Desviación
12.36
15.12
16.35
20.23
26.25
Estándar (S)
Tamaño de la
105
100
125
85
67
Muestra
Estime con un 95% de confianza ¿Cuáles son las universidades que recibirán el crédito de Banco
Ganadero?
Intervalos de Confianza para hallar “u” (Con muestras pequeñas)
En este caso estudiamos la “t” de student.
1. La empresa (A) fue culpada por infiltrar los comprobantes que registra para los contratos de
construcción con el gobierno federal. El contrato estableció que un cierto grupo de trabajo
debería promediar 1.150 dólares. Por motivos de tiempo los directivos de la empresa de solo 12
agencias del gobierno fueron llamados a dar testimonio ante la corte respecto a los comprobantes
de la empresa. Si se descubrió que a partir del testimonio de una media de 1.275 dólares y una
desviación estándar de 235 dólares. ¿Un intervalo de confianza del 95% apoyaría el caso legal de
la empresa?
2. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwell de la
cabeza de las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12 piezas, de lo
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que se obtiene un valor promedio de 48,5 con una desviación estándar de 1,5. Suponiendo que
las mediciones están normalmente distribuidas, determine el intervalo de confianza del 90% para
la dureza Rockwell promedio.
3.- Una maquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas
cuyos diámetros son 1,01; 0,97; 1,03; 1,04; 0,99; 0,98; 0,99; 1,01; 1,03 centímetros. Encuentre un
intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina, si supone
una distribución normal.
4. Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio
de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. Determinar un
intervalo del 99% de confianza para el contenido promedio real de nicotina de esta marca de
cigarrillos en particular, asumiendo que la distribución de los contenidos de nicotina es
aproximadamente normales.
5.
Intervalos de Confianza para la proporción poblacional.
Pi (¶) Es la proporción Poblacional.
Cuando se va a estimar proporciones poblacionales siempre se trabaja con (Z).
1. Cierto candidato a las próximas elecciones municipales quiere elaborar un plan de gobierno
que beneficie a los integrantes de la tercera edad. Es obvio que le interesa obtener mucha
aprobación de esta parte de la población. Sus asesores de campaña le aconsejan que si más de
menos del 30% de los votantes de esta edad no simpatizan de él no vale la pena enfocarse en este
segmento de la población. Se realizó una encuesta de opinión a 300 personas que mostró que el
28.75% de los votantes entre 65 y 75 años simpatizan con el candidato. Con un 95% de confianza
que le pudiera decir usted a este equipo de campaña.
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Unidad 11
ESTIMACIÓN
Objetivos de aprendizaje:
 Que el estudiante sea capaza de reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas,
los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas. Calcule el tamaño de la muestra para
población finita e infinita y Resuelva problemas de aplicación a la economía.
PRACTICO No 12
Problemas ABP propuestos del cálculo del tamaño de la muestra:
1. Determinar el tamaño de la cantidad de estudiantes que se va a encuestar si se tiene una
desviación de 20 y un nivel de confianza de 90% y un error de 3, para conocer el nivel de
excelencia educativa de la UTEPSA si se conoce que el total de estudiantes inscritos es de
10000 estudiantes.
2. Se desea estimar la calificación promedio de aprobación de los estudiantes del módulo
anterior, de la UTEPSA, para ello se realizó una prueba piloto donde se encuesto 40 personas
de las cuales 25 aseguraron haber aprobado la materia que le había tocado el anterior
modulo.
a) Con los siguientes criterios determinar el tamaño de la muestra que se debe tomar para
realizar dicho estudio, con un nivel de confianza del 95% y un error del 7%.
b) Cuanto seria esta muestra si conocemos que la población de la UTEPSA es
aproximadamente de 9000 estudiantes.
3. Se desea estimar el ingreso promedio de las familias en santa cruz, para ello se definen los
siguientes criterios un nivel de confianza del 90% y una desviación estándar de 1200 Sus. Con
un error máximo tolerable de 200 Sus.
a) Cuál será el tamaño de la muestra que se debe tomar para realizar dicho estudio.
b) Considerando una población total de 480000 familias cuanto seria la muestra a tomar
para realizar dicho estudio.
4. Se desea estimar la proporción de estudiantes de la UTEPSA con un nivel de aprendizaje de
excelencia, para ello se define los siguientes criterios un nivel de confianza del 95% una
probabilidad de estudiantes que aprueban con excelencia de 10% y un error de 6% determinar
el tamaño de la muestra que se deberá tomar para realizar dicho estudio considerando que
la UTEPSA tiene una población de 10000 Estudiantes.
5. Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el hacer 3
perforaciones en una cierta pieza metálica. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra
si se necesita una confianza del 95% de que su media muestral estará dentro de 15 segundos
del promedio real? Asuma que, por estudios previos se sabe que = 40 segundos.
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6. Una firma constructora desea estimar la resistencia media de las barras de acero utilizadas en
la construcción de edificios de departamentos. Que tamaño muestral se requiere para
garantizar que haya un riesgo de solo 0,001 de sobrepasar un error de 5 Kg. o más en la
estimación? La desviación típica de la resistencia de este tipo de barras se estima en 25 Kg.
Aplicación de lo aprendido
En base al proyecto de descriptiva identifica un problema para resolver aplicando lo aprendido
en la unidad, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados obtenidos. Exponer y
presentar en el proyecto final de la materia.
MUESTREO
En la unidad uno se definió lo que se denomina POBLACIÓN y lo que se llama MUESTRA, ahora
vamos a determinar las razones por las cuales se realiza el muestreo:


Probar todo el producto es innecesario y destructivo.
El tiempo es un factor importante, no se dispone en abundancia de él.
ESTADISTICAS Y PARAMETROS
Matemáticamente, podemos describir muestras y poblaciones al emplear mediciones como la
media, la mediana, la moda, la desviación estándar, la varianza, que introdujimos en la unidad 1.
Cuando estos términos describen las características de una muestra se denominan ESTADISTICOS
y cuando estos términos describen una población se llaman PARAMETROS.
NOMENCLATURA
POBLACION
N, µ, 
MUESTRA
n, x, s
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DISTRIBUCIONES DE MUESTREO
Si aplicamos lo aprendido y tomamos varias muestras de una población, los estadísticos que
calcularíamos no necesariamente serían iguales y lo más probable es que variarían de una muestra
a otra.
POBLACION
N, µ, 
MUESTRA1
MUESTRA2
MUESTRAi
n1, x1, s1
n2, x2, s2
ni, xi, si
Es posible analizar los estadísticos de las muestras y así obtener lo que se denomina una
distribución de muestreo.



Si se analizan las medias de las muestras se tiene una distribución de muestreo de medias.
Si se analizan proporciones se tiene una distribución de muestreo de proporciones.
Se pueden obtener otras distribuciones de muestreo.
MUESTREO DE MEDIAS
Ver cuadro de abajo
MUESTREO DE PROPORCIONES
Ver cuadro
TIPO DE
POBLACION INFINITA
POBLACION FINITA
PROBLEMA
DESCONOCIDA
CONOCIDA
Distribución


muestral de
medias
x -
z
σ
z
n
 es conocida
x -
n
medias
x - 
s
Distribución
muestral de
proporciones
t
n
 es desconocida
z
x -
de libertas
Nn
N -1
σ
n
son
  n -1
^
^
p - P
Los grados


t
Nn
N -1
σ
Distribución
muestral de
OBS.
z
P (1 - P)
n
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p - P
P (1 - P)
n
Nn
N -1
^
p
x
n
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METODOS PARA RECOLECTAR UNA MUESTRA
Existen dos tipos de muestreo:


Muestreo no probabilístico
Muestreo probabilístico o aleatorio
Este tipo de muestreo se puede realizar de 4 formas:




Muestreo aleatorio simple
Muestreo sistemático
Muestreo estratificado
Muestreo de racimo
CÁLCULO DE UNA MUESTRA
n
z 2 / 2  2
E2
para variables cuantitativas y
población infinita
n
z 2 / 2 pq
E2
para variables cualitativas y
población infinita
Donde:
 = Tamaño de la muestra
Z= se obtiene a partir del Nivel de confianza ( en Tablas)
p= Éxito
q= Fracaso
Parámetros de cálculo Normales
1) Nivel de Confianza “Z”
Se lo busca en tablas, en función a lo que se quiere obtener.
Ej.: Nivel de confianza 95% = 0.95
Para llevar a la tabla se divide entre 2
1  0.95
 0.975 Este valor se busca en Tabla en forma inversa y => Z=1.96
2
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EJEMPLO
Un sindicato de 1000 afiliados debe renovar su directorio. Determinar el tamaño de la muestra
para estimar la proporción que apoyara al candidato A, con una confianza del 90%.
Se realiza una prueba piloto con 20 afiliados elegidos aleatoriamente y se encuentra en esta
muestra que 8 apoyaran al candidato A. suponer un error del 5%
De la prueba piloto: p 
8
20
p=0.4 y q= 0.6
E= 5 % ; 0.05
1    0.9 ;
  0.1  
0.1
 0.05
2
De tabla: 0.4495
1.64
0.4500 z=1.645
0.4505
1.65
n
n
z 2 / 2 pq
E2
1.6452 * 0.4 * 0.6  259.78
0.052
 260 (se redondea al entero superior)
VI. Aplicabilidad de la Guía
La presente Guía MAAP se desarrolló en función del (los) documento(s):
Detalle Programa(s) Analítico(s)
BMA-301 ESTADISTICA EMPRESARIAL P2E1
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