Trabajo Final Módulo I - Matemática Avanzada Dr. Tito Mejia P 3 de diciembre de 2016 Usted deberá entregar el trabajo el dia sábado 10/11/2016 Verifique sus resultados utilizando Matlab 1. Algebra Matricial 1. Dada la matriz 1 0 −4 4 A= 0 5 −4 4 3 Determine sus autovalores y sus correspondientes autovectores. Además determine una matriz M , tal que M −1 AM sea diagonal. 2. Determine los autovalores y correspondientes autovectores de la matriz simétrica 3 −2 4 6 A = −2 −2 4 6 −1 Verifique que los autovectores son ortogonales y determine una matriz L tal que LT AL sea una matriz diagonal. 3. Determine los autovalores de la matriz 1 0 0 −3 0 1 −3 0 A= −0,5 −3 1 0,5 −3 0 0 1 1 luego obtenga los autovalores correspondientes, caso no consiga completar una base de R4 formado por autovectores, determine los autovalores generalizados y escriba la matriz A en la forma M −1 AM = J donde J es una matriz de Jordan. 4. Dada una matriz A ∈ Mn (R) demuestre que existen escalares αi , i = 0, 1, . . . , n − 1 tal que eA = αn−1 An−1 + · · · + α1 A + α0 I 2. Transformada de Laplace 5. Utilizando el método de la transformada de Laplace resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) x0 + x = f (t) x(0) = 0 donde f (t) = 0≤t≤1 t>1 t 0 b) y 00 − 3y 0 + 2y = e−t H(t − 2) y(0) = 2 y 0 (0) = 0 c) Z 0 t x(t − τ ) cos τ dτ x = sin t + 0 d) x00 + 7x0 + 12x = 2 + δ(t − 2) x(0) = 0 x0 (0) = 0 2 3. Transformada zeta 6. Dada la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . encuentre una ecuación en diferencias que lo genere, y resuelva tal ecuación para determinar el k−ésimo termino de la suceción.¿Como se llama esta secuencia? 7. Utilizando el método de la transformada zeta, resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias a) 6yk+2 + yk+1 − yk = 3 y0 = 0 y1 = 0 b) yk+2 − 5yk+1 + 6yk = uk donde uk = 0 1 k<0 k≥0 c) k 1 1 0 0 1 3 1 xk + 2 = 2 2 3 −1 −2 5 xk+1 3 4. Estabilidad 8. Dado el sistema en espacio de estado x0 = Ax + Bu y = Cx determine su estabilidad utilizando los criterios de Routh y Hurwitz, para los siguientes casos a) 0 1 0 0 1 , A= 0 −12 −8 −4 0 B = 0 , 1 C= 1 0 0 C= 1 0 0 b) 0 2 0 0 1 , A= 0 −23 −7 −7 0 B = 0 , 3 9. Determine el valor de K, para que el K +2 0 0 0 K +1 x = 0 0 y= 1 0 0 x sistema sea estable 0 0 1 x + 0 u K 1 10. Determine la estabilidad del siguiente sistema 2yk+2 + 3yk+1 − yk = uk 5. Controlabilidad y Observabilidad 11. Determine si el sistema es completamente controlable 0 1 1 1 0 x = x+ u(t) 0 0 2 0 4 12. Dado el sistema discreto x(k + 1) = Ax(k) + bu(k) donde A= 2 1 0 2 y sean b1 = 0 1 , b2 = 1 0 (a) Para cada b, determine si el sistema es controlable (b) Para cada b que hace el sistema controlable, determine la secuencia (mas corta) de entradas u(k) que conduzcan a 0 el estado 2 x(0) = 1 13. Considere los sistemas dinámicos 0 x1 = x2 + u x0 = −2x1 − 3x2 , S1 : 2 y = αx1 + x2 S2 : x03 = x3 + w z = x3 S1 tiene varaiables de estados (x1 , x2 ), control u, y salida y, S2 tiene como variable de estado x3 , control w y salida z. (a) Determine si cada sistema es controlable, observable, estable. (b) Los dos sistemas son conectados en serie, con w = y. el sistema resultante es llamado S3 . Determine si este es controlable, obervable, estable. 14. Si el sistema x0 = Ax + Bu y = Cx no es completemente controlable. ¿Es posible determinar las variables de estado controlables? Realize el mismo análisis para la observabilidad. 5 15. Dado la ecuación diferencial y (n) + an−1 y n−1 + · · · + a1 y 0 + a0 y = u(t) sabemos que es posible obtener (varios) sistemas representantes en el espacio de estados. ¿La controlabilidad y observabilidad dependen de esa representación? En caso afirmativo, diga cuando la controlabilidad y observabilidad son independientes de tal representación. 6