Codificación Digital: Números Binarios Signados y Coma Flotante

Codificación digital de la
información
Sistemas Digitales
S-3
Representación de números binarios signados
1) Sistema signo-magnitud:
bits de magnitud
bit de
signo
"𝟎“ para número > 𝟎
"𝟏“ para número < 𝟎
Representación de números binarios signados
2) Sistema del complemento a 1:
 Los números > 𝟎, se representan igual que los números en signo-magnitud.
 Los números < 𝟎, se representan obteniendo el 𝑪 − 𝟏 del correspondiente nro > 𝟎.
1410  0 11102
1410  1 00012
Representación de números binarios signados
3) Sistema del complemento a 2:
 Los números > 𝟎, se representan igual que los números en signo-magnitud.
 Los números < 𝟎, se representan obteniendo el 𝑪 − 𝟐 del correspondiente nro > 𝟎.
1410  0 11102
1410  1 00102
Valor decimal de números binarios signados
1) Números en formato signo-magnitud:
24 23 22 21 20
1001012  1 0 0 1 0 1
   0  0  4  0  1  510
Valor decimal de números binarios signados
2) Números en formato de complemento a 1:
26 25 24 23 22 21 20
01001012  0 1 0 0 1 0 1
32

4  1
 3710
26 25 24 23 22 21 20
10100112  1 0 1 0 0 1 1
64  16

21
 4510 110  4410
Valor decimal de números binarios signados
3) Números en formato de complemento a 2:
28 27 26 25 24 23 22 21 20
0110101102  0 1 1 0 1 0 1 1 0
128  64  16  4  2
 21410
28 27 26 25 24 23 22 21 20
1110101102  1 1 1 0 1 0 1 1 0
256  128  64  16
 4  2
 4210
Valor decimal de números binarios signados
3) Representación del “cero”:
S-M C  1 C  2
0 0000 0000 0000
0 1000 1111 0000
Sustracción con complementos
0 10 0 10
100101
 010011
010010
minuendo
sustraendo
resta o
diferencia
Sustracción con complementos
M  r  N  M  N  r
n
 Si 𝑴 ≥ 𝑵, se descarta un acarreo de
salida 𝒓𝒏 . El resultado es 𝑴 − 𝑵.
 Si 𝑴 < 𝑵, no produce un acarreo de
salida 𝒓𝒏 . El resultado es 𝒓𝒏 − 𝑵 − 𝑴 .
n
Sustracción con complementos
M  647310 
M  N
N  135210 
r  N  10  135210
 1000010  135210
n
4
 864810
6 4 7 3 10
 1 3 5 2 10
5 1 2 1 10
 M   r n  N   647310  864810
 1512110
r n  104  1000010
 512110
Sustracción con complementos
M  59210 
M  N
N  362110 
r  N  10  362110
 1000010  362110
n
4
 637910
5 9 2 10
 3 6 2 1 10
 3 0 2 9 10
 M   r n  N   59210  637910
 697110
697110  C  10  302910
 r n   N  M   302910
Sustracción con complementos
M  111100012 
M  N
N  11101012 
r  N  2  11101012
n
8
 1000000002  11101012
 100010112
1 1 1 1 0 0 0 12
 1 1 1 0 1 0 12
 1 1 1 1 1 0 02
 M   r n  N   111100012  100010112
 1011111002
r n  108  1000000002
Sustracción con complementos
M  11101012 
M  N
N  111100012 
r  N  2  111100012
n
8
 1000000002  111100012
 11112
 M   r n  N   11101012  11112
 100001002
100001002  C  2  11111002
1 1 1 0 1 0 12
 1 1 1 1 0 0 0 12
1 1 1 1 1 1 0 02
Operaciones con números con signo
 Las 3 formas de representar los números con signo: 𝑺 − 𝑴, 𝑪 − 𝟏 ó 𝑪 − 𝟐.
 Sin embargo, se emplea la representación 𝑪 − 𝟐 en aritmética computacional dado que:
 En 𝑪 − 𝟐 solamente el número cero tiene una única representación.
 La representación en 𝑆 − 𝑀 es incomoda puesto que debe operarse en forma separada el signo de la
magnitud.
 La representación 𝑪 − 𝟏 presenta dificultades de manipulación y no es empleada, excepto en
operaciones lógicas (dado el cambio de 0 → 1 y de 1 → 0).
 Si se estudia la suma de 2 números con signo, con la resta como un caso particular de la
suma, se tienen 4 casos:
i.
ii.
iii.
iv.
Ambos números son positivos.
La magnitud del número positivo es mayor que la magnitud del número negativo.
La magnitud del número positivo es menor que la magnitud del número negativo.
Ambos números son negativos.
Operaciones con números con signo
i.
Caso i.-
710
510
1210
01112
01012
11002
Operaciones con números con signo
ii.
Caso ii.-
710
  6 10
110
01112
10102 C  2 de 0110
100012
2
00012
Operaciones con números con signo
iii. Caso iii.-
 7 10
410
310
10012 C  2 de 0111
1002
C 2
11012
2
10012  1002  100112
Operaciones con números con signo
iv.
Caso iv.-
 8 10
  6 10
1410
10002 C  2 de 1000
10102 C  2 de 0110
C 2
100102
2
2
10002  10102  111102
Operaciones con números con signo: “overflow”
Bit de signo
1510
1310
2810
0 11112
 0 11012
1 11002
supuestos bits de magnitud
Supuesto bit de signo
Números binarios en coma flotante
 Definido por el estándar 754-1985 ANSI/IEEE, un NCF se basa en la notación científica y
se utiliza para representar números enteros muy grandes o muy pequeños que
requieran de muchos bits.
 Existen NCF de doble precisión (64 𝑏𝑖𝑡𝑠), NCF de precisión ampliada (80 𝑏𝑖𝑡𝑠) y NCF de
simple precisión (32 𝑏𝑖𝑡𝑠).
,
Parte entera
Parte fraccionaria
8

2,415068

10
241.506.800d
Números binarios en coma flotante
 Formato de NCF de simple precisión:
0  (  )

1  ()
𝑆𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 1 + 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑜𝑚𝑖𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 (1).
"𝑭"
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑎
"𝒔“
𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜
1 bit
8 bits
23 bits
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
"𝑬"



𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 − 127, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑎.
𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 − 126 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 127.
𝑆𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 1 𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚á𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟
𝑐𝑜𝑛 𝑵 𝒃𝒊𝒕𝒔 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟐.
Números binarios en coma flotante
 Dado que el exponente determina la posición del “𝑟𝑎𝑑𝑒𝑥 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡”, se pueden representar
números que tengan parte entera como parte fraccionaria. La únicas excepciones son:
 𝟎, 𝟎 → se presenta solo utilizando ceros.
 ∞ → se representa solo “1” en el exponente y “0” en la mantisa.
1 bit
8 bits
23 bits
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
"𝑬"



𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜 − 127, 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑎.
𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 − 126 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 127.
𝑆𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 1 𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑚á𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟
𝑐𝑜𝑛 𝑵 𝒃𝒊𝒕𝒔 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟐.
Números binarios en coma flotante
 Ejemplo:
5777d
0
12
+ 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1  1, 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1  212
(S )  0
(E )  12  12  127  139  10001011
(F )  011010010001
𝑺
𝑬

𝑭
0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1
Números binarios en coma flotante
 Ejemplo:
1 10010010 11110110000000000000000
 1  1  F    2 E 127 
S
(S )  1
(E )  10010010  27  24  21  14610
1
(F )  1111011 0 0
 1  1  1111011   2146127 
no aportan
 1  1,1111011   219 
11111011000000000000
1.028.096, 010
Números binarios en coma flotante
 Ejemplo:
1 10010010 11110110000000000000000
 1  1  F    2 E 127 
S
(S )  1
(E )  10010010  27  24  21  14610
1
(F )  1111011 0 0
 1  1  1111011   2146127 
no aportan
 1  1,1111011   219 
𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
19 

1,960937510  2
1,1111011  X 10  1,960937510
1.028.096, 010