Informe de Laboratorio: Ensayos de Materiales (Acero y Madera)

UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS
MECÁNICA DE MATERIALES
INFORME DE LABORATORIO
(GRUPO 1)
Temas:



Ciclo:
ENSAYO DE TRACCIÓN DE ACERO.
ENSAYO DE COMPRESIÓN DE MADERA PINO.
ENSAYO DE FLEXIÓN DE MADERA TORNILLO.
2017 - 02
Sección: P61A
Profesor: EUSCATIGUE ASENCIOS, Mardonio Porfirio
Integrantes:









CRUZ ALEJO, Adrián Rodrigo
LLATAS ALIAGA, Edgar Raúl
NAVARRO AGAPITO, Enrique Arturo
RIVEROS MAITA, Gilmar
ROJAS RIVERA, Elin Ruzz
SANTIAGO PORRAS, Alexander David
POLINARIO CASIMIRO, Diego Armando
PRADO CUADROS, José Miguel
VILCA CANCHAPOMA, John
Fecha de entrega: 05/10/2017
MECÁNICA DE MATERIALES
U201318803
U201113352
U201515993
U201522156
U201323738
U201513997
U201323807
U20161b586
U201524669
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
ENSAYO DE TRACCIÓN DEL ACERO (NORMA: ASTM A 370
Objetivo
1. Fundamento teórico
2. Equipos usados para el ensayo
3. Procedimiento
4. Cálculos
5. Resultados del ensayo
6. Problemas propuestos del laboratorio-tracción
ENSAYO DE COMPRESIÓN PARA MADERA - Compresión paralela al grano
(NORMA: NTP 251.014)
1. Objetivo
2. Fundamento teórico
3. Equipos usados para el ensayo
4. Procedimiento
5. Resultados del ensayo
6. Problemas propuestos del laboratorio-compresión
MECÁNICA DE MATERIALES
ENSAYO DE FLEXIÓN PARA MADERA (NORMA: NTP 251.017)
1. Objetivo
2. Fundamento teórico
3. Equipos usados para el ensayo
4. Procedimiento
5. Cálculos
6. Resultados del ensayo
7. Problemas propuestos del ensayo de flexión
BIBLIOGRAFÍA
MECÁNICA DE MATERIALES
INTRODUCCIÓN
El conocimiento de las características mecánicas de los materiales es de suma importancia
para el ingeniero civil, ya que con una mezcla de conocimiento y experiencia resolverá
problemas en la vida diaria, problemas que a menudo están ligados al comportamiento
mecánico de los materiales.
La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga excesiva
sin presentar deformación o falla. Esta propiedad es inherente al propio material y debe
determinarse mediante la experimentación. Una de las pruebas más importantes a este
respecto, es el ensayo de tensión o compresión. Aunque a partir de esta prueba se pueden
establecer varias propiedades mecánicas fundamentales de un material, se utiliza
esencialmente para determinar la relación entre esfuerzo normal promedio y la
deformación normal promedio de muchos materiales de ingeniería como metales,
cerámicas, polímeros y materiales compuestos.
En el siguiente informe, se explicará conceptos básicos de mecánica de materiales, se
mostrará cómo puede relacionarse el esfuerzo con la deformación mediante el uso de
métodos experimentales para, de tal manera, determinar el diagrama de esfuerzo –
deformación de materiales específicos. Esto se realizará para los materiales que se utilizan
con mayor frecuencia en ingeniería tales como el acero y la madera.
ENSAYO DE TRACCIÓN DEL ACERO NORMA ASTM A 370
1. Objetivo
•
•
•
•
•
Reconocer, determinar y analizar el comportamiento del acero al ser sometido a carga
axial de tracción, junto con sus propiedades y resultados.
Reconocer, analizar y comparar las diferentes etapas o zonas de comportamiento del
material.
Identificar y determinar las propiedades mecánicas del acero sometido a carga axial de
tracción, estudiadas en clase.
Construir e interpretar la gráfica Esfuerzo Vs Deformación del acero, para el ensayo de
tracción.
Reconocer y diferenciar la ductilidad y la fragilidad, así como la tenacidad y la resilencia.
OBSERVACIÓN: El ensayo se realizará con dos velocidades de aplicación de cargas diferentes.
MECÁNICA DE MATERIALES
1
2. Fundamento teórico
a.-
Propiedades Mecánicas de los Materiales
Las propiedades mecánicas pueden definirse como aquellas que tienen que ver con el
comportamiento de un material bajo fuerzas aplicadas. Las propiedades mecánicas se
expresan en términos de cantidades que son funciones del esfuerzo o de la deformación o
ambas simultáneamente.
Un material homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y mecánicas en todo su
volumen, y un material isotrópico tiene estas mismas propiedades en todas las direcciones;
por ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados aleatoriamente en cada
milímetro cubico de su volumen y los materiales anisótropicos como la madera tienen
propiedades distintas en diferentes direcciones.
Las propiedades mecánicas fundamentales son la resistencia, la rigidez, la elasticidad, la
plasticidad y la capacidad energética. La resistencia de un material se mide por el esfuerzo
según el cual desarrolla alguna condición limitativa específica. Las principales
condiciones limitativas o criterios de falla son la terminación de la acción elástica y la
ruptura. La dureza, usualmente indicada por la resistencia a la penetración o la abrasión
en la superficie de un material, puede considerarse como un tipo o una medida particular
de la resistencia. La rigidez tiene que ver con la magnitud de la deformación que ocurre
bajo la carga; dentro del rango del comportamiento elástico, la rigidez se mide por el
módulo de elasticidad.
La elasticidad se refiere a la capacidad de un material de deformarse no permanentemente
al retirar el esfuerzo. El término plasticidad se usa para indicar la capacidad de
deformación en el rango elástico o plástico sin que ocurra ruptura; un ejemplo de medición
de la plasticidad es la ductilidad de algunos metales, llamados dúctiles. La capacidad de
un material para absorber energía elástica depende de la resistencia y la rigidez; por
ejemplo, la capacidad energética en el rango de acción elástica se denomina resiliencia; la
energía requerida para romper un material se denomina tenacidad.
En otras palabras, es la capacidad de resistir de un material al ser sometido a fuerzas
externas, cuyos componentes sufren esfuerzos y se deforman, en donde la relación entre
estos dos dependerá del tipo de material utilizado.
b.-
Tipos de comportamiento
Debido a que la capacidad de deformación de un material y su capacidad de recuperación de
su forma original son características propias que dependen del tipo de material utilizado. A
continuación se explicara los dos tipos de comportamientos que existen.
MECÁNICA DE MATERIALES
2
 Comportamiento elástico e inelástico
El término plástico se utiliza para describir ciertas expresiones, como carga plástica. El
término plasticidad se utiliza para describir el comportamiento inelástico de un material
que presenta deformaciones permanentes cuando éste se descarga. El comportamiento
inelástico del material puede ocurrir bajo un estado de esfuerzos multiaxial de un sólido
sujeto a acciones de carga, aun cuando ninguno de los esfuerzos excede el esfuerzo
uniaxial del material.
La implicación es que, bajo un estado multiaxial de esfuerzos, el inicio de la fluencia o
daño está gobernada por otra cantidad, diferente a las componentes de esfuerzo
individuales. Por lo que es necesario combinar las componentes de esfuerzo en esfuerzos
efectivos uniaxiales.
Este esfuerzo efectivo se compara con alguna propiedad del material, generalmente el
esfuerzo uniaxial de fluencia, mediante un criterio de fluencia para predecir el inicio del
comportamiento no lineal del material.
•
Si una muestra de acero se somete a un proceso de carga, en que el esfuerzo que se genera
está por debajo del esfuerzo del límite elástico, al retirar la carga el elemento recupera sus
dimensiones iniciales. Esto se puede interpretar como el trabajo efectuado por la carga,
que se almacena como energía potencial interna en la probeta, y esta energía sirve para
que, durante el proceso de descarga, la probeta recupere sus dimensiones iniciales.
•
En cambio, si una probeta se carga más allá del límite elástico y luego se descarga, la
probeta ya no recupera sus dimensiones iniciales, y queda con una deformación
permanente. Este tipo de comportamiento se denomina comportamiento inelástico y se
debe a que solo una parte del trabajo que realiza la carga se logra almacenar como energía
interna, y el resto se pierde al producir un cambio permanente en la estructura interna del
material.
MECÁNICA DE MATERIALES
3
 Comportamiento dúctil y frágil
La ductilidad como la maleabilidad permite a los materiales deformarse, esta es la
capacidad que presentan algunos materiales de deformarse sin romperse obteniendo
alambres o hilos de dicho material, bajo la acción de una fuerza, esto favorece el uso de
los mismos para tejidos, cableados o diversos usos eléctricos en la industria.
•
Algunos materiales pueden desarrollar grandes deformaciones más allá de su límite
elástico. Este tipo de comportamiento se denomina ductilidad, y se refleja en la presencia
de un escalón de fluencia en el diagrama de Esfuerzo Vs Deformación, que viene
acompañado del fenómeno de estricción. El acero dulce, el cobre y el aluminio son
ejemplos de materiales que tienen este tipo de comportamiento.
Figura N°3 – Diagrama Esfuerzo Vs Deformación
– Comportamiento Dúctil
Fuente REMM Curso Multimedia de Resistencia de Materiales - PUCP
•
Otros materiales como el vidrio, la piedra o el concreto, tienen una capacidad reducida de
deformación más allá del rango elástico. Este tipo de comportamiento se denomina
fragilidad, y se caracteriza porque se alcanza la rotura de manera repentina, sin presentar
deformaciones importantes.
MECÁNICA DE MATERIALES
4
Figura N°4 – Diagrama Esfuerzo Vs Deformación – Comportamiento Frágil
Fuente – REMM Curso Multimedia de Resistencia de Materiales - PUCP
•
Diagrama de Esfuerzo vs Deformación
Diagrama de Esfuerzo vs Deformación
Figura N°5 – Diagrama Esfuerzo Vs Deformación del Acero
Fuente – REMM Curso Multimedia de Resistencia de Materiales - PUCP
Interpretación:
 En una primera etapa de carga, la deformación crece linealmente con el aumento del
esfuerzo (aumento de carga). La pendiente de este tramo inicial recto se conoce como
Módulo de Elasticidad. El punto A hasta donde se mantiene esta relación lineal, se
conoce como límite de proporcionalidad, debido a que las deformaciones son
proporcionales a los esfuerzos; en esta etapa se cumple la Ley de Hooke.
 Si se incrementa ligeramente la carga más allá del punto A, la relación lineal se pierde.
Sin embargo, si no se ha pasado al punto B, y se retira la carga, la probeta recupera
completamente sus dimensiones iniciales. Ésta característica de recuperación
completa de la forma se denominan comportamiento elástico, y el intervalo en que
se produce (segmento OB en la curva) se denomina zona elástica del material.
MECÁNICA DE MATERIALES
5
 Si a partir del punto B, se sigue aplicando carga, la probeta sigue deformándose e
ingresa a una zona denominada, Zona de Fluencia, zona en que la deformación crece
apreciablemente sin que se produzca un incremento del esfuerzo. Los puntos C y D,
corresponden al inicio y al final del denominado Escalón de Fluencia. El esfuerzo para
cual se inicia este fenómeno, se conoce como esfuerzo de fluencia (𝝈𝒇 ).
 Si se sigue incrementando la carga, se incrementan las deformaciones, y el material
entra a una zona denominada de endurecimiento. En esta zona el incremento de
deformaciones también viene acompañado de un incremento de esfuerzos, hasta llegar
a su valor máximo, denominado esfuerzo último (𝝈𝒖 ).
 A partir de este punto, se incrementan las deformaciones de la muestra, el esfuerzo
disminuye, y se produce una disminución apreciable del diámetro en una zona de la
muestra (probeta), adquiriendo la apariencia de un cuello de botella. Este fenómeno
se conoce como estricción, y da inicio a la rotura de la probeta. La deformación
máxima (ϵu) que alcanza corresponde al instante de la rotura.
Figura N°6 – Zona de estricción
Fuente – REMM Curso Multimedia de Resistencia de Materiales - PUCP
Figura N° 7 – Probeta Bajo Fenómeno de Estricción
MECÁNICA DE MATERIALES
6
 Tenacidad y Resilencia
La cantidad de energía involucrada en el proceso de deformación de un elemento es una
característica propia del material, que suele expresarse por unidad de volumen y
corresponde al área bajo la curva Esfuerzo Vs Deformación.

Resilencia
La Resilencia es la magnitud que cuantifica la cantidad de energía que un material puede
absorber antes de romperse por el efecto de un impacto, esta se mide por unidad de
superficie de rotura. Se diferencia de la tenacidad en que esta última cuantifica la cantidad
de energía absorbida por unidad de superficie de rotura bajo la acción de un esfuerzo
progresivo, y no por impacto.
En otras palabras, podemos decir que la resilencia se define como la máxima cantida de
energía por unidad de volumen que pueda almacenar un material en el rango elástico y por
tanto corresponde al área mostrada en la figura.
Figura N° 8 – Diagrama
Deformación- Resilencia
Esfuerzo
Fuente – REMM Curso Multimedia de
Resistencia de Materiales - PUCP

Tenacidad
La tenacidad es la energía total que absorbe un material antes de alcanzar la ruptura, por
la presencia de una carga. Oposición a la rotura por esfuerzos de impacto que deforman el
metal. La tenacidad requiere la existencia de resistencia y plasticidad. Comúnmente se
tiende a confundir la Tenacidad con la Resilencia, aunque son conceptos bastante
relacionados ya que relacionan la energía absorbida por el material durante la aplicación
de la fuerza.
Es decir, la máxima cantidad de energía por unidad de volumen que se necesita emplear
para llevar a un material hasta la rotura, es lo que se denomina tenacidad y corresponde a
toda el área bajo la curva Esfuerzo Vs Deformación.
MECÁNICA DE MATERIALES
7
Vs
Figura N° 9 – Diagrama Esfuerzo Vs
Deformación – Tenacidad
Fuente – REMM Curso Multimedia de Resistencia de Materiales - PUCP
3. Equipos usados para el ensayo
 Equipos de aplicación de carga, provisto de una celda de carga de 100KN de capacidad
máxima.
 Extensómetro automático, el cual permite medir deformaciones en forma automática durante
el proceso de ensayo.
 Calibrador vernier con precisión a 0.01mm para tomar las dimensiones iniciales y finales de
la muestra a ensayar.
 Computador provisto de software donde se registran los datos del ensayo (el mismo que
controla el ensayo).
 Máquina de Ensayo: Máquina Universal INSTROM 3382.
MECÁNICA DE MATERIALES
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 IMÁGENES
Figura N° 10 – Máquina Universal INSTROM 3382
usada para el ensayo
Figura N° 11 - Computadora con el software
MECÁNICA DE MATERIALES
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Figura N° 12 - Muestra del acero sujeto por las
mordazas antes del ensayo
Figura N° 13 - Muestra del acero en el proceso de
rotura y después de finalizar el ensayo
MECÁNICA DE MATERIALES
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4. Procedimiento
 Antes de iniciar el ensayo se deben de tener preparadas las muestras de acero (barras de 22cm
de longitud).
 Las muestras de acero se deben colocar en el centro de las mordazas; estas deben ser
resistentes y de superficie rugosa para evitar la fricción o escape de la muestra.
 Las muestras deberán ser ajustada por el sistema de mordazas con la fuerza necesaria para
mantener su fijación.
 Una vez instalada la muestra en el centro de las mordazas, se determina el diámetro (“Di”)
promedio de 2 lecturas consecutivas con un vernier, y la longitud entre mordazas (longitud
de la muestra al inicio del ensayo Lo).
 Se coloca en el centro de la muestra un sensor, el cual permite llevar los datos registrados al
computador, y mediante el software construir la curva de Esfuerzo Vs Deformación.
 En el computador se colocan las cargas a la cual va a someterse la muestra, teniendo en
cuenta, que al inicio del ensayo la deformación debe ser igual a cero.
Se inicia el ensayo teniendo en cuenta la siguiente recomendación:
a. Intervalo Elástico: usar una velocidad igual o inferior al 5% de la longitud entre
marcas por minuto (0.05Lo/min) o un aumento de la tracción de
(10N/mm2)/min
b. Intervalo Plástico: usar una velocidad igual o inferior al 40% de la longitud entre
marcas por minuto (0.40Lo/min).
 Cuando el Gráfico de Esfuerzo Vs Deformación se encuentre pasando el límite de
fluencia el software da un aviso para poder retirar el extensómetro para evitar que este
se dañe. El ensayo se detiene automáticamente cuando la muestra ha fallado dividiéndose en
dos partes al producirse la rotura.
Observaciones:
i.
Los problemas que se puedan presentar durante la realización del ensayo, pueden ser
debido a un mal ajuste de la muestra en uno de los extremos de las mordazas, lo cual a
su vez genera que la muestra falle en los extremos, considerándose como un ensayo no
válido.
ii.
Además, si se colocase de forma inadecuada el sensor de deformaciones se podría
ocasionar una mala lectura y registro de los datos del ensayo, reportándonos el software
valores erróneos.
MECÁNICA DE MATERIALES
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5. Cálculos
• Para determinar la Estricción en porcentaje, se debe de tener como información, el área inicial
(área al inicio del ensayo) y el área final de la muestra (área después de la rotura de la
probeta), y aplicar la siguiente expresión:
•
Las áreas, tanto inicial y final, se calculan mediante el uso de la siguiente expresión:
D: es el diámetro de la muestra, antes
y después de realizar el ensayo
•
Para determinar la elongación, se debe tener en cuenta la longitud inicial y la longitud final
de la muestra, aplicando la siguiente expresión.
Tomar en cuenta:
Según la Norma ASTM 615 y NTP 341.031 para acero grado 60, este debe tener como
mínimo un esfuerzo de fluencia o fy de 420MPa o 4283kg/cm2, con una resistencia
máxima a la tracción de por lo menos 620Mpa o 6322kg/cm2, y una elongación mínima
del 9%.
MECÁNICA DE MATERIALES
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6.- Resultados del ensayo
Ensayo de tracción: 9mm/min
fy =
6970 Kgf/cm2
Esfuerzo máx=
9275 Kgf/cm2
E= 650354 Kgf/cm2
Esfuerzo de rotura=
7301 Kgf/cm2
MECÁNICA DE MATERIALES
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Comportamiento elástico:
Aquí, la curva es en realidad casi una recta en la mayor parte de la región, de modo que el
esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. Así, el límite superior del esfuerzo para
esta relación lineal se denomina límite de proporcionalidad. En consecuencia, un
incremento en el esfuerzo ocasiona un aumento proporcional en la deformación, por lo
que como resultado se cumple la Ley de Hooke:
𝜎 = 𝐸𝜀
Esto nos permite calcular el módulo de elasticidad el cual se puede determinar por la
relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria. Ello representa en la gráfica la
tangente de un ángulo o la pendiente de la ecuación de la recta, que en este caso es 650354
Kgf/cm2.
Comportamiento inelástico:
MECÁNICA DE MATERIALES
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En este gráfico se muestra un ligero aumento en el esfuerzo por encima del límite elástico,
lo cual generará la deformación permanente del material. El esfuerzo que causa la cedencia
se llama esfuerzo de fluencia o punto de fluencia y la deformación que se produce se
denomina deformación plástica. Esto se refiere a que la probeta de acero seguirá
alargándose sin ningún incremento en la carga, después de que haya alcanzado el punto
de cedencia. En consecuencia, cuando el material se encuentra en este estado se dice que
es perfectamente plástico.
-
Región de estricción:
Este gráfico refleja que mientras la probeta de acero se alarga hasta llegar al esfuerzo
último, el área de su sección transversal se reduce. Esta reducción es bastante uniforme en
toda la longitud calibrada de la probeta; sin embargo, justo después del esfuerzo último,
el área de la sección transversal comenzará a disminuir en una región localizada de la
probeta. Aquí, el diagrama de esfuerzo-deformación tiende a curvarse hacia abajo hasta
que la probeta se rompe en el esfuerzo de fractura o rotura, que en este caso es de 7301
Kgf/cm2.
MECÁNICA DE MATERIALES
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Resumen:
Tipo de
ensayo
9mm/min
Esfuerzo
Esfuerzo Esfuerzo
máximo
Carga Longitud Diámetro
de
de
de
máxima
inicial
inicial
rotura
fluencia
tracción
Longitud
final
kgf/cm2
kgf/cm2
kgf/cm2
kgf
mm
mm
mm
9275
7301
6970
2719.35
98
6.11
102.08
Tipo de
ensayo
Diámetro
final
mm
Área
inicial
mm2
Área
final
mm2
Módulo de
elasticidad
kgf/cm2
9mm/min
4.63
29.32
16.84
630354
7.- Problemas propuestos del laboratorio-tracción
A) Con los siguientes datos del ensayo de tracción del acero, determine el Módulo de
Elasticidad (MOE), Esfuerzo de Fluencia (fy), % de Estricción, % de Elongación y el
gráfico de Esfuerzo Vs Deformación.
Diam. Inicial (mm)
Diam. Final (mm)
Long. Inicial (mm)
Long. Final (mm)
9.54
6.12
21.30
24.30
fy (kg/cm2)
MOE
% Estricción
% Elongación
Diámetro inicial (cm)
Diámetro final (cm)
Área inicial (cm)
Área final (cm)
MECÁNICA DE MATERIALES
4560.69
136079
58.8465646
14.084507
0.612
0.954
0.714803435
0.29416617
16
Fuerza
Deformación (mm)
Deformación
Unitaria
(mm/mm)
0
0
0
0
100
0.05
0.002347418
139.8986
340
0.1
0.004694836
475.655241
580
0.15
0.007042254
811.411882
820
0.2
0.009389671
1147.16852
1060
0.25
0.011737089
1482.92516
1300
0.3
0.014084507
1818.6818
1540
0.35
0.016431925
2154.43844
1780
0.4
0.018779343
2490.19508
2020
0.45
0.021126761
2825.95173
2260
0.5
0.023474178
3161.70837
2500
0.55
0.025821596
3497.46501
2740
0.6
0.028169014
3833.22165
2980
0.65
0.030516432
4168.97829
3200
0.7
0.03286385
4476.75521
MECÁNICA DE MATERIALES
Esfuerzo
kg/cm2
17
3260
0.75
0.035211268
4560.69437
3290
0.8
0.037558685
4602.66395
3610
0.99
0.046478873
5050.33947
3960
1.12
0.05258216
5539.98457
4420
1.41
0.066197183
6183.51813
4660
1.59
0.074647887
6519.27477
4800
1.8
0.084507042
6715.13281
4900
2
0.093896714
6855.03141
4960
2.2
0.103286385
6938.97057
4930
2.7
0.126760563
6897.00099
4700
2.9
0.136150235
6575.23421
3000
3
0.14084507
4196.95801
MECÁNICA DE MATERIALES
18
MECÁNICA DE MATERIALES
19
B) Si se cuenta con un equipo para ensayos de tracción cuya capacidad máxima es de
180KN y se requiere ensayar el mismo acero del ensayo, considerando llegar hasta su
máximo esfuerzo (aplicando el 90% de la capacidad del equipo) ¿Cuál sería el diámetro
máximo en mm que se podría ensayar? (2 puntos)
7411cm
C) En función a los resultados obtenidos del ensayo de tracción del acero, indique cual
sería el esfuerzo del acero que consideraría para un diseño estructural, justifique
su respuesta.
Para diseñar correctamente un elemento estructural es necesario limitar el esfuerzo en el
material hasta un nivel que sea seguro. Para ello es necesario elegir un esfuerzo
permisible que restrinja la carga aplicada a un valor que sea menor a la máxima carga
que el elemento pueda soportar. Hay muchas razones para hacer esto, por ejemplo, la
carga para la que se diseña el elemento puede ser diferente a las cargas reales que se
colocan sobre él, también las medidas propuestas de una estructura pueden no ser exactas
debido a errores en la fabricación o montaje de las piezas. Es decir la estructura sometida
MECÁNICA DE MATERIALES
20
a esfuerzo debe de estar dentro del rango elástico para poder regresar a sus condiciones
iniciales. Por lo tanto para hallar el esfuerzo permisible, se usará la fórmula:
El esfuerzo de falla será el esfuerzo de fluencia del ensayo (4560,69kg/cm2), debido a que
este valor está entre el límite elástico y plástico
Y si consideramos un Factor de Seguridad, que depende del tipo de edificación, por ejemplo
de F.S = 2, el esfuerzo actuante o de trabajo será:
D) Teniendo en cuenta los resultados del ensayo anterior y un incremento del 20%
del Valor del Módulo de Elasticidad, responder, ¿Si las deformaciones en la zona
elástica disminuyeron o aumentaron para las mismas cargas aplicadas? justifique
su respuesta.
: Esfuerzo dentro del rango elástico
Incremento del 20% de E
MECÁNICA DE MATERIALES
21
Como se puede observar las deformaciones en la zona plástica disminuyeron, debido a que
el módulo de elasticidad lineal es inversamente proporcional a la deformación unitaria; es
decir, a mayor E menor
E) Teniendo en cuenta los resultados del ensayo anterior, indique en una gráfica
esfuerzo vs deformación, la tenacidad del material, así como la resilencia. Explique
su diferencia con respecto a la ductilidad y su importancia.
La tenacidad en la gráfica Esfuerzo vs Deformación va desde punto de origen hasta el
último punto de la gráfica en la línea amarilla, que corresponde al punto de rotura, esto
representa el área bajo la curva del gráfico, representando a la máxima cantidad de energía
por unidad de volumen que se necesita emplear para llevar a un material hasta la rotura.
La resilencia por su parte corresponde a la máxima cantidad de energía por unidad de
volumen que pueda almacenar un material dentro del rango elástico y por tanto
corresponde al área mostrada desde el punto de origen hasta el límite del rango elástico,
que en la gráfica se encuentra hasta la línea roja.
La ductilidad es la relación que existe entre
𝜀𝑟𝑜𝑡𝑢𝑟𝑎
𝜀𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
La ductilidad en un material, nos indica que éste adquiere deformaciones antes de la falla,
es decir, la fuerza aplicada sobre un material puede deformarlo sin romperlo, presentando
una deformación importante y prolongada hasta antes de la rotura. En cambio, la tenacidad
es la resistencia a deformarse o romperse y la diferencia con la resilencia es que ésta es la
MECÁNICA DE MATERIALES
22
energía de deformación por unidad de volumen que puede ser recuperada de un cuerpo
deformado es decir solo está en la zona elástica y la ductilidad está en la zona elástica y
plástica hasta la rotura.
F) Haga un análisis comparativo entre los resultados obtenidos con cada una de las
velocidades de aplicación de carga empleada en los ensayos. (1punto)
Solo hicimos un ensayo de tracción con el acero a una velocidad de 9mm/min
ENSAYO DE COMPRESIÓN PARA MADERA (Compresión
Paralela al grano) (NORMA ASTM-NTP 251.014)
1. Objetivo
 Determinar la resistencia a la compresión máxima y rotura.
 Determinar la resistencia a la compresión al límite de proporcionalidad.
 Determinar la deformación al límite de proporcionalidad.
 Determinar el módulo de elasticidad.
2. Fundamento teórico
Resistencia a la compresión paralela a las fibras
“La madera posee una mayor resistencia a la compresión si la fuerza aplicada es paralela
a las fibras. Si la carga es aplicada en forma perpendicular a las fibras, la capacidad
disminuye, en promedio este valor es de aproximadamente un 30 % de la resistencia
obtenida cuando las fibras son paralelas a la carga. Por estas razones, los elementos
estructurales sometidos a compresión deben ser fabricados atendiendo a la orientación
correcta de las fibras.” (Martitegue A.: 2003)
La madera presenta gran resistencia a los esfuerzos de compresión paralelos a sus fibras.
Esto proviene del hecho que las fibras están orientadas con su eje longitudinal en esa
dirección, y que a su vez coincide, o está muy cerca de la orientación de las micro fibrillas
que constituyen la capa media de la pared celular. Esta es la capa de mayor espesor de
las fibras.
MECÁNICA DE MATERIALES
23
Figura N°14 – Direcciones Ortogonales de la Madera
Fuente – Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino – Junta de Acuerdo de Cartagena
La capacidad está limitada por el pandeo de las fibras más que por su propia resistencia
de aplastamiento. Cuando se trata de elementos a escala natural como columnas,
solamente aquellas de una relación de esbeltez (longitud/ancho) menor que 10 desarrollan
toda sus resistencia al esforzar la sección a su máxima capacidad. Para elementos más
esbeltos, que son los más comunes, la resistencia está determinada por su capacidad a
resistir el pandeo lateral, que depende mayormente de la geometría de la pieza más que de
la capacidad resistente de la madera que la constituye.
La resistencia a la compresión paralela a las fibras en la madera es aproximadamente la mitad
de su resistencia a la tracción.
Valores del esfuerzo de rotura en compresión paralela a las fibras para ensayos con
probetas de laboratorio varían entre 100 y 900 kg/cm2 para maderas tropicales, Esta
variación es función de la densidad (entre 0.2 y 0.8 de D.B.). El esfuerzo en el límite
proporcional es aproximadamente el 75% del esfuerzo máximo y la deformación es del
orden del 60% de la máxima.
MECÁNICA DE MATERIALES
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Figura N°15 – Diagrama de Esfuerzo Vs Deformación para Maderas Latifoliadas
Fuente – Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino – Junta de Acuerdo de Cartagena
3. Equipos usados para el ensayo
•
•
•
•
Máquina universal marca INSTRON 3382 de procedencia
americana, la cual sirve para la aplicación de cargas, provista de una celda de carga de
100KN de capacidad máxima y un extensómetro automático la misma que permite medir
deformaciones en forma automática durante el proceso de ensayo.
Calibrador Vernier digital con una precisión de 0.01 mm, el cual sirve para tomar el
ancho, largo y espesor, inicial y final de la muestra a ensayar.
Platinas de acero cilíndricas, las mismas que transmiten las cargas que provienen de la
máquina universal hacia la muestra a ensayar.
Computador provisto de software que controlará y registrará los datos del ensayo.
MECÁNICA DE MATERIALES
25
IMÁGENES
Figura N°16 – Muestra de madera en el proceso de ensayo en la medición de sus dimensiones
4. Procedimiento
i.
ii.
Antes de empezar con el ensayo se deben tomar las dimensiones de la muestra de
madera de pino, obteniendo un ancho de 52.0 mm, espesor de 51.00 mm y longitud de
140.0 mm, con el propósito de hallar el área transversal a la carga y el esfuerzo de
compresión de la madera. Cabe resaltar que según la norma ASTM D-143, las medidas
estándar en la muestra deben ser ancho y espesor de 50.00 mm, y de longitud de 150.0
mm. La muestra deberá ser aprobada antes de ser usada, por ello el tallado debe generar
caras totalmente paralelas entre sí, y perpendiculares a la altura.
Hay que tener en cuenta que en el resultado del ensayo también influye mucho la
humedad que posee la madera, las fallas naturales como los nodos, ya que al tener estas
características puede disminuir el valor de la resistencia debido a los vacíos dentro de
la muestra. Asimismo, el sentido de la fibra debe ser en dirección perpendicular a las
caras que son sometidas a compresión, o la dirección del grano debe ser paralela a la
aplicación de carga procedente de la máquina.
MECÁNICA DE MATERIALES
26
iii.
Al registrar los datos en el software, se debe revisar que el promedio de las medidas
son los valores iniciales registrados en el equipo de ensayo.
iv. Se procede a colocar la muestra entre las platinas de acero del equipo, el cual se calibra
automáticamente mediante el uso del software.
v.
Luego, se coloca la celda de carga, y se realiza un avance rápido de la cruceta del
equipo, en el instante que las platinas tengan contacto con la cara superior de la muestra
de madera, los valores iniciales de carga y de deformación registrados en el software
deben ser cero.
vi. La máquina comienza con una velocidad de carga de 0.6mm/min, mientras se va
incrementando la carga, el esfuerzo también aumenta hasta llegar al esfuerzo máximo
a compresión en el que obtuvimos un valor de 249.74 kg/cm2. En ese instante la
aplicación de la carga se detiene, ya que cuando se visualiza en el gráfico de “Esfuerzo
vs Deformación” el esfuerzo empieza a descender, de este modo se termina el ensayo
de la muestra de madera.
vii. Una vez finalizado el ensayo, el software brindará los resultados finales, los cuales son
calculados con los datos ingresados antes de la prueba realizada.
viii. Al observar la muestra se pueden notar cómo falló la madera debido a la carga resistida.
5. Resultados del ensayo
Tipo de
Ensayo
Ancho
Espesor
Altura
Área
Compresión de Madera Pino
52.0
51.0
140.0
26.52
mm
mm
mm
cm2
Esfuerzo Máximo=
249.74 kg/cm^2
Esfuerzo de rotura=
245.92 kg/cm^2
Módulo de Elasticidad=
19585 kg/cm^2
Límite de
proporcionalidad=
Punto de fluencia =
Carga máxima=
MECÁNICA DE MATERIALES
156.59 kg/cm^2
207.35 kg/cm^2
6623.15 kg/cm^2
27
MECÁNICA DE MATERIALES
28
6. Problemas propuestos del laboratorio-compresión
A) ¿Por qué el esfuerzo de rotura es menor que el esfuerzo máximo? Justifique su respuesta.
El esfuerzo máximo es la máxima cantidad de esfuerzo que el material es capaz de
soportar. De acuerdo al grafico de esfuerzo vs deformación del ensayo realizado, el
esfuerzo máximo dio como resultado 249.74 kg/cm2. Después de este valor el esfuerzo
empieza la zona plástica es por ello que previa a la rotura la fuerza disminuye con la
deformación en vez de aumentar hasta llegar a falla con la fractura de la madera que
experimentalmente se puede notar pequeñas rajaduras o grietas; y en la gráfica de esfuerzo
vs deformación el esfuerzo de rotura resultó un valor aproximado de 245.92 kg/cm2.
B) ¿El módulo de elasticidad de un material, es el mismo para una prueba de tracción que
de compresión? Justifique su respuesta.
Se denomina módulo de elasticidad a la razón entre el incremento de esfuerzo y el cambio
correspondiente a la deformación unitaria. Si el esfuerzo es de tracción o compresión, el
módulo se denomina módulo de Young. Su valor no es el mismo para pruebas de tracción
y compresión (paralelas o perpendiculares a las fibras de la madera) mientras sea del
mismo tipo de material. La resistencia a compresión paralela a las fibras de la madera es
aproximadamente la mitad a la resistencia a tracción. De modo que, la madera presenta
gran resistencia a los esfuerzos de compresión paralela a las fibras. Debido a que la
capacidad está limitada por el pandeo de las fibras más que por su propia resistencia al
aplastamiento. Además, la compresión perpendicular a las fibras, su resistencia se
MECÁNICA DE MATERIALES
29
aproxima a un menor valor que la resistencia a compresión por fibras paralelas, ya que la
carga somete a comprimir las pequeñas cavidades dentro de la madera. En cambio, en la
tracción de la madera, en el gráfico “esfuerzo vs deformación” se observa la naturaleza
explosiva y violenta que se produce la falla, afectando significativamente la inclinación
del grano. De este modo, la resistencia a la tracción es 2 veces más que la resistencia
paralela a la fibra de compresión.
C) ¿El esfuerzo en el límite proporcional es aproximadamente el 75% del esfuerzo máximo
y la deformación en el límite proporcional es del orden del 60% de la deformación
máxima? Justifique su respuesta.
El límite proporcional se define cómo el mayor esfuerzo que un material es capaz de
desarrollar sin desviarse de la proporcionalidad rectilínea entre el esfuerzo y la
deformación; lo cual se ha observado que la mayoría de los materiales exhiben esta
relación lineal entre el esfuerzo y la deformación dentro del rango elástico. El concepto de
proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación es conocido como Ley de Hooke, las
deformaciones producidas en un elemento resistente son proporcionales a las fuerzas que
lo producen.
Teóricamente el esfuerzo en el límite proporcional es aproximadamente 75% del esfuerzo
máximo. Sin embargo, experimentalmente la relación entre el esfuerzo en el límite
proporcional y el esfuerzo máximo a compresión resultó aproximadamente
156.59
𝑥100% = 62.70%
249.74
De igual manera la deformación en el límite proporcional
𝛿=
𝜎𝐿 156.59𝑥14
=
= 0.1119
𝐸
19585
𝛿=
𝜎𝐿 249.74𝑥14
=
= 0.1785
𝐸
19585
Y la deformación máxima
Teóricamente nos debería dar aproximadamente 60%
0.1119
𝑥100% = 63%
0.1785
MECÁNICA DE MATERIALES
30
D) Según el módulo de elasticidad obtenido, a qué grupo de madera corresponde la muestra
ensayada. Ver E0.10 Madera del RNE.
De acuerdo a la norma E0.10 Madera del RNE, la madera pino para uso estructural
pertenece al grupo A, el agrupamiento está basado en los valores de la densidad básica y
la resistencia mecánica. El módulo de elasticidad de la madera ensayada dio como
resultado 19585 kg/cm2 .Por lo tanto, la madera ensayada se encuentra fuera del rango
permisible y no es de uso estructural de acuerdo a la norma E0.10, ya que, para ello se
requiere que el módulo de elasticidad sea como mínimo 95 000 kg/cm2.
ENSAYO DE FLEXIÓN PARA MADERA (NORMA: NTP 251.017)
1. Objetivo
•
•
•
Determinar el esfuerzo a la flexión estática o módulo de rotura.
Determinar el esfuerzo hasta el límite de proporcionalidad de la madera.
Determinar deformación hasta el límite de proporcionalidad de la madera.
2. Fundamento teórico
Resistencia a la Flexión Paralela al Grano
La diferencia entre la resistencia a la tracción y a la compresión paralela resulta en un
comportamiento característico de las vigas de madera en flexión. Como la resistencia a
la compresión es menor que a tracción, la madera falla primero en la zona de compresión.
MECÁNICA DE MATERIALES
31
Con ello se incrementan las deformaciones en la zona comprimida; el eje neutro se
desplaza hacia la zona de tracción, lo que hace a su vez aumentar rápidamente las
deformaciones totales, y finalmente la pieza se rompe por tracción. En vigas secas, sin
embargo, no se presenta primeramente una falla visible de la zona comprimida sino que
ocurre directamente la falla por tracción.
Esta información experimental evidencia que la hipótesis de Navier sobre la permanencia
de la sección plana durante la deformación no se cumple, y la aplicación de las fórmulas
de la teoría de las vigas para el cálculo de los esfuerzos no es estrictamente aplicable.
Por lo tanto la resistencia a la flexión así estimada resulta en esfuerzos mayores que los
de compresión y menores que los de tracción.
En la siguiente figura se presenta una curva típica de carga-deformación para maderas
tropicales, en ellas se puede apreciar que la carga límite proporcional es
aproximadamente el 60% de la carga máxima.
Figura N°17 – Curva Típica Carga Vs Deformación para Flexión
Fuente – Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino – Junta de Acuerdo de Cartagena
En ensayos de probetas pequeñas libres de defectos los valores promedios de la
resistencia a la flexión varían entre 200 y 1700 kg/cm2 dependiendo de la densidad de la
especie y del contenido de humedad.
MECÁNICA DE MATERIALES
32
DIMENSIONADO A FLEXIÓN DE SECCIONES DE MADERA
•
En el dimensionamiento de una estructura se busca que las tensiones de trabajo no
superen, en ningún elemento de la misma y durante toda la vida útil las tensiones de
rotura misma y durante toda la vida útil las tensiones de rotura. De manera que:
𝜎𝑚á𝑥 ≤ 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚
•
Conocidas las solicitaciones en las secciones de una pieza estructural, procedemos a
dimensionar la sección transversal.
•
Dimensionar cualquier pieza estructural significa encontrar las dimensiones de la sección
estudiada, para evitar que se produzcan deformaciones permanentes. Se determinan las
dimensiones de la sección para que resista el momento flector máximo y luego se verifica
si resiste el esfuerzo de corte máximo.
3. Equipos usados para el ensayo




Equipo de aplicación de carga, provista de una celda de carga de 100KN de capacidad
máxima y un extensómetro automático el cual permite medir deformaciones en forma
automática durante el proceso de ensayo.
Calibrador vernier con precisión a 0.01mm para tomar las dimensiones iniciales y
finales de la muestra a ensayar.
Accesorios del ensayo, accesorio de flexión que consta de una base en acero con dos
puntos de apoyo móviles, también en acero, separados 70cm uno del otro, y un pistón
de carga radial al centro de la distancia entre apoyos de la muestra del ensayo.
Computador provisto de software donde se registran los datos del ensayo (el mismo
que controla el ensayo)
4. Procedimiento
 La muestra debe ser prismática de dimensiones especificadas de 5cm x 5xm x 76cm,
con 70cm de luz.





Se registran las dimensiones iniciales (ancho, altura y longitud total), en esta última
se ubica el centro de la muestra, lugar donde se aplica la carga del ensayo.
Una vez trazadas las tres marcas (dos a los costados y una al centro), se coloca la muestra
de madera en el equipo, ubicando los extremos sobre los puntos de apoyo con 70cm de luz,
entre las marcas trazadas.
Después de haber instalado la muestra de madera en el equipo se realiza un avance rápido
hasta conseguir que el pistón de carga del equipo tenga un ligero contacto con la muestra.
Mediante el software del computador, se introducen los datos iniciales, como son las
medidas iniciales de la muestra, así mismo se coloca la carga y la deformación en cero.
Se inicia el ensayo con una velocidad de aplicación de carga según sus dimensiones.
MECÁNICA DE MATERIALES
33

En la pantalla del computador se desarrolla un gráfico de Esfuerzo Vs Deformación a
medida que la carga se va incrementando, hasta producir el fallo de la muestra.
IMÁGENES:
Figura N°18 - Muestra del madera tornillo durante el ensayo y al momento de la fractura
MECÁNICA DE MATERIALES
34
5. Cálculos
De la gráfica y los datos del ensayo se obtienen:
P = 640.30789 kgf
a = 5cm
P’= 495.37 kgf
e = 5.21cm
L = 70cm
Y = 2.054cm
Donde:
P:
Carga Máxima en kgf
:
Carga al Límite proporcional en Kgf
L:
Distancia entre los apoyos (luz de la muestra ensayada)
en cm
a :
Ancho de la probeta en cm
e :
Altura de la probeta en cm
Y :
Deflexión al centro de la luz al límite proporcional en cm
MECÁNICA DE MATERIALES
35
Para determinar el esfuerzo al límite proporcional (ELP) se utiliza la siguiente expresión:
𝐸𝐿𝑃(𝑘𝑔/𝑐𝑚2) =
3𝑃´𝐿
3𝑥495.37𝑥70
=
2𝑎𝑒 2
2𝑥5𝑥5.212
=383.24
Para determinar el Módulo de Rotura (MOR) se utiliza la siguiente expresión:
𝑀𝑂𝑅(𝑘𝑔/𝑐𝑚2) =
3𝑃𝐿
3𝑥640.31𝑥70
=
2𝑎𝑒 2
2𝑥5𝑥5.212
=495.37
Para determinar el Módulo de Elasticidad (MOE) se utiliza la siguiente expresión:
𝑀𝑂𝐸(𝑘𝑔/𝑐𝑚2) =
𝑃´𝐿3
4𝑎𝑒 3 𝑌
495.37𝑥703
=4𝑥5𝑥5.213 𝑥2.054 =29246.93
6. Resultados del ensayo
Tipo de ensayo
Anchura
Espesor
Separación de
soportes
Flexió n Madera
5
5.21
cm
cm
70
cm
Esfuerzo Limite Proporcional (ELP)=
Módulo de Rotura ( MOR) =
Módulo de Elasticidad (MOE) =
MECÁNICA DE MATERIALES
383.24
495.37
29246.93
36
De manera independiente a los resultados finales del software del ensayo, se debe proporcionar en
formato de informe el tipo de falla ocurrido en forma gráfica.
También se debe indicar, si la muestra fue secada al aire o al horno, el reporte del contenido de
humedad, la densidad de la muestra y la procedencia de la misma
Nota Final:
La madera es un material no isotrópico, los resultados de los ensayos son muy variables
en muestras del mismo lote, pudiendo existir diferentes motivos para surgir variaciones
entre muestras del mismo tipo, tales como presencia de ojos, vacíos internos, cambios
internos del sentido de la fibra, mala formación del grano, etc.
Por ende, al existir gran dispersión en los resultados de resistencia mecánica, en la
madera se consideran factores de seguridad mucho mayores a los empleados en el diseño
de estructuras de otros materiales como el acero y el concreto.
MECÁNICA DE MATERIALES
37
7. Problemas propuestos del ensayo de flexión
A) Comparando las propiedades mecánicas de la madera tornillo, los resultados de este
ensayo están por debajo o por encima del tornillo ¿por qué?
Madera Tornillo1
Según los resultados de laboratorio se puede decir que los datos obtenidos están por
debajo de lo establecido de acuerdo a las características de la madera tornillo.
MOR (kg/cm2) = 495.37
MOE (kg/cm2) = 29246.93
Estos resultados negativos, muchas veces se debe a que las muestras ensayadas en
laboratorio no se encuentran en ambientes aislados por lo que su humedad varía, también
se debe a que la madera es un material isotrópico, siendo el principal problema al
momento de realizar el ensayo porque los resultados dependerán y variarán de acuerdo
a la posición de las fibras puestas en el ensayo.
Otros factores que intervienen en el bajo resultado se deben a la temperatura variable, y
también al tiempo que se tiene guardado las muestras en laboratorio.
1
Fuente de FERPESI SAC. “Madera tornillo”
MECÁNICA DE MATERIALES
38
B) ¿En qué casos recomienda utilizar Ud. este ensayo?
El ensayo de flexión se debería usar cuando la madera se use como elementos de soporte
como en la colocación de vigas (generalmente las principales), viguetas, dintel y soleras
el cual en estos caso el tipo de carga se parece al ensayo realizado.
C) ¿La carga en el límite de proporcionalidad, es aproximadamente el 60% de la carga
máxima? Justifique su respuesta.
Según los datos obtenidos se tiene que la carga en el límite de proporcionalidad es 495.37
kgf y la carga máxima es 640.31 kgf por lo tanto se puede decir que la carga en el límite
de proporcionalidad no representa el 60% de la caga máxima, sino representa el
495.37
𝑥100% = 70.7%
640.31
Sin embargo este porcentaje depende mucho si se consideran estrictamente que los datos estén
dentro de la gráfica lineal, debido a ello puede variar el límite de proporcionalidad y el
porcentaje calculado.
D) Según el módulo de elasticidad obtenido, a qué grupo de madera corresponde la
muestra ensayada. Ver E0.10 Madera del RNE. Asimismo, indique si es necesario
realizar otro ensayo para determinar el módulo de elasticidad. Justifique su
respuesta.
MECÁNICA DE MATERIALES
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Según la tabla se puede decir que la madera no podría ser clasificada de acuerdo al
módulo de elasticidad debido que solo en nuestro ensayo es 29246.93 kg/cm2 y lo
mínimo para ser del grupo C es de 55000 kg/cm2, se estima que el resultado es bajo y
no clasificable de acuerdo al reglamento debido a que puede que su contenido de
humedad de la madera ensayada no fue la adecuada.
MECÁNICA DE MATERIALES
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BIBLIOGRAFÍA:
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(2012) Mechanical of materials. 6ta Edición. México: Mc Graw Hill Education
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FERPESI SAC. : Características de la madera tornillo,
(http://www.grupoferpesi.com.pe/pdf/ferpesi_tornillo.pdf)



FITZGERALD, Robert (2006) Mecánica de materiales. 2da Edición. México
HIBBELER, Russell (2011) Mecánica de materiales. 8va Edición. México: Pearson Educación
Instituto de la Construcción y Gerencia (ICG) 2006: Normas legales: Estructuras,
Agrupamiento de madera para uso estructural. Norma E.010,
(http://www.construccion.org.pe/normas/rne2011/rne2006/files/titulo3/02_E/RNE20 06_E_010.pdf)
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Martitegui, F. Estructuras de madera: diseño y cálculo. AITIM, 2003, 625 pág.
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Propiedades de la madera: Compresión, corte y flexión
(http://www.elconstructorcivil.com/2011/02/propiedades-de-lamaderacompresion.html)
Propiedades Mecánicas de los materiales de construcción (2013) Propiedades Mecánicas
(http://propiedadesmaterialesdeconstruccin.blogspot.pe/2013/04/propiedadesmecanicas-de-losmateriales.html)
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


Universidad Autónoma de México (UNAM): Consideraciones técnicas de la madera,
(http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/512/A
7.pdf?sequence=7)
Universidad Tecnológica de Pereira (UTP) (2014) Metalografía – Propiedades
Mecánicas de los Materiales (http://blog.utp.edu.co/metalografia/2propiedadesmecanicas-de-los-materiales/)
Universidad Tecnológica de Pereira (UTP) (2014) Programa de Tecnología de
Mecánica – Propiedad de los Materiales
(http://www.utp.edu.co/~publio17/temas_pdf/prop_mecanicas_2.pdf)
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