CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y ESTRUCTURA

CONSTRUCCIÓN AGROINDUSTRIAL
CON HORMIGÓN ARMADO.
CIMENTACIONES SUPERFICIALES
Y
ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
ANGEL COUTO YÁÑEZ
MANUEL GUAITA FERNÁNDEZ
MARIA JOSE LÓPEZ VILLAR
Diciembre 2003
CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
CONSTRUCCIÓN AGROINDUSTRIAL
CON HORMIGÓN ARMADO.
CIMENTACIONES SUPERFICIALES
Y
ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
ANGEL COUTO YÁNEZ
Dr. Ingeniero Agrónomo.
MANUEL GUAITA FERNÁNDEZ
Dr. Ingeniero Agrónomo.
MARIA JOSÉ LÓPEZ VILLAR
Dr. Ingeniero Agrónomo.
Lugo, diciembre de 2003
CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
PROLOGO
Esta obra consta de dos libros en los que se estudia el proyecto y
cálculo de estructuras de hormigón, dentro del ámbito de la
Construcción Rural y Agroindustrial, siguiendo la Instrucción de
Hormigón Estructural, EHE.
El primer libro trata de los materiales que componen el hormigón
armado y las propiedades de los mismos, bases de cálculo, práctica de
armado y control de calidad en obras de hormigón. En el segundo libro
se aborda el estudio de las cimentaciones y estructuras de contención
como elementos de hormigón armado.
Los contenidos teóricos y métodos de cálculo expuestos se
complementan con ejercicios prácticos resueltos, con el fin de facilitar la
comprensión de los mismos.
La obra tiene un doble objetivo, en primer lugar servir de apoyo a la
docencia en las asignaturas relacionadas con las estructuras de
hormigón armado y en otro apartado, servir como manual para el
proyecto y cálculos constructivos en trabajos profesionales.
LOS AUTORES
CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
INDICE
CAPITULO X: CIMENTACIONES SUPERFICIALES
10.1. INTRODUCCIÓN
5
10.2. CLASIFICACION DE LAS CIMENTACIONES
5
10.3. ZAPATAS. CLASIFICACIÓN Y CRITERIOS DE DISEÑO
7
10.3.1. TIPOS DE ZAPATAS
7
10.3.2. CRITERIOS DE DISEÑO
8
10.4. ACCIONES EN LAS CIMENTACIONES.
8
10.5. ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN Y CÁLCULOS ESTRUCTURALES
9
10.6. CALCULO DE LA ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN
11
10.6.1. CONSIDERACIONES PREVIAS
11
10.6.2. DETERMINACIÓN DE LAS ACCIONES EN EL PLANO DE LA CIMENTACIÓN
12
10.6.3. SEGURIDAD A HUNDIMIENTO
13
10.6.3.1. SEGURIDAD A HUNDIMIENTO EN ZAPATAS BAJO CARGA CENTRADA
13
10.6.3.2. SEGURIDAD A HUNDIMIENTO EN ZAPATAS BAJO CARGA EXCÉNTRICA EN UNA DIRECCIÓN
13
10.6.3.3. SEGURIDAD A HUNDIMIENTO EN ZAPATAS BAJO CARGA EXCÉNTRICA EN AMBAS DIRECCIONES 15
10.6.4. COMPROBACION DE LA ESTABILIDAD AL VUELCO
16
10.6.5. SEGURIDAD A DESLIZAMIENTO
16
10.7. CÁLCULOS ESTRUCTURALES EN ZAPATAS DE HORMIGÓN ARMADO
17
10.7.1. GENERALIDADES
17
10.7.2. CALCULOS ESTRUCTURALES EN ZAPATAS RÍGIDAS BAJO CARGA CENTRADA O EXCÉNTRICA
17
10.7.2.1. GENERALIDADES
10.7.2.2. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
10.7.3. CÁLCULOS ESTRUCTURALES EN ZAPATAS FLEXIBLES BAJO CARGA EXCÉNTRICA
17
18
22
10.7.3.1. GENERALIDADES
22
10.7.3.2. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
22
10.8. CÁLCULOS ESTRUCTURALES EN ZAPATAS DE HORMIGÓN EN MASA
29
10.8.1. GENERALIDADES
29
10.8.2. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
29
10.9. ARMADURA DE ESPERA ZAPATA-SOPORTE
30
10.10. VIGAS DE ATADO
31
10.11. ZAPATAS DE MEDIANERÍA
34
10.11.1. INTRODUCCIÓN
34
10.11.2. CRITERIOS DE DISEÑO
34
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1: Zapata rígida con distribución trapezoidal de tensiones
39
EJERCICIO 2:. Zapata flexible con distribución trapezoidal de tensiones
51
EJERCICIO 3:. Zapata de hormigón en masa
63
EJERCICIO.4: Zapata flexible con distribución triangular de tensiones
71
EJERCICIO 5:. Zapata rígida con distribución triangular de tensiones
79
EJERCICIO 6:. Zapata de medianería equilibrada mediante viga centradora unida a macizo de hormigón en masa 85
EJERCICIO 7: Zapata de medianería equilibrada con viga centradora unida a zapata contigua
93
CAPITULO XI: ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
11.1. INTRODUCCIÓN
97
11.2. CLASIFICACIÓN GENERAL DE LAS ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
97
11.2.1. INTRODUCCIÓN
97
AUTORES: A. Couto Yánez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
CIMENTACIONES SUPERFICIALES Y ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
11.2.2. TERMINOLOGÍA GENERAL
98
11.2.3. MUROS DE GRAVEDAD
99
11.2.4. MUROS EN MÉNSULA
99
11.2.5. MUROS CON CONTRAFUERTES
100
11.2.6. MUROS DE BANDEJA
101
11.2.7. MUROS DE CRIBA
101
11.2.8. MUROS PREFABRICADOS
101
11.2.9. MUROS DE SÓTANO Y CONTENCIÓN
102
11.3. EL EMPUJE DE TIERRAS
103
11.3.1. ESTADOS LÍMITE
103
11.3.2. EMPUJE ACTIVO
105
11.3.2.1. TEORÍA DE COULOMB PARA SUELOS GRANULARES
106
11.3.2.1.1. RESOLUCIÓN GRÁFICA
106
11.3.2.1.2. RESOLUCIÓN ANALÍTICA
107
11.3.2.1.3. RESOLUCIÓN ANALÍTICA PARA EL CASO DE UNA CARGA UNIFORMEMENTE
REPARTIDA SOBRE EL TERRENO
112
11.3.2.2. EMPUJE ACTIVO EN TERRENOS ANEGADOS
113
11.3.2.3. EMPUJE ACTIVO DEBIDO A CARGAS PUNTUALES O CONCENTRADAS
EN ÁREAS REDUCIDAS
11.3.2.4. EMPUJE ACTIVO EN TERRENOS ESTRATIFICADOS
114
115
11.3.3. EMPUJE AL REPOSO
115
11.4. EL PROYECTO DE MUROS EN MÉNSULA
116
11.4.1. PREDIMENSIONAMIENTO
116
11.4.2. ESTABILIDAD DEL ELEMENTO
116
11.4.2.1. SEGURIDAD A DESLIZAMIENTO
116
11.4.2.2. SEGURIDAD A VUELCO
117
11.4.2.3. TENSIONES SOBRE EL TERRENO DE CIMENTACIÓN
118
11.4.3. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA (CÁLCULOS ESTRUCTURALES)
120
11.4.3.1. DEFORMADA DEL MURO
120
11.4.3.2. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA DEL ALZADO
122
11.4.3.2.1. ARMADURA VERTICAL CON EL ALZADO TRABAJANDO A FLEXIÓN SIMPLE
123
11.4.3.2.2. ARMADURA VERTICAL CON EL ALZADO TRABAJANDO A FLEXIÓN COMPUESTA
123
11.4.3.2.3. ARMADURA HORIZONTAL EN EL ALZADO
124
11.4.3.2.4. COMPROBACIÓN A ESFUERZO CORTANTE
124
11.4.3.2.5. SOLAPE DE LA ARMADURA DEL ALZADO CON LAS ESPERAS DE LA
CIMENTACIÓN. EHE, ART. 66.6.2.
125
11.4.3.2.6. SEPARACIÓN ENTRE BARRAS AISLADAS (EHE ART. 66.4.1. Y 42.3.1)
126
11.4.3.2.7. ARMADURA DE CORONACIÓN
126
11.4.4. DIMENSIONADO DE LA ARMADURA EN PUNTERA Y TALÓN
126
11.4.4.1.1. ANCLAJE ARMADURAS EN PUNTERA Y TALÓN
128
11.5. DRENAJE EN ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
128
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1: Estabilidad y armado de muro con carga en coronación
133
EJERCICIO 2:. Empuje activo en muro con capa freática
155
EJERCICIO 3: Empuje activo en muro con capa freática y carga superficial
159
ANEJO 1. CÁLCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTÍAS DE ARMADO SEGÚN LA EHE
165
ANEJO 2. ESTUDIO GEOTÉCNICO
171
BIBLIOGRAFÍA
195
AUTORES: A. Couto Yánez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
CAPITULO X: CIMENTACIONES SUPERFICIALES
10.1. INTRODUCCIÓN
Los cimientos son los responsables de
transmitir las cargas de las diferentes
estructuras al terreno.
Generalmente se construyen de hormigón
armado, salvo obras de pequeña importancia,
en las que puede ser más rentable emplear
hormigón en masa.
Todo proyecto de cimentación debe incluir
un Estudio Geotécnico (estudio de las
características del terreno) ya que la
cimentación es la encargada de garantizar la
estabilidad de la estructura que soporta a lo
largo de la vida útil de la misma (ver Anejo 2).
A partir del Estudio Geotécnico podremos
conocer las propiedades del suelo (tensión
admisible del terreno a las distintas cotas en
Kg/cm2, densidad de la tierra, profundidad del
nivel freático, posible asiento, ángulo de
rozamiento del terreno, cohesión aparente,
expansividad, etc.)
estructura que
soporta, y por otra, las
características del terreno en que se sitúa,
teniendo en cuenta que una vez alcanzado un
nivel de seguridad adecuado para la misma,
ésta debe de ser lo más económica posible.
Además, se debe garantizar que
la
cimentación tenga una durabilidad adecuada
(ver EHE Artículo 8.2.), ya que al tratarse de
estructuras enterradas, la detección de
deficiencias así como las posibles medidas de
actuación para corregir éstas deficiencias
resultan complicadas.
Se debe prevenir, por tanto, que la
cimentación se vea afectada por la posible
agresividad del terreno, así mismo, debe estar
protegidas de las acciones físicas y a las
modificaciones naturales o artificiales del
terreno (heladas, cambios de volumen,
variaciones del nivel freático, excavaciones
próximas, etc).
Así, para la elección del tipo de cimentación,
debe tenerse en cuenta, por una parte, la
10.2. CLASIFICACION DE LAS CIMENTACIONES
Las cimentaciones se clasifican en
superficiales (zapatas y losas) y profundas
(pilotes), entre ambos casos podríamos
considerar una solución intermedia que serían
los pozos de cimentación.
a) Cimentaciones superficiales
Resultan adecuadas para cimentar en
zonas en que el terreno presente unas
cualidades adecuadas en cotas superficiales,
es decir, en zonas próximas a la parte inferior
de la estructura.
Las
cimentaciones
superficiales
clasifican en zapatas y losas.
se
Zapatas:
es el tipo de cimentación
superficial más común. Se emplean cuando el
terreno alcanza a cotas poco profundas la
resistencia adecuada en relación a las cargas a
transmitir y además es lo suficientemente
homogéneo como para que no sean de temer
asientos diferenciales. (Figura 10.1.)
Losas: a título general, podría decirse que
ésta sería la solución adecuada, desde el punto
de vista económico, para una cimentación
superficial, cuando la superficie necesaria de
zapatas supere el 50 % de la superficie en
planta que ocupa la estructura (mayor facilidad
de ejecución, menos encofrados, excavación
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
menos dificultosa, etc). Se emplean cuando las
cargas transmitidas al terreno con respecto a la
planta a cimentar son elevadas (grandes silos,
depósitos
elevados,
etc..),
cuando
la
cimentación se encuentra por debajo del nivel
freático, cuando la resistencia del terreno es
baja,
cuando las estructuras son poco
deformables con objeto de disminuir los
asientos diferenciales en terrenos poco
homogéneos, etc (ver figura 10.2.)
b) Cimentaciones profundas
Se construyen empleando pilotes de
cimentación (figura 10.3.). Se adopta ésta
solución cuando el terreno adecuado para
cimentar se encuentra a cotas profundas, caso
en el que la excavación necesaria para una
cimentación a base de zapatas o losas sería
antieconómica y dificultosa.
c) Pozos de cimentación
Solución intermedia entre las cimentaciones
superficiales y las cimentaciones a base de
pilotes. Su empleo puede resultar interesante
en aquellos casos en que la cota del terreno en
que éste adquiere la resistencia necesaria para
cimentar se encuentra a niveles intermedios.
Para evitar una excesiva longitud de pandeo
del pilar es preciso crear una corona más
Pág. 5
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
robusta en la base de éste, o bien rellenar el
pozo con un hormigón pobre (figura 10.4.).
A modo orientativo, y en ausencia de otros
factores que podrían resultar determinantes,
según las condiciones específicas de la obra en
cuestión, en la tabla 10.1 se indica el tipo de
cimentación adecuada, en función de la cota en
que el terreno adquiere la resistencia necesaria
para situar el plano de la cimentación.
Profundidad del
Tipo de cimentación
plano de cimentación
Superficial
0–4 m
Pozos de cimentación
4–6 m
Pilotes
>6m
Tabla 10.1. Tipo de cimentación adecuada según la cota de
cimentación
Muro
Zapata
Zapatas aisladas
Zapata de medianería
Zapata Combinada
Zapata contínua
bajo pilares
Zapata corrida
bajo muro
Zapata de esquina
Figura 10.1. Principales tipos de zapatas.
Figura 10.2. Losas de cimentación. Fuente: Jiménez
(8)
Montoya
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Figura 10.3. Ejemplos de cimentación a base de pilotes.
(2)
Fuente: Calavera
Pág. 6
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Figura 10.4. Pozos de cimentación. Fuente: Calavera
(1)
10.3. ZAPATAS. CLASIFICACIÓN Y CRITERIOS DE DISEÑO
10.3.1. Tipos de zapatas
a) Por su forma de trabajo: (Ver figura 10.1)
Aisladas, si soportan un solo pilar.
Combinadas, si soportan dos o más
pilares, en número reducido. Se emplean en
medianerías para evitar la carga excéntrica
sobre la última zapata, o cuando dos pilares
están muy próximos entre sí, o, en general,
para aumentar la superficie de carga o reducir
asientos diferenciales.
Continuas o corridas bajo pilares, para
soportar varios pilares alineados; se emplean
en circunstancias parecidas a las zapatas
combinadas.
De medianería o esquina, Cuando se
descentra soporte, suelen ir unidas mediante
vigas riostra con el fin de mejorar la estabilidad
del elemento de cimentación.
Arriostradas, cuando varias zapatas se
unen por medio de vigas riostras, para dar
mayor rigidez al conjunto, en suelos mediocres,
o cuando existen acciones horizontales.
b) Por la relación entre sus dimensiones (lo
que condiciona su forma de trabajo), pueden
ser (ver figura 10.5):
Rígidas: Relación vuelo/canto menor que 2.
Flexibles: Relación vuelo/canto mayor de 2.
Continuas o corridas bajo muros, para
soportar muros.
Figura 10.5. Clasificación de las zapatas por la relación entre sus dimensiones. Fuente: EHE Art. 59.2.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 7
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.3.2. Criterios de diseño
Preferentemente se emplearán zapatas
aisladas para cimentar soportes, éstos se
dispondrán centrados excepto en las zapatas
de medianería y esquina.
Las dimensiones en planta de la zapata se
obtienen del cálculo de la estabilidad del
elemento de cimentación (comprobación a
hundimiento y asientos del terreno, estabilidad
a vuelco y estabilidad adeslizamiento), mientras
que el canto es un criterio del cálculo
estructural (dimensionamiento de la zapata
como elemento de hormigón armado).
Se recomienda que el canto total h no sea
inferior a 0,30 m, salvo casos excepcionales.
Las zapatas de medianería y esquina se
proyectan preferentemente con viga centradora
(ver apartado 10.11).
Se emplean zapatas combinadas cuando
los soportes están muy próximos y las zapatas
aisladas, incluso rectangulares, son inviables
por interferir entre sí.
El plano de apoyo de la cimentación debe
ser horizontal o ligeramente escalonado,
suavizando los desniveles bruscos de la
construcción.
Es conveniente que las instalaciones
queden por encima del plano de cimentación,
no intersecando con zapatas o vigas
centradoras.
A partir del Estudio Geotécnico obtenemos
la profundidad a la que el terreno alcanza la
resistencia adecuada para cimentar. Se debe
tener en cuenta que el terreno situado por
debajo de la cimentación no debe verse
afectado por las alteraciones del nivel freático.
el plano de apoyo debe quedar más profundo
que el nivel más bajo del agua.
La cimentación se debe disponer sobre un
terreno
de
características
geotécnicas
homogéneas. Si el terreno de apoyo presenta
discontinuidades o cambios sustanciales en
sus características, se fraccionará el conjunto
de la construcción de manera que las partes
situadas a uno y otro lado de la discontinuidad
constituyan unidades independientes. (NCSR2002. Norma de construcción sismorresistente,
parte general y edificación. Apartado 4.3.1.)
En el proceso de dimensionamiento de la
zapata en planta se siguen los siquientes
pasos:
- 1. Predimensionamiento de la zapata en
planta.
- 2. Cálculo de la distribución de presiones
sobre el terreno.
- 3. Comprobación de que las presiones
sobre el terreno no superan la tensión
admisible del mismo. También se comprueba
que éstas no sean inferiores en exceso, ya que
estaríamos sobredimensionando. En caso de
que no sean adecuadas las dimensiones en
planta, vuelta a dimensionar.
- 4. Comprobación de la estabilidad a
vuelco, y redimensión si fuese necesario.
- 5. Comprobación de la estabilidad a
deslizamiento, y redimensión en su caso.
- 6. Cálculo de los asientos del terreno y
comprobación de que los asientos no superan
los admisibles; reajuste si fuese necesario.
En proximidad de vías o corrientes de agua
10.4. ACCIONES EN LAS CIMENTACIONES.
Entre las acciones que deben considerarse
en el cálculo de las cimentaciones están, en
primer lugar, los esfuerzos. (axiles, momentos y
cortantes) que le transmite la estructura.
Además está el peso propio de la cimentación,
el del suelo y rellenos situados sobre la misma,
el empuje de tierras y, si hay agua, el empuje
hidrostático (subpresión).
En primer lugar se realiza el cálculo de la
estructura, obteniéndose así las reacciones en
la base de los pilares. Luego se calcula la
cimentación sometida a acciones opuestas a
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
estas
reacciones
(axiles,
cortantes
y
momentos). Esta forma de proceder presupone
que el conjunto formado por la cimentación y el
suelo es mucho más rígido que la estructura,
de modo que sus pequeños desplazamientos
elásticos no alteran apreciablemente los
esfuerzos y reacciones de la misma. Algunas
indicaciones al respecto pueden verse en libro
del profesor Calavera(1).
Pág. 8
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.5. ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN Y CÁLCULOS ESTRUCTURALES
En un proyecto de cimentaciones
realizan dos tipos diferentes de cálculos:
se
a) Estabilidad del elemento de cimentación
Se trata de calcular las presiones que van a
actuar sobre el terreno, comprobando que no
se supere la tensión admisible del terreno, y
comprobar que no existe el riesgo de que se
produzca vuelco o deslizamiento del elemento
de cimentación.
Según la EHE, para establecer las
dimensiones de la cimentación y la
comprobación de las tensiones del terreno se
considerarán las combinaciones pésimas
transmitidas por la estructura con sus valores
característicos, teniendo en cuenta los
efectos de segundo orden (momento
adicional debido a las deformaciones del
soporte) para el caso de soportes esbeltos, el
peso del elemento de cimentación y el terreno
que gravita sobre él (figura 10.6.).
Es decir, para la comprobar la estabilidad
del elemento de cimentación, se supone ésta
como un sólido indeformable y se comprueba
que el terreno aguanta las presiones a que va a
estar sometido, que la zapata no vuelca y que
no desliza, todo ello empleando los valores
característicos de las acciones.
b) Cálculos estructurales:
Se trata de comprobar que el elemento de
cimentación resiste los esfuerzos a los que se
va a encontrar sometido, definiendo el armado
necesario en el mismo y los requisitos para
garantizar una durabilidad adecuada (figura
10.8. y 10.9.).
Según la EHE, para la comprobación de los
estados límite últimos del elemento de
cimentación, se consideran los efectos de las
tensiones del terreno, obtenidos para los
esfuerzos transmitidos por la estructura bajo las
combinaciones pésimas mayoradas, teniendo
en cuenta los efectos de segundo orden para
el caso de soportes esbeltos, y la acción
mayorada del peso propio de la cimentación y
del terreno, cuando sea necesario.
Salvo el caso de cargas triangulares bajo el
elemento de cimentación, en los cálculos es
común prescindir del peso propio del elemento
de cimentación, –pues al fraguar el hormigón,
(estado inicial) el peso se transmite al suelo sin
causar tensiones ni deformaciones– y del peso
del suelo o rellenos repartidos uniformemente
sobre la base de la cimentación –pues estos
pesos se equilibran con reacciones iguales y
opuestas del suelo– y tampoco causan
esfuerzos en la cimentación.
En el caso de que tengamos los esfuerzos
que actúan sobre la cimentación mayorados,
será preciso desmayorar los mismos.
a
Wt
H
N
M
M
Wt
N
V
V
N1
Wz
e
h
a´
H: profundidad del plano de la cimentación.
M,V,N: Solicitaciones en la base del pilar
Wt: peso del terreno situado sobre la zapata
Wz: peso propio de la zapata.
Figura 10.6. Acciones a considerar en el cálculo de zapatas.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
σmin
σmax
Figura 10.7. Ejemplo de distribución de tensiones bajo el
terreno.
Pág. 9
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Wt
Armadura superior
Compresión
Armadura
de tracción
Armadura inferior
Wz
Tracción
Figura 10.8. Deformación del elemento de cimentación con
distribución de tensiones bajo el terreno uniformes o
trapezoidales.
Figura 10.9. Deformación del elemento de cimentación con
distribución de tensiones triangular.
Figura 10.10. Ejemplo de armado de zapata bajo Junta de dilatación.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 10
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.6. CALCULO DE LA ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN
10.6.1. Consideraciones previas
Según lo expuesto en el apartado 10.5.,
para la realización de las comprobaciones
geotécnicas se tendrán en cuenta los esfuerzos
transmitidos por la estructura sobre el cimiento,
los debidos al peso propio del cimiento más las
tierras u otras acciones actuantes sobre el;
todos ellos con los valores característicos.
En la figura 10.11. se muestra la
nomenclatura a emplear para las dimensiones
en zapatas aisladas.
El hecho de que se empleen los valores
característicos de las acciones es debido a que
ya se le ha aplicado un coeficiente de
mayoración a la tensión admisible del terreno.
La presión admisible del terreno la
determina estudio geotécnico, y ésta puede
venir impuesta por la condición de que los
asientos del mismo sean compatibles con la
capacidad de deformación de la estructura, o
resultar
de
consideraciones
puramente
resistentes. En este último caso, la, presión
admisible es el cociente entre la presión de
hundimiento del suelo y un coeficiente de
seguridad γt , para el cual, generalmente se
toma el valor de 3 (ver Anexo 2).
Para el anteproyecto de zapatas, previo a la
realización del estudio geotécnico, resulta útil
disponer de una idea orientativa acerca de las
presiones admisibles en los distintos tipos de
terreno. En las tablas 10.2 y 10.3. pueden
verse los valores de estas presiones
admisibles, según las Recomendaciones para
el proyecto y ejecución de cimentaciones
superficiales de la Sociedad Española de
Mecánica del Suelo y Cimentaciones y Norma
AE-88.
v
d
h
b
b´
a
a´
Figura 10.11. Nomenclatura en zapatas aisladas.
(8)
Tabla 10.2. Presiones admisibles en suelos arenosos. Fuente: J. Montoya .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 11
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
(8)
Tabla 10.3. Presiones admisibles en suelos arcillosos. Fuente: J. Montoya .
10.6.2. Determinación de las acciones en el plano de la cimentación
Es preciso determinar el axil y el momento
en el plano de la cimentación, a partir de los
cuales se obtendrá la distribución de tensiones
en el terreno, así como los coeficientes de
seguridad a vuelco y a deslizamiento. Ver
figura 10.12.
a) Axil en el plano de cimentación (N1):
• γHA: Peso específico del hormigón armado.
• h: canto de la zapata.
[(
]
)
( a'⋅b' − (a ⋅ b)) ⋅ H ⋅ γ t (peso del
WT =
terreno que gravita sobre la zapata para el caso de
zapatas aisladas)
Donde:
• a, b : dimensiones del soporte situado sobre la zapata.
• H: profundidad del plano superior de la cimentación.
• γ t : peso específico del terreno.
N 1 = N + WZ + Wt
donde:
b) Momento en el plano de la cimentación
• N: valor característico del axil en la base del pilar.
• WZ: peso de la zapata.
• WT: peso del terreno que gravita sobre la zapata.
WZ = (a’ ⋅ b’ ⋅ h) ⋅ γHA
(M1):
M1 = M + V·h
siendo:
• M, V : valores característicos del momento y el cortante
en la base del soporte.
• h: canto de la zapata.
siendo:
• a´, b´: dimensiones en planta de la zapata.
a
a
N
M
N1
V
h
N1
M1
h
σmed
Vértice
más
comprimido
a´
Figura 10.12. Acciones en el plano de la cimentación
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
a´
Figura 10.13. Distribución de tensiones bajo el terreno para
carga centrada
Pág. 12
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.6.3. Seguridad a hundimiento.
10.6.3.1. Seguridad a hundimiento en Zapatas bajo carga centrada
En la práctica suele suponerse que la
distribución de las presiones del terreno es
plana (figura 10.13), tanto si la zapata es rígida
como si es flexible. Si la resultante es centrada,
la presión del terreno es uniforme y debe
cumplirse:
σ = σ med =
N1
≤ σ adm
a´×b´
Siendo:
• N1 = Axil en el plano de la cimentación.
• a´, b´ = dimensiones en planta de la zapata.
• σ med = presión media en la base de la zapata.
•
σ adm
edificación se calculan con carga centrada, ya
que los momentos son relativamente pequeños
en comparación con el axil en el plano de
cimentación N1, y las excentricidades son
despreciables en comparación con las
dimensiones de la zapata.
No sucede lo mismo, por ejemplo, con
muchas zapatas de pilares de naves agroindustriales,
muros
de
contención,
depósistos, etc, en las cuales los momentos
son importantes en relación al axil, éstas se
calcularán según los apartados que se exponen
a continuación.
= presión admisible del suelo.
En la práctica, la mayoría de las zapatas de
10.6.3.2. Seguridad a hundimiento en Zapatas bajo carga excéntrica en una dirección
N
M
V
M
N
N1
V
e
N1
e
σmin
σmax ≤ 1,25σadm
σmax ≤ 1,25σadm
c
a´
Figura 10.14. Distribución trapezoidal de tensiones. Caso
e≤a´/6.
Figura 10.15. Distribución triangular de tensiones. Caso
e>a´/6.
1º.- Carga actuando con una excentricidad
reducida:
e≤
a´
6
(resultante dentro del núcleo central)
En éste caso la distribución de presiones
bajo el terreno es trapezoidal (figura 10.14) y
las presiones en los bordes de la zapata se
obtienen mediante la ecuación:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
σ=
N1  6 × e 
1 ±

a´×b´ 
a´ 
tomando la presión máxima, media y mínima
los siguientes valores:
σ máx =
N1  6 × e 

1 +
a´×b´ 
a´ 
σ med =
N1
a´×b´
σ min =
N1  6 × e 
1 −

a´×b´ 
a´ 
Pág. 13
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Siendo:
• N1, M1 = Axil y momento en el plano de la cimentación.
• a´, b´ = dimensiones en planta de la zapata.
•e=
Es recomendable limitar la excentricidad
al valor:
M 1 = excentricidad resultante en el plano de la
N1
e≤
a´
3
cimentación.
y debe verificar se, para la seguridad frente a
hundimiento de la cimentación:
σ max ≤ 1,25σ adm
σ med ≤ σ adm
Se admite en los bordes un aumento del
25% en la presión admisible, siempre que la
presión en el centro de gravedad de la
superficie de apoyo no exceda de la presión
admisible.
2º.- Carga actuando con una excentricidad
elevada:
e>
a´
(resultante fuera del núcleo central)
6
En éste caso, se obtiene una distribución
triangular (fig. 10.15), pues no es posible que
se produzcan tracciones bajo la zapata.
En este caso, la presión máxima en el borde
de la zapata vale:
ya que, de lo contrario, la presión máxima,
σ max ,crece excesivamente y a pequeños
incrementos
de
la
excentricidad
le
corresponden grandes incrementos en la
presión, σ max .
Este tipo de distribución de presiones bajo
el terreno es frecuente en las naves
agroindustriales cuando el pilar se encuentra
empotrado en la cimentación. En ellas, debido
a la carga de viento u a otros efectos como el
caso de los soportes de puentes grúa, nos
encontramos con momentos importantes en
relación al axil. Ello nos lleva a excentricidades
elevadas de la carga, las cuales exigen el
empleo
de
zapatas
de
dimensiones
considerables. Dado que es frecuente que
éstas zapatas se encuentren unidas mediante
vigas de atado, y sobre éstas últimas se apoye
el cerramiento, una forma de reducir la
excentricidad y al mismo tiempo aumentar la
estabilidad a vuelco, es contabilizar el peso del
cerramiento a la hora de calcular el axil en el
plano de la cimentación, también es frecuente
contabilizar el peso de la solera, en caso de
que se encuentre situada sobre la zapata.
N1 = N + WZ + WT+ WC
σ max =
( N1 )
4
×
3 (a´−2e) × b´
e=
c = 1,5 × (a´−2e)
M1
N1
siendo:
y debe verificar, al igual que el caso
anterior, para la seguridad frente a hundimiento
de la cimentación:
σ max ≤ 1,25σ adm
σ med ≤ σ adm
• N: valor característico del axil en la base del pilar.
• WZ: peso de la zapata.
• WT: peso del terreno que gravita sobre la zapata.
• WC: peso del cerramiento.
De este modo, al aumentar el axil estamos
disminuyendo la excentricidad.
tolerándose, igualmente, en el borde una
presión algo mayor que la admisible del
terreno.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 14
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.6.3.3. Seguridad a hundimiento en zapatas bajo carga excéntrica en ambas direcciones.
Cuando la carga excéntrica actúa en ambas
direcciones (paralela a a´ y paralela a b´) nos
encontramos igualmente con dos casos, uno
para excentricidad relativa reducida y otro para
excentricidades relativas elevadas.
σ 1(max) ≤ 1,25σ adm
2º.- Caso de excentricidades relativas
elevadas:
1º.- Caso de excentricidades relativas
reducidas:
En el caso más general de resultante
excéntrica en ambas direcciones, si las
excentricidades relativas son reducidas,
cumpliendo con la condición:
ea eb 1
+
≤
a´ b´ 6
(resultante situada dentro del
núcleo central),
Las presiones en las esquinas son todas
positivas y se obtienen de la ecuación:
6e 
N  6e
σ = 1 1 ± a ± b 
a´×b´ 
a´
b´ 
tomando la presión media y las presiones
en las esquinas de las zapatas los siguientes
valores:
σ med =
N1
a´×b´
σ 1(max) =
En éste caso, las excentricidades relativas
son elevadas, produciéndose un despegue
parcial de la zapata respecto al terreno,
anulándose la presión en una zona que puede
ser triangular, trapecial o pentagonal (despegue
en una, dos o tres esquinas).
En éste caso, un método para la obtención
de las presiones en las esquinas de la zapata
sería el propuesto por el Doctor Ingeniero P.
Jiménez Montoya6).
Al igual que en las zapatas aisladas, es
recomendable limitar las excentricidades para
que se cumpla
e a eb 1
pues, de lo
+
<
a´ b´ 3
contrario, la presión en punta σ1(max), crece
excesivamente y a pequeños incrementos de la
excentricidad
corresponden
grandes
incrementos en la presión σ1(máx).
6e
6e 
N1 
1 + a + b 
a´×b´ 
a´
b´ 
σ2 =
6e
6e 
N1 
1 + a − b 
a´×b´ 
a´
b´ 
σ3 =
N 1  6e a 6eb 
+
1 −

a´×b´ 
a´
b´ 
σ 4(min) =
ea eb 1
+ >
a´ b´ 6
N1
N 1  6e a 6e b 
−
1 −

a´×b´ 
a´
b´ 
siendo:
•
ea =
Ma
N1
= excentricidad resultante en la dirección de la
dimensión a´.
•
eb =
Mb
N1
Figura 10.16. Zapata aislada con carga excéntrica en las
dos direcciones. Excentricidad relativa elevada. Fuente: J.
(8)
Montoya .
= excentricidad resultante en la dirección de la
dimensión b´.
Para que la zapata sea estable frente a
hundimiento debe cumplirse la condición:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 15
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.6.4. Comprobacion de la estabilidad al vuelco
Se realiza cuando las zapatas se
encuentran sometidas a momentos o fuerzas
horizontales, salvo que existan elementos
estructurales que impidan dicho vuelco.
Se realiza tomando momentos respecto al
vértice más comprimido (ver figura 10.12) de la
zapata, comprobando que los momentos
estabilizadores superan a los momentos
desestabilizadores (momentos de vuelco).
Para que la zapata se considere estable a
vuelco, el cociente entre el momento
estabilizante y el desestabilizante debe ser
igual o superior al coeficiente de seguridad a
vuelco , γ1 (generalmente se adopta γ1 = 1,5).
M .estabiliz.
C sv =
=
M .desestabiliz.
N1 ×
M1
a'
2 ≥γ
1
siendo:
• N1, M1= acciones en el plano de la cimentación (ver
figura 10.12)
• a´ = ancho de la zapata;
• γ1 =coeficiente de seguridad al vuelco, para el que
puede tomarse 1,5.
10.6.5. Seguridad a deslizamiento
Al igual que la comprobación a vuelco, ésta
se realiza en el caso de zapatas sometidas a
acciones horizontales (ver figura 10.12).
Como fuerza estabilizante se tiene en
cuenta el rozamiento entre la base de la zapata
y el terreno, y la fuerza de adherencia terreno–
zapata en el caso de suelos cohesivos.
Generalmente, como fuerza estabilizadora no
se tiene en cuenta el empuje pasivo sobre la
superficie lateral de la zapata, a menos que
esté garantizada su actuación permanente.
C sd =
Siendo:
• N1: axil en el plano de la cimentación.
• V: esfuerzo cortante en cara superior de cimentación.
• ϕd: ángulo de rozamiento zapata-terreno.
-
Como
fuerza
desestabilizante,
generalmente solo tenemos el esfuerzo
cortante existente en la base del pilar.
Al igual que en el caso anterior, para que
zapata se considere estable a deslizamiento,
cociente entre la fuerza estabilizante
desestabilizante debe ser igual o superior
coeficiente de seguridad a deslizamiento,
(generalmente se adopta γ1 = 1,5).
la
el
y
al
γ1
( N 1 ⋅ tg ϕ d ) + ( a´×b´×c d )
F .estabiliz .
=
≥γ2
F .desestabil iz.
V
ϕd =
2
×ϕ
3
(a falta del dato, se puede
estimar entre 2/3 y 3/4 del
rozamiento interno del terreno.)
ángulo de
• Cd = adherencia zapata-terreno, para el caso de suelos
cohesivos.
•
Cd =0,5 C ( a falta de un estudio específico,
se estima en ½ de la cohesión del terreno).
γ 2 = coeficiente de, seguridad al deslizamiento, para el
que puede tomarse 1,5.
El coeficiente de seguridad a deslizamiento
se obtiene según la siguiente ecuación:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 16
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.7. CÁLCULOS ESTRUCTURALES EN ZAPATAS DE HORMIGÓN ARMADO
10.7.1. Generalidades
Las zapatas más comúnmente empleadas
son las de espesor constante, ello es debido a
su simplicidad de construcción y al ahorro de
encofrados y mano de obra, lo cual suele
compensar el mayor volumen de hormigón
necesario, con respecto a las zapatas de canto
variable.
En zapatas de espesor constante, el canto
h, no debe ser menor de 30 cm.
Para realizar los cálculos estructurales de
zapatas usaremos los métodos propuestos en
la EHE. Dicha Instrucción clasifica las
cimentaciones en Rígidas (Vmax ≤ 2h) y
Flexibles (Vmax > 2h), según la relación entre el
vuelo y el canto de las mismas.
En el caso de zapatas rígidas, para su
cálculo se emplea el modelo de bielas y
tirantes, mientras que en las flexibles se
emplea la teoría general de flexión, como si
se tratase de una viga plana.
Puede suceder, para el caso de zapatas
rectangulares, o aquellas que se encuentran
bajo un soporte rectangular, que el vuelo en
una dirección sea inferior a 2h y en la otra no,
es decir, que sean rígidas en una dirección y
flexibles en la otra, en éste caso, a efectos de
cálculo las consideraremos flexibles y se
calcularán como tal en ambas direcciones.
Las zapatas con distribución centrada de
presiones sobre el terreno son las más
frecuentes en edificación, no es así en el caso
de naves agroindustriales, muros de
contención, depósitos, etc..., en las que
generalmente
nos
encontramos
con
distribución
excéntrica,
trapezoidal
o
triangular.
En cuanto a los recubrimientos necesarios
se aplicará lo prescrito en el Articulo 37.2.4. de
la EHE, teniendo en cuenta que si no se
dispone de hormigón de limpieza, el
recubrimiento debe de ser superior a 70 mm.
En los cálculos estructurales se aplicará
todo lo referido en el método general del Art.
59.3.de la EHE. Siguiendo lo indicado en el
mismo, para la comprobación de los Estados
Límite últimos de los elementos de
cimentación, se considerarán los efectos de las
tensiones del terreno obtenidas para los
esfuerzos transmitidos por la estructura para
las combinaciones pésimas mayoradas,
teniendo en cuenta los efectos de segundo
orden (momento adicional debido a la
deformación del soporte) en el caso de
soportes esbeltos, y la acción mayorada del
peso propio del elemento de la cimentación, y
del terreno que gravita sobre ella cuando sea
necesario.
Se tendrá también en cuenta que no se
debe de tomar en los cálculos un valor de fyd
mayor de 400 N/mm2, y la armadura deberá
disponerse sin reducción de sección.
Una vez hemos calculado la armadura
necesaria
debemos
realizar
las
comprobaciones de las cuantías mecánica y
geométrica, prescritas en los Artículos 42.3.2 y
42.3.5.
Si la resistencia característica del hormigón
en las zapatas es igual que en los pilares, caso
más frecuente en construcción agroindustrial,
no será necesario realizar la comprobación de
los nudos del modelo, en caso contrario debe
realizarse ésta comprobación según se indica
en Artículo 40.4. de la EHE.
10.7.2. Calculos estructurales en zapatas rígidas bajo carga centrada o excéntrica
10.7.2.1. Generalidades
Para su cálculo, la EHE en su Artículo
59.4.1., propone el Modelo de Bielas y
Tirantes. Este método es adecuado para el
cálculo de las armaduras en zapatas rígidas,
sometidas a carga centrada o excéntrica (ver
figura 10.17).
Para poder aplicar el mismo debemos de
poder despreciar el peso de la zapata y de las
tierras contenidas sobre ésta, común en el caso
de distribución de presiones trapezoidal o
uniforme ya que estos pesos se equilibran con
reacciones iguales y opuestas del suelo y no
causan esfuerzos en la cimentación.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Para el caso de zapatas bajo carga
excéntrica, cuya resultante de tensiones bajo el
terreno sea triangular, no podemos emplear
el método de bielas y tirantes, además,
puede no ser adecuado despreciar el peso de
la cimentación y las tierras contenidas sobre
ésta, en éste caso, puede
emplearse el
método de flexión que se describe en el
apartado 10.7.3.
Ver ejercicios 1 y 5 en las pág 39 y 79.
Pág. 17
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Nd
Md
a
TRACCIÓN
a/4 a/4
N1d
d
Φ1
σ1d
R1d
COMPRESIÓN
N2d
Td
x1
0,85d
Φ2
x2
R2d
σ2d
Figura 10.17. Modelo de Bielas y Tirantes.
10.7.2.2. Descripción del método
a) Cálculo de la excentricidad de la carga.
A partir de las acciones en la base del pilar
mayoradas (Nd y Md ), calcularemos la
excentricidad de la carga:
M
e= d
Nd
b) Cálculo de la distribución de tensiones
bajo el terreno: nos encontraremos con dos
casos según el valor que tome la excentricidad:
ecuación:
Td =
R1d
× (x1 − 0,25 × a ) = As × f yd
0,85 × d
siendo:
• R1d: fuerza ejercida por la presión del terreno en la mitad
más cargada de la base de la zapata (resultante del
trapecio de tensiones que se encuentra situado bajo la
mitad más cargada).
• x1: distancia entre el centro del cimiento y la recta de
aplicación de R1d.
• a: ancho del pilar en la dirección paralela a a´.
2
• fyd < 400 N/mm (EHE, Art.40.2.),
Cálculo de R1d
a´
- Si e ≤ , la distribución de tensiones bajo
6
el terreno será trapezoidal y las tensiones se
determinarán según la ecuación:
N 
6×e
σ = d 1 ±

a´×b´ 
a´ 
a´
; la distribución de tensiones será
6
triangular y en éste caso no se podrá aplicar
el modelo de bielas y tirantes, con lo cual
ésta deberá calcularse a flexión según el
método que se expone en el apartado 10.7.3.,
pero
sin
necesidad
de
realizar
las
comprobaciones a cortante y punzonamiento
que se exigen para las cimentaciones flexibles.
- Si e >
c) Calculo de la armadura de tracción
R1d = (área trapecio) x (profundidad) =
volumen del prisma de tensiones que se
encuentra bajo la mitad más cargada de la
zapata.
El valor de R1d
se obtiene según la
ecuación (figura 10.18):
R1d =
(σ max + σ med ) a´
× ( ) × b´
2
2
La primera parte de la ecuación representa
el área del trapecio situado bajo la mitad más
cargada (base mayor x base menor dividido por
2 y todo ello multiplicado por la altura), la cual
se multiplica por la dimensión b´, para la
obtención del volumen del prisma.
La armadura principal se obtendrá para
resistir la tracción Td que resulta de la
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 18
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Cálculo de x1
Tipo
x1: es la distancia del centro de gravedad
del trapecio bajo la mitad más cargada al eje de
simetría de la zapata (figura 10.18).
a × x r + a t × xt
x1 = r
a r + at
x1 =
0
de acero
Cuantía geométrica mínima, en /00 , referida
a la sección total de hormigón.
B 400 S
2
B 500 S
1,8
⇒
Tabla 10.4. Fuent:e: EHE, Art 42.3.5.
1 a´ 2 a´
a´ a´
× + (σ max − σ med ) × × × ×
2 4
2 2 3 2
a´
1 a´
σ med × + (σ max − σ med ) × ×
2
2 2
Estos valores se refieren a la cuantía
mecánica mínima de cada una de las
armaduras, longitudinal y transversal, repartida
en las dos caras.
σ med ×
Siendo:
• ar: área del rectángulo.
• at: área del triángulo.
• xr: distancia entre el centro de gravedad del rectángulo y
el eje de simetría de la zapata.
• xt: distancia entre el centro de gravedad del triángulo y el
eje de simetría de la zapata.
e) Anclaje de los redondos
La armadura se prolongará sin reducción en
toda la longitud de la zapata, estando
especialmente indicado el anclaje mediante
barras transversales soldadas (Art.59.4.1.1.
EHE). Para realizar el anclaje se seguirán las
indicaciones del Artículo 66.5.
La longitud de anclaje de las armaduras se
contabiliza (figura 10.19.) a partir de la recta de
aplicación de R1d, es decir, a una distancia x1
del eje de simetría de la zapata.
h
σmax
l a ≥ lb,neta
σmin
σmed
R1d
Se debe de cumplir que:
Siendo:
•
x1
• lb,neta: longitud neta de anclaje es decir, longitud teórica
necesaria de anclaje.
a´
Figura 10.18. Cálculos estructurales en zapata rígida.
d) Comprobación de cuantías
La armadura necesaria por cálculo deberá
cumplir ambas cuantías establecidas en la
EHE, en caso de que no cumplan se realizará
el armado según el valor mayor de las dos
cuantías (mecánica o geométrica).
- Cuantía
Art.42.3.2.)
mecánica
As ⋅ f yd
la = longitud real de anclaje de las armaduras.
mínima
En caso de que anclemos en gancho y aun
así no se cumpla la condición anterior, se debe
prolongar verticalmente la barra (lp), en este
caso:
la + l p ≥ lb,neta
Se tendrá en cuenta además que la longitud
de prolongación vertical de la patilla no debe de
ser inferior a 5 veces el diámetro de la barra.
l p ≥ 5φ
(EHE,
- Determinación de la longitud real de
anclaje:
b´×h
≥ 0,25 ⋅
⋅ f cd
6
la =
donde:
• AS: Area de la armadura pasiva.
• fyd: resistencia de cálculo del acero en la armadura pasiva
en tracción.
• fcd: resistencia de cálculo del hormigón a compresión.
• h: canto total de la sección.
- Cuantía
Art.42.3.5.)
geométrica
mínima
(EHE,
a´
− x1 − r
2
Siendo:
• l a = longitud real de anclaje de las armaduras.
• a´: dimensión de la zapata.
• x1: distancia entre el centro de gravedad de la zapata y la
recta de aplicación de R1d.
• r = recubrimiento lateral de las barras
Las cuantías geométricas mínimas exigidas
por la Instrucción española se muestran en la
tabla 10.4.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 19
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Determinación de las longitudes teóricas de
anclaje: longitud básica y longitud neta de
anclaje (EHE, Art 66.5):
Las barras de la armadura de tracción de
las zapatas se encuentran en posición I,
(armaduras que forman un ángulo entre 45º y
90º con la dirección de hormigonado, además
se encuentran en la mitad inferior de la
sección).
lbI = m × ∅ 2 >
f yk
20
×∅
siendo:
• IbI :longitud básica de anclaje para barras en posición I.
• m: coeficiente numérico con valores en la tabla 10.5.
2
• fyk: límite elástico garantizado del acero en N/mm .
• ∅ = diámetro de la barra en cm.
- Longitud neta de anclaje (longitud
teórica necesaria):
h
lp
r
La longitud básica de anclaje se modifica en
función del mecanismo de anclaje empleado y
en función del cociente entre el área de
armadura necesaria por cálculo y el área real
de la misma.
lb,neta = lbI × β ×
la
Siendo:
R1d
a´/2
AS
AS ,real
x1
Figura 10.19. Anclaje en patilla en zapatas rígidas.
• lb,neta: longitud neta de anclaje.
• lbI = longitud básica de anclaje para barras en posición I.
• β: factor de reducción definido en la tabla 10.6.
•
AS
AS ,real
(Cociente entre el área de armadura necesaria
por cálculo y el área real de la armadura)
- Longitud básica de anclaje:
Tabla 10.5. Valores del coeficiente m para el cálculo de las longitudes de anclaje. Fuente: EHE, Art. 66.5.2.
Tabla 10.6. Valores del coeficiente m para el cálculo de las longitudes de anclaje. Fuente: EHE, Art. 66.5.2.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 20
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Se debe tener en cuenta además que la
longitud de anclaje debe cumplir las
limitaciones impuestas en el Artículo 66.5.1. de
la EHE, según las cuales, ésta no debe de ser
inferior de los tres valores siguientes:
- 10 φ
- 15 cm
- 1/3 lbl (caso de barras trabajando a tracción)
Para poder emplear éste método, el
recubrimiento perpendicular al plano de
doblado, en el caso de anclaje en patilla o
gancho debe de ser superior a tres veces el
diámetro, y el recubrimiento lateral de las
barras de los extremos superior a dos veces el
diámetro de la barra.
g) Comprobación de la distancia entre
redondos.
La separación entre los redondos deberá
cumplir los Artículos 66.4.1 y 42.3.1. de la EHE.
En el Artículo 66.4.1 se establecen unas
separaciones mínimas entre barras, con objeto
de garantizar un correcto hormigonado de la
pieza, mientras que en el 42.3.1. se limita la
separación máxima entre barras, con motivo de
evitar que queden zonas de hormigón sin
armaduras.
Separación
barras:
maxima
entre
horizontal
minima
entre
- Sh ≤ 30 cm
Separación
barras:
En la figura 10.20. se muestran los
procedimientos normalizados de anclaje que
define la EHE en el Artículo 66.5.1.
- Sh ≥ 2 cm
- Sh > ∅ (diámetro de las barras)
f) Disposición de las armaduras.
- Sh > 0,8 ⋅ D (Ver EHE, Artículo 28.2)
Las armaduras se prolongarán sin reducción
hasta el borde de la zapata, y se tendrán en
cuenta las consideraciones de anclaje
expuestas en el apartado anterior.
En elementos cuadrados trabajando en una
o dos direcciones la armadura se podrá
distribuir uniformemente en todo el ancho de la
cimentación. Por tanto, la armadura paralela al
lado mayor de la cimentación (a´) se distribuirá
uniformemente en todo lo ancho de la
cimentación. Además se dispondrá otra
armadura, perpendicular a la primera (paralela
al lado menor de la cimentación b´), la cual
suele llevar la misma cuantía que la primera.
horizontal
Sh =
b'−(2 × r ) − n × ∅
n −1
Siendo:
• Sh: separación horizontal entre redondos.
• n: número de barras.(n-1= número de huecos)
• ∅ = diámetro de las barras
• r= recubrimiento lateral de las barras, al tratarse de piezas
hormigonadas contra el terreno, éste debe de ser superior
a 70mm, teniendo en cuenta, además que en el caso de
anclaje en patilla o gancho, este debe de ser superior a tres
veces el diámetro de las mismas, medidos en la dirección
perpendicular al plano de la curva (EHE, Art. 37.2.4).
• D: tamaño máximo de árido.
Ø
d
r
h
Sh
b´
Figura 10.20. Procedimientos normalizados de anclaje
según EHE. Fuente EHE, Art. 66.5.1.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Figura 10.21. Distribución de los redondos en la sección de
hormigón.
Pág. 21
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.7.3. Cálculos estructurales en zapatas flexibles bajo carga excéntrica
10.7.3.1. Generalidades
Se trata de zapatas en las que el vuelo es
superior al doble del canto.
Para su cálculo exponemos a continuación
los criterios simplificados propuestos en la
EHE, Art. 59.4.2.1. Según los mismos, la
armadura necesaria se hallará mediante un
cálculo a flexión simple en una sección de
referencia S1 (figura 10.22).
Una vez hemos calculado la armadura
necesaria,
debemos
realizar
las
comprobaciones de las cuantías mecánica y
geométrica, prescritas en los Art. 42.3.2 y
42.3.5. de la EHE.
a
0,15a
v > 2h
S1
h
Por otra parte, debemos realizar una
comprobación a cortante
y otra a
punzonamiento, además, siempre que sea
necesario, se realizará la comprobación a
fisuración según el Artículo 49 de la EHE.
Este método es válido para el cálculo de las
armaduras en zapatas flexibles, sometidas a
carga centrada o excéntrica. Así mismo,
también nos permite el cálculo de zapatas
rígidas que tengan una distribución de
tensiones en el terreno triangular.
Figura 10.22. Situación de la sección de referencia S1, en
zapatas bajo soportes de hormigón armado
Ver ejercicios 2 y 4 en las pág. 51 y 71.
10.7.3.2. Descripción del método
Para la obtención del momento flector al
que se encuentra sometida la sección de
referencia S1, podemos operar de tres modos:
1º.- A partir de los valores característicos
de las acciones (N1, M1) en el plano de la
cimentación, calculamos la excentricidad de la
carga. En éste caso, tras calcular el momento
en la sección de referencia,
debemos
mayorarlo para la obtención del momento de
cálculo.
M
e= 1
N1
Hemos
optado
por
seguir
éste
procedimiento en los ejercicios que se
resuelven en apartados posteriores, el motivo
principal se debe a que no exige recalcular las
tensiones bajo la cimentación, tras haber
realizado la comprobación de la estabilidad de
la zapata. No obstante, entendido éste modo
de operar no reviste ninguna dificultad el
adaptarse a los métodos 2º y 3º que se citan a
continuación.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
2º.- También podríamos partir de los
valores de cálculo de las acciones en el plano
de la cimentación (N1d, M1d), en cuyo caso ya
obtenemos directamente el momento de
cálculo en la sección de referencia (S1).
e=
M 1d
N1d
3º.- Por último, podríamos calcular la
excentricidad de la carga a partir de las
solicitaciones de cálculo en la base del pilar
(Md, Nd), en éste caso despreciaríamos el peso
de la zapata y de las tierras contenidas sobre
ésta, simplificándose los cálculos, ya que para
obtener el momento en la sección de referencia
(S1) no será preciso descontar el momento
debido al peso de la zapata y al peso del
terreno. El principal inconveniente de éste
procedimiento se presenta cuando tenemos
bajo el terreno una distribución de tensiones
triangular, ya que en éste caso no se puede
despreciar el peso de la zapata y de las tierras
contenidas sobre la misma.
Pág. 22
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
a) Cálculo de la distribución de tensiones
sección de referencia y el borde de la zapata.
bajo el terreno
Nos encontraremos con dos casos según el
valor que tome la excentricidad:
a´
, la distribución de tensiones
6
bajo el terreno será trapezoidal y las tensiones
se determinarán según la ecuación:
- Si e ≤
-
3º.- Cálculo de la armadura longitudinal:
Se realizará un cálculo a flexión simple, para lo
cual pueden emplearse las fórmulas expuestas
en el Anejo 8.3 de la EHE. (Ver Anexo I de éste
libro).)
Para poder utilizar el método simplificado
propuesto en dicho anejo, se debe cumplir que:
d’ ≤
N 
6×e
σ = 1 1 ±

a´×b´ 
a´ 
h
7
A continuación se determinará el valor de
Uo:
a
; la distribución de tensiones será
6
triangular , calculándose entonces las
dimensiones del triángulo de tensiones
mediante las siguientes ecuaciones:
- Si e >
σ max =
( N1 )
4
×
3 (a´−2e) × b´
U 0 = 0,85 × f cd × b × d
Encontrándonos con dos casos posibles:
Caso 1: M d ≤ 0,375U o d (caso más frecuente)
No es necesaria armadura de compresión.
La armadura de tracción necesaria, se
obtendrá según la siguiente expresión:

2 M d 
U s1 = U 0 1 − 1 −

U 0 d 

c = 1,5 × (a´−2e)
b) Cálculo a flexión.
1º.- Para el cálculo a flexión se tomará una
sección de referencia (S1), perpendicular a la
base de la zapata, y cuyo canto útil será igual
al canto útil de la sección paralela a S1 y
situada en la cara del soporte o del muro.(Art
59.4.2.1.1. EHE). Dicha sección de referencia
es paralela a la cara del soporte o del muro y
se sitúa (figura 10.22):
- 0,15a detrás de dicha cara; para el caso
de soportes o muros de hormigón, siendo “a” la
dimensión del soporte o muro, perpendicular al
plano de la sección de referencia.
Caso 2: M d > 0,375U o d
Sería preciso disponer armadura superior,
de compresión, (no es frecuente que se
disponga armadura de compresión en el caso
de zapatas de naves agroindustriales, siendo
preferible aumentar el canto o las dimensiones
de la zapata para encontrarnos dentro del caso
1).
Las armaduras se determinarán según las
siguientes ecuaciones:
U s2 =
- 0,25a, en el caso de muros de ladrillo y
mampostería.
- La mitad de la distancia entre la cara del
soporte y el borde de la placa de acero, cuando
se trate de soportes metálicos sobre placas de
reparto y de acero.
2º.- Determinaremos el momento de
cálculo en la sección de referencia (S1):
Dicho momento es debido a la carga continua
de las presiones del terreno situadas entre la
sección de referencia y el borde de la zapata. A
dicho momento habrá que descontarle el
originado en sentido contrario por el peso de la
zapata y el peso del terreno actuando entre la
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
M d − 0,375U o d
d − d´
U s1 = 0,5U 0 + U s 2
Siendo:
• Md: momento de cálculo en la sección de referencia (S1).
• Us1:capacidad mecánica de la armadura inferior (a
tracción).
• Us2: capacidad mecánica de la armadura superior ( a
compresión).
• d: canto útil de la sección.
• fcd: resistencia de cálculo del hormigón a compresión.
c) Comprobación de cuantías.
Se comprobará que cumple la cuantía
mecánica mínima y la cuantía geométrica
mínima de modo similar al descrito en el punto
10.7.2.2.d, para las zapatas rígidas.
Pág. 23
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
d) Comprobación a cortante.
La instrucción Española obliga a realizar
una comprobación a cortante (EHE Art.
59.4.2.1.2.1). Dicha comprobación se realizará
en una sección de referencia (S2), la cual se
situara (figura 10.23):
- a una distancia igual a un canto útil,
contada a partir de la cara del soporte o muro,
en el caso de soportes de hormigón o muros de
hormigón o mampostería.
- a una distancia igual a un canto útil,
contada a partir del punto medio entre la cara
del soporte y el borde de la placa de anclaje,
para el caso de soportes metálicos sobre
placas de reparto de acero.
Para realizar la comprobación a cortante
seguimos el método prescrito en el Artículo 44º
de la EHE.
• Vd: valor de cálculo del esfuerzo cortante en la sección de
referencia S2.
• Vrd: esfuerzo cortante efectivo.
3.- Comprobaciones:
Se debe comprobar que el cortante
efectivo no supera al esfuerzo cortante de
agotamiento por tracción del alma. Al
tratarse de una pieza sin armadura de cortante
(caso más común en zapatas para construcción
agroindustrial), no es preciso comprobar que la
pieza no se agota por compresión oblicua del
alma.
Vrd ≤ Vu 2
Siendo:
• Vu2: esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el
alma.
• Vrd: esfuerzo cortante efectivo de cálculo.
- Obtención de Vu2 (EHE, Art.44.2.3.2.1.):
a
En piezas sin armadura de cortante:
[
Vu 2 = 0,12 × ξ × (100 × ρ1 × f ck )
d
1/ 3
]× b´×d
v > 2h
Donde:
S2
h
• ξ = 1+
•
200 con d en mm.
d
ρ1 : cuantía geométrica de la armadura longitudinal
traccionada.
-
ρ1 =
AS < 0,02
b´×d
• As : área real de la armadura longitudinal.
Figura 10.23. Situación de la sección de referencia S2, en la
que se realiza la comprobación a cortante en el caso de
zapatas bajo soporte de hormigón.
1.- Determinamos el esfuerzo cortante de
cálculo (Vd) en la sección de referencia(S2):
Este será debido al cortante producido por
las reacciones del terreno en S2 , al cual habrá
que descontarle el cortante debido al peso de
la zapata y las tierras contenidas sobre ella
entre S2 y el borde de la misma.
2.- Esfuerzo cortante efectivo:
Al ser una pieza de sección constante y no
poseer armaduras activas, el cortante efectivo
coincide con el cortante de cálculo.
V rd = Vd
Siendo:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
En caso de no cumplir la comprobación a
cortante, podríamos disponer una armadura
transversal para absorber dichos esfuerzos,
aunque sería mejor solución aumentar el canto
de la zapata, tanto desde el punto de vista
económico como en cuanto a simplicidad
constructiva.
e) Disposición de las armaduras.
Para la disposición de las armadura se
siguen las indicaciones de la EHE, Artículo
59.4.2.1.1.2., según el cual en zapatas flexibles
corridas trabajando en una dirección y zapatas
flexibles cuadradas trabajando en dos
direcciones, la armadura se podrá disponer
uniformemente en todo el ancho de la
cimentación.
En elementos rectangulares, trabajando en
dos direcciones, la armadura paralela al lado
mayor a´, se distribuirá uniformemente,
mientras que para la armadura paralela al lado
menor b´ , debe concentrarse una parte de la
Pág. 24
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
misma en una zona central de longitud b´. El
resto
de
la
armadura
se
repartirá
uniformemente en los dos laterales restantes
(ver figura 10.24).
g) Comprobación del estado límite de
- Armadura a colocar en la banda central:
Se trata de comprobar la resistencia del
elemento de cimentación frente a los efectos
transversales
producidos
por
cargas
concentradas, dicha comprobación se realiza
utilizando una tensión tangencial nominal en
una superficie crítica, concéntrica a la zona
cargada.
2b´
Asc = As ×
(a´+b´)
- Longitud de la banda central:
lbc = b´> (a + 2h)
(en caso de que b´ fuese menor que a+2h, la
longitud de la banda central valdrá a+2h.)
- Armadura que se colocará en cada uno de
los dos laterales:
Asl =
As − Asc
2
punzonamiento.
Para la comprobación a punzonamiento se
siguen las prescripciones de la EHE, Art. 46.
El área crítica se define a una distancia
igual a 2d desde el perímetro del área cargada
(figura 10.25.).
En el caso de zapatas continuas bajo muro
no es preciso realizar dicha comprobación. Por
otra parte, y al igual que en el caso del
esfuerzo cortante, en caso de no cumplir,
podría
disponerse
de
armadura
de
punzonamiento, o aumentar el canto del
elemento de cimentación.
No
será
necesaria
armadura
de
punzonamiento si se cumple la siguiente
condición:
τ sd ≤ τ rd
Figura 10.24. Disposición de las armaduras en zapatas
flexibles. Fuente: EHE Art. 59.4.2.1.1.2
Las armaduras se prolongarán sin reducción
hasta el borde de la zapata, y se tendrán en
cuenta las consideraciones de anclaje
expuestas en el apartado anterior.
En caso de
direcciones no
que el armado
sea inferior al
dirección.
que las armaduras en las dos
sean iguales, se recomienda
en una de las direcciones no
20% del armado en la otra
f) Comprobación de la distancia entre
redondos.
Con objeto de garantizar el correcto
hormigonado de la pieza, además de evitar que
queden zonas de hormigón sin armaduras, se
comprobará la separación horizontal entre
redondos del mismo modo a lo expuesto en el
apartado 10.7.2.2.g. para zapatas rígidas.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Figura 10.25. Perímetro crítico en zapatas bajo soporte
centrado. Fuente: (EHE, Art. 46.1.)
1.- Determinación del perímetro y área
crítica:
u1 = 2a + 2b + (4π × d )
(
Au1 = 2(a × 2d ) + 2(b × 2d ) + (a × b) + 4π × d 2
)
Siendo:
• u1: longitud del perímetro crítico.
• Au1: área interior al perímetro crítico.
• a: la dimensión del soporte en la dirección paralela a la
dimensión a´ del elemento de cimentación.
• b: la dimensión del soporte en la dirección paralela a la
dimensión b´ del elemento de cimentación.
• d: canto útil.
Pág. 25
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
2.Determinación
de
la
tensión
tangencial de cálculo en el perímetro crítico:
τ sd =
Fsd ,ef
u1d
cuantía geométrica en cualquiera de
direcciones considerada.
En zapatas se suele adoptar
simplificación de considerar únicamente
cuantía geométrica de la sección en
dirección perpendicular a a´, con lo cual:
las
la
la
la
ρ1 = ρ x
Fsd ,ef = β × Fsd
h) Anclaje de los redondos. EHE, Art.
59.4.2.1.1.2.
Fsd = N d
La armadura deberá estar anclada según el
más desfavorable de los dos criterios
siguientes:
Siendo:
• Fsd = esfuerzo de punzonamiento de cálculo, al tratarse de
una zapata, podrá reducirse su valor descontando la fuerza
ejercida por la presión del terreno dentro del perímetro
crítico, a la cual se le restará el peso propio del elemento
de cimentación dentro del perímetro crítico.
• Nd: axil en la base del pilar.
• β: coeficiente que tiene en cuenta los efectos de la
excentricidad de la carga, el cual toma los valores de la
tabla 10.7
en función de la situación del soporte que
descansa sobre el elemento de cimentación.
• d: canto útil de la zapata.
1.-La armadura estará anclada según las
condiciones del Artículo 66, desde una sección,
S2 , situada a un canto útil de la sección de
referencia S1 (figura 10.26).
2.-La armadura se anclará a partir de la
sección S3 (figura 10.27) para una fuerza:
Td = Rd ×
Valores del
Situación del soporte
coeficiente β
Soporte que no
En ambos casos se debe de cumplir que:
l a ≥ lb,neta
1
transmite momentos
Soporte interior
1,15
Soporte de borde
1,40
Soporte de esquina
1,50
v + 0,15a − 0,25h
0,85h
Siendo:
• l a = longitud real de anclaje de las armaduras.
• lb,neta: longitud neta de anclaje es decir, longitud teórica
necesaria de anclaje.
Tabla 10.7. Fuente EHE Art. 46.2.
3.- Determinación de la tensión máxima
resistente en el perímetro crítico:
Al igual que en las zapatas rígidas, en caso
de que anclemos en gancho y aun así no se
cumpla la condición anterior, se debe prolongar
verticalmente la barra (lp), en este caso:
la + l p ≥ lb,neta
τ rd = 0,12 × ξ × (100 ρ 1 f ck )
1
3
Se tendrá en cuenta además que la longitud
de prolongación vertical de la patilla no debe de
ser inferior a 5 veces el diámetro de la barra.
l p ≥ 5φ
Siendo:
•
τ rd : tensión máxima en el perímetro crítico, con f
ck
en
2
N/mm .
• ξ = 1+
•
200 con d en mm.
d
ρ 1 : cuatía geométrica de la armadura longitud de la losa.
-
ρ1 = ρ x ρ y
-
ρx , ρ y :
- h.1. Longitud de anclaje para el caso 1
(figura 10.26):
Anclaremos a partir de una sección de
referencia S2 situada a un canto útil de la
sección de referencia S1(sección en la cual se
realiza la comprobación a flexión).
Longitud real de anclaje:
cuantías geométricas en dos
la =
direcciones perpendiculares.
-
ρx =
Asy
Asx
, ρy =
b´×d
a´×d
Asx, Asy: armadura real en cada una de las
dos direcciones perpendiculares.
En caso de zapatas cuadradas con
armado igual en las dos direcciones, ρ 1 es la
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
a´ a
− − d − r + 0,15a
2 2
Siendo:
• la = longitud real de anclaje en el caso 1.
• a´: dimensión de la zapata.
• a: dimensión del pilar en la dirección paralela a a´.
• d: canto útil del elemento de cimentación.
Pág. 26
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
• r: recubrimiento lateral de las barras, al tratarse de piezas
hormigonadas contra el terreno, éste debe de ser superior
a 70mm, teniendo en cuenta, además que en el caso de
anclaje en patilla o gancho, este debe de ser superior a dos
veces el diámetro de las mismas, medidos en la dirección
perpendicular al plano de la curva (EHE, Art. 37.2.4).
a
d
la
Para poder emplear éste método, el
recubrimiento perpendicular al plano de
doblado, en el caso de anclaje en patilla o
gancho debe de ser superior a tres veces el
diámetro, y el recubrimiento lateral de las
barras de los extremos superior a dos veces el
diámetro de la barra.
d
Figura 10.26. Determinación del anclaje en el caso 1.
Determinación de la longitud básica y la
longitud neta de anclaje (Art 66.5 EHE):
- Longitud básica de anclaje:
lbI = m × ∅ 2 >
f yk
20
h.2. Longitud de anclaje para el caso 2
(figura 10.27.):
Anclaremos a partir de una sección de
referencia S3 situada a medio canto del borde
de la zapata:
- Longitud real de anclaje:
la = 0,5h − r
×∅
Siendo:
siendo:
• IbI :longitud básica de anclaje para barras en posición I
• m: coeficiente numérico con valores en la tabla 10.5.
2
• fyk: límite elástico garantizado del acero en N/mm .
• ∅ = diámetro de la barra en cm.
- Longitud neta de anclaje (longitud teórica
necesaria):
lb,neta
AS
= lbI × β ×
AS ,real
Siendo:
• lb,neta: longitud neta de anclaje.
• lbI = longitud básica de anclaje para barras en posición I.
• β: factor de reducción definido en la tabla10.6.
AS
AS ,real
- 15 cm
En la figura 10.20. se muestran los
procedimientos normalizados de anclaje que
define la EHE.
r
•
- 10 φ
- 1/3 lbl (caso de barras trabajando a tracción)
0,15a
S2
lp
la EHE, según las cuales, ésta no debe de ser
inferior de los tres valores siguientes:
(Cociente entre el área de armadura necesaria
por cálculo y el área real de la armadura)
Se debe tener en cuenta además que la
longitud de anclaje debe cumplir las
limitaciones impuestas en el Artículo 66.5.1. de
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
• l a = longitud real de anclaje en el caso 2.
• h: canto del elemento de cimentación.
• r: recubrimiento lateral de las barras.
Determinación de Td:
La armadura se anclará a partir de S3 para
una fuerza:
Td = Rd ×
v + 0,15a − 0,25h
0,85h
Siendo:
• a: dimensión del soporte paralela a a´.
• h: canto del elemento de cimentación.
• v: vuelo de la zapata en la dirección paralela a a´.
Cálculo de Rd :
Rd = (área trapecio) x (profundidad) =
volumen del prisma de tensiones que se
encuentra entre la sección S3 y el borde de la
zapata, todo ello realizado bajo la mitad más
cargada de la zapata. Para en cálculo de Rd es
preciso determinar la tensión ejercida por el
terreno σ s 3 en la sección de referencia S3. No
Pág. 27
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
obstante,
es
aceptable
realizar
una
simplificación, del lado de la seguridad,
suponiendo
un
prisma
de
tensiones
rectangular, con lo cual Rd toma el valor de:
Rd = (0,5 × h) × σ * max × b´
Siendo:
• σ*max: tensión máxima del terreno, mayorada.
• h: canto del elemento de cimentación.
• b´: ancho de la zapata.
i)
Comprobación de la
colocar armado superior
necesidad
de
Esta comprobación debe realizarse en el
caso de distribución de presiones triangular, y
se hace situando la citada sección (S1) de
referencia bajo la mitad menos cargada. En
dicha sección puede ocurrir que el valor
absoluto del momento debido al peso de la
zapata y el peso del terreno que se encuentra
sobre la misma, sea superior al momento que
provoca en sentido opuesto la reacción del
terreno (R) (figura 10.28.).
En éste caso, será preciso disponer de
armadura superior, si la máxima tensión de
tracción ( σ t ) en la sección de referencia, es
superior a la resistencia de cálculo del
hormigón a tracción.(ver EHE, Art.59.4.2.1.1.,
comentarios).
r
- Momento característico en la sección de
referencia:
S3
M s1 = M R − M Wt − M WZ
σ∗max
Momento de cálculo en la sección de
referencia:
Rd
M d = M s1 × γ f
0,5h
Figura 10.27. Determinación del anclaje en el caso 2.
Máxima tensión de tracción en la sección de
referencia:
- Armadura necesaria para la fuerza Td:
ATd =
σt =
Td
f yd
- Longitud neta de anclaje (longitud teórica
necesaria):
lb,neta = lbI × β ×
ATd
AS ,real
6M d
b × h2
Resistencia de cálculo del hormigón a
tracción (EHE, Art. 39.1.).
f ct ,d =
f ct ,k
γc
=
0,21× 3 f ck
2
γc
Ver ejercicio 4 en la página 71.
Siendo:
• lb,neta: longitud neta de anclaje.
• lbI = longitud básica de anclaje para barras en posición I,
determinada de modo similar al caso 1.
• β: factor de reducción definido en la tabla10.6.
Para poder emplear éste método, el
recubrimiento perpendicular al plano de
doblado, en el caso de anclaje en patilla o
gancho debe de ser superior a tres veces el
diámetro, y el recubrimiento lateral de las
barras de los extremos superior a dos veces el
diámetro de la barra.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 28
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
a
La tensión de tracción no debe superar la
resistencia de calculo del hormigón a tracción.
EHE:
σ t ≤ f ct ,d
0,15a
Wt
Wz
S1
R
Si la tensión de tracción es superior a la
resistencia de cálculo del hormigón a tracción,
entonces debe colocarse una armadura
superior(ver figura 10.9) capaz de soportar las
diferencia de valores absolutos de los
momentos antes mencionados, aunque por
simplicidad constructiva suele ser mejor
solución aumentar el canto de la zapata de
modo que no sea necesario colocar armado
superior.
Figura 10.28. Esquema de fuerzas en la comprobación de la
necesidad de colocar armado superior.
10.8. CÁLCULOS ESTRUCTURALES EN ZAPATAS DE HORMIGÓN EN MASA
10.8.1. Generalidades
La EHE permite el empleo de cimentaciones
de hormigón en masa como elemento
estructural. En general se usan en obras de
escasa importancia, como ejemplo podríamos
citar: cimentaciones de muros de fábrica o de
hormigón de poca altura o sometidos a
pequeñas solicitaciones, cimentaciones de
pilares de hormigón armado o de acero, cuyo
canto es considerable en relación al vuelo
(pozos de cimentación), etc.
Las dimensiones del canto y el ancho deben
ser tales que no se sobrepase la resistencia a
tracción del hormigón, para lo cual es
aconsejable que el vuelo no sea superior al
canto.
Para su dimensionamiento se sigue el
método propuesto en el artículo 59.7 de la
EHE. Según el mismo, se debe de realizar una
comprobación a flexotracción, a esfuerzo
cortante y a punzonamiento.
Ver ejercicio 3 en la página 63.
10.8.2. Descripción del método
a) Tensión de tracción en la sección de
σt =
referencia S1:
La sección de referencia se define de igual
modo que para el cálculo a flexión en zapatas
flexibles de hormigón armado, (ver apartado
10.7.3.2.b). Una vez hemos determinado el
momento de cálculo a que se encuentra
sometida la sección de referencia, calculamos
la máxima tensión de tracción en la sección
de referencia σt :
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
6M d
b × h2
y a continuación comprobamos que no
supera la resistencia de cálculo del hormigón a
tracción, f ct , d :
f ct ,d =
f ct ,k
γc
=
0,21× 3 f ck
γc
2
(EHE, Art. 39.1.)
Pág. 29
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
b) Comprobación a cortante:
Determinamos el esfuerzo cortante de
cálculo en la sección de referencia S2. La
situación de dicha sección es la misma que
para el caso de la comprobación a cortante en
zapatas flexibles de hormigón armado (ver
apartado 10.7.3.2.d).
La tensión tangencial de cálculo en el
perímetro crítico, τ sd , se determina igual que
en las zapatas flexibles de hormigón armado
(ver apartado 10.7.3.2.g.2), dicha tensión no
debe ser superior a: 2 f ct ,d , es decir:
Una vez determinamos el cortante de
cálculo en la sección de referencia S2, se
determina la tensión debida al esfuerzo
cortante en dicha sección σ c :
σc =
Vd
b×h
τ sd ≤ 2 f ct ,d
Perímetro crítico (u 1)
La tensión media de cortante en la sección
de referencia no debe sobrepasar la resistencia
de cálculo a tracción para el hormigón, es decir:
0,5h
σ c ≤ f ct ,d
b´
c) Comprobación del estado límite de
punzonamiento:
El perímetro para la comprobación a
punzonamiento (figura 10.29) debe de ser
mínimo y no estará situado más cerca de la
mitad del canto total de la zapata, del perímetro
del soporte, muro o pedestal (EHE art 59.7)
0,5h
a´
Figura 10.29. Perímetro crítico en zapatas de hormigón en
masa.
u1 = 2a + 2b + (2π × 0,5h )
10.9. ARMADURA DE ESPERA ZAPATA-SOPORTE
En el caso de que sobre la zapata se sitúe
un soporte de hormigón armado, en las mismas
se dispondrá de una armadura de espera.
El número de barras y la sección de dicha
armadura será igual a la del pilar. En ellas se
debe comprobar la que la longitud de anclaje
(la) en el interior de la zapata es superior a la
teórica necesaria, (en general se cumple) y
calcular longitud de solapo (ls,) con la armadura
del soporte, ambas longitudes se cuentan a
partir del plano superior de la cimentación, la
primera hacia abajo, y la segunda hacia arriba.
Para realizar el cálculo de las mismas se
sigue lo indicado en el artículo 66 de la
Instrucción Española.
Junta de
hormigonado
ls
d´+1,5Ø
la
lp≥5Ø
Figura 10.30. Armadura de espera (arranque o enano)
Ver ejercicio 1 en la página 39.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 30
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Para facilitar su colocación en obra, en la
parte inferior de la armadura de espera (en
contacto con la armadura de la cimentación) se
realizará un doblado de los redondos en patilla
a 90º, teniendo en cuenta que la prolongación
horizontal de los mismos es aconsejable que
supere la distancia entre redondos del
emparrillado de la zapata con el fin de facilitar
su atado.
a) Anclaje de la armadura de espera en la
Figura 10.31. Distancia entre los empalmes más próximos
.Fuente: EHE, Art. 66.6
cimentación (figura 10.30):
Se debe de cumplir que:
l a ≥ lb,neta
- Longitud real de anclaje (la):
la = d − 1,5φ
Se debe tener en cuenta además que la
longitud de anclaje debe cumplir las
limitaciones impuestas en el artículo 66.5.1. de
la EHE, según las cuales, ésta no debe de ser
inferior de los tres valores siguientes:
- 10 φ
Siendo:
• l a = longitud real de anclaje en el interior de la zapata.
• d: canto útil del elemento de cimentación.
• φ: diámetro de las barras del emparrillado de la zapata.
- Longitud básica de anclaje:
l bI = m × ∅ 2 >
f yk
20
×∅
- 15 cm
- 2/3 lbl (caso de barras trabajando normalmente
a compresión)
b) Longitud de solapo con la armadura del
soporte figura 10.30):
l s = α × lbI ×
Siendo:
• m: coeficiente numérico con valores en la tabla 10.5.
2
• fyk: límite elástico garantizado del acero en N/mm .
• φ = diámetro de la barra en cm.
- Longitud
neta de anclaje (longitud
teórica necesaria):
lb,neta = lbI × β ×
AS
AS ,real
Donde:
AS
AS ,real
Siendo:
• lbI: Longitud de básica de anclaje calculada en el apartado
anterior.
• α: coeficiente numérico definido en la tabla 10.8. α = 1
(barras solapadas trabajando normalmente a compresión
en cualquier porcentaje)
En la zona de solapo debe disponerse de
armadura transversal con sección igual o
superior a la sección de la mayor barra
solapada. (EHE. Art. 66.6.2.)
AS
(Cociente entre el área de armadura del pilar
AS ,real
necesaria por cálculo y el área real de la armadura)
• β: factor de reducción definido en la tabla 10.6.
•
Tabla 10.8. Valores del coeficiente α.para el cálculo de la longitud de solapo. Fuente: EHE Art. 66.6.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 31
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.10. VIGAS DE ATADO
En toda cimentación conviene disponer de
vigas de atado, cuya misión es unir y dar
estabilidad a la cimentación frente a posibles
acciones horizontales, que pueden recibir bien
de la estructura o bien del propio terreno,
evitando el desplazamiento horizontal relativo
entre las zapatas.
44.2.3.4.1. y 42.3.1. Dicha separación entre
estribos debe de cumplir las siguientes
limitaciones:
- S t ≤ 15φmin ≤ 30cm
En caso de ser necesario aplicar la norma
de construcción sismorresistente (ver criterios
de aplicación en el Apartado 1.2.3. de la NCSR
2002) debe cumplirse lo siguiente:
Cada uno de los elementos de cimentación
que transmita al terreno cargas verticales
significativas deberá enlazarse con los
elementos contiguos en dos direcciones
mediante dispositivos de atado situados a nivel
de las zapatas, de los encepados de pilotes o
equivalentes, capaces de resistir un esfuerzo
axial, tanto de tracción como de compresión,
igual a la carga sísmica horizontal transmitida
en cada apoyo (NCSR-2002 Norma de
construcción sismorresistente, parte general y
edificación).
Cuando ac = 0,16 g los elementos de atado
deberán ser vigas de hormigón armado.
Cuando ac < 0,16 g podrá considerarse que
la solera de hormigón constituye el elemento de
atado, siempre que se sitúe a nivel de las
zapatas o apoyada en su cara superior, sea
continua alrededor del pilar en todas las
direcciones, tenga un espesor no menor de 15
cm ni de 1/50 de la luz entre pilares y sea
capaz de resistir un esfuerzo axial, tanto de
tracción como de compresión, igual a la carga
sísmica horizontal transmitida en cada apoyo.
En caso de que no sea obligatorio aplicar la
NCSR-2002 se pueden seguir los criterios que
se exponen a continuación a la hora de
dimensionar la vigas de atado:
- φe ≥
-
0,25 × φmax × S t
15 × φ min
St ≤ b ó h
(La separación entre estribos no
superará a la dimensión menor del elemento)
Siendo:
•
φ e : diámetro de los estribos.
•
St
•
φ max ;φ min :diámetro de la armadura longitudinal
(separación entre estribos).
más
gruesa y más delgada respectivamente.
Al igual que todo elemento de cimentación
que se apoye en el terreno, deberá descansar
sobre una capa de hormigón de limpieza.
Las armaduras deben de ir ancladas
convenientemente, a partir del eje del soporte
según se indica en el Artículo 66.5 de la EHE.
Si la viga de atado continua uniendo otros
soportes, las correspondientes armaduras
deben solaparse bajo cada uno de ellos,
obteniéndose la longitud de solapo según se
indica en el Artículo 66.6.2 de la EHE.
a) Determinación del esfuerzo axial de
tracción-compresión que debe de soportar
la viga riostra:
- La dimensión mínima de las mismas será
de 25 cm y deben de cumplir la condición de
que no sea necesario comprobar a pandeo
entonces:
ac
× N p ,d
g
ac ≥ 0,08 g :
Nd =
ac ≤ 0,08 g :
N d = 0,05 × N p ,d
b ≥ 25cm ; h ≥ 25cm ; b ≤ h ;
b ≥ 0,05 L
Siendo:
• L: longitud de la viga de atado.
• b x h la dimensiónes de la sección, b horizontal y h el
canto.
Siendo
• Nd: axil de calculo para el dimensionamiento de la viga de
atado.
• N p , d : Mayor valor del axil transmitido por el pilar a las
dos zapatas que unen.
•
ac
g
: valor dependiente de la zona sísmica en que se
sitúe la construcción (ver NCSR-2002).
- Las armaduras longitudinales deberán ir
sujetas por cercos o estribos a separación
constante según se indica en la EHE, Artículos
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 32
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
b) Cálculo de la armadura longitudinal:
Según se desprende del apartado b), La
resistencia de la sección a tracción se confía
exclusivamente a las armaduras, siendo la
función del hormigón la de hacer trabajar
conjuntamente a las armaduras y protegerlas
de la corrosión.
As × f yd ≥ N d
Siendo:
• Nd: axil de calculo para el dimensionamiento de la viga de
atado, calculado según el caso a ó b expuesto
anteriormente
• As = As1 + As 2 : sección total de la armadura.
c) Cuantía geométrica:
As1 = As 2 ≥
c
×b×h
1000
En naves agroindustriales y pequeñas
edificaciones rurales el axil a que se
encuentran sometidas las zapatas, en función
del cual se calcula la armadura longitudinal,
suele ser pequeño, lo que nos lleva a que la
armadura que obtenemos por cálculo según el
apartado a) y b) es generalmente inferior a la
obtenida por cuantía geométrica según el
apartado c), siendo éste último criterio, salvo en
contados casos, el que nos determina la
armadura longitudinal de las vigas de atado.
Siendo:
• c: cuantía geométrica mínima según EHE, Art. 42.3.5.
ls
lb II
Figura 10.32. Figura. Ejemplo de Viga de Atado.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 33
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
10.11. ZAPATAS DE MEDIANERÍA
10.11.1. Introducción
Se usan para aprovechar la máxima
superficie del terreno a edificar y al mismo
tiempo la máxima luz interior posible libre. Para
ello se colocan los pilares en los limites de la
propiedad del terreno en que se va a construir,
coincidentes con el perímetro de la edificación.
En ellas la excentricidad del pilar respecto a
la zapata es total, es decir, la cara exterior del
pilar y la de la zapata coinciden (figura 10.33).
Al encontrarse el pilar descentrado, la
distribución de presiones bajo el terreno no es
uniforme y además la zapata tiende a girar.
Este hecho se agrava cuando existe un
momento y un cortante en la base del pilar y
su efecto se suma al descentramiento del pilar
(por ejemplo en el caso de naves
agroindustriales para determinadas hipótesis
de viento).
10.11.2. Criterios de diseño
Es
recomendable
construirlas
rectangulares, con su dimensión mayor
paralela a la de la medianería para disminuir la
excentricidad (figura 10.33), siendo frecuente
una relación:
b´1
=2
a´1
Los problemas que se presentan en las
zapatas de medianería son, por un lado, que el
pico de presiones supere la tensión admisible
del terreno, o que la zapata no sea estable a
vuelco, o ambos.
La solución más frecuente para evitar el uso
de zapatas de grandes dimensiones consiste
en atarla, mediante una viga centradora, a una
zapata contigua (figura 10.34), o a un macizo
de hormigón (figura 10.35) en caso de que la
zapata contigua no exista (caso frecuente en
naves agroindustriales).
La viga centradora debe de ir armada
convenientemente para soportar los momentos
flectores a que se encuentra sometida. Estas
vigas centradoras suelen ser efectivas hasta
luces de 7-8 m.
En la figura 10.36 se establece el equilibrio
de fuerzas a que se encuentra sometido el
conjunto.
Dada la forma de trabajo de las vigas
centradoras, éstas llevan la armadura de
tracción en la parte superior, disponiéndose de
una armadura mínima en la parte inferior o
comprimida (figura.10.36).
Para el cálculo de la armadura de tracción
de la zapata de medianería, dado que existe
una viga centradora uniendo ambas zapatas,
ésta flecta únicamente en el sentido
perpendicular al plano medio de la viga
centradora (figura 10.37), por tanto, la
armadura se calcula como una zapata aislada
según los métodos expuestos en los capítulos
anteriores. Para ello se considera el vuelo en la
dirección paralela a b´1, calculándose la
armadura paralela a b´1.
El cálculo de la armadura de tracción en la
zapata central se realiza como una zapata
aislada, según los métodos expuestos en los
apartados anteriores. Se debe de tener en
cuenta que la presión de reacción del suelo,
σ 2 , se reduce, debido a la reacción
ascendente de la viga centradora, por ello, para
encontrarnos del lado de la seguridad, es
conveniente prescindir de esta reacción
ascendente y calcularla teniendo en cuenta
únicamente los esfuerzos que le transmite el
pilar situado sobre la misma.
Ver ejercicios 6 y 7. en las pag. 85 y 91.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 34
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
a1´
N
b´1
=2
a´1
a1
b1´
b1
e
N1
Wz
Figura 10.33. Dimensiones y forma de trabajo en una zapata de medianería.
Le
N2
N1
M2
M1
e1
Zapata de medianería
Zapata centradora
V1
N1´
Wz1
Viga centradora
σ1
eR1
N2´
e2
Wz2
h2
σ2
R1
R2
eR2
a1
b1´
V2
Lvc
a2
b1
b2 b2´
a2´
a1´
Figura 10.34. Zapata de medianería unida a una zapata contigua mediante una viga centradora.
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Pág. 35
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
Zapata de
Medianería
a1
Lvc
b1´
Viga Centradora
b1
Macizo de
Hormigón
b2´
a2´
a1´
Figura 10.35. Zapata de medianería equilibrada mediante un macizo de hormigón .
N1
N2
σ1
σ2
R1
R2
Figura 10.36. Deformada del conjunto medianería – zapata centradora.
Viga
centradora
σ1
b´1
Figura 10.37. Deformada para el cálculo de la armadura de tracción en la zapata de medianería.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 36
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
CAPITULO X: CIMENTACIONES SUPERFICIALES
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1: Zapata rígida con distribución trapezoidal de tensiones.
39
EJERCICIO 2:. Zapata flexible con distribución trapezoidal de tensiones.
51
EJERCICIO 3:. Zapata de hormigón en masa.
63
EJERCICIO.4: Zapata flexible con distribución triangular de tensiones.
71
EJERCICIO 5:. Zapata rígida con distribución triangular de tensiones.
79
EJERCICIO 6:. Zapata de medianería equilibrada mediante viga centradora unida a macizo de
hormigón en masa.
85
EJERCICIO 7: Zapata de medianería equilibrada con viga centradora unida a zapata contigua.
93
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 37
= CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES =
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág. 38
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
1. EJERCICIO: Zapata rígida con distribución trapezoidal de tensiones
En una zapata de 2 x 1,5 x 0,5 m, en la que el plano de cimentación se encuentra a 1,5 m de
profundidad y dadas las solicitaciones de cálculo en la base del pilar, en las cuales ya se han tenido
en cuenta los efectos de segundo orden, se pide:
- 1.1.- Estabilidad del elemento de cimentación.
- 1.2.- Armadura de tracción necesaria en la zapata.
- 1.3.- Dimensionar la armadura de espera- zapata pilar.
- 1.4.- Esquema de armado a modo de detalle constructivo a insertar en el plano de cimentación
que defina la obra. Adjuntar un ejemplo de Cuadro de Características según la EHE.
ALZADO
a = 0,40 m
PLANTA
a´ = 2,00 m
a = 0,4 m
Nd
Md
H = 1,50 m
Vd
b = 0,40 m
v =0,8m
b´ = 1,50 m
h = 0,50 m
a´= 2,00 m
Figura 1.1. Geometría del elemento de cimentación.
Datos:
• Nd = 579,2 kN (axil de cálculo transmitido por el pilar)
• HA-25/B/40/IIa (control Estadístico)
• Md = 108 mkN (momento de cálculo transmitido por el pilar)
• B-400-S (control Normal)
• Vd = 72 kN (cortante de cálculo transmitido por el pilar)
• IIa (tipo de ambiente EHE, artículo 8.2.2)
• a´ = 2 m (lado mayor en planta)
3
• 25 kN/m (peso del hormigón armado)
• b´ = 1,5 m (lado menor en planta)
• 18 kN/m3 (peso del terreno)
• h = 0,5 m (canto total de la zapata)
• ϕ = 30 º (ángulo de rozamiento interno del
terreno)
• d = 0,45 m ( canto útil de la zapata)
• Terreno arenoso, sin cohesión
• H = 1,5 m (profundidad del plano de cimentación)
• φ = 16mm (diámetro de las barras de la
armadura de tracción de la zapatal)
• a = 0,4 m (dimensión del pilar paralela al lado mayor)
• σ adm = 250
kN
m2
(tensión admisible del terreno)
• b = 0,4 m (dimensión del pilar paralela al lado menor)
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
39
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
1.1. ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN
Para la comprobación de las tensiones del terreno se considerarán los valores característicos de
las acciones transmitidas por la estructura. Dado que en el problema en cuestión tenemos como dato
los valores de cálculo de las acciones, debemos minorar éstos para la obtención de los valores
característicos. Para ello, aplicamos la simplificación de adoptar un coeficiente de minoración de las
acciones igual a 1,5.
- N=
N d 579,2
=
= 386kN
1,5
1,5
- M =
M d 108
=
= 72mkN
1,5
1,5
-V =
Vd
72
=
= 48kN
1,5 1,5
1.1.1. Acciones en el plano de cimentación
a) Axil en el plano de cimentación (N1):
- N1 = N + WZ + WT = 386 kN + 37,5 kN + 51,12 kN = 474,62 kN
siendo:
3
3
• WZ = (a’ ⋅ b’ ⋅ h) ⋅ γHA = (2 ⋅ 1,5 ⋅ 0,5) m ⋅ 25 kN/m = 37,5 kN (peso de la zapata)
3
• WT = ( a '⋅b ' − ( a ⋅ b )) ⋅ H ⋅ γ T = [((2 ⋅ 1,5) - (0,4 ⋅ 0,4)) x (1,5 - 0,5)] x 18 kN/m = 51,12 kN ( peso del terreno que gravita
[(
]
)
sobre la zapata).
b) Momento en el plano de la cimentación (M1):
- M1 = M + V ⋅ h = 72 mkN + 48 x 0,5 m kN = 96 mkN
1.1.2. Estabilidad frente a hundimiento
a'
6
-e≤
⇒ 0,202 m ≤ 0,333 m ⇒ Distribución trapezoidal de tensiones
Siendo:
• e =
M1
=
N1
•
a'
6
=
2 m
6
96 mkN
474, 62 kN
= 0, 202 m
= 0,333 m
- Tensión máxima en el borde de la zapata:
σ max =
N1  6 × e  474,62  6 × 0,202 
kN
1 +
=
1 +
 = 254,21 2
a´×b´ 
a´  2 × 1,5 
2
m

AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
40
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
- Estabilidad a hundimiento:
Para que la zapata sea estable a hundimiento se debe cumplir que:
σ max ≤ 1,25σ adm
σmáx = 254,21 kN/m2 < 1,25·σadm = 300 kN/m2
⇒ Estable a hundimiento
1,00 m
N1 = 474,62 kN
M1 = 96 mkN
A
σmax = 254,21 kN/m2
Figura 1.2. Distribución de presiones sobre el terreno.
1.1.3. Estabilidad frente a vuelco
Para comprobar la estabilidad a vuelco se toman momentos con respecto al vértice A, situado en
el borde más cargado de la zapata. Ver figura 1.2.
- Csv ≥ 1,5
M .estabiliz.
C sv =
=
M .desestabiliz.
a'
2 = 474,62 × 1 = 4,94
M1
96
N1 ⋅
4,94 ≥ 1,5 → Estable a vuelco
1.1.4. Estabilidad frente a deslizamiento
- Csd ≥ 1,5
C sd =
F .estabiliz.
=
F .desestabiliz.
N 1 ⋅ tg ρ d
V

2
474,62 ⋅ tg  ⋅ 30º 
3
 = 172,74 = 3,60
=
48
48
3,60 ≥ 1,5 → Estable a deslizamiento
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
41
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
1.2. CÁLCULOS ESTRUCTURALES
1.2.1. Clasificación de las cimentaciones
- Tipo de zapata (EHE, Art.59.2.1.):
Vuelo = 0,8 m < 2h =1 m → ZAPATA RÍGIDA
Siendo:
• Vuelo = ( 2 − 0,4) m = 0,8 m
2
• 2⋅h = 2⋅ 0,5 =1 m.
1.2.2. Cálculo de la distribución de tensiones bajo el terreno
Al tratarse de una zapata rígida, si se puede despreciar el peso de la zapata y de las tierras
situadas sobre ésta, el modelo a emplear es el de Bielas y Tirantes (EHE, Art. 59.4.1.1.)
En dicho método, para el cálculo de las tensiones bajo el terreno se toma el valor de cálculo de
las solicitaciones en la base del pilar, despreciando el peso de la zapata y de las tierras contenidas
sobre ésta. Para que se pueda aplicar este método de cálculo, la distribución de tensiones bajo el
terreno debe de uniforme o trapezoidal, no siendo válido para distribuciones triangulares.
- Distribución de tensiones bajo el terreno:
a'
6
e<
→ Distribución trapezoidal de tensiones, se puede aplicar el método de Bielas y Tirantes.
Siendo:
• e=
•
Md
Nd
=
108 kN ⋅ m
579, 2 kN
= 0,186 m (excentricidad de la carga en la unión con la cimentación)
a'
2 m
=
= 0,333 m
6
6
- Valor de las tensiones bajo el terreno:
• σ max =
N d  6 × e  579,2  6 × 0,186 
kN
1 +
=
1 +
 = 301,07 2
a´×b´ 
a´  2 × 1,5 
2
m

• σ med =
Nd
579,2
kN
=
= 193,07 2
a´×b´ 2 × 1,5
m
• σ min =
N d  6 × e  579,2  6 × 0,186 
kN
1 −
=
1 −
 = 85,07 2
a´×b´ 
a´  2 × 1,5 
2
m

AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
42
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
σmax = 301,07 kN/m2
R1d = 370,6 kN
σmed = 193,07 kN/m2
σmin = 85,07 kN/m2
1,00 m
X1= 0,536 m
Figura 1.3. Distribución de presiones sobre el terreno.
1.2.3. Calculo de la armadura de tracción
• R1d =
(σ max + σ med )
2
(301,07 + 193,07) kN / m 2 2
a´
× ( ) × b´=
×
m × 1,5 m = 370,6kN
2
2
2
a × x r + at × xt
• x1 = r
=
a r + at
• Td =
1 a´ 2 a´
a´ a´
× + (σ max − σ med ) × × × ×
2 4
2 2 3 2 =0,536 m
1 a´
a´
σ med × + (σ max − σ med ) × ×
2
2 2
σ med ×
R1d
370,6 kN
× (x1 − 0,25 × a ) =
× (0,536m − 0,25 × 0,4m) = 422,85 kN = A s ·f yd
0,85 × d
0,85 × 0,45 m
AS· fyd =422,85 kN
1.2.3.1. Resistencia de cálculo de los materiales
a) Acero
- f yd =
f yk
γS
=
400 N / mm 2
= 347,83 N / mm 2 (Control Normal y E.L.U.)
1,15
Siendo:
2
• fyk = 400 N/mm (Resistencia característica del acero)
• γS = 1,15 (Coeficiente parcial de seguridad del acero para Estados Límite últimos. EHE, Art.15.3)
• fyd (Resistencia de cálculo del acero. EHE; Art. 38.3)
b) Hormigón
- f cd =
f ck
γc
=
25 N / mm 2
= 16,66 N / mm 2 (Control Estadístico y E.L.U)
1,5
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
43
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
Donde:
2
• fck = 25 N/mm (Resistencia característica del hormigón. EHE, Art.39.2 y 30.5)
• γc = 1,5 (Coeficiente parcial de seguridad del hormigón para Estados Límite últimos. EHE, Art.15.3)
• fcd: ( Resistencia de cálculo del hormigón. EHE; Art. 30.5)
1.2.3.2. Comprobaciones
a) Cuantía mecánica mínima (EHE, Art.42.3.2.):
As ⋅ f yd ≥ 0,25 ⋅
- As ⋅ f yd ≥ 0,25 ×
b´×h
⋅ f cd
6
1500 mm × (500 )mm 2
× 16,66 ⋅ 10 −3 kN / mm 2 = 520,84 kN (cuantía mínima a tracción)
6
b) Cuantía geométrica mínima (EHE, Art.42.3.5.):
EHE, Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
- As1 ≥
2
× 1,50 m × 0,5 m = 1,5 × 10 −3 m 2 = 15cm 2
1000
c) Armadura necesaria:
As1 × f yd = U S1
- AS 1 =
U S1
422,85 ⋅ 10 3 N
=
= 1215,7mm 2 = 12,15cm 2 (Armadura necesaria por cálculo)
f yd 347,83 N / mm 2
- As1 =
U s1
520,84 kN
=
= 1497mm 2 = 14,97cm 2 (Armadura necesaria por cuantía mínima a
f yd 347,83 ⋅ 10 −3 kN / mm 2
tracción)
-
AS 1 ≥ 15cm 2 (Armadura necesaria por cuantía geométrica)
Para cumplir las limitaciones anteriores se toma la mayor de las tres, luego:
AS 1 ≥ 15cm 2
Armando con redondos de
φ = 16mm ;
φ 16mm:
2
Area 1 barra: 2,01 cm ;
Nº barras: 8 en la cara de tracción:
As1 = 16,08cm 2
Se dispondrán, por tanto, 8 barras de diámetro 16 mm, As,real = 16,08 cm2
d) Recubrimientos:
Hemos supuesto un canto útil d = 450 mm → d ´= 50mm , colocando barras de diámetro 16 mm,
nos queda un recubrimiento nominal de 42mm, el cual cumple las exigencias en recubrimiento
adecuadas para el ambiente IIa, siempre y cuando se disponga de hormigón de limpieza.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
44
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
e) Distancia entre redondos.
Dejando un recubrimiento lateral de las barras r = 7 cm, la separación horizontal entre las mismas
es:
- Sh =
b'−(2 × r ) − n × ∅ 1500 − (2 × 70) − (8 × 16)
= 176 mm = 17,6 cm
=
8 −1
n −1
b = 40 cm
Armado en dirección X:
8 Ø 16 c/19,2 cm
d = 45,0 cm
Sh = 17,6 cm
r = 7,0 cm
Ø = 1,6 cm
h = 50,0 cm
19,2 cm
b´ = 150,0 cm
Figura 1.4. Armado de la sección en la dirección paralela a a´ (en dirección X).
La separación horizontal entre barras debe de cumplir una serie de limitaciones contempladas en
la EHE, Art.66.4.1. y Art.42.3.1. :
Condiciones que debe cumplir
Separación horizontal:
Sh = 17,6 cm
• ≥ 2 cm
Cumple
• > ∅ = 1,6 cm
Cumple
• 0,8 × D = 0,8 × 1,6 = 1,28 cm
Cumple
• < 30 cm
Cumple
1.2.4. Anclaje de la armadura de tracción
La armadura se dispondrá sin reducción de sección en toda la longitud de la zapata (EHE, Art.
59.4.1.1.) y se anclará según los criterios establecidos en la EHE, Art. 66. Siguiendo dichos criterios,
elegimos anclar en patilla, teniendo en cuenta que prolongación de la misma deberá ser al menos de
5 φ.
a) Determinación de la longitud de anclaje real:
La longitud de anclaje se empieza a contabilizar a partir de la recta de aplicación de R1d .
la =
a´
200
− x1 − r =
− 53,6 − 7 = 39,4cm
2
2
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
45
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
>5Ø
R1d
r = 7,0 cm
X1 = 53,6 cm
la = 39,4 cm
Figura 1.5. Anclaje de los redondos.
b) Determinación de la longitud básica y la longitud neta de anclaje (Art 66.5 EHE):
- Longitud básica de anclaje:
lbI = m × ∅ 2 >
f yk
20
×∅
⇒ lbl = 32 cm
Siendo:
• m×∅
•
f yk
20
2
2
= 12 × 1,6 =30,72 cm (m: coeficiente tabla 10.5; φ: diámetro barras armadura de la zapata en cm)
× ∅ = (400 /20) × 1,6 =32 cm(φ=
diámetro barras armadura de la zapata en cm)
Al ser lbl<la, el anclaje de la armadura es suficiente, no siendo preciso calcular lb,neta, ya que
siempre tomará un valor menor. Únicamente habría que comprobar que la longitud de anclaje es
superior a las limitaciones impuestas en la EHE, Art. 66.5.1.
No obstante, a continuación se procede a la obtención de lb ,neta a modo de ejemplo:
- Longitud neta de anclaje (longitud teórica necesaria):
- lb ,neta = lbI ×
AS
AS ,real
× β = 32 ×
12,15
× 0,7 = 16,93cm (anclaje en patilla)
16,08
Siendo
•
•
AS : Sección de armadura necesaria por cálculo.
AS , real : armadura real.
Limitaciones del artículo 66.5.1. de la EHE, según la cual la longitud de anclaje no debe de ser
inferior a los siguientes valores:
- 10 φ = 10 x 1,6 =16 cm
- 15 cm
⇒ l b , neta = 16,93cm
- 1/3 lbl = 1/3x 32=10,7 cm
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
46
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
Nos encontramos por tanto en el caso en que la longitud de anclaje de las barras ( l a ), es mayor
que la longitud teórica necesaria ( l b, neta ), por tanto, las barras de la armadura de tracción se
encuentran ancladas convenientemente. Si ocurriera el caso contrario, habría que prolongar las
barras verticalmente hasta que l a ≥ l b , neta .
1.3. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA DE ESPERA ZAPATA-PILAR
Datos referentes al pilar que descansa sobre la zapata:
•
φ = 16mm (diámetro barras armadura longitudinal del pilar)
• AS 1 =
el pilar)
•
AS 2 = 2,09cm 2 (Armadura necesaria por cálculo en
AS 1, Re al = AS 2, real = 4,02cm 2 (2 barras de φ = 16mm en
cada cara)
• HA-25/B/40/IIa (Hormigón del pilar)
• B-400-S (Acero barras del pilar)
La armadura de espera se compondrá del mismo número de barras y con el mismo diámetro, que
la armadura del pilar.
La parte de la armadura de espera anclada en la cimentación (entre el emparrillado de la zapata y
la cara superior de la zapata) debe de cumplir una longitud de anclaje mínima en el interior de la
misma (figura 1.6.).
Por otra parte, el solape de la armadura de espera con la armadura del pilar debe de ser superior
a un determinado valor l s .
a) Comprobación de la longitud de anclaje
- Longitud real de anclaje de las barras en el interior de la zapata:
l a = d − 1,5 × φ = 45 − (1,5 × 1,6) = 42,6cm (distancia entre el emparrillado y la cara superior de la zapata)
- Longitud básica de anclaje:
lbI = m × ∅ 2 >
f yk
20
×∅
⇒ lbl = 32 cm
Siendo:
•
•
m × ∅ 2 = 12 × 1,62 =30,72 cm (m: coeficiente tabla 10.5.; φ: diámetro barras armadura de la zapata en cm)
f yk
× ∅ = (400 /20) × 1,6 =32 cm(φ= diámetro barras armadura de la zapata en cm)
20
- Longitud neta de anclaje ( longitud teórica necesaria):
lb,neta = lbI ×
•
AS
2,09
× β = 32 ×
× 1 = 16,6cm (anclaje en patilla)
AS ,real
4,02
Siendo:
β = 1 (coeficiente EHE, tabla 66.5.2.b; anclaje en patilla en barras trabajando a compresión)
• AS : Sección de armadura necesaria por cálculo en el pilar.
• AS , real : armadura real en el pilar
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
47
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
Limitaciones, EHE, Art. 66.5.1., según el cual, la longitud de anclaje no debe de ser inferior a los
siguientes valores:
- 10 φ = 10 x 1,6 =16 cm
⇒ l b , neta = 21,3cm
- 15 cm
- 2/3 lbl = 2/3x 32= 21,3 cm
l a = 42,6cm ≥ l b , neta = 21,3cm ⇒ El anclaje de la armadura de espera en el interior de la zapata es
suficiente
b) Calculo de la longitud de solapo armadura de espera-armadura del pilar
l s = α × lb,neta = 1,3 × 21,3 = 27,69 ≈ 28cm
•
Siendo:
α = 1,3 (coeficiente tabla 10.8.; a>10φ ; 50% de barras solapadas trabajando a tracción)
• l b , neta = 21,3cm (longitud neta de anclaje obtenida en el apartado anterior)
1.4. ESQUEMA DE ARMADO
CORTE B-B´
CORTE A-A´
h = 50 cm
ls = 28 cm
Armadura
de espera
la = 42,6 cm
>5Ø
10 cm
Hormigón
de limpieza
HM-20; e=10cm
Armado en dirección X:
8 Ø 16 c/19,2 cm
25,9 cm
19,2 cm
A
Armado en dirección Y:
8 Ø 16 c/25,9 cm
B´
b´ = 150 cm
B
ZAPATAS TIPO 1
Dimensiones
a´ (cm)
200
Hormigón limpieza
Armadura
b´ (cm)
150
Tipo
HM-10
h (cm)
50
Espesor (cm)
10
En dirección X En dirección Y
8 Ø 16 mm
8 Ø 16 mm
Y
X
a´ = 200 cm
A´
Figura 1.6. Esquema de armado.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
48
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
CUADRO DE CARACTERÍSTICAS SEGÚN LA INSTRUCCIÓN "EHE"
ELEMENTO
ESTRUCTURAL
Cimentación
Tipo de
hormigón
Nivel de
control
HA-25/B/40/IIa
ESTADÍSTICO
Tipo de
acero
Nivel de
control
B 400 S
NORMAL
Recubrimiento nominal (mm)
lateral
superior
70
inferior
42
Coefic. parcial
de seguridad ( c )
Hormigón
1,50
Coefic. parcial
de seguridad ( s )
Acero
1,15
EJECUCIÓN
Nivel de
control de
la ejecución
NORMAL
Coeficientes parciales de seguridad para Estados Límite Últimos
Situación permanente o transitoria
TIPO DE
ACCIÓN
Efecto favorable
Variable
Permanente
Ef. desfavorable
Q=
0,00
Q
= 1,60
G
=1
G
= 1,50
DATOS GEOTÉCNICOS
Tensión admisible del terreno
adm = 250 MPa
Figura 1.7. Cuadro de características según la EHE.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
49
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
50
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
2. EJERCICIO. Zapata flexible con distribución trapezoidal de tensiones
Comprobar la estabilidad del elemento de cimentación y realizar los cálculos estructurales en una
zapata de 2 x 1,5 x 0,4 m, sabiendo que la profundidad del plano de cimentación se encuentra a 1 m,
dados los valores característicos de las solicitaciones en la base del pilar.
2.
PLANTA
ALZADO
a´ = 2,00 m
N
0,35 m
M
V
0,35 m
b´ = 1,50 m
H = 1,00 m
v = 0,825m
h = 0,40 m
a´= 2,00 m
Figura 2.1. Geometría del elemento de cimentación.
Datos:
• N = 350 kN (axil característico transmitido por el pilar)
• HA-25/B/40/IIa (control Estadístico)
• M = 80 mkN ( momento característico transmitido por el
pilar)
• f cd = 16,66 N / mm 2 (Resistencia de cálculo del
hormigón. EHE; Art. 30.5)
• V = 25 kN (cortante característico transmitido por el pilar)
• B-400-S (control Normal)
• a´ = 2 m (lado mayor en planta)
• f yd = 347,83 N / mm 2 (Resistencia de cálculo del
acero. EHE; Art. 38.3)
• b´ = 1,5 m (lado menor en planta)
• IIa (tipo de ambiente EHE, artículo 8.2.2)
• h = 0,4 m (canto total de la zapata)
• 25 kN/m3 (peso del hormigón armado)
• d = 0,35 m ( canto útil de la zapata)
3
• 18 kN/m (peso del terreno)
• H = 1 m (profundidad del plano de cimentación)
• ϕ = 35º (ángulo de rozamiento interno del
terreno)
• a = 0,35 m (dimensión del pilar paralela al lado mayor)
• Terreno arenoso, sin cohesión
• b = 0,35 m (dimensión del pilar paralela al lado menor)
• φ = 16mm (diámetro de las barras de la
armadura de tracción de la zapatal)
• γ f = 1,6 (coeficiente parcial de seguridad usado para la
minoración de las acciones de cálculo en la base del pilar)
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
• σ adm = 200
kN (tensión admisible del terreno)
m2
Pág.
51
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
2.1. ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN
2.1.1. Acciones en el plano de cimentación
a) Axil en el plano de cimentación (N1):
- N1 = N + WZ + WT = 350 kN + 30 kN + 31,08 kN = 411,08 kN
siendo:
3
3
• WZ = (a’ ⋅ b’ ⋅ h) ⋅ γHA = (2 ⋅ 1,5 ⋅ 0,4) m ⋅ 25 kN/m = 30 kN (peso de la zapata)
3
• WT = ((a '⋅b') − ( a ⋅ b)) ⋅ H ⋅ γ t = [((2 ⋅ 1,5) - (0,35 ⋅ 0,35)) x (1 - 0,4)] x 18 kN/m = 31,08 kN ( peso del terreno que gravita
[
]
sobre la zapata).
b) Momento en el plano de la cimentación (M1):
- M1 = M + V⋅h = 80 mkN + 25 kN ⋅ 0,4 m = 90 mkN
2.1.2. Estabilidad frente a hundimiento
-e≤
a'
6
⇒ 0,219 m ≤ 0,333 m
⇒ Distribución trapezoidal de tensiones
Siendo:
• e=
•
M 1 = 90 mkN
= 0,219 m
N 1 411,08 kN
2 m
a'
=
= 0,333 m
6
6
- Calculo de la distribución de presiones sobre el terreno:
• σ max =
N1  6 × e  411,08  6 × 0,219 
kN
1 +
=
1 +
 = 227,03 2
a´×b´ 
a´  2 × 1,5 
2
m

• σ med =
N1
411,08
kN
=
= 137,03 2
a´×b´ 2 × 1,5
m
• σ min =
N1  6 × e  411,08  6 × 0,219 
kN
1 −
=
1 −
 = 47,03 2
a´×b´ 
a´  2 × 1,5 
2
m

- Estabilidad a hundimiento:
σ max ≤ 1,25σ adm
σ med ≤ σ adm
σmáx = 227,03 kN/m2 < 1,25·σadm = 250 kN/m2
⇒ Estable a hundimiento
2
2
σmed = 137,03 kN/m < σadm = 200 kN/m
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
52
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
1,00 m
N1 = 411,08 kN
M1 = 90 mkN
A
σmin = 47,03 kN/m2
σmed = 137,03 kN/m2
σmax = 227,03 kN/m2
Figura 2.2. Distribución de presiones sobre el terreno.
2.1.3. Estabilidad frente a vuelco
Tomando momentos con respecto al vértice A, ver figura 2.2.
- Csv ≥ 1,5
a'
2
N1 ⋅
411,08 ⋅
M .estabiliz.
2 =
2 = 4,57
C sv =
=
M .desestabiliz.
M1
90
4,57 ≥ 1,5
→ Estable a vuelco
2.1.4. Estabilidad frente a deslizamiento
- Csd ≥ 1,5
C sd
N1 ⋅ tg ρ d
F .estabiliz.
=
=
=
V
F .desestabiliz.
2

411,08 ⋅ tg  ⋅ 35º 
3
 = 177,32 = 7,09
25
25
7,09 ≥ 1,5 → Estable a deslizamiento
2.2. CÁLCULOS ESTRUCTURALES
2.2.1. Clasificación de las cimentaciones
- Tipo de zapata (EHE, Art.59.2.1.):
Vuelo = 0,825 m > 2h =0,8 m → ZAPATA FLEXIBLE
Siendo:
• Vuelo = ( 2 − 0,35) m = 0,825 m
2
• 2⋅h = 2⋅ 0,4 =0,8 m.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
53
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
2.2.2. Solicitaciones en la sección de referencia (S1)
EHE, Art 59.4.2.1.1.: se considerará una sección de referencia para el cálculo a flexión paralela a
la cara del soporte y situada a 0,15a detrás de dicha cara; siendo “a” la dimensión del soporte
perpendicular al plano de la sección de referencia. Ver figura 2.3.
a) Valor de la tensión del terreno bajo la sección de referencia:
kN
 (227,03 − 47,03) × (2 − 0,878) 
 = 148,05 2 (la obtenemos por semejanza de triángulos)
2
m


σ s1 = 47,03 + 
b) Obtención del Momento en la sección de referencia ( M S 1 ):
- Momento debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
0,878


M ter = M R1 + M R 2 = 148 ,05 kN / m 2 × 0,878 m ×
m × 1,5m  +
2


(
)
 227 ,03 kN / m 2 − 148 ,05 kN / m 2 × 0,878 m 2

+
× × 0,878 m × 1,5m  = 115 ,91mkN


2
3


- Momento debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata:
M WT = − (0,878 × 0,6 × 1,5)m 3 × 18
kN 0,878
×
m = −6,15 mkN
2
m3
- Momento debido al peso de la zapata:
M WZ = −(0,878 × 0,4 × 1,5)m 3 × 25
kN 0,878
×
m = −5,78mkN
2
m3
- Momento característico en la sección de referencia:
M S1 = M terr + M WT + M WZ = 115,91 − 6,15 − 5,78 = 103,98mkN
Momento de cálculo en la sección de referencia:
M d = M s1 × γ f = 103,98 × 1,6 = 166,37 mkN
0,878 m
WT
0,15a = 0,053 m
S1
0,600 m
WZ
0,878 m
0,400 m
Ms1
σS1 = 148,05 kN/m2
σS1
σmin = 47,03 kN/m2
R1
R2
σmax -σS1
σmax = 227,03 kN/m2
Figura 2.3. Momento en la sección de referencia S1.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
54
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
2.2.3. Obtención de la armadura de tracción: Cálculo a flexión simple. (EHE Anejo 8.3)
Para poder utilizar el método simplificado propuesto en dicho anejo, se debe cumplir que:
d’ ≤
- U 0 = 0,85 × f cd × b × d = 0,85 × 16667
kN
× 1,5m × 0,35m = 7437,20kN
m2
- M d = 166,37 ≤ 0,375U o d = 976,13mkN



- U s1 = U 0 1 − 1 −
2M d
U 0d
h
0,4
→ 0,05≤
= 0,057
7
7
→ Caso 1.



 = 7437,21 − 1 − 2 × 166,37  = 491,59kN (armadura por cálculo)


7437,2 × 0,35 


2.2.4. Comprobaciones
a) Cuantía mecánica mínima (Art.42.3.2. de la EHE).
As ⋅ f yd ≥ 0,25 ⋅
b´×h
⋅ f cd
6
2
- As ⋅ f yd ≥ 0,25 × 1500 mm × (400 )mm × 16,66 ⋅ 10 −3 kN / mm 2 = 416,65 kN (cuantía mínima a tracción)
6
b) Cuantía geométrica mínima (Art.42.3.5. de la EHE).
EHE , Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
- As1 ≥
2
× 1,50 m × 0,4 m = 1,2 × 10 −3 m 2 = 12cm 2
1000
- Armadura necesaria:
As1 × f yd = U S1
- AS 1 =
U S1
491,59 ⋅ 10 3 N
=
= 1413mm 2 = 14,13cm 2 (Armadura necesaria por cálculo)
f yd 347,83 N / mm 2
- As1 =
U s1
416,65 kN
=
= 1198mm 2 = 11,98cm 2 (Armadura necesaria por cuantía mínima a
f yd 347,83 ⋅ 10 −3 kN / mm 2
tracción)
2
- AS 1 ≥ 12cm (Armadura necesaria por cuantía geométrica)
La armadura debe de cumplir las tres limitaciones, luego:
AS 1 ≥ 14,13cm 2
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
55
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
Armando con redondos de
φ = 16mm ;
φ 16mm:
Area 1 barra: 2,01 cm2;
Nº barras: 8 en la cara de tracción:
As1 = 16,08cm 2
Se dispondrán, por tanto, 8 barras de diámetro 16 mm, As,real = 16,08 cm2
c) Recubrimientos y distancia entre redondos
Se realiza la comprobación de modo similar al ejercicio anterior.
d) Comprobación a cortante:
Al tratarse de una zapata flexible se debe de realizar una comprobación a cortante en una sección
de referencia, S 2 , que se situará a un canto útil contado a partir de la cara del pilar, en el caso de
pilares de hormigón. (EHE, Art. 59.4.2.1.2.1.). Ver figura 2.4.
- Obtención del esfuerzo cortante de cálculo (Vd) en la sección de referencia(S2):
• Tensión en la sección de referencia S2:
kN
 (227,03 − 47,03) × (2 − 0,475) 
 = 184,28 2
2
m


σ S 2 = 47,03 + 
• Cortante debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
) (
)

 227,03kN / m2 − 184,28kN / m2 × 0,475m
Vter = VR1 + VR 2 = 184,28 kN / m2 × 0,475m × 1,5m + 
× 1,5m  = 146,53kN
2


(
• Cortante debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata:
VWT = −(0,475 × 0,6 × 1,5)m 3 × 18
kN
= −7,70kN
m3
• Cortante debido al peso de la zapata:
VWZ = −(0,475 × 0,4 × 1,5)m 3 × 25
kN
= −7,13kN
m3
• Cortante característico en la sección de referencia:
V s1 = Vterr + VWT + VWZ = 146,53 − 7,70 − 7,13 = 131,71kN
• Cortante de cálculo en la sección de referencia:
Vd = Vs1 × γ f = 131,71 × 1,6 = 210,73kN
Vrd = Vd = 210,73kN
Siendo:
• Vd: valor de cálculo del esfuerzo cortante en la sección de referencia S2.
• Vrd: esfuerzo cortante efectivo de cálculo.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
56
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
0,475 m
WT
0,475 m
d = 0,35 m
S2
WZ
Vs2
0,600 m
0,400 m
σmin = 47,03 kN/m2
σS2
σS2 = 184,28 kN/m2
R1
R2
σmax -σS2
σmax = 227,03 kN/m2
Figura 2.4. Esfuerzo cortante en la sección de referencia S2.
En piezas sin armadura de cortante no resulta necesaria la comprobación a compresión oblicua
del alma, por tanto la única comprobación a realizar es que el cortante en la sección sea menor que la
resistencia de la misma a tracción en el alma (EHE, Art. 44.2.3.).
Vrd ≤ Vu 2
Siendo:
• Vu2: esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma.
• Vrd: esfuerzo cortante efectivo de cálculo.
• Obtención de Vu2 (Art.44.2.3.2.1.EHE):
[
Vu 2 = 0,12 × ξ × (100 × ρ1 × f ck )
1/ 3
]× b´×d ⇒
⇒ Vu 2 = [0,12 × 1,756 × (100 × 0,0031 × 25)1 / 3 ]× 1500 × 350 = 218040 N = 218,04kN
Vrd = 210,73 ≤ Vu 2 = 218,04
→ La pieza no se agota por cortante
Siendo:
200
200
= 1+
= 1,756 con d en mm.
d
350
AS
16,08cm 2
• ρ1 =
=
= 0,0031 < 0,02 ( cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada)
b´×d
150 × 35
•
ξ = 1+
• As : área real de la armadura longitudinal.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
57
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
e) Comprobación del estado límite de punzonamiento (EHE, Art. 46.2)
τ sd ≤ τ rd
Siendo
•
•
τ sd : tensión tangencial de cálculo en el perímetro crítico.
τ rd : tensión máxima resistente en el perímetro crítico
1.- Determinación del perímetro y área crítica (EHE, Art.46.1):
Para que el perímetro crítico quede dentro, el vuelo de la zapata en las dos direcciones debe de
ser mayor que dos veces el canto útil de la misma:
V > 2d
Vuelo en la dirección de a´: 0,825m> 2d = 0,70m
Vuelo en la dirección de b´:0,575m < 2d = 0,70m ⇒ El perímetro crítico sale fuera.
No es preciso comprobar a punzonamiento ya que el perímetro crítico queda fuera, no
obstante se realiza en los siguientes apartados a modo de ejemplo.
u1 = 2a + 2b + (2π × 2d ) = 2 × 0,35 + 2 × 0,35 + (4π × 0,35) = 5,798m (perímetro crítico)
(
)
Au1 = 4 × (0,35 × 0,35) + (0,35 × 0,35) + 4π × 0,35 2 = 2,642m 2 (área crítica)
Siendo:
• u1: longitud del perímetro crítico.
• Au1: área interior al perímetro crítico.
• a: la dimensión del soporte en la dirección paralela a la dimensión a´ del elemento de cimentación.
• b: la dimensión del soporte en la dirección paralela a la dimensión b´ del elemento de cimentación.
• d: canto útil.
PLANTA
a´ = 2,00 m
0,82 m
2d = 0,70 m
0,58 m
0,35 m
b´ = 1,50 m
0,35 m
Perímetro crítico
Figura 2.5. Perímetro crítico.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
58
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
2.- Determinación de la tensión tangencial de cálculo en el perímetro crítico.
τ sd =
Fsd ,ef
u1d
=
644
kN
= 317,338 2
5,798 × 0,35
m
Siendo:
•
Fsd ,ef = β × Fsd = 1,15 × 560 = 644kN ( Soporte interior: β=1,15;Tabla 10.7 ó EHE, Art. 46.1. y 46.2.)
• Fsd = N d = 350 × 1,6 = 560kN
3.- Determinación de la tensión máxima resistente en el perímetro crítico:
1
1
τ rd = 0,12 × ξ × (100 ρ1 f ck ) 3 = 0,12 × 1,756 × (100 × 0,0031 × 25) 3 = 0,4153
N
kN
= 415,3 2
2
mm
m
Siendo:
•
τ rd : tensión máxima en el perímetro crítico, con fck en N/mm2.
•
ξ = 1+
•
ρ 1 : cuatía geométrica de la armadura longitud de la losa, adoptando la simplificación de considerar únicamente la cuantía
200
200
= 1+
= 1,756 con d en mm.
d
350
geométrica de la sección en la dirección perpendicular a a´, con lo cual
ρ1 = ρ x
τ sd = 317,38 ≤ τ rd = 415,31 → Resiste a punzonamiento
2.2.5. Anclaje de la armadura de tracción
La armadura deberá estar anclada según el más desfavorable de los dos casos siguientes:
1º- Longitud de anclaje para el primer caso (ver figura 16.6):
El anclaje de las armaduras se contabiliza a partir de una sección S2, situada a un canto útil a
partir de la sección de referencia S1.
- Determinación de la longitud de anclaje real:
la =
200 − 35
a´ a
− 35 − 7 + 0,15 × 35 = 45,75cm
− − d − r + 0,15a =
2 2
2
0,15a= 5,25 cm
S1
S2
d = 35cm
la = 45,75 cm
r = 7 cm
Figura 2.6. Longitud de anclaje en el caso 1.
- Determinación de la longitud básica y la longitud neta de anclaje (EHE, Art. 66.5. ):
• Longitud básica de anclaje:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
59
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
l bI = m × ∅ 2 >
f yk
20
×∅
⇒ lbl = 32 cm
Siendo:
m × ∅ 2 = 12 × 1,62 =30,72 cm (m: coeficiente EHE, tabla 66.5.2.a; φ: diámetro barras armadura de la zapata en cm)
f yk
•
× ∅ = (400 /20) × 1,6 =32 cm ( φ: diámetro barras armadura de la zapata en cm)
20
•
Al ser lbl<la, el anclaje de la armadura es suficiente, no siendo preciso calcular lb,neta, ya que
siempre tomará un valor menor. Únicamente habría que comprobar que la longitud de anclaje es
superior a las limitaciones impuestas en la EHE, Art. 66.5.1.
No obstante, a continuación se procede a la obtención de l b, neta a modo de ejemplo.
• Longitud neta de anclaje:
- lb,neta = lbI ×
AS
14,13
× β = 32 ×
× 1 = 28,11cm (anclaje en prolongación recta)
AS ,real
16,08
Siendo
• AS : Sección de armadura necesaria por cálculo.
• AS , real : armadura real.
- Limitaciones, EHE, Art. 66.5.1., según el cual la longitud de anclaje no debe de ser inferior a los
siguientes valores:
• 10 φ = 10 x 1,6 =16 cm
⇒ l b , neta = 28,11cm
• 15 cm
• 1/3 lbl = 1/3x 32=10,7 cm
Nos encontramos por tanto en el caso en que la longitud de anclaje de las barras ( l a ), es mayor
que la longitud teórica necesaria ( l b, neta ), por tanto, las barras de la armadura de tracción se
encuentran ancladas convenientemente.
l a ≥ l b , neta
⇒
Para el caso ,1 el anclaje en prolongación recta es correcto.
2º- Longitud de anclaje para el segundo caso (ver figura 2.7):
Anclaremos a partir de una sección de referencia S3 situada a medio canto del borde de la
zapata, para una fuerza:
Td = Rd ×
v + 0,15a − 0,25h
0,85h
- Determinación de la longitud de anclaje real:
l a = 0,5h − r = 0,5 × 40 − 7 = 13cm
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
60
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
- Determinación de Td:
• σ * max = σ max × γ f = 227,03 × 1,6 = 363,25
kN
m2
• Rd = (0,5 × h) × σ * max × b´ = 0,5 × 0,40 × 363,25 × 1,5 = 109kN
Td = Rd ×
v + 0,15a − 0,25h
0,825 + 0,15 × 0,35 − 0,25 × 0,4
= 109 ×
= 249,19kN
0,85h
0,85 × 0,4
- Armadura necesaria para la fuerza Td:
ATd =
Td
249,19
=
= 0,000716m 2 = 7,16cm 2
f yd 347826
0,5h = 20,0 cm
S3
la = 13,0 cm
r = 7,0 cm
Rd
σ∗max = 363,25 kN/m2
Figura 2.7. Figura. Longitud de anclaje en el caso 2.
- Cálculo de la longitud neta de anclaje en prolongación recta:
lb,neta = lbI ×
ATd
7,16
= 32 ×
= 14,3cm
AS ,real
16,08
- Limitaciones, EHE Art. 66.5.1., según el cual la longitud de anclaje no debe de ser inferior a los
siguientes valores:
• 10 φ = 10 x 1,6 =16 cm
• 15 cm
⇒ l b , neta = 16cm
• 1/3 lbl = 1/3x 32=10,7 cm
Nos encontramos en el caso en que la longitud de anclaje de las barras ( l a ), es menor que la
longitud teórica necesaria ( lb,neta ), por tanto, las barras de la armadura de tracción, siguiendo éste
criterio, no se encuentran ancladas convenientemente, siendo por tanto el más desfavorable el caso
2.
- Cálculo de la longitud neta de anclaje en patilla:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
61
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
l b , neta = β × l bI ×
ATd
7,16
= 0,7 × 32 ×
= 9,97cm
AS , real
16,08
- Limitaciones, EHE Art. 66.5.1., según el cual la longitud de anclaje no debe de ser inferior a los
siguientes valores:
• 10 φ = 10 x 1,6 =16 cm
⇒ lb,neta = 16cm
• 15 cm
• 1/3 lbl = 1/3x 32=10,7 cm
Anclando en patilla, la longitud de anclaje de las barras ( l a ), es menor que la longitud teórica
necesaria ( l b, neta ), por tanto, con éste dispositivo de anclaje tampoco se encuentran ancladas
correctamente las barras.
Para el anclaje correcto de las barras será preciso prolongar verticalmente la patilla. Debe tenerse
en cuenta que el anclaje en patilla implica, ya de por si, una prolongación vertical mínima ≥ 5φ ; a
ésta prolongación vertical mínima le añadiremos una prolongación vertical adicional hasta igualar la
longitud de anclaje real a la longitud neta de anclaje (longitud teórica necesaria).
l a < lb,neta : anclamos en patilla, prolongando la barra verticalmente una longitud:
l p = (lb,neta − l a ) + 5φ = (16 − 13) + (5 × 1,6) = 11cm
0,5h = 20,0 cm
S3
lp = 11,0 cm
la = 13,0 cm
r = 7,0 cm
Figura 2.8. Anclaje de la armadura de tracción.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
62
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
3. EJERCICIO. Zapata de hormigón en masa
Comprobar la estabilidad de la zapata y realizar las comprobaciones estructurales necesarias para
una zapata de hormigón en masa, de sección rectangular, dados los valores característicos de las
acciones y cuyas predimensiones se muestran en la figura 3.1.
3.
ALZADO
PLANTA
N
M
a´ = 1,80 m
0,40 m
V
0,40 m
b´ = 1,00 m
0,60 m
Figura 3.1. Geometría del elemento de cimentación.
Datos:
• N = 150 kN (axil de característico transmitido por el pilar)
• HM-20 (control Estadístico)
• M = 27 mkN (momento de característico transmitido por el
pilar)
• 23 kN/m3 (peso del hormigón en masa)
• V = 18 kN (cortante de característico transmitido por el pilar)
3
• 18 kN/m (peso del terreno)
• a´ = 1,4 m (lado mayor en planta)
• ϕ = 30º (rozamiento interno del terreno)
• b´ = 1 m (lado menor en planta)
• Terreno arenoso, sin cohesión
• h = 0,6 m (canto total de la zapata)
• γ f = 1,6 (coeficiente parcial de seguridad
usado para la minoración de las acciones de
cálculo en la base del pilar)
• H = 0,6 m (profundidad del plano de cimentación)
• a = 0,4 m (dimensión del pilar paralela al lado mayor)
• b = 0,4 m (dimensión del pilar paralela al lado menor)
• σ adm = 200 kN (tensión admisible del terreno)
m2
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
63
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
3.1. ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN
3.1.1. Acciones en el plano de cimentación
a) Axil en el plano de cimentación (N1):
- N1 = N + WZ + WT = 150 kN + 24,84 kN + 0 = 174,84 kN
siendo:
3
3
• WZ = (a’ ⋅ b’ ⋅ h) ⋅ γHA = (1,8 ⋅ 1 ⋅ 0,6) m ⋅ 23 kN/m = 24,84 kN (peso de la zapata)
• WT = 0 ( peso del terreno que gravita sobre la zapata, la cara superior de la zapata se encuentra al nivel del terreno).
b) Momento en el plano de la cimentación (M1):
- M1 = M + V ⋅ h = 27 mkN + 18 kN × 0,6 m = 37,8 mkN
3.1.2. Estabilidad frente a hundimiento
-e≤
a'
6
⇒ 0,216 m ≤ 0,3 m ⇒ Distribución trapezoidal de tensiones
Siendo:
• e=
•
M 1 = 37,8 mkN
= 0,216 m
N 1 174,84 kN
a'
1,8 m
=
= 0,3 m
6
6
- Distribución de presiones bajo el terreno:
• σ max =
N1  6 × e  174,84  6 × 0,216 
kN
1 +
 = 167,13 2
=
1 +
a´×b´ 
a´  1,8 × 1 
1,8 
m
• σ med =
N1
174,84
kN
=
= 97,13 2
a´×b´ 1,8 × 1
m
• σ min =
N1  6 × e  174,84  6 × 0,216 
kN
 = 27,13 2
1 −
1 −
=
a´×b´ 
a´  1,8 × 1 
1,8 
m
- Comprobación de la estabilidad a hundimiento:
σ max ≤ 1,25σ adm
σmáx = 167,133 kN/m2 < 1,25·σadm = 250 kN/m2
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
⇒ Estable a hundimiento
Pág.
64
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
0,90 m
N1 = 174,84 kN
0,60 m
M1 = 37,8 mkN
A
σmin = 27,13 kN/m2
σmed = 97,13 kN/m2
σmax = 167,13 kN/m2
Figura 3.2. Distribución de presiones sobre el terreno.
3.1.3. Estabilidad frente a vuelco
- Csv ≥ 1,5
a'
1,8
N1 ⋅
174,84 ⋅
M .estabiliz.
2
2 = 4,16
C sv =
=
=
M .desestabiliz.
M1
37,8
4,16 ≥ 1,5 → Estable a vuelco
3.1.4. Estabilidad frente a deslizamiento
- Csd ≥ 1,5
C sd
N 1 ⋅ tg ρ d
F .estabiliz.
=
=
=
F .desestabiliz.
V

2
174,84 ⋅ tg  ⋅ 30º 
3
 = 157,356 = 3,54

18
18
3,54 ≥ 1,5 → Estable a deslizamiento
3.2. CÁLCULOS ESTRUCTURALES
3.2.1. Resistencia a tracción en la sección de referencia
EHE, Art 59.7.: se considerará una sección de referencia para el cálculo a flexión paralela a la cara
del soporte y situada a 0,15a detrás de dicha cara; siendo “a” la dimensión del soporte perpendicular
al plano de la sección de referencia. Ver figura 3.3.
a) Valor de la tensión del terreno bajo la sección de referencia:
kN
 (167,13 − 27,13) × (1,8 − 0,76) 
 = 108,022 2
1,8
m


σ s1 = 27,13 + 
(la
obtenemos
por
semejanza
de
triángulos)
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
65
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
b) Obtención del Momento en la sección de referencia ( M S1 ):
- Momento debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
M ter = M R1 + M R 2 =
(
)
2
2

0,76

  167,13kN / m −108kN / m × 0,76m 2
= 108kN / m 2 × 0,76m ×
m ×1m  + 
× × 0,76m ×1m  = 42,58mkN
2
3
2

 

- Momento debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata:
• M WT = 0 mkN
- Momento debido al peso de la zapata:
M WZ = − (0 , 76 × 0 , 6 × 1 )m 3 × 23
kN
0 , 76
×
m = − 3 , 99 mkN
2
m3
- Momento característico en la sección de referencia:
M S 1 = M terr + M WT + M WZ = 42,58 + 0 − 3,99 = 38,58mkN
- Momento de cálculo en la sección de referencia:
M d = M s1 × γ f = 38,59 × 1,6 = 61,75mkN
c) Máxima tensión de tracción en la sección de referencia:
σt =
6M d
6 × 61,75mkN
kN
N
=
= 1029,13 2 = 1,0291
2
2
2
b´×h
m
mm 2
1m × 0,6 m
d) Resistencia de cálculo del hormigón a tracción (EHE, Art. 39.1.):
f ct ,d =
f ct ,k
γc
=
0,21 × 3 f ck
2
γc
=
0,21 × 3 20 2
N
= 1,03
1,5
mm 2
La tensión de tracción no debe superar la resistencia de calculo del hormigón a tracción, EHE, Art.
59.7. EHE:
σ t ≤ f ct ,d → 1,0291 ≤ 1,03 → El hormigón resiste la tensión de tracción.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
66
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
0,76 m
0,15a = 0,06 m
S1
0,60 m
0,76 m
WZ
σS1
σmax = 167,13 kN/m2
σS1 = 108,02 kN/m2
σmin = 27,13 kN/m2
A
Ms1
0,60 m
R1
R2
σmax -σS1
Figura 3.3. Momento en la sección de referencia S1.
3.2.2. Comprobación a cortante:
La sección para la comprobación a cortante se sitúa a una distancia igual al canto, contada a partir
de la cara del soporte (EHE, Art. 59.7.)
a) Tensión en la sección de referencia S2:
 (167,13 − 27,13) × (1,8 − 0,1) 
kN
 = 159,36 m 2
1
,
8


σ s 2 = 27,13 + 
0,10 m
h = 0,60 m
WZ
S2
0,60 m
Vs2
0,60 m
σmax = 167,13 kN/m2
σS2 = 159,36 kN/m2
σmin = 27,13 kN/m2
A
σS2
R1
σmax -σS2
R2
Figura 3.4. Esfuerzo cortante en la sección de referencia S2.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
67
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
b) Obtención del Esfuerzo Cortante en la sección de referencia ( V S 1 ):
- Cortante debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
2
2
Vter = VR1 + VR 2 = (159,36kN / m2 × 0,1m×1m) +  (167,13kN / m −159,36kN / m )× 0,1m ×1m = 16,32kN


2


- Cortante debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata:
VWT = 0kN
- Cortante debido al peso de la zapata:
VWZ = −(0,1 × 0,6 × 1)m 3 × 23
kN
= 1,38kN
m3
- Cortante característico en la sección de referencia:
V s1 = Vterr + VWT + VWZ = 16,32 − 0 − 1,38 = 14,94kN
- Cortante de cálculo en la sección de referencia:
Vd = Vs1 × γ f = 14,94 × 1,6 = 23,91kN
c) Tensión debida al esfuerzo cortante en la sección de referencia:
σc =
Vd
23,91kN
kN
N
=
= 39,85 2 = 0,04
b×h
1m × 0,6 m
m
mm 2
La tensión media de cortante en la sección de referencia no debe sobrepasar la resistencia de
cálculo a tracción para el hormigón, es decir:
σ c ≤ f ct ,d → 0,04 ≤ 1,03 → El hormigón resiste la tensión de cortante.
3.2.3. Comprobación del estado límite de punzonamiento (EHE, Art. 46.2)
τ sd ≤ 2 f ct ,d
Siendo:
τ sd : tensión tangencial de cálculo en el perímetro crítico.
• f ct , d : resistencia de cálculo del hormigón a tracción (Art. 39.1. EHE)
•
1.- Determinación del perímetro y área crítica (EHE, Art.46.1)
Para que el perímetro crítico quede dentro, el vuelo de la zapata en las dos direcciones debe de
ser mayor que 0,5 veces el canto total de la misma:
V > 0,5h
Vuelo en la dirección de a´: 0,7 m > 0,5h = 0,30 m
Vuelo en la dirección de b´: 0,3 m = 0,5h = 0,30 m ⇒ El perímetro crítico coincide con el borde.
No es preciso comprobar a punzonamiento ya que el perímetro crítico coincide con el borde
de la zapata; se realiza a modo de ejemplo.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
68
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
u1 = 2a + 2b + (2π × 0,5h ) = 2 × 0,4 + 2 × 0,4 + (2π × 0,5 × 0,6) = 3,485m (perímetro crítico)
Siendo:
• u1: longitud del perímetro crítico.
• a: la dimensión del soporte en la dirección paralela a la dimensión a´ del elemento de cimentación.
• b: la dimensión del soporte en la dirección paralela a la dimensión b´ del elemento de cimentación.
• h: canto total.
a´ = 1,80 m
0,40 m
b´ = 1,00 m
0,5h = 0,30 m
0,40 m
Perímetro crítico
Figura 3.5. Perímetro crítico.
2.- Determinación de la tensión tangencial de cálculo en el perímetro crítico.
La tensión tangencial en el perímetro crítico no debe ser superior a 2 f ct , d , es decir:
τ sd ≤ 2 f ct , d → 0,16 ≤ 2,06 → El hormigón resiste a punzonamiento.
Siendo:
• Fsd = N d = 150 × 1,6 = 240 kN
•
Fsd , ef = β × Fsd = 1,15 × 240 = 276kN (soporte interior: β=1,15; Art. 46.2 EHE)
• τ sd =
Fsd , ef
u1h
=
336
kN
kN
= 132 2 = 0,13 2
3,485 × 0,6
m
m
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
69
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
4. EJERCICIO. Zapata flexible con distribución triangular de tensiones
Determinar la armadura en una zapata de 2,1 x 1,4 x 0,4 m, sabiendo que la profundidad del plano
de cimentación se encuentra a 1,4 m, dados los valores característicos de las solicitaciones en la
base del pilar.
4.
ALZADO
PLANTA
a´ = 2,10 m
N
0,25 m
M
H = 1,40 m
0,25 m
V
V=0,925
b´ = 1,40 m
h = 0,40 m
a´= 2,10 m
Figura 4.1. Geometría del elemento de cimentación.
Datos:
• N = 200 kN (axil característico transmitido por el pilar)
• HA-25/B/40/IIa (control Reducido)
• M = 110 mkN ( momento característico transmitido por el
pilar)
• B-400-S (control Reducido)
• V = 30 kN (cortante característico transmitido por el pilar)
• IIa (tipo de ambiente EHE, artículo 8.2.2)
• a´ = 2,1 m (lado mayor en planta)
3
• 25 kN/m (peso del hormigón armado)
• b´ = 1,4 m (lado menor en planta)
3
• 18 kN/m (peso del terreno)
• h = 0,4 m (canto total de la zapata)
• ϕ = 35º (ángulo de rozamiento interno del
terreno)
• d = 0,35 m ( canto útil de la zapata)
• Terreno arenoso, sin cohesión
• H = 1,4 m (profundidad del plano de cimentación)
• φ = 20mm (diámetro de las barras de la
armadura de tracción de la zapatal)
• a = 0,25 m (dimensión del pilar paralela al lado mayor)
• σ adm = 250
kN
(tensión admisible del
m2
terreno)
• b = 0,25 m (dimensión del pilar paralela al lado menor)
• γ f = 1,6 (coeficiente parcial de seguridad usado para la
minoración de las acciones de cálculo en la base del pilar)
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
71
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
4.1. ESTABILIDAD DEL ELEMENTO DE CIMENTACIÓN
4.1.1. Acciones en el plano de cimentación
a) Axil en el plano de cimentación (N1):
- N1 = N + WZ + WT = 200 kN + 29,4 kN + 51,8 kN = 281,2 kN
Siendo:
3
3
• WZ = (a’ ⋅ b’ ⋅ h) ⋅ γHA = (2,1 ⋅ 1,4 ⋅ 0,4) m ⋅ 25 kN/m = 29,4 kN (peso de la zapata)
3
• WT = (( a '⋅b') − ( a ⋅ b)) ⋅ H ⋅ γ t = [((2,1 ⋅ 1,4) - (0,25 ⋅ 0,25)) x (1,4 - 0,4)] x 18 kN/m = 51,8 kN ( peso del terreno que gravita
[
]
sobre la zapata).
b) Momento en el plano de la cimentación (M1):
- M1 = M + V ⋅ h = 110 mkN + 30 kN × 0,4 m = 122 mkN
4.1.2. Estabilidad frente a hundimiento
-e>
a'
6
⇒ 0,434 m > 0,350 m
⇒ Distribución triangular de tensiones
Siendo:
• e=
•
M 1 = 122 mkN
= 0,434 m
N 1 281,20 kN
a'
2,1 m
=
= 0,350 m
6
6
- Calculo de la distribución de presiones sobre el terreno:
• σ max =
N1
4
4 × 281,20
kN
×
=
= 217,33 2
3 (a´−2e) × b´ 3 × (2,1 − 2 × 0,434) × 1,4
m
• c = 1,5 × (a´−2e) = 1,5 × (2,1 − 2 × 0,434) = 1,848m
- Estabilidad a hundimiento:
σ max ≤ 1,25σ adm
σmáx = 217,3 kN/m2 < 1,25·σadm = 312,5 kN/m2
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
⇒ Estable a hundimiento
Pág.
72
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
1,050 m
N1 = 281,2 kN
h = 0,400 m
σmax = 217,33 kN/m2
M1 = 122 mkN
c = 1,848 m
Figura 4.2. Distribución de presiones sobre el terreno.
4.1.3. Estabilidad frente a vuelco y deslizamiento
La comprobación es similar a los ejercicios anteriores.
4.2. CÁLCULOS ESTRUCTURALES
4.2.1. Clasificación de las cimentaciones
- Tipo de zapata (EHE, Art.59.2.1.):
Vuelo = 0,925 m > 2h =0,8 m → ZAPATA FLEXIBLE
Siendo:
• Vuelo = ( 2,1 − 0,25)m = 0,925 m
2
• 2⋅h = 2⋅ 0,4 =0,8 m.
4.2.2. Solicitaciones en la sección de referencia (S1)
EHE, Art 59.4.2.1.1.: se considerará una sección de referencia para el cálculo a flexión paralela a
la cara del soporte y situada a 0,15a detrás de dicha cara; siendo “a” la dimensión del soporte
perpendicular al plano de la sección de referencia. Ver figura 4.3.
a) Valor de la tensión del terreno bajo la sección de referencia:
 217,33 × (1,848 − 0,963) 
kN
 = 104,16 2 (la obtenemos por semejanza de triángulos)

1,848
m


σ s1 = 
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
73
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
b) Obtención del Momento en la sección de referencia ( M S 1 ):
- Momento debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
M ter = M R1 + M R 2 =
0,963


  ( 217 ,33 − 104 ,16 ) × 0,963 m 2
= 104 ,16 kN / m 2 × 0,963 m ×
m × 1,4 m  + 
× × 0,963 m × 1,4 m  = 116 ,47 mkN
2
3
2

 

- Momento debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata:
M WT = − (0,963 × 1 × 1,4 )m 3 × 18
kN 0,963
×
m = −11,59 mkN
2
m3
- Momento debido al peso de la zapata:
M WZ = −(0,963 × 0,4 × 1,4 )m 3 × 25
kN 0,963
×
m = −6,48 mkN
2
m3
- Momento característico en la sección de referencia:
M s1 = M terr + M WT + M WZ = 116,47 − 11,59 − 6,48 = 98,39mkN
Momento de cálculo en la sección de referencia:
M d = M s1 × γ f = 98,39 × 1,6 = 157,43mkN
0,963 m
WT
1,000 m
0,963 m
WZ
S1
0,400 m
Ms1
σmax = 217,33 kN/m2
0,15a = 0,037 m
σS1
R1
R2
σmax -σS1
c = 1,848 m
Figura 4.3. Momento en la sección de referencia S1.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
74
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
4.2.3. Resistencia de cálculo de los materiales
a) Acero
- f yd = 0,75 ×
f yk
γS
= 0,75 ×
400 N / mm 2
= 260,87 N / mm 2 (Control Reducido y E.L.U.)
1,15
Siendo:
2
• fyk = 400 N/mm (Resistencia característica del acero. EHE, Art.31.2)
• γS = 1,15 (Coeficiente parcial de seguridad del acero para Estados Límite últimos. EHE, Art.15.3)
• fyd (Resistencia de cálculo del acero. EHE; Art. 38.3)
b) Hormigón
- f cd =
f ck
γc
=
25 N / mm 2
2
= 16,66 N / mm 2 > 10 N / mm
1,5
⇒ f cd = 10 N / mm 2
(Control Reducido y E.L.U)
Donde:
2
• fck = 25 N/mm (Resistencia característica del hormigón. EHE, Art.39.2 y 30.5)
• γc = 1,5 (Coeficiente parcial de seguridad del hormigón para Estados Límite últimos. EHE, Art.15.3)
• fcd: ( Resistencia de cálculo del hormigón. EHE; Art. 30.5
4.2.4. Obtención de la armadura de tracción: Cálculo a flexión simple. (EHE Anejo 8.3)
Para poder utilizar el método simplificado propuesto en dicho anejo, se debe cumplir que:
d’ ≤
- U 0 = 0,85 × f cd × b´×d = 0,85 × 10000
kN
× 1,4m × 0,35m = 4165kN
m2
- M d = 157,43 ≤ 0,375U o d = 546,66 mkN



- U s1 = U 0 1 − 1 −
2M d
U 0d
h
0,4
→ 0,05≤
= 0,057
7
7
→ Caso 1.



 = 41651 − 1 − 2 × 157,43  = 477,13kN (armadura por cálculo)


4165 × 0,35 


4.2.5. Comprobaciones
a) Cuantía mecánica mínima (Art.42.3.2. de la EHE).
As ⋅ f yd ≥ 0,25 ⋅
- As ⋅ f yd ≥ 0,25 ×
b´×h
⋅ f cd
6
1400 mm × (400)mm 2
× 10 ⋅ 10 −3 kN / mm 2 = 233,33 kN (cuantía mínima a tracción)
6
b) Cuantía geométrica mínima (Art.42.3.5. de la EHE).
EHE , Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
- As1 ≥
2
× 1,40 m × 0,4 m = 1,12 × 10 −3 m 2 = 11,2cm 2
1000
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
75
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
- Armadura necesaria:
As1 × f yd = U S1
- AS 1 =
U S1
477,13 ⋅ 10 3 N
=
= 1829mm 2 = 18,29cm 2 (Armadura necesaria por cálculo)
f yd 260,87 N / mm 2
- AS 1 =
U S1
233,33 ⋅ 10 3 N
=
= 894,4mm 2 = 8,94cm 2 (Armadura necesaria por cuantía mínima a tracción)
f yd 260,87 N / mm 2
2
- AS 1 ≥ 11,2cm (Armadura necesaria por cuantía geométrica)
La armadura debe de cumplir las tres limitaciones, luego:
AS 1 ≥ 18,29cm 2
Armando con redondos de
φ = 20mm ;
φ 20mm:
Area 1 barra: 3,14 cm2;
Nº barras: 6 en la cara de tracción:
As1 = 18,84cm 2
Se dispondrán, por tanto, 6 barras de diámetro 20 mm, As,real = 18,84 cm2
c) Recubrimientos y distancia entre redondos
La comprobación se realiza de modo similar a lo expuesto en los ejercicios anteriores.
d) Comprobación a cortante y a punzonamiento
Se realiza la comprobación de modo similar a lo expuesto en el ejercicio 2 para el caso de una
zapata flexible.
4.2.6. Comprobación de la necesidad de colocar armado superior.
Se estudia la posibilidad de que se produzcan tracciones en la cara superior de la zapata y en
caso de existir, se comprueba que éstas no superen la resistencia a tracción del hormigón.
a) Valor de la tensión del terreno bajo la sección de referencia:
 217,326 × (0,963 − (2,1 − 1,848)) 
kN
 = 83,58 m 2 (la obtenemos por semejanza de triángulos)
1
,
848


σ s1 = 
b) Obtención del Momento en la sección de referencia ( M S 1 ):
- Momento debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:

 83,58 × 0,711m 1
× × 0,711m × 1,4 m  = 9,58 mkN
2
3


M ter = M R1 = 
- Momento debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata:
M WT = − (0,963 × 1 × 1,4 )m 3 × 18
kN 0,963
×
m = −11,59 mkN
m3
2
- Momento debido al peso de la zapata:
M WZ = −(0,963 × 0,4 × 1,4 )m 3 × 25
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
kN 0,963
×
m = −6,48 mkN
2
m3
Pág.
76
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
- Momento característico en la sección de referencia:
M s1 = M terr + M WT + M WZ = 9,58 − 11,59 − 6,48 = −9,22mkN
Momento de cálculo en la sección de referencia:
M d = M s1 × γ f = −9,22 × 1,6 = −14,75mkN
0,963 m
WT
1,000 m
0,963 m
0,15a = 0,037 m
0,400 m
S1
σmax = 217,33 kN/m2
0,252 m
WZ
Ms1
σS1
R1
0,711 m
c = 1,848 m
Figura 4.4. Momento en la sección de referencia S1.
El momento producido por el peso del terreno y el peso de la zapata es superior al producido por
las reacciones del terreno bajo la zapata, produciéndose en la parte superior de la zapata una tensión
de tracción. Debemos comprobar que el hormigón resiste por si solo ésta tensión de tracción, de lo
contrario seria preciso colocar armadura superior o aumentar el canto de la zapata.
e) Máxima tensión de tracción en la sección de referencia:
σt =
6M d
6 × 14,75mkN
kN
N
=
= 395,08 2 = 0,395
b × h 2 1,4m × 0,4 2 m 2
m
mm 2
f) Resistencia de cálculo del hormigón a tracción (Art. 39.1. EHE):
f ct ,d =
f ct ,k
γc
=
0,21 × 3 f ck
2
γc
=
0,21 × 3 25 2
N
= 1,20
1,5
mm 2
La tensión de tracción no debe superar la resistencia de calculo del hormigón a tracción, EHE, Art.
59.7.
σ t ≤ f ct , d → 0,395 ≤ 1,20 → El hormigón resiste la tensión de tracción.
4.2.7. Anclaje de la armadura de tracción
Similar al ejercicio 2.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
77
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
5. EJERCICIO. Zapata rígida con distribución triangular de tensiones
Realizar los cálculos estructurales en una zapata de hormigón armado de 1,5 x 1,2 x 0,4 m,
sabiendo que la cara superior se encuentra al nivel del terreno.
5.
PLANTA
ALZADO
a´ = 1,50 m
N
v=0,575m
M
0,35 m
V
0,35 m
b´ = 1,20 m
h = 0,40 m
a´= 1,50 m
Figura 5.1. Geometría del elemento de cimentación.
Datos:
• N = 400 kN (axil característico transmitido por el pilar)
• HA-25/B/40/IIa (control Estadístico)
• M = 110 mkN ( momento característico transmitido por el
pilar)
• B-400-S (control Normal)
• V = 30 kN (cortante característico transmitido por el pilar)
• f cd = 16,66 N / mm 2 ( Resistencia de cálculo
del hormigón. EHE; Art. 30.5)
• Nd = 640 kN (axil de cálculo transmitido por el pilar)
• f yd = 347,83 N / mm 2 (Resistencia de cálculo
del acero. EHE; Art. 38.3)
• Md = 176 mkN ( momento de cálculo transmitido por el pilar)
• IIa (tipo de ambiente EHE, artículo 8.2.2)
• Vd = 48 kN (cortante de cálculo transmitido por el pilar)
• 25 kN/m3 (peso del hormigón armado)
• a´ = 1,5 m (lado mayor en planta)
3
• 18 kN/m (peso del terreno)
• b´ = 1,2 m (lado menor en planta)
• ϕ = 35º (ángulo de rozamiento interno del
terreno)
• h = 0,4 m (canto total de la zapata)
• φ = 16mm (diámetro de las barras de la
armadura de tracción de la zapatal)
• d = 0,35 m ( canto útil de la zapata)
•
σ adm = 500
kN
(tensión admisible del
m2
terreno)
• H = 0,4 m (profundidad del plano de cimentación)
•γ
f
= 1,6 (coeficiente parcial de seguridad
para cualquier carga)
• a = 0,35 m (dimensión del pilar paralela al lado mayor)
• b = 0,35 m (dimensión del pilar paralela al lado menor)
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
79
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
5.1. CÁLCULOS ESTRUCTURALES
5.1.1. Clasificación de las cimentaciones
- Tipo de zapata (EHE, Art.59.2.1.):
Vuelo = 0,575 m < 2h = 0,8 m → ZAPATA RÍGIDA
Siendo:
• Vuelo = (1,5 − 0,35) m = = 0,575 m
2
• 2⋅h = 2⋅ 0,4 =0,8 m.
5.1.2. Modelo de Bielas y Tirantes (EHE, Art. 59.4.1.1.)
- Distribución de tensiones bajo el terreno:
a'
→ Distribución triangular de tensiones
6
e>
Siendo:
• e = M d = 176mkN = 0,275m (excentricidad de la carga en la unión con la cimentación)
Nd
640kN
• a´ = 1,5 = 0,25m
6
6
No se puede aplicar el método de Bielas y Tirantes al encontrarnos con una distribución de tensiones
triangular, emplearemos entonces la teoría general de flexión.
Es decir, calcularemos la armadura del mismo modo que si se tratase de una zapata flexible, pero
no será necesario realizar las comprobaciones a cortante ni punzonamiento.
5.1.3. Acciones características en el plano de cimentación
a) Axil en el plano de cimentación (N1):
- N1 = N + WZ + WT = 400 kN + 18 kN + 0 = 418 kN
Siendo:
3
3
• WZ = (a’ ⋅ b’ ⋅ h) ⋅ γHA = (1,5 ⋅ 1,2 ⋅ 0,4) m ⋅ 25 kN/m = 18 kN (peso de la zapata)
• WT = 0 (la cara superior de la cimentación se encuentra al nivel del terreno).
b) Momento en el plano de la cimentación (M1):
- M1 = M + V ⋅ h = 110 mkN + 30 kN × 0,4 m = 122 mkN
5.1.4. Distribución de presiones bajo el terreno
-e>
-e ≤
a'
6
a'
3
⇒ 0,29 m > 0,25 m
⇒ 0,29 m < 0,5 m
⇒ Distribución triangular de tensiones
⇒ Se recomienda que la excentricidad no supere éste valor.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
80
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
Siendo:
• e = M 1 = 122 mkN = 0,292 m
N1
•
•
418 kN
a'
1,5 m
=
= 0,25 m
6
6
a'
1,5 m
=
= 0,5 m
3
3
- Distribución de presiones sobre el terreno:
• σ max =
N1
4
4 × 418
kN
×
=
= 506,89 2
3 (a´−2e) × b´ 3 × (1,5 − 2 × 0,292) × 1,2
m
• c = 1,5 × (a´−2e) = 1,5 × (1,5 − 2 × 0,292) = 1,374m
N1 = 418 kN
h = 0,40 m
σmax = 506,89 kN/m2
M1 = 122 mkN
c = 1,37 m
Figura 5.2. Distribución de presiones sobre el terreno.
5.1.5. Solicitaciones en la sección de referencia (S1)
EHE, Art 59.4.2.1.1.: se considerará una sección de referencia para el cálculo a flexión paralela a
la cara del soporte y situada a 0,15a detrás de dicha cara; siendo “a” la dimensión del soporte
perpendicular al plano de la sección de referencia. Ver figura 5.3.
a) Valor de la tensión del terreno bajo la sección de referencia:
kN (la obtenemos por semejanza de triángulos)
 506,89 × (1,374 − 0,628) 
 = 275,46 m 2
1
,
374


σ s1 = 
b) Obtención del Momento en la sección de referencia ( M S1 ):
- Momento debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
M ter = M R1 + M R 2 =
0,628

  (506 ,89 − 275 , 46 ) × 0,628 m 2

=  275 , 46 kN / m 2 × 0,628 m ×
× × 0,628 m × 1, 2 m  = 101,53 mkN
m × 1, 2 m  + 
2
2
3

 

AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
81
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
- Momento debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata:
M WT = 0
- Momento debido al peso de la zapata:
M WZ = −(0,628 × 0,4 × 1,2 )m 3 × 25
kN 0,628
×
m = −2,36 mkN
2
m3
- Momento característico en la sección de referencia:
M s1 = M terr + M WT + M WZ = 101,53 − 0 − 2,36 = 99,17 mkN
Momento de cálculo en la sección de referencia:
M d = M s1 × γ
f
= 99,17 × 1,6 = 158,67 mkN
0,628
0,628 m
0,15a = 0,0525
S1
σmax = 506,89 kN/m2
h = 0,400 m
WZ
0,400 m
Ms1
σS1
R1
R2
σmax -σS1
c = 1,374 m
Figura 5.3. Momento en la sección de referencia S1.
5.1.6. Obtención de la armadura de tracción: Cálculo a flexión simple. (EHE Anejo 8.3)
Para poder utilizar el método simplificado propuesto en dicho anejo, se debe cumplir que:
d’ ≤
0,4
h
→ 0,05≤
= 0,057
7
7
- U 0 = 0,85 × f cd × b´×d = 0,85 × 16667 kN2 × 1,2m × 0,35m = 5950,12kN
m
- M d = 158,67 ≤ 0,375U o d = 780,95 mkN
→ Caso 1.


2 M d 
2 × 158,67 
- U s1 = U 0 1 − 1 −
= 5950,12 × 1 − 1 −
= 472,06kN (armadura por cálculo)




×
U
d
5950
,
12
0
,
35
0




AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
82
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
5.1.7. Comprobaciones
a) Cuantía mecánica mínima (Art.42.3.2. de la EHE).
As ⋅ f yd ≥ 0,25 ⋅
- 0,25 ×
b´×h
⋅ f cd
6
1200 mm × (400 )mm 2
× 16,667 ⋅ 10 −3 kN / mm 2 = 333,34 kN (cuantía mínima a tracción)
6
b) Cuantía geométrica mínima (Art.42.3.5. de la EHE).
EHE , Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
- As1 ≥
2
× 1,2 m × 0,4 m = 0,96 × 10 −3 m 2 = 9,6cm 2
1000
- Armadura necesaria:
As1 × f yd = U S 1
- AS1 =
U S1
472,06 ⋅ 10 3 N
=
= 1357 mm 2 = 13,57cm 2 (Armadura necesaria por cálculo)
f yd 347,83 N / mm 2
- AS 1 =
U S1
333,34 ⋅ 10 3 N
=
= 958,3mm 2 = 9,58cm 2 (Armadura necesaria por cuantía mínima a tracción)
f yd 347,83 N / mm 2
-
AS1 ≥ 9,6cm 2 (Armadura necesaria por cuantía geométrica)
Elegimos la mayor de las tres, luego:
AS 1 ≥ 13,59cm 2
Armando con redondos de
φ = 16 mm ;
φ
16mm:
Area 1 barra: 2,01 cm2;
Nº barras: 7 en la cara de tracción: As1 = 14,07 cm 2
Se dispondrán, por tanto, 7 barras de diámetro 16 mm, As,real = 14,07 cm2
Al ser una zapata rígida no es preciso comprobar a cortante ni a punzonamiento.
El resto de comprobaciones se realiza de modo similar a los ejercicios anteriores.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
83
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
6. EJERCICIO. Zapata de medianería equilibrada mediante viga centradora unida a macizo de
hormigón en masa.
Las zapatas de medianería de una nave agroindustrial se equilibran mediante una viga centradora
unida a un macizo de hormigón en masa. En la figura 6.1. se muestran los esfuerzos transmitidos por
los pilares a la cimentación.
- Comprobar la estabilidad del conjunto bajo el pilar derecho, sabiendo que el plano de
cimentación se sitúa a 1 m de profundidad.
- Calcular la armadura longitudinal de la viga centradora.
Datos para comprobar la estabilidad del elemento de cimentación:
Zapata de medianería:
Macizo de hormigón:
• a’1 = 0,5 m (dimensión paralela al plano del pórtico)
• a’2 = 1 m (dimensión paralela al plano del pórtico)
• b’1 = 1 m (dimensión paralela a la medianería)
• b’2 = 1 m (dimensión perp. al plano del pórtico)
• h1 = 0,5 m (canto total)
• h2 = 0,5 m (canto total)
Pilares:
• a1 = 0,35 m (dimensión paralela al plano del pórtico)
• b1 = 0,3 m (dimensión paralela a la medianería)
Acciones transmitidas por el pilar derecho:
Acciones transmitidas por el pilar Izquierdo:
• Nd = 155,92 kN (axil de cálculo)
• Nd = 155,92 kN (axil de cálculo)
• Md = 31,1 mkN (momento de cálculo)
• Md = 35,09 mkN (momento de cálculo)
• Vd = 10,55 kN (cortante de cálculo)
• Vd = 14,32 kN (cortante de cálculo)
Otros datos:
• Lvc = 2,2 m (longitud viga centradora)
3
• γt = 18 kN/m (peso específico del terreno)
• σadm= 300 kN/m2 (tensión admisible del terreno)
• γh = 25 kN/m3 (peso específico del hormigón)
• γf = 1,5 (coeficiente de mayoración de acciones)
Datos para el armado de la viga centradora:
• h = 0,35 m (Canto total)
• HA-25/B/20/IIa (control estadístico)
• b = 0,3 m (Ancho )
• B-400-S (control normal)
• d = 0,3 m (Canto útil)
• ∅ = 12mm
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
85
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
20 m
Nd
Md
Nd = 155,92 kN
Md = 31,1 mkN
Vd = 10,55 kN
Nd = 155,92 kN
Md = 35,08 mkN
Vd = 14,32 kN
Nd
Md
Vd
Vd
Figura 6.1. Acciones transmitidas por los soportes.
N1
M1
V1
H=1 m
Wz2+Wt2
h2 = 0,5 m
eN2 = eR2 =-3,2 m
Wz1+Wt1
N2´
N1´
e1 =0,032 m
σ2
σ1
R2
eR1 =-0,25 m
R1
- O +
2,2 m
1m
0,5 m
0,35 m
0,3 m
1m
1m
Figura 6.2. Geometría, acciones y reacciones.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
86
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
6.1. ESTABILIDAD DE LA ZAPATA BAJO EL PILAR DERECHO
Comprobaremos la estabilidad bajo el pilar derecho, de modo análogo se puede hacer bajo el
pilare izquierdo y dimensionar la cimentación para el caso más desfavorable.
6.1.1. Minoración de las acciones
Para la comprobación de las tensiones del terreno se considerarán los valores característicos de
las acciones transmitidas por la estructura. Dado que en el problema en cuestión tenemos como dato
los valores de cálculo de las acciones, debemos minorar éstos para la obtención de los valores
característicos. Para ello, aplicamos la simplificación de adoptar un coeficiente de minoración de las
acciones igual a 1,5.
- N = Nd / 1,5 = 155,92 / 1,5 = 103,95 kN
- M = Md / 1,5 = 31,1 / 1,5 = 20,74 mkN
- V = Vd / 1,5 = 10,55 / 1,5 = 7,03 kN
6.1.2. Acciones en el plano de cimentación
N ´1 = N1 + Wz1 + Wt1 = 103,95 + 6,25 + 3,65 = 113,75kN (axil en el plano de cimentación en la zapata de
medianería)
Siendo:
• Wz1 = a'1×b´1×h1 × γ h = 0,5 × 1 × 0,5 × 25 = 6,25kN (peso de la zapata de medianería)
• Wt1 = ((a'1×b´1 ) − (a1 × b1 )) × ( H − h1 ) × γ t = ((0,5 × 1) − (0,35 × 0,3)) × (1 − 0,5) × 18 = 3,56kN (Peso del terreno sobre la zapata de
medianería)
- N ´2 = N 2 + W z 2 + Wt 2 = 0 + 12,5 + 9 = 21,5kN (axil en el plano de cimentación en el macizo )
Donde:
• Wz 2 = a'2 ×b´2 ×h2 × γ h = 1 × 1 × 0,5 × 25 = 12,5kN (peso del macizo de hormigón)
• Wt 2 = (a'2 ×b´2 ) × ( H − h2 ) × γ t = (1 × 1) × (1 − 0,5) × 18 = 9kN (peso del terreno sobre el macizo )
6.1.3. Excentricidad de las Acciones y Reacciones
- e1 =
20,74 + (7,03 × 0,5) − (103,96 × 0,175) − (6,25 × 0,25) − (3,56 × 0,25)
= 0,032m (excentricidad de N1´ con
113,75
respecto a la medianería)
- e2 = 0 (excentricidad de N2´ con respecto al eje de simetría del macizo)

- e N 2 = − a´1 + Lvc +

a´2

− e2  = −(0,5 + 2,2 + 0,5 − 0) = −3,2m (excentricidad de N2´ con respecto a la
2

medianería)
- e R1 = −
a´1
= −0,25m (excentricidad de R1 con respecto a la medianería)
2

- e R 2 = − a´1 + Lvc +

a´2 
 = −(0,5 + 2,2 + 0,5) = −3,2m (excentricidad de R2 con respecto a la medianería)
2 
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
87
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
6.1.4. Estabilidad frente a hundimiento
Para obtener el valor de R1 y R2 tomamos momentos con respecto a la medianería:
- ∑ Fv = 0
• N1´ + N 2´ − R1 − R2 = 0
⇒
R1 + R2 = N1´ + N 2´ = 135,25kN
- ∑Mo = 0
• N ´1 ·e1 + N ´2 ·e N 2 − R1 ·e R1 − R2 ·e R 2 = 0 ⇒
R1 ·(−0,25) + R2 ·(−3,2) = N´1 ·e1 + N´2 ·e N 2 = (113,75 × 0,032) + (21,5 × (−3,2)) = −65,19kNm
⇒
⇒
R1 ·(−0,25) + R2 ·(−3,2) = −65,19kNm
R1 = 124,61kN
R2 = 10,63kN
El valor de R1 y R2 debe de ser mayor que cero para que el sistema se encuentre en equilibrio, es
decir, para que la zapata sea estable a vuelco.
- Tensiones sobre el terreno:
• σ1 =
R1
124,61
kN
=
= 249,26 2
a´1 ·b´1 0,5 × 1
m
• σ2 =
R2
10,63
kN
=
= 10,63 2
a´2 ·b´2
1× 1
m
σ 1 = 249,26 ≤ σ adm ⇒ La zapata es estable a hundimiento
6.2. ARMADO DE LA VIGA CENTRADORA
6.2.1. Calculo de momentos en los extremos de la viga centradora
 a´ 
- M A = − R1 · 1  + N ´1 ·(a´1 +e1 ) = −(124,61 × 0,25) + (113,75 × (0,5 + 0,032)) = 29,33mkN
 2 
 a´ 
 a´

- M B = R2 · 2  − N ´2 · 2 − e2  = (10,64 × 0,5) − (21,5 × 0,5) = −5,43mkN
 2 
 2

Se calcula la armadura para resistir el momento más desfavorable, luego :
M d = M A ·γ f = 29,33 × 1,5 = 44mkN
6.2.2. Resistencia de cálculo de los materiales
- f yd =
- f cd =
f yk
γS
f ck
γc
=
400 N / mm 2
= 347,83 N / mm 2 (control Normal)
1,15
=
25 N / mm 2
= 16,67 N / mm 2 (control Estadístico)
1,5
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
88
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
6.2.3. Hipótesis básicas y limitaciones. (EHE, Anejo 8.2)
d ´≤
h
350
⇒ 50mm ≤
= 50mm ⇒ Cumple , entonces podemos usar los métodos de cálculo
7
7
simplificados que se proponen en el anejo 8.
6.2.4. Flexión simple en sección rectangular (EHE Anejo 8.3)
Calculamos la armadura en la sección más desfavorable usando los métodos simplificados
propuestos en la EHE.
- U 0 = 0,85 × f cd × b´×d = 0,85 × 16670
kN
× 0,3m × 0,3m = 1275kN
m2
- M d = 44 ≤ 0,375U o d = 143,44 mkN
→ Caso 1.



- U s1 = U 0 1 − 1 −
2M d
U0d





⇒ U s1 = 1275 × 1 − 1 −

2 × 44 
= 156,23kN (armadura por cálculo)
1275 × 0,3 
6.2.5. Comprobaciones
a) Cuantía mecánica mínima (Art.42.3.2. de la EHE).
As ⋅ f yd ≥ 0,25 ⋅
- As ⋅ f yd ≥ 0,25 ×
b´×h
⋅ f cd
6
b×h
0,3m × 0,35m
kN
× f cd = 0,25 ×
× 16670 2 = 72,92kN (cuantía mínima a tracción)
6
6
m
b) Cuantía geométrica mínima (Art.42.3.5. de la EHE).
- A tracción:
EHE , Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
• AS 1 ≥
3,3
3,3
×b×h =
× 0,3cm × 0,35cm = 3,47cm 2
1000
1000
- A compresión:
• As 2 =
30
× 3,47 = 1,04cm 2
100
- Armadura necesaria:
As1 × f yd = U S1
- AS 1 =
U S1
156,23kN
=
= 0,49 × 10 −3 m 2 = 4,49cm 2 (Armadura de tracción necesaria por cálculo)
f yd 347830 kN / m 2
- AS1 =
U S1
72,92kN
=
= 0,209 × 10 −3 m 2 = 2,09cm 2 (Armadura necesaria por cuantía mínima a
f yd 347830 kN / m 2
tracción)
- AS 1 ≥ 3,47cm 2 (Armadura necesaria por cuantía geométrica a tracción)
2
- AS 2 ≥ 1,04cm (Armadura necesaria por cuantía geométrica a compresión)
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
89
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
La armadura debe de cumplir las limitaciones anteriores, luego:
AS 1 ≥ 4,49cm 2
AS 2 ≥ 1,04cm 2
- Armadura en la cara traccionada (cara superior):
φ = 12mm ;
Area 1 barra: 1,13 cm2;
Nº barras: 4 en la cara de tracción:
As1 = 4,52cm 2
Se dispondrán, por tanto, 4 barras de diámetro 12 mm en la cara de tracción
- Armadura en la cara comprimida (cara inferior):
φ = 12mm ;
Area 1 barra: 1,13 cm2;
Nº barras: 2 en la cara de compresión:
As1 = 2,26cm 2
Se dispondrán, por tanto, 2 barras de diámetro 12 mm en la cara de compresión
6.2.6. Recubrimientos y distancia entre redondos
Se realiza la comprobación de modo similar a lo expuesto en los ejercicios anteriores.
6.2.7. Cálculo de las longitudes de anclaje en la armadura traccionada (EHE Art. 66.5)
a) Longitud de anclaje teórica necesaria
- Longitud básica de anclaje:
Las barras de la armadura longitudinal traccionada, en este caso la armadura superior, se
encuentran en Posición II, o de adherencia mala.
lbII = 1,4 × m × ∅ 2 >
f yk
14
× ∅ ⇒ lbIl = 34,3 cm
Donde:
• 1,4 × m × ∅ 2 = 1,4 × 12 × 1,22 = 24,2cm
•
f yk
14
×∅ =
400
× 1,2 = 34,3cm
14
- Longitud neta de anclaje:
Debemos anclar en una longitud igual a lb,neta a partir del eje del apoyo. Anclando en patilla
tenemos:
lb,neta = lb × β ×
As
4,49
= 34,3 × 0,7 ×
= 23,8cm
As ,real
4,52
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
90
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
Limitaciones del artículo 66.5.1. de la EHE, según la cual la longitud de anclaje no debe de ser
inferior a los siguientes valores:
- 10 φ = 10 x 1,2 =12 cm
⇒ lb,neta = 23,8cm
- 15 cm
- 1/3 lbIl = 1/3x 34,3= 11,4 cm
b) Longitud real de anclaje
A partir del eje del apoyo, en la unión de la viga centradora con la zapata de medianería,
disponemos de 10,5 cm (considerando un recubrimiento lateral de 7 cm), por tanto, prolongamos
verticalmente otros 13,5 cm con lo cual completamos los 23,8 cm teóricos necesarios.
VIGA DE ATADO
Sección A-A´
30 cm
35 cm
5,0 cm
4 Ø 12
2 Ø 12
Cercos Ø 8 mm
cada 18 cm
la > 23,8 cm
10,5 cm
A
14,0 cm
>5Ø
>5Ø
A´
Figura 6.3. Geometría, armadura y anclajes en la viga de atado.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
91
=.EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
7. EJERCICIO. Zapata de medianería equilibrada con viga centradora unida a zapata contigua
Las zapatas de medianería de una nave agroindustrial se equilibran mediante una viga centradora
unida a las zapatas centrales. En la figura 7.1. se muestran los esfuerzos transmitidos por los pilares
a la cimentación.
Comprobar la estabilidad del conjunto para la hipótesis A, sabiendo que el plano de cimentación
se sitúa a 0,4 m de profundidad.
Datos para comprobar la estabilidad del elemento de cimentación:
Zapata de medianería:
Zapata central:
• a’1 = 0,4 m (dimensión paralela al plano del pórtico)
• a’2 = 0,8 m (dimensión paralela al plano del pórtico)
• b’1 = 0,8 m (dimensión paralela a la medianería)
• b’2 = 0,8 m (dimensión perp. al plano del pórtico)
• h1 = 0,4 m (canto total)
• h2 = 0,4 m (canto total)
Pilares:
• a1 = 0,3 m (dimensión paralela al plano del pórtico)
• b1 = 0,3 m (dimensión paralela a la medianería)
Acciones transmitidas por
zapata de medianería:
el pilar sobre la Acciones transmitidas por el pilar sobre la
zapata centradora:
• Nd = 17,08 kN (axil de cálculo)
• Nd = 93,72 kN (axil de cálculo)
• Md = 23,17 mkN (momento de cálculo)
• Md = 7,33 mkN (momento de cálculo)
• Vd = 10,94 kN (cortante de cálculo)
• Vd = 0,66 kN (cortante de cálculo)
Otros datos:
2
• σadm= 200 kN/m (tensión admisible del terreno)
• γt = 18 kN/m3 (peso específico del terreno)
• γf = 1,5 (coeficiente de mayoración de acciones)
• γh = 25 kN/m3 (peso específico del hormigón)
Viga centradora:
• Lvc = 5,15 m (longitud viga centradora)
• h = 0,3 m (canto total)
• b = 0,3 m (ancho )
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
93
=.EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
HIPOTESIS A
Nd,2 = 93,72 kN
Md,2 = 7,33 mkN
Vd,2 = 0,62 kN
HIPOTESIS A
Nd,1= 17,08 kN
Md,1 = 23,17 mkN
Vd,1 = 10,94 kN
HIPOTESIS B
Nd,2 = 93,72 kN
Md,2 = -9,29 mkN
Vd,2 = -1,63 kN
HIPOTESIS B
Nd,1 = 17,08 kN
Md,1 = -27,74 mkN
Vd,1 = -15,56 kN
N1
N2
M2
V2
M1
V1
Figura 7.1. Acciones transmitidas por los soportes.
d
d
Md
Vd
Md
Vd
eN2 =-5,077 m
e1 =1,098 m
N2´
Wz2
N1´
Wz1
e2 =0,073 m
σ1
σ2
R2
R1
eR2 =-5,15 m
eR1 =-0,2 m
5m
4,35 m
0,3 m
0,3 m
0,8 m
0,3 m
0,8 m
0,3 m
0,4 m
0,8 m
Figura 7.2. Geometría, Acciones y Reacciones.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
94
=.EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
7.1. ESTABILIDAD DEL CONJUNTO
Comprobaremos la estabilidad para la hipótesis A, de modo análogo se debe comprobar la
estabilidad bajo la hipótesis B.
a) Minoración de las acciones
Z. medianería
Z. centradora
N1 = Nd,1 / 1,5 = 17,08 / 1,5 =11,39 kN
N2 = Nd,2 / 1,5 = 93,72 / 1,5 = 62,48 kN
M1 = Md,1 / 1,5 = 23,17 / 1,5 =15,45 mkN
M2 = Md,2 / 1,5 = 7,33 / 1,5 = 4,89 mkN
V1 = Vd,1 / 1,5 = 10,94 / 1,5 =7,29 kN
V2 = Vd,2 / 1,5 = 0,62 / 1,5 = 0,41 kN
b) Acciones en el plano de cimentación
-
N ´1 = N1 + WZ 1 = 11,39 + 3,2 = 14,59kN (axil en el plano de cimentación en la zapata de medianería)
-
N ´2 = N 2 + WZ 2 = 62,48 + 6,4 = 68,88kN (axil en el plano de cimentación en la zapata central )
Donde:
• WZ 1 = a '1 ×b´1 ×h1 × γ h = 0,4 × 0,8 × 0,4 × 25 = 3,2kN (peso de la zapata de medianería)
• WZ 2 = a ' 2 ×b´2 ×h2 × γ h = 0,8 × 0,8 × 0,4 × 25 = 6,4kN (peso de la zapata central)
c) Excentricidad de las Acciones y Reacciones
- e1 =
15,45 + (7,29 × 0,4) − (11,39 × 0,15) − (3,20 × 0,2)
= 1,098m (excentricidad de N1´ con respecto a la
14,59
medianería)
- e2 =
4,89 + (0,41 × 0,4)
= 0,073m
68,88
(excentricidad de N2´ con respecto al eje de simetría de la zapata
central)
a´


eN 2 = − a´1 + Lvc + 2 − e2  = −(0,4 + 4,35 + 0,4 − 0,073) = −5,077 m (excentricidad de N2´ con respecto a
la medianería)
2


e R1 = −
a´1
= −0,2m
2
a´ 

eR 2 = − a´1 + Lvc + 2  = −(0,4 + 4,35 + 0,4 ) = −5,15m
2 

AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
(excentricidad de R1 con respecto a la
medianería)
(excentricidad de R2 con respecto a la
medianería)
Pág.
95
=.EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO X. CIMENTACIONES SUPERFICIALES. =
d) Estabilidad frente a hundimiento
Para obtener el valor de R1 y R2 tomamos momentos con respecto a la medianería:
∑ Fv = 0
N1´ + N 2´ − R1 − R2 = 0 ⇒ R1 + R2 = N1´ + N 2´ = 83,47kN
∑Mo = 0
N ´1 ·e1 + N ´2 ·e N 2 − R1 ·eR1 − R2 ·eR 2 = 0 ⇒
R1 ·(−0,2) + R2 ·(−5,15) = N ´1 ·e1 + N ´2 ·e N 2 = (14,59 × 1,098) + (68,88 × (−5,077)) = −333,66kNm ⇒
R1 ·(−0,2) + R2 ·(−5,15) = −333,66kNm
⇒
⇒ R1 = 19,43kN
⇒ R2 = 64,04kN
El valor de R1 y R2 debe de ser mayor que cero para que el sistema se encuentre en equilibrio, es
decir, para que la zapata sea estable a vuelco.
Tensiones sobre el terreno:
σ1 =
R1
19,43
kN
=
= 60,725 2
a´1 ·b´1 0,4 × 0,8
m
σ2 =
R2
64,04
kN
=
= 100,05 2
a´2 ·b´2 0,8 × 0,8
m
σ 2 = 100,5 ≤ σ adm ⇒ La zapata es estable a hundimiento
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
96
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
11.1. INTRODUCCIÓN
Es frecuente encontrarse con el problema
de tener que establecer dos niveles
geométricos de servicio a distinta cota y
próximos entre si. Este desnivel puede
establecerse de modo suavizado mediante un
talud, o bien puede obtenerse disponiendo un
cambio brusco con discontinuidad vertical. Esta
última solución se impone frecuentemente
debido a la pérdida de espacio que supone la
ejecución de un talud, o por las condiciones de
seguridad para las obras situadas en el nivel
superior.
El terreno superficial no suele tener, en
general, resistencia suficiente para soportar
una discontinuidad vertical, por lo que se hace
necesario disponer de una obra de fábrica, o de
hormigón entre los dos niveles de servicio que
asegure la resistencia y el funcionamiento del
conjunto.
La misión del muro, por tanto es servir de
elemento de contención de un terreno, que en
ocasiones es un terreno natural y en otras un
relleno artificial, o de elemento de contención
de un material almacenable.
Además, en ciertos casos el muro
desempeña una segunda misión, que es la de
transmitir cargas verticales al terreno,
desempeñando también la función de cimiento.
11.2. CLASIFICACIÓN GENERAL DE LAS ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
11.2.1. Introducción
Las formas de funcionamiento de los muro
de la figura 11.1 son diferentes, en el caso a)
se comporta como un voladizo empotrado en el
cimiento, mientras que en los casos b) y c), el
muro se encuentra apuntalado por los forjados,
en éste caso el cuerpo del muro funciona como
una losa de uno o varios vanos en lo que se
refiere a empujes horizontales, mientras que en
sentido vertical funciona como una viga de
cimentación de gran canto.
En las figuras 11.2. y 11.3 se pueden
observar otros tipos de estructuras de
contención además de las comentadas en la
figura 11.1.
3
Figura 11.1. a) Muro de contención en ménsula; b) y c) muros de sótano. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
97
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
14
Figura 11.2. Tipología general de muros de contención. Fuente .
14
Figura 11.3. Sistema de contención a base de pantallas. Fuente .
11.2.2. Terminología general
Los distintos elementos que componen las
estructuras de contención se designarán como
se muestra en la figura 11.4.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
98
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
3
Figura 11.4. Designación de las distintas partes de una estructura de contención. Fuente .
11.2.3. Muros de gravedad
Se trata de estructuras de hormigón en
masa en los que la contención de tierras y la
estabilidad del conjunto se consigue por su
propio peso.
Su principal ventaja es que no van armados,
pero como contraposición, precisan para su
construcción de un mayor volumen de
hormigón, por lo que en general, atendiendo al
criterio económico, pocas veces resulta
adecuado su empleo, salvo para estructuras de
poca altura y con poca longitud.
En cuanto al tipo de cimentación, en el caso
de que posean puntera se mejora la estabilidad
pues avanza el eje de giro del muro,
avanzando el eje estabilizante, como
contraposición en éste caso, la disposición de
la puntera exigirá un estudio cuidadoso para
asegurarnos que no se supere la resistencia
del hormigón en masa a tracción.
3
Figura 11.5. Muros de gravedad, a) sin cimiento diferenciado; b) con cimiento diferenciado. Fuente .
11.2.4. Muros en ménsula
En general, son los que más se emplean; a
falta de un estudio para cada caso en
particular, según la bibliografía consultada, se
podría decir que están indicado hasta alturas
de 10 ó 12 m.
En cuanto a la forma a adoptar, el caso
general se muestra en la figura 11.4., a partir
de éste surgen diversas variantes, algunas de
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
las cuales pueden verse en la figura 11.6, ya
que se pueden construirse en T con o sin
tacón, o bien en L con puntera o con talón.
Además, éstos pueden ser de espesor
constante (frecuente en el caso de alturas
pequeñas) o de espesor variable.
Pág.
99
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
Figura 11.6. Muros en mésula.
11.2.5. Muros con contrafuertes
Constituyen una evolución de los muros en
ménsula. Para disminuir los espesores del
alzado se colocan contrafuertes. Esta solución
implica una labor de ferralla y encofrados más
costosa, sin embargo, a falta de un estudio
específico, para alturas superiores a los 10-12
m puede resultar una solución más económica
que los anteriores.
Los contrafuertes pueden colocarse en el
trasdós o en el intradós, sin embargo suele ser
peor opción la solución b) de la figura 11.7 por
dos motivos, uno estético, ya que causa mala
sensación unos contrafuertes vistos y otro
porque se dispone el alzado del muro en la
zona traccionada.
3
Figura 11.7. Muros con contrafuertes. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
100
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.2.6. Muros de bandeja
En ellos se trata de contrarrestar los
momentos flectores debidos al relleno,
mediante la producción de otros momentos
compensadores debidos al peso del relleno
sobre las bandejas, esto nos permite disponer
alzados más esbeltos, y al mismo tiempo
disminuir la armadura vertical en los mismos.
Este método, además, permite construir
muros sin talón o con éste muy reducido,
debido a que la fuerza vertical se transmite a
través de las bandejas, proporcionando
seguridad a vuelco y a deslizamiento, mientras
que en los muros sin bandeja el peso
estabilizante del relleno se transmite al talón.
Como inconveniente, se encuentra el mayor
coste de construcción de las bandejas, las
cuales deben de ser encofradas y cimbradas a
alturas importantes, pues éste tipo de muros se
encuentra indicado para alturas superiores a
10-12 m.
3
Figura 11.8. Muros de bandeja. Fuente .
11.2.7. Muros de criba
El sistema consiste en crear una red
espacial, a base de piezas prefabricadas de
hormigón. Dicha red espacial se rellena con el
propio suelo.
3
Figura 11.9. Muros de criba. Fuente .
11.2.8. Muros prefabricados
Existen
varios
sistemas
de
muros
prefabricados, que en general se corresponden
con los sistemas de muros en ménsula con
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
contrafuertes, o del tipo de tierra armada.
Pág.
101
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
Figura 11.10. Muro prefabricados.
11.2.9. Muros de sótano y contención
Estos reciben las cargas verticales de las
plantas superiores, pudiendo existir varios
sótanos.
sea o no de propiedad ajena y de la relación
entre empujes y cargas verticales, el cimiento
va o no centrado respecto al muro.
Dependiendo de que el terreno adyacente
3
Figura 11.11. Muros de sótano y contención. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
102
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.3. EL EMPUJE DE TIERRAS
11.3.1. Estados límite
El empuje sobre el trasdós de una
estructura proviene del desequilibrio tensional
creado al realizar la obra que separa los dos
niveles de diferente cota que definen la altura
del muro.
Supongamos un suelo en el que no se ha
realizado ninguna obra (figura 11.12a),
considerando una línea vertical AA´, un
elemento diferencial de terreno situado junto a
dicha línea y a una profundidad z, estará
sometido a las tensiones verticales
horizontales σ
σ
´
V0
y
´
H0.
- Estado inicial. Supongamos que la línea
AA´ la sustituimos por una pantalla indefinida
de espesor inapreciable, pero de rigidez muy
grande, de forma que no se altere el estado de
tensiones, esta situación la denominaremos
Estado inicial.
- Estado activo: si eliminamos el terreno
situado a la izquierda de la pantalla, esta se
a) Estado inicial
verá sometida a las tensiones que había antes
a la derecha, pero con el inconveniente de no
existir terreno a la izquierda para mantener el
equilibrio, con lo que la pantalla tenderá a
moverse bajo las tensiones iniciales - o
empujes iniciales - , por lo que el terreno de la
derecha experimentará una relajación. Como
consecuencia de esta relajación disminuirán las
tensiones horizontales en el terreno próximo a
la pantalla hasta alcanzar unos valores
permanentes σ ´Ha , correspondientes a un
estado llamado Estado activo.
- Estado pasivo: por el contrario, si
hubiésemos movido la pantalla hacia el terreno
de la derecha, las presiones sobre la línea AA´
aumentarían, debido a la reacción del terreno
que se opone al movimiento. También
llegaríamos a un estado de tensiones
permanente,
σ ´Hp , correspondiente a un
Estado pasivo.
c) Estado pasivo
b) Estado activo
14
Figura 11.12. Estados activos y pasivos idealizados. Fuente .
En la figura 11.13. se analiza la variación de
las tensiones horizontales en un punto, en
función de los movimientos que podría
experimentar la línea AA´. Como se desprende
de la misma, existen dos estados límite, activo
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
y pasivo, que representan las tensiones que un
terreno puede tener junto a un muro, es decir,
los empujes máximo y mínimo del terreno hacia
una estructura de contención.
Pág.
103
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
14
Figura 11.13. Influencia de los movimientos en los empujes. Fuente .
La presión del terreno sobre un muro está
fuertemente condicionada por la deformabilidad
del muro, entendiendo por tal no sólo la
deformación que el muro experimenta como
pieza de hormigón, sino también la que
produce en el muro la deformación del terreno
de cimentación.
En la interacción entre el muro y el terreno
sobre el que se cimienta puede ocurrir que las
deformaciones sean prácticamente nulas,
diciéndose que la masa de suelo se encuentra
en estado de reposo y se está en el caso de
empuje al reposo. Algunos muros de gravedad
y de sótano pueden encontrarse en ese caso.
En la figura 11.14. se muestran las acciones
a considerar en un muro de contención en
ménsula.
7
Figura 11.14. Acciones y reacciones en un muro de contención. Fuente .
En el caso de un muro de contención
interesa conocer el empuje activo, pero en el
caso de una pantalla contínua (figura 11.15.),
en que parte de la estructura está enterrada,
en la zona inferior, ésta empujará al terreno,
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
por lo que se necesitará conocer el empuje
pasivo, como límite de la reacción con la que
se puede contar.
Pág.
104
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
14
Figura 11.15. Estado de empujes en una pantalla flexible en voladizo. Fuente .
Si el muro se desplaza permitiendo la
expansión lateral del suelo, se produce un fallo
por corte del suelo, la cuña de rotura avanza
hacia el muro y desciende. En éste caso, el
empuje se reduce desde el valor del empuje al
reposo hasta el valor del empuje activo, que es
el mínimo valor posible del empuje activo.
(Figura 11.16. a).
Por el contrario, si se aplican fuerzas al
muro de forma que éste empuje al relleno, el
fallo se produce mediante una cuña mucho
más amplia, que experimenta un ascenso. Este
valor recibe el nombre de empuje pasivo y es el
mayor valor que puede alcanzar el empuje.
(Figura 11.16. b).
3
Figura 11.16. Rotura del suelo para a) empuje activo y b) empuje pasivo. Fuente .
11.3.2. Empuje activo
En el estado actual de conocimientos se
pueden calcular los empujes del terreno con
razonable precisión en el caso de suelo
granulares. Para otros tipos de suelo la
precisión es poco satisfactoria.
Existen
diversas
teorías
para
la
determinación del empuje activo, entre las que
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
destacan las debidas a Coulomb y Rankine. En
ambas teorías se establecen diversas hipótesis
simplificativas del problema, que conducen a
cierto grado de error, pero producen valores de
empuje que entran dentro de los márgenes de
seguridad.
Pág.
105
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.3.2.1. Teoría de Coulomb para suelos granulares
La NBE-AE-88 “Acciones en la edificación”
(Capitulo IX empujes del terreno), recomienda
aplicar la teoría de Coulomb (1773) para el
cálculo de los empujes activos en terrenos sin
cohesión.
Esta teoría
fundamentales:
se
basa
en
5
c) El
relleno es un material granular,
homogéneo e isotrópico y el drenaje es lo
suficientemente bueno como para poder
despreciar las presiones intersticiales en el
mismo.
hipótesis
d) De
todos los posibles planos de
deslizamiento, el que realmente se produce es
el que conlleva un valor de empuje máximo.
a) Al desplazarse el muro bajo la acción del
empuje, se produce un deslizamiento de una
cuña de terreno limitada por el trasdós del
muro, la superficie del terreno y una superficie
plana que pasa por el talón del muro.
e) La falla es un problema bidimensional.
Considera una longitud unitaria de un cuerpo
infinitamente largo.
b) Existe rozamiento entre el terreno y el
muro.
11.3.2.1.1. Resolución gráfica
muro contra el suelo (P), igual y contraria al
empuje activo, y la reacción del terreno sobre la
cuña (Q), que formará con la normal a la línea
de rotura un ángulo igual al de rozamiento
interno del terreno, ϕ .
En el caso de un terreno con superficie
irregular, la resolución gráfica (figura 11.17.) es
la más adecuada. Suponiendo una línea de
ruptura recta, tendrá que estar en equilibrio el
peso de la cuña de suelo (W), la reacción del
P,max
• P: Reacción del muro sobre el
terreno, contraria al empuje activo.
• δ : ángulo de rozamiento entre
terreno y muro.
• ϕ : ángulo de rozamiento interno del
terreno.
• W: peso de la cuña.
• Q: reacción de la masa del terreno
sobre la cuña.
P
W
W
Q
P
Q
3
Figura 11.17. Método de Coulomb para un terreno de superficie irregular. Fuente .
El método consiste en proceder por tanteos
sucesivos, elegido el punto 1, como posible
origen de la cuña de deslizamiento, se calcula
el peso de la cuña (W), y en el polígono
vectorial de fuerzas se enlazan los vectores P y
Q correspondientes, ambos de direcciones
conocidas. El valor de P se lleva a un origen
convencional.
Repitiendo el proceso para varios puntos,
1,2,3, ... es posible determinar el punto G
correspondiente a la cuña de empuje máximo,
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
con ello se obtiene el punto C y la posición NC
de la superficie de rotura de la cuña
correspondiente.
La posición de la resultante del empuje
activo sobre el muro puede obtenerse con
suficiente aproximación trazando por el centro
de gravedad de la cuña MNC una paralela a
NC hasta cortar el trasdós del muro.
Los valores de ϕ y γ , a falta de ensayos
directos pueden tomarse de la tabla 11.1.
Pág.
106
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
3
Tabla 11.1. Densidades secas y ángulos de rozamiento interno para suelos granulares. Fuente .
11.3.2.1.2. Resolución analítica
Para el caso de la superficie del relleno
limitada por una línea recta, el procedimiento
analítico a seguir es el siguiente:
•
δ : ángulo de rozamiento entre terreno y muro.
•
ϕ : ángulo de rozamiento interno del terreno.
•
β
: ángulo de la superficie del relleno con la
horizontal.
•
α : ángulo entre el trasdós del muro y la horizontal.
• P: Reacción del muro sobre el terreno, contraria al
empuje activo y con el mismo valor.
H
• W: peso de la cuña.
• Q: reacción de la masa del terreno sobre la cuña.
•
γ
: densidad seca del relleno.
• H: altura del muro.
11
Figura 11.18. Método de Coulomb para un terreno de superficie recta. Fuente .
El peso de la cuña del terreno viene dada
por la siguiente expresión:
W = γ·
H2
sen(α + β )
(Ec.1)
·sen(α + θ )·
2
sen(θ − β )
2·sen α
Si construimos el polígono de fuerzas que
se muestra en la figura 11.18. y aplicando el
teorema del seno a dicho polígono, podremos
deducir una expresión del empuje (P) en
función del ángulo que forma el plano de
deslizamiento con la horizontal ( θ ) y el peso
de la cuña (W). Como el peso de la cuña
también es función del ángulo θ , podremos
deducir una única expresión del empuje (P), en
función de una única variable, el ángulo θ .
Derivando respecto a θ e igualando a cero
esta expresión, obtendremos el valor del
ángulo θ que proporciona el máximo empuje.
Tras sustituirlo en la expresión del empuje,
obtendremos entonces el máximo empuje. Para
ello se procede de la siguiente forma:
Aplicando el teorema del seno al triángulo
de fuerzas de la figura 11.17, se obtiene la
relación:
W ·sen(θ − ϕ )
P
W
⇒ P=
=
sen(180 − α − θ + ϕ + δ )
sen(θ − ϕ ) sen(180 − α − θ + ϕ + δ )
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
(Ec. 2)
Pág.
107
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
Sustituyendo en la ecuación 2 el valor de W
obtenido en la ecuación 1 se obtiene el
P = γ·
siguiente valor para el empuje activo:
sen(α + β )
sen(θ − ϕ )
H2
·
·sen(α + θ )·
2
sen(θ − β ) sen(180 − α − θ + ϕ + δ )
2·sen α
el valor del ángulo θ que proporciona el
máximo empuje. Una vez obtenido el valor de
θ , lo sustituimos en la ecuación 3, obteniendo
la siguiente expresión:
Como podemos observar en la ecuación 3,
el empuje activo es función del ángulo θ ;
derivando la misma con respecto a θ e
igualando a cero esta expresión, obtendremos
1
P = ·γ ·H 2 ·
2
sen 2 (α + ϕ )

sen(ϕ + δ )·sen(ϕ − β ) 
sen 2α ·sen(α − δ )·1 +

sen(α − δ )·sen(α + β ) 

λ=
2
(Ec. 5)
sen 2 (α + ϕ )

sen(ϕ + δ )·sen(ϕ − β ) 
sen 2α ·sen(α − δ )·1 +

sen(α − δ )·sen(α + β ) 

La distribución del empuje activo a lo largo
del muro se obtiene derivando la ecuación 5
con respecto a H:
dP
=·γ ·H ·λ
dH
(Ec. 4)
Siendo λ el coeficiente de empuje activo, el
cual viene dado por la siguiente expresión:
La ecuación 4 se puede escribir de la
siguiente forma:
1
P = ·γ ·H 2 ·λ
2
(Ec. 3)
a una profundidad, medida desde la superficie
del terreno:
z=
(Ec. 7)
Como se deduce de la ecuación 7, el
empuje activo tiene una distribución triangular,
encontrándose su punto de aplicación en el
centro de gravedad de dicho triángulo, es decir,
(Ec. 6)
2
2
H
3
(Ec. 8)
Como suele ser habitual operar con las
componentes horizontal y vertical del empuje y
el ángulo que forma éste con la horizontal vale
90 − α + δ , tenemos que:
1
1
PH = P·cos(90 − α + δ ) = ·γ ·H 2 ·λ ·sen(α − δ ) = ·γ ·H 2 ·λ H
2
2
1
PV = P·sen(90 − α + δ ) = ·γ ·H 2 ·λV
2
(Ec. 9)
(Ec. 10)
Siendo λ H y λV los coeficientes de empuje activo horizontal y vertical respectivamente.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
108
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
λ H = λ ·sen(α − δ ) =
sen 2 (α + ϕ )

sen(ϕ + δ )·sen(ϕ − β ) 
sen α ·1 +

sen(α − δ )·sen(α + β ) 

2
(Ec. 11)
2
λV = λ H ·cot g (α − δ )
(Ec. 12)
Los coeficientes de empuje activo λ H y λV se pueden obtener en las tablas 11.2. y 11. 3. para
diferentes valores de ϕ , δ , β y α .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
109
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
9
Tabla 11.2. Coeficientes de empuje activo. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
110
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
9
Tabla 11.3. Coeficientes de empuje activo. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
111
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.3.2.1.3. Resolución analítica para el caso de una carga uniformemente repartida sobre el terreno
Incremento de presión debida a la
carga uniformemente repartida
•
β
: ángulo de la superficie del relleno con
la horizontal.
•
α : ángulo entre el trasdós del muro y la
horizontal.
• P: Reacción del muro sobre el terreno,
contraria al empuje. activo y con el mismo
valor.
• W: peso de la cuña.
• H: altura del muro.
3
Figura 11.19. Método de Coulomb para un terreno con una carga uniformemente repartida. Fuente .
El peso de la cuña del terreno, incluida la
sobrecarga correspondiente, viene dada por la
siguiente expresión:
1
H
W = ·γ ·l ·
·sen(α + β ) + q·l
2
senα
Igualando el peso (W) al de una cuña NMC
de un relleno virtual de densidad ficticia γ 1 , se
obtiene la siguiente expresión:
1
1
H
H
·γ ·l ·
·sen (α + β ) + q·l = ·γ 1 ·l ·
·sen (α + β )
2
2
senα
senα
⇒ γ1 = γ +
2q
senα
·
H sen(α + β )
Con lo cual ya podemos establecer analogía
con el caso anterior, ya que una vez incluido el
peso de la sobrecarga en el de la cuña, el
empuje ha de ser el mismo, con lo cual:
1
P = ·γ 1 ·H 2 ·λ
2
donde:
Con lo cual:
1
senα
PH = ·H 2 ·λ H ·γ + λ H ·q·H ·
2
sen(α + β )
1
senα
PV = ·H 2 ·λV ·γ + λV ·q·H ·
2
sen(α + β )
En el caso de que α = 90º y/o β = 0º , las
expresiones del empuje anteriores se
simplifican tomando la siguiente forma:
1
PH = ·H 2 ·λ H ·γ + λ H ·q·H
2
1
PV = ·H 2 ·λV ·γ + λV ·q·H
2
En cuanto a la profundidad del punto de
aplicación, éste es de deducción inmediata,
resultando:
senα
sen(α + β )
y = H·
senα
3γH + 6q
sen(α + β )
2γH + 3q
λ = λ2H + λV2
Sustituyendo γ 1 por su valor tenemos:

senα 
1
2q
⇒
P = ·H 2 ·λ · γ + ·
H
sen
2
(α + β ) 

1
senα
P = ·H 2 ·λ ·γ + λ ·q·H ·
2
sen(α + β )
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Al igual que en los empujes, en el caso de
que α = 90º y/o β = 0º , la expresión se
simplifica tomando la siguiente forma:
y = H·
2γH + 3q
3γH + 6q
Pág.
112
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.3.2.2. Empuje activo en terrenos anegados
En los terrenos permeables anegados el
empuje total será la suma de los siguientes
empujes parciales (fig. 11.20):
3º.- Empuje del terreno situado por encima
de la zona sumergida.
4º.- Empuje originado
uniformemente repartida.
1º.- Empuje del terreno sumergido.
2º.- Empuje
sumergida.
hidrostático
en
la
por
la
carga
zona
3
Figura 11.20. Cálculo del empuje en terrenos anegados. Fuente .
ascensional del agua. Dicho peso específico
virtual viene dado por la siguiente fórmula:
1º- El empuje del terreno sumergido, se
calculará a partir de un peso específico virtual
(γ'), en el cual se tiene en cuenta la disminución
del empuje activo originada por el empuje
•
n 

γ ´= γ − 1 −
γ a
 100 
•
γ ´ : peso específico virtual.
γ : densidad seca.
• n: índice de huecos
•
γ a : peso especifico del agua
A falta de ensayos, éste se puede estimar a
partir de las tablas 11.4 y 11.5.
Peso Específico
aparente γ (kN/m3)
Peso Específico virtual γ´
(kN/m3)
Tabla 11.5. Densidades aproximadas de distintos suelos
3
granulares. Fuente .
Tabla 11.4. Características empíricas de los terrenos.
9
Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
2º.- Empuje hidrostático del agua en la zona
sumergida, se obtendrá según la siguientes
Pág.
113
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
expresiónes:
PaH = γ a ( z − z o )·senα
PaV = γ a ( z − z o )·cos α
3º y 4º.- El empuje del terreno por encima
de la zona sumergida, y el provocado por la
carga uniformemente repartida en caso de
existir, se calcularán según las fórmulas
expuestas anteriormente para los terrenos sin
nivel freático.
Incluyendo éstos empujes parciales en la
misma expresión, los empujes a una
profundidad z quedan del siguiente modo:

senα 
PH = γ ´·(z − z o ) + γ · z o + q·
·λ H + γ a ( z − z o )·senα
sen
(α + β ) 


senα 
PH = γ ´·(z − z o ) + γ · z o + q·
·λV + γ a ( z − z o )·cos α
sen(α + β ) 

Si z ≤ z o , en ambas expresiones debe de hacerse z o = z
11.3.2.3. Empuje activo debido a cargas puntuales o concentradas en áreas reducidas
λ H ·N
3
Figura 11.21. Cálculo del empuje debido a cargas puntuales o concentradas en áreas reducidas. Fuente .
Se expone a continuación el método
seguido por el Civil Engineering Code of
Práctice, según el cual se determina el punto A
trazando por el centro O, de aplicación de la
resultante de la carga repartida, N, la recta ON,
formando 40º con la horizontal.
Si el corte se produce en el trasdós por
debajo de la base del muro, el efecto de la
carga N, puede ser despreciado.
El empuje equivalente es:
PH = λ H · N
El inconveniente de éste método es sólo
permite calcular los esfuerzos a que está
sometido el muro en su arranque.
A éste empuje debido a la carga
concentrada deberá sumársele el debido al
peso del relleno contra el trasdós, con lo cual,
los valores del empuje activo vendrán
determinados por las siguientes expresiones:

1
PH =  ·γ ·H 2 + N ·λ H
2


1
PV =  ·γ ·H 2 ·λV

2
siendo N la resultante de la carga sobre el
terreno, y éste se reparte en un ancho:
b+ x
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
114
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.3.2.4. Empuje activo en terrenos estratificados
Según la NBE-AE/88. Acciones en la
edificación, en los terrenos constituidos por
estratos de diversas características se
determinará el empuje total obteniendo la
resultante
de
los
empujes
parciales
correspondientes a cada uno de los estratos. A
este efecto, cada uno de ellos se considerará
como un terreno homogéneo, sobre cuya
superficie superior actúa una carga igual a la
suma de los esos de los estratos superiores,
más la que pueda existir sobre la superficie
libre.
11.3.3. Empuje al reposo.
Este valor del empuje puede producirse
cuando la deformabilidad del muro es
extremadamente pequeña. El valor de λ es
difícil de evaluar, pero en arenas suele variar
entre 0,4 y 0,6. En terrenos granulares suele
estimarse mediante la expresión:
Un método aproximado de uso frecuente es
el que se recoge en la figura 22. Para el caso
en que no haya carga sobre el relleno, el
diagrama triangular de presiones se sustituye
por uno rectangular de valor dos tercios de la
presión máxima de empuje activo, pero
calculado con:
λ = 1 − senϕ
λ = 1 − senϕ
Siendo:
•
ϕ : ángulo de rozamiento interno del terreno.
Si existe carga sobre el terreno, se opera
de manera análoga.
En terrenos cohesivos λ alcanza valores
entre 0,5 y 0,75.
3
Figura 11.22. Cálculo del empuje al reposo. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
115
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4. EL PROYECTO DE MUROS EN MÉNSULA
El proyecto de muros en
comprende las siguientes etapas:
ménsula
1º.- Predimensionamiento.
2º.- Calculo de los empujes.
3º.- Comprobación de la estabilidad del
elemento:
3.1.- Seguridad a deslizamiento.
3.2.- Seguridad a vuelco.
3.3.- Tensiones sobre el terreno de
cimentación en condiciones de servicio.
3.4.- Tensiones sobre el terreno de
cimentación bajo empuje incrementado.
4º.- Cálculos estructurales (armado).
11.4.1. Predimensionamiento
Interesa disponer de un método de
predimensionamiento que permita seleccionar
las dimensiones del muro de forma que se
eviten tanteos y repeticiones innecesarias en
los cálculos.
Como orientación al predimensionamiento
de los muros en ménsula, a modo simplificado,
podríamos tomar los siguientes parámetros en
función de la altura total del muro:
- Anchura de la zapata (a´):
0,4 H < a´< 0,7 H
- Canto de la zapata (h):
h=
H
≥ 0,25m
10
- Espesor del fuste (a):
a=
H
≥ 0,25m
10
- Longitud de la puntera:
a´
3
En el libro del profesor Calavera, .”Muros de
contención y muros de sótano”, fuente3, existen
una serie de ábacos que permiten abordar el
predimensionamiento de muros en ménsula de
distintas tipologías de un modo más exacto.
11.4.2. Estabilidad del elemento
11.4.2.1. SEGURIDAD A DESLIZAMIENTO
Según se puede apreciar en la figura 11.23.,
la fuerza que produce el deslizamiento es la
componente horizontal del empuje activo PH .
Las fuerzas que se oponen al deslizamiento
son el rozamiento entre la base del muro y el
terreno de cimentación y el eventual empuje
pasivo E p frente a la puntera del muro.
indican valores del coeficiente de rozamiento para algunos
tipos de suelo.
• Ep Empuje pasivo frente a la puntera del muro.
La fuerza que se opone al deslizamiento
viene dada por la siguiente expresión:
R = (N´+ PV ) µ + E p
Donde:
• N’ : resultante de los pesos del muro y las zonas de de
terreno situadas verticalmente sobre la puntera y el talón
(zonas 1, 2 3) en la figura 11.23.
•
•
PV
µ:
: Componente vertical del empuje activo.
Tabla 11.6. Coeficientes de rozamiento ( µ ) entre el suelo y el
3
hormigón. Fuente .
El coeficiente de seguridad a deslizamiento
viene dado por la siguiente expresión:
Coeficiente de rozamiento entre suelo y hormigón.
En general será el resultado del correspondiente estudio
geotécnico. A falta de datos más precisos, puede tomarse
µ=tan ϕ, siendo ϕ, el ángulo de rozamiento interno del
3
terreno base. En la tabla 11.6., tomada de Calavera , se
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
C sd =
( N '+ PV ) µ + Ep
Festabilizante
=
Fdesestabilizante
PH
Pág.
116
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
El valor del empuje pasivo en la puntera
puede ser estimado conservadoramente
mediante la fórmula de Rankine:
[
]
1
2 1 + senϕ
E p = ·γ · D 2 − (D − h ) ·
2
1 − senϕ
No se debe considerar el empuje pasivo a
nivel superior de la puntera, ya que éste terreno
ha sido excavado para la ejecución de la
misma.
En cuanto a los valores a adoptar para el
coeficiente de seguridad a deslizamiento, una
posible solución es garantizar el valor Csd> 1
es decir, no
suponiendo Ep = 0 en
considerando el empuje pasivo en el estado de
servicio y garantizar Csd> 1,5 contando con Ep
en estado límite último.
La profundidad de cimentación (D) no suele
ser inferior a 1,00 m y en el caso de tener en
cuenta el empuje pasivo en los cálculos, el
proyectista debe el asegurarse de que el
terreno existe frente al muro en una distancia
suficiente, que suele estimarse en el doble de
la profundidad de cimentación ( 2 D ) y que esta
existencia queda asegurada durante la vida del
muro.
2
PV
1
H
PH
3
D
N´
Ep
h
a´
Figura 11.23. Seguridad a deslizamiento del muro.
11.4.2.2. SEGURIDAD A VUELCO
Como se aprecia en la figura 11.24, el
vuelco del muro está producido por el empuje
horizontal.
• N’ : resultante de los pesos del muro y las zonas de de
terreno situadas verticalmente sobre la puntera y el talón
(zonas 1, 2 3) en la figura 11.24.
Despreciando el empuje pasivo en la
puntera, el coeficiente de seguridad a vuelco
se obtiene a partir de la siguiente expresión:
•
M estabilizante
C sv =
M desestabilizante
 a´

N ´ − e p 
2

≥ 1,8
=
  a´

[PH ( H − y )] −  PV  − x 

 2
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
•
•
PV : componente vertical del empuje activo.
PH : componente horizontal del empuje activo.
e p : excentricidad de N´ respecto al punto medio de la
base del cimiento. Se introduce en la fórmula con su
signo, siendo positiva si cae del lado de la puntera del
muro.
• x: excentricidad del punto de aplicación de
PV , respecto
al punto medio de la base del cimiento. Se introduce en la
fórmula con su signo, siendo positiva si cae del lado de la
puntera del muro.
• y: profundidad del punto de aplicación del empuje activo.
Pág.
117
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
2
PV
1
3
D
Ep
H
PH
ep
N´
h
a´
Figura 11.24. Seguridad a vuelco del muro.
11.4.2.3. TENSIONES SOBRE EL TERRENO DE CIMENTACIÓN
La comprobación se realiza en condiciones
de servicio.
de la resultante (Nc) respecto al punto medio de
la base del cimiento. Esta excentricidad vendrá
dada por la siguiente fórmula:
en =
2
H
PH
x
3
D
N´
Nc
=
Mc
Nc
donde:
y
1 PV
N ´·e p + PV · x + [PH ( H − y )]
ep
• N’ : resultante de los pesos del muro, cargas en
coronación (si hubiese) y las zonas de de terreno situadas
verticalmente sobre la puntera y el talón (zonas 1, 2 3) en
la figura 11.25.
• Nc: resultante de todas las fuerzas verticales que actúan
sobre el cimiento.
• PV : componente vertical del empuje activo.
•
h
•
PH : componente horizontal del empuje activo.
e p : excentricidad de N´ respecto al punto medio de la
base del cimiento.
•
en : excentricidad de N respecto al punto medio de la
base del cimiento.
a´/2
a´
Figura 11.25. Seguridad a hundimiento del muro.
En primer lugar es preciso calcular la
resultante, Nc, de todas las fuerzas verticales,
fuerza aplicada en la base del cimiento:
N c = N ´+ PV
A continuación se calcula la excentricidad
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
• x: excentricidad del punto de aplicación de
PV , respecto
al punto medio de la base del cimiento. Se introduce en la
fórmula con su signo, siendo positiva si cae del lado de la
puntera del muro.
• y: profundidad del punto de aplicación del empuje activo.
• H: altura total del muro.
En función del valor que tome en en
relación a la sexta parte del ancho del cimiento,
a´
, nos encontramos con dos casos:
6
Pág.
118
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
1º.Carga
actuando
excentricidad reducida:
en ≤
a´
6
con
una
En este caso, la presión máxima en el borde
de la zapata vale:
σ max =
(resultante dentro del núcleo central)
En éste caso la distribución de presiones
bajo el terreno es una distribución trapezoidal
(figura 11.26) y las presiones en los bordes de
la zapata se obtienen mediante la ecuación:
σ =
a
Vp
tomando la presión máxima, media y mínima
los siguientes valores:
Vt
en
Nc
h
N c  6 × en 
1 +
;
a´ 
a´ 
σ med =
σ min
c = 1,5 × (a´−2en )
N c  6 × en 
·1 ±

a´ 
a´ 
σ máx =
Nc
4
×
3 (a´−2en )
σ
Nc
;
a´
max
a´/2
c
N  6 × en 
= c 1 −

a´ 
a´ 
a´
Figura 11.27. Distribución triangular de presiones sobre el
terreno.
a
Vp
Vt
Nc
h
Es recomendable limitar la excentricidad
al valor:
en
en ≤
a´
3
σ
min
σ
σ
med
max
a´/2
a´
Figura 11.26. Distribución trapezoidal de presiones sobre el
terreno..
2º.- Carga actuando con una excentricidad
elevada:
en >
a´
(resultante fuera del núcleo central)
6
ya que, de lo contrario, la presión en punta
σ max crece excesivamente y a pequeños
incrementos
de
la
excentricidad
corresponden grandes incrementos en
presión σ max .
e
la
En ambos casos, 1º y 2º, debe verificarse,
para la seguridad frente a hundimiento de la
cimentación:
σ max ≤ 1,25σ adm
σ med ≤ σ adm
tolerándose en el borde una presión algo
mayor que la admisible del terreno.
En éste caso, se obtiene una distribución
triangular (figura 11.27) , pues no es posible
que se produzcan tracciones bajo la zapata.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
119
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4.3. DIMENSIONAMIENTO DE LA ARMADURA (CÁLCULOS ESTRUCTURALES)
11.4.3.1. Deformada del muro
Para realizar un armado correcto en este
tipo de elementos es fundamental tener en
cuenta su deformada, ésta nos indicará las
zonas traccionada y comprimidas.
En las figuras 11.28 a 11.30. se muestra la
armadura tipo y las zonas traccionadas y
comprimidas en distintas tipologías de muros
en ménsula.
7
Figura 11.28. Armadura tipo y deformada en muros con puntera y talón. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
120
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
7
Figura 11.29. Armadura tipo y deformada en muros con puntera. Fuente .
7
Figura 11.30. Armadura tipo y deformada en muros con talón. Fuente .
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
121
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4.3.2. Dimensionamiento de la armadura del alzado
Un procedimiento para calcular la altura a la
que podemos reducir la armadura a la mitad,
consiste en calcular el Mu (EHE, Anejo 8,
Apartados 3.2 y 5.2., comprobación de
secciones, ver anejo I de éste libro) que es
capaz de resistir la sección con la mitad de
armadura vertical en la cara traccionada y a
continuación buscar a que altura el muro se
encuentra sometido a un momento Md igual, es
decir, buscar la profundidad a la que
M u = M d . Debe tenerse en cuenta que la
reducción de la armadura no podrá hacerse en
éste punto, sino que tendremos que prolongarla
a partir de aquí en una longitud igual al cánto
útil del alzado más la longitud neta de anclaje
( lb,neta ).
Para el cálculo de la armadura del muro se
seguirá
la
EHE,
con
sus
artículos
correspondientes.
Se considera que funciona como una
ménsula empotrada en la zapata, de canto “a”,
y un metro de anchura (b=1m). En caso de no
poseer cargas verticales en coronación, se
calculará como un elemento que trabaja a
flexión simple, para ello se desprecia el peso
del alzado y el posible empuje vertical del
terreno.
En muros de altura reducida (hasta 5 m), es
normal calcular la armadura del alzado en su
unión con el cimiento, ya que es la sección más
solicitada, y llevarla hasta la coronación.
En muros con alturas mayores, es frecuente
disminuir en un 50% la armadura, a la altura en
que esto resulte posible. Para ello se tendrá en
cuenta el diagrama de momentos flectores,
buscando el punto en que ésta armadura deja
de ser necesaria.
Una vez que se obtiene la armadura del
alzado por cálculo, se comprobará que cumple
las cuantías máximas y mínimas expuestas en
los artículos 42.3.2, 42.3.3, y 42.3.5. de la EHE
(ver anejo I).
Armadura de coronación
As2,h :armadura horizontal
en la cara comprimida
As1,h :armadura horizontal
en la cara traccionada
As1,v :armadura vertical en
la cara traccionada
As2,v :armadura vertical en
la cara comprimida
Longitud de solapo de armaduras
en la cara traccionada
Longitud de solapo de armaduras
en la cara comprimida
Ls2
Ls1
Figura 11.31. Armadura tipo en el alzado.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
122
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4.3.2.1. Armadura vertical con el alzado trabajando a flexión simple
Para el cálculo de la armadura vertical ( As1,v
y As 2,v ) podemos usar el método de calculo
simplificado para secciones sometidas a flexión
simple en sección rectangular que se expone
en el anejo I de éste libro.(EHE anejo 8.3.)
Generalmente nos vamos a encontrar con el
Caso 1 de flexión simple (Md ≤ 0.375U0 d), en el
cual no es necesaria armadura de compresión
por cálculo, ( As 2,v = 0 ), con lo cual no será
necesario disponer por cálculo de armadura
vertical en la cara comprimida.
Sin embargo, para controlar la fisuración
producida por la retracción y esfuerzos
térmicos, será preciso disponer una armadura
vertical mínima en la cara comprimida que
vendrá
determinada
por
cuantías,
generalmente por la cuantía geométrica
mínima.
11.4.3.2.2. Armadura vertical con el alzado trabajando a flexión compuesta
En muchas ocasiones se emplea armadura
simétrica como simplificación constructiva, sin
embargo, puede ser importante, por el ahorro
que ello conlleva, buscar un par de armaduras
As1,v , As 2,v tal que resulte óptima la suma de
ambas.
En el caso de emplear armadura simétrica,
armadura vertical en ambas caras,
As1,v = As 2,v , se puede obtener mediante el
la
método expuesto en la EHE, Anejo 8.5. Flexión
compuesta recta en sección rectangular con.
Us1=Us2 (ver anejo I).
En el caso de buscar una distribución
óptima de armaduras, podremos aplicar el
método que se expone a continuación:
N d × et ,
siendo
et la
excentricidad
con
respecto a la armadura de tracción; se calcula
como si se tratase de un problema de flexión
simple, y luego se determina la armadura
correspondiente a la flexión compuesta según
las expresiones expuestas en el apartado c).
Los pasos a seguir son los siguientes:
f) Determinación del momento de cálculo a
flexión simple:
et =
M d d − d´
+
(excentricidad con respecto a
Nd
2
la armadura de tracción)
El nuevo momento de cálculo vendrá
determinado por la expresión:
M d = N d × et
- Flexión
compuesta
en
sección
rectangular con distribución óptima de
armaduras:
En el caso de estructuras de contención,
dada la marcada dirección y sentido del
momento flector, existiendo en el muro una
cara claramente más traccionada (o menos
comprimida) que la otra, se puede buscar el par
de armaduras As1,v , As 2,v , tal que resulte
mínima la suma de ambas.
El método de cálculo que más se ajusta al
comportamiento real se basa en el Diagrama
parábola rectángulo del hormigón, e implica un
proceso laborioso de resolución de ecuaciones
(ver Calavera2 o J. Montoya8).
Sin embargo, para simplificar el problema,
podemos obtener las capacidades mecánicas
de la armadura ( U S1 ,U S 2 ) como si se tratara
de un problema de flexión simple y después
aplicar el teorema de Ehlers. Para ello se
sustituye el momento de cálculo, ( M d ) por
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
g) Obtención de la armadura a partir del
cálculo a flexión simple. (EHE, Anejo 8.3)
h) Obtención
de
la
armadura
correspondiente a flexión compuesta.
U S1 = AS 1 × f yd − N d
U S 2 = AS 2 × f yd
En el caso de cargas en coronación
reducidas, nos vamos a encontrar con que no
es necesaria armadura de compresión,
( As 2,v = 0 ), con lo cual no será necesario
disponer por cálculo de armadura vertical en la
cara comprimida, pero al igual que el caso del
alzado trabajando a flexión simple, será
necesaria disponer una armadura mínima por
cuantías para controlar la fisuración por
retracción y esfuerzos térmicos.
Pág.
123
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4.3.2.3. Armadura horizontal en el alzado.
La armadura horizontal necesaria se obtiene
aplicando el Artículo 42.3.5. de la EHE, en el
cual se indica la cuantía geométrica de la
armadura horizontal, así como el modo de
disponerla (ver anejo I).
La armadura mínima horizontal deberá
repartirse en ambas caras. Para muros vistos
por ambas caras debe disponerse el 50% en
cada cara. Para muros vistos por una sola cara
podrán disponerse hasta 2/3 de la armadura
total en la cara vista.
interrumpida, la cuantía geométrica horizontal
podrá reducirse a la mitad.
Los porcentajes de armadura horizontal en
0
/ 00 , referidos a la sección total de hormigón
se muestran en la tabla 11.7.
Tipo de elemento estructural
Tipo de acero
B 400 S
Muros
En caso de que se dispongan juntas
verticales de contracción, a distancias no
superiores a 7,5 m, con armadura horizontal
Armadura horizontal
4,0
B 500 S
3,2
O
Tabla 11.7. Cuantías geométricas mínimas, en /OO ,
referidas a la sección total de hormigón. EHE Art. 42.3.5.
11.4.3.2.4. Comprobación a esfuerzo cortante.
En estas estructuras no es habitual disponer
de armadura de cortante, con lo que se debe
de comprobar que el alzado no se agota por
tracción del alma.
En primer lugar se define el esfuerzo
cortante efectivo, en el caso de armaduras
pasivas y piezas de sección constante (Art.
44.2.2) como:
Vrd = Vd
El esfuerzo cortante de cálculo, en piezas
sin armadura de cortante, debe de ser menor
que la resistencia a tracción del alma:
Vrd ≤ Vu 2
Donde:
• Vrd: esfuerzo cortante efectivo de cálculo.
• Vd: valor de cálculo del esfuerzo cortante producido por
acciones exteriores.
• Vu2: esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el
alma.
El esfuerzo de agotamiento por tracción en
el alma, Vu 2 , en piezas sin armadura de
cortante, se obtiene a partir de la siguiente
expresión (EHE Art. 44.2.3.2 y 44.2.3.2.1):
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
1


Vu 2 = 0,12 × ξ × (100 ρ1 × f ck ) 3 − 0,15 × σ ´cd  × b0 × d


Siendo:
• fck : resistencia característica del hormigón, expresada en
2
N/mm .
•
σ ´cd =
Nd
b×h
: tensión de compresión axil efectiva, si
existe, del hormigón. En el caso de flexión simple, o axiles
pequeños, se puede despreciar.
•
ξ =1+
•
b0 = b
•
ρ1 =
200
(con d en mm)
d
(en piezas de sección constante)
AS
< 0,02
b0 × d
(cuantía geométrica de la armadura
longitudinal traccionada)
Si Vrd > Vu 2 , la pieza no resiste el esfuerzo
cortante a que se encuentra sometida. En este
caso podemos aumentar el canto o el ancho de
la sección, también podríamos aumentar la
sección
de
la
armadura
longitudinal
traccionada, o colocar armadura de cortante,
en cuyo caso se comprobaría su resistencia a
cortante según el método expuesto en la EHE
para piezas con armadura de cortante.
Pág.
124
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4.3.2.5. Solape de la armadura del alzado con las esperas de la cimentación. (figura 11.31.)
a) Longitud básica de anclaje:
f yk
lbI = m × ∅ 2 <
×∅
20
•
AS
AS ,real
(Cociente entre el área de armadura necesaria
por cálculo y el área real de la armadura)
Siendo:
• IbI :longitud básica de anclaje para barras en posición I,
• m: coeficiente numérico con valores en la tabla 11.8.
2
• fyk: límite elástico garantizado del acero en N/mm .
• ∅ = diámetro de la barra en cm.
Figura 11.32. Distancia transversal entre los empalmes
más próximos .Fuente EHE Art. 66.6
Al igual que la longitud básica de anclaje, la
longitud de solapo debe de cumplir las
limitaciones impuestas en el Artículo 66.5.1. de
la EHE.
Tabla 11.8. Valores del coeficiente m. Fuente EHE Art.
66.5.2
La longitud básica de anclaje debe de
cumplir las limitaciones impuestas en el artículo
66.5.1. de la EHE, según las cuales, ésta no
debe de ser inferior de los tres valores
siguientes:
- 10 φ
Según lo expuesto en éste apartado, las
longitudes de solapo,
Ls1 y Ls 2 , que se
muestran en la figura 11.31. toman el siguiente
valor:
c) Longitud
de
traccionada ( Ls1 ):
solapo
l s1 = α × lb ×
- 15 cm
- 1/3 lb (caso de barras trabajando a tracción)
- 2/3 lb (caso de barras a compresión)
b) Cálculo de la longitud de solapo:
l s = α × lb ×
AS
AS ,real
en
la
cara
AS
AS ,real
Donde α , en función de la distancia entre
empalmes toma el valor de 2 ó 1,4, ya que se
trata de barras trabajando a tracción.
d) Longitud
de
comprimida ( Ls 2 ):
solapo
l s 2 = lb ×
Siendo:
• Lb: Longitud de básica de anclaje.
• α : coeficiente numérico definido en la tabla 11.9.
en
la
cara
AS
AS ,real
Figura 32
Tabla 11.9. Valores del coeficiente
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
α
. Fuente EHE Art. 66.6.2
Pág.
125
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4.3.2.6. Separación entre barras aisladas (EHE Art. 66.4.1. y 42.3.1)
La distancia horizontal y vertical entre dos
barras consecutivas será igual o superior a los
tres valores siguientes:
28.2 EHE)
La distancia entre dos barras longitudinales
no debe ser inferior a:
- 2 cm
- 30 cm
- Diámetro de la mayor
- Tres veces el espesor bruto de la sección.
- 1,25 veces el tamaño máx de árido (ver Art
11.4.3.2.7. Armadura de coronación
En la coronación del muro debe disponerse
una armadura mínima para controlar la
fisuración, ver figura 11.30, según la
bibliografía consultada, para muros de menos
de 5 m de altura lo habitual es disponer 2
redondos de diámetro variable según la altura
del muro (tabla 11.10.)
Altura del muro (H) Armado en coronación
H ≤ 5m
2 φ 12
5m < H ≤ 8 m
2 φ 16
H > 8m
2 φ 20
3
Figura 11.33. Fisuración excesiva en coronación. Fuente .
3
Tabla 11.10. Armadura de coronación. Fuente .
11.4.4. Dimensionado de la armadura en puntera y talón
Se trata de piezas trabajando a flexión
simple
en
las
que
a
efectos
de
dimensionamiento de la armadura, ambos
elementos
funcionan
como
ménsulas
empotradas en el alzado, de canto h y 1 m de
anchura.
Para el dimensionamiento de la armadura
podemos usar el método de calculo
simplificado para secciones sometidas a flexión
simple en sección rectangular (EHE, Anejo 8.3.,
ver anejo I de éste libro).
Generalmente nos vamos a encontrar con el
Caso 1 de flexión simple (Md ≤ 0.375U0 d), en el
cual no es necesaria armadura de compresión
por cálculo, ( As 2,v = 0 ), con lo cual no será
necesario disponer armadura en la cara
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
comprimida.
Ambos, puntera y talón, se encuentran
sometidos a las acciones indicadas en la figura
11.34.
La armadura longitudinal de la puntera
(figura 11.35.) suele igualarse a la armadura de
tracción del alzado, ( As1,v ), ya que el momento
flector de cálculo en el empotramiento de la
puntera con el alzado, generalmente resulta
inferior al que existe en unión del alzado con el
cimiento, con lo que se simplifica la labor de
ferralla.
La comprobación a esfuerzo cortante se
realiza es similar a la explicada para el alzado,
ya que se trata de piezas sin armadura de
cortante.
Pág.
126
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
Vt
H
Vp
WRT
WRP
D
WZP
h
S1 Md
Vd
Vd
Md
S2
WZT
σmin
R2
R1
σmax
Figura 11.34. Acciones a considerar en la puntera y el talón.
Armadura longitudinal
de la puntera
Armadura transversal
de la puntera
Armadura transversal
del talón
Armadura longitudinal
del talón
Figura 11.35. Armadura tipo en puntera y talón.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
127
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
11.4.4.1.1. Anclaje armaduras en puntera y talón
Considerando ambos elementos como
ménsulas empotradas en el alzado, en el
empotramiento, la armadura deberá ir anclada
en una longitud igual a la longitud neta de
anclaje, contada a partir del eje del muro,
mientras que en el extremo de puntera y talón
deberá ir anclada en una longitud igual a la
longitud neta, contada a partir de un canto útil
del empotramiento.
11.5. DRENAJE EN ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
Según se expone en el apartado 11.3.2.2.,
cuando el terreno que se sitúa detrás del
trasdós se encuentra anegado, los empujes se
incrementan considerablemente.
Es importante, por tanto, crear una red de
drenaje con capacidad suficiente para evacuar
el agua y evitar la acumulación de la misma en
el trasdós del muro.
En la actualidad es común el uso de
geocompuestos en el trasdós de estas
estructuras con una doble función, por un lado
impermeabilizar la estructura, evitando la
filtración de humedad a través del alzado del
muro y por otra parte tienen la misión de
conducir el agua hacia la red de drenaje.
Estos
geocompuestos
se
componen
fundamentalmente de una geomembrana
alveolada, con función de impermeabilización y
un geotextil, el cual deja pasar el agua y retiene
los finos. El agua pasa a través del geotextil, en
contacto con el terreno, choca con la
geomembrana impermeable y es conducida por
gravedad a la parte inferior del muro donde se
encuentran los tubos de drenaje.
Una de las posibles soluciones a adoptar
con éste sistema se muestra en la figura 11.36.
Geocompuesto
(geomembrana+geotextil)
Relleno de
material granular
Tubos de Drenaje Porosos
Figura 11.36. Sistema de drenaje en muros de contención.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
128
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
Geotextil (poroso)
Geomembrana alveolada (impermeable)
Figura 11.37. Geocompuesto para impermeabilización y drenaje de estructuras de contención.
Muro
Geotextil
Geomembrana
Tubo de drenaje poroso
Figura 11.38. Funcionamiento del sistema de drenaje con geocompuestos y tubos porosos de drenaje.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
129
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
130
= CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN. =
CAPITULO XI: ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1: Estabilidad y armado de muro con carga en coronación.
133
EJERCICIO 2:. Empuje activo en muro con capa freática.
155
EJERCICIO 3: Empuje activo en muro con capa freática y carga superficial.
159
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
131
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
1. EJERCICIO. Estabilidad y armado de muro con carga en coronación
Un muro de hormigón armado, con las geometría y dimensiones de la figura 1.2., soporta el peso
de la cubierta de una nave y al mismo tiempo actúa de elemento de contención de tierras. Se pide:
- Comprobar la estabilidad de la estructura.
- Dimensionar la armadura necesaria.
1.
Figura 1.1. Caso real en que se basa el ejercicio teórico.
Correa Prefabricada
Viga Canalón
Cota del relleno
Alzado ó Fuste
Viga Peraltada
Intradós
1,00 m
Trasdós
6,00 m
5,00 m
6,50 m
0,40 m
1,00 m
0,50 m
Puntera
1,60 m
Zapata Corrida
3,00 m
Talón
Figura 1.2. Geometría.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
133
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
Datos:
• N G , k = 144 kN (axil característico debido a las acciones
permanentes, transmitido por la viga peraltada a la
coronación del muro)
• HA-25/B/20/IIa (control Normal)
• N Q,k = 28kN (axil característico debido a la carga de
• B-400-S (control normal)
nieve, transmitido por la viga peraltada a la coronación
del muro)
• α = 90 º (ángulo formado por el trasdós y la horizontal)
• S p = 6m (separación entre vigas peraltadas)
• ϕ = 30º (ángulo de rozamiento interno del terreno)
• a = 0,4 (Ancho del fuste)
• γ r = 17,66
• γ h = 25
kN
(peso específico del terreno)
m3
• d = 0,35 (canto útil del fuste)
kN
(peso específico del hormigón armado)
m3
• H = 6m (altura del muro)
• δ = 0º (ángulo de rozamiento interno muro-terreno)
• σ adm = 150
• hr =5 m (altura del relleno)
kN (tensión admisible del terreno)
m2
• 3 x 0,5 m (dimensiones de la zapata)
• f yd = 347,83 N / mm 2 (resistencia de cálculo del acero)
• IIa (tipo de ambiente EHE, Artículo 8.2.2)
• f cd = 16,67 N / mm 2 (resistencia de cálculo del hormigón)
h = 0,5 (Canto de la zapata)
Consideramos una longitud unitaria de muro, es decir, lo calculamos por metro lineal.
1.1. COEFICIENTES PARCIALES DE SEGURIDAD
Coeficientes de mayoración de acciones
Nivel de control de ejecución considerado: Normal
(EHE Art 12.1.y 95.5)
Tipo de acción Efecto desfavorable Efecto favorable
Permanentes
1,5
1
Variables
1,6
0
1.2. AXIL CARACTERÍSTICO EN CORONACIÓN
Consideramos el muro en sentido longitudinal como una viga rígida, asimilando las cargas
puntuales que le transmiten las vigas peraltadas de la cubierta, como cargas con una distribución
uniforme en la coronación del muro.
-
N CG ,k =
-
N CQ ,k =
N G ,k
Sp
N Q ,k
Sp
=
144
kN
= 24
(carga uniforme en coronación debido a las acciones permanentes)
6
ml
=
kN
28
= 4,66
(carga uniforme en coronación debido a la acción variable nieve)
ml
6
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
134
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
1.3. CALCULO DEL EMPUJE DEL TERRENO
a) Coeficiente de empuje activo:
ϕ = 30º ; δ m = 0º ; cot α = 0 : (tabla 11.2)
- λ H = 0,33
- λV = 0
b) Empuje activo:
Despreciamos el empuje activo en el talón.
2

hr

- PH = γ t ×

2




- PV =  γ t ×
2
hr
2
2


 × λ H = 17,66 × 5


2


2


 × λV = 17,66 × 5


2



kN
 × 0,33 = 72,85

ml


kN
×0 = 0

ml

Derivando la presión horizontal con respecto a h (
PH
), obtenemos la distribución de presiones a
dh
cualquier altura del muro, ésta tiene una forma triangular, encontrándose el máximo en la unión del
fuste con la cimentación, para h = 5m:
PH
kN
= γ ·λ ·h = 17,66 × 0,33 × 5 = 29,14 2
dh
m
y=
2
2
× hr = × 5 = 3,34m
3
3
y=3,34 m
5,00 m
PV = 0
PH = 72,85 kN/ml
1,66 m
29,14 kN/m2
Figura 1.3. Empuje activo en el muro.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
135
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
1.4. ACCIONES EN LA ESTRUCTURA
 kN 
Axil 
 m 
 l 
Excentricidad
(al centro de la
zapata)
Excentricidad
(al vértice A)
Carga uniforme en coronación
peso propio:
N1 = 24
e1 = 0,3m
e1 A = 1,2m
Peso del fuste:
N 2 = (6 × 0,4) × 25 = 60
e2 = 0,3m
e2 A = 1,2m
Peso de la zapata:
N 3 = (3 × 0,5) × 25 = 37,5
e3 = 0m
e3 A = 1,5m
Peso del relleno:
N 4 = (5 × 1,6) × 17,66 = 141,28
e4 = −0,7 m
e4 A = 2,2m
Carga uniforme en coronación
nieve:
N 5 = 4,66
e5 = 0,3m
e5 A = 1,2m
Carga uniforme en
coronación peso
propio:
Peso del fuste:
Peso de la zapata:
Peso del relleno:
Momento respecto al centro de la zapata
Momento respecto al vértice A
 mkN 


 ml 
 mkN 


 ml 
M 1 = 24 × 0,3 = 7,2
M 1 A = 24 × 1,20 = 28,8
M 2 = 60 × 0,3 = 18
M 2 A = 60 × 1,20 = 72
M 3 = 0 (carga aplicada en el eje)
M 4 = 141,28 × −0,7 = −98,9
M 3 A = 37,5 × 1,5 = 56,25
M 4 A = 141,28 × 2,2 = 310,8
Carga uniforme en
coronación nieve:
M 5 = 4,66 × 0,3 = 1,4
M 5 A = 4,66 × 1,20 = 5,6
Empuje horizontal
M 6 = PH × 2,16 = 72,85 × 2,16 = 157,36 M 6 A = PH × 2,16 = 72,85 × 2,16 = 157,36
1.5. COMPROBACIÓN DE LA ESTABILIDAD DE LA ESTRUCTURA
a) Estabilidad a vuelco:
Para comprobar la estabilidad a vuelco tomamos momentos con respecto al punto A (figura .1.4).
C sv =
M estabilizante
≥ 1,8
M desestabilizante
- Momento desestabilizante: la única fuerza que tiende a hacer volcar la estructura es el
momento provocado por el empuje horizontal.

mkN
 a´

− x  = PH × 2,16 = 72,85 × 2,16 = 157,36
ml
2

• M desestab. = [PH ( H − y )] −  PV 

- Momento estabilizante: No se considera la carga de nieve en coronación ya que se trata de una
carga variable con efecto favorable ante la estabilidad a vuelco.
kN


3
 a´
M estab. = N ´· − e p  = 262,78 ×  − (−0,28)  = 467,85
2
2
ml




AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
136
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
Donde:
•
N ´= N1 + N 2 + N 3 + N 4 = 24 + 60 + 37,5 + 141,28 = 262,78
•
ep =
∑ N i ·ei
N´
=
kN
ml
(24 × 0,3) + (60 × 0,3) + (37,5 × 0) + (141,28 × −0,7)
= −0,28m
262,78
C sv =
467,85
= 2,97 ≥ 1,8 ⇒ Estable a vuelco.
157,36
N1+ N5
1,60 m
=
N2
N4
6,50 m
5,50 m
0,30 m
0,70 m
PH = 72,85 kN/ml
PH = 72,85 kN/ml
2,16 m
2,16 m
ep = 0,28 m
N3
0,50 m
N´
A
A
1,50 m
1,50 m
Pto medio del cimiento
3,00 m
(a)
(b)
Figura 1.4. Fuerzas actuando en la estructura. a) individuales, b) resultante.
b) Estabilidad a deslizamiento:
C sv =
Festabilizante
≥ 1,8
Fdesestabilizante
- Fuerza desestabilizante: la única fuerza que tiende a hacer deslizar la estructura es el empuje
horizontal.
Fdesest . = PH = 72,85
kN
ml
- Fuerza estabilizante: es debido a la fuerza de rozamiento entre el terreno y la zapata,
despreciando el empuje pasivo en la puntera.
Festab = ( N ´+ Pv ) × µ = 262,78 × tgϕ = 262,78 × tg 30 = 151,71
C sv =
kN
ml
151,71
= 2,08 ≥ 1,8 ⇒ Estable a deslizamiento
72,85
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
137
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
c) Comprobación de las tensiones sobre el terreno de cimentación:
- Acciones en el plano de cimentación:
• Axil en el plano de cimentación (NC): en éste caso se tiene en cuenta el axil debido a la carga
de nieve, ya que actúa con efecto desfavorable.
N c = N ´+ PV = 267,44 + 0 = 267,44
kN
ml
Donde:
•
N ´= ∑ N i = N1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 = 267,44
kN
ml
• Momento en el plano de la cimentación (Mc): tomamos momentos con respecto al centro de la
zapata.
M c = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 + M 5 + M 6 = 7,2 + 18 + 0 − 98,9 + 1,4 + 157,36 = 85,06
mkN
ml
- Distribución de presiones sobre el terreno:
• en =
•
Mc
85,06
=
= 0,32m
N c 267,44
a'
3
= = 0,5 m
6
6
0,32 m < 0,5 m → e <
a'
6
→
Distribución trapezoidal de tensiones
Se comprueba además que la excentricidad no supere:
e≤
a´ 3
= = 1m
3 3
- Calculo de la distribución de presiones sobre el terreno:
• σ max =
N c  6 × e  267,44  6 × 0,32 
kN
 = 145,85 2
1 +
=
1 +
a´ 
a´ 
3 
2 
m
• σ med =
N c 267,44
kN
=
= 89,15 2
a´
3
m
• σ min =
N c  6 × e  267,44  6 × 0,32 
kN
1 −
=
1 −
 = 32,44 2
a´ 
a´ 
3 
2 
m
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
138
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
0,40 m
1,00 m
1,60 m
M1
0,50 m
N1
σ
σ
med
σ
max
min
= 32,44 kN/m2
= 89,15 kN/m2
= 145,85 kN/m2
Figura 1.5. Distribución de presiones sobre el terreno en condiciones de servicio.
Para que la zapata sea estable a hundimiento se debe cumplir que:
σ max ≤ 1,25σ adm
σ max ≤ σ med
σmáx = 145,85 kN/m2 < 1,25·σadm = 1,25 x 150 = 187,5 kN/m2
⇒
⇒ CUMPLE a hundimiento en condiciones de servicio
1.6. CÁLCULO DE LA ARMADURA DEL ALZADO O FUSTE DEL MURO
1.6.1. Solicitaciones en la sección más desfavorable del fuste
a) Axil de cálculo:
Como acciones verticales actuantes sobre el fuste únicamente tenemos la carga en coronación del
muro y el peso propio del mismo, encontrándose la sección más desfavorable situada en la unión del
fuste con la cimentación y existiendo únicamente una combinación de acciones posible:
- Acciones permanentes + nieve
N G ,k
N CG ,k =
•
N PPG ,k = 0,4 × 6 × 25 = 60
•
N CQ ,k =
Sp
N Q ,k
Sp
=
144
kN
= 24
(carga uniforme en coronación debido a las acciones permanentes)
6
ml
•
=
kN
(peso propio del muro por metro lineal)
ml
28
kN
= 4,66
(carga uniforme en coronación debido a la acción variable nieve)
6
ml
N d = ((24 + 60) × 1,5) + (4,66 × 1,6 ) = 133,46
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
kN
ml
Pág.
139
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
b) Momento y cortante de cálculo:
Se deben al empuje horizontal provocado por el relleno del terreno contra el tasdós del muro, en la
figura 1.6. se muestra el valor característico de la carga y de las solicitaciones, como puede
observarse, la sección más desfavorable se encuentra en la unión del fuste con la cimentación.
LEY DE MOMENTOS
FLECTORES
EMPUJE ACTIVO
5,00 m
LEY DE ESFUERZOS
CORTANTES
5,00 m
5,00 m
PV = 0
PH = 72,85 kN/ml
1,66 m
29,14 kN/m2
120,93 mkN/ml
72,85 kN/ml
Figura 1.6. Valor característico del empuje activo y de las solicitaciones asociadas al mismo.
M d = M G ,k × γ f = 120,93 × 1,5 = 181,4
Vd = VG ,k × γ f = 72,85 × 1,5 = 109,28
mkN
ml
mkN
ml
Donde:
•
M G ,k = 72,85 × 1,66 = 120,93
•
VG ,k = 72,85
mkN
ml
kN
ml
1.6.2. Cálculo de la armadura vertical del fuste
En muchas ocasiones se emplea armadura simétrica como simplificación constructiva, sin
embargo, puede ser importante, por el ahorro que ello conlleva, buscar un par de armaduras
AS 1 , AS 2 tal que resulte óptima la suma de ambas.
A continuación se realiza el dimensionado empleando ambos métodos.
1.6.2.1. Dimensionamiento con armadura simétrica. Flexión compuesta recta en sección rectangular
con. Us1=Us2. (EHE, Anejo 8.5.)
d ´≤
h
7
Cumple
0 ≤ N d ≤ 0,5U 0 ⇒ 0 ≤ 139,81 ≤ 2479,17 ⇒ Caso 2º
U S1 = U S 2 =
Md
N
N ×d
+ d − d
d − d' 2
d − d'
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.

N
× 1 − d
 2·U O



Pág.
140
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
U S1,V = U S 2,V =
133,46 
181,40
133,46 133,46 × 0,35 
× 1 −
+
−
 = 517,79kN
0,35 − 0,05
2
0,35 − 0,05  2 × 4958,33 
Siendo:
• d´= 50 mm
• h = 400 = 57,14mm
7
7
U 0 = 0,85 × f cd × b × d = 0,85 × 16,66 × 10 −3 × 1000 × 350 = 4958,33kN
• 0,5·U 0 = 0,5 × 4958,33 = 2479,17kN
•
1.6.2.2. Flexión compuesta en sección rectangular con distribución óptima de armaduras.
En éste caso, dada la marcada dirección y sentido del momento flector, existiendo en el muro una
cara claramente más traccionada (o menos comprimida) que la otra, se puede buscar el par de
armaduras AS 1 , AS 2 , tal que resulte mínima la suma de ambas.
El método de cálculo que más se ajusta al comportamiento real se basa en el Diagrama parábola
rectángulo del hormigón, e implica un proceso laborioso de resolución de ecuaciones (ver Calavera2
o J. Montoya8).
Sin embargo, para simplificar el problema, podemos obtener las capacidades mecánicas de la
armadura ( U S1 ,U S 2 ) como si se tratara de un problema de flexión simple y después aplicar el
teorema de Ehlers. Para ello se sustituye el momento de cálculo, ( M d ) por N d × et , siendo et la
excentricidad con respecto a la armadura de tracción; se calcula como si se tratase de un problema
de flexión simple, y luego se determina la armadura correspondiente a la flexión compuesta según las
siguientes expresiones:
• U S1 = AS 1 × f yd − N d
• U S 2 = AS 2 × f yd
a) Determinación del momento de cálculo a flexión simple:
- et =
M d d − d ´ 181,4 0,35 − 0,05
+
=
+
= 1,48m (excentricidad con respecto a la armadura de
Nd
2
136,46
2
tracción)
- M d = N d × et = 136,46 × 1,48 = 201,96mkN
b) Cálculo a flexión simple. (EHE, Anejo 8.3):
- U 0 = 0,85 × f cd × b´×d = 0,85 × 16667
kN
× 1m × 0,35m = 4958,3kN
m2
- M d = 201,96 ≤ 0,375U o d = 650,78mkN → Caso 1.



• U s1 = U 0 1 − 1 −
2M d
U 0d



 = 4958,3 × 1 − 1 − 2 × 201,96  = 613,43kN


4958,3 × 0,35 


• U s2 = 0
c) Aplicación del teorema de Ehlers.
• U S1,V = AS 1 × f yd − N d = 613,43 − 133,46 = 479,97 kN
• U S 2,V = 0
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
141
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
1.6.3. Cuantías mínimas y máximas para la armadura vertical
1.6.3.1. Cuantía mecánica (EHE, Art.42.3.2. y 42.3.3.)
a) A tracción:
AS 1,V × f yd ≥ 0,25 ×
W1
× f cd (cuantía mecánica mínima a tracción)
h
2
• W = b × h (módulo resistente en el caso de secciones rectangulares
1
6
- AS1,V × f yd ≥ 0,25 ×
b×h
1000 × 400
× f cd = 0,25 ×
× 16,66 × 10− 3 = 277,78kN
6
6
b) A compresión:
-
AS 1,V × f yd ≥ 0,05 × N d (cuantía mínima)
AS 1,V × f yd ≤ 0,5 × f cd × b × h (cuantía máxima)
- f yd ≤ 400 (Valor máximo a considerar de fyd)
• 0,05 N d = 0,05 × 133,46 = 6,67 kN (Cuantía mínima)
•
0,5 × f cd × b × h = 0,5 × 16,67 × 1000 × 400 = 3334000 N = 3334kN (Cuantía máxima)
1.6.3.2. Cuantía geométrica mínima (EHE, Art.42.3.5.)
1,2
× b × h (Cuantía mínima de la armadura traccionada o menos comprimida)
1000
-
AS 1,V ≥
-
AS 2,V ≥ 0,3 ×
•
1,2
× b × h (Cuantía mínima de la armadura comprimida o menos traccionada)
1000
1,2
1,2
×b×h =
× 100 × 40 = 4,8cm 2
1000
1000
• 0,3 ×
1,2
1,2
× b × h = 0,3 ×
× 100 × 40 = 1,44cm 2
1000
1000
1.6.4. Dimensionado de la armadura vertical
Para ello tenemos en cuenta la armadura necesaria por cálculo y las cuantías máximas y mínimas.
-
AS 1,V =
U S1
479,97 ⋅ 10 3 N
=
= 1379mm 2 = 13,79cm 2 (Armadura necesaria por cálculo en la cara
2
f yd 347,83 N / mm
traccionada, considerando el método óptimo de dimensionamiento de las armaduras )
-
A S 2,V = 0 (Armadura necesaria por cálculo en la cara comprimida, considerando el método óptimo de
dimensionamiento )
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
142
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
-
A S1,V =
U S1
277,78 ⋅ 10 3 N
=
= 799mm 2 = 7,99cm 2 (Armadura necesaria por cuantía mínima a
2
f yd 347,83 N / mm
tracción)
-
A S 2,V =
U S1
6,67 ⋅10 3 N
=
= 19,17 mm 2 = 0,19cm 2 (Armadura necesaria por cuantía mínima a
f yd 347,83 N / mm 2
compresión)
-
AS1,V ≥ 4,8cm 2 (Armadura necesaria por cuantía geométrica en la cara traccionada)
-
AS 2,V ≥ 1,44cm 2 (Armadura necesaria por cuantía geométrica en la cara comprimida)
- Teniendo en cuenta las limitaciones anteriores y el armado necesario por cálculo queda:
AS 1,V ≥ 13,79cm 2
AS 2,V ≥ 1,44cm 2
- Armadura vertical real de la pieza:
• Cara traccionada As1,V :
φ = 16mm ;
Area 1 barra: 2,01 cm2
As1,V = 14,07cm 2 ⇒
7 barras de
φ = 16mm en la cara traccionada (por metro lineal de muro)
7 barras de
φ = 16mm ≈ φ = 16mm
a 15 cm
• Cara comprimida As 2,V :
φ = 8mm ;
As 2,V = 1,5cm 2
Area 1 barra: 0,5 cm2
⇒ 3 barras de φ = 8mm en la cara comprimida (por metro lineal de muro), como
no cumple la limitación de que la separación entre barras debe de ser menor de 30 cm, colocaremos
en la armadura comprimida barras de diámetro φ = 8mm cada 30 cm
φ = 8mm a 30 cm
- Comprobamos que no supere la cuantía máxima a compresión:
AS 1,V × f yd = 14,07·10 2 × 347,83 × 10 −3 = 489,4kN ≤ 3334kN ⇒ Cumple la cuantía máxima
AS 2,V × f yd = 1,5·10 2 × 347,83 × 10 −3 = 52,17 kN ≤ 3334kN ⇒ Cumple la cuantía máxima
1.6.5. Cálculo de la armadura horizontal del fuste
La armadura horizontal necesaria se obtiene aplicando el Artículo 42.3.5. de la EHE, en el cual se
indica la cuantía geométrica de la armadura horizontal, asi como el modo de repartirla (ver apartado
11.4.3.2.3.).
En caso de que se dispongan juntas verticales de contracción, a distancias no superiores a 7,5 m,
con armadura horizontal interrumpida, la cuantía geométrica horizontal podrá reducirse a la mitad.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
143
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
-
AS1,H
1 × 2)
1 × 2)
(
(
3
3
× 600 × 40 = 16cm (armadura
≥
×b×h =
2
1000
1000
necesaria
en
la
cara
oculta
(traccionada) en los 6 m de altura de muro)
-
AS 2,H ≥
(2 3 × 2) × b × h = (2 3 × 2) × 600 × 40 = 32cm (armadura
2
1000
1000
necesaria
en
la
cara
vista
(comprimida) en los 6 m de altura de muro)
- Armadura horizontal real de la pieza:
• Cara traccionada As1, H :
φ = 10mm ;
Area 1 barra: 0,79 cm2
As1, H = 16,59cm 2
⇒
21 barras de φ = 10mm en la cara oculta (traccionada) en los 6 m de
altura
B Separación
entre ejes de las barras:
Se =
H − 2r 600 − (2 × 5)
=
= 29,5cm
n −1
21 − 1
φ = 10mm cada 29,5 cm ≈ φ = 10mm a 30 cm
• Cara comprimida As 2, H :
φ = 10mm ;
Area 1 barra: 0,79 cm2
As1, H = 32,39cm 2 ⇒
B Separación
41 barras de φ = 10mm en la cara vista (comprimida) en los 6 m de altura
entre ejes de las barras:
Se =
H − 2r 600 − ( 2 × 5)
=
= 14,75cm
n −1
41 − 1
φ = 10mm
cada 14,75 cm ≈ φ = 10mm a 15 cm
1.6.6. Comprobación a cortante en el alzado
Vrd ≤ Vu 2
Vrd = Vd = VG ,k × γ f = 72,85 × 1,5 = 109,28
mkN
ml
Siendo:
• Vd: valor de cálculo del esfuerzo cortante en la sección de referencia S.
• Vrd: esfuerzo cortante efectivo de cálculo.
• Vu2: esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma.
• Obtención de Vu2 (Art.44.2.3.2.1.EHE):
[
[
Vu 2 = 0,12 × ξ × (100 × ρ 1 × f ck )
1/ 3
]
]× b´×d ⇒
⇒ Vu 2 = 0,12 × 1,756 × (100 × 0,004 × 25)1 / 3 × 1000 × 350 = 159150 N = 159,15kN
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
144
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
Vrd = 109,28 ≤ Vu 2 = 159,15 → La pieza no se agota por cortante
Siendo:
200
200
=1+
= 1,756 con d en mm.
d
350
AS
14,07 cm 2
• ρ1 =
=
= 0,004 < 0,02 ( cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada)
b´×d 100 × 35
•
ξ =1+
• As : área real de la armadura longitudinal traccionada.
1.7. CÁLCULO DE LA ARMADURA DE LA PUNTERA
1.7.1. Solicitaciones en la sección de referencia (S)
Se considerara como una ménsula empotrada en el alzado, la sección más desfavorable se
encuentra en el empotramiento (figura 1.7.).
0,40 m
1,00 m
1,60 m
V
WZ
0,50 m
M
Secc. referencia
R1
R2
σ
max
σ
S
= 108,05 kN/m2
= 145,85 kN/m2
Figura 1.7. Fuerzas que actúan en la sección de referencia.
a) Valor de la tensión del terreno bajo la sección de referencia:
kN
 (145,85 − 32,44) × (3 − 1) 
 = 108,05 2 (la obtenemos por semejanza de triángulos)
3
m


σ s = 32,44 + 
b) Obtención del Momento en la sección de referencia ( M S ):
- Momento debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
1 

M ter = M R1 + M R 2 = 108 ,05 kN / m 2 × 1 m × m  +
2 

(
)

 145 ,85 kN / m 2 − 108 ,05 kN / m 2 × 1m 2
mkN
+
× × 1m  = 66 ,63


2
3
ml


AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
145
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
- Momento debido al peso de la zapata:
M WZ = −(1 × 0,5) × 25
kN
m
3
×
1
mkN
m = −6,25
2
ml
- Momento característico en la sección de referencia:
M S = M terr + M WZ = 66,63 − 6,25 = 60,38
mkN
ml
Momento de cálculo en la sección de referencia:
M d = M s ×γ
f
= 60,38 × 1,6 = 96,6
mkN
ml
1.7.2. Armadura longitudinal de la puntera
Como podemos observar, el momento que actúa en la sección de referencia es menor que el del
alzado, con lo cual, la armadura de la puntera consistirá en la prolongación de la armadura vertical del
alzado (figura 1.9).
A continuación se realiza la comprobación del momento que es capaz de resistir la puntera al
disponerse en ella la misma armadura que en el alzado. Dicha comprobación se realiza a modo de
ejemplo, ya que como hemos comentado, el armado será suficiente.
- Comprobación de secciones (EHE Anejo 8.3.2)
Conocido el armado definitivo en la sección más desfavorable, calculamos el momento ( M u ) que
es capaz de resistir con dicha armadura:
U 0 = 0,85 × f cd × b × d = 0,85 × 16667
kN
× 1m × 0,45m = 6375kN
m2
- U s1 − U s 2 = 489,39kN
-
U s1 − U s 2 < U v
⇒
Caso 1
M u = 0,24·U v ·d ´
M u = 0,24·1416,77·0,05·
(U v − U s1 + U s 2 )(1,5·U s1 + U s 2 )
+ U s1 (d − d´) =
(0,6U v + U s 2 ) 2
(1416,67 − 489,39 + 0)(1,5·489,39 + 0)
+ 489,39(0,45 − 0,05) = 211,77 mkN
(0,6·1416,67 + 0) 2
Donde:
• U = 2U × d ´ = 2 × 6375 ×  0,05kN  = 1416,67 kN
v
0


d
 0,45kN 
2
• U = A × f = 1407 mm × 347,826
s1
s1
yd
N
= 489390 N = 489,39kN
mm 2
• U s2 = 0
• 0,5U 0 = 3187,5kN
M u = 211,77 mkN > M d = 96,6mkN
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
146
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
Armadura longitudinal real en la puntera, As1 :
φ = 16mm ≈ φ = 16mm
7 barras de
a 15 cm
Comprobamos que cumple la cuantía geométrica, al ser la sección en la puntera mayor que en el
alzado:
EHE , Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
- As1 ≥
2
× 1 m × 0,5 m = 1 × 10 −3 m 2 = 10cm 2 ⇒ Cumple
1000
1.7.3. Armadura transversal en la puntera (EHE, Art.42.3.5.)
La obtenemos por cuantía geométrica.
EHE , Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
Ast ≥
2
× 1 m × 0,5 m = 1 × 10 −3 m 2 = 10cm 2
1000
Armadura transversal real en la puntera:
Armando con barras de φ = 12mm :
9φ12mm ⇒ As1 = 10,17cm 2
B Separación
entre ejes de las barras:
Se =
Vp − r
n −1
=
100 − 5
= 11,87cm
8
φ = 12mm cada 11,87 cm ≈ φ = 12mm a 10 cm
Se debe cumplir además que la armadura transversal sea igual o superior al 20% de la armadura
longitudinal, en éste caso cumple.
1.7.4. Comprobación a cortante
La comprobación a cortante es similar a la que se expone en el apartado 1.8.6 de éste ejercicio
para el talón.
1.8. CÁLCULO DE LA ARMADURA DEL TALÓN
1.8.1. Solicitaciones en la sección de referencia (S)
Se considerara como una ménsula empotrada en el alzado, la sección más desfavorable se
encuentra en el empotramiento, ver figura 1.8.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
147
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
1,60 m
5m
0,40 m
WR
1,00 m
0,50 m
M
WZ
V
R1
S
R2
σ
σ
max
S
σ
min
= 32,44 kN/m2
= 92,93 kN/m2
= 145,85 kN/m2
Figura 1.8. Fuerzas que actúan en la sección de referencia.
a) Valor de la tensión del terreno bajo la sección de referencia:
kN
 (145,85 − 32,44) × 1,6 
 = 92,93 2 (la obtenemos por semejanza de triángulos)
3
m


σ s = 32,44 + 
b) Obtención del Momento en la sección de referencia ( M S ):
- Momento debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
1,6 

M ter = M R1 + M R 2 =  32 , 44 kN / m 2 × 1,6 m ×
m +
2 

(
)

 92 ,93 kN / m 2 − 32 , 44 kN / m 2 × 1,6 m 1
mkN
+
× × 1,6 m  = 67 ,33


2
3
ml


- Momento debido al peso de la zapata:
M WZ = −(1,6 × 0,5) × 25
kN 1,6
mkN
m = −16
×
2
ml
m3
- Momento debido al peso del relleno:
M WR = −(1,6 × 5) × 17,66
kN 1,6
mkN
m = −113,02
×
3
2
ml
m
- Momento característico en la sección de referencia:
M S = M terr + M WZ + M WR = 67,33 − 16 − 113,02 = −61,69
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
mkN
ml
Pág.
148
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
Momento de cálculo en la sección de referencia:
M d = M s1 × γ
f
= −61,69 × 1,6 = −98,71
mkN
ml
c) Obtención del esfuerzo cortante en la sección de referencia ( VS ):
- Cortante debido a las reacciones del terreno bajo la zapata:
(
)
Vter = V R1 + V R 2 = 32 , 44 kN / m 2 × 1,6 m +
(
)
 92 ,93 kN / m 2 − 32 , 44 kN / m 2 × 1,6 m 
 = 100 ,3 kN
+


2
ml


- Cortante debido al peso de la zapata:
VWZ = −(1,6 × 0,5) × 25
kN
kN
m = 20
ml
m3
- Cortante debido al peso del relleno:
VWR = −(1,6 × 5) × 17,66
kN
kN
= −141,3
ml
m3
- Cortante característico en la sección de referencia:
VS = Vterr + VWZ + VWR = 100,3 − 20 − 141,3 = −61
kN
ml
Cortante de cálculo en la sección de referencia:
Vd = Vs1 × γ f = −61 × 1,6 = −97,6
kN
ml
1.8.2. Armadura longitudinal necesaria por cálculo: Cálculo a flexión simple. (EHE Anejo 8.3)
Para poder utilizar el método simplificado propuesto en dicho anejo, se debe cumplir que:
d’ ≤
h
0,5
→ 0,05≤
= 0,071
7
7
U 0 = 0,85 × f cd × b × d = 0,85 × 16667
-
M d = 98,71 ≤ 0,375U o d = 1075,78mkN → Caso 1.
-

2M d
U s1 = U 0 1 − 1 −

U 0d

kN
× 1m × 0,45m = 6375kN
m2



 = 6375·1 − 1 − 2 × 98,71  = 223,27 kN (armadura por cálculo)


6375 × 0,45 


1.8.3. Cuantías mínimas en la armadura longitudinal
a) Cuantía mecánica mínima (EHE, Art.42.3.2.)
As ⋅ f yd ≥ 0,25 ⋅
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
b´×h
⋅ f cd
6
Pág.
149
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
- As ⋅ f yd ≥ 0,25 ×
1000 mm × (500 )mm 2
× 16,66 ⋅ 10 −3 kN / mm 2 = 347,22 kN (cuantía mínima a tracción)
6
b) Cuantía geométrica mínima (EHE, Art.42.3.5.)
EHE , Tabla 42.3.5: Cuantía =2 0/00 de la sección total de hormigón.
- As1 ≥
2
× 1 m × 0,5 m = 1 × 10 −3 m 2 = 10cm 2
1000
1.8.4. Dimensionado de la armadura longitudinal
Para ello tenemos en cuenta la armadura necesaria por cálculo y las cuantías mínimas.
-
AS 1 =
U S1
223,27 ⋅ 10 3 N
=
= 642mm 2 = 6,42cm 2 (Armadura longitudinal necesaria por cálculo)
2
f yd 347,83 N / mm
-
As1 =
U s1
347,22 kN
=
= 998mm 2 = 9,98cm 2
−3
2
f yd 347,83 ⋅ 10 kN / mm
(Armadura
longitudinal
necesaria
por
cuantía mínima a tracción)
-
AS 1 ≥ 10cm 2 (Armadura longitudinal necesaria por cuantía geométrica)
La armadura debe de cumplir las tres limitaciones, luego:
AS 1 ≥ 10cm 2
- Armadura longitudinal real (armadura de tracción):
Armando con redondos de φ 14mm:
φ = 14mm ;
Area 1 barra: 1,54 cm2;
Nº barras: 7 por metro lineal:
φ = 14mm
As1 = 10,78cm 2
cada 15 cm
1.8.5. Dimensionado de la armadura transversal
La obtenemos por cuantía geométrica
Ast ≥
2
× 1 m × 0,5 m = 1 × 10 −3 m 2 = 10cm 2 ⇒ ASt ≥ 10cm 2
1000
- Armadura transversal real:
φ = 12mm ;
Area 1 barra: 1,13 cm2;
Nº barras: 9 en los 1,60 m de longitud del talón.
φ = 12mm
As1 = 10,17cm 2
cada 18 cm
Se debe cumplir además que la armadura transversal sea igual o superior al 20% de la armadura
longitudinal, en éste caso cumple.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
150
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
1.8.6. Comprobación a cortante. (EHE Art. 44.2.3.2 y 44.2.3.2.1)
Vrd = Vd = 97,6kN
Vrd ≤ Vu 2
Siendo:
• Vd: valor de cálculo del esfuerzo cortante en la sección de referencia S.
• Vrd: esfuerzo cortante efectivo de cálculo.
• Vu2: esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma.
[
[
Vu 2 = 0,12 × ξ × (100 × ρ 1 × f ck )
1/ 3
]
]× b´×d ⇒
⇒ Vu 2 = 0,12 × 1,667 × (100 × 0,0024 × 25)1 / 3 × 1000 × 450 = 163440 N = 163,44kN
Vrd = 97,6 ≤ Vu 2 = 163,44 → La pieza no se agota por cortante
Donde:
200
200
=1+
= 1,667 con d en mm.
d
450
AS
10,78cm 2
• ρ1 =
=
= 0,0024 < 0,02 ( cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada)
b´×d 100 × 45
•
ξ =1+
• As : área real de la armadura longitudinal.
1.9. CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE SOLAPO Y ANCLAJE (EHE, Art 66)
1.9.1. Longitud de solape de la armadura de tracción del alzado, l s1 (figura 1.9.)
- Longitud básica de anclaje:
lbI = m × ∅ 2 <
f yk
20
× ∅ ⇒ lbl = 32 cm
Siendo:
•
•
m × ∅ 2 = 12 × 1,62 =30,72 cm (m: tabla 8; φ : diámetro barras
f yk
× ∅ = (400 /20) × 1,6 =32 cm (φ : diámetro barras en cm)
20
en cm)
- Calculo de la longitud de solapo, l s1 :
l s1 = α × lbI ×
•
•
•
AS
AS ,real
= 1,4 × 32 ×
13,79
= 43,9cm ≈ 44cm
14,07
Siendo:
α = 1,4 (coeficiente tabla 9; a<10φ ; >50% de barras solapadas trabajando a tracción)
As :armadura necesaria por cálculo.
As ,real :armadura real de la pieza.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
151
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
Limitaciones, EHE, Art. 66.5.1., las cuales afectan a la longitud de solapo al omitir el cálculo de la
longitud neta de anclaje, y según las cuales, la longitud de solapo no debe ser inferior a los tres
valores siguientes:
- 10 φ = 10 x 1,6 =16 cm
⇒ l s1 = 44cm
- 15 cm
- 1/3 lbl = 1/3x 32= 10,6 cm
1.9.2. Longitud de solape de la armadura de compresión del alzado, l s 2 (figura 1.9.)
- Longitud básica de anclaje:
lbI = m × ∅ 2 <
f yk
20
× ∅ ⇒ lbl = 16 cm
Siendo:
•
•
m × ∅ 2 = 12 × 0,82 =7,7 cm (m: coeficiente tabla 8; φ: diámetro barras
f yk
× ∅ = (400 /20) × 0,8 = 16 cm (φ : diámetro barras en cm)
20
en cm)
- Calculo de la longitud de solapo, l s 2 :
l s 2 = α × lbI ×
•
•
•
Siendo:
α = 1 (coeficiente
AS
AS ,real
= 1 × 16 ×
0
= 0cm
1,5
tabla 9; barras solapadas trabajando compresión)
As :armadura necesaria por cálculo.
As ,real :armadura real de la pieza.
Limitaciones, según las cuales, la longitud de solapo no debe ser inferior a los tres valores
siguientes:
- 10 φ = 10 x 0,8 =8 cm
⇒ l s 2 = 15cm
- 15 cm
- 2/3 lbl = 2/3x 16= 10,6 cm
1.9.3. Longitud de anclaje de la armadura del talón (figura 1.9.)
- Longitud básica de anclaje:
lbII = 1,4·m × ∅ 2 <
Siendo:
•
•
f yk
14
× ∅ ⇒ lbIl = 40 cm
m × ∅ 2 = 1,4 × 12 × 1,42 = 32,9 cm (m: coeficiente 8; φ: diámetro barras
f yk
× ∅ = (400 /14) × 1,4 =40 cm (φ = diámetro barras en cm)
20
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
en cm)
Pág.
152
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
- Longitud neta de anclaje:
lb ,neta = lbII ×
AS
AS ,real
× β = 40 ×
6,42
× 1 = 23,8cm (anclaje en prolongación recta)
10,78
Siendo
• AS : Sección de armadura necesaria por cálculo.
• AS , real : armadura real.
•
β = 1 , coeficiente EHE, tabla 66.5.2.b, anclaje en prolongación recta.
- Limitaciones, EHE, Art. 66.5.1., según el cual la longitud de anclaje no debe de ser inferior a los
siguientes valores:
• 10 φ = 10 x 1,4 =14 cm
⇒ lb ,neta = 23,8cm ≈ 24cm
• 15 cm
• 1/3 lbl = 1/3x 28 = 9,3 cm
En el empotramiento, la armadura del talón deberá ir anclada en una longitud igual a la longitud
neta de anclaje, contada a partir del eje del muro.
l a 3 ≥ 24cm
En el extremo del talón deberá ir anclada en una longitud igual a la longitud neta, contada a partir
de un canto útil del empotramiento. Comprobamos si existe espacio suficiente en el talón para anclar
la armadura en prolongación recta.
l a 4 ≥ lb ,neta
l a 4 = Vt − d − r = 160 − 45 − 5 = 110cm
lb ,neta = 24cm
Hay espacio suficiente, luego es correcto anclar e prolongación recta.
1.9.4. Longitud de anclaje de la armadura de la puntera (figura 1.9.)
- Longitud básica de anclaje:
lbI = m × ∅ 2 <
f yk
20
× ∅ ⇒ lbl = 32 cm
Siendo:
•
•
m × ∅ 2 = 12 × 1,62 =30,72 cm (m: coeficiente 8; φ : diámetro barras
f yk
× ∅ = (400 /20) × 1,6 =32 cm(φ = diámetro barras en cm)
20
en cm)
- Longitud neta de anclaje:
- lb ,neta = lbI ×
AS
AS ,real
× β ≈ lbI ×
Md
96,6
× β = 32 ×
× 1 = 14,6cm (anclaje en prolongación recta)
Mu
211,77
Siendo
• AS : Sección de armadura necesaria por cálculo.
• AS , real : armadura real.
•
β = 1 , coeficiente EHE, tabla 66.5.2.b, anclaje en prolongación recta.
M u : momento que es capaz de resistir la sección.
•
M d : momento de cálculo al que se encuentra sometida la sección.
•
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
153
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
- Limitaciones, EHE, Art. 66.5.1., según el cual la longitud de anclaje no debe de ser inferior a los
siguientes valores:
• 10 φ = 10 x 1,6 =16 cm
⇒ lb ,neta = 16cm
• 15 cm
• 1/3 lbl = 1/3x 32 = 10,66 cm
En el extremo de la puntera deberá ir anclada en una longitud igual a la longitud neta, contada a
partir de un canto útil del empotramiento. Comprobamos si existe espacio suficiente en la puntera
para anclar la armadura en prolongación recta.
l a 5 ≥ lb ,neta
l a 5 = V p − d − r = 100 − 45 − 5 = 50cm
lb,neta = 16cm
Hay espacio suficiente, luego es correcto anclar e prolongación recta.
1.10. ESQUEMA DE ARMADO DEL MURO
2 Ø 16
Ø10 a 30 cm
Ø10 a 15 cm
Ø8 a 30 cm
Ø16 a 15 cm
La3=0,24 m
Ls1=0,44 m
Ø14 a 15 cm
Ø16 a 15 cm Ls2=0,15 m
9Ø12 a 18 cm
9Ø12 a 10 cm
La4=1,10 m
La5=0,50 m
d=0,45 m
d=0,45 m
Figura 1.9. Esquema de armado del muro.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
154
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
2. EJERCICIO. Empuje activo en muro con capa freática
Calcular el empuje activo y el punto de aplicación de sus componentes horizontal y vertical en un
muro con las siguientes características:
• ϕ = 25º (ángulo de rozamiento interno del terreno)
• h = 0,5 (canto de la zapata)
• δ = 15º (ángulo de rozamiento muro-terreno)
•
V p = 0,5m (vuelo de la puntera)
•
Vt = 1,2m (vuelo del talón)
•
β = 10º (ángulo del talud del terreno)
• γ = 19
• γ ´= 9
kN
(peso específico del suelo seco)
m3
• H = 2,8m (altura del muro)
kN
(peso específico del suelo sumergido)
m3
• D = 1,2 m (profundidad del plano de cimentación)
• γ a = 10
kN
(peso específico del agua)
m3
•
• γ h = 25
kN
(peso específico del hormigón armado)
m3
• ab = 0,4 (Ancho del fuste en la base)
z o = 1,3m (profundidad de la capa freática)
• ac = 0,25 (Ancho del fuste en la coronación)
• Intradós vertical
0,25 m
10º
1,30 m
Nivel capa
freática
2,80 m
0,50 m
1,50 m
1,20 m
0,40 m
1,10 m
0,50 m
2,00 m
Figura 2.1. Geometría.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
155
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
2.1. COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO
-
α = arctg
-
λ=
2,3
= 86,3º (ángulo del trasdós con la horizontal)
0,15
sen 2 (α + ϕ )

sen(ϕ + δ )·sen(ϕ − β ) 
sen α ·sen(α − δ )·1 +

sen(α − δ )·sen(α + β ) 

2
2
=
sen 2 (86,3 + 25)

sen(25 + 15)·sen(25 − 10) 
sen 2 86,3·sen(86,3 − 15)·1 +

sen(86,3 − 15)·sen(86,3 + 10) 

2
= 0,45 (coeficiente de empuje activo)
- λH = λ ·sen(α − δ ) = 0,45·sen(86,3 − 15) = 0,43 (coeficiente de empuje activo horizontal)
- λV = λ H ·cot g (α − δ ) = 0,45·cot g (86,3 − 15) = 0,15 (coeficiente de empuje activo vertical)
2.2. EMPUJE ACTIVO
- Debido al terreno situado por encima de la zona sumergida:
Empuje:
1
1
kN
γ ·λ ·zo2 = × 19 × 0,45 × 1,32 = 7,22
2
2
ml
Presión: γ ·λ · z o = 19 × 0,45 × 1,3 = 11,12
y=
kN
m2
2
2
z o = × 1,3 = 0,86m
3
3
- Debido a la carga equivalente del estrato superior sobre el estrato anegado:
Empuje: γ ·λ · z o ·( H − z o ) = 19 × 0,45 × 1,3 × (2,8 − 1,3) = 16,67
Presión: γ ·λ · z o = 19 × 0,45 × 1,3 = 11,12
y = zo +
kN
ml
kN
m2
(H − zo )
(2,8 − 1,3)
= 1,3 +
= 2,05m
2
2
- Debido al estrato anegado:
1
2
Empuje: γ ´·λ ·( H − z o ) 2 =
1
kN
× 9 × 0,45 × (2,8 − 1,3) 2 = 4,55
2
ml
Presión: γ ´·λ ·( H − z o ) = 9 × 0,45 × (2,8 − 1,3) = 6,08
kN
m2
2
2
y = z o + ( H − z o ) = 1,3 + (2,8 − 1,3) = 2,3m
3
3
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
156
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
- Debido al agua en la zona sumergida:
Empuje:
kN
1
1
γ a ·( H − z o ) 2 = × 10 × (2,8 − 1,3)2 = 11,25
ml
2
2
Presión: γ a ·( H − z o ) = 10 × (2,8 − 1,3) = 15
kN
m2
2
2
y = z o + ( H − z o ) = 1,3 + (2,8 − 1,3) = 2,3m
3
3
2.3. COMPONENTES HORIZONTAL Y VERTICAL DEL EMPUJE ACTIVO
PH = [(7,22 + 16,67 + 4,55) × sen(α − δ )] + (11,25 × senα ) =
= [(7,22 + 16,67 + 4,55) × sen(86,3 − 15)] + (11,25 × sen86,3) = 38,16
kN
m
PV = [(7,22 + 16,67 + 4,55) × cos(α − δ )] + (11,25 × cos α ) =
= [(7,22 + 16,67 + 4,55) × cos(86,3 − 15)] + (11,25 × cos 86,3) = 9,84
kN
m
Punto de aplicación de la resultante, medido desde la superficie del terreno:
y=
[((7,22 × 0,86) + (16,67 × 2,05) + (4,55 × 2,3) ) × sen(86,3 − 15)] + (11,25 × 2,3 × sen86,3) = 1,94m
38,16
86,3º
71,3º
0,86 m
l
kN/m
7,22
15º
2,05 m
2,30 m
11,22 kN/m2
71,3º
71,3º
86,3º
/ml
7 kN
16,6
l
kN/m
4,55
11,22 kN/m2
6,08 kN/m2
11,25 kN/ml
15 kN/m2
Figura 2.2. Empujes.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
157
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
158
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
3. EJERCICIO. Empuje activo en muro con capa freática y carga superficial
Calcular las componentes del empuje activo y pasivo en el muro de contención de la figura 3.1.
Datos:
• ϕ = 30 º (ángulo de rozamiento interno del terreno)
• h = 0,3 (canto de la zapata)
•
δ = 10º (ángulo de rozamiento muro-terreno)
•
V p = 0,4m (vuelo de la puntera)
•
β = 0º (ángulo del talud del terreno)
•
Vt = 0,8m (vuelo del talón)
• γ = 21
kN
(peso específico del suelo seco)
m3
• H = 3m (altura del muro)
• γ ´= 11
kN
(peso específico del suelo sumergido)
m3
• D = 1,2 m (profundidad del plano de cimentación)
• γ a = 10
kN
(peso específico del agua)
m3
•
• γ h = 25
kN
(peso específico del hormigón armado)
m3
• ab = 0,3 (Ancho del fuste en la base)
z o = 2,25m (profundidad de la capa freática)
• ac = 0,25 (Ancho del fuste en la coronación)
• trasdós vertical
3.
15 kN/m2
0,25 m
2,25 m
3,00 m
Nivel capa
freática
0,40 m
1,20 m
0,75 m
0,30 m
0,80 m
0,30 m
1,50 m
Figura 3.1. Geometría.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
159
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
3.1. COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO
-
α = 90º (ángulo del trasdós con la horizontal, trasdós vertical)
-
λ=
sen 2 (α + ϕ )

sen(ϕ + δ )·sen(ϕ − β ) 
sen α ·sen(α − δ )·1 +

sen(α − δ )·sen(α + β ) 

2
2
=
sen 2 (90 + 30)

sen(30 + 10)·sen(30 − 0) 
sen 2 90·sen(90 − 10)·1 +

sen(90 − 10)·sen(90 + 0) 

2
= 0,31 (coeficiente de empuje activo)
- λ H = λ ·sen(α − δ ) = 0,31·sen(90 − 10) = 0,305 (coeficiente de empuje activo horizontal)
- λV = λ H ·cot g (α − δ ) = 0,31·cot g (90 − 10) = 0,054 (coeficiente de empuje activo vertical)
3.2. EMPUJE ACTIVO
- Debido al terreno situado por encima de la zona sumergida:
Empuje:
1
kN
1
γ ·λ · z o2 = × 21 × 0,31 × 2,25 2 = 16,48
2
2
ml
Presión: γ ·λ · z o = 21 × 0,31 × 2,25 = 14,65
y=
kN
m2
2
2
z o = × 2,25 = 1,5m
3
3
- Debido a la carga equivalente del estrato superior sobre el estrato anegado:
Empuje: γ ·λ · z o ·( H − z o ) = 21 × 0,31 × 2,25 × (3 − 2,25) = 10,98
Presión: γ ·λ · z o = 21 × 0,31 × 2,25 = 14,65
y = zo +
kN
ml
kN
m2
(H − zo )
(3 − 2,25)
= 2,25 +
= 2,625m
2
2
- Debido al estrato anegado:
Empuje:
1
1
kN
γ ´·λ ·( H − z o ) 2 = × 11 × 0,31 × (3 − 2,25) 2 = 0,95
2
2
ml
Presión: γ ´·λ ·( H − z o ) = 11 × 0,31 × (3 − 2,25) = 2,55
kN
m2
2
2
y = z o + ( H − z o ) = 2,25 + (3 − 2,25) = 2,75m
3
3
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
160
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
- Debido al agua en la zona sumergida:
Empuje:
1
1
kN
γ a ·( H − z o ) 2 = × 10 × (3 − 2,25)2 = 2,81
2
2
ml
Presión: γ a ·( H − z o ) = 10 × (3 − 2,25) = 7,5
kN
m2
2
2
y = z o + ( H − z o ) = 2,25 + (3 − 2,25) = 2,75m
3
3
- Debido a la carga uniformemente repartida:
Empuje: λ ·q·H ·
senα
sen90
kN
= 0,31 × 15 × 3 ×
= 13,95
sen(α + β )
sen(90 + 0)
ml
Presión: λ ·q·
senα
sen90
kN
= 0,31 × 15 ×
= 4,65
sen(α + β )
sen(90 + 0)
ml
y=
H 3
= = 1,5m
2 2
3.3. COMPONENTES HORIZONTAL Y VERTICAL DEL EMPUJE ACTIVO
PH = (16,48 + 10,98 + 0,95 + 13,95) × cos10 + 2,81 = 44,52
Pv = (16,48 + 10,98 + 0,95 + 13,95) × sen10 = 7,42
kN
ml
kN
ml
Punto de aplicación de la resultante, medido desde la superficie del terreno:
y=
[(16,48 × 1,5) + (10,98 × 2,62) + (0,95 × 2,75) + (13,95 × 1,5)]× cos10 + [2,81× 2,75] = 1,88m
44,52
3.4. EMPUJE PASIVO
El empuje pasivo tiene distribución triangular, y la resultante se obtiene mediante la siguiente
expresión:
1 + senϕ
1
E p = ·γ ·Z 2 ·
1 − senϕ
2
En éste caso Z=D (profundidad de la puntera). Nos interesa sólo la parte que actúa en el frontal de
la puntera, derivando la expresión anterior con respecto a z, obtenemos el valor del empuje a una
profundidad dada.
1 + senϕ
=·γ ·D·
dZ
1 − senϕ
dE p
Para z=D (profundidad del plano de la cimentación en la puntera), el empuje pasivo vale:
E p ,1, 2 m = 21 × 1,2 ×
1 + sen30
kN
= 75,6 2 (presión)
1 − sen30
m
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
161
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
Para z= (D-h) (profundidad del punto superior de la puntera), el empuje pasivo vale:
E p , 0.9 m = 21× (1,2 − 0,3) ×
1 + sen30
kN
= 56,7 2 (presión)
1 − sen30
m
Resultante del empuje pasivo actuando en la puntera (resultante del trapecio):
[
]
(
)
1
1
1 + sen30
kN
2 1 + senϕ
E p = ·γ · D 2 − (D − h ) ·
= × 21 × 1,2 2 − (1,2 − 0,3) 2 ·
= 19,84
2
1 − senϕ 2
1 − sen30
ml
Punto de aplicación, medido desde la superficie del terreno en la puntera:
1

  (75,6 − 56,7) × 0,3 1

× × 0,3 
 56,7 × 0,3 × × 0,3  + 
2
2
3
 
 = 1,06m
y p = 1,2 − 
19,84
1,50 m
13,95 kN
/ml
10º
16,48 kN
/ml
2,62 m
2,75 m
10º
14,65 kN/m2
1,06 m
10,98 kN
/ml
56,7 kN/m2
10º
0,95 kN
/ml
10º
2,81 kN/ml
19,84 kN/ml
0,14 m
75,6 kN/m2
4,65 kN/m2
14,65 kN/m2
2,55 kN/m2
7,5 kN/m2
Figura 3.2. Empujes activo y pasivo.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
162
= EJERCICIOS RESUELTOS CAPITULO XI. ESTRUCTURAS DE CONTECIÓN. =
ANEJOS
1.- CALCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTIAS DE
ARMADO
2.- EL ESTUDIO GEOTÉCNICO
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
163
= ANEJO I. CALCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTÍAS DE ARMADO =
ANEJO 1. CÁLCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTÍAS DE ARMADO SEGÚN LA
EHE
1.1. CALCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES EN ESTADO LÍMITE DE AGOTAMIENTO
FRENTE A SOLICITACIONES NORMALES. EHE, ANEJO 8
1.1.1. Introducción
En el Anejo 8 de la EHE se presentan fórmulas simplificadas para el cálculo (dimensionamiento o
comprobación) de secciones rectangulares sometidas a flexión simple o compuesta recta (figura A11). Así mismo se propone un método simplificado de reducción a flexión compuesta recta de
secciones sometidas a flexión esviada simple o compuesta.
En éste apartado se reproducen, a modo de resumen, los métodos de cálculo y las fórmulas
expuestas en dicho Anejo, necesarias para la resolución de los problemas más frecuentes en
estructuras de contención. Para ampliar información es necesario la consulta del mismo.
• h: canto total de la sección (espesor del alzado)
• d: canto útil de la sección.
• b: ancho de la sección, en el caso de los muros de
contención, se toma b=1m
•
•
As1 : armadura de tracción.
As 2 : armadura de compresión.
Figura A1- 1. Nomenclatura y forma de la sección. Fuente EHE, Anejo 8.
La fórmulas expuestas son válidas para los distintos tipos de acero para armadura pasiva,
permitidos en esta Instrucción, B 400 S y B 500 S, validez que se hace extensiva a los aceros B 400
SD y B 500 SD, siempre que el recubrimiento de las armaduras de los paramentos superior e inferior
sea el mismo y cumpla:
d ´≤
h
7
A continuación, se define el significado de algunas variables utilizadas en las fórmulas de los
siguientes apartados.
U0 =0,85fcd b d
U v = 2U 0
Ua = U0
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
d´
d
h
d
Pág.
165
= ANEJO I. CALCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTÍAS DE ARMADO =
1.1.2. Flexión simple en sección rectangular
a) Dimensionamiento
- Caso 1: M d ≤ 0,375U o d

2 M d 
U s1 = U 0 1 − 1 −

U 0 d 

- Caso 2: M d > 0,375U o d
U s1 = 0,5·U 0 + U S 2
U s2 =
M d − 0,375U 0 d
d − d´
b) Comprobación
- 1º U S1 − U S 2 < U v :
M u = 0,24·U v ·d´
(U v − U s1 + U s 2 )(1,5·U s1 + U s 2 )
(0,6U v + U s 2 ) 2
+ U s1 (d − d´)
- 2º U v ≤ U S1 − U S 2 ≤ 0,5U 0 :
 U − U s2
M u = (U s1 − U s 2 ) × 1 − s1
2U 0


 × d + U s 2 × (d − d´) =

- 3º 0,5U 0 < U S1 − U S 2




4
α + 1,2


M u = U s1 
− 0,5 d + U s 2 (d − d´)
3
U

 α + α 2 + 1,92 s1


U0
donde:
1.1.3. Flexión compuesta recta en sección rectangular, con Us1= Us2
c) Dimensionamiento
- Caso 1: N d < 0
U s1 = U S 2 =
Md
N
− d
(d − d´) 2
- Caso 2: 0 ≤ N d ≤ 0,5U 0
U S1 = U S 2 =
Md
N
N ×d 
N
+ d − d
× 1 − d
d − d'
2
d − d '  2·U O
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.



Pág.
166
= ANEJO I. CALCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTÍAS DE ARMADO =
- Caso 3: N d > 0,5U 0
U S1 = U S 2 =
α=
Md
N
 U d 
+ d − α 0 
2
d − d'
 d − d´ 
  d´  2 
0,480m1 − 0,375m 2
≤ 0,5·1 −   
 d 
m1 − m 2


m1 = ( N d − 0,5U 0 )(d − d´)
m2 = 0,5 N d (d − d ´) − M d − 0,32U 0 (d − 2,5d ´)
d) Comprobación
- 1º e0 < 0 :
Mu = Nu e0
- 2º 0 ≤ e0 < (d + 2d´) / 4 + 2U s1 (d − d´) / U 0 :
-
Mu = Nue0
Donde:
  d´  2 
0,48m1 − 0,375m2
> 0,51 −   
α=
 d 
m1 − m2


m 1 = - 0,5U 0 e 0 + (U s1 + U s2 ) (d - d' )/2 + 0,125U 0 (d + 2d' )
m 2 = - (U s2 + 0,8U 0 )e 0 + U s2 (d - d' )/2 + 0,08U 0 (d + 5d' )
2º e0 ≥ (d + 2d´) / 4 + 2U s1 (d − d ´) / U 0 :
Mu = Nu e0
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
167
= ANEJO I. CALCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTÍAS DE ARMADO =
1.2. CUANTÍAS DE ARMADO
La sección de la armadura obtenida en los cálculos deberá cumplir las limitaciones que se
exponen en los puntos 1.2.1. y 1.2.2. en función del tipo de esfuerzos al que se encuentra sometida la
pieza, y en el caso del punto 1.2.3. en función del tipo de elemento estructural.
1.2.1. Cuantía mínima en Flexión simple o compuesta. EHE Artículo 42.3.2
En todos aquellos casos en los que el agotamiento de una sección se produzca por flexión simple
o compuesta, la armadura resistente longitudinal traccionada deberá cumplir la siguiente limitación:
Ap f
pd
+ As f yd ≥ 0,25 W 1 f cd
h
donde:
• Ap
• As
• fpd
• fyd
• fcd
• W1
•h
Área de la armadura activa adherente.
Área de la armadura pasiva.
Resistencia de cálculo del acero de la armadura activa adherente en tracción.
Resistencia de cálculo del acero de la armadura pasiva en tracción.
Resistencia de cálculo del hormigón en compresión.
Módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más traccionada.
Canto total de la sección.
1.2.2. Cuantía máxima y mínima en Compresión simple o compuesta. EHE, Art. 42.3.3.
En las secciones sometidas a compresión simple o compuesta, las armaduras, principales en
compresión A's1 y A's2 (figura A1-2.) deberán cumplir las limitaciones siguientes:
A's1 fyc,d ≥ 0,05 Nd
A's1 fyc,d ≤ 0,5 fcd Ac
A's2 fyc,d ≥ 0,05 Nd
A's2 fyc,d ≤ 0,5 fcd Ac
donde:
• fyc,d
• Nd
• fcd
• Ac
Resistencia de cálculo del acero a compresión fyc,d = fyd
Esfuerzo actuante normal mayorado de compresión.
Resistencia de cálculo del hormigón en compresión.
Área de la sección total de hormigón.
>/
2
400 N/mm .
Figura A1- 2. Fuente EHE Art. 42.3.3
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
168
= ANEJO I. CALCULO SIMPLIFICADO DE SECCIONES Y CUANTÍAS DE ARMADO =
1.2.3. Cuantías geométricas mínimas. EHE, Art. 42.3.5.
En la tabla A1-1 se indican los valores de las cuantías geométricas mínimas que, en cualquier
caso, deben disponerse en los diferentes tipos de elementos estructurales, en función del acero
utilizado.
Las cuantías geométricas de dicha tabla se refieren al tanto por 1000 de la sección total de
hormigón.
Tipo de elemento estructural
Tipo de acero
B 400 S
B 500 S
Pilares
4,0
4,0
Losas (*)
2,0
1,8
Vigas (**)
3,3
2,8
Armadura horizontal
4,0
3,2
Armadura vertical
1,2
0,9
Muros (***)
(*)
Cuantía mínima de cada una de las armaduras, longitudinal y transversal repartida en las dos caras. Las losas apoyadas
sobre el terreno requieren un estudio especial.
(**)
Cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una armadura
mínima igual al 30% de la consignada.
(***)
La cuantía mínima vertical es la correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una
armadura mínima igual al 30% de la consignada.
La armadura mínima horizontal deberá repartirse en ambas caras. Para muros vistos por ambas caras debe disponerse
el 50% en cada cara. Para muros vistos por una sola cara podrán disponerse hasta 2/3 de la armadura total en la cara
vista. En el caso en que se dispongan juntas verticales de contracción a distancias no superiores a 7,5 m, con la
armadura horizontal interrumpida, las cuantías geométricas horizontales mínimas pueden reducirse a la mitad.
Tabla A1-1. Cuantías geométricas mínimas, en tanto por 1000, referidas a la sección total de hormigón. Fuente EHE Art.
42.3.5.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
169
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
ANEJO 2. EL ESTUDIO GEOTECNICO
2.1. INTRODUCCIÓN
En el artículo 4º (Documentos del proyecto) de la EHE se dispone que todo proyecto
comprenderá, además de otros documentos, un “estudio geotécnico de los terrenos sobre los que la
obra se va a ejecutar, salvo cuando resulta incompatible con la naturaleza de la obra”.
A la hora de proyectar una cimentación, tan importante es la seguridad de la estructura de
cimentación (zapata, pozo...), como la del terreno sobre el que se apoya. Cuando se estudia el
posible fallo del terreno de apoyo, se han de tener en cuenta dos factores: por un lado está la
resistencia del terreno, determinada por su tensión admisible. Sobrepasar este nivel de tensión
supondría el hundimiento de la zapata. Por otro lado está la deformación del terreno, en concreto la
deformación vertical, normalmente conocida como asiento. Si el asiento supera ciertos límites,
aunque la cimentación no se colapse, se producirían daños en la estructura superior (grietas en
muros y tabiques, o bien en casos más graves, en elementos estructurales como vigas). Son, por
tanto, dos problemas a estudiar por separado.
Los pasos que nos llevan a la elaboración de un estudio geotécnico se resumen el esquema de la
figura A2-.1.
INFORMACIÓN
PREVIA
RECONOCIMIENTO DEL
TERRENO
ENSAYOS
ESTUDIO GEOTÉCNICO
•Nivel de apoyo
•Presión admisible
•Asientos
•Tipo de cimentación recomendada
y dimensiones
Figura A2 - 1. Etapas en la elaboración de un Estudio Geotécnico.
2.2. ETAPAS EN LA ELABORACIÓN DE UN ESTUDIO GEOTÉCNICO
a) Información Previa:
Consiste en la recopilación de todos aquellos datos que puedan proporcionar información sobre la
relación suelo-construcción. Podemos destacar mapas geotécnicos y geológicos de la zona,
información hidrológica sobre la profundidad del nivel freático, y sobre todo información acerca de
edificios próximos: profundidad de cimentación adoptada, asientos que se han producido en la
estructura, etc. Todo ello ha de ser valorado sobre todo, para decidir la profundidad a que va a
apoyarse la cimentación, pues es el factor de más dificultosa valoración analítica.
b) Reconocimiento del terreno
En cuanto a las técnicas de reconocimiento del terreno, las dos más utilizadas en edificaciones
agroindustriales son dos: las calicatas y los sondeos. Sirven para la exploración del terreno a fin de
localizar el nivel freático, determinar el número de estratos y el espesor de los mismos y realizar la
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
171
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
toma de muestras para posteriores ensayos de laboratorio ( para la determinación de los parámetros
geotécnicos que se consideren necesarios en cada caso, rozamiento interno, cohesión, peso
específico, porosidad, ...).
Las calicatas son perforaciones de poca profundidad (4 – 5 m) y diámetro suficiente para la
exploración visual de los diferentes estratos del terreno. Suelen utilizarse en terrenos cohesivos con
poco agua, pues de lo contrario es necesario entibar. Permiten extraer tanto muestras inalteradas de
suelo como alteradas, para su posterior análisis en laboratorio.
Los sondeos son perforaciones de pequeño diámetro (6,5 – 14 cm) que permiten alcanzar
profundidades mucho más altas. Sólo se pueden extraer muestras alteradas del suelo. Pueden ser
manuales o mecánicos (de presión, de percusión o de rotación).
El número de calicatas o sondeos a realizar, depende de la magnitud de la obra, pero en general
para edificaciones agroindustriales podemos recomendar una calicata cada 400 m2 de planta del
edificio, y en cualquier caso, un mínimo de dos.
c) Ensayos
Los ensayos a realizar pueden ser de dos tipos: ensayos “in situ” y ensayos de laboratorio, a partir
de las muestras extraídas en las calicatas y sondeos.
Entre los ensayos “in situ”, destacan la placa de carga y el ensayo de penetración. Ambos
permiten evaluar directamente la tensión admisible por el terreno y los asientos esperados, pero su
alto coste hace que se utilicen muy poco en obra rural.
La placa de carga consiste en aplicar presiones crecientes sobre el terreno a través de un gato
hidráulico, midiendo el asiento producido, hasta llegar a la rotura del suelo. Permite por tanto estimar
de manera directa la carga de hundimiento y el asentamiento del terreno. El principal problema de
este ensayo, además de su coste, es que la placa que se apoya en el terreno para aplicar la carga, es
de dimensiones muy pequeñas (30 x 30 cm) comparada con las zapatas de una edificación, con lo
que se acentúa el efecto de punzonamiento, y los resultados no son siempre extrapolables.
El ensayo de penetración (SPT) consiste en hacer entrar en el suelo una puntaza cónica a través
de golpes de maza. Midiendo el número de golpes necesarios para que la varilla entre una longitud
fija, se deduce la resistencia a la penetración y algunas características mecánicas del suelo, a partir
de diferentes fórmulas y factores de conversión.
Los ensayos de laboratorio, se realizan con las muestras extraídas en las calicatas y sondeos, y
nos permiten la determinación de los parámetros geotécnicos necesarios para, a través de las teorías
de la mecánica de suelos, determinar la carga admisible en el plano de apoyo de la cimentación, y si
fuese necesario, los posibles asientos.
d) Estudio geotécnico
En función de la magnitud de la obra que se pretende proyectar, podemos distinguir diferentes
niveles del estudio geotécnico:
−
NIVEL I:
Edificaciones de una sola altura, muros continuos de hasta 5 m de altura de ladrillo o de bloque.
Naves con luces de menos de 10 m y pórticos separados 5 m como máximo.
Muestreo de 1 ó 2 calicatas de 3 – 4 m de profundidad.
El informe geotécnico consistirá en la identificación directa del terreno de apoyo y determinación
de la σadm por la NBE–AE-88.
−
NIVEL II:
Edificaciones de hasta dos alturas, muros discontinuos de ladrillo o de bloque limitados por pilares
o vigas. Naves con luces entre 10 y 15 m.
Muestreo de 1 ó 2 calicatas o más de 4 – 5 m de profundidad. Sondeos si es necesario.
El informe geotécnico consistirá en la determinación de la σadm por la NBE–AE-88 y si procede,
determinación en laboratorio del valor de cohesión y rozamiento interno, para fijar σadm según la
fórmula de Terzaghi.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
172
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
−
NIVEL III:
Edificaciones de más de dos alturas y luces de más de 20 m.
Muestreo de 2 ó 3 calicatas o más, de 5 – 6 m de profundidad o mayor. Sondeos si es necesario.
Identificación de cada estrato que compone el terreno, con toma de muestras inalteradas para
determinar ángulo de rozamiento interno, cohesión y demás parámetros geotécnicos necesarios.
El informe geotécnico consistirá en la determinación de la σadm según la fórmula de Terzaghi,
comparando con NBE–AE-88 y cálculo de asientos inmediato y de consolidación.
Como conclusiones del estudio geotécnico, se han de establecer claramente cuál será la
profundidad del plano de cimentación, la tensión admisible por el terreno y en caso de ser necesario
los asientos máximos esperados. A partir del más limitante de estos dos últimos factores se calculan
las dimensiones mínimas en planta de la cimentación, para que no se produzca rotura del terreno
(hundimiento) o bien para que el asiento se encuentre dentro de los límites tolerables.
2.3. DETERMINACIÓN DE LA TENSIÓN ADMISIBLE DEL TERRENO
e) Determinación de σadm a partir de NBE–AE-88:
En la tabla A2.1. se recogen los valores de la presión admisible por el terreno de cimentación en
kg/cm2, en función de la profundidad del plano de cimentación y de la naturaleza del terreno sobre el
que se apoya el cimiento.
9
Tabla A2-1. Presiones admisibles en el terreno de cimentación. Fuente : NBE AE-88
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
173
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
f) Determinación de σadm a partir del ensayo de penetración (SPT):
La determinación de la capacidad portante de un suelo mediante el ensayo de penetración (SPT)
se usa mucho en la práctica para estimar la tensión admisible en suelos granulares.
Las ecuaciones (según Terzaghi, modificado por Bowles (1982)) propuestas proporcionan el valor
de la σ adm para un asiento determinado:
σ adm = N ·S ·W ´·
σ adm =
Kd
5
Si B ≤ 1,20m
N ·S ·W ´·K d 
0,3 
· B +

8
B 

2
Si B ≥ 1,20m
ƒ
Si D ≤ B la σ adm ha de reducirse un 50%
ƒ
Si D > B la σ adm ha de reducirse un 30%
Donde:
• N: Numero de golpes del ensayo de penetración.
• S : Asiento máximo permitido en pulgadas.
• B: Ancho del cimiento en metros.
•
 kg 

2
 cm 
σ adm : Tensión admisible en 
• Kd: Factor de corrección por efecto de profundidad. ( K d
= 1 + 0,33·
D
≤ 1,33)
B
• D: Profundidad del plano de cimentación.
El valor de N ha de ser el valor medio medido en todos los ensayos realizados en el intervalo de
profundidad entre el plano de apoyo de la cimentación y una distancia igual al ancho de la misma (B)
Las fórmulas anteriores se pueden emplear sin ninguna corrección cuando el nivel freático está a
una profundidad mayor que 2B. En caso contrario el valor de N ha de corregirse con el factor W´ del
según lo que se expone a continuación.
Según Terzaghi y Peck, cuando el ensayo se realiza por debajo del nivel freático y en suelos no
cohesivos:
ƒ
Para N > 15
N = 1,5 + 1,2( N − 1,5)
ƒ
Para N < 15
N = 0,6· N
g) Determinación de σadm a partir de la fórmula de Terzaghi:
Los estudios teóricos de la carga de hundimiento, es decir, la carga que produciría el hundimiento
de la cimentación, se basan en la hipótesis de un modelo de rotura bidimensional, junto con una ley
de resistencia del terreno. Considerando una carga en faja de longitud infinita, se supone que el
terreno que se encuentra debajo de la carga permanece en estado elástico y no se rompe, debido a
que se encuentra sometido a compresión muy alta (cuanto más comprimido se encuentra un suelo,
más resistencia a la rotura manifiesta), formando una cuña el que permanece en estado elástico y sin
romperse. Los planos de rotura se sitúan a ambos lados de esta cuña, tal y como se muestra en la
figura:
Estableciendo las condiciones límites del equilibrio entre las fuerzas aplicadas exteriormente y las
desarrolladas en el terreno para contrarrestarlas, se llega a la situación representada en la figura A22:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
174
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
qh
D·γ2
D·γ2
W
c
c
Ep
Ep
Figura A2 - 2. Modelo de Terzaghi.
Estableciendo el equilibrio de fuerzas para la cuña, Terzaghi llegó a la siguiente expresión para
calcular la carga de hundimiento de un terreno:
qh =
1
B γ 1N
2
γ
+ γ 2 DN
q
+ cN
c
donde:
• qh = carga de hundimiento, valor de tensión que produciría el colapso del suelo de cimentación.
• B = lado menor de la cimentación.
• γ1 = peso específico del terreno bajo la cimentación.
• γ2 = peso específico del terreno sobre el plano de cimentación.
• D = profundidad del plano de apoyo de la cimentación.
• c = cohesión del terreno.
• Nγ, Nq y Nc = factores de capacidad de carga. Dependen del valor del ángulo de rozamiento interno del terreno (aparecen
tabulados a continuación).
N q = e πtgφ tg 2  45 + φ 
2

N c = N q − 1 cot gφ
(
(
)
)
N γ = 2 N q + 1 tgφ
φ
Nq
Nc
Nγ
φ
Nq
Nc
Nγ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1,00
1,09
1,20
1,31
1,43
1,57
1,72
1,88
2,06
2,25
2,47
2,71
2,97
3,26
3,59
3,94
4,34
4,77
5,26
5,80
6,40
7,07
7,82
8,66
9,60
10,66
5,14
5,38
5,63
5,90
6,19
6,49
6,81
7,16
7,53
7,92
8,34
8,80
9,28
9,81
10,37
10,98
11,63
12,34
13,10
13,93
14,83
15,81
16,88
18,05
19,32
20,72
0,00
0,07
0,15
0,24
0,34
0,45
0,57
0,71
0,86
1,03
1,22
1,44
1,69
1,97
2,29
2,65
3,06
3,53
4,07
4,68
5,39
6,20
7,13
8,20
9,44
10,88
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
11,85
13,20
14,72
16,44
18,40
20,63
23,18
26,09
29,44
33,30
37,75
42,92
48,93
55,96
64,20
73,90
85,37
99,01
115,31
134,87
158,50
187,21
222,30
265,50
319,06
22,25
23,94
25,80
27,86
30,14
32,67
35,49
38,64
42,16
46,12
50,59
55,63
61,35
67,87
75,31
83,86
93,71
105,11
118,37
133,87
152,10
173,64
199,26
229,92
266,88
12,54
14,47
16,72
19,34
22,40
25,99
30,21
35,19
41,06
48,03
56,31
66,19
78,02
92,25
109,41
130,21
155,54
186,53
224,63
271,75
330,34
403,65
496,00
613,14
762,86
Tabla A2-2. Factores de capacidad de carga.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
175
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
El primer sumando de la fórmula de Terzaghi representa el efecto del peso de la cuña elástica
bajo la cimentación (W), el segundo sumando el efecto de la carga sobre el plano de cimentación
(D*γ2), a ambos lados de la cuña, y el tercer sumando representa el efecto de la cohesión del terreno
como las fuerzas de cohesión que aparecen a ambos lados de la cuña. El empuje pasivo del resto del
terreno contra la cuña se incluye dentro de los factores de capacidad de carga.
Terzaghi desarrolló su fórmula para zapatas de longitud infinita (relación L/B > 5, siendo L el lado
mayor de la zapata y B el lado menor) y con carga centrada. Cuando no se trata de una zapata
continua, es necesario realizar una corrección en los factores de capacidad de carga. Los factores de
corrección por forma aparecen tabulados a continuación:
Forma de la zapata
Corrección de Nc
Corrección de Nγ
φ = 45º
φ = 40º
φ = 35º
Cuadrada L/B = 1
1.25
0.80
0.85
0.90
Rectangular L/B = 2
1.10
0.85
0.90
0.95
Rectangular L/B = 5
1.05
0.90
0.95
1.00
Circular
1.20
0.70
0.80
0.90
Tabla A2-3. Tabla. Factores de corrección según la forma de zapata.
Para valores de relación L/B intermedios se interpola linealmente entre los valores tabulados.
Del mismo modo, cuando la carga aplicada no es vertical, sino inclinada, se hace necesario una
nueva corrección, que también adjuntamos:
Factor de capacidad
Profundidad D de
de carga
la cimentación
Nγ
0
0.5
0.2
0.0
0.0
B
0.6
0.4
0.25
0.15
0aB
0.8
0.6
0.4
0.25
Nc
Inclinación de la carga respecto a vertical
10º
20º
30º
45º
Tabla A2-4. Tabla. Factores de corrección según la inclinación de la carga.
Cuando la carga no es centrada (ver figura A2.3.), sino que aparece afectada de una cierta
excentricidad en uno o en ambos ejes, se corrigen las dimensiones de la zapata (B x L), de modo que
con unas nuevas dimensiones ficticias (B’ x L’) la carga se sitúa en el centro de gravedad de la
“nueva zapata”. Las dimensiones ficticias serán:
−
B’ = B –2e (lado menor menos el doble de la excentricidad en eje menor)
−
L’ = L – 2e’ (lado mayor menos el doble de la excentricidad en el eje mayor)
L'
e'
B'
e
B
L
Figura A2 - 3. Correcciones para carga excéntrica.
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Pág.
176
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
En cuanto al peso específico del terreno, es necesario tener en cuenta el contenido de humedad
que presenta en obra, y de manera muy especial la situación de la capa freática, ya que si el terreno
está sumergido, su peso específico disminuye y por tanto la carga de hundimiento también. A este
respecto, interesa aclarar las variaciones de peso específico que puede sufrir un terreno en función
de su contenido en humedad. El contenido de agua está directamente relacionado con la porosidad
del suelo y por ello definiremos en primer lugar lo que se conoce como índice de poros (e):
e=
volumen de poros
volumen de poros
=
volumen to tal - volumen de poros
volumen sólidos
Imaginemos que tenemos un volumen de suelo como el que se representa en la figura A2.4.:
POROS
e
SÓLIDOS
1
1+e
Figura A2 - 4. Porosidad del suelo.
Consideramos γs el peso específico de la parte sólida del terreno y γw el peso específico del agua.
Si el terreno estuviese totalmente seco, y por tanto todos los poros llenos de aire, su peso específico
sería:
γ sec o =
peso de la masa de suelo γ s .1
=
volumen total
1+ e
Si el terreno estuviese totalmente saturado, y por tanto todos los poros llenos de agua, su peso
específico sería:
γ saturado =
γ s .1 + γ w .e
1+ e
Cuando el suelo se encuentra con un porcentaje de saturación, s, intermedio entre la saturación
total y el suelo seco, tendríamos:
γ húmedo =
γ s .1 + γ w .e.s
1+ e
, donde
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
s = saturación =
volumen de agua
volumen de poros
Pág.
177
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
Cuando el suelo se encuentra por debajo de la capa freática, es decir sumergido, su peso
específico disminuye y se calcularía de la siguiente manera:
γ sumergido =
γ sumergido =
peso de la masa de suelo - peso del líquido desalojado
volumen total
γ s .1 − γ w .1
1+ e
=
γ s − γ w + e.γ w − e.γ w
γ sumergido =
1+ e
γ s + γ w .e
1+ e
=
γ s + e.γ w − γ w (1 + e )
1+ e
− γ w = γ saturado − γ w
Deducida la carga de hundimiento, la σadm resulta de aplicar sobre aquella un coeficiente de
seguridad. En general, está admitido que:
σ adm =
qh
3
Cuando nos encontramos con terrenos estratificados, se calcula por separado la σadm de cada uno
de los estratos y se aplica la normativa NTE – CSZ para establecer la σadm del conjunto:
B
σ1
z
σ2
Figura A2 - 5. Tensión admisible en el caso de terrenos estratificados. CASO 1:
−
σ1 < σ 2
CASO 2:
σ1 > σ 2
CASO 1:
Si z > 0,7B, entonces σadm = σ1
Si z < 0,7B, entonces
σ adm = σ 2 −
(σ 2 − σ 1 ).z
0,7 B
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
178
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
−
CASO 2:
Si z < 0,2B, entonces σadm = σ2
Si 0,2B< z < B, entonces
σ adm = σ 2 +
(σ 1 − σ 2 )(. z − 0,2 B )
0,8B
Si z > B, entonces σadm = σ1
2.4. DETERMINACIÓN DEL ASIENTO ESPERADO
El asiento, es decir, la deformación de un suelo, está directamente relacionada con la tensión a la
que está sometido dicho suelo. La distribución de tensiones dentro de un terreno (cómo varía la
tensión en los distintos puntos del suelo a medida que nos alejamos del punto de aplicación de la
carga) y cuál es la relación entre la tensión en cada punto y la deformación producida, son los
principales problemas que se plantea la determinación de los asientos.
En muchos suelos, antes de llegar a la rotura, situación poco deseable para cualquier cimentación,
existen estados en que es aproximado abordar el estudio del terreno como si de un material elástico
se tratase. Es decir, considerando que existe una correspondencia entre las deformaciones
producidas al material y las tensiones aplicadas en el mismo. Aunque esta hipótesis nunca es exacta,
para los niveles de tensiones que se producen en una cimentación, se considera suficientemente
aproximado considerar, para algunos suelos, que se ajustan a un régimen elástico, lineal e isotrópico,
caracterizado por un módulo de elasticidad y un coeficiente de Poisson.
En una primera aproximación, se definió el modelo conocido como semiespacio elástico de
Boussinesq, elástico, homogéneo e isotrópico, y limitado únicamente por un plano horizontal. Se
supone que cumple la ley de Hooke y que el módulo de elasticidad es el mismo en tracción que en
compresión. Se considera también que la materia que constituye el semiespacio responde
elásticamente a las tensiones que se producen en todos y cada uno de sus puntos, de forma que en
ninguno de ellos se entra en plasticidad.
Esta situación tan simplificada ha permitido resolver el problema de la distribución de tensiones en
el semiespacio de una manera general, pues de tener en cuenta todas las variables que se presentan
en la realidad, el problema sería inabordable.
En la práctica, ningún suelo se prolonga indefinidamente en profundidad, sino que siempre
aparece, más o menos profundo, un estrato rocoso, que se puede considerar indeformable. Para
ceñirse un poco más a la realidad, el semiespacio de Boussinesq se sustituye por un modelo
isotrópico, llamado capa elástica sobre capa rígida, donde se admite que tanto la capa elástica, como
la rígida son elásticas y homogéneas en todos sus puntos. Para estos modelos elásticos simples, se
encuentran resueltos matemáticamente, los problemas de distribución de tensiones y de asientos en
diversos casos, que pretenden aproximarse a la situación de un cimiento. El más sencillo, lo resolvió
el mismo Boussinesq en 1885 obteniendo la distribución de tensiones y asientos en un semiespacio
elástico infinito, bajo la acción de una carga vertical, aplicada en la superficie del semiespacio:

3× Q 
1
σZ =
2 
2×π × z 1+ R
z



2 


5
2
( )
El desplazamiento vertical correspondiente sería:
Sz =
Q × (1 + η )
× 2 × (1 − η ) + Cos 2ψ
2 ×π × E ×δ
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
(
)
Pág.
179
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
Donde Q representa la carga aplicada, z es la distancia vertical del punto donde se estima la
tensión al punto de aplicación de la carga, R es la distancia horizontal, η es el coeficiente de Poisson
del suelo, E su módulo de elasticidad y ψ y δ ángulos que determinan la posición del punto.
Sin embargo una carga puntual no es muy representativa del efecto de una zapata. De la
integración de infinitas cargas puntuales distribuidas en áreas de diferentes formas, podemos
encontrar en la bibliografía ejemplos resueltos de cargas lineales de longitud infinita, cargas en faja
de ancho variable, cargas rectangulares o cargas sobre una superficie circular de radio variable. En
todos estos casos la carga se aplica en superficie.
Los mismos estudios descritos, se han resuelto y se encuentran calculados en la bibliografía, para
el supuesto de capa elástica sobre capa rígida. (RODRÍGUEZ ORTIZ, SERRA GESTA y OTEO
MAZO 1989)
Hasta este momento, trabajando con cargas que se aplican directamente sobre la superficie del
suelo, no se planteó el problema de conocer cómo era la distribución de esa carga; pero al intentar
aproximarse a la realidad de una cimentación e introducir cargas repartidas, surge una nueva variable
a tener en cuenta. Cuando la cimentación consiste en un elemento estructural con rigidez propia,
obliga a todos los puntos bajo ella a descender en función de su propia deformación, con lo cual la
distribución de tensiones sobre el terreno se verá afectada. Es lo que se conoce como carga rígida y
los casos resueltos para este tipo de cargas son mucho más limitados.
En todos estos modelos, se está prescindiendo de variables tan importantes como la interacción
entre el suelo y el cimiento, o el efecto de que la carga de una cimentación nunca se aplica en la
superficie. Aún teniendo en cuenta todas las simplificaciones mencionadas, y otras muchas que
todavía no hemos tratado, la distribución de tensiones obtenida de los modelos matemáticos, supone
un proceso de cálculo muy trabajoso y variable en función del tipo de espacio considerado y de la
rigidez de la zapata.
Por tanto, a efectos prácticos, y teniendo en cuenta la aproximación de los métodos de cálculo de
asientos que a continuación vamos a proponer, nos quedaremos con dos modelos simplificados para
la evaluación de la distribución de tensiones en el terreno:
−
Los bulbos de Boussinesq.
−
El gráfico de Newmark.
2.4.1. Modelos simplificados para la evaluación de la distribución de Tensiones del Terreno
a) Bulbos de Boussinesq:
De la integración de infinitas cargas verticales aplicadas en la superficie del semiespacio elástico
infinito de Boussinesq se obtiene la distribución de tensiones en dos casos particulares: zapata
cuadrada y zapata de longitud infinita. Esto da lugar a dos familias de bulbos, los bulbos de
Boussinesq, que de forma gráfica permite calcular la tensión en cualquier punto del semiespacio,
conocida su distancia al centro de la carga. Hay que tener en cuenta que el origen de coordenadas
del gráfico se encuentra en el punto medio de la zapata y por tanto las distancias horizontales se
refieren a dicho punto.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
180
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
A) Semilíneas Isobaras bajo una zapata contínua
de anchura B y longitud Infinita.
A) Semilíneas Isobaras bajo una zapata
cuadrada de lado B.
Figura A2 - 6. El Sólido Semiinfinito y Elástico Según Boussinesq.
Sin embargo, este método supone ciertos problemas, puesto que en cuanto a forma, sólo sirve
para zapatas cuadradas o corridas; además es imposible valorar la tensión en los diferentes puntos
bajo la cimentación. Para tratar de resolver estos casos se usa el gráfico de Newmark:
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Pág.
181
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
b) Gráfico de Newmark:
Figura A2 - 7. Gráfico de Newmark para el cálculo de esfuerzos verticales bajo la cimentación según el análisis de Boussinesq.
Para conocer la tensión en cualquier punto del semiespacio a una profundidad z y a una distancia
horizontal cualquiera, se opera gráficamente, dibujando a escala la planta de la zapata (por tanto
válido para cualquier forma) sobre el gráfico, de forma que la recta AB representa la profundidad z,
determinando así la escala de la planta, que ha de situarse de forma que el punto donde se quiere
calcular la tensión coincida con el centro del gráfico. Es decir será diferente calcular la tensión bajo el
centro que bajo el extremo de la zapata, a diferencia que en los bulbos de Boussinesq. Si queremos
la tensión bajo el centro, la zapata ha de dibujarse centrada con los círculos del gráfico, si queremos
la tensión bajo la esquina la zapata se dibuja con la esquina sobre el centro. A continuación se
cuentan los cuadros que quedan dentro del dibujo de la zapata, contando como medio cuadro todos
aquellos que resulten incompletos. El número total de cuadros se multiplica por el coeficiente de
influencia del gráfico y por la carga transmitida por la zapata, obteniendo así la tensión en cualquier
punto bajo ella y a cualquier distancia.
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Pág.
182
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
Para cualquiera de los dos métodos expuestos, la carga se aplica en superficie y por tanto no se
tiene en cuenta la profundidad de cimentación y también se desprecia el hecho de que la cimentación
pueda actuar como una carga rígida. Por ello, como veremos más adelante, en los métodos de
evaluación de asientos se introducen factores de corrección para valorar la influencia de estas
circunstancias. De todos modos no se ha de olvidar que los métodos expuestos aquí son
simplificaciones prácticas, y que en caso de precisar más exactitud se puede recurrir a los modelos
matemáticos.
2.4.2. Evaluación de los asientos
Una vez conocida la tensión a la que se encuentra sometido el terreno en un punto determinado,
se puede pasar a valorar el asiento que esta tensión produce según se expone a continuación.
En la práctica se distinguen tres tipos de asientos:
−
Asiento inmediato o asiento elástico, que se produce casi simultáneamente con la
aplicación de la carga: En rocas y suelos arenosos compactos, la mayor parte de los
asientos son de este tipo. En arcillas saturadas corresponde a deformaciones de corte
sin drenaje, y por consiguiente considerando un coeficiente de Poisson de 0,5. El
asiento se produce por cambio de forma, aunque no de volumen del suelo.
−
Asiento de consolidación, ocurre a medida que se va perdiendo agua por drenaje, de
manera que los poros del suelo se reducen, produciéndose deformaciones
volumétricas de forma muy lenta después de aplicada la carga. Es el comportamiento
típico de arcillas saturadas.
−
Asiento de fluencia lenta, se produce en algunos suelos después del asiento de
consolidación, sin incremento de la carga, sino que se debe a una especie de fluencia
viscosa de los contactos entre las partículas del suelo.
Los tres tipos de asientos son típicos de arcillas y limos plásticos saturados, pero en el caso de
suelos no saturados o bien suelos granulares, que drenan de manera instantánea tras la aplicación
de la carga, los asientos son muy rápidos y de tipo fundamentalmente elástico o inmediato. El asiento
de fluencia lenta sólo se produce en suelos orgánicos tipo turberas y tiene poca importancia en la
práctica, por ser éstos suelos poco adecuados como base para un cimiento.
Tanto el asiento elástico como el asiento de consolidación, se pueden estimar por multitud de
métodos aplicables por los calculistas de manera sencilla, entre los que destacaremos dos, el Método
Elástico y el Método Edométrico.
a) Método Elástico:
Para calcular el asiento inmediato, puede emplearse el método elástico, que tiene la ventaja de
considerar la deformación tridimensional del terreno y ser de muy rápida aplicación. En suelos
granulares, se determina el asiento inmediato inicial, usando para ello alguno de los modelos
matemáticos descritos. La primera aproximación, se corrige con una serie de coeficientes
establecidos experimentalmente, que pretenden estimar la influencia de ciertas variables no incluidas
en la fórmula inicial.
Basándose únicamente en la teoría de la elasticidad, el asiento elástico producido por una carga
rectangular, sería:
δ = q×B×I ×
(1 − η )
2
E
dónde B es la dimensión menor de la zapata, q la carga aplicada por unidad de superficie, E el
módulo de elasticidad del suelo y η su coeficiente de Poisson.
I es un factor de influencia que depende de la forma de la zapata (relación L/B), y de si el asiento
pretende estimarse en el centro o en la esquina de la cimentación; por tanto, es el factor que estima
el efecto de que la carga se aplique de manera rígida o no. Que pueda considerarse un caso de carga
rígida, depende de la geometría de la zapata, y en general para asientos se sigue el siguiente criterio:
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
183
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
se considera que la zapata es rígida cuando el vuelo es menor que el canto y flexible en caso
contrario. Este criterio no coincide con el que se recoge en la instrucción de hormigón EHE, debido a
que se refiere a conceptos diferentes. Una zapata rígida en cuanto a asiento, significa que obliga a
que todos los puntos bajo su base desciendan por igual al producirse el asentamiento. Una zapata
rígida en cuanto al comportamiento del hormigón significa que la distribución de tensiones en la
sección de hormigón no se ajusta a una flexión simple.
Aclarada esta cuestión, el factor de influencia I, se puede tomar de la siguiente tabla:
Forma del área
Cargada
ZAPATA FLEXIBLE
ZAPATA
RÍGIDA
Centro
Esquina
Circular
1.00
0.64
0.88
Cuadrada
1.12
0.56
0.82
L/B = 1.5
1.36
0.68
1.06
L/B = 2
1.53
0.77
1.20
L/B = 5
2.54
1.27
2.10
Tabla A2-5. Factores de Influencia l, en función de la forma de la zapata.
Además se ha propuesto un coeficiente denominado Factor de Fox, que determina la influencia de
la profundidad a la que se sitúa el plano de cimentación, con lo cual el asiento inmediato quedaría
determinado por la siguiente expresión:
δ = q×B×I ×
(1 − η )
2
E
×F
Figura A2 - 8. Factor de Fox.
En suelos granulares, la expresión anterior resuelve el problema directamente, pues el asiento es
predominantemente inmediato. En suelos encharcados, la determinación del asiento conlleva varios
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
184
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
pasos:
−
Primero se determina el asiento inicial, aplicando la fórmula anterior con un coeficiente
de Poisson de 0,5 y un módulo de elasticidad sin drenaje (Eu), que se puede estimar
por medio de relaciones como:
E u = 500 × cu
Donde
• cu es el valor de la cohesión en un ensayo de corte sin drenaje.
Eu =
1,5 × E ′
1 + η′
Donde
• E´ : representa los valores de módulo de elasticidad para el suelo drenado.
• η´ : representa los valores del coeficiente de Poisson para el suelo drenado.
Las medidas realizadas parecen indicar que el asiento inmediato varía entre el 60% y el 10% del
asiento elástico total, según la arcilla esté o no consolidada.
−
El segundo paso consiste en la obtención del asiento elástico total, con la misma
expresión del asiento inmediato, pero tomando con parámetros del suelo E´y η´, que
son los valores geotécnicos para el suelo drenado. El asiento de consolidación sería, el
asiento total menos el asiento inicial.
Sin embargo, como veremos más adelante, una arcilla saturada no responde a un modelo elástico,
por lo que para calcular el asiento de consolidación suele utilizarse el método edométrico.
b) Método Edométrico:
Este método se basa en los resultados de un ensayo edométrico. No tiene en cuenta el asiento
inmediato, pero ofrece la ventaja de poder ser aplicado a suelos estratificados. En general los valores
obtenidos son inferiores a los reales.
El ensayo Edométrico consiste en un ensayo de consolidación primaria, que se realiza en medio
saturado en un aparato llamado edómetro. Es necesario trabajar con una muestra de suelo
inalterada, que se coloca entre dos capas de piedra porosa en el interior de una cámara que contiene
agua. Se van aplicando a la muestra incrementos de carga sucesivas, a través de un banco de carga
que consigue que la carga se aplique de manera instantánea. Tras la estabilización se miden los
descensos que se van produciendo en la muestra.
Puesto que el ensayo se hace en medio saturado, el asiento se debe a la pérdida del agua
intersticial de las partículas de arcilla bajo la acción de la carga, por tanto se produce debido a una
variación del volumen de la muestra y no una variación de forma como ocurre en el asiento inmediato,
típico de suelos drenados.
Las cargas que se aplican en el ensayo edométrico corresponden a la serie 0.5, 1, 2, 4, 8, 16 y 32
kg/cm2. Con los descensos correspondientes a cada una de estas cargas se dibuja una curva que se
conoce como rama de carga. Al alcanzar los 32 kg/cm2 se pasa a una descarga gradual siguiendo la
misma serie que en la carga y midiendo la expansión de la muestra a cada paso de carga. Con estos
resultados se construye la rama de descarga.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
185
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
1 2
4
8
16
32
σ (kg/cm2)
(h0-h)/ h0
h0 = altura inicial
h = altura a cada incremento de carga
Rama de carga
Rama de descarga
Figura A2 - 9. Ramas de carga y descarga.
La primera conclusión que se extrae de la curva resultado del ensayo, es que el material no
cumple la ley de Hooke, es decir la deformación no es proporcional a la carga aplicada, ya que la
gráfica es una curva y no una recta, incluso para valores de carga muy bajos. Además, el material no
se comporta de manera elástica, ya que existe una deformación permanente aún cuando la carga es
nula tras la descarga. Por estas dos razones no se considera adecuado el método elástico para
calcular un asiento de consolidación.
La manera de mostrar los resultados obtenidos en un ensayo edométrico no es la curva extraída
del ensayo tal cual se ha visto en la figura anterior, sino que los resultados se presentan en un gráfico
semilogarítmico, donde en el eje de abcisas se representa la carga en escala logarítmica, y en el eje
de ordenadas el índice de poros en escala normal. Como se considera que la fase sólida es
incompresible (esto es verdad para arcillas y para arenas siempre que la carga no sea excesiva), el
índice de poros se calcula a partir de la medida del asiento obtenida en el ensayo:
e=
volumen de poros
volumen de poros v p
=
=
volumen total - volumen de poros volumen sólidos v s
Como la fase sólida es incompresible vs = cte y por tanto ∆v = ∆vp, resulta inmediato calcular el
índice de poros en cada paso de carga. Los resultados del ensayo se expresan en una curva similar a
la que se representa en la figura A2.10.
e
e0
(e0, logσ0)
ef
Rama de carga
e
(e, logσ)
Rama de descarga
Log σ0
Log σ
σ
Figura A2 - 10. Resultados del ensayo edométrico.
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Pág.
186
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
donde en abcisas se representa la carga aplicada y en ordenadas el índice de poros resultante
tras la aplicación de la citada carga; e0 es el índice de poros inicial de la muestra de suelo y e el
índice de poros al final de la rama de carga. Con ef se representa el índice de poros final al terminar el
ensayo, mientras que σ0 sería el valor de carga que se correspondería con el índice de poros inicial y
σ el que le correspondería al índice de poros al final de la rama de carga.
Tal y como se aprecia en la figura A2.10., con presiones bajas en la rama de carga se obtiene una
curva ligeramente inclinada sobre la horizontal. Al aumentar la presión la curva se hace rectilínea
hasta alcanzar el e mínimo. En la descarga el índice de poros vuelve a subir, pero queda por debajo
del e0 inicial.
La curva edométrica tiene un tramo recto al final de la rama de carga, en la figura la recta
imaginaria que va desde e0 hasta e. La pendiente de esta recta, es una constante que se conoce
como índice de compresión o coeficiente de consolidación. Este índice, indica si el suelo es más o
menos deformable:
Cc =
Cc =
e0 − e
∆e
= pte
=
∆ log σ log σ − log σ 0
∆e
∆e
=
+ ∆q
q
log σ  log
 σ0 
q
∆e = Cc × log
q + ∆q
q
Por otro lado podemos expresar la deformación unitaria del terreno de la siguiente manera:
∆v
vs
incremento de volumen ∆v
∆v
=
ε=
=
=
volumen inicial
v0 v p + vs v p
+1
vs
Como ya se ha dicho, suponemos el volumen de sólidos constante y por tanto ∆v = ∆vp, de
manera que resulta:
∆v
ε=
vp
vs
vs
+1
=
∆e
1 + e0
Combinando ambas expresiones la deformación unitaria del terreno quedaría:
ε=
∆e
q + ∆q
1
=
× Cc × log
q
1 + e0 1 + e0
Para un estrato de espesor H, el asiento quedaría:
Sc =
H
q + ∆q
× Cc × log
1 + e0
q
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
187
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
De este modo el método obligaría a la toma de muestras representativas de cada estrato y
realización de ensayos edométricos para la determinación del índice de compresión y el índice inicial
de poros. A efectos prácticos y sobre todo a nivel de proyecto, el coeficiente de consolidación se
determina por métodos empíricos, como el método de Skempton o el de Jiménez Salas, dónde se
deduce el valor del coeficiente de consolidación en función del valor del límite líquido del suelo para
ambos casos:
según Skempton: C c = 0.009 × (LL − 10 )
según Jiménez Salas: C c = 0.0097 × (LL − 16.4 )
donde LL es el límite líquido del suelo
Finalmente el método consiste en el cálculo de las tensiones efectivas iniciales verticales
existentes en cada punto (q), y los incrementos de esta tensión debidos a la carga aplicada (∆q). Para
estos cálculos se utilizan soluciones elásticas, como los bulbos de Boussinesq o el gráfico de
Newmark. El valor del asiento en cada capa se obtiene aplicando la fórmula anterior, y el asiento total
se obtendrá sumando los resultados obtenidos para cada estrato.
Los asientos calculados de esta manera son excesivos en general, ya que al sumar en vertical los
asientos en los diferentes estratos, no se tiene en cuenta el efecto de los estratos superiores. Es
decir, se supone que existe un prisma rectangular con base de forma y dimensiones iguales a las de
la zapata, y dentro del estrato superior, que desciende por corte una magnitud igual al asiento, sin
que se vea contrarestado al menos en parte, por el rozamiento de las cuatro caras del terreno
circundante. Por ello el valor más aceptado para el asiento de consolidación es el siguiente:
 H
q + ∆q 
 × 0.9
S c = 
× C c × log
+
e
q
1
0


Una vez calculado el valor del asiento esperado es necesario determinar si es o no tolerado por la
estructura. El valor del asiento máximo admisible viene fijado por la normativa vigente en la NBEAE/88, según el tipo de edificación y de terreno de que se trate. Si el asiento calculado resultase
mayor que el permitido, habrá que modificar las dimensiones en planta de la zapata.
Aunque la normativa únicamente limita el asiento total, hay un concepto quizás más importante
para el buen funcionamiento de una edificación. En la práctica es fundamental tener en cuenta lo que
se conoce como asiento diferencial, que se define como la diferencia entre los asientos entre dos
zapatas contiguas.
En edificaciones agroindustriales no es frecuente este cálculo, tanto porque suele tratarse de
obras pequeñas en extensión, como porque los daños estéticos que suelen producir este tipo de
asientos son menos determinantes que en otras obras de ingeniería. Únicamente en obras
extremadamente delicadas, en las que exista la necesidad de hacer bastantes calicatas se evalúan
las diferencias entre los distintos puntos donde se van a construir las zapatas. Como recomendación
práctica se puede tomar como asiento diferencial máximo el valor de ¾ del asiento máximo total.
Aunque nos apartamos un poco de ámbito de la edificación agroindustrial es importante aclarar
que en asientos diferenciales es fundamental la distancia que existe entre las dos zapatas que están
“asentando diferente”, para asegurar la seguridad de la estructura que sustentan. A este respecto
podemos citar una norma práctica muy común en arquitectura, que relaciona la diferencia entre
asientos entre dos zapatas con la distancia entre ellas:
−
1/500 marca el límite de seguridad frente a la fisuración.
−
1/300 peligro de aparición de fisuras en muros y tabiques.
−
1/150 peligro de fisuras y daños en elementos estructurales.
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Pág.
188
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
2.5. EJERCICIO PRÁCTICO
Para la ejecución de una obra, los sondeos revelaron que el suelo estaba constituido por una capa
de arena fina de 10.6 m de espesor, que yace sobre una capa de arcilla blanda de 7.6 m. La capa
freática se sitúa a 2 m por debajo de la superficie del suelo.
La densidad de la arena sumergida es de 1.04 t/m3, la de la arena situada por encima de la capa
freática de 1.76 t/m3 y su módulo de elasticidad 200 kg/cm2. El ángulo de rozamiento interno es 34º y
la cohesión nula.
El contenido de humedad de la arcilla es del 40%, el límite líquido del 45% y la densidad de las
partículas sólidas 2.78 t/m3. El ángulo de rozamiento interno es 25º y la cohesión 3 t/m2.
El plano de cimentación se sitúa a 2m de profundidad.
Dimensionar en cuanto a tensión admisible y a asientos una zapata cuadrada flexible que aporta
un axil de 65t, con una excentricidad de 0.1 m en uno de sus ejes. Si en la misma edificación coexiste
otra zapata que aporte un axil centrado de 30t, calcular el asiento diferencial.
2m
C.F.
10.6m
ARENA
7.6m
ARCILLA
Calculamos la carga de hundimiento del terreno de cimentación aplicando la fórmula de Terzaghi a
cada uno de los dos estratos por separado:
* 1er estrato
qh =
1
B γ Nγ + γ D Nγ + c N c
2
Como necesitamos las dimensiones de la planta de la zapata, se tantea con un 1.5 x1.5m. Como
la zapata no es de longitud infinita, es necesario hacer una corrección por forma y como además
existe excentricidad habrá que hacer una corrección de las dimensiones para que la carga resulte
centrada:
L = 1.5m
B’ = 1.5-2x0.1 = 1.3m
L/B’ = 1.15
Los factores de capacidad de carga para el estrato de arena con sus correspondientes
correcciones por forma serían:
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189
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
 N c = 42.16 Corrección por forma 1.227

φ = 34º  N q = 29.44

 N γ = 41.06 No hay corrección por forma por ser φ < 35º
1
B γ Nγ + γ D Nγ + c N c =
2
1

=  × 1.3 × 1.04 × 41.06 + [2 × 1.76 × 29.44] + 0 = 131.38 t/m 2
2

qh =
σadm1 = qh/3 = 43.79 t/m2
* 2º estrato
 N c = 20.72 Corrección por forma 1.227

φ = 25º  N q = 10.66

 N γ = 10.88 No hay corrección por forma por ser φ < 35º
Para calcular el peso específico de la arcilla en obra, hemos de tener en cuenta que se encuentra
por debajo de la capa freática, por tanto está sumergido y con todos los poros llenos de agua. El
porcentaje de humedad que tenemos como dato se refiere al peso, no al volumen, por tanto para
calcular el peso específico de la arcilla saturada tendremos:
0.4 t de agua = 0.4 m 3



1 tonelada de arcilla (40% humedad)
≡ 0.61 m 3
0.6
3
= 0.21 m 
0.6 t de sólidos =
2.78


γ arcilla saturada =
1t
= 1.64 t/m 3
3
0.61 m
γ arcilla sumergida = γ arcilla saturada − 1
En cuanto al segundo sumando de la fórmula de Terzaghi, la sobrecarga sobre el plano de
cimentación, ahora estamos calculando la carga de hundimiento del estrato de arcilla, es decir,
suponiendo que la zapata se apoya sobre dicho estrato. Por tanto la sobrecarga será el peso del
estrato de arena sumergido más el peso de la capa de arena que que da por encima del nivel freático:
1
B γ Nγ + γ D Nγ + c N c
2
1

qh =  × 1.3 × (1.64 − 1) × 10.88 + [(2 × 1.76 + 8.6 × 1.04 ) × 10.66] + [3 × 20.72 × 1.227]
2

qh =
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
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190
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
σadm2 = qh/3 = 71.22 t/m2
En este caso σadm2 > σadm1, y siguiendo NTE-CSZ, tendremos:
Z = 8.6m > 0.7B = 0.7x1.5 = 1.05m, por tanto σadm = σadm1 = 43.79 t/m2
Para un axil de 65 t, la carga sobre el terreno quedaría:
σ max =
N 6 × N × e 65 6 × 65 × 0.1
+
=
+
= 40.45 t/m 2 < σ adm = 43.78 t/m 2 ,
2
3
2
3
1.5
1.5
B
B
con lo
cual la zapata de 1.5m sería suficiente, incluso se podría ajustar una menor en caso de ser necesario.
Si nos basásemos únicamente en la tabla de resistencias del terreno que nos ofrece la NBEAE/88, tendríamos para una arena fina y 2m de profundidad de cimentación, una tensión admisible de
2.5 kg/cm2, con lo que resultaría una zapata considerablemente mayor, resultado de un cálculo
mucho menos ajustado y donde no se tienen en cuenta las propiedades del terreno. Sin embargo,
para obras de pequeña envergadura, con cargas pequeñas suele ser suficiente.
Pasamos a comprobar si la zapata ensayada es válida en cuanto a asientos:
* 1er estrato
Al tratarse de un estrato granular, el asiento será fundamentalmente de tipo elástico o inmediato
Si = q × B × I ×
1 −η 2
×F
E
En las teorías de asientos que estamos estudiando no se tiene en cuenta la excentricidad de la
carga, por lo que la tensión con la que se entra en la fórmula tanto puede ser la σmax si queremos
ponernos del lado de la seguridad; como la tensión media, si consideramos que la σmax sólo se
produce en un punto de la base de la cimentación, y el asiento se refiere al descenso de la zapata en
conjunto. En las teorías de asientos sólo se tienen en cuenta descensos diferentes en los distintos
puntos de la zapata por efecto de la flexibilidad de la misma.
El factor de influencia I para una zapata flexible y cuadrada será 1.12
El factor de Fox, entrando en el gráfico con los siguientes valores, tendremos:
η = 0.3 (coeficiente de Poisson para arenas)
D
 F = 0.63
2
 B = 1.5 = 1.33

Si =
1 − 0. 3 2
65000
× 150 × 1.12 ×
× 0.63 = 1.39 cm
200
150 × 150
* 2º estrato
Puesto que se trata de un material cohesivo saturado, el asiento será fundamentalmente de
consolidación. Calculamos en primer lugar el coeficiente de consolidación y el índice de poros inicial:
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191
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
Cc = 0.009 × (LL − 10 ) = 0.009 × (45 − 10 ) = 0.31
e0 =
Vp
Vt − V p
=
0.4
= 1.85
0.61 − 0.4
Pasamos ahora a calcular las presiones iniciales y el incremento de presión debido a la
construcción de la zapata:
1º) Presión inicial en el plano de cimentación:
q0 = 2 × 1.76 = 3.52 t/m 2
2º) Incremento de presión en el plano de cimentación debido a la construcción de la zapata:
∆q0 =
65
− 3.52 = 25.37 t/m 2
2
1.5
3º) Pero lo que nos interesa conocer para entrar en la fórmula de asientos es el incremento de
presión que produce la zapata en el estrato de arcilla, es decir, 8.6 m por debajo del plano de
cimentación. Como sabemos, las tensiones en el terreno se disipan con la profundidad, y uno de los
métodos para estimar la presión en un punto determinado a cierta distancia de la aplicación de la
carga son los bulbos de Boussinesq (válidos en este caso puesto que la zapata es cuadrada).
Ponemos la profundidad en función del lado de la zapata:
8.6
en el gráfico con z =5B y r = 0
= 5.7 B ≈ 5 B entrando

    → 0.02q
1.5
∆q = 0.02 × 25.37 = 0.51 t/m 2
4º) La presión inicial en el estrato de arcilla, antes de la construcción de la zapata sería:
q = (2 × 1.76 ) + (8.6 × 1.04) = 12.46 t/m 2
El asiento de consolidación quedaría:
Sc =
H
q + ∆q
7.6
12.46 + 0.51
× Cc × log
=
× 0.31× log
= 0.0144 m = 1.4 cm
q
1 + e0
1 + 1.85
12.46
* El asiento total sería:
S t = 1.39 + (0.9 × 1.4) = 2.65 cm
Si comparamos con los asientos máximos admisibles según NBE-AE/88, la zapata dimensionada
sería válida salvo que se trate de una edificación de hormigón armado de gran rigidez o bien de una
obra de carácter monumental. En estos casos habría que redimensionar la cimentación para bajar el
valor del asiento.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
192
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
Pasamos a calcular el asiento diferencial:
Como el axil es considerablemente menor, también será suficiente una zapata de menor tamaño.
En cuanto a tensión admisible, el único dato que se modifica es la dimensión de la zapata y la
corrección por forma, puesto que el axil es centrado. Por tanto, es correcto suponer que σadm2 seguirá
siendo mayor que σadm1 y que σadm = σadm1. Podemos comprobar que una zapata de 0.75x0.75m no
cumpliría en cuanto a tensión admisible, por lo que vamos a ensayar una zapata de 1x1m:
1
B γ Nγ + γ D Nγ + c N c =
2

1
=  × 1× 1.04 × 41.06 + [2 × 1.76 × 29.44] + 0 = 124.98 t/m 2

2
qh =
σadm = qh/3 = 41.66 t/m2
σ max =
30
N
= 2 = 30 t/m 2 < σ adm = 41.66 t/m 2
2
1
B
Cumpliría en cuanto a resistencia del terreno. Vamos a comprobar ahora los asientos máximos:
* 1er estrato
Si = q × B × I ×
1 −η 2
×F
E
El factor de influencia I para una zapata flexible y cuadrada será 1.12
El factor de Fox, entrando en el gráfico con los siguientes valores, tendremos:
η = 0.3 (coeficiente de Poisson para arenas)
 F = 0.56
D

 B = 2 1 = 2
Si =
30000
1 − 0.32
× 100 × 1.12 ×
× 0.56 = 0.86 cm
100 × 100
200
* 2º estrato
El coeficiente de consolidación y el índice de poros inicial no varían. Las únicas variaciones son
las presiones en cada estrato:
1º) Presión inicial en el plano de cimentación:
q0 = 2 × 1.76 = 3.52 t/m 2
2º) Incremento de presión en el plano de cimentación debido a la construcción de la zapata:
∆q0 =
30
− 3.52 = 26.48 t/m 2
2
1
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
193
= ANEJO II. EL ESTUDIO GEOTECNICO =
3º) Incremento de presión en el estrato de arcilla:
8.6
en el gráfico con z =8B y r =0
≈ 8 B entrando

    → 0.0075q
1
∆q = 0.0075 × 26.48 = 0.20 t/m 2
4º) La presión inicial en el estrato de arcilla no varía: q = 12.46 t/m2
El asiento de consolidación quedaría:
Sc =
H
q + ∆q
7.6
12.46 + 0.20
× Cc × log
=
× 0.31× log
= 0.0057 m = 0.57 cm
q
1 + e0
1 + 1.85
12.46
* El asiento total sería:
S t = 0.86 + (0.9 × 0.57 ) = 1.37 cm
* El asiento diferencial sería:
S D = 2.65 − 1.37 = 1.28 cm
Si tomamos como asiento diferencial admisible los ¾ del asiento máximo, tendríamos:
2.65 × 3
= 1.99 cm > SD = 1.28 cm Por tanto, sería admisible.
4
Si las dos zapatas estuviesen situadas de forma que la distancia entre ellas fuese de 5m,
1
1.28
1
>
>
300 500 500
No existirá peligro de fisuras en muros y tabiques, pero se superaría el
límite de seguridad frente a fisuración en la estructura.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
Pág.
194
= BIBLIOGRAFIA =
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
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2. Calavera, J. 2000.” Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón” 2 Tomos. INTEMAC.
Madrid.
3. Calavera, J. 2001.” Muros de contención y muros de sótano”. 3ª Ed. INTEMAC. Madrid.
4. Calavera, J.et al. 2000.” Manual de ferralla”. INTEMAC. Madrid.
5. Dal Ré Tenreiro, R. Ayuga Tellez, F. 2001. “Cimentaciones superficiales. Zapatas
aisladas” . Monografía. ETSIA. Universidad Politécnica de Madrid.
6. EHE.1998. Instrucción de Hormigón Estructural. Ministerio de Fomento.
7. Ferri Cortes, J. et al. 2001. “Apuntes de iniciación a la construcción”. 3 Tomos. Editorial
Club Universitario. Alicante.
8. Jiménez Montoya,P. et al. 2000. “Hormigón Armado. 14ª Edición basada en la EHE
ajustada al Código Modelo y al Eurocódigo. Gustavo Gili.
9. NBE-AE/88. Acciones en la edificación. Ministerio de Fomento.
10. NCSR-02. Norma de construcción sismorresistente.
11. Ortiz Sanz, J. Lopez Villar, M:J. 2000.”Problemas resueltos de hormigón conforme con la
Instrucción EHE. Trymar.
12. RC - 97. Intrucción para la recepción de cementos.
13. Rodríguez Ortiz, J.M. et al. 1989. “ Curso aplicado de Cimentaciones” 4ª Ed. COAM.
Madrid.
14. Urbán Brotons, P. 1999. “Apuntes de construcción de estructuras de hormigón armado” .
Editorial Club Universitario. Alicante.
AUTORES: A. Couto Yáñez, M. Guaita Fernández, M. J. López Villar.
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