ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Módulo: PERSPECTIVAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Clase 2: La gestión de una comunidad matemática en el aula Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. A continuación, sintetizaremos una experiencia comentada. El siguiente problema lo propusimos en un 1º año de una Escuela Secundaria de la Pcia. de Bs. As. (7º año de escolaridad), luego de haber trabajado las cuatro operaciones con números naturales. El grupo –a su vez organizados en grupos de 4 integrantes- reciben en forma impresa el enunciado del problema: Jugamos con fósforos a armar un diseño como te mostramos en la figura. Con una caja de 222 fósforos, ¿cuál es la máxima cantidad de triángulos que puede tener nuestro diseño? Describimos algunos de los registros tomados durante esta clase e incluimos algunas expresiones coloquiales tal como las usaron los alumnos. Página | 1 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Los alumnos comienzan a dialogar con la situación (acción) -que, en este caso, se trata de la lectura e interpretación del enunciado- y a organizar la forma de trabajo. Un grupo no entiende qué pide el problema. Debemos aclararle la consigna. Un grupo pregunta si pueden pedir una caja de fósforos. Ante nuestra negativa, preguntan si se puede dibujar o si se tiene que hacer, sí o sí, con una cuenta. Le damos libertad de elección. Deciden dibujarlo. El primer grupo, al que le aclaramos la consigna, escucha esta conversación y toma la misma decisión. Un tercer grupo, también atento a lo que hablábamos, decide que usarán una cuenta. Un grupo anota la cantidad de fósforos que tiene cada diagrama: 5, 8, 11, 14. En contextos áulicos reales los integrantes de un mismo grupo no acuerdan necesariamente la misma organización y desarrollo de la actividad. Se forman subgrupos. Otros deciden hacerlo solos (aunque permanezcan físicamente dentro del grupo) porque su propuesta no es aceptada por los demás. En ocasiones, la decisión que adopta un grupo es copiada por otro que se encuentra bloqueado. La clase continúa. Los alumnos comunican lo que hacen en el seno del grupo y explicitan sus conjeturas, adecuan sus formas de expresión para que sus compañeros los entiendan. Están en plena fase de formulación. En un grupo dividen 222 por 3 (porque un triángulo tiene tres lados). Obtienen 74. Creen tener resuelto el problema. Les pedimos que nos digan cómo pueden estar seguros que esa es la respuesta correcta (validación). Uno de sus integrantes nos dice: tráiganos un caja y se lo muestro. Otro duda y comenta: Te Página | 2 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA dije que no era así. Hay que dividir por 5. No ves que cada triángulo tiene 5 fósforos. A lo que un compañero le responde: Sí, pero el segundo triángulo comparte 3 con el primero. Lo estamos contando dos veces. Les proponemos que pongan a prueba el modelo (de división), por ejemplo, reduciendo la cantidad de fósforos en la caja a 30. En este tipo de trabajo es importante que el docente tenga en cuenta las variables didácticas del problema. Una variable didáctica es cualquier componente de una situación cuya modificación produce un cambio en las relaciones que pone en juego el alumno. En este ejemplo, la cantidad de fósforos es una variable didáctica, ya que modifica las estrategias de resolución que desarrolla el alumno. El hecho de utilizar 222 fósforos obliga al alumno a buscar una forma de llegar a la respuesta que no sea la de la comprobación empírica (ya sea dibujando 222 fósforos o utilizando los fósforos de una caja). Al mismo tiempo, se ve cómo el docente propone el uso de una cantidad menor (por ejemplo 30) para facilitar un contraejemplo y así mostrar que la conjetura que el alumno propone no es verdadera. Como consecuencia, el alumno cambiará la estrategia general de obtener la respuesta con solo dividir por 3 la cantidad de fósforos que tiene la caja del enunciado. Seguimos… El grupo que comenzó a dibujar está convencido de que, cuando lleguen a usar 222 fósforos, quedará resuelto el problema y el dibujo será la validación de su respuesta. Sin embargo, se dan cuenta de que el diagrama se va a salir de la hoja, que tiene que haber una forma más rápida. Uno de ellos propone dibujar hasta 111 fósforos y multiplicar el resultado por 2. Piden ayuda (a los compañeros y al docente). Página | 3 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Uno de los alumnos notó que los cuatro primeros números van de tres en tres, y propone ir sumando de tres en tres hasta llegar a 222. Toma la calculadora y comienza el trabajo. Otros lo siguen. Les preguntamos por qué pueden asegurar que va a continuar de tres en tres con solo mirar los cuatro primeros diseños. Un alumno mira su hoja, dibuja el diagrama que sigue, cuenta la cantidad de fósforos y nos dice: Ve, ahora hay 17: tres más. Inmediatamente otro, que lo estaba mirando, comenta: No tenías que contar desde el principio, ¿no viste que agregaste tres fósforos al anterior? Podemos apreciar que, en situaciones reales, se produce el solapamiento de la acción, la formulación y la validación. Sobre esta última, percibimos que los alumnos no tienden a validar sus afirmaciones. En el caso de aquellos que proponen la división, la justificación se apoya en la cantidad de lados que tiene un triángulo o de fósforos que forman cada triángulo del diseño. Del diálogo con ellos surge la opinión generalizada: solo puede quedar corroborada empíricamente, construyendo el diseño con los 222 fósforos. Para alguno de los que descubrieron que la secuencia aumentaba de tres en tres, la justificación se basa en el comportamiento de los cuatro primeros números, con eso es suficiente. Es interesante la acción del alumno que dibuja el quinto diseño pero no se percata que agregó tres, y cuenta todos los fósforos. Se producen varios bloqueos, interrupciones, desánimo. Por ejemplo, los alumnos que sumaban 3 con la calculadora, en algún momento, se equivocaban y perdían los cálculos, se enojaban y no querían seguir trabajando. Página | 4 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Nuestras intervenciones son permanentes y necesarias para desbloquear. Se hace una puesta en común para compartir las formulaciones y validaciones diferentes que han surgido. En contextos reales se producen formulaciones y validaciones en el interior de cada grupo. Deberíamos decir que, más que validaciones, se trata de argumentaciones ya que los alumnos tratan de convencer a sus compañeros de que lo que afirman es correcto (aunque no lo sea). Por ello, es necesario hacer una pausa y someter todo lo trabajado en cada grupo a consideración del grupo áulico. Es en este momento donde la validación adquiere las características de una demostración, aunque no en el sentido estrictamente matemático. Siguiendo con el análisis, se ponen a consideración las cuatro propuestas emergentes: 222: 3, 222: 5 , dibujo del diseño hasta cubrir 222 fósforos, sumar de a tres con la calculadora. Las dos primeras son descartadas a partir de las explicaciones que da uno de los alumnos: 30: 3 = 10 y 30: 5 = 6, pero dibujado el diseño, tratando de utilizar los 30 fósforos, se llega a 9 triángulos y sobra un fósforo. Conclusión: la cuenta de dividir por 3 o por 5 no sirve. Llamamos la atención sobre la provisionalidad de estas conclusiones. La propuesta del dibujo fue aceptada como válida pero impracticable. Página | 5 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Discutimos la validez de la regularidad: aumenta de tres en tres. Es aceptada por todos ante la evidencia visual: en cada paso se agregan tres fósforos al diseño anterior. Discutimos si una evidencia visual es suficiente. Se organiza la información en una tabla que dé cuenta de la cantidad de triángulos en cada diseño y la cantidad de fósforos empleados. Proponemos dejar sentado en las carpetas todo lo que fuimos desarrollando, correcto o no, aceptado o no, provisorio o definitivo. Las carpetas de los alumnos deben oficiar de memoria de la clase. Analizamos el procedimiento de ir sumando de a tres con la calculadora. Acordamos que pasa lo mismo que con el dibujo: no se termina más. Un alumno comenta: Tiene que haber una forma más fácil de hacerlo con la calculadora. La experimentación con la calculadora permite que un alumno descubra que: 3 x 1 + 2 = 5, 3 x 2 + 2 = 8, 3 x 3 + 2 = 11 Este descubrimiento entusiasma al grupo y surgen dos procedimientos: Tanteo con diferentes números hasta llegar a 3 x 73 + 2 = 221 Página | 6 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Otros hacen 222 : 3 – 2 = 72 Esta segunda propuesta es muy habitual cuando los alumnos deciden recorrer el camino inverso: invierten naturalmente las operaciones pero en el mismo orden que en la operación original. Una nueva discusión: ¿por qué da uno de diferencia? Se calcula 3 x 72 + 2 = 218 Sobran 4 fósforos que permiten agregar un nuevo triángulo. ¿Pero por qué no da el cálculo 222 : 3 – 2? Un alumno experimenta con la calculadora y descubre que, cambiando el orden (restando 2 y luego dividiendo por 3), se obtiene 73. Llega el momento de la primera institucionalización: recogemos todos estos conocimientos puestos en juego, los organizamos, proponemos otras formas de mirar y analizar, asignamos nombres: sucesión, constante, variable, tabla de valores… Mencionamos primera institucionalización porque no surge con este grupo la necesidad de algebrizar, de traducir a una fórmula (expresión algebraica). La regularidad aceptada junto con la posibilidad de usar la calculadora para aproximar la respuesta son razones suficientes para dejar resuelto provisoriamente el problema. En situaciones reales de enseñanza, es decir, no controladas para los fines de una investigación, es el docente quien decide qué institucionalizar y en qué momento hacerlo. El objetivo del trabajo era introducir a los alumnos en las prácticas algebraicas: el uso de letras, números y operaciones para lograr una expresión matemática (fórmula) Página | 7 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA válida para expresar una regularidad y, a partir de ella, predecir comportamientos. No lo logramos con las dos sesiones de 60 minutos que nos demandó el trabajo expuesto aquí. Sin embargo, creemos -si bien en esta descripción estamos haciendo foco en los momentos de la clase- que hay elementos para un análisis didáctico mucho más amplio. Consideramos que el problema seleccionado y la gestión de la clase posibilitaron: interacciones alumno-alumno, alumno-docente, alumno-objetos matemáticos, que producen desequilibrios y reorganizaciones, apreciar la red de conceptos involucrados, desplegar más de una estrategia de resolución, vislumbrar una posible respuesta al problema, apoyarse en los conocimientos previos, que todos puedan participar de la resolución- En este tipo de trabajo son importantes las relaciones que se establecen entre los tres polos: docente, alumno, saber. Guy Brousseau propone la noción de contrato didáctico: el conjunto formado por los comportamientos (explicitados o no) que el docente espera del alumno y los comportamientos (explicitados o no) que el alumno espera del profesor, y que regulan las relaciones docente-alumno-saber. Abordaremos, nuevamente, la noción de contrato didáctico en la Clase 6. Página | 8 ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA Cómo citar este texto: Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Diseño con fósforos. Una experiencia en un contexto real. Clase 2. La gestión de una comunidad matemática en el aula. Módulo: Perspectivas para la Enseñanza de la Matemática. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. Esta obra está bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0 Página | 9
