Solución: a) |𝒙 − 𝟑| < 𝟏 Aplicamos las propiedades |𝒖| < 𝒂, 𝒂 > 𝟎 … 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: −𝒂 < 𝒖 < 𝒂 −𝟏 < 𝒙 − 𝟑 < 𝟏 Por ende: 𝒙 − 𝟑 > −𝟏 𝒙>𝟐 ^ 𝒙−𝟑<𝟏 𝒙<𝟒 Mezclar intervalos sobrepuestos: 𝟐 < 𝒙 < 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: (𝟐, 𝟒) En la recta: Graficando: b) |𝒙 − 𝟑| ≤ 𝟏 Aplicamos las propiedades |𝒖| ≤ 𝒂, 𝒂 > 𝟎 … 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: −𝒂 ≤ 𝒖 ≤ 𝒂 −𝟏 ≤ 𝒙 − 𝟑 ≤ 𝟏 Por ende: 𝒙 − 𝟑 ≥ −𝟏 𝒙≥𝟐 ^ 𝒙−𝟑≤𝟏 𝒙≤𝟒 Mezclar intervalos sobrepuestos: 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: [𝟐, 𝟒] En la recta: Graficando: c) 𝟎 ≤ 𝒙 − 𝟐 < 𝟐 𝑺𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂 ≤ 𝒖 < 𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂 ≤ 𝒖 ^ 𝒖<𝒃 Por ende: 𝟎≤𝒙−𝟐 𝒙≥𝟐 ^ 𝒙−𝟐 < 𝟐 𝒙<𝟒 Combinar los rangos: 𝒙≥𝟐 ^ 𝒙<𝟒 Mezclar intervalos sobrepuestos: 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: [𝟐, 𝟒) En la recta: Graficando: d) 𝟏 < 𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟑 𝑺𝒂𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂 < 𝒖 ≤ 𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂 < 𝒖 ^ 𝒖≤𝒃 Por ende: 𝟏<𝒙−𝟏 ^ 𝒙>𝟐 𝒙−𝟏 ≤𝟑 𝒙≤𝟒 Combinar los rangos: 𝒙>𝟐 ^ 𝒙≤𝟒 Mezclar intervalos sobrepuestos: 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: (𝟐, 𝟒] En la recta: Graficando: CONCLUSIÓN: a) |𝒙 − 𝟑| < 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: c) 𝟎 ≤ 𝒙 − 𝟐 < 𝟐 𝒊𝒊𝒊) (𝟐, 𝟒) 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: b) |𝒙 − 𝟑| ≤ 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: d) 𝟏 < 𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟑 𝒊𝒗) [𝟐, 𝟒] 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐: Solución: a) −𝟐 < 𝒙 < 𝟐 b) |𝒙| < 𝟐 Solución: −∞ 𝒊𝒊) [𝟐, 𝟒) +∞ 𝒊) (𝟐, 𝟒] Solución: Aplicamos las propiedades |𝒖| > 𝒂, 𝒂 > 𝟎 … 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒖 < −𝒂 𝟑𝒙 − 𝟏 < −𝟕 𝒐 𝒐 𝒖>𝒂 𝟑𝒙 − 𝟏 > 𝟕 Por ende: 𝟑𝒙 − 𝟏 < −𝟕 −𝟕 < 𝟑𝒙 − 𝟏 −𝟔 < 𝟑𝒙 𝒐 𝒐 𝒐 −𝟐 > 𝒙 𝒐 𝟑𝒙 − 𝟏 > 𝟕 𝟑𝒙 − 𝟏 > 𝟕 𝟑𝒙 > 𝟖 𝟖 𝒙> 𝟑 𝟖 Entonces: (−∞, −𝟐) ∪ (𝟑 , +∞) En la recta: Graficando: Solución: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 ≥ 𝟎 (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑) ≥ 𝟎 Por ende: (𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟎 𝒙 ≤ −𝟓 o Entonces: (−∞, −𝟓] ∪ [𝟑, +∞) En la recta: Graficando: (𝒙 − 𝟑) ≥ 𝟎 𝒙≥𝟑 Solución: 𝒙 ≤𝟑− 𝟔 𝒙+𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 ≤ 𝟑(𝒙 + 𝟐) − 𝟔 𝟑𝒙 = 𝒙≤ 𝒙+𝟐 𝒙+𝟐 = 𝒙(𝒙 + 𝟐) − 𝟑𝒙 ≤𝟎 𝒙+𝟐 Obteniendo: 𝟑𝒙 𝒙− ≤𝟎 𝒙+𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙 ≤𝟎 𝒙+𝟐 Por ende: 𝒙𝟐 − 𝒙 ≤𝟎 𝒙+𝟐 𝒙+𝟐<𝟎 𝒙 < −𝟐 Entonces: (−∞, −𝟐) ∪ [𝟎, 𝟏] En la recta: Graficando: 𝒐 𝒙(𝒙 − 𝟏) ≤ 𝟎 𝟎≤𝒙≤𝟏 = 𝒙(𝒙 − 𝟏) ≤𝟎 𝒙+𝟐 cuarto (5, 7) -12 9