Algebra de Boole y simplificación de funciones lógicas Capítulo 4 Contenido 1 1. 2. 3. 4. 5. 6 6. 7. 8 8. 9. Expresiones y operaciones Booleanas Propiedades y Reglas del Algebra de Boole Teoremas de DeMorgan Análisis booleano de circuitos lógicos Simplificación mediante el álgebra de Boole FFormas estándar tá d d de llas expresiones i b l booleanas Mapas de Karnaugh Simplificación de una SOPs mediante el mapa de Karnaugh Simplificación de un POSs mediante el mapa de Karnaugh Expresiones y operaciones Booleanas • Variable: Símbolo que representa magnitudes i d lógicas. ló i (0 ( ó 1). ) A • Complemento: Inverso de la variable. variable Se representa A ó A´ • Literal: Es una variable o el complemento de una variable variable. Expresiones y operaciones Booleanas • Suma booleana ≡ OR 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 • Multiplicación booleana ≡ AND 0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1 =1 Propiedades del Algebra de Boole oole • Conmutativa • Asociativa • Distributiva Di t ib ti Propiedades del Algebra de Boole • Propiedad conmutativa de la suma: A+B=B+A Propiedades del Algebra de Boole • Propiedad conmutativa del producto: A•B=B•A Propiedades del Algebra de Boole • Asociativa de la suma: A + ((B + C)) = ((A + B)) + C Propiedades del Algebra de Boole • Asociativa del producto: A • ((B • C)) = ((A • B)) • C Propiedades del Algebra de Boole • Distributiva: A(B + C) = AB + AC Reglas del Algebra de Boole Reglas del Algebra de Boole • Regla 1 OR Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 2 OR Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 3 AND Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 4 AND Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 5 OR Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 6 OR Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 7 AND Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 8 AND Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 9 Reglas del Algebra de Boole • Regla 10: A + AB = A A + AB = A (1+B) Ley distributiva =A•1 Regla 2: (1+B)=1 =A Regla 4: A •1=A AND Truth Table OR Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 11: A AB A B A AB (A AB) AB R10 : A A AB (AA AB) AB R7 : A A.A AA AB AA AB R8 : Sumar A.A 0 (A A )(A B) Factor común 1.(A B) A B R6 : A A 1 R4 : A.1 A AND Truth Table OR Truth Table Reglas del Algebra de Boole • Regla 12: (A + B)(A + C) = A + BC (A B).( A C) AA AC AB BC A AC AB BC distributiva R7 : A.A A A(1 C) AB BC factor común A.1 AB BC A(1 B) BC R2 : 1 C 1 factor común A.1 BC A BC R2 : 1 B 1 R4 : A.1 A AND Truth Table OR Truth Table Teoremas de DeMorgan • Teorema 1 XY X Y • Teorema 2 X Y XY Recuerda: “Parte la barra, cambia la operación” Analisis booleano de Circuitos Expresion booleana y tabla de verdad de g un circuito lógico A B 0 0 0 0 0 0 …. C 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 D → A(B+CD) 0 0 1 0 0 0 …. 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Ejemplo • • Ejemplo: Construcción de la Tabla de Verdad a partir de la expresión booleana Un circuito i i ló lógico i puede d d describirse ibi mediante di una tabla bl d de verdad. d d Evaluar la expresión booleana para todas las posibles combinaciones de valores de las variables de entrada X Y Y′ X + Y′ (X + Y′ ) • Z Z Y ) • Z) + (X′ (X • Y • Z′) Z) F = ((X + Y′) X′ X′ • Y • Z′ Z′ Ejemplo • Formas estándar de las expresiones • Producto de sumas (POS) Suma de productos (SOP) booleanas Ejemplo: X = AB + BCD + AC Ejemplo: X = (A+B)(B+C+D)(A+C) • Para cualquier expresión lógica existe una forma estándar SOP y POS equivalente • Se denominan formas canónica o estándar a las SOP y POS en las que todas las variables aparecen en cada uno de los terminos terminos:: Ejemplo:: Ejemplo A B CD AB CD ABC D Conversión SOPs y POS ‐ Tablas de Verdad • Suma S d de P Productos d A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 X 0 1 0 0 1 0 0 1 Producto A’B’C AB’C’ ABC X = A’B’C + AB’C’ + ABC • Producto P d d de sumas A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 X 0 1 0 0 1 0 0 1 Suma (A+B+C) (A+B’+C) (A+B (A+B’+C’) +C ) (A’+B+C’) ((A’+B’+C)) X = (A+B+C) (A+B’+C) (A+B’+C’) (A’+B+C’) (A +B+C ) (A’+B’+C) (A +B +C) Forma estándar o canónica • Cualquier función Booleana se puede expresar como suma de miniterminos (minterms) o como producto de maxiterminos (maxterms) y a estas formas se les dice que están en forma estándar o canónica (el conjunto completo de variables del dominio está representado en cada término ). F=ΣA,B,C (1, 4, 7) = A’B’C + AB’C’ + ABC F= Π A,B,C (0, 2, 3, 5, 6) = (A+B+C)(A+B’+C)(A+B’+C’)(A’+B+C’)(A’+B’+C) Forma canónica y normalizada • Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma de literales en los cuales aparecen todas la variables en su forma directa o complementada. • Los términos canónicos producto reciben el nombre de “minitérminos” • Los términos canónicos suma reciben el nombre de “maxitérminos” • Una función de BOOLE está en forma canónica cuando se expresa como suma de minitérminos o producto de maxotérminos. • Dos funciones lógicas son equivalentes si, y solo si, sus formas canónicas son idénticas. • La expresión p algebraica g en suma de productos p o productos p de sumas en la que q no todos los términos son canónicos recibe el nombre de normalizada Forma canónica de la suma de productos d • La metodología empleada en la transformación de una suma de productos a su forma canónica se basa en la regla 6, que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1. Los pasos son los siguientes: – Los términos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un término formado por dicha variable más el complemento de la misma (regla 6). – Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los términos intervenidos. • Ejemplo – Convertir la expresión booleana ABC' + BC + A' a su forma canónica. • El dominio de la expresión es el conjunto de variables A A, B y C C. Se observa la falta de formato estándar para el segundo y tercer término producto. Sobre ellos se aplicará el procedimiento, para luego volver a agrupar toda la expresión: – Término BC • BC = BC ∙(A+A') = ABC + A'BC – Término A’ • A' = A'(C+C') = A'C+A'C' ; la expresión aún no tiene el formato canónico, entonces multiplicamos cada término por (B+B') A'C(B+B') +A'C'(B+B') = A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C' ABC' + BC + A' = ABC + A'BC + A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C‘ • Forma canónica del producto de sumasde un producto de sumas a su forma La metodología empleada en la transformación canónica se basa en la regla 8, que establece que una variable multiplicada por su complemento l t es siempre i igual i l a 0; 0 AA' = 0. 0 Los L pasos son los l siguientes: i i t – Los términos suma que no contengan la(s) variable(s) del dominio, sumarlos un término formado por dicha variable y su complemento según regla 8. – Aplicar la regla 12: A + BC = (A+B)(A+C) – Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. • Ejemplo – Convertir la expresión p booleana ((A+B’+C)(B’+C+D’)(A+B’+C+D’) )( )( ) a su forma canónica. – Término A+B’+C • A+B’+C = A+B’+C+DD’ = (A+B’+C+D)(A+B’+C+D’) – Término B’+C+D’ • B’+C+D’ = B’+C+D’+AA’ =(A+ ( B’+C+D’)(A’+ )( B’+C+D’)) (A+B’+C)(B’+C+D’)(A+B’+C+D’) = = (A+B’+C+D)(A+B’+C+D’) (A+ B’+C+D’)(A’+ B’+C+D’) (A+B’+C+D’) Simplificación mediante algebra de Boole AB + A(B+C) + B(B+C) AB + AB + AC + BB + BC AB + AC + B + BC AB + AC + B B + AC La simplificación consiste en implementar una función con el menor número de puertas posible Mapas de Karnaugh • Proporcionan un Método sistemático de minimización de expresiones booleanas • Adecuadamente aplicado proporciona expresiones mínimas SOP o POS • Es una forma de representación equivalente a la tabla de verdad • Es la “receta” que emplearemos habitualmente Método de trabajo Mapas de Karnaugh • Proporciona un método sistemático de simplificación de sentencias booleanas generando expresiones mínimas (‘receta de simplificación’) CARACTERÍSTICAS – Útiles para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables – Es una matriz de 2n celdas en la que cada una representa un valor binario de las variables de entrada. entrada – El orden de los valores en filas y columnas es tal que celdas adyacentes difieren únicamente en una varible – La simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas – Un número mayor de variables exige el uso de un método llamado Quine‐McClusky PASOS A SEGUIR – – – Obtener la función lógica en suma de productos canónica Representar en el mapa de Karnaugh la función algebraica o tabla de verdad que se desee representar Agrupar g p unos ((maximizar el tamaño de los g grupos p minimizando el número es estos): ) • • • • – Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas Cada celda del grupo tiene que ser adyacente a una o mas celdas del grupo sin necesidad de que todas las celdas del grupo sean adyacentes entre sí. Incluir siempre en cada grupo el mayor número posible de 1s Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan 1s no comunes. Simplificar: • Eliminar variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo Mapas de Karnaugh Mapa de Karnaugh con 3 variables Ejemplo con 3 variables Mapas de Karnaugh Mapa de Karnaugh de 4 variables Con 4 variables Mapas de Karnaugh Mapas de Karnaugh con cinco variables Mapas de Karnaugh para SOPs no estandares A + AB A’ AB’ + ABC’ ABC 000 100 110 001 101 010 011 Simplificación de suma de productos mediante mapas de Karnaugh (I) Simplificación de suma de productos mediante mapas de Karnaugh (II) • Cada grupo da lugar a un termino • En ell término é no aparecen llas variables bl que en lla tabla bl aparecen complementadas y no complementadas a) b) c) d) AB + BC + A’B’C’ B’ + A’C’ + AC A’B + A’C’ + AB’D D’ + AB’C +BC’ Simplificación de producto de sumas mediante mapas de Karnaugh (I) Simplificación de producto de sumas mediante mapas de Karnaugh (II) Conversión entre SOPs y POSs mediante el mapa de Karnaugh Simplificación de suma de productos mediante mapas de Karnaugh con condiciones “indiferentes”
