Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Carrera de Matemática
MONOGRAFÍA
Curva de Peano
Presentado por:
Univ. Rodolfo Christian Catunta Uturunco
La Paz - Bolivia
Diciembre - 2021
Agradecimientos
A Dios porque sin él no soy nada y por colmarme de bendiciones cada día.
A mi familia, papá Rodolfo Fredy, mamá Bertha, hermano Freddy Sebastián y mis queridos
abuelos Julio y Germana, quienes cada día me apoyan y alientan en mi caminar como estudiante.
A la Carrera de Matemática y sus docentes, quienes con cada clase me muestran cuanto me
falta por aprender y la belleza de la matemática en todas sus áreas.
i
Resumen
La presente monografía explora la construcción de las curvas que llenan el espacio. A finales del
siglo XIX e inicios del XX, muchos fundamentos de las matemáticas se vieron sacudidas entre
ellos el concepto de dimensión. A partir de él descubrimiento de Cantor de encontrar una función
biyectiva entre el intervalo [0, 1] y el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] se empezaron a estudiar
las demás características de estas curvas, como la continuidad. Es así que en 1890 Giuseppe
Peano, crea una función similar a la de Cantor, sin embargo la cuál era sobreyectiva y continua,
en particular la continuidad es algo deseado por los matemáticos, es así que esta función puso
aún mas en duda los fundamentos de las matemáticas. Por otro lado David Hilbert un año
después en 1891 dió una construcción geométrica de una curva similar a la de Peano, debido
a que Peano solo había definido la función mas no había dado una construcción geométrica de
la misma. Finalmente esta monografía muestra las repercusiones y la redefinición de conceptos
tales como la dimensión causados por el hallazgo de estas curvas.
ii
Abstract
The present mongraphy explores the construction of filling-space curves. In the later XIX century and early XX century, a lot of mathematical foundations was been questionated, into
this the concept of dimension. Since the Cantor’s discovery of an one-to-one and onto function
betwen the unit interval [0, 1 to the unit square [0, 1] × [0, 1], the mathematicias start to study
this type of functions and its properties, like continuity. In that way in 1890 Giuseppe Peano
builds a function similar to Cantor’s funciton but with the characteristic that this function is
continuous and sobrejective, in particular continuity is somethind desired for a function by the
mathematicias, so this function generate more doubts into the mathematical community about
the mathematics foundations. In the other hand, David Hilbert, a year after in 1891 builds a
curve similar to Peano’s curve but he only shows its geometryc construction, in contrast with
Peano who shows an analytic construction. Finally this monography shows the consquences
and the redefinition of some concepts such as dimension caused by the discovering of Peano’s
curve.
iii
Índice general
Introducción
1
1. La Función de Peano
4
1.1. Giuseppe Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Construcción de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1. Sobreyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.3. No Inyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2. Curva de Hilbert
8
2.1. Construcción de la Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.1. Fase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.2. Fase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.3. Fase 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4. Construcción General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1. Sobreyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3. No Inyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Curva de Peano
13
4. Repercusiones de la Curva de Peano
15
4.1. Dimensión Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
iv
v
4.2. Dimensión Fractal de Hausdorff-Besicovitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Aplicaciones y Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Conclusiones
18
Bibliografía
19
Introducción
¿Por qué estudiar esta curva?
La curva de Peano es junto a otras curvas, las cuales se mencionaran brevemente en el presente trabajo, una curva que llena el espacio de dos dimensiones, para el lector este tipo de curvas
parecerán muy fáciles de identificar, pues basta que se le de a un niño pequeño, un cuadrado
de 2 centímetros de lado y decirle que lo pinte sin separar el lápiz de color del papel, esta tarea
parece sencilla ¿Porque vale la pena estudiar este tipo de curvas?.
Una curva, en matemática, es un objeto similar a una linea, en específico, su similitud radica
en que ambos objetos no poseen grosor, imagínese ahora darle al niño, del que se habló en el
ejemplo anterior, un lápiz de grosor despreciable, la tarea de llenar el mismo cuadrado de 2
centímetros de longitud ahora se vuelve una tarea titánica y muy tediosa, básicamente cada
que el niño realice una linea para intentar pintar el cuadrado el no podrá ver ningún avance.
Además recordemos que el cuadrado de 2 centímetros que el niño esta pintando no es más que
una “abstracción” del espacio de dos dimensiones que la curva de Peano pretende llenar. Es en
estos argumentos donde radica el motivo por el cual se estudiarán estas curvas, en el presente
trabajo en especial, la curva de Peano y su construcción dada por Hilbert.
Contexto Histórico
Esta curva nace a finales del siglo XIX e inicios del siglo XX, en particular este periodo se
caracterizó por contradecir muchas de las ideas “intuitivas” que se tenían en matemática. Por
ejemplo en 1872 Weierstrass mostró una curva que es continua en todos sus puntos pero diferenciable en ninguno; nada más un año después en 1873 el matemático Georg Cantor probó que el
conjunto de los números racionales y el conjunto de los números algebraicos (números que son
solución de algún de alguna ecuación algebraica de grado mayor a 0 donde los coeficientes son
racionales), son ambos infinitos numerables, mas tarde ese mismo año probo que los números
reales son infinitos no numerables, este último resultado mostraba que, dado que los racionales
son infinitos numerables y los reales no numerables significaba que habían muchos más números
1
2
trascendentes (irracionales) que números racionales.
Cantor estaba sacudiendo la intuición matemática, en particular con su último resultado pues
es complicado encontrar números trascendentes, mientras que los números racionales son más
fáciles de hallar y tratar. El problema que motivo a Peano a hallar su curva esta registrada en
una de las cartas que envió Cantor a Richard Dedekind en 1874, a continuación se muestra un
extracto de la misma:
“ ¿Puede una superficie (digamos un cuadrado que incluye sus bordes) ser referido de forma
única a una linea (digamos un segmento de linea recta incluido sus puntos de inicio y final),
tal que cada punto de la superficie corresponda a un punto de la linea y para cada punto de la
linea corresponda también a punto de la superficie? Yo pienso que la respuesta a esta cuestión
no es una tarea fácil, ya que la respuesta aparentemente parece ser no, incluso la prueba de
esto parece innecesaria.” (Carta de Cantor a Dedekind, 5 de enero de 1874)
Cantor intento encontrar la correspondencia entre el cuadrado y la linea descritos en su carta
a Dedekind y logró hacerlo en 1877. Su construcción fue de la siguiente forma:
Dado un número z ∈ [0, 1), el cual será de la forma 0.a1 a2 a3 . . .
Se separa la parte decimal de este en “atomos” por ejemplo si:
z = 0,12030045600007809 . . .
entonces sus “atomos” serían:
α1 = 1, α2 = 2, α3 = 03, α4 = 004, α5 = 5, α6 = 6, α7 = 00007, . . .
los cuales se forman con los dígitos de la parte decimal unidos, de ser necesario con los
ceros precedentes a ellos.
Estos átomos pueden ahora tener su correspondiente en el cuadrado unitario de la siguiente forma:
(x, y) = (0.α1 α3 α5 . . . , 0.α2 α4 α6 . . . )
donde el componente en x esta formado por los átomos con subíndice impar concatenados
y el componente y esta formado de similar forma pero con los átomos de subíndice par.
Finalmente para completar esta asignación se asigna al punto 1 del segmento [0, 1] al par
ordenados (1, 1) que pertenece al cuadrado unitario.
3
Esta construcción hecha por Cantor define una función de un intervalo de los reales a un cuadrado unitario, de forma tal que esta función es biyectiva es decir que es sobreyectiva y también
inyectiva.
La sobreyectividad nos indica que cada elemento del conjunto unitario, es decir cada punto
(x, y) tales que x ∈ [0, 1] y y ∈ [0, 1] es la imagen de un elemento z ∈ [0, 1]. Mientras, que la
inyectividad, tambien llamada uno a uno, nos indica que a cada elemento del intervalo [0, 1] le
corresponde uno y solo uno de los elementos del cuadrado unitario. Estas características son
ampliamente estudiadas en los cursos iniciales de una licenciatura en Matemáticas.
Sin embargo, Cantor junto a su compañero Dedekind, notaron rápidamente que la función que
el primero había definido no era continua pues llevaba subintervalos continuos de [0, 1] a subespcios discontinuos en el cuadrado unitario, de este modo y ya con un resultado mas generalizado
Dedekind propuso una conjetura:
“Si es posible establecer una correspondencia recíproca, uno a uno (inyectiva) y completa (sobreyectiva) entre los puntos de una variedad continua A de dimensión a y los puntos de una
variedad continua B de dimensión b, si a 6= b entonces tal correspondencia es necesariamente
discontinua.” Richard Dedekind, 1878
Este resultado fue posteriormente generalizado, después de varias pruebas fallidas dadas incluso
por el mismo Cantor, por L. E. J. Brouwer en 1911, donde estableció que tales correspondencias
entre dos variedades continuas de diferente dimensión solo podían cumplir dos de las tres
características descritas a continuación:
Continua
Sobreyectiva
Ineyctiva
Sin embargo el gran protagonista de esta monografía Peano en 1890 se propuso a buscar una
correspondencia continua entre el intervalo [0, 1] y el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1], su técnica y sus implicaciones posteriores serán discutidas en los siguientes capítulos de la presente
monografía.
CAPÍTULO
1
La Función de Peano
1.1.
Giuseppe Peano
Giuseppe Peano (1858-1932) fue un matemático, lógico y filósofo italiano reconocido principalmente por sus contribuciones en la lógica matemática y teoría de números, entre ellos sus
famosos axiomas que son base fundamental de la aritmética. Sin embargo, sus contribuciones
en matemática son mas amplios e incluyen resultados en análisis, contraejemplos a conjeturas
y notación como el símbolo de pertenencia ∈ de teoría de conjuntos.
En 1890, Peano presentó uno de los primeros ejemplos de curva que llena el espacio, en palabras
de David Darling un divulgador científico británico este descubrimiento fue “un terremoto para
la tradicional estructura de las matemaáticas”, por otro lado un matemático ruso de su tiempo
Naum Vilenkin escribió luego de discutir este descubrimiento con sus colegas que “todo esta en
ruinas, todos los conceptos de matemática básica han perdido sentido”.
Figura 1.1: Fotografia de Giuseppe Peano
4
5
1.2. Construcción de Peano
Tal llego a ser la repercusión del resultado de Peano que usualmente el termino Curva de Peano
se utiliza como sinónimo de curva que llena el espacio, estas curvas pueden en la mayoria de
los casos ser creadas por un proceso iterativo que construye una linea “zigsageante” que cubre
el espacio en el que reside. El célebre divulgador matemático Martin Gardner escribiría: “La
curva de Peano fue un profundo shock para los matemáticos. Sus patrones parecen ser unidimensionales, pero estos ocupan toda el área bidimensional. ¿Debemos llamar a estos objetos
curvas? y para hacer las cosas peor la curva de Peano puede ser adaptada para llenar cubos,
hipercubos, ...” .
1.2.
Construcción de Peano
Definición 1: Un operador k es definido por kt = 2 − t para t ∈ {0, 1, 2} y la n − esima
iteración es denotado por k n . En particular k 2 t = k(kt) = k(2 − t) = 2 − (2 − t) = t lo que
significa que k 2n t = t y k 2n−1 t = kt = 2 − t y con esto, si k n t = x, entonces t = k n x.
Definición 2: El intervalo I = [0, 1] es el intervalo real de números menores o iguales a 1 y
mayores o iguales a 0.
Ahora representemos los números t ∈ I en notación de base 3. así t = 03̇ t1 t2 t3 . . . con ti ∈
{0, 1, 2}
La función f : I → S esta definido como sigue:
f (t) = (fx (t), fy (t))
con:
fx (t) = 03̇ t1 (k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 )(k t2 +t4 +t6 t7 ) . . .
fy (t) = 03̇ (k t1 t2 )(k t1 +t3 t4 )(k t1 +t3 +t5 t6 ) . . .
ambos en su notación en base 3.
Para ilustrar mejor el concepto que construyo Peano, se mostrará un ejemplo, sea
t = 03̇ 1102100212 · · · = 0,473640535826 . . .
Donde t1 = 1, t2 = 1, t3 = 0, t4 = 2, t5 = 1, t6 = 0, t7 = 0, t8 = 25, t9 = 1, t10 = 2, . . . se tendrá
que mediante la función construida por Peano.
fx (t) = 03̇ 1(k 1 0)(k 3 1)(k 3 0)(k 5 1) · · · = 03̇ 1(k0)(k1)(k0)(k1) . . .
fx (t) = 03̇ 12121 · · · = 0,62139 . . .
fy (t) = 03̇ (k 1 1)(k 1 2)(k 2 0)(k 2 2)(k 3 2) · · · = 03̇ (k1)(k2)(0)(2)(k2) . . .
fx (t) = 03̇ 10020 · · · = 0,35802 . . .
6
1.3. Propiedades
1.3.
1.3.1.
Propiedades
Sobreyectividad
Para cualquier punto dado
s = (03̇ x1 x2 x3 x4 x5 x6 . . . , 03̇ y1 y2 y3 y4 y5 y6 . . . ) ∈ S
necesitamos mostrar que existe un t = 03̇ t1 t2 t3 t4 t5 t6 · · · ∈ Italquef (t) = s, por la definición de
la función tendremos la siguiente igualdad por componentes de ambos números:
t1 = x1 ,
k t1 t2 = y1 → t2 = k t1 y1 ,
k t2 t3 = x2 → t3 = k t2 x2 ,
k t1 +t3 t4 = y2 → t4 = k t1 +t3 y2 ,
k t2 +t4 t5 = x3 → t5 = k t2 +t4 x3 ,
k t1 +t3 +t5 t6 = y3 → t6 = k t1 +t3 +t5 y3 ,
..
.
Y así es posible hallar las ti en base a s ∈ S con ayuda de su representación en base 3, y
concluimos que es sobreyectiva.
1.3.2.
Continuidad
Para mostrar la continuidad de la función de Peano, se mostrara primero que su componente
fx es continua en un punto arbitrario, para luego usar la relación fy (t) = 3fx ( 31 t). y hacerlo con
la componente fy , como es una función coordenada, que las funciones de sus componentes fx y
fy sean continuas hace que f sea continua.
Tomemos un punto arbitrario
a = 03̇ a1 a2 a3 . . . an an+1 an+2 . . .
y definamos
b = 03̇ a1 a2 a3 . . . an βn+1 βn+2 . . .
1
como se puede notar b es cercano a a y podemos probar que |a − b| ≤ n+1 pues difieren en el
3
componente n + 1. Para la prueba podemos asumir que n es par sin perder generalidad pues
los dígitos son infinitos.
7
1.3. Propiedades
Ahora tenemos que ver que ocurre con las imágenes de a y b cuando se les aplica fx es decir
analizaremos lo que ocurre con |fx (a) − fx (b)|
fx (a) = 03̇ a1 (k a2 a3 )(k a2 +a4 a5 )(k a2 +a4 +a6 a7 ) . . . (k a2 +a4 +···+an an+1 )(k a2 +a4 +···+an +an+2 an+3 ) . . .
fx (b) = 03̇ a1 (k a2 a3 )(k a2 +a4 a5 )(k a2 +a4 +a6 a7 ) . . . (k a2 +a4 +···+an βn+1 )(k a2 +a4 +···+an +βn+2 βn+3 ) . . .
Notemos que en los primeras n dígitos decimales son iguales por lo que una resta entre ambos hará que estos se anulen quedando en cero, usando fracciones apropiadas para los dígitos
restantes a partir del n + 1 tenemos:
|fx (a) − fx (b)|
a2 +a4 +···+an
a2 +a4 +···+an
βn+1 k a2 +a4 +···+an +an+2 an+3 − k a2 +a4 +···+an +βn+2 βn+3
an+1 − k
=
+
+ ...
3(n/2)+1
3(n/2)+2
k a2 +a4 +···+an an+1 − k a2 +a4 +···+an βn+1
k a2 +a4 +···+an +an+2 an+3 − k a2 +a4 +···+an +βn+2 βn+3
+
+ ...
≤
3(n/2)+1
3(n/2)+2
2
2
≤ (n/2)+1 + (n/2)+2 + . . .
3
3
1
2
1
= (n/2)+1 1 + + 2 + . . .
3
3 3
2
3
1
= (n/2)+1
= n/2
3
2
3
k
Así demostramos que la función de Peano en la componente x es continua, pues cuando b → a
entonces fx (b) → fx (b), análogamente para y y así la función de Peano es continua.
1.3.3.
No Inyectividad
Sean f (s) = f (t) donde s = 03̇ s1 s2 s3 . . . y t = 03̇ t1 t2 t3 . . . entonces se tiene que por la
componente en x:
03̇ s1(k s2 s3 )(k s2 +s4 s5 )(k s2 +s4 +s6 s7 ) · · · = 03̇ t1(k t2 t3 )(k t2 +t4 t5 )(k t2 +t4 +t6 t7 ) . . .
Así podemos concluir que s1 = t1 pero luego k s2 s3 = k t2 t2 → s3 = k s2 k t2 t3 = k s2 +t2 t3 lo cual
hace que s3 y t3 puedan ser diferentes pues si s2 + t2 es impar entonces, suponga que s3 = 0 y
t3 = 2 entonces k s2 +t2 t3 = 0 así se cumple la igualdad pero s3 6= t3 .
CAPÍTULO
2
Curva de Hilbert
El artículo en el que Peano describe su función y como esta es continua y sobreyectiva [1] no
contiene ninguna curva ni pistas de como hallarla, ya que se concentró únicamente en los argumentos analíticos. El artículo de Peano fue leído luego por David Hilbert, un gran matemático,
del cual G. H. Hardy, otro matemático prolífico de esos tiempos, aproximó que seria al menos
3 veces mejor que él (hablando de si mismo). Hilbert analizó seriamente el artículo de Peano
y en 1891 publicó su propia variante netamente geométrica a la que llamo la curva de Hilbert,
en su articulo de dos páginas [2] describió las primeras 3 iteraciones de la curva que planteó,
como se muestran en la figura 2.1, en la cual se muestran 3 iteraciones de la construcción de la
curva de Hilbert.
La metodología de Hilbert puede ser resumida en lo siguiente: Suponga un intervalo unitario I
que puede ser asignado a un cuadrado unitario S, luego se parte el intervalo I en 4 subintervalos
congruentes y S en subcuadrados congruentes, posteriormente se hace una asignacion de cada
subintervalo a cada subcuadrado de tal forma de garantizar la continuidad. Si se hace recursivamente lo mismo con cada subintervalo y con cada subcuadrado se puede, recursivamente
obtener una curva que llene cada subintervalo infinitesimal correspondiente a cada subcuadrado
de lado infinitesimal, y así llenar el cuadrado.
Figura 2.1: Curvas Originales de Hilbert.
8
2.1. Construcción de la Curva
2.1.
2.1.1.
9
Construcción de la Curva
Fase 1
Dividir el cuadrado en 4 subcuadrados, localizar los centros y unirlos como muestra la figura 2.2(a), para generar una curva como la de la figura 2.2(b). Como puede apreciar esto es
simplemente unir los centros de los cuatro subcuadrados.
Figura 2.2: Primera fase de la curva de Hilbert.
2.1.2.
Fase 2
Dividir el subcuadrado de abajo a la izquierda en 4 subcuadrados congruentes, localizamos los
centros y comenzamos por el centro más cercano al origen (0, 0) unimos los centros de la única
forma posible tal que solo se pueda visitar cada centro una vez, este recorrido esta indicado en
la figura 2.3(a), se repite esto para los 3 subcuadrados restantes y se tiene un resultado como
el de la figura 2.3(b).
Figura 2.3: Segunda fase de la curva de Hilbert.
2.1. Construcción de la Curva
2.1.3.
10
Fase 3
Del subcuadrado inferior a la izquierda se divide en 4 subcuadrados congruentes, se localizan
sus centros y se comienza del centro más cercano al origen y se comienza a recorrer los 4
subcuadrados, de tal forma como se muestra en la figura 2.4(a), generando una curva como la
mostrada en la figura 2.4(b). En la figura 2.4(c) se muestra como se pasa de la iteración 2 a la
iteración 3.
Figura 2.4: Tercera fase de la curva de Hilbert.
2.1.4.
Construcción General
A continuación se muestra las subsiguientes iteraciones de la curva de Hilbert.
Figura 2.5: Subsiguientes fases de la curva de Hilbert.
En su artículo Hilbert presentó una descripción para la construcción general de su curva sin
embargo esta era complicada de entender, a continuación se describirá la construcción de la
curva de Hilbert heca por E. H. Moore en 1900 en su presentación a la Sociedad Americana de
Matemática.
Construcción: Sea I = {t : 0 ≤ t ≤ 1} el intervalo unitario y sea S = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} el
cuadrado unitario. Para cada entero positivo n partimos I en 4n subintervalos de longitud igual
a 4−n y S en 4n subcuadrados igules cada uno de lado 2−n . Primero para cada n construimos
una correspondencia uno a uno entre los subintervalos de I y los subcuadrados S, la cual esta
sujeta a las siguientes dos condiciones:
2.2. Propiedades
11
Adyacencia: Subintervalos adyacentes corresponden a adyacentes subcuadrados (note
que el reciprocó no es necesariamente cierto).
Encaje: Si, en la n−esima partición, el intervalo In corresponde al cuadrado Sn entonces
en la (n + 1) − esima particion de I, los cuatro subintervalos de In corresponderan a los
cuatro subcuadrados de Sn .
2.2.
2.2.1.
Propiedades
Sobreyectividad
Hemos producido mediante la construcción descrita anteriormente una función f : I → S.
Ahora debemos mostrar que para cada s ∈ S este punto encaja en al menos una secuencia
de subcuadrados encajados uno dentro de otro, en otras palabras que sea el centro de algún
cuadrado de longitud 2−n para algún n, lo cual como n → ∞ es cierto.
2.2.2.
Continuidad
Tomemos dos puntos del intervalo I que estén cercanos uno del otro, es decir que sean
t1 , t2 ∈ I entonces se cumple que |t1 − t2 | < 4−n para algún n lo suficientemente grande. Así
se puedan dar dos caso, el primero que ambos t1 y t2 caigan en el mismo subintervalo o que
caigan en subintervalos adyacentes en la n − esima partición. Lo peor que puede ocurrir es que
caigan en dos subcuadrados adyacentes formando un rectángulo de lados 2−n y 2 × 2−n , lo cual
√
significa que |f (t1 ) − f (t2 ) < 5 × 2−n | es decir que las correspondientes imágenes están aún
cercanas.
2.2.3.
No Inyectividad
Suponga que la n − esima partición de un subcuadrado Sn con centro C corresponde al
subintervalo In . Ahora movamonos a la partición n + 1 − esima de ese subcuadrado y su
correspondiente subintervalo, como se muestra en la figura 2.6, donde los números muestran el
subintervalo que corresponde a cada subcuadrado.
12
2.2. Propiedades
Figura 2.6: No inyectividad de la curva de Hilbert.
En particular para el punto C se pueden hallar secuencias de subcuadrados encajados que
contengan todos a C y que a la vez sean subcuadrados de dos subcuadrados distintos. También
es importante ver que si el punto C se encuentra en un borde compartido por algún subcuadrado
adyacente entonces este también podrá ser encontrado mediante al menos dos secuencias de
subcuadrados encajados en dos diferentes subcuadrados, de esta forma la curva no es inyectiva.
CAPÍTULO
3
Curva de Peano
A pesar de que tenemos la función definida por Peano que se mostró que es
sobreyectiva es complicado encontrar la curva como tal. Como primer avance,
truir la curva podemos identificar los puntos de inicio y final. Dado que f (0)
f (1) = (1, 1) = f (03̇ 222 . . . , 03̇ 222 . . . ) entonces la curva comienza en la esquina
quierda y finaliza en la esquina superior derecha del cuadrado unitario.
continua y
para cons= (0, 0) y
inferior iz-
Ahora observemos que para valores arbitrarios de ti
03̇ 0α2 α3 α4 . . .
f (03̇ 00t3 t4 t5 . . . ) =
03̇ 0β2 β3 β4 . . .
1
1
1
es decir que la función asigna elementos del intervalo 0,
al subcuadrado 0,
× 0, ,
9
3
3
de forma análoga se pude ver que:
03̇ 0α2 α3 α4 . . .
f (03̇ 01t3 t4 t5 . . . ) =
03̇ 1β2 β3 β4 . . .
1 2
1
1 2
lo que significa que el subintervalo
,
es asignado dentro del subcuadrado 0,
× ,
3 3 3
9 9 1
2
2 3
y analogamente que el subintervalo ,
es asignado dentro del subcuadrado 0,
× ,1 ,
9 9
3
3
etc.
13
14
1
1
En general, el subintervalo
(n − 1), n es asignado dentro del subcuadrado n mostrado en
9
9
la figura 3.1(a). Como la curva es continua, pasa por cada subcuadrado y termina y finaliza en
los puntos correspondientes a (0, 0) y (1, 1) asi la curva debe seguir la ruta descrita en la figura
3.1(b), la primera iteración de esta forma de construcción se ve en la figura 3.1(c).
Figura 3.1: Construcción de la curva de Peano.
Así se puede construir la curva de Peano de forma similar a la que se construyo la curva de
Hilbert, la figura 3.2 muestra las sigientes iteraciones de la curva de Peano.
Figura 3.2: Siguientes iteraciones del desarrollo de la curva de Peano.
CAPÍTULO
4
Repercusiones de la Curva de Peano
El horror inicial de muchos matemáticos fue que el concepto de “dimensión” se ponía en duda
por los resultados de Cantor y por las curvas descritas en las anteriores secciones, es por eso
que se comenzaron a explorar nuevas definiciones de dimensión.
4.1.
Dimensión Topológica
Para empezar a estudiar el concepto de dimensión topológica debemos definir lo que es un
espacio topológico:
Definición 3: Una topología es un conjunto X es una colección de subconjuntos, que se llaman
abiertos, tales que:
X y el conjunto vació son abiertos
La intersección de dos abiertos es un abierto
La unión de cualquier número de abiertos es un abierto.
Un conjunto con una topología es llamado espacio topológico.
Ahora pasaremos a definir lo que es una cubierta de un espacio topológico X:
Definición 4: Una cubierta de X es una colección C de abiertos tales que cada elemento de
X pertenece a uno de los abiertos en C.
Definición 5: Una cubierta es finita si consiste de un número finito de abiertos.
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4.2. Dimensión Fractal de Hausdorff-Besicovitch
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Definición 6: Una cubierta D es más fina que otra cubierta C si cada abierto C contiene un
abierto de D.
Definición 7: El orden de una cubierta finita C de X es el máximo número de abiertos de C
que tienen una intersección no vacía con X.
Finalmente definimos la dimensión de un espacio topológico.
Definición 8: Se define la dimensión de X como m-1 si:
Para cada cubierta finita C existe una cubierta finita D, más fina que C, que tiene orden
menor o igual que m.
Existe una cubierta finita C tal que cada cubierta finita D, más fina que C, tiene orden
m.
Para determinar la dimensión topológica de la curva de Peano basta con notar que existe un
homeomorfismo es decir una funcion biyectiva continua cuya funcion inversa es continua, entre
[0, 1] × [0, 1]2 → [0, 1] y ya que el homeomorifmos conserva la dimensión topológica entonces la
dimensión topológica de la curva de Peano es 1.
4.2.
Dimensión Fractal de Hausdorff-Besicovitch
Esta dimensión se basa en considerar una cubierta abierta por bolas abiertas o n-esferas del
conjunto fractal, es decir, para un fractal contenido en el plano euclídeo se consideran círculos
abiertos y para un fractal contenido en el espacio euclídeo tridimensional se consideran esferas.
De todos los recubrimieintos posibles se considera el infirmo formado por bolas de diametro
menor o igual que un cierto tamaño ε. Una vez computado este infimo se considera el limite
ε → 0. Como dato sabemos que la dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch de la curva de
Peano es 2, a continuación mostraremos mas familias de fractales que tambien tienen dimensión
fractal de Hausdorff-Besicovitch igual a 2.
4.3. Aplicaciones y Curiosidades
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Figura 4.1: Fractales con la misma dimensión fractal de Hausdorff que la curva de Peano. (a)
Curva de Gosper (b) Tetraedro de Sierpinski (c) Árbol de Pitagoras
4.3.
Aplicaciones y Curiosidades
Existe una escultura realizada en la Universidad de California Berkeley hecha por el escultor
Carlo H. Sequin de una extension de la curva de Peano a 3 dimensiones.
Figura 4.2: Escultura de la Curva de Peano en 3 dimensiones.
Las curvas que llenan el espacio han sido aplicadas a la sugerencia de rutas eficientes para
visitar una secuencia de ciudades. Por ejemplo, John J. Bartholdi III, un profesor de la escuela
de Ingenieria Industrial y de Sistemas del Georgia Institute of Technology ha usado las curvas
de Peano para construir un sistema de rutas para una organización que realiza la entrega de
cientos de paquetes de comida a los pobres y para dirigir la entrega de sangre por la Cruz Roja
americana a los hospitales. Debido a que las entregas se realizan en “clusters” de viviendas o
barrios en el área urbana. Bartholdi uso las curvas que llenan el espacio para producir buenas
sugerencias de rutas, porque como se ha estudiado en las secciones previas estas curvas cubren
primero un área y luego pasan a otra, lo cual se puede extrapolar a realizar las entregas en
cierta región del mapa para luego pasar a la siguiente.
Conclusiones
De la revisión bibliográfica dada a través de distintos autores podemos concluir que los descubrimientos de finales del siglo XIX e inicios del XX sacudieron las bases de las matemáticas de
una forma tan trascendente como la que describen distintos matemáticos tanto contemporáneos
como de aquella época.
Sin embargo, como la mayoría de matemáticos ante los problemas, encuentra soluciones elegantes o crean nuevas teorías a través de ellas, gracias a los descubrimientos de Cantor y Dedekind,
acerca de las funciones entre el intervalo unitario [0, 1]] al cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] y
los aportes de Peano y Hilbert acerca de curvas que son continuas y sobreyectivas, se llegó
a cuestionar el concepto de dimensión tan arraigado a las matemáticas por aquel entonces,
pero para bien, iniciando el estudio de la dimensión topológica y de la dimensión fractal, estos
últimos objetos a parte de ser divertidos y ayudar en divulgación, nos muestran sorprendentes
resultados cuando se los trata con la rigurosidad y formalismo adecuados.
La historia del descubrimiento de esta curva tambien nos muestra dos enfoques muy contrastantes, pero a la vez complementarios de las formas de afrontar un problema. Por un lado
Peano, quien era un lógico y por ende muy formalista define una “curva” sin siquiera dibujarla,
únicamente haciendo análisis sobre la función que definió, mostrando la forma más “pura” que
un matemático tiene para intentar resolver un problema. Mientras que Hilbert recurrió a una
construcción mas geométrica, y hasta cierto punto didáctica, a pesar de que muchos autores
coinciden en que su forma de explicar su curva fue particularmente difícil de entender, para
poder construir una curva similar a la de Peano, usando esta construcción como modelo para
poder demostrar la sobreyectividad y la continuidad de la función, este enfoque hoy en día se
puede traducir a utilizar herramientas tecnológicas para poder crear modelos o poder visualizar
el problema de una mejor forma, el cuál es otro enfoque, ya demostrado que puede ser útil (e.g.
la demostración del teorema de 4 colores).
Finalmente la historia nos ha mostrado que ir contra la intuición es beneficioso para el porvenir
del conocimiento, en especial en matemáticas.
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Bibliografía
[1] HUBER T C. KENNEDY. (1973). Selected works of GIUSEPPE PEANO. Toronto: University of Toronto Press.
[2] D. Hilbert, "Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flachenstück.,"Math. Ann. 38,
pp. 459-460, 1891 Traducido al inglés.
[3] Julian Havil. (2019). Curves for the mathematically curious. Princeton: Princeton University
Press.
[4] Clifford A. Pickover. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th dimension, 250
milestones in History of Mathematics. New York: Sterling.
[5] García Fernández, Esther. (2018). Teoria de la Dimensión Topológica. España: Universidad
de Cantabria.
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