LIBRO DE TEXTO HIDRAULICA I

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN
TECNOLÓGICA
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NOGALES
SUPERIOR
LIBRO DE TEXTO DE LA MATERIA:
HIDRAULICA I
En cumplimiento del periodo sabático concedido a partir del 25 de Agosto del 2008
al 24 de agosto del 2009.
PRESENTA
ARTURO JIMENEZ DORIA
Docente del Dpto. de Ingeniería Civil
H. Nogales, Sonora, México
Agosto del 2009
2
INDICE
PROLOGO ………………………………………………………………………..
INTRODUCCION ……………………………………………………………………………..
Página
4
5
UNIDAD I. HIDROSTATICA . . …………………………………………………… 6
I.1 Propiedades de los fluidos (densidad, peso específico, tensión superficial,
viscosidad, módulo de elasticidad volumétrica, presión de vaporización,
capilaridad). ……………………………………………………………………… 6
1.2 Presión hidrostática ……………………………………………………………… 25
1.2.1 Ecuaciones básicas de la estática de los fluidos …………………………… 29
1.2.2 Distribución de presión hidrostática ……………………………………… 33
1.2.3 Dispositivos de medición ……………………………………………………….37
1.3 Empujes hidrostáticos ……………………………………………………………. 42
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
Resultante de la cuña de presiones ………………………………………… 42
Centro de presiones ………………………………………………………….43
Empuje en superficies planas ………………………………………………. 44
Empuje en superficies curvas ………………………………………………. 51
1.4 Flotación ………………………………………………………………………… 53
1.4.1 Principio de Arquímedes …………………………………………………… 53
1.4.2 Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotación ………………………… 53
UNIDAD II. HIDRODINAMICA …………………………………………………
58
2.1 Cinemática de fluidos …………………………………………………………
58
2.1.1 Campos vectoriales …………………………………………………………
2.1.2 Velocidad, aceleración y rotación …………………………………………
2.1.3 Definición y clasificación de flujos……………………………………….
2.1.4 Línea de corriente, trayectoria y vena líquida……………………………
58
59
63
66
2.2 Conservación de la masa ……………………………………………………
70
2.2.1 Ecuación de continuidad …………………………………………………
2.2.2 Ecuación de gasto ………………………………………………….
70
73
2.3 Conservación de la energía …………………………………………………
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
Ecuación de energía ………………………………………………………..
Solución para una vena líquida ……………………………………………
Línea de energía y líneas de cargas piezométricas…………………………
Ecuaciones de potencia en bombas y turbinas ……………………………
76
76
76
81
83
3
2.3.5 Aplicaciones ………………………………………………………………
83
Pág.
2.4 Conservación de la cantidad de movimiento ……………………………………… 86
2.4.1 Impulso y cantidad de movimiento …………………………………………… 86
2.4.2 Fuerza hidrodinámica …………………………………………………………. 87
2.4.3 Aplicaciones ………………………………………………………………….. 89
UNIDAD III. FUNDAMENTOS DE HIDRAULICA EXPERIMENTAL ……………93
3.1 Modelos hidráulicos ……………………………………………………………… 93
3.1.1 Similitud geométrica, cinemática y dinámica ………………………………
3.1.2 Leyes de similitud …………………………………………………………
3.1.3 Planeación y construcción de modelos ……………………………………
3.2 Orificios, compuertas y vertedores ……………………………………………
95
105
107
115
3.2.1 Coeficientes de velocidad, contracción y gasto ……………………………
3.2.2 Aplicaciones ………………………………………………………………
119
131
UNIDAD IV. FLUJO EN CONDUCTOS A PRESION …………………………..
138
4.1 Resistencia al flujo en conductos a presión ……………………………………
138
4.1.1 Pérdidas de energía por fricción …………………………………………….
4.1.2 Pérdidas de energía por accesorios …………………………………………
140
150
4.2 Cálculo del flujo en tuberías ……………………………………………………
159
4.2.1 Conductos sencillos …………………………………………………………
4.2.2 Tuberías en paralelo……………………………………………………
4.3 Redes de Tuberías ………………………………………………………………
160
164
169
4.3.1 Redes abiertas ………………………………………………………………
4.3.2 Redes cerradas …………………………………………………………….
4.3.3 Golpe de ariete ……………………………………………………………
169
171
177
BIBLIOGRAFIA . …………………………………………………………………………………….
189
4
Pro logo
Este libro de texto ha sido concebido con la única finalidad de apoyar la enseñanza
de Mecánica de Fluidos e Hidráulica, de los estudiantes de Ingeniería Civil del Instituto
Tecnológico de Nogales y siguiendo los planes de estudio de la retícula actualizados. Y
que comprendan mejor los conceptos y leyes fundamentales de la Hidráulica.
Hoy
es fundamental que el Ingeniero Civil pueda construir y diseñar Obras
Hidráulicas, ya que representan una fuente necesaria para controlar los líquidos. De esta
manera las Obras Hidráulicas contribuirán para lograr un desarrollo económico y social de
la comunidad.
El
libro de texto consta de cuatro unidades. En la primera unidad, se estudia la
Hidrostática, es decir el estudio de los líquidos en reposo o en equilibrio. En la segunda
unidad se analiza los líquidos en movimiento es decir la Hidrodinámica. En la tercera
unidad, se trata de comprender los fundamentos de la hidráulica experimental, para que el
alumno pueda realizar algún modelo hidráulico en el de laboratorio de Hidráulica de
Ingeniería Civil.
Y en la última unidad el objetivo es que el alumno adquiera
conocimientos fundamentales de una Red de Abastecimiento de agua, y así pueda aplicar
los conocimientos teóricos más adelante en materias que requieren algún proyecto de
Abastecimiento de Agua Potable. Cada unidad consta de un desarrollo teórico y problemas
resueltos. También al final de cada capítulo se dan una serie de problemas propuestos y la
solución para que el alumno trate de resolverlos.
Deseando que encuentren interesante la lectura de este texto y que les sirva en sus
estudios de Mecánica de Fluidos e Hidráulica. Agradeciendo con sumo gusto sus
comentarios, sugerencias y críticas.
Arturo Jiménez Doria
5
INTRODUCCION:
HIDRÁULICA.- Aplicación de la Mecánica de fluidos en Ingeniería, para construir y
diseñar dispositivos y estructuras que funcionan con fluidos, por lo general agua. La
hidráulica resuelve problemas como el flujo de fluidos por conductos o canales abiertos y
el diseño de presas de embalse, vertedores, bombas y turbinas. En otros dispositivos como
boquillas, válvulas, medidores se encarga del control y utilización de líquidos.
MECANICA DE FLUIDOS.- Parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en
reposo o en movimiento. La mecánica de los fluidos puede dividirse en dos campos
fundamentales: la estática de fluidos, o hidrostática que se ocupa de los fluidos en reposo,
y la dinámica de los fluidos o hidrodinámica que estudia los fluidos en movimiento.
FLUIDO.- Es una sustancia (líquido o gas ), que se deforma continuamente cuando se le
sujeta a un esfuerzo cortante, y se adapta a la forma del recipiente que lo contiene.
DISTINCION ENTRE UN SOLIDO Y UN FLUIDO.- Las moléculas de un sólido tienen
entre sí mayor cohesión que las de un fluido. En un sólido las fuerzas de atracción entre sus
moléculas, son tan grandes que éste tiende a mantener su forma, mientras que en un fluido
las fuerzas de atracción molecular son más pequeñas, por lo que se adaptan al recipiente
que los contiene.
DISTINCION ENTRE UN GAS, UN VAPOR Y UN LIQUIDO.- Se considera fluido a un
gas o un líquido indistintamente. En un gas, sus moléculas se encuentran muy separadas
entre si, por lo tanto, es un fluido muy compresible y además, cuando la presión externa
desaparece tiende a expandirse indefinidamente. Así pues, un gas está en equilibrio sólo
cuando se encuentra confinado. Un líquido es relativamente incompresible. Un vapor es
un gas cuyas condiciones de presión y temperatura son tales que se encuentra cercano a la
fase líquida. Dado que el volumen de un gas –o vapor- es más afectado por las variaciones
en la presión y la temperatura, al tratar con un gas, es necesario tomar en cuenta estos
factores.
En resumen, las diferencias esenciales entre un líquido y un gas son: los líquidos son
prácticamente incompresibles en tanto que los gases son compresibles y un líquido ocupa
un volumen definido y tiene una superficie libre, mientras que una masa dada de gas se
expande hasta ocupar todas las partes del recipiente que las contiene.
6
UNIDAD I
TEMA: HIDROSTATICA
1.1
Propiedades de los fluidos (densidad, peso específico, tensión superficial,
viscosidad,
módulo de elasticidad volumétrica, presión de vaporización, capilaridad).
DENSIDAD ( ρ )
La densidad de una sustancia o de un material homogéneo, se define como la masa
contenida en la unidad de volumen y se designa con la letra griega ( ρ ):
ρ = m a s a / volumen = m/v
(I.1)
Cuando el material es no homogéneo la densidad varía de un punto a otro, quedando
definida en un determinado punto por:
lím =
Δ m/ ΔV = d m/ d V
(I.2)
ΔV → 0
La densidad de los líquidos generalmente se expresa en : gm / cm3 y en lb/ pie3.
La densidad del agua es: ρ = 1 gm / cm3 = 62.4 lb/ pie3
PESO ESPECIFICO (ω )
El peso específico de un material homogéneo sujeto a la acción de la gravedad, se
define como la relación entre su peso por unidad de volumen, y se designará con la
letra griega (ω ) :
ω = p e s o / volumen = W / V
(I.3)
sus unidades serán: N /m3 o kN/ m3
Por otra parte, la densidad y el peso específico, se relacionan de la siguiente manera;
sabemos que el peso de un cuerpo o liquido está dado por.
W = masa x aceleración de la gravedad = m g
(I.4)
Donde sustituyendo el valor de la masa (m) de la expresión (I.4), en la expresión (I.1):
7
ρ = W/g V = ω / g
(I. 5 )
por lo tanto obtenemos una expresión final que nos da la densidad en función del peso
específico de la sustancia o líquido y el valor de la gravedad.
En el caso del agua su densidad será, según ( I.5 ):
ρ = ω / g = 9.7982 kN / m3 / 9.81 m/seg2 = 998.80 kg/ m3
considerando que 1 kN = 102.0592 kg
( I.6 )
(I.7 )
DENSIDAD RELATIVA (Dr)
La densidad relativa de un cuerpo (sólido o líquido), es un número adimensional que
está dado por la relación del peso del cuerpo al peso de un volumen igual de una
sustancia que se toma como referencia; en este caso casi siempre se refiere al agua en
condiciones normales, al nivel del mar y a una temperatura de 4 0 C.
Dr = peso especifico de la sustancia/ peso especifico del agua
= densidad de la sustancia / densidad del agua
por lo tanto para el agua en condiciones normales y al nivel del mar la densidad relativa
vale, Dr = 1
para sustancias o líquidos con Dr > 1 serán más pesados que el agua
para sustancias o líquidos con Dr < 1 serán menos pesados que el agua
8
TABLA NO. I.1 DENSIDAD RELATIVA DE ALGUNOS MATERIALES.
ALUMINIO
2.7 MERCURIO
13.6
COBRE
ORO
8.9 ALCOHOL ETILICO
19.3 BENCENO
0.81
0.90
PLATA
ACERO
10.5 GLICERINA
7.8 HIELO
1.26
0.96
TABLA NO. I.2 DENSIDAD RELATIVA DEL AGUA A DIFERENTES
TEMPERATURAS.
Temperatura en 0
C
5
10
15
20
25
30
35
40
50
65
DENSIDAD
RELATIVA
1.000
1.000
0.999
0.998
0.997
0.995
0.993
0.991
0.990
0.980
9
TENSION SUPERFICIAL (γ )
La tensión superficial hace que la superficie de un líquido se comporte como una
finísima membrana elástica. Este fenómeno se presenta debido a la atracción entre las
moléculas del líquido. Cuando se coloca un líquido en un recipiente, las moléculas
interiores se atraen entre sí en todas direcciones por fuerzas iguales que se contrarrestan
unas con otras; pero las moléculas de la superficie libre del líquido sólo son atraídas
por las inferiores y laterales más cercanas. Por lo tanto la resultante de las fuerzas de
atracción ejercidas por las moléculas próximas a una de la superficie, se dirige hacia el
interior del líquido, lo cual da origen a la tensión superficial (ver Fig. No.I.1).
Ahora bien, la formación o aumento de una superficie de frontera exige el paso de un
determinado número de moléculas interiores a la superficie, realizándose un trabajo en
contra de las fuerzas que se oponen al ascenso de las moléculas. De donde se deduce
que en la superficie libre existe una energía superficial que dio origen al concepto de
tensión superficial, la cual se define como el trabajo que realizan las moléculas por
unidad de superficie y que evidentemente conduce a una fuerza por unidad de longitud.
La tensión superficial se designará con la letra griega ( γ ).En el sistema c.g.s. de
unidades absolutas la tensión superficial se mide en dinas/cm.
10
FIG. No. I.1 Tensión Superficial
Una molécula (A) en el interior de un líquido está sujeta a fuerzas de atracción en todas
direcciones y por lo tanto se encuentra en equilibrio. Y otra molécula superficial (B),
debido a la asimetría de las fuerzas de atracción, existe una fuerza resultante normal a la
superficie como se muestra en la Figura No.I.1.
A continuación se da una tabla con algunos valores de la tensión superficial en dinas/cm
a la temperatura de 20 0 C aproximadamente.
TABLA No. I.3 TENSION SUPERFICIAL
LIQUIDOS
AIRE
AGUA
MERCURIO
AGUA
72.8
0.00
392
PETROLEO
29.7
28.90
271
MERCURIO
513.0
392.0
0
11
PROBLEMAS RESUELTOS
I.1 Si 8 m3 de un aceite pesan 620.52 N,
calcular su peso específico ω,
densidad ρ y densidad relativa Dr .
Solución:
Peso específico: ω = W/V= 620.52 N / 8 m3 = 77.565 N /m3 = 0.077565 kN/m3
Densidad: ρ = ω / g = 77.565 N/m3 / 9.81 m/seg2 = 7.9067 kg/ m3
Densidad relativa = ωace / ωagu = 7.9067 / 9.7982 = 0.807
I.2 Un tubo de vidrio cuyos diámetros exterior e interior son 3 cm. y 2.5 cm.,
respectivamente se introduce verticalmente en agua. Determinar la fuerza debida a
la Tensión superficial.
Solución:
De la
definición de tensión superficial , se tiene:
Fuerza debida a la tensión superficial = γ x Longitud total de contacto
en donde la tensión superficial según la Tabla No. I.3 , tiene un valor de:
72.8 dinas / cm , y la longitud total de contacto en este caso será:
π d1 + π d2 = ( d1 + d2 ) π = ( 3.0 + 2.5 ) x 3.1416 = 17.28 cm.
Fuerza debida a la tensión superficial = 1258 dinas / cm.
12
I.3 Si 10 m3 de un aceite pesan 52 kN, calcular su peso específico ( ω ), densidad (ρ ) y
densidad relativa (Dr ).
Solución: Según la expresión (I.3), tenemos:
ωaceite =
W/V =
ω = W/V,
52 kN / 10 m3 = 5.2 kN / m3
Según la expresión (I.5), tenemos que la densidad es :
ρ = ω/g
y como sabemos que : 1kN=1000 N y también que por definición 1N = 1Kg . 1m/seg2
ρaceite = ωaceite/g = (5 200 N/m3 ) / (9.81 m/seg2 ) = 530.07 kg/ m3
Dr = ωaceite / ωagua = 5.20 kN/m3 /9.79 kN/m3 = 0.531
13
VISCOSIDAD ( μ )
En los líquidos reales la fluidez se manifiesta en mayor o menor grado. Así algunos
fluyen con mucha facilidad como es el caso del agua, mientras que otros lo hacen con
gran dificultad como son los aceites pesados.
Se puede definir un fluido ideal como aquel en el cual no existe fricción entre sus
partículas, o sea sin viscosidad ( μ = 0 ). Un fluido como éste solamente es una
idealización, puesto que todos los fluidos, de una forma u otra, son viscosos y
compresibles. En un fluido real, siempre actúan fuerzas tangenciales o cortantes cuando
existe movimiento, dando lugar a las fuerzas de fricción y que se deben a la propiedad
de los fluidos llamada viscosidad.
El hecho que unos líquidos sean más o menos fluidos se debe a la viscosidad y es la
propiedad en virtud de la cual el líquido se opone a las fuerzas deformantes y mide la
resistencia del líquido al esfuerzo tangencial.
Ahora imaginemos un líquido alojado entre dos grandes placas paralelas, cuya área es
“A”, y separadas por una distancia muy pequeña “y”, ver Fig. No.I.2. Suponiendo que
el sistema está inicialmente en reposo, en el tiempo t=0, a la placa superior se le aplica
una fuerza constante “F” y se pone en movimiento en la dirección del eje x, con una
velocidad constante U, conforme transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de
movimiento y, finalmente el fluido en contacto con la placa móvil se adhiere a ella
moviéndose a la misma velocidad U, mientras que la placa fija permanecerá en reposo.
Si la separación “ y “ y la velocidad U no son muy grandes, la variación de las
velocidades (gradiente) estará representada por una línea recta.
14
Experimentalmente se a demostrado que esta fuerza “F”, es proporcional al área “A” y
a la velocidad U, e inversamente proporcional a la distancia de separación “y” entre las
placas paralelas.
F ~ AU/y
es decir F ~ A dv/dy
por lo tanto, para establecer una igualdad
de esta expresión anterior es necesario introducir una constante de proporcionalidad
llamada viscosidad absoluta o dinámica del fluido y se representa por la letra griega μ,
por lo que queda:
F = μ A dv /dy
( I.8 )
El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x, sobre la superficie del fluido-fuerza
por unidad de área- situada a una distancia constante “y,” por el fluido existente en la
región donde “y” es menor, se designa por τxy = F / A
Entonces:
τxy = μ dv/dy
(I.9)
(I.10)
µ = viscosidad absoluta o dinámica
Las unidades de µ son kg seg/ m2
Los fluidos que siguen la relación ( I.10 ) se denominan FLUIDOS NEWTONIANOS.
15
VISCOSIDAD CINEMATICA ( υ )
En muchos problemas de hidráulica, en los que interviene la viscosidad absoluta,
frecuentemente aparece la viscosidad dividida por la densidad; este cociente se define
como la viscosidad cinemática, y se representa por la letra griega ( υ ). Por lo que queda
la viscosidad cinemática:
υ = μ / ρ
( I.11 )
Las unidades más utilizadas de la viscosidad cinemática ( υ ), son m2 / seg .
TABLA No. I.4 VISCOSIDAD CINEMATICA DEL AGUA.
* viscosidad cinemática valor de la tabla x 10-6
TEMPERATURA VISCOSIDAD CINEMATICA
0
C
( m2 / seg. ) *
5
1.520
10
1.308
15
1.142
20
1.007
25
0.897
30
0.804
35
0.727
40
0.661
50
0.556
65
0.442
16
FIGURA No. I.2 GRADIENTE DE VELOCIDAD ENTRE DOS PLACAS PARALELAS
PRESION DE VAPORIZACION
La presión de vapor se define como la menor presión a la que un líquido se evapora.
Todos los líquidos tienden a evaporarse o volatizarse, efecto que se lleva a cabo por la
expulsión de sus moléculas hacia el espacio sobre la superficie. Si es un espacio
confinado, la presión parcial ejercida por sus moléculas aumenta hasta que la
proporción de moléculas que salen del líquido es igual a las que vuelven a entrar. Para
esta condición de equilibrio, la presión de vapor se conoce como presión de saturación.
La actividad molecular aumenta con la temperatura y por lo tanto, la presión de
saturación aumenta también con la misma. A un temperatura dada, la presión en la
superficie de un líquido puede ser mayor o igual que este valor, pero no puede ser --
17
menor , ya que, con una pequeña disminución en la presión se crea una rápida
evaporización, conocida como ebullición . Por esto, la presión de saturación se conoce
también como presión de ebullición para una temperatura dada. Ya que el mercurio
tiene
una baja presión de saturación, se hace adecuado su uso en hidráulica de
dispositivos denominados barómetros. En la Tabla No. I.5 se dan valores para el agua
de la presión de vapor para diferentes temperaturas.
CAPILARIDAD
La capilaridad se representa cuando existe contacto entre un líquido y una pared sólida,
especialmente si son tubos muy delgados (casi del diámetro de un cabello) llamados
capilares. Al introducir un tubo de diámetro muy pequeño en un recipiente con agua se
observa que el líquido asciende por el tubo alcanzando una altura mayor que la de la
superficie libre del líquido. La superficie del líquido contenido en el tubo no es plana,
sino que forma un menisco cóncavo, ver Figura No. I.3 a. Si se introduce un tubo
capilar en un recipiente con mercurio, se observa que el líquido desciende debido a una
depresión. En este caso se forma un menisco convexo ( Fig. I.3 b).
18
Figura No.I.3 a
Figura No. I.3 b
MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD ( E )
El módulo volumétrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la
relación de la variación de presión a la variación de volumen por unidad de volumen.
Ver Tabla No. I.5.
E = d p / -dv/v = kg / cm2 / m3 / m3 = kg / cm2
( I.12 )
Cuando se tiene un incremento en la presión dp, se producirá una disminución de la
variación de volumen por unidad, dV/V, por lo que se le antepone un signo negativo,
( ver problema I.8).
19
TABLA No. I.5 PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA A LA PRESION
ATMOSFERICA.
Temperatura
0
C
Densidad
UTM/ m3
Viscosidad Tensión
Presión
Dinámica Superficial de
Kg seg/m2 Kg/m
vapor
kg/cm2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
50
18.27x10-5
15.50
13.34
11.63
10.25
9.12
8.17
7.37
6.69
5.60x10-5
101.96
101.97
101.95
101.88
101.79
101.67
101.53
101.37
101.18
100.76
0.00771
0.00764
0.00756
0.00751
0.00738
0.00735
0.00728
0.00718
0.00711
0.00693
0.0056
0.0088
0.0120
0.0176
0.0239
0.0327
0.0439
0.0401
0.0780
0.1249
Módulo de
elasticidad
Volumétrico
Kg / cm2
20 200
20 900
21 500
22 000
22 400
22 800
23 100
23 200
23 300
23 400
20
PROBLEMAS RESUELTOS
I.4 Hallar la viscosidad cinemática de un líquido cuya densidad relativa es 0.850 y su
viscosidad absoluta es μ = 4.9970 x 10-2 N. seg/ m2 .
Solución: Sabemos que su densidad relativa del líquido vale:
Dr = ωliq / ωagu = 0.850
;
y sabemos que la relación:
ωliq = 0.850 x 9.7982 kN/ m3 = 8.328 kN/ m3
µg = ωυ
por lo que la viscosidad cinemática vale: υ = µ g / ω
υ = 4.9970 x 10-2 N. seg/ m2 x 9.81 m/seg2 / 8 328 N/ m3
υ = 5.886 x 10-5 m2 / seg
I.5 De las Internatacional Critical Tables (ver Tabla No. I.4 ), la viscosidad del agua a
25 0 C es de 0.00894672 poises.
(b) Si la densidad relativa a 25
Calcular
0
(a)
la viscosidad absoluta en N. seg/m2
C es de 0.997, obtener el valor de la viscosidad
cinemática en m2 / seg.
Solución: Sabemos que el poise está medido en dinas seg /cm2
21
Como 1 kg = 9.81 x 105 dinas y 1 m= 100 cm, obtenemos:
1 kg seg/m2 = 9.81 x 105 dinas seg/104 cm2 = 98.1 poises
1N= 0.1020592 Kg
1 poise= 0. 09988 N.seg /m2
(a) µ = 0.00894672 poises x 0.09988 = 8.936 x 10-4 N. seg / m2
(b) υ = µ g / ω = 8.936 x 10-4 x 9.81 / (0.997x9798.2) = 0. 897 x 10-6 m2/ seg
I.6 Con referencia a la Figura No. I.6, el fluido tiene una viscosidad absoluta de 5.546 x
10-2 N. seg /m2 y una densidad relativa de 0.858. Calcular el gradiente de velocidades y
el módulo de la tensión cortante en el contorno y en los puntos situados a 20 mm. 40
mm y 60 mm del contorno, suponiendo (a) una distribución de velocidades lineal.
FIGURA No. I.4 VISCOSIDAD ENTRE DOS PLACAS PARALELAS
22
Solución:
(a) Para la hipótesis de distribución lineal, la relación entre la velocidad V, y la distancia
“ y” es : d V=16 dy , y el gradiente de velocidades es dV/dy = 16. Para y = 0, V = 0,
dV/ dy = 16 seg-1 , τ = μ ( dv / dy ) = 5.546 x 10-2 N. seg /m2 x 16 seg-1 y la tensión
cortante es:
τ = 0.8874 N/m2
Análogamente, para los otros valores de “y”, también se obtiene el mismo valor de τ.,
ya que el valor del gradiente de velocidades se mantiene constante.
I.7 Dos placas paralelas de 80 cm x 20 cm están separadas por una capa de aceite
de 0.1 cm de espesor e inclinadas 30
0
con respecto
a la horizontal como se
muestra en la Figura No. I.5 .Calcular la viscosidad del aceite, suponiendo que la
placa inferior permanece fija mientras que la superior que pesa W= 39.20 N
mueve con una velocidad de 10 cm/seg.
FIGURA No. I.5 VISCOSIDAD DE ACEITE EN PLACAS PARALELAS
se
23
Solución:
De la expresión ya conocida, τ = F/A = μ dv/ dy
se tiene
μ = F dy / A dv
en donde:
F = W sen 300 = 39.20 N x 0.5 = 19.60 N
y = 0.01 cm
A = 80 X20 = 1 600 cm2= 0.16 m2
v = 10 cm/seg = 0.10 m/seg
sustituyendo valores se obtiene:
µ = (19.60 N / 0.16 m2 ) / ( 0.10 m/seg/0.0001 m )= 0.1225 N .seg/m2 = 1.23 poises
24
I.8 a) Determinar la variación de volumen de 1.5 m3 de agua a 25 o C al aumentar la
presión en 26.5 kg/ cm2. b) A partir de los siguiente datos experimentales calcular el
modulo de elasticidad volumétrico del agua a 30 kg/cm2 el volumen era de 30 dm3 y a
280 kg/ cm2 , de 29.68 dm3 .
Solución:
a) De la tabla No. I.5 , a una temperatura de 25 o C el E= 22800 kg/cm2 .
Mediante la expresión (I.12):
dV = ( - 1.5 x 26.5 x 104 ) / 22.8x 108 = - 1.74 x 10-4 m3
b) E = dp’ / (dV/ V) = - (280 – 30 ) x 104 / (29.68-30)x10-3 /30x10-3
E= 23.44 X 107 Kg/ m2
25
1.2 PRESION HIDROSTATICA.
Concepto de Presión.- La intensidad de la presión media se define como la fuerza
normal que actúa sobre una superficie, es decir indica la relación entre una fuerza
aplicada y el área sobre la cual actúa.
Si “F” representa la fuerza total en un área finita “A”, entonces, dF representa la fuerza
sobre un área infinitesimal dA y por lo anterior, la expresión en ese punto será:
P = dF / dA
(I.13)
Si la presión está uniformemente distribuida sobre el área total, se tiene:
P=F/A
Por lo tanto las unidades de la presión pueden ser: lb /plg.2 , y
(I.14)
también se utiliza:
p = Newton/ m2 = N / m2 = 1 pascal
Debido a la posibilidad de que existan esfuerzos tangenciales entre las partículas
adyacentes en un sólido, el esfuerzo en un punto dado puede ser diferente en direcciones
distintas; pero en un fluido en reposo no existe el esfuerzo tangencial y las únicas
fuerzas, entre superficies adyacentes, son fuerzas normales a las superficies. Por
consiguiente, la presión en un fluido en reposo es la misma en todas direcciones,
principio que se conoce en Hidráulica como “Principio de Pascal”.
26
PRESION HIDROSTATICA ( P ).
Para definir este concepto de presión hidrostática vamos a suponer que tenemos un
prisma rectangular lleno de un líquido (agua), ver Figura No. I.6.
El cual tiene de dimensiones una base cuadrada de 1.0m x 1.0 m ; y tiene una altura:
h=10m.
²
FIGURA No. I.6 PRISMA RECTANGULAR LLENO DE AGUA
Por lo tanto el volumen líquido contenido en este prisma será:
Volumen líquido = V = Area de Base del prisma x altura del prisma = A x h
V = 1.00m x1.00m x 10.00 m = 10.00 m3
27
Y ahora obtenemos el peso del líquido contenido en el prisma, aplicando la expresión
vista anteriormente ( I.3 ):
W = ω V = 9.7982 kN / m3 x 10.00 m3 = 97982 N ,
el peso total o la fuerza total
por lo tanto este valor es
ejercida por el agua sobre el fondo del recipiente
rectangular.
Como la presión está aplicada uniformemente sobre el área del fondo de prisma,
aplicamos la expresión (I.14):
P = F / A = 97982 N / 1.0 m2 = 97982 N / m2 , este valor de la presión también se
P = 9.7982 N / cm2
puede representar como:
Si ahora aumentamos las dimensiones de la base del prisma rectangular a un valor de
10.m x 10.0 m , y la altura la mantenemos constante es decir h= 10.0 m. y procedemos
de la misma forma, tenemos:
V = 10.0m x 10.0m x 10.0m = 1000 m3 ;
W = 9798.2 N/m3 x 1000 m3 = 9798200 N
Y la presión será: P = F / A = 9798200 N /100 m2 =
CONCLUSION:
97982 N /m2 = 9.7982 N /cm2
No damos cuenta que la presión fue la misma aunque se
aumentó el valor del área del prisma, pero se mantuvo la altura constante. Es decir
que la presión hidrostática es función únicamente de la altura “h” o profundidad
del líquido y nunca de la forma del recipiente.
28
PRESION HIDROSTATICA ( P )
Haciendo un resumen de lo visto anteriormente tenemos:
P=F/A=
peso del agua / area del fondo prisma = W / A
Pero sabemos que: W = ω V ;
P=ωV/A ;
Y el volumen de un prisma es: V =
Area de la base x altura = A h
Y por lo tanto finalmente la presión hidrostática queda:
P = ωh
P=ωAh/A=ωh
( I.15 )
La expresión (II.15), es una ecuación fundamental en Hidráulica, pues es muy utilizada
en Ingeniería. Podemos de la expresión (II.4), despejar el valor de la altura “h”, y
queda:
h=P/ω
( I.16 )
La expresión ( I.16 ), nos indica que las presiones hidrostáticas las podemos
representar también en metros columnas de agua ( m.c.a.).
Para el ejemplo anterior tenemos:
es decir que una presión :
h = 97982 N /m2 / 9798.2 N/m3 = 10.0 m
p = 97982 N /m2 = 9.7982 N / cm2 , equivale a una
presión denominada ATMOSFERA METRICA, ingenieril, y se define como el peso de
una columna de agua de 10.00m actuando sobre un área de 1 cm2, es decir que la
atmósfera métrica al nivel del mar vale: 1 Atmósfera= 9.7982 N / cm2 . Es común
expresar la presión como una altura de columna de fluido y se le conoce como “carga de
presión” .
29
1.2.1 Ecuaciones básicas de la estática de los fluidos.
Ecuación fundamental de la hidrostática.
En la figura No. I.7, se muestra un recipiente donde consideramos una porción de
líquido AB, como un cuerpo libre de sección transversal dA y longitud “L”, y con un
ángulo con respecto a la horizontal de θ.
Ahora bien, considerando que el líquido está en equilibrio, tratemos de establecer las
condiciones de equilibrio de la sección líquida A B, suponiendo además que el peso
específico del líquido es ω. Por otra parte, observando el diagrama de cuerpo libre del
elemento (ver Figura No. I.7 ), observamos que las únicas presiones que actúan sobre la
sección líquida A B, corresponden a sus extremos.
En estas condiciones, considerando el equilibrio según el eje X se obtiene:
Σ FX = P2 dA – P1 d A – ω L dA Sen Ө = 0
( I.17 )
Simplificando: P2 – P1 = ω L Sen Ө
( I.18 )
Obsérvese que según la Fig. No. II.2 , se tiene:
L Sen θ = ( h2 - h1) = h
que es
la
(I.19 )
diferencia de elevaciones entre las dos secciones en los puntos A y B,
Por lo que queda:
P2 - P1 = ω (h2 - h1 ) = ω h
( I.20 )
30
La expresión (I.20), ES LA ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA,
y lo que indica es que la diferencia de presión entre dos puntos en el seno de un fluido
es igual al producto entre su peso especifico y el desnivel existente entre estos dos
puntos.
FIGURA No. I.7 ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA
31
PRESION ATMOSFERICA (Patm )
La tierra está rodeada por una capa de aire llamada atmósfera. El aire, que es una
mezcla de 20 % de oxígeno, 79 % de nitrógeno y 1 % de gases raros, debido a su peso
ejerce una presión sobre todos los cuerpos que están en contacto con él, la cual es
llamada presión atmosférica.
La presión atmosférica varía con respecto a la altitud con respecto al nivel del mar, por
lo que al nivel del mar tiene su máximo valor o presión normal equivalente a:
1 atmósfera = 760 mm de Hg = 1.01 x 105 N/ m2
A medida que es mayor la altura sobre el nivel del mar, la presión atmosférica
disminuye. En la ciudad de México su valor es de 586 mm de Hg equivalente a:
0.78 x 105 N/m2.
Barómetro de mercurio, experimento de Torricelli.
La presión atmosférica se puede obtener experimentalmente utilizando un barómetro de
mercurio, instrumento ideado primeramente por Toricelli. Para ello, llenó de mercurio
un tubo de vidrio de casi un metro de longitud cerrado por un extremo, tapó con su dedo
el extremo abierto, invirtió el tubo y lo introdujo en la superficie de mercurio contenido
en un recipiente. Al retirar su dedo observó que el líquido descendía del tubo hasta
alcanzar un equilibrio a una altura de 760 mm sobre la superficie libre del mercurio. Es
decir, que la fuerza que equilibra e impide, el descenso de la columna de mercurio en el
tubo, es la que ejerce la presión atmosférica sobre la superficie libre del mercurio, y es
la misma que recibe el tubo por su extremo abierto.
32
Por lo expuesto anteriormente, se tiene:
h=P/ω
( I.16 )
P = ω h = ( 13.6 x 9.7982 kN/ m3 ) x 0.760 m = 101.274 kN/ m2 =
el
valor
P= 1.013 x 105 N/m2
(I.21),
1.013 x 105 N/m2
se denomina atmósfera estándar.
FIGURA No. I.8 EXPERIMENTO DE TORRICELLI
33
1.2.2 DISTRIBUCION DE PRESION HIDROSTATICA
Considerando dos puntos cualesquiera, uno coincidiendo con la superficie libre del líquido
h1
y
otro
a
cualquier
elevación
h2
(
Fig.
No.
I.9),
Patm / ω + h1 = p/ ω + h2
resulta:
(I.22)
La presión absoluta en el punto considerado es:
Pabs= Patm + ω ( h1 – h2 )
donde Patm representa la presión atmosférica sobre la superficie libre
(I.23)
del
líquido
y
( h1 – h2 ) la profundidad del punto considerado. En la expresión (I.23), Pabs corresponde a la
presión absoluta del punto de que se trata y se mide a partir del cero absoluto de presiones. La
presión atmosférica local depende de la elevación sobre el nivel del mar del lugar en que se
encuentra el líquido. Es más común medir la presión hidrostática utilizando como valor cero
de referencia a la atmosférica local. La presión así medida se llama manométrica o
simplemente presión y las unidades más usuales son kg/cm2 , kg/m2., o
bien en N/m2.
FIGURA NO. I.9 DISTRIBUCION DE PRESIONES HIDROSTATICAS EN UN LIQUIDO
34
PRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICA.
Cuando la presión se expresa como una diferencia entre su valor real y el vacío completo, se
le llama presión absoluta, esto es, si se mide con respecto al cero absoluto de presión. Cuando
se mide tomando como base la presión atmosférica local, se le denomina presión
manométrica. Lo anterior se debe a que prácticamente todos los medidores de presión marcan
cero cuando están abiertos a la atmósfera, y al medir la presión en un fluido, lo que hacen es
registrar la diferencia que tiene la presión en un punto, por encima de la atmosférica.
Si la presión está por debajo de la atmosférica se le designa como un vacío y su valor
manométrico es a partir de la atmosférica. Un vacío perfecto corresponde al cero absoluto de
presión. La presión manométrica es positiva cuando está por encima de la atmosférica y
negativa si es un vacío, Figura No. I.44., y según esta figura se puede ver que:
Pabs = Pman + Patm
FIGURA NO. I.10 RELACION ENTRE PRESIONES
( I.24 )
35
PROBLEMAS RESUELTOS
I.9. Determinar la presión en N/m2 , sobre una superficie sumergida a 11 m de profundidad en
una masa de agua.
Solución:
Utilizando
el valor medio para el agua de 9.7982 kN/m3 para ω, se obtiene lo siguiente:
P = ω h = 9.7982 kN/m3 x 11 m = 107780.2 N /m2 = 10.78 N/ cm2
I.10. Determinar la presión en N/m2 a una profundidad
de 20 m en un aceite de densidad
relativa de 0.850.
Solución:
Dr = ωaceite/ ωagua = 0.850
Pman = ω h
= 8328.47 N/m3 x
ωaceite = 0.850 x 9.7982 kN/m3 = 8328.47 N/m3
20 m = 166569.4 N/ m2 =
16.66 N / cm2
I.11. Determinar la presión absoluta en N/m2 del problema I.9 si la lectura barométrica es de
76.10 cm de mercurio ( densidad relativa 13.57 ).
Solución:
Presión absoluta =
Patm
=
presión atmosférica + presión manométrica debida a los 11 m de agua
ωmercurio x h = ( 13.570 x 9798.2 N/m3 ) x
0.7610 m = 101183.76 N/m2
Pman = 107780.2 N /m2
Pabsoluta = 101183.76 N/m2 + 107780.2 N /m2 = 208963.96 N/m2
(ver problema No.I.9)
36
I.12. ¿A qué profundidad de un aceite, de densidad relativa de 0.840, se producirá una presión
de 66.63 N / cm2 ? ¿ A cuál si el liquido es agua ?
Solución:
ωaceite = 0.840 x 9798.2 N/ m3 = 8230.49 N/m3
haceite = p/ωaceite =
hagua
=
p/ ωagua =
( 666300 N / m2 ) / 8230.49 N/m3 = 80.95 m
666300 N / m2 / 9798.2 N/ m3
= 68.00 m
I.13 (a) convertir una altura de presión de 6.5 m de agua en una altura de aceite (densidad
relativa de 0.845), (b) convertir una altura de presión de 65 cm de mercurio en una de aceite
(densidad relativa de 0.800).
Solución:
(a)
haceite = ( 6.5 m x 9.7982 kN/ m3 ) / (0.845 x 9.7982 kN/ m3 ) = 7.69 m
(b)
haceite = (13.57 x 9.7982 kN/ m3 ) x0.65 m / (0.800 x 9.7982 kN/ m3 ) = 11.025 m
37
1.2.3 Dispositivos de medición
Se han utilizado varios dispositivos para la medición de las presiones producidas por un
líquido en reposo, llamados comúnmente manómetros. Los manómetros que se usan con más
frecuencia en hidráulica son los denominados de líquidos, con los cuales la medición de
presiones se reduce, en último análisis, a medir la carga de presión equivalente que produce
una columna líquida contenida en un tubo.
Los manómetros de líquidos se pueden clasificar en:
Tubos piezométricos
Manómetros abiertos propiamente dichos
Manómetros diferenciales
Tubos piezométricos.- Entre los manómetros de líquidos el más elemental recibe el nombre
de tubo piezométrico. El piezómetro está constituido por un simple tubo graduado vertical,
con un diámetro mayor de 13 milímetros para evitar los efectos de la tensión superficial. El
extremo superior ordinariamente está abierto y el inferior conectado en el punto donde se
quiere conocer la carga de presión, la cual se lee directamente en el tubo. Los tubos
piezométricos se emplean en la medición de presiones moderadas, para las cuales las cargas
de presión no rebasan los límites que se indican en los piezómetros. Los piezómetros también
se utilizan para medir presiones en los tubos por los que circulan líquidos. En este caso la
dirección del tubo piezométrico debe ser normal a la dirección de la corriente y además que el
extremo conectado quede al ras con la superficie interior de la superficie interior de la tubería.
38
a).- Para presiones mayores que la atmosférica.
El piezómetro se coloca como se muestra en la Figura No. I.11, de manera que el líquido del
recipiente llena parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto nivel ( M-M ). La presión total en A
se obtiene aplicando la expresión:
PA = Patm + ω h
( I. 24 )
Figura No. I.11 PIEZOMETRO (para presiones mayores que la atmosférica)
La altura “ h” recibe el nombre de altura piezométrica y su valor se obtiene de la expresión:
h = PA / ω
( I. 25)
39
b).- Para presiones menores que la atmosférica.
El tubo piezométrico debe tener la forma como se indica en la Figura No. I.14, y por lo tanto
la presión en N será:
PN = Patm = PA + ω h
( I.26)
y la presión en A será:
PA = Patm - ω h
(I.27)
Figura No. I.12 PRESIONES MENORES QUE LA ATMOSFERICA
Manómetros abiertos propiamente dichos.- Estos manómetros se utilizan para medir
presiones comparativamente grandes que rebasan los límites que pueden indicar un
piezómetro, empleándose para tal fin un tubo en forma de U con mercurio.
40
a).- Para presiones mayores que la atmosférica.- Suponemos que la columna mercurial por
el extremo abierto alcanza el nivel B sobre la que actúa la presión atmosférica, ver Figura No.
I.13. El problema se reduce a determinar la presión en el punto A, la cual se obtiene
estableciendo las presiones en C y D que deberán ser iguales por estar a un mismo nivel.
En efecto, la presión en D tiene el valor de:
PD = Patm + ωm hm
en donde ωm
( I.28)
es el peso específico del mercurio. Por otra parte, la presión en C tiene el
PC = PA + ω h
valor:
(I.29)
siendo ω el peso específico del líquido cuya presión se trata de determinar.
Figura No. I.13 MANOMETRO PARA PRESIONES MAYORES A LA ATMOSFERICA
PA + ω h = Patm + ωm hm
De donde:
Pa = Patm + ωm hm – ω h
(I.30)
41
b).-Para presiones menores que la atmosférica.
Siguiendo un razonamiento análogo se establecen las presiones:
PB = Patm
PD = PA + ωh + ωm hm
las cuales deben ser iguales, resultando:
PA + ω h + ωm hm = Patm
PA = Patm - ωm hm - ω h
Figura No. I.14 PARA PRESIONES MENORES QUE LA ATMOSFERICA
(I.31)
42
1.3 EMPUJES HIDROSTATICOS
1.3.1 RESULTANTE DE LA CUÑA DE PRESIONES.
Una manera de determinar la fuerza hidrostática o empuje hidrostático sobre un área plana es
usando el concepto del prisma de presiones, ver Figura No. I.24.
Supongamos que queremos determinar el empuje hidrostático, sobre un muro vertical, cuya
altura del agua es H. Consideremos a una profundidad h, un área elemental
dA = L dh
sobre la cual actúa una fuerza total cuyo valor es:
dE = p dA = ω h L dh
( I.32)
Integrando de 0 hasta H, el empuje o fuerza total del líquido será.
E = ∫ d E = ω L ∫ h dh = ω L H2 / 2
( I.33)
Es decir que la expresión (I.33), nos representa el volumen total del prisma o cuña de
presiones. Y donde el valor de ω es constante por tratarse de un solo líquido. Por otra parte, el
momento de la fuerza dE alrededor de un eje que pasa a través de un punto P, es:
d Mp = dE (H-h ) = ω L ( H-h ) h dh
( I.34)
y el par total será :
Mp = ∫ dMp = ω L ∫ ( H-h) h dh = ω L H3 / 6
(I.35)
43
FIGURA NO. I.15 PRISMA O CUÑA DE PRESIONES
1.3.2 CENTRO DE PRESIONES
Para determinar la línea de acción del empuje se considera que el momento producido por E,
debe ser igual al momento dado por la expresión ( I.35) ,es decir:
(ω L H2 / 2 ) y = ω L H3 / 6
de donde:
y = 1/3 H
es decir que la fuerza resultante estará aplicada a 1/3 H , o bien esta fuerza estará aplicada a
2/3 H, a partir desde la superficie libre del líquido.
44
1.3.3 EMPUJE EN SUPERFICIES PLANAS
Como se mencionó anteriormente, cuando un fluido está en reposo no existen esfuerzos
tangenciales dentro del mismo; entonces, las fuerzas son normales a la superficie en cuestión.
El ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder diseñar las
estructuras que los contienen.
La fuerza “P” ejercida por un líquido sobre un área plana “ A” es igual al producto del peso
específico ω del líquido por la profundidad hcg del centro de gravedad de la superficie y por
el área de la misma. La expresión es:
P
=
ω
h
A
(I.36)
y esta fuerza estará aplicada en un punto denominado “ centro de presiones”, como se verá a
continuación.
Desarrollar (a) la ecuación (I.36) que da la fuerza hidrostática que actúa sobre un área plana y
(b) localizar dicha fuerza.
a) Vamos a suponer una superficie plana “AB” sumergida en el seno de un líquido cualquiera
(puede tratarse de una compuerta sumergida), y que forma un ángulo de inclinación θ con la
horizontal, como se muestra en la Figura No. I.16 , y también se puede ver la proyección de
esta superficie.
45
Considerando una franja diferencial de área dA. Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre esa
área elemental es igual al producto de la presión por el área dA:
dP = p dA = ω h dA
(I.37)
Sumando todas las fuerzas elementales que actúan sobre la superficie, y según la figura:
h= y Sen θ , se tiene:
P
= ∫ ω h dA =
∫ ω ( y Sen θ ) dA
= (ω Senθ ) ∫ y d A = ( ω Sen θ ) y
donde ω y θ son constantes y, por estática sabemos que ∫ y dA= y
figura: h
P= ωh
=y
A
A. , y según la
Sen θ
A
( I.38
)
Y obtenemos la expresión fundamental para obtener el empuje hidrostático sobre una
superficie plana sumergida.
46
´
FIGURA NO. I.16 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE UN AREA PLANA
(b) Para situar la fuerza P se procede a tomar momentos. El eje “OX” se escoge como la
intersección del plano que contiene la superficie libre del agua. Todas las distancias “y” se
miden a partir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se representa por yc.p., que mide
la distancia al centro de presión. Como la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto
del eje OX = al momento de la resultante, se obtiene:
∫ (dp x y ) = P x yc.p.
47
Pero dP = ω h dA = ω ( y senθ ) dA
(ω sen θ ) ∫ y2 dA = ( ω sen θ ) (y
y P= (ω sen θ ) y A
A) yc.p.
Pero sabemos que ∫ y2 dA = al momento de inercia del área plana respecto del eje OX,
Io / y
A = yc.p.
A partir del teorema de Steiner,
Yc.p. = Ic.p. + A y2 / y
A = I
/ (y
A) + y
( I.39)
Se observa que la posición del centro de presión estará siempre por debajo del centro de
gravedad de la superficie o bien ( yc.p. - y
) es siempre positivo. Y este punto ( Yc.p. ), es
muy importante ya que representa el punto donde está aplicada la fuerza o empuje total
hidrostático.
48
PROBLEMA RESUELTO:
I.14 Una presa de mampostería de gravedad de sección trapezoidal con una cara vertical,
tiene un espesor de 0.80 m en la corona y 4.00 m en la base. La cara vertical está sujeta a la
presión hidrostática del agua almacenada, la cual llega a 5.40 m arriba de la base; la altura del
muro es de 6.00m y su peso volumétrico de la mampostería
es de:
21556.04 N/m3 .
Determinar:
a) La fuerza hidrostática total actuando sobre la presa, b) el punto de aplicación de esta fuerza,
c) el momento total de volteo, d) el momento total resistente,e) el coeficiente de seguridad
contra el volteamiento.
49
FIGURA NO. I.17 De problema I.14
Solución:
a) Aplicando la I.36, se tiene:
P=ωh
A = 9.7982 kN/ m3 x 2.7m x (5.40m x 1.00m) =
142.8577 kN =
142857.756
N
b) Para obtener su punto de aplicación, aplicamos la I.39:
Yc.p. = I
/(y
x A)
+y
I
= b h3 /12 = 1.00 x (5.40)3 / 12 = 13.122 m4 ( en este caso se está considerando un 1 m
de ancho de presa).
= h
= 5.40 / 2 = 2.70m (por ser un muro vertical, en este caso, estas dos alturas
serán iguales).
A= 5.40 X 1.00 = 5.40 m2
Yc.p.= 3.60 m
es decir que la fuerza hidrostática estará actuando a 1/3 del fondo de la
presa., o a 2/3 desde la superficie libre del agua.
c) el momento de volteo es aquel que trata de producir un volteo a la presa, y se obtiene con
el momento producido al pie de la presa por la fuerza hidrostática, punto D.(Fig. I.17).
50
Mvolteo = 142857.756 N x 1.80 m = 257143.96 N.m
d) El momento resistente es el que produce el peso propio de la presa para que resista la
fuerza hidrostática y no exista volteo. Para lo cual se divide la sección trapecial en dos áreas
una rectangular y otra triangular, y se obtiene los momentos que producen sus pesos, con
respecto al pie de la presa, también en el punto D.
W1 = ( 0.80 x 6.00 x 1.00 ) x 21556.04 N/m3 = 103468.992 N
M1 = 103468.992 N x 3.60 m = - 372488.37 N.m
W2 = ( 3.20 x 6.00)/2 x 21556.04 N/m3 = 206937.984 N
M2 = 206937.984 N x 2/3 ( 3.20) = - 441467.70 N.m
MR = M1 + M2 = - 813956.07 N.m
( el signo menos es por que se está considerando que
producen un giro contrario a las manecillas del reloj).
e) finalmente el coeficiente de seguridad contra el volteo será:
C.S. = MR / Mvolteo = 3.17 , este resultado quiere decir que la presa no tiene problemas con
respecto a su estabilidad por volteo, ya que el valor es mayor de uno. En este caso se tendría
que reducir el valor de la base de la presa.
51
I.3.4 EMPUJE EN SUPERFICIES CURVAS.
Para explicar el empuje hidrostático que actúa sobre una superficie curva, se analiza el
siguiente problema:
I.15
Determinar y situar las componentes de la fuerza hidrostática sobre la compuerta de
sector circular AB (ver Figura No. I.18) por metro de longitud de la compuerta.
52
FIGURA NO. I.18 EMPUJE HIDROSTATICO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA
Solución:
Aplicando la expresión I.36:
PH = fuerza sobre la proyección vertical de CB = ω h
que actúan a :
ACB
= 9.79 kN/ m3 x (6 m ) (2 mx1m)= 117.48 kN,
Yc.p. = Ic.p. + A y2
A)
según la
( I.39)
= b h3 /12 = 1 x 23 /12 = 0.66667 m4
)
(considerando un ancho unitario de compuerta de 1 m
53
A)
= 0.66667/ ( 6x 2 ) + 6 = 6.05555 m
( distancia desde la superficie libre del
agua )
PV = peso del agua sobre sector circular AB = 9.79 kN/ m3 ( π 22 /4 x 1 ) m3 + 9.79 kN/ m3 (5x2x1 ) m3
( que viene siendo el empuje vertical del agua sobre el sector circular AB).
PV = 128.66 kN
( nota: ω = 9.79 kN/ m3 peso específico del agua en el Sistema Internacional SI )
Que pasa por el centro de gravedad del volumen del líquido, en este caso se trata de una área compuesta. El
centro de gravedad del volumen líquido del cuadrante de un círculo está situado a una distancia de 4/3 x r/π de
cada uno de los radios perpendiculares que lo limitan. Por tanto se tiene: Xc.p. = 4/3 x 2/π = 0.8488 m a la
derecha del radio BC. Y el centro de gravedad del volumen líquido rectangular, estará situado a la mitad del
lado del rectangulo. Por lo que es necesario encontrar el centro de gravedad de la sección compuesta ( rectángulo
y sector circular)., por lo que se tiene:
97.9 kN x 1m + 30.76 kN x 0.8488 m = ( 128.66 kN )
→
CB hacia la derecha ( ver Fig. No. III.18 )
Por lo tanto la Fuerza Resultante Total que está actuando sobre la superficie curva sumergida será la suma
vectorial de las dos fuerzas obtenidas.
Ftotal =
( PH2 + PV2 )
= 174.23 kN
Nota: Cada una de las fuerzas elementales (dF ) estarán actuando normal a la compuerta AB, y por lo tanto,
su línea de acción pasa por el eje C. Y la fuerza resultante también pasará por C. Todo esto se puede comprobar,
si se toman momentos respecto a C:

MC = - 117.48 kN ( 1.0555 m ) + 128.66 kN ( 0.96385 ) ≈ 0
1.4 FLOTACION
1.4. 1 PRINCIPIO DE ARQUIMIDES
54
“ Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido, sufre un empuje vertical de
abajo hacia arriba, y cuyo valor es igual al peso del volumen de líquido desalojado”. Y el
punto de aplicación de dicho empuje coincide con el centro de gravedad del volumen
desalojado y se conoce con el nombre de centro de flotación o de carena.
1.4.2
CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION. Pueden
existir 3 casos:
a) Si W= peso del cuerpo,
E= empuje,
si
W= E
existe equilibrio, y el cuerpo puede
estar flotando con una parte sumergida y otra fuera de la superficie.
Vcuerpo ωcuerpo = V’ ωliquido
(I.40 )
b) Si W> E , es decir que cuando el peso del cuerpo es mayor que el empuje ejercido por el
líquido, el cuerpo se sumergirá.
c) Si W < E , es decir que cuando el empuje es mayor que el peso de dicho cuerpo, este
flotará y no se sumergirá.
Para obtener el valor del empuje E, sabemos que es igual al peso del volumen líquido
desalojado:
donde :
E= ωliq V’
ωlíq = peso específico del líquido (N /m3)
V’ = volumen del líquido desalojado o desplazado (m3 )
PROBLEMAS RESUELTOS.
(I.41)
55
I.16 Una piedra pesa 529.10 N en el aire y 235.16 N, cuando está sumergida en el agua.
Calcular el volumen y la densidad relativa de la piedra.
Solución:
En este caso se tiene que el empuje que recibe la piedra será:
E = 529.10 N – 235.16 N =
293.94 N
Pero sabemos que el empuje es igual al peso del líquido desalojado:
E=
ωlíq V’ = 293.94 N
V’ = 293.94 N / 9798.2 m3 = 0.030 m3
ωagua = 9798.2 N /m3
(en este caso equivale al volumen de la piedra)
Densidad Relativa (Dr ) = ωcuerpo / ωagua , ωcuerpo = 529.10 N / 0.030 m3 =
17636.67 N/ m3
Dr = 17636.67 N/ m3 / 9798.2 N/ m3 = 1.80
Esto nos indica que como la densidad relativa de la piedra en este caso es un valor mayor que
1,
Dr > 1 , por lo tanto el cuerpo es 1.80 veces más pesado que el agua y el cuerpo se
sumergirá en el agua.
I.17 Un objeto prismático de 20 cm de espesor por 20 cm de ancho y 40 cm de longitud se
pesa en el agua a una profundidad de 50 cm, dando un peso de 49.0 N. ¿ Cuánto pesa en el
aire y cuál es su densidad relativa ?
56
E = Waire - Wagua = peso del volumen desalojado =
ωlíquido V’ =
9798.2 N /m3 x
( 0.20 mx 0.20 m x 0.40 m) = 156.77 N
156.77 N = Waire – 49.0 N
por lo tanto:
Dr = 205.77 N / 0.016 m3 / 9798.2 N /m3 = 1.31 ,
Dr > 1
agua y se sumergirá en el líquido.
PROBLEMAS PROPUESTOS
→ Waire = 205.77 N.
→
es más pesado que el
57
I.1 Un determinado líquido tiene un volumen de 0.50 m3 , y tiene un peso de 6.0 kN. Determinar a)
peso específico en kN/m3, b) densidad en kg/ m3 , c) densidad relativa.
Solución:
12 kN/m3 , 1223.24 kg/ m3
, 1.22
I.2 Hallar la viscosidad cinemática de un líquido cuya viscosidad absoluta es de 20.60 poises y su
densidad relativa es de 0.875, dando el resultado en m2 /seg.
Solución:
2.35 x 10-3 m2 /seg
I.3 Obtener la presión manométrica (N/m2 ), de una columna de agua de h= 42.50 m. ¿ Qué altura se
deberá tener para obtener la misma presión, si el líquido en cuestión tiene una densidad relativa de
0.675?.
Solución: 416423.5 N /m2 , 62.96 m
I.4 Obtener la presión absoluta en
( N / m2 ) del problema I.3. Si la lectura barométrica es de
75.8 cm de mercurio (densidad relativa del mercurio 13.57).
Solución: 517208.37 N / m2
I.5 Un barómetro registró una columna mercurio de 752.60 mm. Obtener la presión en, a) kg/m2 ,
b) kg/ cm2
Solución:
100066.88 N /m2 ,
10.01 N /m2 .
I.6 ¿A qué profundidad de un aceite de densidad relativa de 0.890, se producirá una presión de
69.57 N/cm2 ? ¿A cuál si el líquido es agua?.
Solución: 79.76m, 71.0 m.
I.7 Un recipiente contiene agua y posee un manómetro, (ver Fig. I.11, pag.38 ). Si la presión
atmosférica de la región es de 10.102 N /cm2 . Determinar la presión absoluta en el punto A, si sabemos
que h= 60 cm.
Solución: 10.69 N /cm2
I.8 Si el mismo recipiente del problema I.7, contiene glicerina. Determinar la presión absoluta en A.
(densidad relativa de la glicerina es de 1.26).
Solución. 10.844 N/ cm2
58
I.9 Determinar la presión absoluta en A, debido a la columna de mercurio (densidad relativa 13.57) en
el manómetro en U, mostrado en la Fig. No. I.13 (pag.40). Sabiendo que la presión atmosférica es de
10.1215 N./cm2 y h= 60 cm de agua y la columna de mercurio es hm = 80 cm
Solución: 21.346 N / cm2
I.10 Determinar la presión manométrica en A, con los mismos datos del
problema I.9.
Solución: 10.050 N /cm2
I.11 Un depósito tiene una longitud de 10 m, y la sección recta mostrada según figura , el agua llega
hasta el nivel AE. Determinar: a) la fuerza total que actúa sobre el lado BC y b) el módulo y la posición
de la fuerza total sobre el extremo ABCDE.
Solución: 1940 kN, 607.488 kN, 3.845m
Figura del Problema I.11
I.12 Una compuerta vertical rectangular AB de 5.0 m de altura y 1.90 m de ancho, puede girar
alrededor de un eje situado a 21 cm., por debajo de su centro de gravedad de la compuerta. La
profundidad total del agua es de 9.0 m. ¿Qué fuerza “P” horizontal deberá aplicarse en el fondo de la
compuerta para mantenerla en equilibrio?
Solución: 29.063 kN
59
Figura del Problema I.12
I.13 Un cuerpo pesa 298.845 N. en aire y 193.22 N sumergido en un aceite de densidad relativa
de 0.785. Determinar su volumen y su densidad relativa.
Solución: 0.01373 m3 , 2.22
I.14 Un cubo de aluminio de 16.30 cm de arista pesa 59.083 N sumergido en agua. ¿Qué peso aparente
tendrá al sumergirlo en un líquido de densidad relativa de 1.18?
Solución:
51.636 N
I.15 Una pieza de oro y plata, aleados con cierta ley, pesa 54.65 gr. fuera del agua y 51.35 gr. dentro
de ella. Si el peso específico del oro puro es 19.25 gr/cm3 y el de la plata es de 10.3 gr/cm3. Determinar
los porcentajes a que se han ligado dichos metales.
Solución: 70% oro, 30 % plata
UNIDAD II
TEMA: HIDRODINAMICA
60
2.1 CINEMATICA DE FLUIDOS
La cinemática de los fluidos estudia
el movimiento y trayectoria de las partículas en
un determinado fluido, sin tener en cuenta las fuerzas que producen este movimiento.
Y únicamente en base al conocimiento de las magnitudes cinemáticas: velocidad,
aceleración y rotación.
2.1.1 CAMPOS VECTORIALES
Se denomina campo de flujo a una
región en el espacio donde se localiza un fluido en
movimiento. En un campo de flujo existen una infinidad de puntos donde es posible
determinar una serie de magnitudes físicas, ya sea escalares, vectoriales o tensoriales y
que éstos pueden formar campos independientes o dependientes dentro del flujo.
Un campo escalar queda definido únicamente en función de la magnitud de la cantidad
física a la cual corresponde; ejemplos: peso específico, presión, densidad y viscosidad,
etc.
En cambio para una magnitud vectorial, además de la magnitud, se necesita definir una
dirección y un sentido para el
vector al
que corresponde; esto es, tres valores
escalares. La velocidad, la aceleración y la rotación son ejemplos de campos vectoriales.
2.1.2 VELOCIDAD, ACELERACION Y ROTACION
El campo de velocidades.-
61
Según la Cinemática, el análisis del movimiento y la trayectoria de una partícula del
fluido que sigue una trayectoria curva en el espacio se puede analizar de la siguiente
forma:
a) si conocemos el vector de posición r, de un punto “ P” sobre una curva, como una
función vectorial del tiempo t (ver Figura No. II.1).Cualquier punto en el espacio
quedará definido por: r = r ( t) = x i + y j + z k
( II.1)
donde i, j, k representan los vectores unitarios respecto a los tres ejes de coordenadas
ortogonales cualesquiera; y (x,y,z) las proyecciones de r según dichos ejes. Estas
proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo: x = x(t ) ; y = y (t) ;
z = z (t)
b) Como sabemos que la partícula líquida sigue una trayectoria curva y esto en función
del camino recorrido-tiempo. Es decir en este caso la posición de la partícula se
determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la trayectoria curva (a partir
de un punto origen O’), como una función escalar del tiempo (Figura No. II.2); esto es:
s=s(t)
( I.2)
El vector velocidad de una partícula fluida se puede definir como la variación de rapidez
temporal del cambio en su posición con respecto al tiempo. Si la partícula P de la Fig.
No. II.3 se desplaza siguiendo la trayectoria C, descrita en cada instante por el vector
de posición de la partícula (según la expresión II.1), por lo tanto la velocidad será la
variación de dicho vector de posición con respecto al tiempo.
v = d r/dt = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k
(II.3)
62
donde dr representa el vector diferencial del arco sobre la curva C, que recorre la
partícula en el tiempo dt. La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un
flujo y, al desplazarse la partícula según la curva S, es un vector tangente en cada punto
a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo:
FIGURA NO. II.1 Movimiento de una partícula, según la curva r = r (t)
FIGURA NO. II.2 Movimiento de una partícula según la curva s = s (t)
63
FIGURA NO. II.3 Posición y componentes de la velocidad de una partícula.
El campo de aceleraciones.
La aceleración es una magnitud vectorial derivado del de velocidades pues el vector
aceleración de una partícula en un punto se define como la variación de la velocidad en
ese punto con respecto al tiempo; esto es:
a = dv / dt = d2 r / d t2
( II.4)
Así, pues, el vector velocidad v es tangente a la trayectoria del punto P.El vector
aceleración a es la variación con el tiempo de v, es decir,
a = d v/dt = d2 r / d t2 = d2 x / dt2 i + d2 y/dt2 j + d2 z/dt2
(II.5)
64
Por lo tanto la aceleración tendrá también
coordenadas cartesianas, son:
ax
=
d vx /dt
; ay
=
componentes según los tres ejes
d vy / dt ;
az = d vz / dt
de
(II.6)
Es necesario conocer también la magnitud de las componentes de la aceleración en
cualquier punto de la trayectoria. La distancia S medida desde un punto de origen O’
(ver Fig. II.4) , siguiendo la trayectoria curvilínea, a lo largo de la cual se pueden
determinar las propiedades del flujo. En cada punto de la trayectoria hay una dirección
n, normal a la tangente local.
a = as + an = ( dv/dt) et + ( v2 /ρ ) en
(II.7)
Si la trayectoria es curvilínea el vector unitario et gira conforme P se mueve. Donde en
es un vector unitario normal a et , y ρ= radio de curvatura
FIGURA NO. II.4 Trayectoria de una partícula y vectores unitarios.
65
El campo rotacional.
Además del campo de aceleraciones existe otro campo vectorial derivado del de
velocidades: el rotacional que evalúa la rotación local de una partícula y se define por el
determinante:
rot v =
i
∂ /∂x
Vx
j
k
∂/∂y
∂/∂z
Vy
Vz
cuyo desarrollo es:
rot v = ( ∂ Vz /∂y - ∂ Vy/ ∂z ) i + (∂Vx / ∂z - ∂Vz /∂x ) j + ( ∂ Vy/ ∂x - ∂ Vx/ ∂y ) k
( II.8 )
que también es función, tanto de punto como de tiempo y es una medida de la rotación o
vorticidad de la partícula dentro del flujo.
2.1.3 DEFINICION Y CLASIFICACION DE FLUJOS.
En Mecánica de los Fluidos existen diferentes criterios para clasificar un
flujo. Este puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme;
tridimensional, bidimensional o unidimensional; laminar o turbulento; incompresible o
compresible; rotacional o irrotacional; etcétera. Estos son los flujos más importantes
que clasifica la ingeniería.
66
El flujo permanente, se refiere a la condición según la cual las características del flujo
en un punto (velocidad, tirante, gasto, ect.) no varían con respecto al tiempo, es decir:
∂ v / ∂ t = 0, ∂ d / ∂ t = 0 , ∂ Q / ∂ t = 0, y en caso contrario si el flujo es no permanente
no se cumplen las ecuaciones anteriores.
Se dice que el flujo es uniforme cuando el flujo se efectúa de de tal manera
que el gasto, la profundidad del agua, la velocidad, ect.,serán constantes de una sección
a otra con respecto a una longitud, esto se puede representar como: ∂ Q / ∂ x = 0 ,
∂ V / ∂ x = 0 , en caso contrario, el flujo es no uniforme. El flujo puede también
clasificarse en tridimensional, bidimensional y unidimensional. Es tridimensional
cuando sus características varían en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen
en las tres dimensiones; éste es el caso más general de flujo. Es bidimensional cuando
sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo
componentes en dirección, perpendicular a dichos planos.
Es unidimensional cuando sus características varían como funciones del tiempo y de
una coordenada curvilínea en el espacio, usualmente la distancia medida a lo largo del
eje de la conducción.
La clasificación de los flujos en laminar y turbulento está en función de la velocidad
que lleva el fluido por una determinada conducción, así como también de la viscosidad
de fluido (esto se verá más adelante en la Unidad IV).
67
En el movimiento laminar se observan velocidades pequeñas y que las partículas
líquidas siguen trayectorias uniformes y paralelas. Si se inyecta colorante ( de la misma
densidad que el líquido) dentro de un flujo laminar, en este caso se observa como un
filamento delgado que sigue las trayectorias del flujo. En el flujo turbulento, se
caracteriza por velocidades más grandes, y las partículas se mueven siguiendo
trayectorias no paralelas, sin orden.
Un flujo se considera incompresible si los cambios de densidad de un punto a otro son
despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible.
Cuando en un flujo el campo rot v adquiere en alguno de sus puntos valores distintos de
cero, para cualquier instante el flujo se denomina rotacional. Por el contrario, si dentro
de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante, el
flujo es irrotacional.
PROBLEMA II.1
Demostrar que el flujo, cuyo campo de velocidades se indica en seguida, es irrotacional.
Vx = ( 2x + y + z ) t
Vy = ( x - 2y + z ) t
Vz = ( x + y ) t
Solución. Para que el flujo sea irrotacional se debe satisfacer que: rot v = 0
68
rot v = ( ∂ Vz /∂y - ∂ Vy/ ∂z ) i + (∂Vx / ∂z - ∂Vz /∂x ) j + ( ∂ Vy/ ∂x - ∂ Vx/ ∂y ) k
rot v = ( t – t ) i + ( t – t ) j + ( t – t ) k = o
lo cual demuestra que el flujo es, irrotacional.
2.1.4 Línea de corriente, trayectoria, y vena líquida.
Se supone que en un instante to se conoce el campo de velocidades v, de un flujo.
Figura. No. II.5 Concepto de línea de corriente.
69
Se define como línea de corriente o de flujo toda línea trazada idealmente en el
interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus puntos
proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente al mismo punto. Por lo
que no existe posibilidad de que dos líneas de corriente se intersequen, pues ello
significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores v distintos. Se
observa que esta definición se refiere a las condiciones de un flujo no permanente en un
instante particular. Al cambiar de un instante a otro la configuración de las líneas de
corriente será, por supuesto, distinta.
De la definición de línea de corriente, el vector diferencial de arco ds y el vector
velocidad son paralelos, de manera que se puede escribir:
d s = v dt
; que representa la ecuación diferencial de la línea de corriente. Esta
ecuación, en términos de sus componentes, es
d x = Vx d t
d y = Vy d t
d z = Vz d t
70
O bien, para un instante to considerado, se pueden escribir de la siguiente forma:
dx
Vx (x,y,z,to)
=
dy
Vy(x,y,z,to)
=
dz
Vz(x,y,z,to)
( II.9 )
que forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales.
FIGURA NO. II.6 Concepto de tubo de flujo.
71
Se considera ahora, dentro del flujo, la curva C cualquiera de la Fig. II.6 (que no sea
línea de corriente) y las líneas de corriente que pasan por cada punto de esa curva. La
totalidad de éstas líneas están contenidas en una superficie que se denomina superficie
de flujo o de corriente. Si la curva C es cerrada, la superficie de corriente formada
adquiere el nombre de tubo de flujo y, el volumen encerrado por esta superficie, el de
vena líquida o fluida. La trayectoria de una partícula es la línea que une los puntos de
posición sucesivamente ocupados por dicha partícula en el transcurrir del tiempo (Fig.
II.5).
PROBLEMA II.2. – Determinar la ecuación de las líneas de corriente de un flujo
permanente, bidimensional, simétrico respecto del eje y, ver Fig.II.6, que choca contra
una placa horizontal contenida en el plano x-z, cuyo campo de velocidades está definido
por las componentes:
Vx = 5 x
Vy = - 5 y
Vz = 0
Solución. De acuerdo con las Ecs. (II.9), la ecuación diferencial de las líneas de
corriente es:
72
dx
=
dy
5x
-5 y
Cuya integración conduce a la ecuación:
lnx= -lny +lnc
o bien
xy=c
que es la ecuación de las líneas de corriente y corresponde a una familia de hipérbolas
rectangulares, asintóticas a los ejes x y y
2.2 Conservación de la masa
2.2.1 Ecuación de Continuidad.
Imaginemos una corriente líquida de sección variable como se muestra en la Fig. II.7 y
tracemos una sección S normal a la dirección del movimiento.
Suponiendo que por la sección S pasa un volumen líquido ∆V en un intervalo de
tiempo ∆ t, el “Gasto” o “Caudal” queda definido por:
Q = lim∆t →o ∆ V/ ∆ t
Por lo tanto queda:
Q= dV/dt
( II.10 )
73
Por lo tanto, según la expresión II.10, se denomina en Hidráulica “GASTO” o “
CAUDAL” de una corriente al volumen líquido que está pasando por una sección
determinada en un coducto en la unidad de tiempo.
Q = Volumen líquido
( II.11)
tiempo
Ahora bien, el elemento d V de una corriente líquida que atraviesa a la sección S
recorrerá una distancia :
d x = v dt
FIGURA II.7 CORRIENTE LIQUIDA DE SECCION VARIABLE
( II.12)
74
Y el volumen líquido, recorrido por una partícula será igual al volumen del prisma.
Volumen del prisma = Área x Longitud
por lo cual dicho volumen dV, se puede escribir.
d V = As dx = As v dt
( II.13 )
Y sustituyendo (II.13) en ( II.10) se obtiene:
Q = As v dt / dt = As v
( II.14 )
esta expresión es una de las expresiones más utilizadas en Hidráulica denominada
Ecuación de Continuidad, y se puede expresar de una manera más práctica como:
Q= A V
( II. 15 )
y que nos indica que el Gasto o Caudal en una sección determinada es igual al producto
del Área normal al movimiento en la sección ( m2 ) por la velocidad media en esa
sección en ( m/ seg).
Es decir las unidades del GASTO serán : m3 / seg o también en lts / seg, el caudal en
peso en kN/seg, y el caudal másico en Kg/seg. (es decir kilogramos de agua, que están
pasando en una sección por segundo).
75
2.2.2 ECUACION DEL GASTO
PRINCIPIO DE CONTINUIDAD.
Consideremos una corriente líquida, de sección A, en general variable, como se indica
en la Fig. II.8, con régimen permanente entre las secciones sucesivas I-I y II-II
normales a dicha corriente.
El volumen líquido que pasa por la sección I-I tendrá que ser igual al que pasa por II-II
en el mismo tiempo dt, ya que el líquido es incompresible, esto es:
d V1 = d V2
pues de lo contrario se contradice la hipótesis de régimen permanente. Ahora bien,
dividiendo ambos miembros de esta igualdad entre dt, se obtiene:
d V1 / dt
=
d V2 / dt
FIGURA NO. II.8 PRINCIPIO DE CONTINUIDAD
76
Pero por definición de GASTO,
Q1 = d V1 / dt
y queda
y Q2 = d V2 / dt
Q1 = Q2
,
es decir :
Q = A1 V1 = A2 V2 = constante
( II.16 )
Este resultado denominado principio de continuidad expresa que, “ en un líquido
perfecto con escurrimiento permanente, el gasto es constante a través de cualquier
sección, o bien que el producto del área por la velocidad media es constante”
PROBLEMAS RESUELTOS
II.3.- ¿ Que diámetro debe tener una tubería para transportar 2 m3 /seg a
velocidad media de 3 m/ seg ?
Solución.
Según la ecuación II.15,
Q= VA
y despejamos el área de la sección,
A= 2 m3 /seg
A= Q/V
= 0.6666 m2
3 m/seg
y el área es
A = = π D2/4 = 0.6666 m2
por lo que el diámetro queda:
D = 0.92 m
D2 = 4 x 0.6666 /π = 0.848741
una
77
II.4 Si la velocidad media en una tubería de 30 cm. de diámetro es de 0.55 m/seg.
¿ Cuál será la velocidad en el chorro de 7.5 cm de diámetro que sale por una boquilla
unida al extremo de la tubería?
Solución.
Por el principio de Continuidad, según (II.16).
Q = A30 V30 = A7.5 V7.5= Constante
Obteniendo las áreas correspondiente en las dos secciones.
(0.706869) x (0.55) = 0.004418 V7.5
V7.5 = 8.80 m/seg
II.5 A través de una tubería de 200 mm. de diámetro está circulando agua a una
velocidad media de 1.80 m/seg. Determinar a) el caudal en volumen, b) el caudal
másico y c) el caudal en peso.
Solución:
Según la expresión de Continuidad (II.15).
a) Q = A V = 1.80 m/seg x π ( 0.20)2 /4 = 0.0565 m3 /seg
b) Q = 0.565 m3 x 1000 kg/ m3 = 56.5 kg/seg
c) Q = 0.554 kN/seg
( ya que 1 kN = 224.81 lb = 102.0592 kg )*
* Según libro: Mecánica de los Fluidos e Hidráulica ( Ranald V. Giles, Jack B.
Evett, Cheng Liu), Tercera Edición.
78
2.3 CONSERVACION DE LA ENERGIA
2.3.1 ECUACION DE ENERGIA
2.3.2 SOLUCION PARA UNA VENA LIQUIDA
Consideremos un tubo a través del cual fluye un líquido perfecto con escurrimiento
permanente y precisemos las características del líquido en las secciones I-I y II-II ,
como se muestra en la Fig. II.9, en la cual se ha elegido un plano horizontal de
comparación ( PHC ).
FIGURA NO. II.9 ECUACION DE ENERGIA
79
En efecto, consideremos que en un instante dt, se ha trasladado un volumen:
d V = Q dt ; desde I-I hasta II-II de acuerdo con el principio de continuidad. Si ω es
el peso específico del líquido, entonces el peso :
ω Q dt
del volumen dV, será la única fuerza vertical que habrá ejecutado trabajo
mecánico:
τ1= ωQ dt ( z1 – z2 )
a través del desnivel ( z1 – z2 ), produciendo también un
cambio total de energía cinética:
m/2 ( v22 - v12 ) = ω Q dt
( v22 - v12 )
(II.17)
2g
Además, supongamos que las presiones hidrostáticas que están actuando en las
secciones I-I y II-II se desplazaron magnitudes ds1 y ds2 según el eje del conducto
durante el intervalo de tiempo dt, efectuándose un trabajo total igual a:
τ2 = p1 A1 ds1 - p2 A2 ds2
(II.18)
Obsérvese que mientras la presión en I-I favorece al movimiento, la presión en II-II se
opone a el y de aquí los signos considerados.
Finalmente de acuerdo con el principio de trabajo y energía, el cambio de energía
cinética del cuerpo en movimiento será igual a la suma de los trabajos ejecutados por las
fuerzas exteriores, esto es:
ω Q dt / 2g ( v22 - v12 ) = ω Q dt (z1 – z2 ) +p1 A1 ds1 – p2 A2 ds2
80
Dividiendo ambos miembros entre ω Q dt , se tiene
lo siguiente: v22/2g - v12/2g = z1- z2 + p1A1 ds1/ ωQdt – p2 A2 ds2/ωQdt
Por definición de volumen y aplicando el principio de continuidad,
queda: v22 /2g - v12/ 2g = z1
-
z2 + p1/ω - p2/ω
ordenando se obtiene para un flujo ideal:
z1 + p1/ω + v12 /2g = z2 + p2/ω + v22 / 2g
(II.19)
Esta ecuación (II.19), recibe el nombre de ECUACION DE ENERGIA O TEOREMA
DE BERNOULLI., y es de fundamental importancia en Ingeniería Hidráulica.
Es decir que este Teorema de Bernoulli, consta de tres términos denominados cargas o
energías, es decir:
z1 =
carga o energía de posición en la sección ( 1 )
p1 / ω = carga o energía de presión en la sección ( 1 )
v12 / 2g = carga o energía de velocidad en la sección ( 1 )
Cuando se trata de un flujo real, se introduce otro término denominado pérdida de carga
( Hf ) y tiene su origen debido al rozamiento del fluido sobre las paredes del conducto
y el Teorema de Bernoulli queda:
z1 + p1/ω + v12 /2g = z2 + p2/ω + v22 /2g + Hf
Hf = Pérdida de carga (debido a la fricción en las paredes del conducto)
( II.20 )
81
PROBLEMAS RESUELTOS:
II.6 El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 20 cm en A a 40 cm en B.
(Fig. II.10 ). Si la presión en A es de 0.70 kg/cm 2 , y en B de
0.60 kg/cm2 , cuando
está circulando un gasto de 105 lts/seg, determinar: a) el sentido de la circulación del
flujo, b) la pérdida de carga entre las dos secciones.
Solución:
Resumiendo los datos y convirtiendo todo en metros:
PA = 0.70 kg/ cm2 = 7000 kg/m2 , PB = 0.60 kg/ cm2 = 6000 kg/m2
Q = 105 lts/ seg = 0.105 m3 / seg
AA = π ( D20 )2 = 0.031416 m2
AB = π ( D40 )2 = 0.125664 m2
Figura II.10 del problema II.6
82
El sentido de la circulación del flujo quedará definido por la suma de las energías en
cada sección. Por lo que la circulación irá del punto de mayor energía al de menor
energía.
Obteniendo las velocidades en ambas secciones:
VA = Q/AA = 0.105 / 0.031416 = 3.34 m/seg
VB = Q/AB = 0.105/ 0.125664 = 0.835 m/seg
Calculando cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli y sumando las
energías:
Punto B:
Punto A:
V 2B / 2g = 0.035 m
V2A / 2g = 0.568 m
PB/ω = 6.00 m
PA/ω = 7.00 m
ZB = 4.5 m
ΣB = 10.535 m
ZA = 0.000
ΣA = 7.568 m
Siendo 10.535m › 7.568 m por lo tanto como la suma de energías en el punto B es
mayor que en A, el flujo irá de B → A
b) La pérdida de carga o energía entre las dos secciones será la diferencia entre la suma
de las cargas, obtenidas anteriormente:
Hf = 10.535m – 7.568m = 2.967 m
Este resultado indica que por cada kilogramo de agua que pasa de B → A, se pierden
2.965 kg.m.
83
2.3.3 LINEA DE ENERGIA Y LINEAS DE CARGAS
PIEZOMETRICAS.
Para explicar este concepto del trazo de las líneas piezométrica y de energía, se
resolverá el siguiente problema.
PROBLEMA II.7.-
En la Figura No.II.11, están circulando
0.370 m3/seg, de
agua de A → B, existiendo en A una altura de presión de 6.6 m. Suponiendo que no
existen pérdidas de carga o de energía entre A y B, determinar la altura de presión en B.
Dibujar la línea de alturas totales y la línea de alturas piezométricas.
FIGURA NO. II.11 DEL PROBLEMA II.7
84
Solución:
Si se aplica la ecuación de Bernoulli ( II.19 ), entre las secciones A y B, y tomando
como plano horizontal de comparación (P.H.C.), el que pasa por D, según la figura
(II.10), por lo tanto queda:
pA/ω + vA2/2g + zA = pB /ω + vB2/2g + zB
(II.21)
donde VA = Q/AA = 0.370 m3 / seg/ π 0.32/ 4 m2 = 5.24 m/seg
VB = Q/AB = 0.370 m3/ seg/ π 0.62 / 4 m2 = 1.31 m/seg
Sustituyendo valores en la (II.21):
6.60 + (5.24)2 / 2g + 3.0 = pB /ω + (1.31 )2 / 2g + 7.5
10.9995 = pB /ω + 0.0875 + 7.5
y la altura de presión en B,
→
pB /ω = 3.412 m de agua.
A continuación se hace el trazo de la línea piezométrica. La cual es una línea que une
puntos con su altura de presión (ver Fig. II.10), y la línea de alturas totales, representa
gráficamente la suma de las tres energías consideradas en el Teorema de Bernolli.
85
2.3.4 ECUACIONES DE POTENCIA EN BOMBAS Y TURBINAS.
La potencia en bombas se obtiene por la siguiente expresión:
P = ω Q Hm / 75η
( II.22 )
en donde:
P = Potencia en H.P. (horse power)
sabiendo que:
1 horse power(H.P.) = 0.746 kilovatios= 1.014 caballos de vapor
(CV) = 76 kgm/seg., 1 caballo de vapor ( CV) = 75 kgm/seg= 0.986(HP ).
Q = Gasto o Caudal ( m3 /seg )
Hm = energía total comunicada al agua por la bomba (carga dinámica total).
η = eficiencia del equipo de bombeo (está en función del tipo de bomba)
3.5 APLICACIONES
( PA/ω + V 2A/2g + ZA ) + Hm - Hf = ( PB/ω + V 2B/2g + ZB )
II.8 En el sistema mostrado en la Fig. II.12, la bomba MN debe conducir un caudal de
180 lts/ seg de un aceite, (Dr = 0.850 ), hacia un recipiente B. Suponiendo que la pérdida
de carga entre A y M es de 3.50 kgm/kg y entre N y B es de 8.25 kgm/kg, ( a ) ¿qué
potencia en CV debe tener la bomba para poder elevar el líquido hasta esa altura?, (b)
¿ cuál sería el valor en HP ?, (c) Dibujar la lía de alturas totales.
86
Solución:
(a) La velocidad de las partículas en A y B es tan pequeña que pueden despreciarse las
cárgas o alturas de velocidad. Por lo tanto se debe aplicar la ecuación de Bernoulli
(II.19) entre los puntos A y B, y además tomando
como plano horizontal de
comparación, el que pasa por MN, queda:
( PA/ω + V 2A/2g + ZA ) + Hm - Hf = ( PB/ω + V 2B/2g + ZB ),
en este caso
Hf = suma de pérdidas de carga o energía entre AN y NB, debidas a la
fricción en los conductos.
( 0 + 0 + 15 ) + Hm - ( 3.5 + 8.25 ) = ( 0 + 0 + 65 )
Hm = 61.75 m ( o kgm/kg).
P = ω Q Hm / 75η = (850 x 0.180 x 61.75)/ 75(0.80)=157.46 CV
suponer que el equipo de bombeo tiene una eficiencia de:
b) 1 caballo de vapor = 0.986 HP ,
η =0.80
P= 155 HP
c) La línea de alturas totales en A tiene una elevación de 25.0 m sobre el plano
horizontal de comparación (cota cero). De A → M la pérdida de carga es de 3.5 m y la
línea de alturas totales bajará esta misma altura, lo que tenemos en M una elevación de
21.5 m. La bomba comunica al fluido una carga de 61.75 m y la elevación en N será de
83.25 m. Y la pérdida de carga entre N y B es de 8.25m, y la elevación en B será de
75 m.,(ver Fig. II.12).
87
FIGURA NO. II.12 Del Problema II. 8
2.4
CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
2.4.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
El movimiento del agua está regido por las leyes de Newton, estas servirán de base en la
deducción.
De acuerdo a la segunda ley de Newton: F = m a
En donde:
F = fuerza que trata de mover el cuerpo ( N )
m = masa del cuerpo (kg masa ),
a = aceleración que adquiere el cuerpo (m/seg2 )
( II.22 )
88
Multiplicando los dos miembros de la ecuación ( II.22 ) por el tiempo ( t ).
Ft = mat
( II.23 )
Y también se conoce que la aceleración es la variación de la velocidad ( V ) con
respecto al tiempo ( t ).
a = ( Vf - Vo ) / t = ∆ V / t
Vf = velocidad final
Vo = velocidad inicial
( II.24 )
en donde :
∆V = incremento de la velocidad
a producto de la fuerza por el tiempo se le llama CANTIDAD DE MOVIMIENTO o
IMPULSO.
2.4.2 FUERZA HIDRODINAMICA
Si consideramos una masa líquida en movimiento, por ejemplo en una corriente natural
o en un río, de tal manera que en un periodo de tiempo la masa de agua se desplazará de
una sección ( 1 ) a
→ otra sección ( 2 ).
Si se considera que de la posición en la sección ( 1 ) a la posición en la sección ( 2), la
masa de agua pierde mucha de su cantidad de movimiento y, en consecuencia, existe
una reducción de la velocidad. Esta reducción de la velocidad de V1
producto de una pérdida de impulso o cantidad de movimiento.
→ V2
es
89
La fuerza externa que produce este cambio de impuso en un tiempo ( t ), de acuerdo a la
expresión ( II.23 ).
También se sabe que el peso de la masa líquida es:
ω = W/ V’
→
W=mg
m = ω V’/ g
( II.25 )
( II.26 )
en donde: m = masa del volumen de agua
ω = peso específico del agua
V’ = volumen de líquido
g = aceleración de la gravedad
W = peso de la masa líquida.
Pero sabemos según la ( II.11 ), que el volumen líquido vale:
V’ = Q t
(II. 27 )
V’ =
volumen líquido
Q = gasto o caudal
t =
Sustituyendo la expresión ( II.27
líquida
→
Sustituyendo la (II.24 ) y la ( II.27
F = ( Q ω t )/ g
F=
tiempo
) en la ( II. 26 ), obtenemos el valor de la masa
m= (Qωt)/g
( II.27)
) en ( II.23 ):
( Vf - Vi ) /t
( Q ω )/ g (Vf - Vi )
( II.28)
90
Ecuación que se conoce con el nombre de « Ley del Impulso » , e indica que una masa
líquida en movimiento, cuando se produce un cambio de velocidades debido a un
cambio en la cantidad de movimiento o del impulso, actuando sobre dicha masa líquida
una fuerza dada por esta expresión.
2.4.3 APLICACIONES.
II.8 Un chorro de agua de 10 cm de diámetro que se mueve hacia la derecha incide
sobre una placa plana situada normalmente al eje del chorro.( a) Para una velocidad de
20.0 m/ seg, ¿ qué fuerza se requerirá para mantener la placa en equilibrio ?
Solución:
Se toma el eje X en la dirección del eje del chorro. Así la placa anula toda la cantidad de
movimiento inicial en la dirección X.
( a ) Cantidad de movimiento inicial - impulso = cantidad de movimiento final
Obtenemos primeramente el gasto: Q = V A = 20.0 m/seg * ( π 0.102 )/4
Q = 0.157080 m3 / seg
Aplicando la expresión (II.28 ), se tiene:
F = ( 0.157080 m3/seg x 1000 kg/ m3 ) / 9.81 m/seg2 x ( 20.0 m/seg )
F = 319.50 kg
← ( hacia la izquierda para mantener el equilibrio)
91
PROBLEMAS PROPUESTOS
II.1 ¿ Cúal es la velocidad media en una tubería de 20.32 cm de diámetro, si el caudal de agua
transportado es de 4 100 m3/día ?
Solución:
1.46 m/seg
II.2 ¿Qué diámetro comercial debe tener una tubería de agua potable para poder transportar un caudal de
78.0 lts/seg, a una velocidad media de 2.4m/seg ?.
Solución:
8 pulgadas
II.3 Una tubería de 305 mmm de diámetro, que conduce un gasto de 90.5 lts/seg, está conectada a una
tubería de 152 mm. Determinar la altura de velocidad en la tubería de 152 mm.
Solución:
1.27 m
II.4 Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 95.0 lts/seg. La tubería se ramifica en otras dos, una de
5 cm y la otra de 10 cm. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 10.5 m/seg. ¿ cúal es la velocidad
en la tubería de 10 cm ?.
Solución: 7.735 m/seg
II.5 Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1600 lts/min; reduciéndose después el diámetro de la
tubería a 15 cm. Calcular las velocidades medias en ambas tuberías.
Solución: 0.38 m/seg , 1.51 m/seg
II.6 A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 427 kPa , suponiendo que
no hay pérdidas de carga. ¿ Cúal es el caudal si en una reducción de 7.5 cm de diámetro la presión es de
142 kPa ?.
Solución: 0.109 m3 /seg
( 109 lts/seg )
92
II.7 Una tubería que está conduciendo un aceite cuya densidad relativa es de 0.865, pasa de 15 cm de diámetro
en la sección “E”, a 45 cm en la sección “R”. La sección “E” está a 4.10 m por debajo de “R” y las presiones son
respectivamente 89.5 kPa y 61.0 kPa. Si el caudal es de 0.160 m3/seg; determinar la pérdida de carga en la
dirección del flujo.
Solución: 3.382 m
II.8 Por una tubería están circulando 0.450 m3/ seg de agua de la sección A → B, existiendo en A una altura
de presión de 7.10 m.,y un diámetro de 30 cm. La sección B está 4.5 m arriba de A y el diámetro en la sección
B es de 60 cm. Suponiendo que no existen pérdidas de energía entre A y B, determinar la altura de presión en B.
Dibujar la línea piezométrica y la línea de alturas totales.
Solución: 4.539 m
II.9 El diámetro de un conducto cambia gradualmente de 0.20 m en “A” a 0.40 m en “B”. La sección “A” esta
situada 4.50 m debajo de “B”. ¿ Cúal debe ser la diferencia de presiones registrada por dos manómetros
colocados en A y B cuando hay un gasto de 200 lts/seg, considerando que no existen pérdidas de carga?.
Solución:
2.56 m
II.10 Si en el problema II.6 fluye un aceite de densidad relativa de 0.810, calcular el caudal.
Solución: 0.121 m3/seg
( 121 lts/seg)
II.11 El diámetro en el conducto de la (figura II.10 Pag. 80), cambia gradualmente de 0.20 m en “A” a 0.40 m
en la sección “B”; la sección “A” está 4.50 m debajo de “B”. Si la presión en “A” es de,
“B” de 0.60 kg/cm2. Obtener el gasto despreciando el rozamiento.
Solución: 269 lts/seg
0.70 kg/cm2 y en
93
II.12 Un gasto de agua de 100 lts/seg, están circulando por una tubería, y se mide que la velocidad cambia de
2.5 m/seg a 3.5 m/seg. ¿ Qué fuerza estará actuando sobre dicha masa líquida para producir este cambio de
cantidad de movimiento?
Solución: 10.20 kg
II.13 Si en el problema II.12 está circulando un aceite de densidad relativa 0.760, calcular la fuerza actuante.
Solución: 7.75 kg
II.14 A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia arriba 0.350 m3 /seg de agua. En el
punto A la presión es de 230 kPa. En el punto B, 5.10 m por encima de A, el diámetro es de 60 cm y la pérdida
de carga entre A y B es igual a 1.92 m. Determinar la presión en B.
Solución: 192.6 kPa
II.15 Por una tubería en la que circula agua, de la sección 1 → 2 , la sección 1 tiene un diámetro
100 mm, y la velocidad en esta sección es:
V 1 =1.5 m/seg , y la presión es P1 = 250 kPa.
de
La
sección 2 se localiza a 2.10 m debajo de la sección 1, y tiene un diámetro de sección de 50 mm. Suponer que
la pérdida de carga total entre las secciones 1 y 2 es de 2.80 m. Determinar la velocidad del fluido y la presión
del mismo en la sección 2.
Solución:
6m/seg , 226 kPa
94
UNIDAD III
TEMA: FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA EXPERIMENTAL
3.1 MODELOS HIDRAULICOS
En diversas ramas importantes de la ingeniería se recurre a la ayuda de modelos para la
resolución de problemas de diseño. En la actualidad los modelos hidráulicos son de
fundamental importancia para proyectar y construir estructuras hidráulicas. Y han encontrado
creciente aplicación para controlar y modificar diseños analíticos.
Las investigaciones hidráulicas requieren un cierto costo, pero éste es solo una fracción de lo
que supondría hacer las pruebas a tamaño natural; o sea que las economías y
perfeccionamientos logrados en la obra real, justifican plenamente la utilización de los
modelos.
Un modelo hidráulico es una representación generalmente más pequeña de una obra ,
denominada PROTOTIPO. El modelo, para serlo debe poseer cualidades tales que permitan
transferir las observaciones, resultados y conclusiones obtenidas de él a la escala y magnitud
del prototipo que pretende representar.
El empleo de los modelos es de gran utilidad debido a que existen problemas que no son
accesibles para resolverse total o satisfactoriamente por la vía analítica, teniéndose entonces la
necesidad de recurrir a la investigación experimental.
95
El modelo hidráulico podemos compararlo a una ecuación, en cuyo planteamiento es
necesario primero conocer las variables que intervienen en el fenómeno, establecer las
condiciones de frontera y, finalmente, resolverla. Análogamente, en el modelo se determinan
las variables que intervienen en el fenómeno en forma predominante y cuáles se pueden
despreciar sin perjuicio de los resultados. La resolución de la ecuación, la podemos comparar
a la operación del modelo y a la interpretación de sus resultados. Todos los estudios llevados
a cabo sobre modelos tienen sus limitaciones derivadas de las simplificaciones realizadas al
construirlos y operarlos, o bien de los factores que no es posible tomar en consideración por
su complejidad.
Por lo tanto, en un fenómeno real en el cual intervienen determinado número de fuerzas, sólo
una, la fundamental, es tomada en cuenta.
Por lo anterior, existen ciertas discrepancias entre lo observado en el modelo y lo que
realmente pasa en el prototipo, que se conoce con el nombre de EFECTO DE ESCALA.
Dentro de los problemas de la hidráulica práctica, existen algunos que pueden tratarse
satisfactoriamente por la vía analítica, otros que además del análisis requieren para su
solución de una confirmación y una afinación por medio de la experimentación, y finalmente
aquellos que deban tratarse experimentalmente.
96
3.1.1 SIMILITUD GEOMÉTRICA, CINEMÁTICA Y DINÁMICA.
Para que los resultados obtenidos con el modelo hidráulico sean confiables y por lo tanto
aplicables al prototipo, es necesario que los sistemas de flujo sean “hidráulicamente
semejantes”, lo cual implica que entre modelo y prototipo exista:

Similitud Geométrica

Similitud Cinemática

Similitud Dinámica
Similitud Geométrica.- Para la comprensión del significado anterior, consideremos dos
flujos en una estructura hidráulica ( vertedor ), ver Figura No. III.1.
La similitud geométrica implica, de un modo estricto, que sea igual la relación de todas las
longitudes homólogas en los dos sistemas. Esto es, si ciertas dimensiones lineales dentro de
los flujos se seleccionan y se designan por los subíndices.
p = dimensiones lineales del prototipo
m = dimensiones lineales del modelo
La similitud geométrica significaría, por ejemplo, que:
Le = Hp / Hm = Bp/ Bm = Sp/Sm = cte.
( III.1 )
97
Donde:
Le = ESCALA DE LINEAS que cuantifica el tamaño real de los dos sistemas.
FIGURA NO. III.1 SIMILITUD GEMETRICA ENTRE DOS FLUJOS
( Estructura Hidráulica Vertedor ).
98
En general, podemos decir que “ESCALA”, es la relación que existe entre una magnitud del
prototipo y su correspondiente en el modelo.
ESCALA = Magnitud del prototipo / Magnitud del modelo
(III.2)
Dependiendo del tipo de magnitud de que se trate, la escala puede ser de líneas, de
velocidades, de fuerzas, tiempo, densidades, etc., que se designarán con el símbolo hasta
ahora utilizado, pero añadiendo el subíndice “e” ( escala ).
La escala de gasto, por ejemplo será: Qe = Gasto en el prototipo / Gasto en el modelo
Qe = Qp / Qm
(III.3)
Una consecuencia de la similitud geométrica exacta, es que la relación de áreas y volúmenes
en ambos sistemas se pueden expresar en términos del cuadrado y el cubo de Le :
Ae = Ap / Am = Le2
(III.4)
Ve = Vp/ Vm = Ae Le = Le3
( III.5)
99
En algunos casos, es factible que la similitud geométrica exista sólo en lo que se refiere a las
dimensiones sobre planos horizontales y las dimensiones verticales pueden quedar
distorsionadas con otra escala de líneas (como es el caso de modelos de ríos o de puertos).
La relación entre la escala de líneas horizontales y las líneas verticales, se denomina
distorsión.
Similitud Cinemática.- Es semejanza de movimiento, por lo que hay que tener en cuenta una
magnitud vectorial y el factor tiempo.
Se considera que entre modelo y prototipo, existe similitud cinemática si se cumple lo
siguiente:

Los desplazamientos de las partículas móviles homólogas son
geométricamente semejantes.

Las relaciones entre las velocidades de las partículas en puntos y para
tiempos homólogos en los dos sistemas, guardan la misma relación. De
igual forma, las correspondientes direcciones del movimiento son
iguales.

Las relaciones entre las aceleraciones de las partículas en puntos y para
tiempos homólogos en los dos sistemas son también son constantes.
100
Para la mejor comprensión de lo anterior, considérese dos flujos, como los que se muestran en
la estructura hidráulica de la Figura No. III.2.
Entonces, existe similitud cinemática sí:
( V1 )p / ( V1 )m = ( V2 )p / ( V2 )m
( a1 )p / ( a1 )m = ( a2 )p / ( a2 )m
FIGURA NO. III.2 SIMILITUD CINEMATICA ENTRE DOS FLUJOS
(en una compuerta radial)
( III.5 )
101
Tiempo:
Te = Tp / Tm = ( Lp Vp-1 )/ ( Lm Vm-1 ) = Lp Vm / Lm Vp = Le Ve-1
(III.7)
Similitud Dinámica.- La similitud dinámica entre modelo y prototipo, implica lo siguiente:

Deberá existir similitud geométrica y cinemática.

Las fuerzas que actúan en puntos homólogos en cualquiera de los dos
sistemas han de guardar siempre la misma relación y actuar en la misma
dirección.
En la Figura No. III.2, de la compuerta radial, considerando dos flujos, entonces, existe
similitud dinámica si se cumple:
( F1 )p / ( F1 )m = ( F2 )p / ( F2 )m
(III.8)
expresión que también puede escribirse:
( F1 )p / ( F2 )p = ( F1 )m / ( F2 )m
(III.9)
102
Es decir que la condición de similitud dinámica significa también que el cociente de dos
fuerzas cualquiera del prototipo de ser igual al cociente de las dos fuerzas correspondientes
del modelo. Obsérvese de la expresión (III.9 ) que el primer miembro de la igualdad contiene
sólo características del prototipo, y el segundo, sólo del modelo. De manera que si
designamos:
( F1 )p / ( F2 )p = Np
( III.10 )
El valor de Np estará en función únicamente de las características del prototipo. Lo mismo
sucede para Nm , cuyo valor estará determinado por el modelo.
Por otro lado, puesto que Np y Nm son cocientes de magnitudes de la misma naturaleza no
tienen dimensiones. Reciben por esto el nombre de NUMEROS ADIMENSIONALES y,
como veremos, su importancia en hidrodinámica, es básica.
La expresión (III.8 ),puede expresarse así,
Np = Nm
(III.11)
Por lo tanto, la condición de similitud dinámica puede expresarse como la igualdad de dos
números adimensionales, uno del prototipo y otro del modelo.
Las componentes que actúan sobre cualquier elemento de de fluido incomprensible en
movimiento pueden deberse a la fuerza de presión (Fp ), a la acción de la gravedad (Fg), a la
viscosidad (Fυ ), a la tensión superficial (Ft).
Si se conoce la magnitud y dirección de las fuerzas componentes, se puede determinar la
resultante mediante la construcción del polígono vectorial., la resultante es de hecho la fuerza
de inercia (FI).
103
Entonces, se verificará vectorialmente:
Fp + Fg + Fυ + Ft = FI
(III.12 )
Dividiendo por FI , obtenemos:
Fp / FI
+ Fg / FI
+ Fυ / FI + Ft / FI = 1
(III.13)
Se observará que cada uno de estas relaciones de fuerzas es el inverso de un número
adimensional.
FI / Fp = Np
III. 14 a
FI / Fg = Ng
III. 14 b
FI / Fυ = Nυ
III. 14 c
FI / Ft = Nt
III.14 d
Donde Np, Ng , Nυ , Nt son números adimensionales a partir de los cuales se deducirán los
números de Euler, Froude, Reynolds y Weber, respectivamente, como se verá
posteriormente.
De acuerdo a la expresión (III.11 ), se tiene:
( Np)p = ( Np)m
( III. 15 a )
( Ng ) p = ( Ng )m
(III. 15 b )
( Nυ)p = ( Nυ)m
( III.15c )
(Nt )p = (Nt )m
( III.15d )
104
Existirá similitud DINAMICA completa si se cumplen las expresiones anteriores. Sin
embargo, la similitud rara vez es perfecta debido a que comúnmente es imposible satisfacer
todas las condiciones requeridas para lograrla. Esto produce, como se vio anteriormente, el
EFECTO DE ESCALA.
Por lo tanto, se deberá utilizar la ecuación que tome en cuenta la fuerza predominante en el
fenómeno. En el caso de que se quiera estudiar, por ejemplo, el movimiento de agua en un
canal o en un vertedor, la fuerza predominante es la acción de la gravedad, teniendo poca o
ninguna influencia la presión y la tensión superficial.
La fuerza de viscosidad es despreciable en este caso porque el régimen es turbulento. La
fuerza de elasticidad es prácticamente nula, puesto que en este caso el agua se considera
incompresible (inelástica). Entonces lo importante es que se cumpla con la condición que
establece la expresión (III 15 b), para que la similitud sea aceptable.
PROBLEMAS RESUELTOS
III.1 Obtener por medio del análisis dimensional la expresión del número adimensional (
FROUDE ).
Solución:
(NF)
El número adimensional ( Ng ), a partir del cual se obtiene el número de Froude
es la relación que existe entre las fuerzas de inercia y las gravitatorias. Según la
expresión vista anteriormente:
FI / Fg = Ng
III. 14 b
105
Se obtendrá a partir del Análisis dimensional.
En el análisis dimensional el problema se refiere fundamentalmente a las relaciones algebraicas de las
magnitudes físicas. En toda expresión donde se exprese una relación física entre magnitudes, debe verificarse la
igualdad al sustituir las magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones. En mecánica,
todas las relaciones físicas, pueden reducirse a una relación entre las magnitudes fundamentales, fuerza F,
longitud L y tiempo T; o bien, la masa M, la longitud y el tiempo.
Puede escribirse la aceleración en forma dimensional :
a = L T -2
el espacio o distancia se puede expresar dimensionalmente:
recordando que
ρ= densidad = Masa / Volumen
y en forma dimensional
→
L = V/ T = Velocidad / Tiempo
→
M = densidad * volumen= ρ V
M = ρ V = ρ L3
Ng = (M a) / ( Mg) = ( ρ L2 V2 ) / ( ρ L3 g ) = V2 / ( g L )
A la raíz cuadrada, de esta relación, es el denominado Número de Froude.
NF
= V/
( gL )
( III.16 )
Este número de Froude es muy importante en Hidráulica, ya que se utiliza para la clasificación de los flujos y el
proyecto de estructuras hidráulicas.
106
3.1.2 LEYES DE SIMILITUD
LEY DE SIMILITUD DE FROUDE.
A la siguiente igualdad se le conoce con el nombre de LEY DE SIMILITUD DE FROUDE:
NF p = NF m
( III.17 )
Por lo tanto, con la expresión (III.17 ), estamos indicando que existe similitud dinámica entre
prototipo y modelo y que la fuerza predominante es la de la gravedad, puesto que “N F” es la
relación de las fuerzas de inercia y las de gravedad.
VP / (
( gp LP ) =
Vm / (
( gm Lm )
( III.18)
Aplicando el concepto de escala:
Ve = Vp/ Vm =
y generalmente:
( g e L e ) = ( g e )1/2 (L e ) 1/2
gp = gm
→
( III.19)
g e= 1
Ve = Le1/2
( III.20)
que es la ECUACION FUNDAMENTAL DE LA LEY DE SIMILITUD DE FROUDE, y liga
las características geométricas del prototipo y del modelo con las cinemáticas. A partir de ésta
se pueden deducir otras relaciones útiles, como a continuación se muestra.
107
PROBLEMAS RESUELTOS
III.2 Obtener la ESCALA DE GASTOS.
Se sabe que :
Q= A V
( II.15)
( ecuación de continuidad para flujo unidimensional )
QP = VP AP
( III.21 a )
Q m = Vm Am
( III.21 b)
QP / Qm = VP AP / Vm Am
( III.22.a )
QP / Qm = ( VP / Vm ) ( LP / Lm )2
( III.22.b )
Finalmente introduciendo el concepto de escala:
Q e = L e5/2
( III.23 )
III.3 Obtener la ESCALA DE TIEMPOS
Considerando la ecuación de movimiento uniforme vista anteriormente:
Te = Le ( Ve )-1
Te =
Le1/2
y sabemos que:
Ve = Le1/2
( III.20 )
(III.24 )
108
III.4 Obtener la ESCALA DE FUERZAS
Se sabe que:
F= fuerza
F=ma= ρV a
m= masa
ρ = densidad
(III.25 )
V= volumen
a= aceleración
y aplicando el concepto de escala:
Fe = ρe Ve ae = ρe Le3 ae
(III.26 )
La escala de aceleraciones ae tiene que ser igual a la unidad, ya que gp = gm.
Fe = ρe Le3
Si se utiliza el mismo líquido en el prototipo y en el modelo →
(III.27 )
ρ p = ρm
ρe = 1
3.1.3 PLANEACION Y CONSTRUCCION DE MODELOS
Para construir un modelo hidráulico es necesario contar con el espacio suficiente, además de
tener las instalaciones necesarias para su ensayo; estas condiciones son obtenidas
generalmente en todo laboratorio hidráulico.
Al construir y ensayar un modelo hidráulico se deberán tomar en cuenta las siguientes
normas:
1. Contar con todos los planos necesarios de Proyecto del prototipo, como son:
levantamientos topográficos, aerofotografías, planos de cálculo teórico, etc.
2. Buscar una escala para construir el modelo, de acuerdo al espacio que se tenga
disponible y al tipo de modelo a experimentarse, ver Tabla III.1.(Pag. 109).
3. El modelo será una réplica lo más exacta posible a escala del prototipo.
109
4. En la construcción del modelo se deberá tener cuidado, de dar las mediciones
correctas a escala, ya que una falla, implicaría errores en el prototipo.
5. Unos de los aspectos más importantes es la selección de escalas; debe decidirse si se
utiliza o no la distorsión.
6. Deberá contarse con los instrumentos de medición lo más exactos posibles.
El problema de operación debe ser planeado cuidadosamente para evitar pérdidas de tiempo y
obtener buenos resultados.
La operación del modelo podemos dividirla en dos partes:
CALIBRACION Y EXPERIMENTACION.
La Calibración de un modelo consiste en tratar de reproducir en el modelo fenómenos cuyo
comportamiento en el prototipo es conocido, haciéndole al modelo los ajustes necesarios para
lograrlo.
La experimentación consiste en la operación sistemática de las pruebas programadas.
La interpretación de los resultados del modelo en términos del prototipo, dentro de las
limitaciones del tipo de similitud que rige al fenómeno, es la fase crítica de la
experimentación.
110
* Son aquellos en los que el material que forma el fondo del modelo
no es susceptible de ser movido por la acción de las fuerzas dinámicas del fluido.
111
PROBLEMAS RESUELTOS.
III.5
Se va construir en el laboratorio el modelo hidráulico de una compuerta radial. El
prototipo según la Fig. III. 3 , tiene las siguientes características geométricas y cinemáticas.
FIGURA III.3 Del problema III.5
112
Datos del prototipo:
R = radio de la compuerta = 4.5 m
h = altura del perno = 3.0 m
y1 = 3.80 m = tirante del agua (aguas arriba de la compuerta)
a = abertura en la compuerta = 0.75 m
b= ancho de la compuerta = 1 m
Se pregunta lo siguiente:
a) ¿Que escala deberá utilizarse en el modelo ?
b) ¿Cuales deberán ser las características del modelo para que exista similitud
geométrica?
c) ¿ Si el Gasto esperado en el prototipo es de 2.60 m3/seg, ¿ qué caudal deberá emplearse
en el laboratorio para el modelo?
d) Si el modelo observamos un tirante o profundidad del agua ( y1 )m = 0.20 m.
¿qué profundidad del agua y1 puede esperarse en el prototipo?
e) Si en prototipo aparece una velocidad ( V2 )p = 3.20 m/seg (ver Fig.III.3), ¿Cuál será la
velocidad en el modelo?.
f) Si en modelo se observa una fuerza hidrostática sobre la compuerta radial de:
0.162 N
¿qué fuerza ( kN) se presentará en el prototipo?
(F1)m =
113
Solución:
a) Según la Tabla III.1 ( Pag. 109 ), la escala recomendable para este tipo de estructuras es
de 10-50, para nuestro ejemplo podemos utilizar: 1: 10.
b) Según la expresión (III.2) vista anteriormente :
ESCALA = Magnitud del prototipo / Magnitud del modelo
ESCALA = 10
→
Rm = 4.5/ 10 = 0.45 m ;
(y1)m = 3.80/ 10 = 0.38 m ;
am = 0.75 / 10 = 0.075 m ;
hm = 3.0/10 = 0.30 m
bm = 1.0/10= 0.01m
c) Como en este caso la fuerzas predominantes son las gravitacionales:
Q e = L e5/2
( III.23 )
Q e = L e5/2 = ( 10 )5/2 = 316.23
→ Qm = Qp / Qe = 2.60/ 316.23 = 0.00822 m3/seg
Qm = 8.22 Lt / seg
d) Como:
longitudes en prototipo = 10 x longitudes en modelo
( y1 )m = 0.20 m
→ ( y1 )p = 10 x 0.20 = 2.0 m
114
e) Como en este caso las fuerzas que predominan son las debidas a la gravedad:
Ve = Le1/2
( III.20 )
Ve = Le1/2 = ( 10 )1/2 =
10 = 3.162
( V2 )p = 3.20 m/seg
Vm= Vp / Ve = 3.20 / 3.162 = 1.012 m/seg →
( V2 )m = 1.012 m/seg
f) Por predominar las fuerzas gravitacionales, se aplicará la:
Fe = ρe Le3
(III.27 )
Si además se utiliza el mismo líquido en el prototipo y en el modelo:
ρe = 1
→
ρ p = ρm
Fe = Le3 = ( 10 )3 = 1000
(F1)m = 0.162 N
( F1 )p = Fe ( F1 )m = 1000 x 0.162 N = 162 N = 0.162 k N
PROBLEMAS RESUELTOS
III.6
A través de una tubería de 25 cm de diámetro está fluyendo agua a 10o C a una
velocidad de 2.60 m/seg. ¿ A qué velocidad debe fluir un aceite fuel-oil medio a 30 o C, por el
interior de una tubería de 15 cm de diámetro para que los dos flujos sean dinámicamente
semejantes?
115
Solución:
Se puede observan que en este caso las fuerzas predominantes serían las de viscosidad y las de inercia, por lo
que la semejanza se cumplirá al igualar los números de Reynolds de ambos flujos. Las otras propiedades del
fluido , como son la tensión superficial y las fuerzas gravitatorias, no se deberán tomar en cuenta en este
problema, pues no influyen tanto en el fenómeno.
En la sección anterior ( 3.1.1 ) se vio que:
FI / Fυ = Nυ
por medio de este número adimensional (Nυ
) se obtiene el número de Reynold:
donde:
III. 14 c
V= Velocidad del fluido ( m/seg)
Re = ( V D
)/υ
D= Diámetro del conducto ( m )
υ = Viscosidad cinemática del flujo ( m2 / seg)
( consultar TABLA NO. I. 4 Pag. 15 )
( para la viscosidad cinemática del aceite, consultar Tabla 2 Pag. 393, MECANICA DE LOS FLUIDOS E
HIDRAULICA Ranald V. Giles, Jack B. Evett. Tercera Edición ).
Por lo tanto, para la semejanza dinámica,
Para el agua se tiene:
( R e )AGUA = ( Re )ACEITE
( V25 D25 )/ υagua =
Para el aceite se tiene:
( 2.60 m/seg ) ( 0.25 m) / ( 1.308 x 10-6 m2/seg)
( V15 D15 )/ υaceite =
( V15 ) ( 0.15 m) / ( 3.11 x 10-6 m2/seg)
Igualando las expresiones anteriores,
( 2.60m/seg ) ( 0.25 m ) / 1.308 x 10 -6 m2 /seg =
V15 ( 0.15 m ) / ( 3.11 x 10-6 )
Por lo que para el aceite fluyendo en la tubería de 15 cm, se tiene:
V 15 = 10.30 m/seg
116
3.2 ORIFICIOS, COMPUERTAS Y VERTEDORES.
De acuerdo con la forma de su perímetro los orificios se clasifican en: circulares, cuadrados,
rectangulares, triangulares, ect.
De acuerdo a la posición que guarde el plano del orificio con respecto a la superficie libre del
líquido en verticales, horizontales o inclinados (ver Fig. III.4 ). Además si la vena líquida
descarga a la atmósfera esta recibe el nombre de orificio de descarga libre y en caso contrario
se denomina de descarga sumergida, ( Fig. No. III. 5 ).
FIGURA No. III.4 CLASIFICACION DE ORIFICIOS CON RESPECTO A SU POSICION
117
FIGURA III.5 CLASIFICACION ORIFICIOS CON RESPECTO A SU DESCARGA
Orificios de pared delgada.- Se ha dicho que este tipo de estructuras se obtiene cuando la
vena líquida fluyente toca únicamente a una arista ( ver Fig. No. III. 6 )
Esta estructura haya su explicación en el fenómeno hidráulico denominado contracción. En
efecto, la vena líquida fluyente que sale por el orificio se contrae gradualmente hasta una zona
límite llamada contracta. Este fenómeno se explica porque las trayectorias de las partículas
líquidas son convergentes hacia el centro del orificio produciéndose aguas debajo de la
estructura una disminución en el área hidráulica hasta alcanzar la zona contracta en donde
las trayectorias de dichas partículas se tornan sensiblemente paralelas entre sí. A partir de la
sección contracta sobreviene una ampliación gradual y despreciable dentro de los límites de la
práctica, con la cual continua la vena líquida su trayectoria.
118
Por otra parte la presión en la sección contracta prácticamente es la misma a la presión
exterior ( atmosférica ), donde se produce la descarga. Este fenómeno se produce si el espesor
de las paredes del recipiente es menor dos veces la dimensión vertical D
( diámetro
del orificio ) , esto es, debe cumplirse que: e < 2 D para que la vena líquida solo toque a la
arista interior del orificio. El fenómeno antes descrito, se denomina contracción total, y al
orificio en el cual se produce, orificio con contracción total.
FIGURA NO. III.6 DESCARGA POR UN ORIFICIO DE PARED DELGADA
119
Formula de Torricelli.- Considerando un líquido ideal que descarga por un orificio de pared
delgada. Aplicando el Teorema de Bernoulli entre el interior del recipiente y la sección
contracta como se indica en la Fig. III.7, se obtiene:
0 + h + 0 = 0 + 0 + Vt2 /2 g
( III.28 )
Las cargas de posición son cero debido a que el PHC (plano horizontal de comparación ), se
escogió de manera que coincidiera con la elevación del centro de gravedad del orificio.
La carga de velocidad es cero, aceptando que la sección I-I’ está a una distancia tal del
orificio que la velocidad es nula y finalmente la carga de presión hidrostática en II-II’,
también es cero pues se supone que ya está fuera del orificio en contacto únicamente con la
atmósfera, y que no existe ya líquido que produzcan alguna presión.
Por tanto, despejando a la velocidad teórica Vt , en la expresión
Vt =
2 gh
III.28, se tiene:
(III.29 )
Esta expresión, se conoce comúnmente como fórmula de Torricelli y da la velocidad teórica
de descarga que coincide con la adquirida por un cuerpo que cae en el vacío desde una altura
h.
120
FIGURA NO. III.7 PRINCIPIO DE TORRICELLI
3.2.1 COEFICIENTES DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO
Velocidad real o práctica .- La velocidad real o práctica obtenida en el laboratorio de
hidráulica, tiene un valor desde luego diferente al de la velocidad teórica, ya que es necesario
considerar las pérdidas de carga, por lo tanto que esta velocidad real determinada
experimentalmente en un laboratorio hidráulico, resultará menor que la velocidad teórica
(III.29 ).
Luego la velocidad real queda determinada por:
Vr = Cv Vt
(III.30 )
121
Siendo Cv un coeficiente experimental sin unidades llamado coeficiente de velocidad.
Por otra parte, de (III.30 ) se puede definir el coeficiente de velocidad como la relación de la
velocidad real media en la sección contracta de la vena líquida a la velocidad teórica calculada
con la carga efectiva al centro del orificio, esto es,
Cv = velocidad real / velocidad teórica = Vr /
2 gh
(III.31 )
Por tratarse de orificios de pared delgada, experimentalmente se ha obtenido que el
coeficiente Cv está comprendido entre 0.9 y 1.
Coeficiente de contracción.- Puesto que el área contracta Ac de la vena líquida es menor que
el área Ao del orificio, entonces la relación:
Cc = Area de la sección contracta / Area del orificio = Ac / Ao
(III.32 )
Recibe el nombre de coeficiente de contracción. Este segundo coeficiente adimensional para
el caso de pared delgada, con contracción completa, tiene un valor que tiene un rango entre
0.55 a 0.70, variando según la carga y la forma del orificio.
Coeficiente de gasto o de descarga ( Cd ).- El gasto en un orificio, por definición, queda
determinado por:
Q = Ac Vr
En el que Ac es el área de la sección contracta .
(III.33 )
Según las expresiones (III.30 ) y (III.32 ),
se tiene:
Q = Ao Cc Cv Vt = Ao Cc Cv
2 gh
(III.34 )
El producto de los dos coeficientes se designa por Cd , y recibe el nombre de coeficiente de
gasto o de descarga, quedando la ecuación anterior:
Cd = Cc Cv
( III.35 )
122
Q = Cd Ao
( III.36 )
2 gh
El coeficiente Cd varía con la forma del orificio, con el líquido fluyente y con la carga
efectiva. Un valor medio aproximado recomendable obtenido en el laboratorio de Hidráulica
para un orificio de pared delgada es de 0.62.
PROBLEMAS RESUELTOS
III.7 En un recipiente de pared delgada se ha practicado un orificio en la sección B de 50 cm
de diámetro y evacua agua bajo una altura carga de 6.25 m. Si el coeficiente de descarga Cd
= 0.62 . Obtener el Gasto.
FIGURA NO. III.8 Del problema III.7
123
Solución:
En efecto, por tratarse de un orificio de pared delgada, se tiene:
Q = Cd Ao
( III.35 )
2 gh
Ao = π D2 / 4 = 0.19635 m2
Q=
0.62 x 0.19635 x
( area del orificio )
2 x 9.81 x 6.25 =
1.348 m3 /seg = 1 348 lts/ seg
III.8 Si en el problema ( III.7 ), la velocidad real en la sección sección contraída del chorro
de agua es Vr = 10.90 m/seg, a) ¿Cuál es el valor del coeficiente de velocidad?
cual es el valor del coeficiente de contracción ?.
Solución:
a)
Cv = velocidad real / velocidad teórica = Vr /
Cv =
10.90 /
2 gh
2 x 9.81 x 6.25 = 0.984
b) Cd = Cc Cv
( III.35 )
Finalmente el coeficiente de contracción queda,
Cd = Cc Cv
(III.31 )
→
Cc = 0.62 / 0.984 = 0.63
b) ¿
124
COMPUERTAS.-
Las compuertas son estructuras destinadas fundamentalmente a la
regularización y control de gastos en orificios, represas, vertedores, etc. En general consisten
en una pantalla que detiene el agua (ver Fig. No. III.9 ), convenientemente reforzada, las
cuales están provistas de vástagos, cadenas o cables, que establecen la liga con los
mecanismos elevadores que permiten regular las aberturas necesarias. Para claros pequeños se
emplean compuertas deslizantes, las cuales como su nombre lo indica, están constituidas por
una pantalla que se desliza verticalmente en forma paralela, ordinariamente guiadas en
ranuras.
2
FIGURA NO. III.9 COMPUERTA DESLIZANTE
125
Para determinar el gasto que está circulando por una compuerta, Ippen propuso la siguiente
expresión:
Q = Cd A
2g y1
( III.37 )
En donde :
Q= Gasto o caudal circulando por la compuerta (m3 /seg )
Cd = Coeficiente de gasto o de descarga
( ver grafica Fig. No. III.14 Pag. 133 )
A= Area de la abertura de la compuerta ( m2 )
( ver Fig. No. III.9 )
y1 = desnivel entre la superficie libre del agua y la plantilla del canal ( m)
( ver Fig. No. III.9 ).
en este caso:
A = B b,
A = Area de la abertura de la compuerta ( m2 )
B = corresponde al ancho de la plantilla del
canal
b= abertura de la compuerta.
PROBLEMAS RESUELTOS
III.9 En un canal rectangular de 2m de plantilla se ha instalado una compuerta deslizante,
como se muestra en la Fig. No. III.10 , considerando que se tiene una abertura de 0.50 m.
Calcular el gasto que está circulando por la compuerta, si el tirante aguas arriba es de 4.00m.
126
FIGURA NO. III.10 del Problema III.9
Solución:
Se vio anteriormente,
Q = Cd A
(2g y1)
Q = Cd B b
( 2g y1)
en donde:
( III.37 )
B = 2.00 m
b= 0.50 m
y1= 4.00 m
El coeficiente Cd se determina por medio de la gráfica de Ippen ( ver Fig. No. III.14 ), entrando en la escala
horizontal con el argumento,
y1 / b = 4.00 / 0.50 = 8
En la escala vertical se lee el valor de Cd , que corresponde a la proyección del punto que determina este valor
referido a la curva denominada descarga libre. Para nuestro caso,
Sustituyendo valores se obtiene
Q =0.575 x 2 x 0.50 x
(2 x 9.81 x 4.00) = 5.094 m3 /seg
C d = 0.575
127
VERTEDORES
Un vertedor en último análisis, es un orificio en el cual se ha suprimido la pared superior
adyacente al chorro. Así como en un orificio la corriente líquida recibe el nombre de chorro,
en un vertedor se designa con el nombre de lámina de agua o lámina vertiente. En la abertura
resultante o escotadura se distinguen dos aristas laterales y una horizontal. La arista inferior o
superficie inferior de la escotadura recibe el nombre de cresta o umbral y su longitud L, se
denomina longitud del vertedor o de cresta., ver Fig. No.III.11. Si la descarga de un líquido
se efectúa por encima de un muro o placa y a superficie libre, la estructura hidráulica en la
que ocurre se denomina vertedor.
Cuando la descarga se efectúa sobre una placa con perfil de cualquier forma, pero con arista
aguda, el vertedor se denomina de pared delgada. Por el contrario, si el contacto entre la pared
y la lámina vertiente es toda una superficie, el vertedor es de pared gruesa. Ambos tipos se
utilizan como dispositivos de aforo en los laboratorios de hidráulica o en canales de pequeñas
dimensiones. Sin embargo, el uso más frecuente de un vertedor de pared gruesa es como obra
de control en causes naturales o como obras de excedencias en las presas.
128
FIGURA NO. III.11 VERTEDOR DE SECCION RECTANGULAR
129
El desnivel entre la plantilla y la cresta recibe el nombre de altura del vertedor ( Ho ).
La depresión gradual que experimenta la superficie libre del líquido en las cercanías del
vertedor, recibe el nombre de remanso de depresión. Este fenómeno encuentra su explicación
en la transformación de la energía potencial en energía cinética.
Se llama carga ( h ) al desnivel que existe entre la cresta y la superficie libre del remanso de
depresión.
FIGURA NO. III.12 VERTEDOR DE SECCION TRIANGULAR
130
VERTEDOR RECTANGULAR. - Para esta forma de vertedor la expresión para obtener el
gasto que está circulando es:
Q = 2/3
2 g μ b h3/2
(III.38 )
en la tabla 7.1 ( Hidráulica General volumen I, Gilberto Sotelo), se presentas las fórmulas
experimentales más conocidas para obtener los valores del coeficiente μ.
Otros autores
para la obtención del Gasto teórico a través de un vertedor de sección
rectangular de pared delgada. Para una longitud de cresta L, se tiene:
Q = 2/3
2 g L H2/3
( III.39 )
y la ( III.39 ), algunos autores la representan,
Q = C L H2/3
( III.40 )
donde C es un coeficiente que varía según el tipo y características del vertedor y que se
obtiene experimentalmente.
131
PROBLEMAS RESUELTOS
III.10 Obtener el gasto en un vertedor de sección rectangular de pared delgada ( ver Fig.
III.11 ), en un canal del mismo ancho de la cresta b = 2.60 m, que trabaja con una carga h=
0.53 m, cuya cresta vertedora se localiza a a una distancia w = 1.20 m del piso del canal.
Solución: Se puede utilizar la expresión Hamilton-Smith, (Tabla 7.1, Hidráulica General Tomo I
Gilberto
Sotelo Avila ).
μ = 0.616 ( 1 - b/ 10B ) = 0.616 ( 1 - 2.60/2.60 ) = 0.5544
Sustituyendo en la Ec. III.38
Q = 2/3
2 g μ b h3/2
Q = 2/3
2 g (0.5544) 2.60 ( 0.53 )3/2 = 1.64 m3 /seg
(III.38 )
VERTEDOR TRIANGULAR.- Cuando el vertedor es triangular, la expresión del gasto es:
Q = 8/15
2 g tan ( θ/2 ) μ h5/2
(III.41 )
132
la cual se puede expresar también:
Q = C h5/2
( III.42 )
donde C es un coeficiente que depende de θ, μ, y g. Así por ejemplo, con θ = 90o
vemos que:
C = 8/15
2 g μ = 2.36 μ
(III.43 )
En la tabla No. 7.2 (Hidráulica General Vol. I, Gilberto Sotelo), se dan las fórmulas más
conocidas de varios autores, para obtener los valores de μ ó C.
Un vertedero en forma de V es el que tiene una abertura de 90 o. En este caso, la expresión
( III.42) se transforma en :
Q = 2.36 C H5/2
( III.44 )
en donde para alturas de cargas superiores a 0.3 m, se ha experimentado que un valor medio
de C es 0.60 aproximadamente.
En el Instituto Tecnológico de Nogales, en el Laboratorio de Hidráulica hemos obtenido
experimentalmente para vertedores de pared delgada de sección triangular con:
Ө = 900,
valores de: C= 0.58 para cargas h ≤ 0.025 m.
3.2.2 APLICACIONES
Los vertedores de sección rectangular, triangular, trapecial o de cualquier otra sección se
utilizan como dispositivos de aforo en los laboratorios de hidráulica, o en algunas plantas
potabilizadoras de agua potable, para medición de los diferentes gastos o caudales que están
circulando.
133
³
FIGURA NO. III.13 VERTEDOR TRIANGULAR CON TANQUE DE AFORO
134
FIGURA NO. III.14 GRAFICA DE IPPEN
135
PROBLEMAS PROPUESTOS
III.1 Obtener por medio del análisis dimensional la expresión del Número de Reynolds, consultar las
expresiones, I.9, I.10, I.11, III.14 c.
Solución:
No. Reynolds= Re = V L / υ = (Velocidad x longitud) / viscosidad cinemática
III.2 Si la velocidad en el prototipo del problema III.5 (pag. 110 ), ver Fig. III.3, es de:
( V2 )p = 2.5 m/seg. ¿ Qué velocidad se obtendrá en el modelo?
Solución:
( V2 )m = 0.79 m/seg
III.3 Si en el modelo del problema III.5 (pag. 110 ), ver Fig. III.3, aparece una velocidad en la abertura de la
compuerta radial de:
( V2 )m =0.90 m/seg.
¿ Qué velocidad se obtendrá en el prototipo?
Solución:
( V2 ) p = 2.85 m/seg.
III.4 Si en el prototipo del problema III.5 (pag. 110 ), ver Fig. III.3, se mide una fuerza hidrostática sobre la
compuerta radial de: ( F1 )p = 185.5 kN ¿ Cúal será la fuerza que se presentará en el modelo ?
Solución:
(F1)m = 0.1855 kN = 185.5 N
III.5 Si sabemos que tenemos un prototipo de un canal de sección rectangular y que conduce un gasto o caudal
de Qp =20.5 m3 / seg , (se debe considerar que las fuerzas predominantes son las debidas a la gravedad), ¿ Cúal
debe ser el caudal que se deba utilizar en un modelo en el laboratorio de hidráulica; si se piensa utilizar una
escala de 1: 50 ?.
Solución:
Qm = 0.00116 m3 /seg = 1.16 lts /seg
III.6 El modelo de un vertedor en el laboratorio (ver Fig. III.15 ), está construido a escala 1:20. Cuando la
carga sobre la cresta vertedora es de Hm = 0.02 m, el gasto es de 5.65 lts/ seg. Determinar la garga sobre la cresta
y el gasto correspondiente en el prototipo.
Solución:
H p= 0.40 m ,
QP = 10.107 m3 /seg
136
FIGURA NO. III.15 Del problema III.6
III.7 A través de una tubería de 25 cm de diámetro está fluyendo agua a 20 0 C a una velocidad de 2.50 m/seg
. ¿ Cual debe ser la velocidad de un aceite fuel-oil- medio a 15 0 C circulando a través de una tubería de 20 cm
de diámetro para que se cumpla que los dos flujos exista la similitud dinámica ?
(consultar Tabla 2 Mecánica de los fluidos e hidráulica, Ranald V. Giles, Pag. 393).
Solución: 13.87 m/seg
137
III.8 A través de una tubería de 20 cm de diámetro fluye un aceite ( υ = 5.16 x 10 -6 m2 /seg), a una velocidad de
2.80 m/seg ¿ A qué velocidad de circular agua a 15 o C a través de una tubería de 30 cm de diámetro para que
los números de Reynods sean iguales ?
Solución:
0.413 m/seg
III.9 La velocidad real o práctica medida en el laboratorio de hidráulica en la sección contracta de un chorro de
un líquido circulando por un orificio de 4cm de diámetro es de 8.26 m/seg bajo una carga de 4.20 m. a) ¿ Cúal es
el valor del coeficiente de velocidad ? b) Si el caudal práctico o real se midió en
0.00707 m3 /seg , determinar los coeficientes de contracción y de descarga.
Solución:
CV = 0.91, CC = 0.68 , Cd = 0.62
III.10 Un orificio normal de 5 cm de diámetro evacua agua bajo una altura de carga 7.50 m. Si el coeficiente de
descarga es Cd = 0.594 a) ¿ Cúal es el valor del Gasto real o práctico ?
Solución: 0.01415 m3 /seg.
III.11 En un canal
rectangular de B= 2.5 m de plantilla se ha instalado una compuerta deslizante, como se
muestra en la (FIG III.10 del Problema III.9 Pag. 125 ), considerando una abertura en la compuerta de b=0.35
m. Obtener el gasto, si el tirante del agua arriba es
y1 = 3.50 m.
Solución: 4.205 m3 / seg
III.12 El caudal de agua a través de un vertedero triangular de 45
de carga sobre el vertedero para C= 0.575.
Solución: 0.316 m
0
es de 0.0315 m3 /seg. Determinar la altura
138
III.13 Calcular el gasto en un vertedor de sección rectangular de pared delgada con un ancho B= 3.00 m,
b= 2.00m, ( ver Fig. III.11), y que trabaja con una carga hidráulica de h= 0.32 m y cuya cresta vertedora se
encuentra a w= 1.20 m del piso del canal. (utilizar la expresión de Hegly, Tabla 7.1, Mecánica de los fluidos e
Hidráulica)
Solución: 0.654 m3 /seg
III.14 En las pruebas de aforo, efectuadas en un vertedor de sección triangular en el laboratorio de hidráulica
con vértice en V (Ө =90
0
), se obtuvo
un gasto real o práctico de
Qreal = 0.124 lts/seg, y se midió
experimentalmente una carga H = 0.024 m. Obtener el coeficiente C. ( utilizar la III.44 ).
Solución:
C= 0.59
III.15 Obtener la carga necesaria en el vertedor del problema anterior ( III.13 ), si es necesario un gasto de
1.2 m3 /seg, en las mismas condiciones de descarga libre. ( utilizar III.40 ).
Solución:
H= 0.462 m
139
UNIDAD IV
TEMA: FLUJOS EN CONDUCTOS A PRESION
4.1 RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS A PRESIÓN.
Para realizar el análisis de la resistencia al flujo en conductos a presión, es necesario
considerar la clasificación de los flujos, en Flujo Laminar y Flujo Turbulento. Esta
clasificación tan importante en Hidráulica va a definir su comportamiento al fluir en los
conductos.
El primero en estudiar ambos tipos de flujo fue Osborne
Reynolds (1883), realizando
experimentos en su aparato que lleva su nombre, pudo definir y observar físicamente los dos
tipos de flujos que son el laminar y el turbulento.
En el flujo laminar las partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas, formando el
conjunto de ellas capas o láminas. Y en el flujo turbulento las partículas fluidas se mueven de
forma desordenada en todas direcciones produciendo turbulencias y para determinar por
cálculo cuando se trata de flujo laminar o turbulento, se utilizará el denominado No. de
Reynolds.
El número de Reynolds, es un número adimensional que relaciona las fuerzas de inercia y las
fuerzas debidas a la viscosidad. La viscosidad del fluido juega un papel muy importante para
definir su comportamiento a través de un conducto. El flujo laminar y el turbulento se pueden
observar físicamente, pero si queremos determinarlo por cálculo, se utiliza la siguiente
expresión, en caso de tener un conducto a presión, de sección circular, el No. de Reynolds, se
explica a continuación.
140
En la sección anterior ( 3.1.1 ) se vio que:
FI / Fυ = Nυ
por medio de este número adimensional (Nυ
) se obtiene el número de Reynold:
Re = ( V D
( III. 14 c )
)/υ
donde: V= Velocidad del fluido ( m/seg)
υ = Viscosidad cinemática del flujo ( m2 / seg)
D= Diámetro del conducto ( m )
( consultar TABLA NO. I. 4 Pag. 15 )
( para la viscosidad cinemática de algunos aceites, consultar Tabla 2 del Apéndice Pag. 393, MECANICA
DE LOS FLUIDOS E HIDRAULICA Ranald V. Giles, Jack B. Evett. Tercera Edición ).
También en la Unidad I, se vió que:
υ = μ / ρ
( I.11 )
Por lo que el No. de Reynolds queda también,
Re = ( V D ρ )/ μ
en donde:
ρ = densidad del fluido en UTM/ m3 o Kp seg2 /m4 , Kg/m3 , N seg2 /m4
μ = viscosidad absoluta en Kg seg/m2 o N seg / m2
Para algunos autores el flujo laminar ocurre cuando el Re ≤ 2000, y el flujo turbulento cuando
Re > 2000., pero para otros investigadores existe una zona de transición para pasar de flujo
laminar a flujo turbulento, entre un valor de
Diagrama A-1 Pág. 145 )
2300≤ Re ≤ 4000 ( ver Fig. No. IV.2 gráfica
141
4.1.1 PERDIDAS DE ENERGIA POR FRICCION
Las tuberías de conducción que se utilizan en las instalaciones hidráulicas están compuestas
por tramos rectos y una serie de accesorios que permiten el buen funcionamiento, como lo son
cambios de dirección, cambios de sección, control de descargas, protección de entrada de
sólidos, etc. Cuando el líquido circula por tramos rectos se producen las pérdidas de carga
por fricción o longitudinales hf ( es decir se deben a la fricción existente entre el líquido y
las paredes del conducto), pero también existen las pérdidas denominadas secundarias o
locales hS , debidas a los accesorios de las instalaciones hidráulicas: las válvulas, codos de 90o
, ampliaciones, reducciones,
medidores, etc.
Las pérdidas de carga o por fricción hf , se deben a la fricción longitudinal entre las paredes
del conducto (debido a su rugosidad) y el fluido que circula a través de dicho conducto.
Existen en Hidráulica una gran cantidad de fórmulas,
obtenidas experimentalmente por
varios investigadores. Una de la expresiones más utilizada para calcular la pérdida de carga
por fricción , a lo largo de una conducción es la fórmula experimental de Darcy-Weisbach:
hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g )
( IV.2 )
142
En donde:
ƒ = coeficiente de rugosidad del conducto ( número adimensional)
L = longitud de la tubería, en m.
V = velocidad media, m/seg
D = diámetro del conducto, m
g = 9.81 m/seg2 ( aceleración de la gravedad )
Es decir que la expresión (IV.2), se puede aplicar tanto a flujos laminares como turbulentos.
Únicamente lo que cambia es la obtención del coeficiente de rugosidad “ƒ.” Poiseuille
encontró que dentro de un intervalo Re ≤ 2400, el flujo es laminar, y el valor de ƒ está en
función únicamente del número de Reynolds y no de la rugosidad de la conducción, y obtuvo
que únicamente para flujo laminar se cumple la siguiente expresión.
ƒ = 64 / Re
(IV.3 )
A partir de Re > 2400 se inicia una zona de transición de flujo laminar a turbulento, sin poder
establecer una ley general de variación. Para obtener el coeficiente de rugosidad “ƒ ”, cuando
estamos en flujo turbulento, se observa que:
ƒ = = f ( Re , ε /d )
Es decir valor de “ƒ ” está en función , tanto de Re como de la relación ε /d (denominada
rugosidad relativa).
143
En donde ε = tamaño de las imperfecciones superficiales en cm.( en función del tipo de
material de la conducción )
d = diámetro de la tubería en cm.
ε /d = rugosidad relativa
(ver diagrama A-1, Fig.No. IV.2 Pág.145)
y la expresión mas aceptada para obtener el valor de ƒ , para flujo turbulento, es la de
Colebrook y White.
1/
ƒ = - 2 log

( ε/ ( 3.71 D) + 2.51 / ( Re
f )

(IV.4)
De acuerdo con la rugosidad relativa ε /d , la zona turbulenta se inicia con diferentes valores
de Re, es decir, que el número de Reynolds, como límite superior para la zona de transición,
depende de la rugosidad relativa del tubo. De la expresión (IV.4) se observa que cuando Re
es suficientemente grande ya no es significativo en el cálculo del factor de fricción. D entro de
la zona turbulenta, ƒ es independiente de Re y varía exclusivamente con la rugosidad relativa.,
ver diagrama de Moody o diagrama A-1, (Mecánica de los fluidos e hidráulica, )
En
flujo laminar la pérdida de carga también está dada por la expresión de Hagen-
Poiseuille,
hf = ( 32 μ L V ) / ω D2
( IV.5 )
μ = viscosidad absoluta en : N seg / m2
V= velocidad media, m/seg
L= longitud, m
D= diámetro, m
ω= peso especifico ( kg/m3, kN/ m3)
144
CONCEPTO DE PERDIDA DE CARGA
Suponemos que tenemos un tubo horizontal, con un diámetro constante “D ”, y una longitud “
L ”, por el cual está circulando un gasto “Q”, ver (Fig. No. IV. 1 ).En el cual se han instalado
una serie de tubos piezométricos. También se puede observar que el tubo es horizontal y por
lo tanto no hay pérdida de energía de posición.
Ahora bién, si instalamos un tubo piezométrico en el punto “G”, podemos observar que el
agua subirá por este tubo piezométrico hasta una altura: hG = PG / ω , debido a la energía o
carga de presión que se tiene en ese punto. De la misma manera podemos seguir colocando
una serie de tubos piezométricos a lo largo de toda su longitud, hasta llegar por ejemplo al
punto R, donde la altura o carga de presión será: hR = PR /ω .
En el diagrama de la Fig. IV.1 Se puede observar que : hG › hR , es decir que la energía de
presión en “R ” es menor que en el punto “G”, todo esto debido a que si no ha habido
variación en la carga de velocidad y de posición, en cambio la carga o energía de presión si ha
disminuido, o sea que ha habido una pérdida de carga y todo esto debido a la fricción que
existe con las paredes del conducto. Si en la Fig. No.IV. 1, unimos con una línea recta todas
las alturas piezométricas de los diferentes puntos, se obtiene lo que se conoce en Hidráulica
como “Línea piezométrica” o también denominado “ Gradiente Hidráulico”.
A la relación:
S= Hf /L
es la pendiente de la línea piezométrica o del gradiente hidráulico, y también se
denomina “pendiente hidráulica”, y en la figura se puede observar que es la tangente del angulo θ
S= tang θ = Hf /L
es:
145
Se observa en la figura ( IV.1) que después del punto “R”, la línea piezométrica si se continua prolongando va a
llegar a tocar a la tubería en un punto y entonces la presión será cero en este punto. Quiere decir que toda la
energía de presión que tenía el agua en “G” se ha empleado en producir circulación de G hasta este punto y
que si queremos que la circulación continúe más allá ( a la derecha del punto R ) donde la línea piezométrica
toque a la tubería, tendremos que insertar una bomba.
FIG. NO. IV.1 GRADIENTE HIDRAULICO (LINEA PIEZOMETRICA)
146
FIG. NO. IV.2 DIAGRAMA DE MOODY ( A-1 ) *
* Diagrama del Apéndice de: “Mecánica de Fluidos e Hidráulica”, Ranald V. Giles, Jack B. Evett.
PROBLEMAS RESUELTOS
147
VI.1 Determinar el tipo de flujo que tiene lugar en una tubería de 25 cm. de diámetro, cuando
a) fluye agua a 20 o C a una velocidad de 1.10 m /seg., y b) fluye un fuel-oil pesado a 20 0 C
y a la misma velocidad.
Solución:
a) Primero obtenemos el número de Reynolds, para saber el tipo de flujo de que se trata.
Re = ( V D
)/υ
υ = 1.007 x10-6 m2/seg.
( consultar Tabla I.4 Pag. )
Re = (1.10 m/seg x 0.25 m ) / 1.007 x10 -6 m2/seg = 273 088 >2000
b) υ = 156 x10-6 m2/seg.

Flujo Turbulento
( ver Tabla 2 Apéndice, “Mecánica de Fluidos e Hidráulica” )
( Ranald V. Giles, Jack B. Evett )
Re = (1.10 m/seg x 0.25 m ) / 156 x10-6 m2/seg = 1763 ‹ 2000

Flujo Laminar
IV.2 Para un flujo laminar, ¿ Qué diámetro de tubería será necesario para transportar un gasto
de 0.0010 m3 /seg de un aceite fuel-oil medio a 30 o C (υ = 3.11 x 10-6 m2/seg ).
SOLUCIÓN:
Aplicando la Ecuación de Continuidad ( II.15 ):
148
V= Q / A = ( 0.0010 m3 /seg ) / ( π D2 /4 ) = 0.004/ π D2
Re = ( V D ) / υ = 2000
y el No. de Reynolds por ser laminar es:
Re = ( 0.004/ π D2 ) D / υ = 2000

D = 0.20 m
IV.3 Un caudal de 50 lts/seg de un aceite con una viscosidad absoluta de 0.142 N.s/m2 y una
densidad relativa de 0.760, está circulando por una tubería de hierro galvanizado de 25 cm de
diámetro y 2500 m de longitud. ¿ Cúal es la pérdida de carga en la tubería?
Solución:
Podemos encontrar primeramente la velocidad media:
V= Q/ A = ( 50 x 10-3 m3 /seg ) / ( π (0.25)2 /4 ) = 1.018 m/seg
y el No. de Reynolds se obtiene por la expresión vista anteriormente:
Re = ( V D ρ )/ μ
en donde:
ρ = densidad del fluido en: Kg/m3 , N seg2 /m4
μ = viscosidad absoluta en: Kg seg/m2 o N seg / m2
pero sabemos que la densidad del fluido ρ = ω / g = peso específico / gravedad
Re = ( V D ρ )/ μ = ( V D ω ) / ( g μ )
Recordando que la densidad relativa del aceite es: Dr = ωaceite / ωagua = 0.760
,
ωagua = 9.79 kN/m3
ωaceite = ωagua Dr = 9.79 kN/m3 x 0.760 = 7.4404 kN/m3 = 7440.4 N /m3
Re = ( 1.018 m/seg x 0.25 m x 7440.4 N /m3 )/ ( 9.81m/seg2 x 0.142 N.s/m2
Re = 1360 ‹ 2000

Flujo Laminar
Como el flujo es laminar se aplica la expresión ya vista:
y el coeficiente de fricción vale:
ƒ = 64 / Re
ƒ = 64 / 1360 = 0.047
(IV.3 )
149
y la pérdida de carga según Darcy-Weisbach será:
hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g )
( IV.2 )
hf = 0.047 x ( 2500 / 0.25 ) ( 1.018 ) 2/( 2x9.81) = 24.82 m
IV.4 Calcular el diámetro de una tubería de fundición sin revestimiento, necesario para
transportar 300 lts/ seg de agua a 25 o C, a un km de longitud y con una pérdida de carga de
1.20 m.
Solución :
Para el agua a 25 o C , υ = 0.897 x10-6 m2/seg.
( consultar Tabla I.4 Pag.15 )
La velocidad será :
y la pérdida de carga es, :
V= Q/A = 0.300 / (π D 2/4 ) = 0.381972 / D2
hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g )
1.20 = f ( 1000/ D ) ( 0.381972 / D2 )2 /2g

D5 = 6.197035 f
como tenemos dos incógnitas se puede suponer el diámetro., en este caso se puede suponer:
D= 0.635 m
y por lo tanto el coeficiente de fricción será: f = 0.017
también podemos obtener:
Re = ( V D ) / υ = 0.9473 x 0.635 / ( 0.897 x10-6 m2/seg ) = 6.71 x 105
la rugosidad de la tubería de fundición desnuda tomaremos según tablas, el valor de diseño es
ε = 0.024 cm
(ver diagrama A-1, Fig.No. IV.2 Pág.145)
ε /d = rugosidad relativa = 0.024/63.5 = 0.0004
Con los valores del No. de Reynolds y el valor de la rugosidad relativa ya obtenidos, entramos al Diagrama A-1
Fig. No.IV.2, y encontramos el valor del coeficiente de rugosidad: ƒ = 0.017.
Este valor de f coincide con el valor de f obtenido anteriormente. De aquí el valor supuesto de D es correcto, es
de 63.5 cm.
IV.5
Desde un punto B que tiene una cota de 120.50 m se está descargando gasolina a
través de una tubería de acero con una rugosidad ε = 0.600 mm. Otro punto A, que está
150
situado en la cota 140.60 m y a una distancia L= 1200 m en la tubería a partir del punto B.
También se conoce que la presión en el punto A es de 3.10 kPa. ¿ Qué diámetro de tubería es
Q= 0.120 m3 /seg ?
necesario para descargar un gasto de gasolina de
Solución:
Para la gasolina se tienen los siguientes datos: ω = 7.18 kN/m3
ρ = 731.91 kg/m3
Q=
hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g ) = ƒ (1200/D )
A V = 0.120 = ( π D2 /4 ) V
→
μ = 5.2 x 10-4 N.s/ m2

V2 / (2 x 9.81)
 = 61.162 ƒ
V2 / D
V= 0.1528 / D 2
A continuación es necesario aplicar la expresión de Bernoulli, desde el punto A → B y considerando que el
plano de referencia pasa por el punto B.
pA/ω + vA2/2g + zA = pB /ω + vB2/2g + zB + hf
3.10/7.18 + vA2/2g + 20.10 = 0 + vB2/2g + 0 + 1.428 ƒ /D5
Se supone un valor de
ƒ= 0.020 y se sustituye en la ecuación de Bernoulli. Se puede ver que como:
vA = vB , ( ya que el diámetro es el mismo en las dos secciones ).

0. 432 + 20.10 = 0.02856 / D5
Por lo que se tiene lo siguiente:
D=0.268 m
V= 0.1528 / D 2 = 2.13 m/seg
Re = ( V D ρ )/ μ = ( V D ω ) / ( g μ ) = ( 2.13 x 0.268 x 7180 )/ ( 9.81 x 5.2 x 10 -4 ) = 8.03 x 105
Se observa que en Diagrama A-1, ƒ = 0.025 , por lo que el valor supuesto no es el correcto. Se supone
nuevamente ƒ = 0.024 y se repiten los mismos cálculos anteriores.
20.532 = 0.034272 / D5
D= 0.278 m
ε /d = 0.000600/ 0.278 = 0.00216
V= 1.98 m/seg
Re = 7.75 x 105
ƒ = 0.024 se observa que este valor ya coincide con el valor supuesto.
4.1.2 PERDIDAS DE ENERGIA POR ACCESORIOS.
151
En la práctica, en las líneas de conducción de agua potable o en las redes de distribución,
además de que los conductos no son siempre rectilíneos, usualmente se emplean piezas
especiales y conexiones para el buen funcionamiento hidráulico de los sistemas, que en virtud
de su forma y disposición, provocan pérdidas locales o secundarias; normalmente dichas
piezas son válvulas de compuerta, medidores de gasto, codos a 90o, codos a 45o, reducciones
y ampliaciones graduales o bruscas, ect.
Su magnitud se expresa como una fracción de la carga de velocidad, inmediatamente aguas
abajo del sitio donde se produjo la pérdida.
hS = K ( V2/ 2g )
(IV.5 )
hS = Pérdida de carga local o secundaria, m
K= coeficiente adimensional, que depende del tipo de accesorio de que se trate,
Tabla IV.1). Para determinar K se ha obtenido en base a los resultados experimentales en
laboratorios hidráulicos.
V= velocidad media, m/seg
A continuación se exponen los valores de K para la piezas más comúnmente empleadas.
ver (
152
TABLA NO. IV.1 VALORES DE “K” (Pérdidas locales o secundarias )
Pieza
K
Pieza
K
Ampliación gradual 0.30* Válvula de retención
2.75
Boquillas
2.75
Medidor venturi
2.50**
Compuerta abierta
1.00
Reducción gradual
0.15*
Codo de 90o
0.90
Válvula de ángulo abierto
5.00
Codo de 45o
0.40
Válvula de compuerta abierta 0.20
Colador
0.75
Válvula de globo abierta
10.00
Curva de 90o
0.40
Salida de canalización
1.00
Curva de 45o
0.20
Te, de paso directo
0.60
Entrada normal
0.50
Te, salida de lado
1.30
Entrada de Borda
1.00
Te, salida bilateral
1.80
Velocidad
1.00
Válvula de pie
1.75
Unión
0.40
Entrada en un depósito
1.00
* Con base en la velocidad mayor
** Con base en la velocidad en la canalización
153
PERDIDA DE CARGA POR ENTRADA DE UN CONDUCTO
Cuando el agua contenida en un depósito penetra en un conducto, hay cierta perdida de carga
cuya proporción depende de las características de la entrada, ver Fig. No. IV. 3.
FIGURA NO.IV.3 PERDIDA DE CARGA POR ENTRADA A UN CONDUCTO
PERDIDA DE CARGA EN UN DEPOSITO
La entrada del agua en un depósito se puede efectuar de diferentes maneras: chorro libre ( Fig
No. IV.4 a ) y chorro ahogado ( Fig. No. IV.4 b).En ambos casos, se puede suponer que el
valor de K= 1.0
154
FIG. NO.IV.4 PERDIDA POR ENTRADA A DEPOSITO
PERDIDA DE CARGA EN REDUCCIONES BRUSCAS DE SECCION
FIGURA NO. IV. 5 PERDIDA DE CARGA POR REDUCCION BRUSCA
155
PERDIDA DE CARGA POR AUMENTOS BRUSCOS DE SECCION
FIGURA NO. IV.6 PERDIDA DE CARGA POR AUMENTO BRUSCO DE SECCION
PERDIDAS DE CARGA EN LAS VALVULAS DE COMPUERTA
Unos de los accesorios más utilizados en las líneas de distribución de agua potable, son las
válvulas de compuerta, para la distribución más eficiente del agua a los usuarios de una
población. Y las pérdidas de carga se pueden evaluar consultando la tabla de la figura No.
IV.7.
156
FIGURA NO. IV.7 PERDIDA DE CARGA EN VALVULA DE COMPUERTA
PROBLEMAS RESUELTOS
1V.6 De un lago artificial parte una tubería con 800 m de longitud y 30cm de diámetro para
alimentar un depósito con un gasto 60 lts/seg.( ver Fig. IV.8 ).
a) ¿ cúal será la diferencia de
nivel entre la S. L. A.(superficie libre del agua) del lago y del depósito?
b)
¿cuánto representan las pérdidas locales en porcentaje de las pérdidas de carga
continuas
o
de
fricción?
157
FIGURA NO. IV.8 DEL PROBLEMA IV.6
Solución:
a) Como se muestra en la figura, en la línea de conducción existe una rejilla o colador, dos válvulas de
compuerta ( abiertas ) y dos codos de 90 0 .
Primeramente se obtiene la velocidad:
y la carga de velocidad:
V= Q/A = 0.060 / ( π (0.30 ) 2/4 ) = 0.85 m/seg
V2/ 2g = ( 0.85 )2 / 2x9.81 = 0.0368 m
A continuación se calculan las pérdidas de carga en los diferentes accesorios:
PIEZA O ACCESORIO
No. de Piezas
Valores de “ K”
Pérdida de carga
(Consultar valores Tabla IV.1)
(Local o secundaria)
hS = K ( V2/ 2g )
Rejilla o colador
1
0.75
0.0276
Válvula de compuerta
2
0.20
0.0147
2
0.90
0.0662
1
1.00
0.0368
Codo
90 0
Entrada a un depósito
Σ hS = 0.1453 m
158
Pérdida de carga continua o por fricción. Se supone que la tubería es de hierro galvanizado (ε =0.015 )
ε /d = 0.015/30= 0.0005 , y se supone que circula agua a 10 0 C.
Re = ( V D ) / υ = 0.85 x 0.30 / (1.308 x10-6 m2/seg ) =1.95 x 105 Flujo turbulento
→
ƒ = 0.0195
hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g ) = 0.0195 ( 800/0.30) ( 0.0368 ) = 1.92 m
Por lo tanto la pérdida de carga total será de: hf + Σ hS = 1.92 m + 0.1453 m = 2.0653 m
b) Para la pérdida de carga por fricción o continua, las locales representarán:
Σ hS / hf x 100 = ( 0.1453 x100 )/ 1.92= 7.56 %
NOTA: En problemas como el que se acaba de analizar, o sea en tuberías relativamente largas y un pequeño
número de piezas especiales, las pérdidas locales o secundarias, pueden despreciarse, considerando únicamente
las pérdidas de carga por fricción o continuas.
IV.7 Calcular la pérdida de carga en el subramal que abastece una regadera y una instalación
predial ( ver Fig. No. IV.9 ). Verificar cuál es el porcentaje de las pérdidas de carga locales o
secundarias en relación con la pérdida de carga continua.
Solución:
Pédida de carga por fricción o continua:
Como el gasto normal aproximado en una regadera se considera de: Q= 0.20 lts/seg, se puede emplear
fórmula de Fair-Whipple-Hsiao, para tubos de acero galvanizado conduciendo agua fria:
hf = 0.002021 Q1.88 L / D4.88
( IV.5.a )
hf = 0.002021 ( 0.0002)1.88 ( 5.30 ) / ( 0.019 )4.88 = 0.30 m
La carga de velocidad: V= Q/A = 0.0002/ ( π (0.019 )2/4)= 0.71 m/seg ;
V2/2g = 026 m
la
159
FIGURA NO. IV.9 del problema IV.7
PIEZA O ACCESORIO
No. de Piezas
Valores de “ K”
Pérdida de carga
(Consultar valores Tabla IV.1)
(Local o secundaria)
hS = K ( V2/ 2g )
Te, salida de lado
1
1.30
0.0338
Válvula de compuerta
2
0.20
0.0104
5
0.90
0.1170
Codo
90 0
Σ hS = 0.1612 m
Por lo tanto la pérdida de carga total será de: hf + Σ hS = 0.30 m + 0.1612 m = 0.4612 m
b) Para la pérdida de carga por fricción o continua, las locales representarán:
Σ hS / hf x 100 = ( 0.1612 x100 )/ 0.30= 53.7 %
160
NOTA: En problemas como el que se acaba de analizar, o sea en tuberías relativamente cortas, las pérdidas
locales o secundarias, a pesar del pequeño número de piezas especiales, representan más de la mitad de la
pérdida continua.
IV.8 Calcular la pérdida de carga o energía, para un flujo de 2.65 m3/seg, a través de una
contracción brusca, en una tubería que cambia de 150 mm a 100 mm de diámetro.
Solución:
Se conoce el caudal:
Primeramente se obtiene la velocidad:
Q= 2.65 m3 / min= 0.0442 m3 /seg
V= Q/A =0.0442 / ( π (0.100 ) 2/4 ) = 5.63 m/seg
(se debe tomar en este caso el diámetro menor, según la Fig. No. IV.5 Pág. 154 )
y la carga de velocidad:
V2/ 2g = ( 5.63 )2 / 2x9.81 = 1.6155 m
(para obtener el valor del coeficiente “K ”, tenemos que consultar la tabla de la Fig. No. IV.5.)
Y se debe entrar con la relación de: D/d = 1.5, pero este valor no existe en la tabla por lo que se deberá
interpolar entre los valores de
Finalmente la pérdida de carga local será:
D /d=1.4 y D/d=1.6 , y se obtiene: K=0.46
h S= K ( V2/ 2g ) = 0.46 ( 1.6155 ) = 0.74 m
4.2 CALCULO DEL FLUJO EN TUBERIAS.
En este capítulo se hace un análisis de sistema de conductos a presión, que van desde el tubo
único hasta el de redes de agua potable. El análisis se realiza utilizando las ecuaciones de
continuidad y de energía, tomando en consideración las pérdidas de carga por fricción y
locales, cuya forma de cuantificación ha sido presentada en los capítulos anteriores.
161
4.2.1 CONDUCTOS SENCILLOS.
Es el más sencillo de los sistemas. Consiste de un conducto único alimentado en el extremo,
aguas arriba, por un recipiente o una bomba y con descarga libre o a otro
recipiente. El conducto puede tener cambios geométricos u obstrucciones que producen
pérdidas locales o secundarias de energía, además de la propia de fricción.
En la Fig. No. IV.10, se tiene un conducto que conecta dos recipientes, situados cada uno a
diferente cota. Para el análisis del conducto sencillo se utiliza la ecuación de energía y las
pérdidas de carga por fricción o locales.
Un tubo, hidráulicamente puede funcionar de tres maneras distintas. En efecto, aplicando
Bernoulli
entre
las
secciones
I-I
y
II-II
se
obtiene.
²/ 2g
²
FIGURA NO.IV.10 CONDUCTO QUE CONECTA DOS RECIPIENTES.
162
z1 + d1 + v12/2g = z2 + d2 + v22/2g + Σ hf
( IV.6 )
La cual se puede escribir en la forma siguiente:
( z1 - z2 ) + ( d1 - d2 ) + v12/2g = v22/2g + Σ hf
( IV.7 )
Representando los paréntesis por ∆z y ∆d respectivamente se tiene:
∆z + ∆d + v12/2g = v22/2g + Σ hf
( IV.8 )
Y si hacemos ∆z + ∆d = ∆H, entonces la ecuación ( IV.6 ), se puede escribir.
∆ H + v12/2g = v22/2g + Σ hf
( IV.9 )
Esta ecuación desde el punto vista del funcionamiento corresponde al problema general que se
muestra en la figura anterior. En particular se obtiene:
a) Cuando la tubería comunica a dos recipientes de gran volumen, entonces las velocidades de
acceso
y
v1 = v2
≈ 0
de
descarga
se
consideran
prácticamente
nulas,
esto
es,
Por lo tanto se pude observar en la Fig. No. IV.11, que si las velocidades son prácticamente
nulas entonces la ecuación IV.11, se convierte en:
∆ H = Σ hf
→ este resultado significa que la energía disponible debida a la diferencia de
niveles entre las superficies libres, se emplea totalmente para vencer a las pérdidas de carga.
163
FIGURA IV.11 TUBERIA QUE COMUNICA A DOS RECIPIENTES DE GRAN VOLUMEN
b) Cuando las características en el acceso y descarga son idénticamente iguales, se tiene
d1= d2
( los tirantes o profundidades del líquido son iguales en las dos secciones)
v1 = v2
y por lo tanto, la expresión ( IV.8 ) quedará:
( ver Fig. No. IV.12 ).
∆z = Σ hf
Esto es, el desnivel debido a la diferencia de cotas de plantilla a la entrada y salida de la
tubería se compensa con las pérdidas.
164
FIGURA NO. IV.12 CUANDO LAS CARACTERISTICAS SON IGUALES EN EL ACCESO Y
DESCARGA.
c) Cuando la descarga se produce al exterior, la expresión (IV.6) toma la forma,
z1 + d1 = zs + vs2/2g + Σ hf
( IV.10 )
aceptando que en el recipiente se tiene un gran volumen. Finalmente, eligiendo
adecuadamente el PHC (plano horizontal de comparación) se tiene:
(z1 + d1 ) – zs = vs2/2g + Σ hf
( IV.11 )
H = vs2/2g + Σ hf
( IV.12 )
lo que significa que la carga disponible se utiliza en producir carga de velocidad y en vencer
las pérdidas de carga ( ver Fig. No. IV.13 )
165
²
FIGURA NO. IV.13 CUANDO LA DESCARGA SE PRODUCE AL EXTERIOR
4.2.2 TUBERIAS EN PARALELO
Se dice que los conductos o tuberías estarán conectadas en paralelo cuando un cierto caudal o
gasto, se ramifica en dos o más tuberías, y que se pueden volver a unir en un punto
determinado aguas abajo, ( ver Figura No. IV. 14 ).
En la Fig. No.( IV.14 ), se puede observar que el caudal “ Q ” cuando llega al punto A, se
ramifica en varios conductos. Una parte del gasto se va hacia la tubería “ABCD”, otra parte
del caudal va a circular por el ramal “AFED”, y por último el resto del gasto por el ramal
“AGHD”. Y en el punto “D”, en la intersección , las tres tuberías y el fluido vuelve a circular
por una sola tubería.
166
Para resolver problemas de tuberías en paralelo, se debe considerar lo siguiente:

El caudal “Q” que está entrando por el nudo “A” ( ver Fig. No. IV.14 ), deberá ser
igual al caudal que está saliendo por el nudo “D”.

En un sistema de tuberías en paralelo, la magnitud hidráulica que es el común
denominador es la pérdida de carga. Es decir que en el caso de la Fig. IV.14, se debe
suponer que la pérdida de carga es igual en todos los ramales entre los nodos “A” y
“D”.

El caudal que está circulando en cada ramal del circuito, por ejemplo por “ABCD” o
por “AFED”, será un porcentaje constante del caudal total.

Para calcular las pérdidas de carga por fricción y la pendiente hidráulica se puede
utilizar la expresión de Hazen-Williams ( que a continuación se explica).
FIGURA NO. IV.14 TUBERIA EN PARALELO
167
CALCULO HIDRAULICO ( Tuberías en paralelo )
Es común utilizar la fórmula de HAZEN-WILLIAMS, para obtener las pérdidas de carga por
fricción en los ramales de un circuito; la velocidad será:
V = 0.8494 C1 R0.63 S0.54
(IV.13 )
V = velocidad media, m/seg
R = radio hidráulico, m
C1 = coeficiente de rugosidad relativa de Hazen- Williams
( ver Tabla IV.2 )
S = pendiente de la línea de alturas piezométrica
( ver Fig. No.IV.1 )
El radio hidráulico de un conducto, con un diámetro “D” es por definición:
R = Area hidráulica/ perímetro mojado = Ah / Pm
( IV.14 )
para el caso de un conducto circular trabajando a presión y a tubo lleno, el radio
hidráulico será:
R = ( π D2/4 ) / ( π D ) = D/4
( IV.15 )
por lo tanto para obtener la pendiente hidráulica ( S ),despejando de la IV.13, tenemos:
S=

V / (0.8494 C1 R0.63
 1 / 0.54
( IV.16 )
y la pérdida de carga será: Hf = S * L
( IV.17 )
TABLA NO. IV.2* ALGUNOS VALORES DEL COEFICIENTE C1 ( HAZEN – WILLIAMS)
Tuberías rectas y muy lisas
140
Tuberías de fundición lisas y nuevas
130
Tuberías de fundición usadas y de acero roblonado nuevas
110
Tuberías de alcantarillado vitrificadas
110
Tuberías de fundición con algunos años de servicio
100
Tuberías de fundición en malas condiciones
80
* Tabla obtenida del Apéndice de ( “Mecánica de Fluidos e Hidráulica, Ranald V. Giles, Jack B. Evett )
168
PROBLEMA RESUELTO
IV.9 En el sistema mostrado en la Figura No. IV.15, en paralelo, la altura de presión en “M”
es de 39.50 m.c.a. y la altura de presión en “N” es de 24.00 m.c.a. Suponiendo que las
tuberías están en un plano horizontal. Obtener: a ) ¿Cúal es el gasto que entra en “M” ? b) ¿
Cúal es el caudal que está circulando por cada uno de los ramales del circuito ? c) ¿ Cúal es el
porcentaje del caudal en cada una de las ramas del circuito con respecto al caudal total ?
FIGURA NO.IV.15 del Problema IV.9
Solución:
La pérdida de carga total ( la caida de la línea de las alturas piezométricas ) entre los puntos M y N, es la
misma para todos los ramales ( por estar en paralelo) y es igual a: h f = 39.50 m – 24.00 m = 15.50 m
A continuación se deben obtener las pendientes hidráulicas “S” ( pendiente de la línea de alturas piezométricas
), en cada uno de los ramales del circuito:
SMPN= S30 = 15.50 m/ 4000 m = 0.003875 = 3.875 m/ 1000 m
SMRN= S20 = 15.50 m/ 1350 m =0.01148 m=11.48 m/ 1000m
SMSN= S25 = 15.50 m/ 2700 m= 0.00574 m= 5.74 m/ 1000 m
169
Los gastos en cada uno de los ramales se pueden obtener utilizando utilizando la ecuación de Hazen-Williams (
IV.13 ), vista anteriormente.
V = 0.8494 C1 R0.63 S0.54
(IV.13 )
V = velocidad media, m/seg
R = radio hidráulico, m
( en este caso aplicar la expresión IV.15 )
C1 = coeficiente de rugosidad relativa de Hazen- Williams
(ver Tabla IV.2 )
en este caso es un dato del problema: C1 = 100
S = pendiente de la línea de alturas piezométrica
( ver Fig. No.IV.1 )
Para el ramal “M P N”, de 30 cm de diámetro, se tiene:
V30 = ( 0.8494 ) (100 ) ( 0.30 /4 )0.63 ( 0.003875 )0.54 = 0.83 m/seg
Para el ramal “M R N”, de 20 cm de diámetro, se tiene:
V20 = ( 0.8494 ) (100 ) ( 0.20 /4 )0.63 ( 0.01148 )0.54 = 1.15 m/seg
Para el ramal “M S N”, de 25 cm de diámetro, se tiene:
V25 = ( 0.8494 ) (100 ) ( 0.25 /4 )0.63 ( 0.00574 )0.54 = 0.91 m/seg
Finalmente el caudal en cada uno de los ramales del circuito:
Q30= V30 A30 = ( 0.83 ) ( π ( 0.30 )2 /4 ) = 0.05867 m3 /seg = 58.67 lts /seg
( 42.07 % )
Q20= V20 A20 = ( 1.15 ) ( π ( 0.20 )2 /4 ) = 0.03613m3 /seg = 36.13 lts /seg
( 25.90 % )
Q25= V25 A25 = ( 0.91 ) ( π ( 0.25 )2 /4 ) = 0.04467m3 /seg = 44.67 lts /seg
( 32.03 % )
QTOTAL = 58.67 + 36.13 + 44.67 = 139.47 lts/seg
( Gasto total que entra por M)
( 100 % )
170
4.3 REDES DE TUBERIAS
Es el conjunto de tuberías de diferentes diámetros que se instalan subterráneamente en las
calles de una población y cuyo objetivo fundamental es entregar el agua potable a cada uno de
los lotes de una población y que forman la red. Por medio de éstos conductos se distribuye y
se entrega el agua potable hasta las casas de cada uno de los usuarios. La primera clasificación
de las redes de distribución es en función del tipo de distribución. Fundamentalmente existen
dos tipos de redes de conductos a presión: Redes Abiertas y Redes Cerradas, clasificadas de
acuerdo con la disposición de los conductos principales.
Están formadas por tuberías principales, llamadas también de circuito, troncales o maestras y
por tuberías secundarias (llamas también de relleno), y que son las que se derivan de las
primeras.
4.3.1 REDES ABIERTAS
La red abierta o ramificada consiste en una tubería principal o arteria maestra que parte del
depósito o tanque de almacenamiento y se va dividiendo o ramificando en tuberías
secundarias, que abastecen de agua potable a todos los usuarios de una población, colonia o
fraccionamiento ( ver Fig. No.IV. 16 ).
171
FIGURA NO. IV.16 RED ABIERTA O RAMIFICADA ( EN UN PLANO HORIZONTAL )
Aunque estos sistemas son simples de diseñar y construir, no se recomiendan en la actualidad
por las siguientes razones: 1) en los extremos finales de las ramas se pueden presenta
crecimientos bacterianos y sedimentación debido a estancamiento, ya que quedan extremos
muertos sin comunicar; 2 ) cuando tienen que hacerse reparaciones a una línea individual en
algún punto, deben quedar sin servicio las conexiones que se encuentran más allá del punto de
reparación hasta que ésta sea efectuada; 3 ) la presión en los puntos terminales de las ramas
puede llegar a ser demasiado baja conforme se hacen ampliaciones a la red de distribución.
El sistema ramificado se recomienda generalmente cuando la topografía y el alineamiento de
las calles de la población en estudio, no es muy uniforme y por lo tanto no permite formar
circuitos cerrados. No es aconsejable este sistema más que en casos de localidades urbanas
pequeñas y rurales.
172
4.3.2 REDES CERRADAS
El rasgo distintivo del sistema de circuitos o en malla, como el mostrado en la Fig. No. IV.17,
es que todas las tuberías están interconectadas y por lo tanto no existen terminales o extremos
muertos. En estos sistemas, el agua puede alcanzar un punto dado desde varias direcciones,
superando todas las dificultades del sistema ramificado, discutido anteriormente, la desventaja
es que el diseño de estos sistemas es algo más complicado. Y se recomienda utilizar en
aquellas poblaciones en que la topografía es más uniforme y permite formar circuitos
cerrados. En este sistema de red cerrada la tubería principal que parte del depósito o tanque de
almacenamiento ( ver Fig. No. IV.17 ), se va ramificando o dividiendo en uno o varios
circuitos cerrados, pero en este caso todas las tuberías están interconectadas y no hay
terminales o extremos muertos.
Este tipo de red está formada por un polígono de tubería principal que encierra una malla de
tuberías secundarias de tal manera que cualquier punto de la misma que puede recibir el agua
por varios caminos; superando todas las dificultades del sistema ramificado, discutido
anteriormente. La desventaja es que el diseño de éstos sistemas es algo más complicado según
el número de circuitos.
En general es el tipo de red más recomendable para localidades urbanas grandes, por su gran
flexibilidad de operación, el sentido del escurrimiento se controla fácilmente por medio de
válvulas de seccionamiento; se obtiene una mejor distribución de las presiones disponibles,
etc.
173
CALCULO HIDRAULICO.
El procedimiento para resolver redes cerradas o de circuitos se realiza por el método de
Hardy Cross, de aproximaciones sucesivas, el cual consiste en suponer unos caudales en
todas las ramas de la red y a continuación hacer un balance de las pérdidas de carga
calculadas; para corregir los gastos supuestos inicialmente. En el lazo o circuito único,
mostrado en la Fig.No. IV.18, para que los caudales en cada rama del lazo sean los correctos
se habrá de verificar que:
( HL )EFG = ( HL )EHG
o
(HL )EFG - ( HL )EHG = 0
( IV.18 )
Hardy Cross, aconseja hacer correcciones sucesivas modificando los gastos en uno y otro
sentido según lo indique el signo de corrección ( Q1 + ∆ ; Q2 - ∆ )
hasta tener una
diferencia aceptable de cargas. Esta corrección se hace mediante la aplicación de la fórmula
IV.19.
FIGURA IV.17 REDES CERRADAS O DE CIRCUITOS
174
∆ = − Σ H / ( n Σ H/Q)
( IV.19 )
en donde:
∆ = coeficiente de corrección de caudales.
Σ H = Suma algebraica de pérdidas de carga en los dos sentidos.
Q = Gasto que está circulando por el circuito.
n = Coeficiente, que tiene un valor de n= 2, cuando
estamos utilizando la expresión de Manning, y toma un valor de n= 1.85
cuando estamos utilizando la expresión de Hazen-Williams.
FIGURA NO.IV.18 METODO DE CROSS ( concepto de pérdida de carga positiva y negativa)
175
PROBLEMAS RESUELTOS
IV.10 El sistema de tuberías en paralelo mostrado en la Fig. No. IV. 19, el gasto de entrada
proveniente de un depósito es de Q= 100 lts/seg. Equilibrar el circuito, utilizando el método
de Hardy Cross.
FIGURA NO. IV.19 del Problema No. IV.10
Solución:
Como no se conocen los gastos en los diferente ramales del circuito, primeramente se deben suponer los gastos
a través del circuito, tomando en cuenta también las tomas de agua que se encuentran en B, F, y E.
El cálculo se puede iniciar al suponer que el gasto inicial proveniente del tanque de almacenamiento
( Q= 100 lts/seg ), al llegar al punto “A”, se va a dividir, una parte hacia el ramal AB, QAB = 40 lts/seg y y otra
parte hacia el ramal AF, QAF = 60 lts/seg
( ver Fig. No. IV. 20 )
Los cálculos se realizan en la Tabla No.IV.3, (obsérvese que se ha puesto un valor negativo del gasto y de la
pérdida de carga para el ramal EF ), QEF = - 60 lts/seg , debido al sentido de las pérdidas de carga
( antihorario), ver Fig. No. IV.18 ). También el ramal EF, el gasto y la pérdida son negativos.
176
FIGURA NO. IV.20 del Problema No. IV.10
En seguida se calculan los valores de “ S” mediante la ecuación IV.18, luego sabemos que la pérdida de carga
total en toda la longitud es HL = S x L , y a continuación se obtiene el valor de H L / Qo ( se hace notar que esta
relación siempre es un valor positivo ). Se notará que cuanto mayor sea el valor de Σ HL, mas alejados de los
correctos estarán los caudales Q supuestos inicialmente. Se calculará únicamente como ejemplo el ramal “AB”:
Se obtiene la velocidad: VAB= QAB /AAB = 0.040 /(π (0.25)2 /4 )) = 0.815 m/seg
El radio hidraulico, según la IV.15: R= 0.25/4 = 0.0625 m
La pendiente hidráulica según la (IV.16 ):
S=

V / (0.8494 C1 R0.63
S = 4.65 m/ 1000m

1 / 0.54
= ( 0.815 )/ ( (0.8494) ( 100 ) ( 0.0625 ) 0.63 )1/0.54= 0.004654
( pérdida de carga unitaria por kilómetro)
y la pérdida de carga para el ramal AB, de 2000m de longitud, será: HL = S L = 4.65 x 2= 9.30 m
el valor del coeficiente de corrección se obtiene por la expresión ( IV.19):
∆ = − Σ H / ( n Σ H/Q) = - 3.61/ ( 1.85 x 0.6737 ) = - 2.90
Finalmente los gastos corregidos se obtienen sumando algebraicamente el gasto supuesto y el valor del
coeficiente de corrección ∆.
177
TABLA NO.IV.3 DEL PROBLE3MA IV.10
Tramo
Diámetro
Longitud
o
( cm )
(m)
ramal
Gasto
Pendiente
(supuesto)
“S”
Qo
m/1000m
Pérdida de
Carga
HL/Qo
Factor
Gasto
de
Corregido
corrección
HL = S* L
Q1
∆
(Lts/seg )
A-B
25
2000
40
4.65
9.30
0.2325
-2.90
37.10
B-E
20
1000
20
3.83
3.83
0.1915
-2.90
17.10
E-F
25
2000
-30
-2.73
-5.46
0.1820
-2.90
-32.90
F-A
30
1000
-60
-4.06
-4.06
0.0677
-2.90
-62.90
Σ=
3.63
0.6737
NOTA.- Como el valor de la sumatoria algebraica de las pérdidas de carga en el circuito según Tabla No.3; Σ
=3.63 , es todavía un valor un poco elevado. Se procede a repetir el calculo de la Tabla IV.3, solo que ahora
poniendo ahora los gastos obtenidos (corregidos Q1 ), como los supuestos y repitiendo el procedimiento, hasta
que el valor sea más pequeño, es decir que tienda a cero: Σ HL → 0
Finalmente los gastos corregidos, con una primera aproximación sucesiva queda:
FIGURA NO.IV.21 GASTOS CORREGIDOS (del Problema IV.10)
178
4.3.3 GOLPE DE ARIETE
Hasta ahora que se han estudiado las tuberías en las cuales el escurrimiento del agua se
produce en movimiento permanente o también uniforme. Pero cuando no es permanente o
uniforme, esto, es cuando las características del flujo varían con respecto al tiempo o con
respecto a una longitud, en cada sección transversal, ya no es aplicable el Teorema
de Bernoulli, debido a la ocurrencia debido a un fenómeno muy complejo en Hidráulica
denominado Golpe de Ariete.
Se denomina GOLPE DE ARIETE a la variación de presión en una tubería, por encima o por
debajo de la presión normal de operación, ocasionada por rápidas fluctuaciones en las
velocidades del agua y del gasto producidas por la apertura o cierre repentino de una válvula o
por el paro o arranque de las bombas, ya sea en condiciones de operación normales o por una
interrupción de la energía eléctrica, cuando ésta se utiliza en los motores que impulsan a las
bombas. Normalmente el fenómeno viene acompañado de un sonido que recuerda los
martillazos, hecho que justifica su nombre. Además del ruido desagradable, el golpe de ariete
puede romper tuberías, por lo tanto para la protección del equipo de bombeo y de la tubería de
conducción, se deben considerar los efectos producidos por el fenómeno denominado Golpe
de Ariete.
Para estudiar este fenómeno del Golpe de Ariete, supóngase un conducto a presión (una línea
de conducción ), para llevar agua desde una fuente de abastecimiento situada en una cota
superior hasta un deposito o tanque de almacenamiento (ver Fig. No. IV.22 ).
Obsérvese que, cuando la válvula opera, el cambio de régimen de escurrimiento no es
instantáneo ni continuo. Entre dos estados sucesivos de régimen constante, ocurren
variaciones de presión y de velocidad del agua circulante con la aparición de deformaciones
elásticas en los tubos y el volumen líquido en movimiento.
179
Las variaciones de presión y de velocidad, así como las deformaciones elásticas referidas, se
pueden relacionar por medio de ecuaciones obtenidas de la aplicación de las leyes generales
de la Hidrodinámica y de las propiedades físicas de los materiales de las tuberías.
En el extremo “J”, hay una válvula que permite variar a voluntad el régimen de
escurrimiento. Al cerrar la admisión del volumen líquido con la válvula “J”, se va a producir
un golpe de ariete positivo, como lo indica la línea piezométrica “FG” (ver Fig. No. IV. 19 ).
Al cesar el movimiento de cierre termina la sobrepresión positiva “FG” y varia hasta
adquirir una posición negativa “FI” con respecto a la línea de carga estática ( FH ). Si por lo
contrario abrimos repentinamente la válvula “J“, se va a producir un Golpe de Ariete
negativo, es decir que la línea piezométrica estaría representada por una línea situada debajo
de la línea estática “FH”.
Una línea de conducción de agua potable como la mostrada en la Fig. No. IV.22, deberá
diseñarse para resistir en cada punto no solo la “carga normal de operación”, sino también la
eventualidad de la sobrepresión producida por el golpe de ariete positivo “FG”. También la
línea piezométrica que representa la presión negativa “FI”, no debe quedar nunca por debajo,
en ningún punto, de la arista superior del tubo. Existen métodos analíticos y gráficos para el
cálculo de la sobrepresión por “golpe de ariete” pero un estudio
escrupuloso de este
fenómeno, generalmente es complicado y laborioso. Por lo tanto para calcular la sobrepresión
en líneas de conducción de agua potable los ingenieros utilizan un método más práctico y
rápido y que pueden dar resultados bastante aceptables, por lo que para el cálculo de la
sobrepresión por el golpe de ariete, se ha adoptado la fórmula debida a Allievi.
180
Y con esta expresión obtenemos el valor máximo que puede adquirir esta sobrepresión. Ya
que se obtuvo considerando las condiciones más desfavorables cuando se cierra una válvula.
FIGURA NO. IV.22 GOLPE DE ARIETE EN UNA LINEA DE CONDUCCION
Periodo de la tubería.- El tiempo necesario para que la onda de presión vaya y vuelva al
depósito se denomina periodo de la tubería, y se representa por:
T= 2 L /a
donde:
L= longitud de la tubería en m
a = celeridad de la onda de presión en m/seg
181
²
³
²
²
TABLA No. IV. 4 Módulo de Elasticidad ( materiales de tuberías )
MATERIAL
Acero
Modulo de Elasticidad ( kg/ cm2 )
2 100 000
Hierro fundido
930 000
Concreto simple
125 000
Asbesto Cemento
328 000
Cobre
PVC
1 300 000
31 400
Cierres y Grados de abertura de la válvula.-El cierre total brusco se define como el que se
efectúa en un tiempo inferior al periodo de la tubería. El cierre lento es aquel que se produce
en un tiempo mayor que: T= 2 L/a
182
²
²
PROBLEMA RESUELTO
IV.11 Un depósito con la superficie libre del agua ( S.L.A.) constante alimenta un conducto a
presión con L= 3400 m de longitud, D= 2.00m de diámetro, fabricado con planchas de acero
de espesor e= 5 mmm. En la extremidad de la tubería está instalada una boquilla de turbina
Pelton que se cierra completamente en 7 segundos. Siendo el gasto con régimen constante Q=
5.10 m3/seg y la carga total sobre la boquilla es de H= 170 m. Obtener: a) celeridad de la
onda de presión, b) periodo de la tubería, c) la sobrepresión máxima debida al golpe de ariete
en la sección inmediatamente aguas arriba de la boquilla, cuando sufra la operación de cierre,
c) la presión total.
183
Solucion:
a) Celeridad:

a=
( g/ ω ) / ( ( 1/Ea ) + ( D/ (Et e ))
g = (9.81 m/seg2 )

( IV.20 )
ω = 1000 kg/m3= peso específico del agua
Ea = 2.0670 x108 kg/m2
(módulo de elasticidad del agua ver Tabla No.IV. 6 )
Et = 2.10 x 1010 kg/m2
(módulo de elasticidad del material de la tubería )
Haciendo operaciones queda:
a=

( 9.81/1000) / ( (1/ (2.0670 x 108 ) + ( 2.00/ (2.10 x 1010 x 0.005 ))

a= 640.86 m/seg
b) Periodo de la tubería:
T= 2 L/ a = ( 2 x 3400)/ 640.86 = 10.61 seg
c) Cálculo de la sobrepresión. Como el tiempo de cierre T= 7 segundos es menor que el
periodo de la tubería, se trata de una operación rápida y se aplica la expresión ( IV.21):
h = 145 V /

1 + ( ( Ea D )/ (Et e) )
 1/2
La velocidad del agua con régimen constante:
V= Q/ A = 5.10/ ( π (2.00)2/4 ) = 1.62 m/seg
h = 145 ( 1.62 ) /

1 + ( ( 20670x 200 )/ ( 2100000 x 0.5 ) )
 1/2
= 105 72 m
c) por lo tanto, la presión total será : HTOTAL = 170 m + 105.72 m = 275.72 m
184
PROBLEMAS PROPUESTOS
IV.1 Por una tubería de 20 cm. De diámetro, está circulando un gasto Q= 0.050 m3/seg, de un aceite Fuel-oil
pesado a 10 0C, ( υ= 290 x 10-6 m2/seg ). Determinar el tipo de flujo que se presenta.
Solución: Flujo Laminar
IV.2 Determinar el tipo de flujo que se presenta por una tubería de 25 cm de diámetro, cuando circula agua a
15 0C a una velocidad v= 2.50 m/seg ( consultar Tabla No. I.4 )
Solución: Flujo Turbulento
IV.3 Un caudal de 65.5 lts/seg de un aceite de viscosidad absoluta μ = 0.160 N.s /m2 , peso específico de ω=
8000 N/m3, está circulando por una tubería de acero ( ε= 0.005 cm ), de 25 de diámetro y 800 m de longitud.
Obtener: a) El número de Reynolds , b) El tipo de flujo, c) el coeficiente de fricción, c) Pérdida de carga.
Solución:
a) 1700
b) Laminar
c) 0.0376
d) 10.913
IV.4 Obtener la pérdida de carga en un tramo de tubería nueva de fundición sin recubrimiento, de 30 cm de
diámetro interior y 1300 m de longitud, por el que está circulando un gasto de 116.50 lts/seg. a) fluye agua a
20 0C
( consultar Tabla No. I.4 ),
b) cuando circula un fuel-oil medio a 20 0C , ( υ= 290 x 10-6
2
m /seg ).
Solución: a) 11.70 m
b) 13.20 m
IV.5 Calcular el diámetro de una tubería de hierro galvanizado, necesario para transportar 200 lts/seg de agua a
15 0C, a 2000 m de longitud y con una pérdida de carga de 3.40 m.
Solución: 50.8 cm
IV.6 Una tubería como la mostrada en la figura ( IV.5 Pág. 154 ), cambia bruscamente de un diámetro de D=
300 mm a otro de d= 200 mm, y transporta un gasto de agua Q= 50 lts / seg. Obtener la pérdida de carga por
cambio brusco de sección.
Solución: 0.059 m
IV.7 Entre dos secciones, A y B, de una tubería de hierro galvanizado, con un diámetro D= 6.30 cm, se
instalaron 9 codos de 900 , 5 codos de 450 , y una válvula de retención.
De “A” para “B” circulan 30.24
m3/hr de agua, y las dos secciones están distantes 180 m. Siendo la presión “A” de: P A= 5.60 kp/cm2. ¿ Cuál
será la presión en “B” ?
NOTA. consultar Diagram A-1; considerar las pérdidas de carga por fricción y secundarias; considerar el agua a
a 15 0C.
Solución:
3.23 kp/cm2
185
IV.8 Un fuel-oil medio a 10 0C, ( υ= 5.16 x 10-6 m2/seg ; Dr= 0.861 ) se bombea al depósito “C” ( ver Fig.
No.IV.23 ) a través de 850 m de una tubería de acero (ε =0.18 cm ), de 35 cm de diámetro interior. La presión
en “A” es de 0.20 kp/cm2, cuando el caudal es de 200 lts/seg. Se desea obtener:
a) ¿ qué potencia debe suministrar la bomba en C.V. ?, b) ¿ qué presión debe mantenerse en “B”?,
c) dibujar la línea de alturas piezométricas.
Solución: a) 100.40 C.V. b) 3.96 kp/cm2 c) En cota “A”, ( 37.82 m ), en cota “B”, ( 81.55 m), en cota “C”, (
65.50 m ).
FIGURA NO. IV. 23 del Problema No.IV.8
IV.9 Un depósito de almacenamiento está distribuyendo agua potable a una vivienda como se muestra en la FIG.
No. IV.24., con un caudal Q= 2.50 lts/seg. La tubería de distribución es de acero galvanizado que parte del
tanque es de 2” de diámetro. Obtener: a) la pérdida de carga secundaria o local, producida por todos los
accesorios, b) ¿cúal es el % de las pérdidas locales con respecto a las pérdidas por fricción?
Nota.- Utilizar la expresión (IV.5.a, Pág. 160 ), para tuberías de acero galvanizado
Solución:
a)
hS = 1.064 m
b)
50 %
186
FIGURA NO. IV.24 del Problema No.IV.9
IV.10. Una tubería nueva de fundición ( C1 = 130 ), tiene una longitud de 1200 m y un
diámetro de 30 cm, y se presenta una pérdida de carga de 1.60 m. Determinar la capacidad de
descarga de la tubería según la expresión de Hazen- Williams.
Solución:
0.0427 m3 /seg
187
IV.11 Si en problema resuelto ( IV.9, Pág. 170 ), el caudal total “Q” fuera : 300 lts/seg
a) ¿ Qué pérdida de carga tiene lugar entre M y N ?; b) ¿ cómo se reparte el caudal en las
ramas del circuito?
Solución: a)
( Hf )MPN= 64.31 m
b) Q30 = 126.21 lts/seg ,
( Hf )MRN= 63.68 m
Q20 = 77.70 lts/seg
,
( Hf )MSN= 63.67 m
Q25 = 96.09 lts/seg
IV.12 En el sistema en paralelo que se observa en la ( Fig. No. IV.25 ), el caudal en las
tuberías “FG” y “JK” es de 0.650 m3/seg. Si todas las tuberías son de PVC con C1=140
Determinar los gastos a través de los ramales “GHJ” y “GIJ”.
Solución: Q30 = 18.65 lts/seg
Q40 = 50.14 lts/seg
IV.13 El circuito en paralelo mostrado en la ( Fig.No. IV.26 ), para C1= 110. Determinar para
el caudal Q= 300 lts/seg, los gastos en las dos ramas del circuito utilizando el método de
Hardy Cross.
Solución: Q30= 80.073 lts/seg
Q40= 219.927 lts/seg
³
³
FIGURA NO. IV.25 del Problema IV.12
188
FIGURA NO. IV.26 del Problema No. IV.13
IV.14 Obtener los caudales en las ramas de la red cerrada de dos circuitos mostrada en la
Figura No.IV.27, (utilizar el Método de Hardy Cross ).
Solución: Circuito I: QAB= 68.18 lts/seg; QBE= 22.55 ; QFE= 21.82; QFA=41.82
Circuito II: QBC=45.63 lts/seg; QCD= 35.63 ; QED= 44.37; QBE= 22.55
FIGURA NO.IV.27 del Problema No.IV.14
189
IV.15 La línea de conducción de acero conduce un gasto con régimen
Q= 0.324 m3 /seg y tiene las siguientes características: L= 3500 m,
constante:
e= 4.8 mm.
En la extremidad de la tubería está instalada una válvula que se cierra completamente en 5
seg.
Determinar: a) la celeridad de la onda de presión, b) periodo de la tubería,
indicar si se trata de un cierre lento o rápido, d) la
sobrepresión por golpe de ariete.
Solución: a) 996.57 m/seg b) T= 7.02 seg c) Operación rápida
d) h= 162.36 m
TABLA NO. IV. 5 Valores del módulo de elasticidad Et para algunos materiales.
Módulo de Elasticidad (Et ) kg/ m2
MATERIAL
Bronce
1.05 x 1010
Zinc
3.70 x 109
Concreto simple
1.25 x 109
Aluminio
7.20 x 109
TABLA NO. IV.6 Valores Módulo de Elasticidad algunos líquidos
LIQUIDO
Módulo de Elasticidad ( kg/ m2 )
Agua dulce
2.24 x 108
Agua salada
2.38 x 108
Gasolina
1.42 x 108
c)
190
BLIBLIOGRAFIA
1. MECANICA DE LOS FLUIDOS E HIDRAULICA.
Ranald V. Giles
Jack B. Evett
Cheng Liu
Tercera Edicion
Ed. McGraw-Hill
2. HIDRAULICA GENERAL ( Volumen I )
Gilberto Sotelo Avila
Ed. Limusa
3. ABASTECIIENTO DE AGUA POTABLE ( Volumen I )
Enrique César Valdez
UNAM Facultad de Ingeniería, Dpto. de Ingeniería Sanitaria.
4. TEORIA DEL GOLPE DE ARIETE y sus aplicaciones en Ingeniería Hidráulica
Uriel Mancebo del Castillo
Ed. LIMUSA Grupo Noriega Editores
5. AUTOCAD 2008 PASO A PASO
Rafael Abalos Bergillos
Ed. Alfaomega
6. DINAMICA (Mecánica para Ingeniería )
Bedford Fowler
Ed. ADDISON WESLEY IBEROAMERICANA
7. HIDRAULICA de TUBERIAS
Juan Saldarriaga
Ed. Alfaomega