TEORÍA DE CONJUNTOS (2)

Matemática y Lógica
Matemática I
A = {a, b, c, d} Se lee: “El conjunto A cuyos elementos son a, b, c, d”.
B = {3, 5, 7, 9}
C = {partes del cuerpo humano}
TEORÍA DE CONJUNTOS
Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto; siempre nos referimos a una colección,
agrupación, asociación, reunión, unión de objetos o elementos.
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS
Estos objetos pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros,
continentes, etc.
Un conjunto se representa simbólicamente y gráficamente.
a.
IDEA DE CONJUNTO
Se utilizan llaves; ejemplo:
P = {l, i, n, d, a} Se lee: “P es el conjunto cuyos elementos son; l, i, n, d, a”
B = {1; 3; 5; 7; 9} Se lee: “B es el conjunto cuyos elementos son: 1; 3; 5; 7; 9”
Nos dan la idea de conjunto:
a) Los alumnos del I Semestre de Enfermería Técnica
b) Una fila de carpetas.
c) Los jugadores de la selección de fútbol del Perú.
d) Una reunión de familia.
e) Los profesores del Colegio “Asteria Castro Pareja”
f) Los días de la semana.
g) Una colección de diccionarios médicos.
h) Los meses del año.
i) Los números naturales.
j) Las letras vocales.
b.
Ejemplo:
A
.3
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
.x
.y
.z . w
.L .A .P .I .Z
Consiste en señalar o fijar sus elementos. Un conjunto se determina de dos formas. Por
extensión y por Comprensión.
Son los objetos reales o ideales que lo forman.Así:
NOTACIÓN DE UN CONJUNTO .Es
la representación de un conjunto por medio de símbolos. Los conjuntos se denotan por
las letras mayúsculas: A, B, C, … X, Y, Z y sus elementos por letras minúsculas: a, b, c,
…, x, y, z y se escribe así:
C
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
b) Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, son los elementos de los días de la
semana,}
B
.1 . 2
CONJUNTO: Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección, agrupación,
asociación o unión de objetos reales o ideales, que poseen características comunes
La letra “a” es un elemento del conjunto de vocales.
Representación gráfica:
Se utilizan diagramas de Venn Euler, que son figuras cerradas de diferentes formas
que en su interior se ubican los elementos de un conjunto.
Todas estas expresiones nos dan la idea de CONJUNTO y cada uno de ellos tiene una
característica común.
a)
Representación simbólica.
i.
DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR
Es cuando indicamos con claridad cada uno de sus elementos.
Ejemplo:
A= {boca, faringe, esófago, estomago}
B= {martillo, yunque, lenticular, estribo}
C= {a, m, o}
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Matemática y Lógica
ii.
Matemática I
DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN O EN FORMA CONSTRUCTIVA
Es cuando mencionamos una o más características comunes y exclusivas a los
elementos del conjunto.
Ejemplo:
A= {x/x es un número primo, x < 12}
B= {x/xN, 7<x<12}
C= {x/x es un mes del año}
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Un elemento PERTENECE a un conjunto si es elemento del conjunto.
El símbolo de la pertenencia es: , se lee “pertenece a”
RELACIÓN DE NO PERTENENCIA
Un elemento NO PERTENECE a un conjunto si no es un elemento de dicho
conjunto. El símbolo de la no pertenencia es: . Se lee “no pertenece a”.
Ejemplo:
Sea el conjunto A= {4;5;6;7;8;9;10} entonces:
5…A
{4;5} …., A
12 … A
{0} …. A
9…A
9 y 10 …A
Conjunto Unitario: Se llama conjunto unitario a aquél que tiene un solo elemento.
2. CONJUNTO NULO O VACÍO
Sean los siguientes conjuntos:
P = {x/x es un terrícola que ha viajado a Júpiter}
Q = {x/x es una bicicleta que vuela}
R = {x/x es un número impar mayor que 3 y menor que 5}
S = {x/x es un avión que mide 2 kilómetros}
Los conjuntos P, Q, R, S que no tienen elemento son conjuntos vacíos.
Simbólicamente se denota por  o { }
CONJUNTO VACÍO: Se da el nombre de conjunto vacío a aquel que no tiene
elementos.
3. CONJUNTO FINITO
Sean los siguientes conjuntos:
H = {x/x es un punto cardinal}
B = {x/x es una vocal}
E = {x/x  N  < 6}
Y = {x/x es un órgano del cuerpo}
Los conjuntos H, B, E, Y son conjuntos finitos porque sus elementos se pueden
contar.
Conjunto Finito: Se llama conjunto finito porque sus elementos se pueden contar
o enumerar. Tiene fin.
4. CONJUNTO INFINITO
CLASES DE CONJUNTOS
1. CONJUNTO UNITARIO
Sean los siguientes conjuntos:
A = {vocales de la palabra sol}
B = {consonantes de la palabra nena}
C = {x/x es un número par mayor que 6 y menor que 10}
D = {x/x es capital del Perú}
Los conjuntos A, B,C,D que tienen un solo elemento, son conjuntos unitarios.
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Sean los siguientes conjuntos:
P = x/x es un número natural impar}
H = {x/x es un número natural par}
B = {x/x es una estrella del universo}
Los conjuntos P, H, B, C son conjuntos infinitos porque sus elementos no se
pueden contar.
Conjunto Infinito: Es aquél cuyos elementos son imposibles de llegar a contar.
No tienen fin.
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Matemática y Lógica
Matemática I
5. CONJUNTOS DISJUNTOS
7. CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL
Sean los siguientes conjuntos:
K = x/x  N/< 20 x < 25, x par}
L = {x/x  N/< 30 x < 35, x impar}
M = {x/x es una letra de la palabra leer}
F = {a, b}
Los conjuntos K, L y M, F son conjuntos disjuntos porque ambos no tienen
elementos comunes.
Sean los conjuntos:
A = {hombres} y B = {mujeres}  U = {seres humanos}
C = x/x es un animal} y D = {x/x es un vegetal}  U = {x/x es un ser vivo}
Los conjuntos dentados por U son conjuntos universales.
Conjunto Universal: Es un conjunto referencial, constituido por todos los
elementos que intervienen en el conjunto.
Este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y
algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando ambos no tienen
elementos comunes.
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el
conjunto queda: U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
6. CONJUNTO POTENCIA
Es el conjunto cuyos elementos son también conjuntos. Si A es un conjunto
cualquiera, definimos el conjunto potencia de A como el conjunto formado por
todos los subconjuntos de A y lo denotaremos por P A .
Si A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos y por esta
razón es costumbre denotar al conjunto potencia por 2 A . O sea:
2 A  P A  x / x es un subconjunt o de A.
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto A se llama Conjunto Potencia
de A. Se le denota como P(A) o 2A .
El conjunto vacío siempre estará presente en el conjunto potencia
a) A = { 1, 2 }
P(A) = { {1}, {2}, {1, 2}, ø}
El conjunto A tiene 2 elementos
entonces 22 = 4 elementos
b) A = { 1, 2, 3 }
El conjunto M tiene 3 elementos
P(A) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3},
entonces 23 = 8 elementos
{2, 3}, {1, 2, 3}, ø}
c) A={1,2,3,4}
P(A)={
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la
letra N donde: N={ 1, 2, 3, .... }

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z
donde: Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de
dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q

Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el
cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es
decir todos, representados por R.
CONJUNTOS IGUALES
Sean los conjuntos:
A = {a, m, o, r} y B = {r, o, m, a}  A = B
P = {g, a, t, o} y H = {t, o, g, a}  P = H
Los conjuntos A, B y P, H son iguales.
Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si se componen exactamente de los
mismos elementos. No importa el orden en que estén los elementos.
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Matemática y Lógica
8. CONJUNTOS DIFERENTES
Sean los conjuntos:
B = {a, b, c, d} y M = {a, e, i, d}  B  M
Los conjuntos B y M son conjuntos diferentes porque uno de ellos tiene elementos
que no tiene el otro.
Conjuntos Diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo
menos un elemento que no tiene el otro.
Matemática I
RELACIÓN DE INCLUSIÓN
Un conjunto A está incluido en otro conjunto B si todos los elementos del conjunto A
pertenecen al conjunto B. Se denota por A  B
Ejemplo:Sean los conjuntos R y S
S
R
9. CONJUNTOS EQUIVALENTES O EQUIPOTENTES
Sean los conjuntos:
P = {r, o, s, a} y H = {7, 8, 9, 10}
Los conjuntos P y H son conjuntos equivalentes porque tienen el mismo número
de elementos.
Conjuntos Equivalentes: Dos conjuntos son equivalentes si tienen el mismo número
de elementos. No interesa el tipo de elementos.
RS
Se lee:
R está incluido en S
R es subconjunto de S
R está contenido en S
Propiedades:
( es reflexiva)
10. CONJUNTOS COORDINABLES
(antisimétrica)
Sean los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = { a, e , i, o, u}
Los conjuntos A y B son conjuntos coordinables porque a cada elemento de A le
corresponde otro elemento de B.
Conjuntos Coordinables: Dos conjuntos son coordinables, cuando a cada elemento
de un conjunto le corresponde elementos de otro conjunto uno a uno
( transitiva)
RELACIÓN DE NO INCLUSIÓN
Un conjunto P no está incluido, no está contenido o no es un subconjunto de Q, si
existe por lo menos un elemento de P que no pertenece a Q. Se denota: P  Q.
Ejemplo: Dados los conjuntos:
F = {20; 21; 22; 23; 24} y H = {20; 21; 25}
F
.22
11. CARDINALIDAD
la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos de éste, diremos que n
es la cardinalidad del conjunto A y lo denotaremos por n(A). De la definición
anterior se deduce que Diremos que la cardinalidad del conjunto vacío es cero, es
decir:
n(ø)=0
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H
.24
FH
.20
.23
.21
.25
Se lee: no está incluido en G
F no es subconjunto de G
F no está contenido en G
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Matemática y Lógica
Matemática I
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN
La unión o reunión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la
agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”. Su notación
es A  B
Simbólicamente se define: A  B = {x/x  A V x  B}, se lee: “A unión B”
Es el conjunto formado por los elementos de x, tales que x pertenece a “A” o X
pertenece a “B”.
Ejemplos: Si A = {1; 2; 3} ; B = {2; 4; 6}  A  B = {1; 2; 3; 4; 6}
INTERSECCIÓN
1. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos
comunes a A y B, o sea que pertenece a A y pertenece a B. Se denota por “A  B”
y se lee: “A intersección B”.
En forma simbólica, se denota: A  B = {x/x  A  x  B}
Así pues, la intersección de conjuntos está íntimamente relacionada con la
conjunción “y” cuya abreviatura lógica – simbólica es .
Luego: A  B = {x/x  A  x  B}
Se lee: “Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos
X, tal que X pertenece a A y x pertenece a B”.
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
(A y B conjuntos no disjuntos)
AB
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
(A y B conjuntos disjuntos)
A
B
AB=
Entonces
(Si A esta incluido en B)
AUBUC

Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
* AUU=U
ABAB=A
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Matemática y Lógica
Matemática I
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
;
Entonces:
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
𝐴∩𝑈 =𝐴
La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto “A” pero no al conjunto “B”.
INTERSECCIÓN DE VARIOS CONJUNTOS
Se denota por “A – B”
y se lee: A menos B
A pero no B
Sólo A
Simbólicamente: A – B = {x/x A  xB}
Ejemplo: Si A= {a, m, o, r}; B={r, i, t, a}
A-B= {m, o}; B-A={i, t} luego: A-BB-A
Los diagramas de cada caso son:
La intersección de dos o más conjuntos es el conjunto formado por elementos comunes
a todos ellos a la vez.
Ejemplo:
Hallar la intersección de:
A = {1; 2; 3; 5}, B = {3; 5; 7; 8} y C = {1; 5; 6; 7}
En los 3 conjuntos, observamos que el elemento “5” es común para los tres.
Luego:
A-B
A  B  C = {5}
Este mismo conjunto {5} se obtiene:
U
A
Hallando primero A  B.
B
a
m
A = {1; 2; 3; 5}
A  B = {3; 5}
B = {3; 5; 7; 8}
Luego hallaremos la intersección: A  B con C
A  B = {3; 5}
r
o
B
A
(A  B)  C = {5}
m
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
ABC
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
t
B-A
U
C = {1; 5; 6; 7}
i
a
r
i
t
o
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Matemática y Lógica
Matemática I
OBSERVA EL DIAGRAMA!
U
A
Cómo se ve forma la diferencia simétrica?
B
.2
.6
.7
.3
.8
b) Segundo caso:
Dado los conjuntos: R={40,41,42,43,44,45} y S={41,43,45}
Hallar: RS
Gráficamente:
.5
.9
R
.44
De dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen sólo a A y B, menos la intersección de ambos.
Se denota así: A  B. Se lee: “A diferencia simétrica B”
- La diferencia simétrica de dos conjuntos A  B es la operación que corresponde
a la unión de: (A-B) y (B-A)
Ejemplo:
Si: A={2,3,4,6}  B={3,4,7,8,9}
.41
.43
Simbólicamente: RS= {40, 42, 44}
Se lee: “R diferencia simétrica S= {40, 42, 44}
c) Tercer caso:
Dado los conjuntos: T={40,50,60,70,80} y Z={44,90,96,92}
Hallar: TZ
Gráficamente:
Z
.40
B
.7
.2
.50
.15
.16
.13
.14
Simbólicamente: AB={17,18,19,13,14}
Se lee: “A diferencia simétrica B={17,18,19,13,14}
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
.92
.80
Se lee: “T” diferencia simétrica “Z”={ 40,50,60,70,80,44,90,92,96}
a) Primer caso:
Dado los conjuntos: A={15,16,17,18,19} y B={13,14,15,16}
Hallar: AB
Gráficamente:
A
B
.19
.96
Simbólicamente; TZ={40,50,60,70,80,44,90,92,96}
CASOS DE DIFERENCIA SIMÉTRICA
.18
.60
.70
.9
.17
.44
.90
.8
.4
.6
.42
.45
T
A
.3
S
.40
DIFERENCIA SIMÉTRICA

A la fiesta de Evelyn asistieron 25 niños. Cuando ofrecieron bebidas, 21 niños
tomaron gaseosas y 16 tomaron chicha morada. ¿Cuántos niños tomaron gaseosa
y chicha también?
Datos:
Total de niños
Tomaron gaseosa
Tomaron chicha
25
21
16
La suma de los conjuntos sobrepasa el total de niños. Significa que hay intersección.
G=21
Ch=16
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Matemática y Lógica
(21-x)
Matemática I
x
(16-x)
Prefieren A o B
Procedimiento: Rpta12. A la vez tomaron gaseosa y chicha 12 niños.
A
Prefieren solamente 1 curso
B
A
B
Antes de empezar a resolver problemas donde intervienen 2 conjuntos, es
importante, identificar en un diagrama de Venn, a las diferentes zonas que se
presentan.
IDENTIFICACIÓN DE ZONAS
Por ejemplo, en una encuesta a un grupo de alumnos sobre la preferencia por los cursos
A o B, encontramos las siguientes zonas (la parte sombreada nos indica la zona
respectiva).
Prefieren el curso A
Prefieren el curso B
A
B
Prefieren sólo A, solamente A pero no B.
A
Prefieren A y B
algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por
. ó (𝐴′ )
B
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A  U
El complemento de A estará dado por:
Ac = {2, 4, 6, 8}
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
No prefieren ni A ni B
A
B
A
No Prefieren A
A
B
Prefieren sólo B, solamente B o B pero no A.
A
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a
Es decir: Ac ={ x  U/x y x  A }
A
B
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
B
No Prefieren B
R
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
B
A
B
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Matemática y Lógica
Matemática I
Ejercicios sobre Conjuntos
Leyes de idempotencia.
Leyes asociativas.
Leyes conmutativas.
Leyes distributivas.
Leyes de identidad.
Leyes de complemento.
A A  A
A A  A
 A  B   C  A  B  C 
 A  B  C  A  B  C 
A B  B A
A B  B  A
A  B  C    A  B   A  C 
A  B  C    A  B    A  C 
A  A
A U  U
A  AC  U
A 
C C
A
A  B
 A  B C
C
Leyes de Morgan.
Leyes de la Inclusión
Ley de la Cardinalidad
A U  A
A  
2. Dados los conjuntos A  1,2,3,4,5, B  1,2,4,6,8 y C  2,4,5,7 Obtenga
un conjunto X tal que X  A y A  X  B  C
A  AC  
UC  
 A B
C
1. Sean los conjuntos
A  a, b, c, d  B  c, d , e, f , g y C  b, d , e, g Determine:
a) A  B
b) B  A
c) C  B
d) ( A  C )  B
e) A  ( B  C )
f) ( A  B)  ( A  C )
C
'  U
C
 AC  B C
𝑨⊆𝑩⟺𝑨∩𝑩 =𝑨
𝑨⊆𝑩⟺𝑨∪𝑩 =𝑩
𝑨 ⊆ 𝑩 ⟺ 𝑩𝑪 ⊆ 𝑨𝑪
n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A   B)
3. Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando ejemplos
numéricos):
a) ( A  B)  ( B  A)  ( A  B)  ( A  B)
b) A  B  B c  Ac
A  B  Ac
d) A  B  B c
4. Escriba por extensión los siguientes conjuntos descritos por comprensión:_
c)
a)
b)
c)
5. Sea
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar


B  x / x es la letra de la palabra excusa 
C  x / x 2  9  0 o 2 x  1  9
A  x / x 2  5x  6  0
E  a, a. Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas:
aE
a E
aE
a  E
E
E
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Matemática y Lógica
Matemática I
6. Dado los conjuntos A y B tales que n(A) = 4, n(B) = 5 y n( A  B
determine el número de subconjuntos de A  B
  3,
7. La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar,
padecer bronquitis, y presión sistólica.
Bronquitis
SI
NO
a)
HABITO DE FUMAR
SI
NO
Presión Sistólica
Presión Sistólica
ALTA NORMAL
ALTA NORMAL
400
200
300
50
150
40
100
30
Determine el número de personas que fuman o tienen bronquitis
b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen
bronquitis?
c)
De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son
fumadoras?
8. En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y
52 estudian ambas lenguas. ¿Cuántos alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos
alumnos no estudian ninguna de las dos lenguas?.
9. Considere los conjuntos dibujados en el gráfico y además sabiendo que n
( A  B)  24
n ( A  B)  4 ,n ( B  C )  16 ,
n ( A  C )  11 , n ( B  C )  10
se pide calcular:
a)
n ( A  B)
b)
n ( A  B  C)
c)
n ( B  (C  A))
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
d)
e)
n (( A  B )  C )
n ( B  ( A  B))
10. Una población consume tres tipo de jabón : A, B y C. Hecha una investigación de
mercado, conociéndose los resultados la tabla siguiente,
Marca
Nº de consumidores
109
203
162
25
41
28
5
115
A
B
C
AyB
ByC
CyA
A, B y C
Ninguna de la tres
Responda:
a) El número de personas consultadas
b) El número de personas que sólo consumen la marca A
c) El número de personas que no consumen las marcas A o C.
d) El número de personas que consumen al menos dos marcas.
11. De todos los empleados de una firma, 30% optaron por un plan de asistencia
médica. La firma tiene la casa matriz en la capital y sólo dos filiales, una en
Antofagasta y la otra en Calama. 45% de los empleados trabajan en la casa matriz
y 20% de los empleados trabajan en la filial de Antofagasta. Sabiendo que el 20%
de los empleados de la capital optaron por el plan de asistencia médica y que
35% de los empleados de la filial de Antofagasta lo hicieron ¿cuál es el porcentaje
de los empleados de la filial de Calama que optaron por el plan?
12. En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca, negra, y amarilla.
Sabiendo que 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla,
responda:
a) ¿Cuántos individuos tiene la comunidad?
b) ¿Cuántos individuos son de raza amarilla?
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Matemática y Lógica
13. Si A y B son conjuntos cualesquiera. Desarrolle completamente cada una de las
siguientes operaciones de conjuntos usando propiedades:
i.
 A  B  B 
ii.
iii.
iv.
v.
 A  B    AC  BC  
 A  B   A   B   A  B   
 A  B    B  A 
 A  BC    A  B    B  AC  
14. Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes
con "áscaris". Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los
conjunto A y B.
i. El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades.
ii. El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades.
iii. El paciente no tiene las enfermedades descritas.
iv. El paciente tiene sólo tifoidea.
15. De 160 clientes que ingresaron a una heladería, 125 consumieron helados y 72
consumieron tortas. ¿Cuántos consumieron tortas y helados a la vez?
16. En el aula de I Semestre hay 40 alumnos. A 15 les gusta la matemática y a 6 le
gusta matemática y comunicación. ¿A cuántos les gusta sólo matemática?
Matemática I
¿Cuántas personas no juegan ningún deporte?
21. De un grupo de 85 personas: 40 estudian; 50 trabajan; 10 estudian y trabajan.
¿Cuántos no estudian ni trabajan?
22. De 50 alumnos de una aula: 30 tienen libro de Razonamiento Matemático; 27
tienen libro de Razonamiento Verbal y 5 no tienen ninguno de estos libros.
¿Cuántos alumnos tienen solamente libro de Razonamiento
23. A una peña criolla asistieron 150 personas de las cuales: 80 cantan; 60 bailan; 30
no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?
24. En una reunión de deportistas: 8 practican fútbol y natación; 6 no practican estos
deportes; 32 practican solamente natación; 23 practican fútbol. ¿Cuántos
deportistas habían en la reunión?:
25. De 34 turistas encuestados: 6 conocen Arequipa y Puno, 2 no conocen ninguna
de estas ciudades. 16 no conocen Puno ¿Cuántos no conocen Arequipa?
26. En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos de Contabilidad
I y Documentación mercantil, se obtuvieron los siguientes resultados: 60 prefieren
Contabilidad I, 50 prefieren Documentación Mercantil, 20 no prefieren ninguno
de estos cursos ¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos?
27. Represente en diagrama de Venn:
a)
b)
c)
d)
e)
17. Un grupo de amigos fueron a almorzar; 6 de ellos pidieron arroz con pollo; 7
pidieron Ocopa y 4 pidieron los dos platillos.
¿Cuántas personas fueron a almorzar?
18. A la fiesta de disfraces asistieron 120 personas, 64 utilizaban anteojos y 18 gorros
y anteojos. ¿Cuántas personas sólo utilizaban anteojos?
A’
AB
ABC
(A  B  C)’
(A  B)  C
19. En la cafetería de don Jair, toman desayuno 53 personas; 26 piden pan con huevo,
39 piden pan con aceituna.
¿Cuántas personas pidieron pan con huevo y aceituna.
20. De un grupo de excursionistas de 65 integrantes, 20 juegan fútbol y 15 juegan
vóley, 3 juegan fútbol y vóley a la vez.
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
1.
𝑨∩𝑨=𝑨
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Matemática y Lógica
2.
𝑨∪𝑨= 𝑨
3.
𝑨∩𝑩= 𝑩∩𝑨
4.
𝑨∪𝑩= 𝑩∪𝑨
5.
(𝑨 ∩ 𝑩) ∩ 𝑪 = 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪)
6.
(𝑨 ∪ 𝑩) ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪)
7.
𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)
8.
𝑨 ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪)
9.
𝑨∩𝑼=𝑨
10. 𝑨 ∪ 𝑼 = 𝑼
11. 𝑨 ∩ ∅ = ∅
Matemática I
Álgebra de Proposiciones.
Leyes de
idempotencia
Leyes
asociativas.
p p  p
Álgebra de Conjuntos.
Leyes de
idempotencia.
p p  p
 p  q   r  p  q  r 
 p  q   r  p  q  r 
pq  q p
Leyes
conmutativas. p  q  q  p
Leyes
asociativas.
Leyes
conmutativas.
A A  A
A A  A
 A  B   C  A  B  C 
 A  B  C  A  B  C 
A B  B  A
A B  B  A
12. 𝑨 ∪ ∅ = 𝑨
13. 𝑨 ⊆ 𝑩 ⟺ 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨
14. 𝑨 ⊆ 𝑩 ⟺ 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩
Leyes
distributivas.
p  q  r    p  q    p  r 
p  q  r    p  q    p  r 
Leyes
distributivas.
A  B  C    A  B    A  C 
A  B  C    A  B    A  C 
15. 𝑨 ⊆ 𝑩 ⊆ 𝑨 ⊆ 𝑨 ∪ 𝑩
16. 𝑨 ⊆ 𝑩 ⟺ 𝑩𝑪 ⊆ 𝑨𝑪
17. (𝑨 ∩ 𝑩)𝑪 = (𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪 )
Leyes
de p  F  p
Identidad:
pVV
18. (𝑨 ∪ 𝑩)𝑪 = (𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 )
19.
((𝑨)𝑪 )𝑪
𝑪
20. 𝑼 = ∅
p  p  F
Leyes de
identidad.
Leyes de
Morgan.
 p  q   p  q
 p  q   p  q
A  A
A U  A
A U  U
A  
A  AC  U
p  p  V
Leyes de
complemento.
F  V
21. ∅ = 𝑼
Lic. Gilmer D. Ordóñez Aguilar
pFF
Ley de
p   p V  F
complemento
𝑪
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
pVp
A 
C C
A
A  AC  
UC  
C
'  U
Leyes de
Morgan.
 A  B C
 AC  B C
 A  B C
 AC  B C
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Matemática y Lógica
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Matemática I
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