Matemática Avanzada.pdf

Trabajo Final
Módulo I - Matemática Avanzada
Dr. Tito Mejia P
3 de diciembre de 2016
Usted deberá entregar el trabajo el dia sábado 10/11/2016
Verifique sus resultados utilizando Matlab
1.
Algebra Matricial
1. Dada la matriz


1 0 −4
4 
A= 0 5
−4 4
3
Determine sus autovalores y sus correspondientes autovectores. Además
determine una matriz M , tal que M −1 AM sea diagonal.
2. Determine los autovalores y correspondientes autovectores de la matriz
simétrica


3 −2
4
6 
A =  −2 −2
4
6 −1
Verifique que los autovectores son ortogonales y determine una matriz
L tal que LT AL sea una matriz diagonal.
3. Determine los autovalores de la matriz

1
0
0 −3

0
1
−3
0
A=
 −0,5 −3
1 0,5
−3
0
0
1
1




luego obtenga los autovalores correspondientes, caso no consiga completar una base de R4 formado por autovectores, determine los autovalores
generalizados y escriba la matriz A en la forma M −1 AM = J donde J
es una matriz de Jordan.
4. Dada una matriz A ∈ Mn (R) demuestre que existen escalares αi , i =
0, 1, . . . , n − 1 tal que
eA = αn−1 An−1 + · · · + α1 A + α0 I
2.
Transformada de Laplace
5. Utilizando el método de la transformada de Laplace resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
a)
x0 + x = f (t)
x(0) = 0
donde
f (t) =
0≤t≤1
t>1
t
0
b)
y 00 − 3y 0 + 2y = e−t H(t − 2)
y(0) = 2
y 0 (0) = 0
c)
Z
0
t
x(t − τ ) cos τ dτ
x = sin t +
0
d)
x00 + 7x0 + 12x = 2 + δ(t − 2)
x(0) = 0
x0 (0) = 0
2
3.
Transformada zeta
6. Dada la sucesión
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
encuentre una ecuación en diferencias que lo genere, y resuelva tal
ecuación para determinar el k−ésimo termino de la suceción.¿Como
se llama esta secuencia?
7. Utilizando el método de la transformada zeta, resuelva las siguientes
ecuaciones en diferencias
a)
6yk+2 + yk+1 − yk = 3
y0 = 0
y1 = 0
b)
yk+2 − 5yk+1 + 6yk = uk
donde
uk =
0
1
k<0
k≥0
c)
 

k 1
1
0 0
1  
3 1  xk +
2
= 2
2
3
−1 −2 5

xk+1
3
4.
Estabilidad
8. Dado el sistema en espacio de estado
x0 = Ax + Bu
y = Cx
determine su estabilidad utilizando los criterios de Routh y Hurwitz,
para los siguientes casos
a)


0
1
0
0
1 ,
A= 0
−12 −8 −4


0
B =  0 ,
1
C=
1 0 0
C=
1 0 0
b)


0
2
0
0
1 ,
A= 0
−23 −7 −7

0
B =  0 ,
3
9. Determine el valor de K, para que el

K +2
0
0

0
K +1
x =
0
0
y= 1 0 0 x

sistema sea estable

 
0
0


1 x + 0 u
K
1
10. Determine la estabilidad del siguiente sistema
2yk+2 + 3yk+1 − yk = uk
5.
Controlabilidad y Observabilidad
11. Determine si el sistema es completamente controlable
0 1
1 1
0
x =
x+
u(t)
0 0
2 0
4
12. Dado el sistema discreto
x(k + 1) = Ax(k) + bu(k)
donde
A=
2 1
0 2
y sean
b1 =
0
1
,
b2 =
1
0
(a) Para cada b, determine si el sistema es controlable
(b) Para cada b que hace el sistema controlable, determine la secuencia
(mas corta) de entradas u(k) que conduzcan a 0 el estado
2
x(0) =
1
13. Considere los sistemas dinámicos
 0
 x1 = x2 + u
x0 = −2x1 − 3x2 ,
S1 :
 2
y = αx1 + x2
S2 :
x03 = x3 + w
z = x3
S1 tiene varaiables de estados (x1 , x2 ), control u, y salida y, S2 tiene
como variable de estado x3 , control w y salida z.
(a) Determine si cada sistema es controlable, observable, estable.
(b) Los dos sistemas son conectados en serie, con w = y. el sistema resultante es llamado S3 . Determine si este es controlable, obervable,
estable.
14. Si el sistema
x0 = Ax + Bu
y = Cx
no es completemente controlable. ¿Es posible determinar las variables
de estado controlables? Realize el mismo análisis para la observabilidad.
5
15. Dado la ecuación diferencial
y (n) + an−1 y n−1 + · · · + a1 y 0 + a0 y = u(t)
sabemos que es posible obtener (varios) sistemas representantes en el
espacio de estados. ¿La controlabilidad y observabilidad dependen de
esa representación? En caso afirmativo, diga cuando la controlabilidad
y observabilidad son independientes de tal representación.
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