cinematica-ejercicios

Ejercicios de Física
Cinemática
Juan C. Moreno-Marín, Antonio Hernandez
D.F.I.S.T.S.
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
1. Un ciclista marcha por una región donde hay
muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva
una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas
debajo de 20 km/h. Calcular:
a) ¿Cuál es su velocidad media si las subidas y bajadas
tienen la misma longitud?
b) ¿Cuál es su velocidad media si emplea el mismo
tiempo en las subidas que en las bajadas?
c) ¿Cuál es su velocidad media si emplea doble tiempo
en las subidas que en las bajadas?
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
stotal ssubidas + sbajadas
2v v
2s
=
=
= 1 2 = 8km / h
a) Como es v =
s s v1 + v2
ttotal
ttotal
+
v1 v2
stotal v1t + v2t v1 + v2
=
=
= 12.5km / h
b) En este caso es v =
ttotal
2t
2
c)
Y ahora es
stotal v1 2t + v2t 2v1 + v2
v=
=
=
= 10km / h
ttotal
3t
3
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
2. Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de
una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia
arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo
que tarda en llegar al suelo.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
2. Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de
una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que
tarda en llegar al suelo.
Tomamos como origen el punto de lanzamiento y sentido positivo hacia
arriba:
1 2
ec gral: h = v0t + gt
2
−14.1 = 10t − 9.81t 2
Solución:
t = −0.96 s
t = 3s
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
3. Se lanza un cuerpo hacia arriba verticalmente con
una velocidad de 98 m/s, desde el tejado de un edificio
de 100 m de altura. Determinar:
(a) La altura máxima que alcanza desde el suelo.
(b) El tiempo cuando pasa por el lugar de lanzamiento.
(c) La velocidad al llegar al suelo.
(d) El tiempo total transcurrido hasta llegar al suelo.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(a)
v = v0 + at
v = 98 − 9.8t
⎫
⎫
⎛ t0 = 0 ⎞
⎪
⎪
⎜
⎟
→
y
=
100
→
⎬
1
1 2 ⎬
⎜ 0
⎟
2
y = 100 + 98t − 9.8t ⎪
e = e0 + v0t + at ⎪
⎜ v = 98 ⎟
⎝ 0
⎠
2
⎭
2 ⎭
B
Y
A
98
0 = 98 − 9.8t → t =
= 10s
9.8
100 m
C
En la altura máxima el cuerpo se para, v = 0
O
1
y = 100 + 98 ⋅10 − 9.8 ⋅102 = 590m →
2
Juan C. Moreno-Marín
h = 590 m
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(b)
En el movimiento de caída las ecuaciones son:
1 2 ⎛ e0 = 100 ⎞
1
e = e0 + v0t + at → ⎜
→
100
=
100
+
98
t
−
9.8t 2
⎟
2
2
⎝ v0 = 98 ⎠
→
⎧⎪ t = 0
→ t ( 98 − 4.9t ) = 0 → ⎨
⎪⎩ t = 20s
B
Y
A
100 m
C
O
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(c)
Al llegar al suelo es:
⎛ e = 100 ⎞
1
1
2
e = e0 + v0t + at 2 → ⎜ 0
→
−
100
=
100
+
98
t
−
9.8
t
⎟
2
2
⎝ v0 = 98 ⎠
→ t=
98 ± 982 + 4 ⋅ 4.9 ⋅ ( −100 )
9.8
→
⎧⎪ t = −0.97 s
= → ⎨
⎪⎩ t = 20.97 s
B
Y
v = v0 + at → v = 98 − 9.8 ⋅ 20.97 = −107.5m / s
A
( hacia abajo )
100 m
C
v = −107.53 m s
O
Juan C. Moreno-Marín
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Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(d)
El tiempo total es: ttotal = 20.97 s
B
Y
A
100 m
C
O
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
4. Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia arriba
una piedra con una velocidad inicial de 15 m/s. La piedra llega a
una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de
la torre. Tomando como origen de coordenadas el punto de
lanzamiento, calcular
(a) la posición y velocidad de la piedra al cabo de 1s y de 4s después
de su salida.
(b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de
partida.
(c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a
pasar por dicho punto? Considérese g = 10 m/s2
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(a)
posición:
Y
h
1
y = v0t − gt 2 ;
2
(t = 1s ) →
1
1
y1 = v0t1 − gt12 = 15 ⋅1 − 10 ⋅12 = 10m
2
2
1
1
1
y = v0t − gt 2 ; ( t = 4s ) → y2 = v0t2 − gt2 2 = 15 ⋅ 4 − 10 ⋅ 42 = −20m
2
2
2
(el signo – indica que la piedra está por debajo del origen)
O
velocidad:
v = v0 − gt ;
(t = 1s ) →
v1 = v0 − gt1 = 15 − 10 ⋅1 = 5 m s
v = v0 − gt ;
( t = 4s ) →
v2 = v0 − gt2 = 15 − 10 ⋅ 4 = −25 m s
(el signo – indica que la piedra está cayendo)
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(b) la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de
partida.
Y
eliminando t :
h
v = v0 − gt
⎫
⎪⎪
v0 − v
→
t
=
⎬
1 2 ⎪
g
y = v0t − gt
⎪⎭
2
⎛ v − v ⎞ 1 ⎛ v0 − v ⎞
→ y = v0 ⎜ 0
⎟ − g ⎜
⎟
g
⎝
⎠ 2 ⎝ g ⎠
O
v0 2 v 2
gy =
−
2
2
→ v = v0 2 − 2 gy
→
( y = 8)
→
→ v = 152 − 2 ⋅10 ⋅ 8 = ±8.06 m s
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
2
Cinemática – Lanzamiento de un cuerpo MUA
(c) Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a
pasar por dicho punto?
Y
h
1
y = v0t − gt 2 →
2
( y = 0)
1
⎪⎧ 0s
2
→ 15t − 10 ⋅ t = 0 → t = ⎨
2
⎪⎩ 3s
O
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
5. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de
acuerdo con la ley: v = t 3 + 4t 2 + 2 .
Si x = 4m cuando t =2s, encontrar el valor de x
cuando t =3s. Encontrar también su aceleración.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
5. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de
acuerdo con la ley: v = t 3 + 4t 2 + 2 .
Si x = 4m cuando t =2s, encontrar el valor de x
cuando t =3s. Encontrar también su aceleración.
dx
dt
Siendo v =
x
t
x0
t0
→ dx = v ⋅ dt → x − x0 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ v ⋅ dt =
t0 4 4t03
t 4 4t 3
= ∫ ( t + 4t + 2 ) ⋅ dt = +
+ 2t − −
− 2t0
t0
4
3
4
3
t
3
2
t0 4 4t03
t 4 4t 3
x = x0 + +
+ 2t − −
− 2t0
4
3
4
3
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
t0 4 4t03
t 4 4t 3
x = x0 + +
+ 2t − −
− 2t0
4 3
4
3
Como es t0 = 2s y
t 4 4t 3
24 423
x0 = 4m → x ( t ) = 4 + +
+ 2t −
−
− 2⋅2
4
3
4
3
t 4 4t 3
44
x (t ) = +
+ 2t −
4
3
3
Por lo tanto es x ( t = 3s ) =
Juan C. Moreno-Marín
81 4 ⋅ 27
44
+
+ 2⋅3−
= 47.6m
4
3
3
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento rectilíneo
t0 4 4t03
t 4 4t 3
x = x0 + +
+ 2t − −
− 2t0
4 3
4
3
La aceleración del cuerpo es
3
2
dv d (t + 4t + 2 )
a=
=
= 3t 2 + 8t → a ( t = 3s ) = 27 + 24 = 51 m s 2
dt
dt
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera
que es vx = 4t 3 + 4t , vy = 4t.
Si la posición es (1, 2) cuando es t=0, encontrar la
ecuación cartesiana de la trayectoria.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
6. Un punto se mueve en el plano XY de tal manera
que es vx = 4t 3 + 4t , vy = 4t.
Si la posición es (1, 2) cuando es t=0, encontrar la
ecuación cartesiana de la trayectoria.
Posición: componente x
dx
= 4t 3 + 4t →
Siendo vx =
dt
∫
x
x0
t
dx = ∫ ( 4t 3 + 4t ) dt
t0
→ x = x0 + t 4 + 2t 2 − t0 4 − 2t0 2
Sustituyendo x0 = 1 cuando t = 0 s
2
→ x = 1 + t + 2t = (t + 1)
4
Juan C. Moreno-Marín
2
2
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
Posición: componente y
Siendo
dy
vy =
= 4t →
dt
→
∫
y
y0
t
dy = ∫ 4t dt
t0
y = y0 + 2t 2 − 2t0 2
Sustituyendo y0 = 2 cuando t = 0 s
→ y = 2 + 2t 2 = 2 (t 2 + 1)
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
Eliminando el tiempo se obtiene la ecuación de la trayectoria:
2
x = ( t 2 + 1) ⎫
2
⎪
y2
⎛ y ⎞
⎬ → x = ⎜ ⎟ =
4
⎝ 2 ⎠
2
⎪
y = 2 (t + 1)⎭
Juan C. Moreno-Marín
→
y2 = 4x
ec. de la trayectoria
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
7. Un móvil describe una trayectoria dada por las
1 2
ecuaciones x = pt e y = pt . Determinar:
2
(a) Velocidad y aceleración del móvil.
(b) Componentes tangencial y normal de la aceleración.
(c) Radio de curvatura.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
7. Un móvil describe una trayectoria dada por las
1 2
ecuaciones x = pt e y = pt . Determinar:
2
(a) Velocidad y aceleración del móvil.
(b) Componentes tangencial y normal de la aceleración.
(c) Radio de curvatura.
(a)
Luego
dx
vx =
= p;
dt
dy
vy =
= pt ;
dt
→
Juan C. Moreno-Marín
r
r
r
v = pi + pt j
dvx
ax =
= 0;
dt
dv y
ay =
= p;
dt
→
r
r
a= pj
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
(b)
r
d v dv
aT =
≡
=
dt
dt
(
v = vx2 + v y2 = p 1 + t 2
)
=
pt
1+ t
2
;
a = ax2 + a y2 = 0 + p 2 = p;
2
N
2
T
a = a +a
Juan C. Moreno-Marín
2
2
T
→ aN = a − a =
p 2t 2
p −
=
2
1+ t
2
p
1+ t
2
;
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
(c)
aN =
v2
ρ
=
p
1+ t
2
; → ρ=
p 2 (1 + t 2 )
p
1 + t = p (1 + t
2
2
)
3
2
;
El radio de curvatura ρ depende del tiempo.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
8.
Encontrar la velocidad angular de la Tierra con
respecto a su eje diametral.
SOL
ω=
θ
θ
P’
→ ω=
P’’
TIERRA P
dθ
dt
uniforme → ω =
θ
t
⎛ θ = 2π rad
⎞
→ ⎜
⎟ →
t
=
1
dia
=
86400
s
⎝
⎠
2π
= 7.27 ⋅10−5 rad / s
86400
E’
pero este resultado no es completamente correcto.
E
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
Pero este resultado no es completamente correcto. Cuando la Tierra da una vuelta
completa sobre su eje, está en P’ y para completar un dia hay que girar de P’ a P’’, falta
todavía un ángulo θ.
En un dia recorrerá un ángulo 2π+θ = 2π + (2π/365),
SOL
2π
2π + θ
365 =
ω=
=
86400
86400
2π +
θ
θ
P’
= 7.292 ⋅10−5 rad / s
P’’
TIERRA P
E’
E
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
9.
Un volante gira en torno a su eje a razón de 3000 r.p.m. Un
freno lo para en 20s.
(a) Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el
número de vueltas hasta que el volante se detiene.
(b) Supuesto que el volante tiene 20 cm de diámetro, calcular las
aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto de su
periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración resultante
en tal punto.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
(a) Calcular la aceleración angular, supuesta constante, y el
número de vueltas hasta que el volante se detiene.
La velocidad angular es: ω = 3000 ⋅
2π rad
= 100π rad s
60 s
Y la aceleración es:
ω f = ω0 − α t → α =
ω0 − ω f
t
100π − 0
=
= 5π rad s 2
20 s
El desplazamiento angular resulta:
1
1
ϕ = ϕ0 + ω0t − α t 2 = 100π ⋅ 20 − 5π ⋅ 202 = 1000π rad
2
2
n=
ϕ 1000π
=
= 500 vueltas
2π
2π
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
(b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto
de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración
resultante en tal punto.
El desplazamiento angular es:
ϕ = n ⋅ 2π = 100 ⋅ 2π = 200π rad
Calculamos el tiempo transcurrido:
1 2
1
ϕ = ϕ0 + ω0t − α t = 100π ⋅ t − 5π ⋅ t 2 = 200π rad
2
2
⎧⎪37.86s
→ 2.5t − 100t + 200 = 0 → t = ⎨
⎪⎩ 2.14s
2
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
(b) calcular las aceleraciones tangencial y centrípeta de un punto
de su periferia una vez dadas 100 vueltas y la aceleración
resultante en tal punto.
La aceleración tangencial es: aT = α ⋅ R = 5π ⋅ 0.1 = 0.5π m s
2
La aceleración normal es:
v2
2
aN = = ω100 2 ⋅ R = (100π − 5π ⋅ 2.14 ) ⋅ 0.1 = 797.5π 2 m s 2
R
Y la aceleración resultante:
a = aT 2 + aN 2 = 0.25π 2 + 797.52 π 4 = 2505.4π m s 2
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
10.
Un punto material describe uniformemente una trayectoria
circular de 1m de radio, dando 30 vueltas cada minuto.
Calcular el periodo, la frecuencia, la velocidad angular, la
velocidad tangencial, y la aceleración centrípeta.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
11.
Un vehículo parte del reposo en una via circular de 400m de
radio y se mueve con movimiento uniformemente acelerado,
hasta que a los 50s. de iniciar su marcha alcanza la velocidad
de 72km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad.
Hallar:
a)
Aceleración tangencial en la primera etapa.
b)
Aceleración normal, aceleración total y longitud recorrida en
ese tiempo (50s.)
c)
Velocidad angular media y velocidad angular a los 50s.
d)
Tiempo que tardará en dar 100 vueltas al circuito.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
12. Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una
barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado
a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la
velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es
de 3 m/s.
La barca tiene que dirigirse a un punto A para que al ser arrastada por el agua llegue al
punto B (a 60 m).
O
C
α
d
A
e2
e1
B
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
12. Se quiere cruzar un río de 26 m de ancho con una
barca para llegar a la orilla opuesta en un punto situado
a 60 m aguas abajo en 15 s. Calcular la dirección y la
velocidad de la barca si la velocidad del agua del río es
de 3 m/s.
La distancia A-B es:
e1 = v ⋅ t = 3 m s ⋅15s = 45m
La distancia complementaria es:
Y el ángulo con la horizontal:
Juan C. Moreno-Marín
e2 = 60m − 45m = 15m
⎛ e2 ⎞
−1 ⎛ 15 ⎞
=
tg
⎜ ⎟ = 30º
⎟
⎝ 26 ⎠
⎝ OC ⎠
α = tg −1 ⎜
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Cinemática – Composición de movimientos
La distancia OA será:
d=
O
v
C
30º
e2
15
15
=
=
= 30m
senα sen30º 1 2
v0
vT
A
B
Juan C. Moreno-Marín
60m Y por lo tanto la velocidad de la barca:
d 30m
v= =
= 2m s
t 15s
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Cinemática – Composición de movimientos
De otra forma:
uur
r
v0 = v0 cos α i + v0 senα
r
r
v =v j
r
j ⎫⎪ uur uur r
r
r
α i + ( v0 senα + v ) j
⎬ vT = v0 + v = v140 cos
2 43
14243
⎪⎭
vx
vy
Integrando, y teniendo en cuenta que ( x0 , y0 ) = ( 0,0 ) :
x = v0 cos α ⋅ t
⎫⎪
⎬
y = ( v0 senα + v ) ⋅ t ⎪⎭
v0 =
x
cos α ⋅ t
→
Juan C. Moreno-Marín
v = 3m s
⎛
⎞
⎜
⎟
x
=
26
m
,
y
=
60
m
⎜
⎟
⎜
⎟
t = 15s
⎝
⎠
⎛ x
⎞
y = ⎜
senα + v ⎟ ⋅ t
⎝ cos α ⋅ t
⎠
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
v0 =
x
cos α ⋅ t
→
⎛ x
⎞
y = ⎜
senα + v ⎟ ⋅ t
⎝ cos α ⋅ t
⎠
y = x ⋅ tgα + vt → tgα =
→ α = 30º ; v0 =
Juan C. Moreno-Marín
y − vt 60 − 3 ⋅15 15
=
=
x
26
26
x
26
=
= 2m s
cos 30º ⋅t cos 30º ⋅15
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de
200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal.
a) Encontrar la velocidad y la posición de la bala
después de 20s.
b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario
para que la bala retorne a tierra.
Y
v0
O
Juan C. Moreno-Marín
α
X
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
13. Un cañón dispara una bala con una velocidad de
200 m/s formando un ángulo de 40º con la horizontal.
a) Encontrar la velocidad y la posición de la bala
después de 20s.
b) Encontrar también el alcance y el tiempo necesario
para que la bala retorne a tierra.
a)
v0 = 200 m s ; α = 40º ;
Y
v0
O
α
Juan C. Moreno-Marín
X
⎧⎪v0 X = 200 cos 40º = 153.2 m s ;
⎨
⎪⎩v0Y = 200sin 40º = 128.6 m s
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
⎧⎪vX = v0 X = 200 cos 40º = 153.2 m s ;
x = 153.2 ⋅ t
→
⎨
2
y
=
128.6
⋅
t
−
4.9
⋅
t
⎪⎩vY = v0Y − gt = 128.6 − 9.81⋅ t
Después de t = 20s, la velocidad y la posición de la bala son:
⎧v X (t = 20) = 153.2 m s ;
⎪
⎨
⎪vY (t = 20) = 128.6 − 9.81 ⋅ 20 = −67.4 m s ;
⎩
x(t = 20) = 153.2 ⋅ 20 = 3064 m ;
y(t = 20) = 128.6 ⋅ 20 − 4.9 ⋅ 20 2 = 612 m ;
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
r
v = (153.2, −67.4 ) m s
r
r = ( 3064, 612 ) m
b)
Cuando la bala vuelve a tierra, es y=0:
Tiempo de vuelo : y = 0 = 128.6 ⋅ t − 4.9 ⋅ t
2
128.6
→ t=
= 26.24 s
4.9
Alcance : x = 153.2 ⋅ 26.24 = 4020 m
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a
15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una
piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la
horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la
piedra para que ésta pase por encima del muro?
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
14. Un muchacho de 1.5m de altura y que está parado a
15m de distancia de un muro de 5m de altura, lanza una
piedra bajo un ángulo de 45º con respecto a la
horizontal ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la
piedra para que ésta pase por encima del muro?
Y
P(15,3.5)
v0
O
3,5 m
α =45º
1,5 m
5m
X
15 m
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
1
1
⎧
2
2
y
=
v
⋅
t
−
g
⋅
t
=
v
sen
α
⋅
t
−
g
⋅
t
0Y
0
⎪
2
2
⎨
⎪ x = v ⋅ t = v cos α ⋅ t
0X
0
⎩
La piedra tiene que pasar por el punto P(15,3.5)
1
⎧
2
2
3.5
=
v
⋅
t
−
g
⋅
t
=
v
sen
45º
⋅
t
−
4.9
⋅
t
0Y
0
⎪
2
⎨
⎪15 = v ⋅ t = v cos 45º ⋅t
0X
0
⎩
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
15
v0 cos 45º
15 = v0 cos 45º ⋅t → t =
3.5 = v0 sen 45º ⋅t − 4.9 ⋅ t 2 =
→ v0 2 =
2205
→
11.5
Juan C. Moreno-Marín
v0 sen 45º ⋅15
⎛
⎞
15
− 4.9 ⋅ ⎜
⎟
v
cos
45º
v0 cos 45º
⎝ 0
⎠
2
→
v0 = 13.8 m s
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical,
siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro
veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el
mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué
velocidad debería llevar el mas bajo?
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
15. Dos aviones están situados sobre la misma vertical,
siendo la altura de uno de ellos sobre el suelo cuatro
veces la del otro. Ambos pretenden bombardear el
mismo objetivo, siendo la velocidad del mas alto v ¿qué
velocidad debería llevar el mas bajo?
v10
X
v10=v
4y
v20
y
Y
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
Ecuaciones del avión 1:
v1x = v10
→ x = v10 ⋅ t = v ⋅ t ⎫
1 x2
⎪
⎬ → 4 y = g ⋅ 2
1
2
2 v
v1 y = g ⋅ t → 4 y = g ⋅ t ⎪
2
⎭
Ecuaciones del avión 2:
v2 x = v20
→ x = v20 ⋅ t ʹ′
⎫
1
x2
⎪
⎬ → y = g ⋅ 2
1
2
2 v20
v2 y = g ⋅ t ʹ′ → y = g ⋅ t ʹ′ ⎪
2
⎭
v10
X
v10=v
4y
v20
y
Juan C. Moreno-Marín
Y
Escuela Politécnica - Universidad
de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
1 x2
g⋅ 2
4y
= 2 v2
1
x
y
g⋅
2 v20 2
v20 2
→ 4= 2
v
→ v20 2 = 4v 2
→
→
v20 = 2v
v10
X
v10=v
4y
v20
y
Juan C. Moreno-Marín
Y
Escuela Politécnica - Universidad
de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de
720 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el
avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al
suelo. Calcular:
a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo.
b) Distancia horizontal recorrida por la bomba.
c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta
que se percibe, en el avión, la explosión.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
16. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de
720 km/h y su altura sobre el suelo es de 7840 m. Desde el
avión se suelta una bomba que hace explosión al llegar al
suelo. Calcular:
a) Velocidad de la bomba al llegar al suelo.
b) Distancia horizontal recorrida por la bomba.
c) Tiempo transcurrido desde que se lanza la bomba hasta
que se percibe, en el avión, la explosión.
Y
O
v0
A
A1
X
h
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica
- Universidad de Alicante
B
Cinemática – Composición de movimientos
a) La velocidad de la bomba al llegar al suelo es:
v = vx2 + v y2
720000
⎡
⎤
v
=
=
200
⎢ x
⎥ → v = 2002 + 2 gh = 2002 + 2 ⋅ 9.8 ⋅ 7840 = 440 m s
3600
⎢
⎥
v y = 2 gh
⎢⎣
⎥⎦
Y
O
v0
A
A1
X
h
B
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
b) Las ecuaciones del movimiento son:
x = 200 ⋅ t
⎫
2y
2 ⋅ 7840
⎪
→
t
=
=
= 40s
⎬
1
9.8
9.8
y = 9.8 ⋅ t 2 ⎪
2
⎭
x = 200 ⋅ t = 200 ⋅ 40 = 8000 m
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
c) En el momento de la explosión el avión se encuentra en el punto
A, pero cuando reciba el sonido de la explosión se encontrará en
A1:
2
BA1 − AA1 = AB
Y
O
v0
2
A
A1
X
2
( vsonido = 340 m s )
→ 3402 t 2 − 2002 t 2 = 78402
h
t=
B
Juan C. Moreno-Marín
7840
2
340 − 200
2
= 28.5s
T = 40 s + 28.5s = 68.5s
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende
con una aceleración de 1m/s2. Cuando el ascensor se
encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la
lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la
lámpara en chocar con el suelo del ascensor.
v0
a
Y
O
Juan C. Moreno-Marín
X
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
17. La cabina de un ascensor de 3m de altura asciende
con una aceleración de 1m/s2. Cuando el ascensor se
encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la
lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la
lámpara en chocar con el suelo del ascensor.
La posición del suelo del ascensor es: y = v0t +
1 2
at
2
1 2
La posición de la lámpara es: yʹ′ = v0t − gt
2
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
Choca con el suelo cuando el suelo recorre 3 m más que la lámpara:
1
1
v0t + at 2 = v0t − gt 2 + 3
2
2
⎛ 3 ⎞
6
→ t 2 = 2 ⎜
→
t
=
= 0.745 s
⎟
10.8
⎝ a + g ⎠
v0
a
Y
O
Juan C. Moreno-Marín
X
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
18. Desde un plano inclinado con un ángulo β se lanza
una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al
plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la
piedra?
v0
β
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
18. Desde un plano inclinado son un ángulo β se lanza
una piedra con velocidad inicial v0 perpendicularmente al
plano. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento cae la
piedra?
g senβ
Y
β
g cosβ
g
v0
(0,0)
Sobre la piedra
actúa la
aceleración de la
gravedad g
R
X
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Composición de movimientos
( ejeX )
( ejeY )
1
g senβ ⋅ t 2
v X = g senβ ⋅ t
⎫
⎪
2
→
⎬
vY = v0 − g cos β ⋅ t ⎪⎭ y = v ⋅ t − 1 g cos β ⋅ t 2
0
2
x=
La piedra vuelve al plano inclinado cuando es
1
0 = v0 ⋅ t − g cos β ⋅ t 2
2
→ t=
2
2v0
g cos β
⎛ 2v0 ⎞
2v0 2 senβ
1
→ x = g senβ ⋅ ⎜
⎟ =
2
g
cos
β
g cos 2 β
⎝
⎠
Juan C. Moreno-Marín
y=0
→
Distancia del punto
de lanzamiento
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
19.
La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e
igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa
completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se
desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que
forman d y el rayo luminoso es θ.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
19.
La velocidad de rotación de un faro luminoso es constante e
igual a ω. El faro está situado a una distancia d de una playa
completamente recta. Calcular la velocidad y aceleración con que se
desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ángulo que
forman la normal d y el rayo luminoso es θ.
B
x
ω
F
θ
A
FARO
d
Juan C. Moreno-Marín
Playa
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Cinemática – Movimiento circular
Cuando el faro ha girado un ángulo θ, el punto luminoso ha recorrido sobre la playa la
distancia x :
x
tgθ =
d
→ x = d tgθ
La velocidad del punto será:
v=
d ( tgθ )
d ( tgθ ) dθ
dx d ( d ⋅ tgθ )
1
ω ⋅d
=
=d⋅
=d⋅
=d⋅
ω
=
dt
dt
dt
dθ dt
cos 2 θ
cos 2 θ
La aceleración será:
dv d ⎛ ω ⋅ d
a=
= ⎜
dt dt ⎝ cos 2 θ
Juan C. Moreno-Marín
d (1 cos 2 θ )
d (1 cos 2 θ ) dθ ω 2 ⋅ d ⋅ 2senθ
⎞
= ω⋅d ⋅
=
⎟ = ω ⋅ d ⋅
dt
d
θ
dt
cos3 θ
⎠
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
20.
Determinar la función horaria de un móvil que recorre una
trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales
en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el
instante inicial.
Juan C. Moreno-Marín
Escuela Politécnica - Universidad de Alicante
Cinemática – Movimiento circular
20.
Determinar la función horaria de un móvil que recorre una
trayectoria circular con velocidad y aceleración tangencial iguales
en todo instante, sabiendo que la aceleración es unitaria en el
instante inicial.
Velocidad y aceleración iguales:
aT = v →
dv
=v ↔
dt
dv ds
=v →
ds dt
dv
v=v
ds
dv
= 1 → dv = ds → v = s + k , k = cte
ds
ds
= s+k
dt
→
Juan C. Moreno-Marín
ds
ds
= dt → t = ∫
= ln ( s + k ) − ln ( c ) , c = cte
s+k
s+k
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Cinemática – Movimiento circular
t + ln ( c ) = ln ( s + k ) → ln (c ⋅ et ) = ln ( s + k ) → c ⋅ et = s + k
(
)
Siendo s = 0 cuando t = 0, resulta: → c = k → s = k et − 1
Y como es
v = s + k → v = k ⋅ et
La aceleración unitaria permite obtener el valor de la cte k:
2
a 2 = aT 2 + aN 2
1= k2 +
4
k
R2
2
⎛ dv ⎞ ⎛ v ⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ R ⎠
2
2
⎡ R
→ ec bicuadr → k = ⎢
⎢⎣ 2
Juan C. Moreno-Marín
dv
= k;
dt
→ en t = 0 → v = k ;
1
⎛
⎞ ⎤
4
⎜⎜ 1 + 2 − 1⎟⎟ ⎥
R
⎝
⎠ ⎥⎦
2
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Cinemática – Movimiento circular
La función horaria s(t) obtenida es:
2
⎡ R
t
s = s ( t ) = k ( e − 1) = ⎢
⎣⎢ 2
Juan C. Moreno-Marín
1
⎛
⎞ ⎤
4
⎜⎜ 1 + 2 − 1⎟⎟ ⎥
R
⎝
⎠ ⎥⎦
2
(e − 1)
t
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