Escuela tecnológica instituto técnico central. Área: matemáticas. Asignatura: matemáticas Profesoras a cargo de grado séptimo: Ángela Gómez, Inés Toro y Nataly Mateus Cronograma segundo bimestre. 04-22 de abril: Presentación y ajustes para el segundo periodo y guía 1 25 al 06 de mayo: Guía 2 + qüiz 09 al 20 de mayo: Recuperaciones + inicio libro “el asesinato del profesor de matemáticas” online + guía3 23 de mayo al 10 de junio: Qüiz + guía 4 13 de 17 de junio: cierre de periodo Temas: Historia de sobre el conjunto de números racionales, densidad y orden, conversiones entre fracciones a decimales (finitos) y viceversa; historia de la probabilidad, conceptos y enfoques. 1. Un poco de historia de los números racionales Existen varias culturas, que han dejado evidencia del uso de diferentes números, operaciones o interpretaciones, entre estos se destacan: Los babilónicos, como una de las primeras culturas que usaba fracciones cuyo denominador era una potencia de 60; Los egipcios, quienes usaban fracciones con numerador “1” (o unitarias) y las escribían con un óvalo, que significaba “partes de” y debajo o al lado ponían el denominador; Los griegos y romanos, usaron también las fracciones unitarias (denominador 1), cuyo uso persistió hasta la época medieval. Después del siglo XIII, se destacan hechos sobre una notación general, símbolos y cálculos con este tipo de números. Por ejemplo: Leonardo de Pisa llamado Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones; A principios del siglo XV el árabe Akashi fue el que generalizó el uso de los números decimales, tal y como los conocemos hoy; A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792. (Adaptado de: http://www.sceu.frba.utn.edu.ar/dav/archivo/homovidens/aguero/proyecto%20final/index.html) ¿Por qué existen los números racionales? Los números racionales aparecieron para dar solución a las “limitaciones” que presentan los números naturales y enteros, pero ¿cuáles eran estas limitaciones?: En los números naturales: No siempre es posible hacer la resta y la división. En los números enteros: No siempre es posible hacer la división o reparto en partes enteras. Concepto: El término “racional” hace referencia a una ración o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se designa con el símbolo “Q” por la palabra en inglés “quotient” que significa “cociente”. Por lo tanto, el conjunto Q (números racionales) se puede indicar como cociente de dos números enteros. También se puede decir que está compuesto por los números enteros, fracciones, decimales (finitos o periódicos). Utilidad: Los números racionales nos sirven para estimar cantidades, medir objetos de forma exacta, repartir un todo en partes iguales, expresar distancias muy pequeñas o medir, en varias disciplinas (la gastronomía, medicina, ingeniería). Características: - Densidad y Clausura Los números racionales cumplen la propiedad de densidad, eso significa que entre dos números racionales se puede encontrar muchos números. Como ejemplo imaginen cualquier pareja de fracciones (3/2 y 7/4), la propiedad dice que existe otro número racional situado entre esos dos puntos de la recta numérica (Ej: 8/5, Ver imagen recta numérica). Un proceso comúnmente usado es: 1. Sumar las dos fracciones. 2. Dividir el resultado entre dos. Luego de operar, se obtiene una fracción que estaría justo en medio de las dos fracciones iniciales. Que, para el ejemplo anterior, la fracción que quedaría en medio de 3/2 y 7/4, es 13/8 3 7 13 13 ( + )÷2=( )÷2= 2 4 4 8 Sin embargo, si se escogen dos números decimales (3.5 y 4.8), con facilidad, encontrará otro número decimal que sea mayor que 3.5, pero menor que 4.8 (ej: 3.9), también se puede dar cuenta que no es un único número ¡Hay muchos! (ej: 4.6, 4.63, 4.78, 4.799…) También se dice que este conjunto, cumple la propiedad clausurativa porque todos los resultados de las operaciones entre racionales, serán también racionales. - Orden Este conjunto se puede ubicar en la recta numérica, pero a diferencia de los números naturales que tienen un número precedente y un número posterior (ej. Con respecto al número 5, el anterior es 4, el siguiente es 6) o los números negativos (ej. Con respecto al -10, el anterior es -11 y el que le sigue -9), en el caso de los números racionales, NO se aplica, pues existen infinitos números racionales por la propiedad de densidad. Sin embargo, podemos establecer la relación de orden entre dos números racionales. Para esto, se pueden aplicar varios métodos, pero por eficiencia en el manejo de tiempos, usaremos el método del producto cruzado y la comparación de los valores resultantes, así: Ejemplo 1. Establecer cuál de los dos números racionales es mayor 12/5 y 8/3 12 8 1. Poner frente a frente cada fracción 5 ___ 3 2. Multiplicar el primer numerador con el segundo denominador (color azul) 12 ∙ 3, y luego multiplicar el primer denominador con el segundo numerador (color rojo) 5 ∙ 8 3. Comparar los dos resultados de la multiplicación, estableciendo cuál es mayor 36 < 40 12 8 4. Dado que el primer producto es menor, significa que la primera fracción será menor 5 < 3 𝒂 𝒄 Generalización: 𝒃 < 𝒅 ↔ 𝒂 ∙ 𝒅 < 𝒃 ∙ 𝒄 Datos curiosos: Existieron 3 culturas antiguas que dejaron evidencia de sus avances matemáticos relacionados con los sistemas de numeración, uso de símbolos y uso de fracciones: los egipcios, los babilónicos y los chinos. Los griegos dan un paso mayor al ser quienes formalizan las matemáticas con axiomas y demostraciones Iniciando en el s. VI. a.C con Thales de Mileto y Pitágoras, y luego en el s III a.C. con Arquímedes y Euclides. Conversiones de fraccionario a decimal Para escribir un número fraccionario a decimal debe recordar que se acude a la operación de la división. Primero toma el numerador y lo divide entre el denominador, este cociente puede ser un número entero, decimal finito o decimal periódico. Ejemplo conversión de fracción a decimal 1 1 𝑒𝑠 1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 4 → = 0.25 4 4 Conversión de decimal finito a fracción. Hay un proceso que permite la conversión desde cada tipo de cociente (decimal) a la fracción generatriz, sin embargo, acá se expondrán solo dos. Conversión de un número decimal finito a fracción 92 Convertir un decimal finito, al conservar las cifras y dividir entre potencias de 10; Ejemplo: 9.2 = 10 = 46 5 Conversión de un número decimal periódico puro a fracción (Para mayor explicación ver video), al tener en cuenta que el denominador depende del número de cifras en el periodo del número. ̅̅̅̅ = Ejemplo: 3. 42 342−3 99 = 339 99 = 113 33 HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA Y LA PROBABILIDAD La historia data del uso de la estadística desde las culturas más antiguas como es el caso de los babilonios (3000 a.C) y los egipcios quienes dejaron registro en sus grabados sobre conteos de elementos, registros poblacionales y censos. Y los chinos, dejaron reportes de estadísticas agrícolas, industriales y comerciales. Incluso en la Biblia se hace referencia a los censos y se han encontrado libros que datan del imperio romano con mucha información sobre nacimientos, impuestos, entre otros. Otra cultura que registro sucesos de los habitantes, fueron los Incas del Perú en sus Quipus. El progreso de la estadística inicia desde el siglo XVI d. C. donde se consolida la importancia de los datos. Con relación al cálculo de probabilidades, se inicia en el estudio de los juegos de azar, particularmente en los casos de repartir un premio entre jugadores que no lograban terminar sus lanzamientos, o a partir de experimentos que permitieran “predecir” qué valor saldrá. Desde algunos registros se encuentra: • Sumerios y Asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de los dados. • En el caso de la civilización egipcia, algunas pinturas encontradas en las tumbas de los faraones muestran tanto astrágalos como tableros para el registro de los resultados. • Por su parte, los juegos con dados se practicaron ininterrumpidamente desde los tiempos del Imperio Romano hasta el Renacimiento, aunque no se conoce apenas las reglas con las que jugaban. Uno de estos juegos, denominado "hazard", palabra que en inglés y francés significa riesgo o peligro, fue introducido en Europa con la Tercera Cruzada. Las raíces etimológicas del término provienen de la palabra árabe "al-azar", que significa "dado". Posteriormente, Dante usa el término como "azar". Desde el siglo XV, la probabilidad se usa para hacer predicciones, unas más ficticias que otras (lectura de cartas, suerte, la muerte, seguros de vida, riesgos), pero con fines comerciales. Los principales precursores de dichos estudios han sido: Luca Pacioli, Cadano, Galileo Galilei, Fermat, Pascal, Bernoulli, Bayes, Laplace, entre otros. Un uso muy importante de la teoría de probabilidades se da en los ensayos médicos de nuevos medicamentos, por ejemplo, las pruebas de las vacunas para el COVID-19. Estos ensayos recogen datos de los efectos de los medicamentos: ¿parecen curar algún trastorno, o tienen efectos adversos indeseados? Tomado de pg336: http://www.librosmaravillosos.com/historiadelasmatematicasenlosultimos10000anos/pdf/Historia%20de%20l as%20matematicas%20-%20Ian%20Stewart.pdf Concepto: -La probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza y estudia sus consecuencias lógicas. -La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos. De esta manera, el cálculo de las probabilidades es una teoría matemática y la estadística es una ciencia aplicada. Enfoques de la probabilidad Clásica: Definida por la regla de Laplace Probabilidad: 3 enfoques Frecuencial: Basada en una recolección de datos Bayesiana: Basada en la experiencia previa. 𝑃(𝐴) = 𝑃 𝑎 𝑃 𝑇 Ejemplo. Hallar la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda. 1 de 2 : 1/2 : 0.5 : 50% 𝑃(𝐴) = 𝑓𝑎 𝑁 ¿Qué he visto antes? Ejemplo. Hallar qué tan probable es tener ojos de color azul (ejercicio G1): 7/31 : 0.2258 : 22.6% Ejemplo. Despues de observar el lanzamiento de una moneda varias veces en las que sale siempre cara, podemos deducir que la probabilidad de que salga cara es 100% Usos extremos de la estadística y la probabilidad. Divierte revisando los links. -LA TEMPERATURA. Antonio, ¿qué temperatura consideras la ideal para ver la televisión? - Un promedio de 20 grados - Pues, mete un pie en la estufa a 60 y el otro en el frigorífico a -20. Tomado de: http://platea.pntic.mec.es/jescuder/estadist.htm -Qué es más probable ¿Ser víctima de un ataque terrorista o que te golpee un asteroide? Si vives con el temor de convertirte en la víctima de un ataque terrorista, ahora puedes dormir tranquilo, es 1860 veces más probable que te golpee un asteroide. Tomado de: https://rolloid.net/13-impactantes-datos-que-seguramente-no-sabiassobre-la-probabilidad-de-las-cosas-que-nos-pueden-pasar-en-la-vida/ Vocabulario para tener en cuenta Experimento aleatorio: Asociado a una acción que al repetirse varias veces puede generar diferentes resultados Espacio muestral: Son todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Evento: Subconjunto del espacio muestral. Evento seguro: Situación o resultado que siempre sucede dentro del experimento aleatorio, incluye todo el espacio muestral. Numéricamente 𝑃(𝑠) = 1~100% Evento imposible: Situación o resultado que no llega a ocurrir dentro del experimento. 𝑃(𝑠) = 0 Evento probable: Situación o resultado que sucede al menos una vez dentro del espacio muestral. Ejercicio resuelto: Escoger un experimento y en él un evento imposible, uno probable y uno seguro, para hallar la probabilidad en cada caso. Enfoque: Clásica, porque no se necesita lanzar el dado, solo saber cómo es el dado. Experimento: lanzar un dado regular de seis caras. Evento imposible A: sacar un valor mayor a 7. Evento probable B: Sacar 2. Evento seguro C: sacar un número x, 0 < 𝑥 < 7 Actividad para resolver en el cuaderno 1. Establezca la relación de orden entre los siguientes números racionales: a. 𝟏 𝟑 ____ 𝟏 𝟐 𝟗 𝟕 b. − 𝟐 _____ − 𝟒 c. −𝟎. 𝟓 ____ − 𝟏. 𝟑 2. Encuentre 5 números racionales que estén entre 3/4 y 2.5 3. Proponga un ejemplo para cada enfoque de la probabilidad y justifique en cada caso. 4. Recolecte con sus compañeros de al lado, 3 números racionales ya sea fraccionarios o decimales y conviértalos. 5. Proponga dos ejercicios (experimentos diferentes) similares al explicado en la guía, y halle un evento imposible, uno probable y uno seguro.
