Hidráulica.de.Canales R.M.Ramirez.Quispe

Acerca del Autor:
,→ Ingeniero Civil, Universidad Nacional de Huancavelica “UNH”. Huancavelica − Perú.
,→ Estudiante de Maestrı́a de Ingenierı́a Hidráulica, Universidad Nacional
de Ingenierı́a “UNI.”. Lima-Perú.
Tiene un dominio de lenguajes de programación como C++, Fortran,
Python, Julia, HP PPL y adaptación a cualquier lenguaje de programación,
creador de muchos programas aplicados a la Ingenierı́a Civil.
Su experiencia profesional se ha enfocado en la consultorı́a en Hidráulica
e Hidrológica como: defensas ribereñas con (Gaviones, enrocados, muros de
concreto, geotextil), Flujos Subterráneos.
Consultas y sugerencias:
,→ E-mail : [email protected]
[email protected]
[email protected]
Consultas sobre otros trabajos:
,→ Web : http://ramirezquispe1.blogspot.pe/
https://bit.ly/39idGPb https://bit.ly/2Iejmy8
https://bit.ly/3cqgkEQ https://bit.ly/3cAfR2W
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (4)
Dedicatoria
A mi familia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (v)
Hidráulica de canales
c Autor - Editor:
Ramirez Quispe, Robert Marlindo
Pje. Abancay No 136 - Cochamarca
[email protected]
Huancavelica - Perú
Distribuidora virtual oficial:
http://ramirezquispe1.blogspot.com/
Primera edición - setiembre 2020
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N◦ 2020-06341
ISBN: 978-612-00-5491-8
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su
tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier
medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros
métodos, con fines lucrativos.
Índice general
Dedicatoria
V
Índice general
VII
Índice de cuadros
X
Índice de figuras
XII
Prólogo
XV
Presentación
XVI
1. Flujo uniforme
1
1.1. Flujo en un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Ecuación de Chézy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3. Fórmulas usuales para canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1. Fórmula de Bazin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2. Fórmula de Ganguillet-Kutter . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.3. Fórmula de Robert Manning . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.4. Fórmula de Stickler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (vii)
1.4.1. Caudal Q con fórmula de Robert Manning. . . . . . . . .
9
1.4.2. Rugosidad n con fórmula de Robert Manning. . . . . . . 10
1.4.3. Pendiente S con fórmula de Robert Manning. . . . . . . 11
1.4.4. Tirante Yn con fórmula de Robert Manning. . . . . . . . 13
1.4.5. Tirante en cauce natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Canales estables no revestidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1. Fuerza tractiva o esfuerzo de corte
. . . . . . . . . . . . 18
1.5.2. Criterio de Shields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.3. Bonnefille y Yalin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4. Cálculo del riesgo Zanke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1. Esfuerzo cortante crı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2. Esfuerzo cortante crı́tico y fómula de Zanke . . . . . . . 24
1.6.3. Esfuerzo cortante crı́tico y tirante de flujo . . . . . . . . 26
1.6.4. Diseño de un canal estable no revestido . . . . . . . . . . 27
1.6.5. Diseño de canal estable no revestido Zanke
. . . . . . . 31
1.6.6. Máxima eficiencia hidráulica - canal estable no revestido
- Zanke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7. Teorı́a de régimen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7.1. Ecuaciones de regimen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7.1.1. Lacey, (1930 y 1958) . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.1.2. Blench, (1969) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.7.1.3. Kellerhals,(1967) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.1.4. Bray, (1982) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.1.5. Simons y Albertson modificado por Henderson,
(1966) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.1.6. Altunin, (1962) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7.2. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7.2.1. Fórmula de Lacey . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7.2.2. Fórmula de Blench . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (viii)
1.7.2.3. Fórmula de Kellerhals . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7.2.4. Fórmula de Bray . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.7.2.5. Fórmula de Simons y Albertson modificado por
Henderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7.2.6. Fórmula de Altunin . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.7.2.7. Resumen de resultados . . . . . . . . . . . . . . 60
2. Flujo no uniforme
61
2.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. ecuación diferencial del flujo no uniforme . . . . . . . . . . . . . 62
2.3. Energı́a especı́fica y flujo crı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4. Clasificación de perfiles de la superficie del agua . . . . . . . . . 67
2.5. Método de paso estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.1. Tirante critico canal rectagular . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.2. Tirante critico canal trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.3. Energı́a especifica canal rectagular . . . . . . . . . . . . 75
2.6.4. Energı́a especifica varios caudales - rectangular . . . . . . 76
2.6.5. Energı́a especifica rectangular y trapezoidal . . . . . . . 77
2.6.6. M1 - Remanso paso estándar . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.7. M2 - Caı́da paso estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.8. M3 - Remando paso estándar . . . . . . . . . . . . . . . 82
Bibliografı́a
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
84
Página - (ix)
Índice de cuadros
1.1. Valores del coeficiente de Coriolis. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Clasificación de partı́culas de acuerdo American Geophysical
Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Lechos con formas de fondo en rı́os . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4. Coeficiente de rugosidad algunos materiales
8
. . . . . . . . . . .
1.5. Coordenadas de Cauce Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Valores de k1, k2 y k3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7. Valores de A, m y a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.8. Resumen de resultados por todos los métodos . . . . . . . . . . 60
2.1. Resultados de la iteración de Paso estándar, del perfil M 1 Remanso, variación de x cada 70 m, se puede ver que es igual al
tirante cuando x es 2380.0m, luego de ello se hace constante el
tirante cuando sigues iterando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2. Resultados de la iteración de Paso estándar, del perfil M 2 caı́da,
se puede observar como el nivel agua va aumentando desde la
caida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (x)
2.3. Resultados de la iteración de Paso estándar, del perfil M 3 caı́da,
se puede observar como el nivel agua va aumentando desde la
compuerta.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
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Índice de figuras
1.1. Flujo superficie libre (a) Canal abierto (b) Canal cerrado con
superficie libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Movimiento uniforme en cauces abiertos . . . . . . . . . . . . .
2
1.3. Software RCanales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Software RCanales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Distribución del esfuerzo de corte en un canal . . . . . . . . . . 18
1.6. Esfuerzo en el fondo y las orillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Diagrama de Shields para la iniciación del movimiento . . . . . 20
1.8. Sección para caudal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.9. Caudal dominante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.10. Sección para caudal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.11. Sección para caudal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.12. Sección para caudal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.13. Sección para caudal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.14. Sección para caudal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.15. Sección para caudal dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.16. Resultado - Lacey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.17. Resultado - Blench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
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1.18. Resultado - Kellerhals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.19. Resultado -Bray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.20. Resultado - Simons y Albertson modificado por Henderson . . . 57
1.21. Resultado - Altunin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1. Flujo no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Formas de superficie libre de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3. Flujo no uniforme en canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4. Energı́a especifica en una sección . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5. Sección cualquiera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6. Tirante medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7. Energı́a especifica para caudal constante . . . . . . . . . . . . . 66
2.8. Zonas para perfil de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.9. Los 12 perfiles de flujo (la C2 no es una curva)
. . . . . . . . . 68
2.10. Perfiles de flujo con estructuras hidráulicas para todas las pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.11. Perfiles M 1, M 2 y M 3 , pendiente suave - Flujo subcrı́tico Fr<1,
Yc<Yn, se propaga de aguas abajo. . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.12. Perfiles S1, S2 y S3 , pendiente fuerte - Flujo supercrı́tico F r >
1, Yc > Yn , se propaga de aguas arriba. . . . . . . . . . . . . . . 70
2.13. (a) Cuando la velocidad del fluido (v) es igual a cero y solo
existe velocidad de la onda (c) el flujo se propaga en forma proporcional, (c) pero si existe velocidad del fluido que es igual a
la velocidad de la onda el flujo se propaga aguas abajo proporcionalmente (Flujo crı́tico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.14. (b) Cuando la velocidad del fluido es menor que la velocidad
de la onda el flujo se propaga aguas arriba y aguas abajo (flujo
subcrı́tico), (d) caso contrario el flujo se propaga aguas abajo
(flujo supercrı́tico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (xiii)
2.15. Condiciones de borde, Flujo subcrı́tico se conoce aguas abajo,
Flujo supecrı́tico se conoce aguas arriba . . . . . . . . . . . . . . 72
2.16. Energı́a especifica Q = 6.0m3 /s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.17. Energı́a especifica Q = 4.0m3 /s, Q = 10.0m3 /s, Q = 16.0m3 /s
y Q = 22.0m3 /s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.18. Energı́a especifica Q = 10.0m3 /s Rectangular y Trapezoidal . . 77
2.19. Perfil M1 - Remaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.20. Perfil M2 - Caida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.21. Perfil M3 - Remanso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (xiv)
Introducción
El agua siempre ha sido y es elemento importante para los seres humanos,
sin ello la vida no existirı́a por lo que debemos cuidarla, pero también muchas
veces el agua ha causado destrozos.
En este libro se describe el flujo permanente y flujo no permanente en
canales abiertos como una guı́a académica para emprender en el diseño de
canales abiertos.
En la primera parte de flujo uniforme se presentan las ecuaciones más
usuales tratando de no explicar a detalle la parte teórica, pero si se trata de
mostrar la solución de los distintos tipos de problemas prácticos en canales
abiertos como cálculo de caudal, pendiente, tirante normal y diseño de canal
no revestido. Además de ello, para cada ejercicio se adjunta el código fuente
en lenguajes como: C++,Python y Hpppl, que el lector los puede copiar y
ejecutar.
En la segunda parte de flujo no uniforme se explica sobre los perfiles
de flujo, las condiciones de borde para flujo subcrı́tico y supercrı́tico, también
se ilustra la técnica del método de paso estándar para calcular cuantitativamente los tipos de perfiles de flujo.
Espero con modestia haber cumplido con mi cometido y afán académico.
El autor.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (xv)
Presentación
Es un gran gusto, hacer la presentación de la publicación: HIDRÁULICA
DE CANALES, cuyo autor es el ing.Ramı́rez Quispe, Robert Marlindo. Uno
de los objetivos que persigue la obra es introducir, interesar y apasionar a
los estudiantes y profesionales en el área de la Hidráulica de Canales. En la
publicación se tocan temas sobre:
Flujo Uniforme, haciendo énfasis en la fuerza tractiva o esfuerzo de corte,
presentándose, las ecuaciones de Chezy, Bazin, Ganguillet-Kutter, Manning y Stickler, también las fórmulas de Máxima Eficiencia Hidráulica.
Flujo Crı́tico
Flujo no uniforme, con el Flujo Gradualmente Variado y los tipos de
curva que se pueden presentar, como las: M1, M2, M3. S1, S2, S3, C1,
C3, H2, H3, A2 y A3.
Conceptos básicos para entender las Ecuaciones Básicas para Transporte
de Sedimento, como la de: Schroeder, Lacey, Blench, Kellerhals, Bray,
Simons, Albertson, Altunin y otros.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (xvi)
Se presentan ejemplos resueltos para el cálculo de los diferentes parámetros
hidráulicos como: y, b, Z, n, S y también se presenta el código fuente de programas para su solución, utilizando aplicaciones como C++, Python y HP
- PPL (HP PRIME). Se espera que en el futuro, el autor presente otras
publicaciones donde se explique con gran detalle, el uso de las aplicaciones:
C++, Python y HP - PPL, aplicado al diseño hidráulico.
Máximo Villón Béjar.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (xvii)
Flujo uniforme
1.1.
1
Flujo en un canal
El flujo en un canal se produce en aquel conducto en el cual el lı́quido
descarga bajo el efecto de la gravedad con la superficie libre en contacto con la
atmósfera, tales como flujo en rı́os, canales, alcantarillas, etc. Por el contrario
el flujo en tuberı́as a presión no tiene una superficie libre sólo tiene presión
hidráulica (Chaudhry, 2008).
Figura 1.1: Flujo superficie libre (a) Canal abierto (b) Canal cerrado con superficie libre.
Fuente: Adaptado de (Chaudhry, 2008)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (1)
α
α
θ
Figura 1.2: Movimiento uniforme en cauces abiertos
z1 + cos (θ)y1 +
α2 v 22
α1 v 21
= z2 + cos (θ)y2 +
+ hL
2g
2g
(1.1.1)
Donde:
y1 , y2
= Tirantes normales en el canal, m.
z1 , z2
= Elevaciones sobre un plano de referencia, m .
v1 , v2
= Velocidades del fluido, promedio sobre una sección transversal, m/s).
g
= 9.80665 m/s2 (Manual HEC-RAS).
α1 , α2
= Coeficientes de Coriolis.
θ
= Ángulo de inclinación del canal.
Sf
= Pendiente de la lı́nea de energı́a, m/m.
hL
= Pérdida de energı́a entre las secciones transversales 1 y 2, m.
SO
= Pendiente del fondo del canal, m/m.
Sw
= Pendiente de la superficie libre de agua, m/m.
Sf
= pendiente de la lı́nea de energı́a, m/m.
En la figura 1.2 el fluido que transita por un canal abierto para que el flujo
sea uniforme debe cumplir SO = Sw = Sf
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (2)
Los ensayos en laboratorios muestran que α varı́a entre 1, 03 y 1, 36 para
canales prismáticos α >1 ((Chow, 1959)). En muchos casos se justifica α = 1,
pero es recomendable calcular el valor de α. En el siguiente cuadro se resume
algunos valores de α :
Cuadro 1.1: Valores del coeficiente de Coriolis.
Canal
Mı́nimo Promedio
Canales regulares, canaletas y vertederos
1,10
1,15
Corrientes naturales y torrentes
1,15
1,30
Rı́os cubiertos de hielo
1,20
1,50
Valles inundados
1,50
1,75
Fuente: (Chow, 1959)
1.2.
Máximo
1,20
1,50
2,00
2,00
Ecuación de Chézy
La fórmula se originó en 1768 cuando el ingeniero francés Antoine Chézy
recibió el encargo de diseñar un canal para el suministro de agua a Parı́s (Villón,
1995).
√
v = C RS
(1.2.1)
√
Q = vC RS
(1.2.2)
v
= Velocidad del fluido, m/s.
Q
= Caudal que transita por el canal, m3 /s.
R
= Radio hidráulico, m.
S
= Pendiente del canal (Flujo uniforme SO = Sw = Sf ), m/m.
S
= Flujo no uniforme
C
= Coeficiente de Chézy.
R
= Radio hidráulico, m.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (3)
C = 18 log
k
6R
k
+ 7δ
2
!
(1.2.3)
= Tamaño medio de irregularidades del fondo (1-3)d90 , m
normalmente en rı́os donde no tiene formas de fondo.
d90
= Diámetro de partı́cula, m
δ
= Espesor de la subcapa laminar
δ=
11.6u
v∗
u
= Viscosidad cinemática del agua, m2 /s
v∗
= Velocidad de corte, m/s
v∗ =
(1.2.4)
p
gRs
R
= Radio hidráulico, m
g
= Gravedad , m/s2
S
= Pendiente del fondo del canal, m/m
(1.2.5)
Flujo no uniforme pendiente de la lı́nea de la energı́a, m/m
En rı́os generalmente se presentan un contorno hidráulicamente rugoso donde δ = 0, en rı́os con presencia de formas de fondo el valor de k es:
0
k =k +k
00
(1.2.6)
0
k = Altura de rugosidad relacionada al grano.
00
k = Altura de rugosidad relacionada forma de fondo.
k ≥ 6δ
= Hidráulicamente rugoso.
v∗ k
u
= Hidráulicamente liso.
≥ 70
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (4)
Las formas de fondo se presenta generalmente en rı́os de arena; según American Geophysical Unión podemos clasificar según el cuadro 1.2.
Cuadro 1.2: Clasificación de partı́culas de acuerdo American Geophysical
Unión
Descripción
Diámetro
Cantos rodados 250 - 4000 mm
Guijarros
64 - 250 mm
Gravas
2 - 64 mm
Arenas
0.062 - 2 mm
Limos
0.004 - 0.062 mm
Arcillas
0.00024 - 0.004 mm
1.3.
Fórmulas usuales para canales
Todas las fórmulas usadas para el diseño de canales, tienen como origen la
fórmula de Chézy.
1.3.1.
Fórmula de Bazin
Henry Bazin en 1897 de acuerdo con sus experiencias presentó la siguiente
ecuación:
C=
87
1 + √γR
,→
√
v = C RS
v
= Velocidad media, m/s.
R
= Radio hidráulico, m.
S
= Pendiente del canal, m/m.
,→
v=
87 √
RS
1 + √γR
(1.3.1)
Flujo no uniforme pendiente de la lı́nea de energı́a, m/m.
γ
= Coeficiente que depende de las caracterı́sticas de
Rugosidad de las paredes del canal.
Algunos valores que obtuvo Bazin:
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (5)
γ
= 0,06 plancha metálica, cemento liso, o madera cepillada.
γ
= 0,16 ladrillo, o madera sin cepillar.
γ
= 0,46 mamposterı́a.
γ
= 0,85 tierra de superficie muy irregular.
γ
= 1,30 tierra ordinarios.
Fuente: (Villón, 1995)
1.3.2.
Fórmula de Ganguillet-Kutter
Fue establecida en 1869 por los ingenieros suizos E. Nguillet y W. R. Kutter.
C=
23 + 0.00155
+ n1
S
n
√
1 + 23 + 0.00155
S
R
√
v = C RS
,→
v
= Velocidad media, m/s.
R
= Radio hidráulico, m.
S
= Pendiente del canal, m/m.
,→
v=
+ n1 √
23 + 0.00155
S
n RS
√
1 + 23 + 0.00155
S
R
(1.3.2)
Flujo no uniforme pendiente de la lı́nea de energı́a, m/m.
n
= Coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza de las
paredes del canal
1.3.3.
Fórmula de Robert Manning
Es la fórmula cuyo uso es más extendido en casi todas las partes del mundo.
En 1889 el Irlandés Robert Manning propone la siguiente expresión:
1
R6
C=
n
1
√
,→
v = C RS
,→
R6 √
v=
RS
n
(1.3.3)
Descomponiendo:
1
1
1
R6 R2 S 2
v=
n
2
,→
1
R3 S 2
v=
n
Expresando en función de caudal, área y perı́metro:
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (6)
Av = A
A
P
23
2
S
A A 32 S
1
2
n
,→
P3
Q=
5
1
2
n
2
5
A3
2 S
,→ Q =
1
2
P3
n
1
A3 P −3 S 2
Q=
n
v
= Velocidad media, m/s.
R
= Radio hidráulico, m.
S
= Pendiente del canal, m/m.
(1.3.4)
Flujo no uniforme pendiente de la lı́nea de energı́a, m/m.
n
= Coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza de las
paredes del canal
Q
= Caudal que transita por el canal, m3 /s.
Lechos con formas de fondo:
Cuadro 1.3: Lechos con formas de fondo en rı́os
Descripción
n
Ripples
0.018 - 0.028
Dunas
0.020-0.040
Fondo plano y antidunas 0.010-0.013
Ondas estacionarias
0.010 - 0.015
Rompiendo olas
0.012 - 0.020
Lechos con grava:
- V.T Chow (1959)
1/6
n = 0.40d50
(1.3.5)
d50 = Diámetro de la partı́cula del lecho, metros.
- Anderson, et al. (1968)
1/6
d
n = 90
44.4
(1.3.6)
d90 = Diámetro de la partı́cula del lecho, pulgadas.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (7)
- Lane y Carlson (1982)
n=
d751/6
39
(1.3.7)
d75 = Diámetro de la partı́cula del lecho, pulgadas.
Cuadro 1.4: Coeficiente de rugosidad algunos materiales
Descripción
n
Descripción
n
Cemento liso
0.011 Concreto revestido 0.014
Tierra gravosa
0.025 PVC
0.009
Tierra con pedrones 0.04
Fierro forjado
0.015
1.3.4.
Fórmula de Stickler
Strickler o Manning-Strickler es la misma ecuación de Robert Manning lo
único que cambia es la inversa de n.
1
=k
n
1
,→ C = kR 6
,→
√
v = C RS
v
= Velocidad media, m/s.
R
= Radio hidráulico, m.
S
= Pendiente del canal, m/m.
,→
5
2
Q = kA 3 P − 3 S
1
2
(1.3.8)
Flujo no uniforme pendiente de la lı́nea de energı́a, m/m.
k
= 1/n Inversa de coeficiente de rugosidad n.
Q
= Caudal que transita por el canal, m3 /s.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (8)
1.4.
Problemas
1.4.1.
Caudal Q con fórmula de Robert Manning.
En un canal trapezoidal de ancho de solera B = 1.5 m y talud Z = 1,
tiene un tirante normal y = 0.830806m, con pendiente del canal 0.015m/m.
Considerando un coeficiente de rugosidad de n = 0.025, calcular el caudal que
circula con la fórmula de Robert Manning.
Solución:
5
2
√
− 2 1
5
(By + zy 2 ) 3 B + 2y 1 + z 2 3 S 2
Q=
n
1
A3 P −3 S 2
Q=
n
Q=
1.5x0.830806 + zx0.8308062
35
√
− 2
1
1.5 + 2x0.830806 1 + 12 3 0.015 2
0.025
El caudal es Q = 6.0m3 /s.
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Caudal
// LENGUAJE
: C ++
fórmula de Robert Manning .
# include < iostream >
# include < cmath >
main () {
double B ,y ,Z ,n ,S , Q ;
// datos
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (9)
B =1.5;
// Base del canal , m
y =0.830806; // Tirante en , m
Z =1.;
// Talud del canal .
n =0.025;
// n de Robert Manning
S =0.015;
// Pendiente del canal m / m .
// calculo
Q = pow ( B * y + Z * y *y ,5./3.) * pow ( B +2* y * sqrt (1+ Z * Z ) , -2./3.)
* sqrt ( S ) / n ;
// resultado
printf ( " Q = %.4 lf %s " ,Q , " m3 / s " ) ;
}
1.4.2.
Rugosidad n con fórmula de Robert Manning.
En un canal trapezoidal de ancho de solera B = 1.5 m y talud Z = 1, para
un caudal Q = 6.0m3 /s tiene un tirante y = 0.830806m, con pendiente del
canal 0.015m/m. Calcular el caudal el coeficiente de rugosidad con la fórmula
de Robert Manning.
Solución:
5
2
1
A3 P −3 S 2
Q=
n
√
− 2 1
5
(By + zy 2 ) 3 B + 2y 1 + z 2 3 S 2
n=
Q
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (10)
n=
1.5x0.830806 + z1x0.8308062
35
√
− 2
1
1.5 + 2x0.830806 1 + 12 3 0.015 2
6.0
La rugosidad n con la fórmula de Robert Manning es n = 0.025
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Rugosidad n fórmula de Robert Manning .
// LENGUAJE
: C ++
# include < iostream >
# include < cmath >
main () {
double B ,y ,Z ,n ,S , Q ;
// datos
Q =6.0;
// Caudal m3 / s
B =1.5;
// Base del canal , m
y =0.830806; // Tirante del agua en m
Z =1;
// Talud del canal .
S =0.015;
// Pendiente del canal m / m .
// calculo
n = pow ( B * y + Z * y *y ,5./3.) * pow ( B +2* y * sqrt (1+ Z * Z ) , -2./3.)
* sqrt ( S ) / Q ;
// resultado
printf ( " n = %.4 lf " ,n ) ;
}
1.4.3.
Pendiente S con fórmula de Robert Manning.
En un canal trapezoidal de ancho de solera B = 1.5 m y talud Z = 1, para
un caudal Q = 6.0m3 /s tiene un tirante y = 0.830806m, con rugosidad de
n = 0.025. Calcular la pendiente, con la fórmula de Robert Manning.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (11)
Solución:
5
2
1
v
u
u
S=t
A3 P −3 S 2
Q=
n
S=
nQ
(By + zy 2 )
5
3
√
− 2
B + 2y 1 + z 2 3
2



0.025x6.0
 1.5x0.830806 + z1x0.8308062 35 1.5 + 2x0.830806√1 + 12 − 32 
La pendiente con la fórmula de Robert Manning es S = 0.015
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Pendiente S fórmula de Robert Manning .
// LENGUAJE
: C ++
# include < iostream >
# include < cmath >
main () {
double B ,y ,Z ,n ,S , Q ;
// datos
Q =6.0;
// Caudal m3 / s
B =1.5;
// Base del canal , m
y =0.830806; // Tirante del agua en m
Z =1;
// Talud del canal .
n =0.025;
// Rugosidad n
// calculo
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (12)
S = pow ( n * Q /( pow ( B * y + Z * y *y ,5./3.) * pow ( B +2* y * sqrt (1+ Z * Z
) , -2./3.) ) ,2) ;
// resultado
printf ( " S = %.5 lf " ,S ) ;
}
1.4.4.
Tirante Yn con fórmula de Robert Manning.
En un canal trapezoidal de ancho de solera B = 1.5 m y talud Z = 1,
transita un caudal Q = 6.0m3 /s, para una rugosidad de n = 0.025 y pendiente
S = 0.015m/m. Calcular el tirante normal con la fórmula de Robert Manning.
Solución:
5
2
1
A3 P −3 S 2
Q=
n
6.0 =
√
− 2 1
5
(By + zy 2 ) 3 B + 2y 1 + z 2 3 S 2
Q=
n
1.5y + z1y 2
35
√
− 2
1
1.5 + 2y 1 + 12 3 0.015 2
0.025
El tirante normal con la fórmula de Robert Manning yn = 0.8308064173
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (13)
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Tirante Yn y fórmula de Robert Manning .
// LENGUAJE
: C ++
# include < cstdio >
# include < cmath >
main ()
{
double C ,Q ,B , Z1 , Z2 ,S , N ;
double Yi , Yf ;
// datos
Q =6.0; // Caudal m3 / s
B =1.5; // Base del canal , m
Z1 =1.0; // Talud 1 del canal .
Z2 =1.0; // Talud 2 del canal .
S =0.015; // Pendiente del canal m / m .
N =0.025; // n de Robert Manning
// calculo
C = Q * N / pow (S ,.5) ;
Yi =1.5;
Yf =1.2;
for ( int I ;I <40; I ++)
{
Yi = Yf ;
Yf = Yi -( pow ( B * Yi +(( Z1 + Z2 ) /2) * pow ( Yi ,2.) ,5./3.) / pow ( B + Yi *
pow (1+ Z1 * Z1 ,.5) + Yi * pow (1+ Z2 * Z2 ,.5) ,2./3.) -C ) /((5./3) *
pow ( B + Yi * pow (1+ Z1 * Z1 ,.5) + Yi * pow (1+ Z2 * Z2 ,.5) , -2./3) *
pow ( B * Yi +(( Z1 + Z2 ) /2) * pow ( Yi ,2.) ,2./3) *( B +( Z1 + Z2 ) * Yi )
-(2./3) * pow ( B * Yi +(( Z1 + Z2 ) /2) * pow ( Yi ,2.) , 5./3) * pow ( B +
Yi * pow (1+ Z1 * Z1 ,.5) + Yi * pow (1+ Z2 * Z2 ,.5) , -5./3) *( pow
(1.+ Z1 * Z1 ,.5) + pow (1+ Z2 * Z2 ,.5) ) ) ;
}
// Resultado
printf ( " Yn =
%.10 lf m " , Yf ) ;
}
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (14)
Para calcular el tirante normal puede usar RCanales https://bit.ly/
3mMo894 un programa libre, desarrollado en el Lenguaje C++ por el Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Figura 1.3: Software RCanales
1.4.5.
Tirante en cauce natural
En un cauce natural con coordenadas como se muestra en el cuadro 1.5,
tránsito un caudal Q = 450m3 /s correspondiente a un periodo de retorno
de T = 100 años, sı́ el lecho tiene un diámetro representativo d50 = 0.050m
y pendiente S = 0.015m/m. Calcular el tirante del agua con la fórmula de
Robert Manning.
Cuadro 1.5: Coordenadas de Cauce Natural
x(m) y(m) x(m) y(m)
1.0
12.0 12.0
2.0
6.0
6.0
14.0
2.0
7.0
5.8
17.0
7.0
8.0
5.5
18.0
8.0
9.0
5.0
19.0
8.2
10.0
4.5
20.0
8.5
11.0
4.0
21.0 12.0
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (15)
Solución:
Dibujamos la sección:
Calculamos el n Manning con la fórmula de (Chow, 1959) .
1/6
n = 0.04d50
n = 0.04x0.051/6
n = 0.024
Una vez obtenido los datos se tiene que solucionar con un lenguaje de programación, para ello se soluciona con RCanales https://bit.ly/3mMo894 un
programa libre, desarrollado en el Lenguaje C++ por el Ing. Ramirez Quispe,
Robert Marlindo.
Figura 1.4: Software RCanales
La cota del espejo del agua es CT = 8.28081m para el tirante se debe restar
la cota del espejo menos la cota de la lı́nea de Thalweg Y n = CE − CT
Y n = 8.28081m − 2.0m, resultando el tirante normal Y n = 6.28081m
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (16)
Se adjunta rutinas del canal principal que usa RCanales.
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Tirante cauce natural - canal principal .
// LENGUAJE
: C ++
double fAj ( list < double > VecX_X , list < double > VecY_Y , double
Y)
{
int I , n ; n = VecX_X . size () ;
double VecX [ n ]={};
double VecY [ n ]={}; I =0;
while (! VecX_X . empty () )
{ VecX [ I ]= VecX_X . front () ;
VecY [ I ]= VecY_Y . front () ;
VecX_X . pop_front () ;
VecY_Y . pop_front () ;
I = I +1;}
double sumAj =0;
for ( int I =0; I <n -1; I ++)
{ sumAj = sumAj +( VecX [ I +1] - VecX [ I ]) *(2* Y - VecY [ I +1] VecY [ I ]) ; }
sumAj =.5* sumAj ;
return sumAj ;}
double fDAj ( list < double > VecX_X )
{
int I , n ; n = VecX_X . size () ;
double VecX [ n ]={}; I =0;
while (! VecX_X . empty () )
{ VecX [ I ]= VecX_X . front () ;
VecX_X . pop_front () ;
I = I +1;}
for ( I =0; I <n -1; I ++)
double sumDAj ;
for ( int I =0; I <n -1; I ++)
{ sumDAj = sumDAj +( VecX [ I +1] - VecX [ I ]) ;}
return sumDAj ;}
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (17)
1.5.
Canales estables no revestidos
1.5.1.
Fuerza tractiva o esfuerzo de corte
Es el esfuerzo medio de corte en el fondo de un canal que es igual al producto
del peso especı́fico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación del
canal en flujo no uniforme la pendiente es la inclinación de la lı́nea de energı́a.
τo = γRS
(1.5.1)
La distribución vertical del esfuerzo de corte, en un canal muy ancho, se
describe mediante la siguiente ecuación
τo = γ(y − h)S
(1.5.2)
En la superficie, para h = y, el corte es cero. En el fondo h=0 el esfuerzo
de corte es:
τo = γyS
(1.5.3)
ү
ү
ү
Figura 1.5: Distribución del esfuerzo de corte en un canal
Fuente: Elaboración propia
El esfuerzo cortante máximo en el fondo:
τo = γRS
El esfuerzo cortante máximo en las orillas es:
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (18)
Z = 2 −→ τo = 0.75γRS
Z = 3 −→ τo = 0.85γRS
Z = 4 −→ τo = 0.90γRS
Z = 6 −→ τo = 0.95γRS
Figura 1.6: Esfuerzo en el fondo y las orillas
Fuente: Elaboración propia
1.5.2.
Criterio de Shields
Shields (1936) demostró que la iniciación del movimiento de una partı́cula sólida de diámetro puede relacionarse entre: Indice de Movilidad (llamado
también parámetro de Shields) e ı́ndice de inestabilidad
.
Indice de Movilidad:
θcr =
τoc
(γs − γ) d
(1.5.4)
Donde:
θcr
= Índice de movilidad
τoc
= Esfuerzo cortante crı́tico kg/m2
γs
= Peso especı́fico de la partı́cula sólida kg/m3
γ
= Peso especı́fico del agua kg/m3
d
= Diámetro medio de la partı́cula m
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (19)
Índice de Inestabilidad:
Re∗ =
V ∗d
u
(1.5.5)
Donde:
Re∗
= Índice de inestabilidad
V∗
= Velocidad de corte, m/s
d
= Diámetro de partı́cula, m
u
= Viscosidad Cinemática del agua, m2 /s
Con el ı́ndice de movilidad y ı́ndice de inestabilidad se debe ingresar a la
figura 1.7 e iterativamente se debe calcular el esfuerzo cortante crı́tico para
un tirante máximo del canal no revestido antes que las partı́culas estén en
movimiento.
Figura 1.7: Diagrama de Shields para la iniciación del movimiento
Fuente: Adaptado de (Rocha, 1998)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (20)
1.5.3.
Bonnefille y Yalin
Bonnefille (1963) y Yalin (1972) mostraron que la curva de Shields podrı́a
ser expresada con las fórmulas siguientes:
, 1
D∗ = pu2g 3 d
p, = psp−p
θcr = 0.24D∗−1
si 1 < D∗ ≤ 4
θcr = 0.14D∗−0.64
si 4 < D∗ ≤ 10
θcr = 0.04D∗−0.10
si 10 < D∗ ≤ 20
θcr = 0.013D∗0.29
si 20 < D∗ ≤ 150
θcr = 00.055
si D∗ > 150
θcr =
1.5.4.
τoc
(γs − γ) d
τoc = θcr (γs − γ) d
(1.5.6)
Cálculo del riesgo Zanke
Zanke propone corregir el ı́ndice de movilidad θcr asociado a un riesgo (R)
siendo el ı́ndice de movilidad corregido θo . De acuerdo a Zanke el riesgo (R)
de movimiento de una partı́cula es aproximadamente 10 % para cada punto de
la curva de Shields.
" #−1
−9
θo
R = 10
+1
θcr
θo
= Índice de movilidad corregido.
θcr
= Índice de movilidad sin corregir.
R
= Riesgo
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
(1.5.7)
Página - (21)
1.6.
Problemas
1.6.1.
Esfuerzo cortante crı́tico
En un rı́o el lecho tiene un diámetro d50 = 0.012m, temperatura del
agua 20o C, considerar el peso especı́fico del material 2650 kg/m3 , gravedad
9.807m/s2 . Calcular el esfuerzo cortante crı́tico con el criterio de Shields.
Solución:
Densidad del agua kg/m3
T + 288.941
ρ = 1000 1 +
(T − 3.986)2
508929.2 (T + 68.13)
ρ = 1000 1 +
20 + 288.941
(20 − 3.986)2
508929.2 (20 + 68.13)
ρ = 998.2335796604308kg/m3
La viscosidad del agua m2 /s:
u = 1.14 − 0.031 (T − 15) + 0.00068(T − 15)2 10−6
u = 1.14 − 0.031 (20 − 15) + 0.00068(20 − 15)2 10−6
u = 1.0019999999999997x10−6 m2 /s
Calculamos θcr :
p, =
ps − p
p
D∗ =
p=
p, g 13
u2
d50
2650 − 998.2335796604308
998.2335796604308
D∗ =
1.65x9.807
2
1.01x10−6
D∗ > 150
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
p = 1.6546892971697575
! 31
0.012 D∗ = 303.403
θcr = 0.055
Página - (22)
El esfuerzo cortante critico es:
τoc = θcr (γs − γ) d
τoc = 0.055 (2650 − 998.23) 0.012
τoc = 1.09
kg
m2
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Esfuerzo cortante critico .
// LENGUAJE
: Python
from math import log10 , sqrt
# Datos
# =======
D50 =0.012
# diámetro de la partı́cula representativa en
metros
ps =2650
# peso especifico del sólido kg / m3
g =9.807
# gravedad m / s2
T =20
# Temperatura del agua para peso especifico
y viscosidad
# Calculo
p =1000.*(1. -( T +288.941) * pow (T -3.986 ,2.) /(508929.2*( T +68.13) )
)
u =(1.14 -0.031*( T -15) +0.00068*( T -15) **2) *10** -6
pr =( ps - p ) / p
# densidad relativa
D =( pr * g / u **2) **(1/3) * D50
# D * para buscar en que rango
if D >1 and D <=4:
te =.24* D **( -1)
elif D >4 and D <=10:
te =.14* D **( -.64)
elif D >10 and D <=20:
te =.04* D **( -.1)
elif D >20 and D <=150:
te =.013* D **(.29)
elif D >150:
te =.055
Toc = te *( ps - p ) * D50 # esfuerzo cortante crı́tico
# Resultado
print ( " Esfuerzo cortante crı́tico Toc = " ,Toc , " kg / m2 " )
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (23)
1.6.2.
Esfuerzo cortante crı́tico y fómula de Zanke
En un rı́o el lecho tiene partı́culas con diámetro d50 = 0.012m, temperatura
del agua 20o C, considerar el peso especı́fico del material 2650 kg/m3 , gravedad
9.807m/s2 . Calcular el esfuerzo cortante crı́tico con el criterio de Shields para
un riesgo de R = 2 % con la fórmula de Zanke.
Solución:
Densidad del agua kg/m3
T + 288.941
ρ = 1000 1 +
(T − 3.986)2
508929.2 (T + 68.13)
ρ = 1000 1 +
20 + 288.941
(20 − 3.986)2
508929.2 (20 + 68.13)
ρ = 998.2335796604308kg/m3
La viscosidad del agua m2 /s:
u = 1.14 − 0.031 (T − 15) + 0.00068(T − 15)2 10−6
u = 1.14 − 0.031 (20 − 15) + 0.00068(20 − 15)2 10−6
u = 1.0019999999999997x10−6 m2 /s
Calculamos θcr :
p, =
ps − p
p
D∗ =
p=
p, g 31
u2
d50
2650 − 998.2335796604308
998.2335796604308
D∗ =
1.65x9.807
2
1.01x10−6
D∗ > 150
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
p = 1.6546892971697575
! 13
0.012 D∗ = 303.403
θcr = 0.055
Página - (24)
Esfuerzo cortante crı́tico es:
τoc = θcr (γs − γ) d
τoc = 0.055 (2650 − 998.23) 0.012
τoc = 1.090165
kg
m2
Con la ecuación de Zanke vamos corregir ı́ndice de movilidad
" #−1
−9
θo
R = 10
+1
θcr
#−1
" −9
θo
+1
0.02 = 10
0.055
θo = 0.0460966882
Esfuerzo cortante crı́tico corregido es:
τoc = θo (γs − γ) d
τoc = 0.04609668 (2650 − 998.23) 0.012
τoc = 0.913691
kg
El τoc sin corregir es: τoc = 1.090165 m
2 y para un riesgo de R = 2 % es:
kg
τoc = 0.913691 m
2
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Soluciona ecuación de Zanke
//
: Método de Bisección
// LENGUAJE
: Python
te =.055
a =0.000000001 # es mı́nimo valor que va tomar
b = te
# el limite
máximo es te , porque es menor teo
for I in range (100) :
c =( a + b ) /2
fa = R /100 -(10*( a / te ) ** -9+1) ** -1
fb = R /100 -(10*( b / te ) ** -9+1) ** -1
fc = R /100 -(10*( c / te ) ** -9+1) ** -1
if fa * fc >0:
a=c
else :
b=c
if abs ( fc ) <.00001:
break
# print ( I +1 ,a ,b , c )
teo = c
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (25)
kg
m2
1.6.3.
Esfuerzo cortante crı́tico y tirante de flujo
En un rı́o el lecho tiene partı́culas con diámetro d50 = 0.012m, temperatura
del agua 20o C, considerar el peso especı́fico del material 2650 kg/m3 , gravedad
9.807m/s2 . Calcular el tirante normal para un canal rectangular de B = 200m
Solución:
Densidad del agua kg/m3
T + 288.941
(T − 3.986)2
ρ = 1000 1 +
508929.2 (T + 68.13)
ρ = 1000 1 +
20 + 288.941
(20 − 3.986)2
508929.2 (20 + 68.13)
ρ = 998.2335796604308kg/m3
La viscosidad del agua m2 /s:
u = 1.14 − 0.031 (T − 15) + 0.00068(T − 15)2 10−6
u = 1.14 − 0.031 (20 − 15) + 0.00068(20 − 15)2 10−6
u = 1.0019999999999997x10−6 m2 /s
Calculamos θcr :
p, =
ps − p
p
D∗ =
p=
p, g 31
u2
d50
2650 − 998.2335796604308
998.2335796604308
D∗ =
1.65x9.807
2
1.01x10−6
D∗ > 150
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
p = 1.6546892971697575
! 13
0.012 D∗ = 303.403
θcr = 0.055
Página - (26)
Esfuerzo cortante critico es:
τoc = θcr (γs − γ) d
τoc = 0.055 (2650 − 998.23) 0.012
τoc = 1.090165
El tirante del agua es:
τoc ≤ pRs
1.6.4.
1.0901 = 998.233
200y
0.0002
200 + 2y
y = 5.7755m
Diseño de un canal estable no revestido
Un canal trapezoidal con talud 3H : 1V , la pendiente es S = 0.0015m/m,
el caudal es Q = 200m3 /s, el material del lecho son cantos rodados con
d50 = 0.045 y d90 = 0.090m, la temperatura del agua es T = 20o C, el ángulo
de reposo de la partı́cula φ = 37o . Calcular el tirante normal y el ancho para
un canal estable.
Solución:
Densidad del agua kg/m3
ρ = 1000 1 +
20 + 288.941
(20 − 3.986)2
508929.2 (20 + 68.13)
ρ = 998.2335796604308kg/m3
La viscosidad del agua m2 /s:
u = 1.14 − 0.031 (20 − 15) + 0.00068(20 − 15)2 10−6
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (27)
kg
m2
u = 1.0019999999999997x10−6 m2 /s
2650 − 998.2335796604308
p = 1.6546892971697575
998.2335796604308
! 31
p, g 31
1.65x9.807
D∗ =
d50
D∗ =
2 0.045 D∗ = 1137.762
u2
1.01x10−6
p, =
ps − p
p
p=
D∗ > 150
θcr = 0.055
Esfuerzo cortante crı́tico en el fondo:
τoc = θcr (γs − γ) d
τoc = 0.055 (2650 − 998.23) 0.045
τoc = 4.088121
kg
m2
Vamor calcular el tirante normal considerando y = R como una primera
aproximación :
τoc ≤ pys
4.088121 = 998.233y0.0015
y = 2.730237m
El tirante normal máximo que puede tomar y = 2.730237m teniendo en cuenta
el esfuerzo cortante en el fondo, porque si se calcula con radio hidráulico el
esfuerzo cortante será menor.
Esfuerzo cortante crı́tico en las orillas:
F = 0.85 y ka = 0.85 según las siguientes fórmulas:
1
α = arctan
= 18.4,
z
0.5
tan2 (α)
ka = cos (α) 1 −
tan2 (φ)
0.5
tan2 (18.4)
ka = cos (α) 1 −
−→ ka = 0.844
tan2 (37)
τoc (orilla) = ka τoc = 0.844x4.088121
τoc (orilla) ≤ F pys
−→ τoc (orilla) = 3.45158
3.45158 = 0.85x998.233y0.0015
kg
m2
y = 2.7119m
El tirante normal máximo según la orilla debe ser y = 2.7119m
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (28)
Diseño del canal:
De los tirantes y = 2.730237m, y = 2.7119m vamos proponer un tirante y
para el caudal proporcionado calcular la base del canal.
Vamos proponer un tirante y = 2.5m y con ello vamos buscar la base del canal:
Una vez propuesto el tirante se debe proponer la base del canal:
B = 30.06613217294216m para poder validar si nuestro resultado está
bien se debe obtener Q = 200m3 /s y ası́ sucesivamente hasta que obtengamos
el caudal se debe iterar la base en se este caso se obtiene con un programa
desarrollado en el lenguaje Python.
A = By + Zy 2
√
P = B + 2y 1 + Z 2
A = 93.915m2
√
P = 30.06613 + 2x2.5 1 + 32
P = 45.8775m
93.915
R = 2.0470m
45.8775
12R
12x2.0470
m1/2
C = 18log
C = 18log
C = 38.4308
2d90
2x0.090
s
√
√
m
v = C RS v = 38.4308 2.0470x0.0015
v = 2.129577
s
R=
A
P
A = 30.06613x2.5 + 3x2.52
Q = vA
R=
Q = 2.129577x93.915
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Q = 200.0
m3
s
Página - (29)
Para que transite un caudal de Q = 200m3 /s las dimensiones son:
Calculemos el esfuerzo cortante en el fondo:
τo = pRS
τo = 998.2335x2.0470x0.0015
τo = 3.1321
kg
m2
kg
El esfuezo cortante en el fondo τo = 3.1321 m
2 es menor que el critico
kg
τoc = 3.4515 m
2 (Menor es de las orillas)
En las siguientes figuras se muestra otras secciones.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (30)
1.6.5.
Diseño de canal estable no revestido Zanke
Un canal trapezoidal tiene un tirante y ancho con taludes 3H : 1V , la
pendiente es S = 0.0015m/m. El caudal es Q = 200m3 /s, el material del lecho
son cantos rodados con d50 = 0.045 y d90 = 0.090m. La temperatura del agua
es T = 20o C, el ángulo de reposo de la partı́cula φ = 37o . Calcular el tirante y
el ancho para un canal estable con un riesgo R = 2 %
Solución:
Densidad del agua kg/m3
ρ = 1000 1 +
20 + 288.941
(20 − 3.986)2
508929.2 (20 + 68.13)
ρ = 998.2335796604308kg/m3
La viscosidad del agua m2 /s:
u = 1.14 − 0.031 (20 − 15) + 0.00068(20 − 15)2 10−6
u = 1.0019999999999997x10−6 m2 /s
2650 − 998.2335796604308
p = 1.6546892971697575
998.2335796604308
! 31
p, g 31
1.65x9.807
D∗ =
d50
D∗ =
2 0.045 D∗ = 1137.762
2
u
1.01x10−6
p, =
ps − p
p
p=
D∗ > 150
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
θcr = 0.055
Página - (31)
Con la ecuación de Zanke se corregir Indice de Movilidad
#−1
" −9
θo
+1
R = 10
θcr
#−1
" −9
θo
+1
0.02 = 10
0.055
θo = 0.0460966882
Esfuerzo cortante critico corregido es:
τoc = θo (γs − γ) d
τoc = 0.04609668 (2650 − 998.23) 0.045
τoc = 3.426397
Esfuerzo cortante critico en el fondo:
Vamos calcular el tirante del nivel de agua considerando y = R como una
primera aproximación :
τoc ≤ pys
3.426397 = 998.233y0.0015
y = 2.288306m
El tirante máximo que puede tomar es y = 2.288306m teniendo en cuenta el
esfuerzo cortante en el fondo, porque si se calcula con Radio Hidráulico el
esfuerzo cortante será menor.
Esfuerzo cortante critico en las orillas:
Según tabla F = 0.85 y ka = 0.85 según las siguientes formulas:
1
α = atan
= 18.4o
z
2
ka = cos (α) 1 −
tan (18.4)2
ka = cos (18.4) 1 −
tan (37)2
τoc (orilla) = kaτoc
τoc (orilla) ≤ F pys
tan (α)
tan (φ)2
!0.5
!0.5
ka = 0.844
τoc (orilla) = 0.844x3.426397 τoc (orilla) = 2.89289
2.89289 = 0.85x998.233y0.0015
kg
m2
y = 2.27295m
El tirante máximo según la orilla debe ser y = 2.27295m
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (32)
kg
m2
Diseño del canal:
De los tirantes y = 2.730237m y y = 2.7119m vamos proponer un tirante y
para el caudal proporcionado calcular la base del canal.
Vamos proponer un tirante y = 2.5m y con ello vamos buscar la base del canal:
Una vez propuesto el tirante se debe proponer la base del canal:
B = 30.06613217294216m para poder validar si nuestro resultado está
bien se debe calcular el caudal que es Q = 200m3 /s y ası́ sucesivamente hasta
que obtengamos el caudal se debe iterar la base en se este caso se obtiene con
un programa desarrollado en el lenguaje Python.
A = By + Zy 2
√
P = B + 2y 1 + Z 2
A = 103.9468m2
√
P = 45.9734 + 2x2.0 1 + 32
P = 58.622m
103.9468
R = 1.77315m
58.622
12R
12x1.77315
m1/2
C = 18log
C = 18log
C = 37.3077
2d90
2x0.090
s
√
√
m
v = C RS v = 37.3077 .77315x0.0015
v = 1.9240
s
R=
A
P
A = 45.9734x2.0 + 3x2.52
Q = vA
R=
Q = 1.9240x103.9468
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Q = 200.0
m3
s
Página - (33)
Para que transite un caudal de Q = 200m3 /s las dimensiones son:
Calculemos el esfuerzo cortante en el fondo:
τo = pRS
τo = 998.2335x1.77315x0.0015
τo = 2.655
kg
m2
kg
El esfuerzo cortante en el fondo τo = 2.655 m
2 es menor que el critico τoc =
kg
2.89289 m
2 (Menor es de las orillas).
En las siguientes figuras se muestra otras secciones.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (34)
1.6.6.
Máxima eficiencia hidráulica - canal estable no
revestido - Zanke
Un canal trapezoidal tiene talud de 3H : 1V , la pendiente es S =
0.0015m/m. El caudal es Q = 50m3 /s, el material del lecho son cantos rodados con d50 = 0.045 y d90 = 0.090m. La temperatura del agua es T = 20o C,
el ángulo de reposo de la partı́cula φ = 37o . Calcular el tirante y el ancho para
un canal estable con un riesgo R = 2 %
Solución:
Densidad del agua kg/m3
ρ = 1000 1 +
20 + 288.941
(20 − 3.986)2
508929.2 (20 + 68.13)
ρ = 998.2335796604308kg/m3
La viscosidad del agua m2 /s:
u = 1.14 − 0.031 (20 − 15) + 0.00068(20 − 15)2 10−6
u = 1.0019999999999997x10−6 m2 /s
2650 − 998.2335796604308
p = 1.6546892971697575
998.2335796604308
! 31
p, g 31
1.65x9.807
D∗ =
d50
D∗ =
2 0.045 D∗ = 1137.762
u2
1.01x10−6
p, =
ps − p
p
p=
D∗ > 150
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
θcr = 0.055
Página - (35)
Con la ecuación de Zanke vamos corregir el ı́ndice de movilidad
#−1
" −9
θo
+1
R = 10
θcr
#−1
" −9
θo
+1
0.02 = 10
0.055
θo = 0.0460966882
El esfuerzo cortante critico corregido es:
τoc = θo (γs − γ) d
τoc = 0.04609668 (2650 − 998.23) 0.045
τoc = 3.426397
El Esfuerzo cortante critico en las orillas:
Según tabla F = 0.85 y ka = 0.85 según las siguientes formulas:
tan (α)2
ka = cos (α) 1 −
tan (φ)2
1
= 18.4o
α = atan
z
tan (18.4)2
ka = cos (18.4) 1 −
tan (37)2
τoc (orilla) = kaτoc
!0.5
!0.5
ka = 0.844
τoc (orilla) = 0.844x3.426397 τoc (orilla) = 2.89289
kg
m2
Diseño del canal:
Para diseñar por máxima eficiencia hidráulica el esfuerzo cortante del canal
kg
kg
debe ser menor que los siguientes valores 3.426397 m
2 y τoc (orilla) = 2.89289 m2
Vamos demostrar las ecuaciones a usar el valor k = 2d 90.
√
Q = vA
Q = 18log
12R
k
A = By + Zy
v = C RS
P = B + 2y 1 +
C = 18log
√
RSA M EH
2
√
A = 2y
Z2
P = 2y
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
√
B = 2y
√
1+
1+
z2
12R
k
√
z2
1+
z2
−z
− z y + Zy 2
√
− z + 2y 1 + Z 2
Página - (36)
kg
m2
Q = 18log
s
!
√
2x12y 1 + z 2 − z y + Zy 2
√
√
k 2y 1 + z 2 − z + 2y 1 + Z 2
√
2y 1 + z 2 − z y + Zy 2
√
√
2y 1 + z 2 − z + 2y 1 + Z 2
Sy
√
1 + z 2 − z y + Zy 2
(1.6.1)
Reemplazando los valores:
50 = 18log
s
!
√
2x12y 1 + 32 − 3 y + 3y 2
√
√
0.18 2y 1 + 32 − 3 + 2y 1 + 32
√
2y 1 + 32 − 3 y + 3y 2
√
√
2y 1 + 32 − 3 + 2y 1 + 32
0.0015y
√
1+
32
− 3 y + 3y 2
Obtenemos y = 2.97619954753476m
Para solucionar y implementar en un lenguaje de programación se puede
simplificar la ecuación como sigue:
Q = 18log
6
A=
k
6y
k
r
Sy √
2 1 + z2 − z y2
2
r
B = 18
S √
2
2 1+z −z
2
Para solucionar con el método de Newton:
0
f (x)
log(f (x)) =
f (x) ln (10)
0
5
2
f (y) = log (Ay) By − Q
5
3
By 2
5
f (x) = By 2 log (Ay) +
2
ln (10)
0
6
A=
k
r
B = 18
S √
2 1 + z2 − z
2
Entonces el tirante normal es:
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (37)
Obtenemos y = 2.97619954753476m
B = 2y
√
1 + z2 − z
B = 2.976
√
1 + 32 − 3
B = 0.9659413975362614m
A=y
√
1 + z 2 − z y + Zy 2
A = 2.976
√
1 + 32 − 3 2.976 + 3x2.9762
A = 29.4481m2
P =y
√
1+
z2
√
− z +2y 1 +
Z2
√
√
2
P = 2.976
1 + 3 − 3 +2x2.976 1 + 32
P = 19.789m
29.448
12R
12x1.488
m1/2
A
=
R = 1.488m
C = 18log
= 18log
= 35.93
P
19.789
k
0.18
s
√
√
m
v = C RS = 35.93 1.488x0.0015 v = 1.6979
s
Q = vA
Q = 1.6979x29.448 = 50.000
m2
s
Calculemos el esfuerzo cortante en el fondo:
τo = pRS
τo = 998.2335x1.488x0.0015
τo = 2.228206
kg
m2
kg
Podemos ver que el τo = 2.228206 m
2 es menor que los esfuerzo cortantes
kg
kg
crı́ticos τoc (f ondo) = 3.426397 m
2 y τoc (orilla) = 2.89289 m2
Se adjunta el código para diseñar canal no revestidos en Máxima Eficiencia
Hidráulico.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (38)
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Dise~
n a canal
Máxima eficiencia
hidráulica
//
: Riesgo Zanke
//
: Método de Newton
// LENGUAJE
: Python
from math import log10 , sqrt , atan , pi , tan , cos , log , exp
# datos esfuerzo cortante
# =======
D50 =0.045
# diámetro de la partı́cula representativa en
metros
D90 =0.090
# diámetro D90
ps =2650
# peso especifico del sólido kg / m3
s =0.0015
# pendiente del fondo del rı́o
g =9.807
# gravedad m / s2
T =20
# temperatura
R =2
# Zanke % confiabilidad
# calcula función de T O ingresar peso especifico del agua kg
/ m3
p =1000.*(1. -( T +288.941) * pow (T -3.986 ,2.) /(508929.2*( T +68.13) )
)
u =(1.14 -0.031*( T -15) +0.00068*( T -15) **2) *10** -6
# calcula
función de T O viscosidad cinemática del fluido m2 / s
# dato para canal
fi =37
# ángulo de reposo de la partı́cula
z =3
# talud del canal 2 H :1 V la parte de vertical
Q =50
# caudal en m3 / s
F =0.85
# 0.75 ?. y . S depende de la talud para canal
# calculo de parámetro de shiedls
# ==== diagramas original =========
pr =( ps - p ) / p # densidad ro
D =( pr * g / u **2) **(1/3) * D50 # D *
if D >1 and D <=4:
te =.24* D **( -1)
elif D >4 and D <=10:
te =.14* D **( -.64)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (39)
elif D >10 and D <=20:
te =.04* D **( -.1)
elif D >20 and D <=150:
te =.013* D **(.29)
elif D >150:
te =.055
nom =[ " Shields " ," Shields y Zanke riesgo ( R ) " ]
for J in range (2) :
Toc = te *( ps - p ) * D50 # esfuerzo cortante critico
y = Toc /( p * s ) # altura del nivel de agua
k =2* D90 # rugosidad del rı́o
c =18* log10 (12* y / k ) # c de chezy
v = c * sqrt ( y * s )
q = v * y # q = Q / B =( v * A ) / B =( v * B * y ) / B = v * y caudal especı́fico
# = = = = = = = = = = = = = = == = = = = = =
# empleando la fórmula de Zanke 2 %
# método de biseccion en el rango de [0.000000001 , te ]
a =0.000000001 # es mı́nimo valor que va tomar
b = te
# el limite superior se pone porque sera menor a
ello
for I in range (100) :
c =( a + b ) /2
fa = R /100 -(10*( a / te ) ** -9+1) ** -1
fb = R /100 -(10*( b / te ) ** -9+1) ** -1
fc = R /100 -(10*( c / te ) ** -9+1) ** -1
if fa * fc >0:
a=c
else :
b=c
if abs ( fc ) <.00001:
break
# print ( I +1 ,a ,b , c )
print ( " = == === === == === == === = " )
print ( nom [ J ])
print ( " = == === === == === == === = " )
print ( " densidad ro = " , pr )
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (40)
print ( " D * = " ,D )
print ( " cr = " , te )
print ( " esfuerzo cortante critico Toc = " ,Toc , " kg / m2 " )
print ( " altura de agua equivalente y = " ,y , " m " )
print ( " rugosidad del rio k = " ,k )
print ( " chezyo c = " ,c )
print ( " Velocidad del fluido = " ,v , " m / s " )
print ( " caudal especı́fico = " ,q , " m3 / s / m " )
te = c #? cr cambia con Zanke riesgo ( R )
# esfuerzo cortante en la orillas
alf = atan (1/ z )
ka = cos ( alf ) *(1 - tan ( alf ) **2/ tan ( fi *180/ pi ) **2) **.5
Toc_orr = ka * Toc
yo = Toc_orr /( F * p * s ) # altura del nivel de agua de acuerd a
orrillas
print ( " =============== " )
print ( " talud esfuerzo cortante Toc " )
print ( " =============== " )
print ( " inclinación de talud alfa = " , alf *180/ pi )
print ( " ka = " , ka )
print ( " Toc orrillas = " , Toc_orr )
print ( " y acuerdo a orillas = " , yo )
# dimensionamiento de canal
k =2* D90
# = = == == = == == = == = == === =
# tirante proponer y te encuentra la base
# = = == == = == == = == = == === =
# Newthon para calcular tirante
AA =6/ k
BB =18* sqrt ( s /2) *(2* sqrt (1+ z **2) -z )
y =0.99
yf =0.98
for I in range (40) :
y = yf
fx = BB * y **(5/2) * log10 ( AA * y ) -Q
dfx =5/2* BB * y **(3/2) * log10 ( AA * y ) + BB * y **(5/2) /( y * log (10) )
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (41)
yf =y - fx / dfx
if abs (y - yf ) <.00001:
break
# = = == == = == == = == = == === =
y = yf
B =2* y *( sqrt (1+ z **2) -z )
A = B * y + z * y **2
P = B +2* y *(1+ z **2) **.5
R=A/P
c =18* log10 (12* R / k ) # c de chezy
v = c * sqrt ( R * s )
Q=A*v
print ( " =============== " )
print ( " Dise~
n o de canal " )
print ( " =============== " )
print ( " Tirante calculado y = " ,y , " m " )
print ( " Base calculado B = " ,B , " m " )
print ( " Espejo T = " ,B +2* z * yo , " m " )
print ( " Area A = " ,A , " m2 " )
print ( " Perimetro P = " ,P , " m " )
print ( " Radio Hidraulica R = " ,R , " m " )
print ( " Rugosidad ks = " ,k )
print ( " chezy
c = " ,c , " m ^(1/2) / s " )
print ( " veocidad v = " ,v , " m / s " )
print ( " caudal Q = " ,Q , " m / s " )
if Toc_orr > p * R * s :
print ( " Ok cumple " )
else :
print ( " no cumple " )
print ( " To = " ,p * R *s , " kg / m2 " )
print ( " b / y = " ,2*( sqrt (1+ z **2) -z ) -B /y , " debe ser cero " )
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (42)
1.7.
Teorı́a de régimen
El origen nace en las observaciones de los canales de material aluvial realizados por ingenieros ingleses en la India a fines del siglo XIX. Tiene como
objetivo tener relaciones cuantitativas para determinar la geometrı́a del cauce principal que transporta caudal en estado de equilibro osea que no existe
socavación ni sedimentación figura 1.21.
Figura 1.8: Sección para caudal dominante
Fuente: Elaboración propia
Es común definir como el máximo caudal que puede transportar una sección
antes de desbordarse. (Bankfull discharge) como se muestra en la figura 1.9 El
periodo de retorno generalmente es asociado a 1.4 años. En España (Vide,
2003) dice que tiene mejores resultados para periodos de retorno de 1.5 a 7
años.
Figura 1.9: Caudal dominante
Fuente: Adaptado de (Vide, 2003)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (43)
1.7.1.
Ecuaciones de regimen
Según W. Schroeder son los rangos que trabajan las fórmulas.
Figura 1.10: Sección para caudal dominante
Fuente: Elaboración propia
Pendiente S
=
0.06 -1 0 %
Diámetro partı́cula = 0.03 - 80 mm
Caudal
= 0.15 - 250 m3 /s
Incógnitas
=
Ancho(B), tirante (y), Pendiente(S)
Datos
= Caudal(Q), diámetro del grano (d), carga sedimento (mf)
Las condiones principales que debe cumplir es:
1. Trayecto recto.
2. Orillas no aseguradas
3. B > 3h
4. Caudal (Q) constante.
5. Carga sedimento(mf) constante.
6. Carga sedimento(mf) pequeño (Cb < 0.5 %)
Como podemos ver generalmente asocian caracterı́sticas geométricas de la
sección(Ancho(B), Tirante(y) y Pendiente(S)) con un caudal transportado por
la corriente y la granulometrı́a del material del lecho y orillas B=f(Q), y=f(Q,d)
y S=f(Q,d).
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (44)
1.7.1.1.
Lacey, (1930 y 1958)
Las fórmulas de este autor que se utilizan en este trabajo son las que presentó en 1958 tras una recapitulación importante de numerosas observaciones
que habı́a llevado a cabo durante más de 20 años. Las diferencias en este método respecto a los predecesores son la introducción del perı́metro mojado y
del radio hidráulico en lugar del ancho y del calado. Las ecuaciones que se utilizarán aquı́ son las propuestas por Lacey pero modificadas para ser utilizadas
con el sistema métrico por Maza, y son las siguientes: Está fórmula es para
Lechos Arenosos 0.15 < d < 0.4mm
Figura 1.11: Sección para caudal dominante
Fuente: Elaboración propia
1
B = 4.831Q 2
Q1/3
y = 0.128 1/6
d
S = 0.204
d5/6
Q1/6
Donde:
B = Ancho del Canal (m)
Q
= Caudal (m3/s)
y
= Tirante medio (m) = A/B
d
= Diámetro Medio del Material del Lecho (m)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (45)
1.7.1.2.
Blench, (1969)
Para lechos de arena 0.1 < d < 0.6mm
Figura 1.12: Sección para caudal dominante
Fuente: Elaboración propia
B=
y=
Fb Q
Fs
Fs Q
Fb 2
0.5
1/3
Fb 5/6 FS 1/12 u1/4
S=
C
3.63 1 + 233
gQ1/6
Donde:
B
= Ancho del Canal (pies).
Q
= Caudal (pies3 /s).
y
= Tirante medio (pies).
S
= Pendiente (pies/pies = m/m).
Fs
= Coeficiente que toma en cuenta la rugosidad de las orillas.
= Suelo Franco Arenoso (Fs = 0.1).
= Suelo Franco Arcillo Limoso (Fs = 0.2).
= Suelo Cohesivo (Fs = 0.3).
Fb
= 1.9D50 0.5 (1 + 0.12C)
D50
= Tamaño Medio del Material del Lecho (mm)
C
= Concentración de sólidos desde fondo en peso en partes por 100000 = 105Cw.
u
= viscosidad cinemática (pie2 /s)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (46)
1.7.1.3.
Kellerhals,(1967)
Para lechos de grava 19 < d < 145mm
Figura 1.13: Sección para caudal dominante
Fuente: Elaboración propia
B = 3.26Q0.5
1.7.1.4.
−0.12
y = 0.183Q0.4 D90
0.92
S = 0.026Q−0.4 D90
Bray, (1982)
Para lechos de grava 19 < d < 145mm
−0.070
B = 3.83Q0.528 D50
−0.025
y = 0.246Q0.331 D50
0.586
S = 0.0018Q−0.334 D50
Donde:
B
= Ancho del Canal (m)
Q
= Caudal (m3/s)
y
= Tirante medio (m)
D90
= Diámetro D90 del Material del Lecho (m)
D50
= Diámetro D50 del Material del Lecho (m)
Para Kellerhals y Bray según corresponda la fórmula.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (47)
1.7.1.5.
Simons y Albertson modificado por Henderson, (1966)
Para lechos de Material Cohesivo, Arena y Grava 0.028 < d < 80mm
Figura 1.14: Sección para caudal dominante
Fuente: Elaboración propia
B = 0.90k1 Q0.50
y = 1.21k2 Q0.36
rh = k2 Q0.36
rh ≤ 7pies y = 2+.93k2 Q0.36
rh > 7pies
u2
S=
gyk3
vB 0.37
u
Cuadro 1.6: Valores de k1, k2 y k3
Condiciones geotécnicas
k1
k2
k3
Fondos y orillas de arena
3.50 0.52 0.33
Fondo de área y orillas de material cohesivo 2.60 0.44 0.54
Fondo y orillas de material cohesivo
2.20 0.37 0.87
Fondo y orillas de grava
1.75 0.23
Fondo de área y orillas de material
cohesivo con alta carga de sedimentos
1.70 0.34
2000-8000ppm
Fuente: Regularización y Control de Rı́os. Schroder (1994)
B
= Ancho del Canal (pies).
g
= gravedad (32.2pie/s2 ).
Q
= Caudal (pies3 /s).
y
= Tirante medio (pies).
y
= Tirante medio (pies).
v
= Velocidad media (pies/s).
rh
= Radio Hidráulico (pies).
u = Viscosidad cinemática (pies2 /s).
S
= Pendiente media (pies/pies).
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (48)
1.7.1.6.
Altunin, (1962)
Para lechos de Arena y Grava
Figura 1.15: Sección para caudal dominante
Fuente: Elaboración propia
B=A
y=
B
= Ancho del Canal (m).
Q
= Caudal (m3 /s).
y
= Tirante medio (m).
S
= Pendiente Media (m/m).
Q0.5
S 0.2
Bm
a
Cuadro 1.7: Valores de A, m y a
A Lechos de grava 0.7 - 0.9
Lechos de arena 1.1 - 0.7
m Lechos de grava 1.0 - 0.8
Lechos de arena 0.8 - 0.5
a Lechos de grava
8 - 12
Lechos de arena
4-3
Fuente: Roberto Campaña
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (49)
1.7.2.
Problema
Calcular las caracterı́sticas geométricas del canal, ancho (B), tirante (y) y
pendiente (S) para un caudal que transita de Q=95 m3 /s, d50 = 0.45 mm y
d90 = 0.90mm, temperatura del agua T = 20o C, considerar concentración de
sólidos Cw = 0.000015 kg.sol/kg.total. Emplear las fórmulas de Lacey, Blench,
Kellerhals, Bray, Simons y Albertson modificado por Henderson y Altunin
Solución:
1.7.2.1.
Fórmula de Lacey
Datos:
Q
= 95 m3 /s
d = d50
= 0.00045m
Resultados:
1
B = 4.831Q 2
y = 0.128
S = 0.204
Q1/3
d1/6
d5/6
Q1/6
1
B = 4.83150 2
y = 0.128
S = 0.204
501/3
0.000451/6
0.000455/6
951/6
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
B = 47.0867m
y = 2.1098m
S = 0.000155m/m
Página - (50)
Figura 1.16: Resultado - Lacey
# DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
# PROGRAMA
: Fórmula Lacey
# LENGUAJE
: Python
# Datos
# ===========
# Metodo de Lacey Lechos arenosos
# diametro 0.15 < d <0.4 mm - caudal dominante
Q =95
# Caudal en m3 / s
D50 =0.45 # Diámetro D50 D medio milimétricos mm
# calculo
# ===========
D50 =0.001* D50 # convierte a metros
B =4.831* Q **.5
y =0.128* Q **(1/3) / D50 **(1/6)
i =0.204* D50 **(5/6) / Q **(1/6)
# Resultados
print ( " Base B = " ,B , " m " ) # base del canal
print ( " Tirante medio y = " ,y , " m " ) # tirante del agua y = A / B
print ( " Pendinte i = " ,i , " m / m " ) # pendiente del canal
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (51)
1.7.2.2.
Fórmula de Blench
La viscosidad del agua pies2 /s:
u = 1.14 − 0.031 (T − 15) + 0.00068(T − 15)2 10−5
u = 1.14 − 0.031 (20 − 15) + 0.00068(20 − 15)2 10−5
u = 1.0019999999999997x10−5 pies2 /s
Datos:
Q
= 3354.89pies3 s.
d = d50
= 0.45mm.
Cw
= 0.000015 kg.sol/kg.total.
g
= 32.2pies2 /s.
FS
= 0.1.
Resultados:
C = Cw 105
C = 0.000015x105
C = 1.5
Fb = 1.9D50 0.5 (1 + 0.12C)
Fb = 1.9x0.40.5 (1 + 0.12x)
0.5
0.5
Fb Q
1.50x3354.89
B = 0.3048
B = 0.3048
Fs
0.1
1/3
1/3
Fs Q
0.1x3354.89
y = 0.3048
y = 0.3048
1.502
Fb 2
Fb = 1.5039
B = 68.466m
y = 1.6134m
1/4
0.3048x1.505/6 0.11/12 1.01x10−5
S=
1.5
3.63 1 + 233
32.2x3354.891/6
0.3048F b 5/6 FS 1/12 u1/4
S=
C
3.63 1 + 233
gQ1/6
S = 0.000143m/m
# DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
# PROGRAMA
: Fórmula Blench
# LENGUAJE
: Python
# Datos
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (52)
Figura 1.17: Resultado - Blench
# ===========
Q =3354.89
# Caudal en pie ^3/ s
D50 =0.45
# Diametro D50 milimetros mm
Cw =0.000015
# concentración de sólidos Kg sol / kg total (
adimensional )
u =1.0019999999999997*10** -5 # Vicosidad del agua pie ^2/ s
g =32.2
# fgravedad en pies / s ^2
Fs =0.1
# Coeficente que toma en cuenta la rugosidad de
las orillas
# calculo
C = Cw *10**5 # concentración de sólidos de fondo en peso
Fb =1.9* D50 **.5*(1+.12* C )
B =( Fb * Q / Fs ) **.5
# Base del canal pies
y =( Fs * Q / Fb **2) **(1/3)
# tirante del canal pies
i = Fb **(5/6) * Fs **(1/12) * u **(1/4) /(3.63*(1+ C /233) * g * Q **(1/6) )
# m / m pies / pies
# resultado
print ( " Concentración 10^5* C = " ,C ) # base del canal
print ( " Factor Fb = " , Fb ) # base del canal
print ( " Base B = " ,B , " pies = " ,B *0.3048 , " metros " ) # base del
canal
print ( " Tirante medio y = " ,y , " pies = " ,y *0.3048 , " metros " ) #
tirante del agua y = A / B
print ( " Pendinte i = " ,i , " m / m " ) # pendiente del canal
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (53)
1.7.2.3.
Fórmula de Kellerhals
Datos:
= 95 m3 /s.
Q
d = d90 = 0.0009m.
Resultados:
B = 3.26Q0.5
−0.12
y = 0.183Q0.4 D90
0.92
S = 0.026Q−0.4 D90
B = 3.26x950.5
B = 31.775m
y = 0.183x950.4 x0.00090.4
S = 0.026x95−0.4 x0.00090.92
y = 2.624m
S = 0.00000663m/m
Figura 1.18: Resultado - Kellerhals
# DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
# PROGRAMA
: Fórmula Kellerhals
# LENGUAJE
: Python
# Datos
# ===========
Q =95
D90 =0.90
# Caudal en m3 / s
# Diametro D90 milimetros mm
# calculo
# ===========
D90 =0.001* D90 # convierte diámetro 50 a metros
B =3.26* Q **.5
# Base en metros
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (54)
y =0.183* Q **.4* D90 ** -.12 # tirante en metros
i =0.026* Q ** -.40* D90 **.92 # pendiente en m / m
# resultados
print ( " Base B = " ,B , " m " ) # base del canal
print ( " Tirante medio y = " ,y , " m " ) # tirante del agua y = A / B
print ( " Pendinte i = " ,i , " m / m " ) # pendiente del canal
1.7.2.4.
Fórmula de Bray
Datos:
Q
= 95 m3 /s
d = d50
= 0.00045m
Resultados:
−0.070
B = 3.83Q0.528 D50
B = 3.83x950.528 0.00045−0.070
B = 72.7297m
−0.025
y = 0.246Q0.331 D50
y = 0.246x950.331 0.00045−0.025
y = 1.3465m
−0586
S = 0.0018Q−0.334 D50
S = 0.0018x95−0.334 0.000450.586
S = 0.0000043m/m
Figura 1.19: Resultado -Bray
# DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
# PROGRAMA
: Fórmula Kellerhals
# LENGUAJE
: Python
# Datos
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (55)
# ===========
Q =95
# Caudal en m3 / s
D50 =0.45
# Diametro D50 milimetros mm
# calculo
# ===========
D50 =0.001* D50 # convierte diametro 50 a metros
B =3.83* Q **.528* D50 ** -.070
# Base en metros
y =.246* Q **.331* D50 ** -.025 # tirante en metros
i =.0018* Q ** -.334* D50 **.586 # pendiente en m / m
# resultados
print ( " Base B = " ,B , " m " ) # base del canal
print ( " Tirante medio y = " ,y , " m " ) # tirante del agua y = A / B
print ( " Pendinte i = " ,i , " m / m " ) # pendiente del canal
1.7.2.5.
Fórmula de Simons y Albertson modificado por Henderson
Datos:
Q = 3354.89 pies3 /s
g
= 32.2 pies/s2
u
= 1.0019999999999997 ∗ ∗10− 5 pies2 /s
k1
= 3.50.
k2
= 0.52.
k3
= 0.33.
Resultados:
B = 0.3048x0.90k1 Q0.50
rh = k2 Q0.36
y = 2 + .93k2 Q0.36
v=
B = 0.3048x0.90x3.50x3354.890.50
rh = 0.52x3354.890.36
rh = 9.66 rh > 7pies
y = 0.3048 2 + .93x0.52x3354.890.36
Q
By
v=
3354.89
3.3495 55.6115
0.3048
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
0.3048
B = 55.6115m
v = 1.673
y = 3.3495m
pies
s
Página - (56)
u2
S=
gyk3
vB 0.37
u
2
1.0x10−5
S=
0.37
1.67x 55.6115
0.3048
32.2x 3.3495
x0.33
0.3048
1.0x10−5
S = 0.002886
Figura 1.20: Resultado - Simons y Albertson modificado por Henderson
# DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
# PROGRAMA
: Fórmula Simons y Albertson modificado por
Henderson
# LENGUAJE
: Python
# Datos
# ===========
# Metodo Lechos de Material Cohesivo ,
# Arena y Grava (0.028 < d <80 mm ) ( Simons y Albertson
# modificado por Henderson 1966) )
# Datos
# ===========
Q =3354.89
g =32.2
# Caudal en pie ^3/ s
# gravedad en pies / s ^2
u =1.0019999999999997**10** -5 # Vicosidad del agua pie ^2/ s
k1 =3.50 #
k2 =0.52 #
k3 =0.33 #
# calculo
B =0.9* k1 * Q **.5
# Base en pies
rh = k2 * Q **.36
# radio hidraulico 1 en pies
# Comparamos cual de ellos cumple
if rh <7:
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (57)
y =1.21* k2 * Q **.36
else :
y =2+.93* k2 * Q **.36
V = Q /( B * y ) # velocidad del fluido
i = V **2/( g * y * k3 *( V * B / u ) **.37)
# resultado
print ( " Base B = " ,B , " pies = " ,B *0.3048 , " metros " ) # base del
canal
print ( " Radio hidráulico rh = " ,rh , " pies " )
print ( " Tirante medio y = " ,y , " pies = " ,y *0.3048 , " metros " ) #
tirante del agua y = A / B
print ( " Velocidad del agua V = " ,V , " pies / s = " ,V *0.3048 , "
metros / s " ) # tirante del agua y = A / B
print ( " Pendiente S = " ,i , " m / m " ) # pendiente del canal
1.7.2.6.
Fórmula de Altunin
Datos:
Q = 95 pies3 /s
S
= 0.000155m/m.
A
= 0.8.
m
= 0.9.
a
= 9
Resultados:
B=A
y=
Q0.5
S 0.2
Bm
a
B = 0.8
y=
950.5
0.0001550.2
B = 45.0697m
45.06970.9
9
y = 3.42m
# DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
# PROGRAMA
: Fórmula Altunin
# LENGUAJE
: Python
# Lechos de Arena y Grava ( Altunin 1962)
# Datos
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (58)
Figura 1.21: Resultado - Altunin
# A (0.7 -0.9 ) lechos de grava
# ( 1.1 -1.7) lechos de arena
# m (1.0 -0.8 ) lechos de grava
# ( 0.8 -0.5) lechos de arena
# a ( 8 -12 ) lechos de grava
# (4 -3) lechos de arena
# ===========
Q =95
# Caudal en m3 / s
i =0.000155 # pendiente m / m con algun metodo anterior se debe
calucalar
A =0.8
# promedio para arena
m =0.9
# promedio para arena
a =9
# promedio para arena
# calculo
# ===========
B = A * Q **.5/ i **.2
y = B ** m / a
# resultado
print ( " Base B = " ,B , " m " ) # base del canal
print ( " Tirante medio y = " ,y , " m " ) # tirante del agua y = A / B
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (59)
1.7.2.7.
Resumen de resultados
Cuadro 1.8: Resumen de resultados por todos los métodos
Fórmula
Base B(m) Tirante y(m) Pendiente S(m/m)
Lacey
47.09
2.11
0.00015500
Blench
68.47
1.61
0.00014300
Kellerhals
31.77
2.62
0.00000663
Bray
72.73
1.35
0.00000430
Simons
55.61
3.35
0.00289000
Altunin
45.70
3.42
-
En los siguientes gráficos se muestra los resltados por todos los métodos.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (60)
Flujo no uniforme
2.1.
2
Consideraciones generales
En condiciones de flujo no uniforme las caracterı́sticas hidráulicas varı́an
longitudinalmente, esta variación puede producirse gradualmente ó rápidamente, un control de flujo es cualquier caracterı́stica que impone una relación entre
la profundidad del flujo y la descarga en un canal. Por ejemplo una sección de
flujo crı́tico es un control de flujo ya que el número de Froude F r = 1, también
las presas, compuertas controlan el flujo. la velocidad media, la profundidad
del agua (figura 2.1, el ancho de flujo, etc. No son constantes en todas las secciones transversales por ello la pendiente del fondo de canal, de la superficie y
de energı́a no son paralelos. SO 6= Sw 6= Sf
Figura 2.1: Flujo no uniforme
Fuente: Elaboración propia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (61)
Si el flujo es retardado el tirante aumenta a lo largo del tramo y la superficie
libre de agua forma una curva llamada remanso o presión figura 2.3(a). Para
un flujo acelerado el tirante disminuye y la superficie de agua forma una curva
llama derrame o depresión 2.3(b).
Figura 2.2: Formas de superficie libre de agua
Fuente: Elaboración propia
2.2.
ecuación diferencial del flujo no uniforme
Las ecuaciones de flujo gradualmente variadas en un canal prismático que
no tiene entrada o salida lateral se derivan en esta sección haciendo los siguientes supuestos simplificadores:
α
α
θ
Figura 2.3: Flujo no uniforme en canales
Fuente: Elaboración propia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (62)
La pendiente del fondo del canal es pequeña.
El canal es un canal prismático y no hay entrada ni salida lateral del
canal.
La distribución de presión es hidrostática en todas las secciones del canal.
De la figura 2.3 la altura total expresando en velocidad y caudal es:
H =z+y+
αv 2
2g
H =z+y+
αQ2
2gA2
(2.2.1)
Ahora derivemos con respecto a x.
dH
dz
dy αQ2 d
=
+
+
dx
dx dx
2g dx
1
A2
(2.2.2)
Ahora por defenición
dH
= −Sf
dx
(2.2.3)
dz
= −S0
dx
d
2B dy
1
d
1 dA
1 dA dy
d
=
=− 3
=
2
2
2
dx A
dA A
dx
dA A
dy dx
A dx
(2.2.4)
(2.2.5)
dA
∂A ∂A ∂y
=
+
dx
∂x
∂y ∂x
∂y
S0 − Sf
=
∂x
1 − αBQ2 / (gA3 )
(2.2.6)
αBQ2
(Q/A)2
=
= F2
3
gA
(gA) (αB)
(2.2.7)
∂y
S0 − Sf
=
∂x
1 − F2
(2.2.8)
Finalmente:
Esta ecuación se usa para calcular conclusiones cualitativas sobre los perfiles
de la superficie del agua. Que describe la tasa de variación de y con x
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (63)
2.3.
Energı́a especı́fica y flujo crı́tico
Energı́a especı́fica de una sección se determinada por el tirante y, la altura
de velocidad v 2 /(2g) , sin la consideración de la energı́a especı́fica de posición.
α
α
θ
Figura 2.4: Energı́a especifica en una sección
Fuente: Elaboración propia
La energı́a especı́fica según la figura 2.4 en términos de la velocidad y caudal
es:
v2
2g
(2.3.1)
Q2
2gA2
(2.3.2)
E =y+
E =y+
Para la E mı́nimo, dE/dy = 0 derivamos la ecuación 2.3.2 respecto a y
considerando que el caudal es constante de donde obtenemos:
dE
dy
Q2 dA
=
−
dy
dy gA3 dy
dE
Q2 dA
=1−
dy
gA3 dy
Q2 dA
1−
=0
gA3 dy
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
(2.3.3)
Página - (64)
Figura 2.5: Sección cualquiera
Fuente: Elaboración propia
De la figura 2.5 dA/dy = T reemplazando en la ecuación 2.3.3 obtenemos:
1−
Q2 dA
=0
gA3 dy
1−
Q2
T =0
gA3
Ordenado obtenemos la ecuación para la energı́a mı́nima:
Q2
A3
=
g
T
(2.3.4)
Ordenando en términos de velocidad:
Q2
A3
=
g
T
(vA)2
A3
=
g
T
v 2 A2
A3
=
g
T
v2
A
=
g
T
(2.3.5)
Si para un caudal Q constante la ecuación 2.3.4 desarrollamos obtenemos
el tirante crı́tico yc .
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (65)
De la ecuación 2.3.5 y de la figura 2.6 el tirante medio es D = A/T ,
reemplazando en la ecuación 2.3.5 ordenando obtenemos:
v2
A
=
g
T
v2
=D
g
(2.3.6)
De la ecuación 2.3.6 para flujo crı́tico y el número Froude obtenemos:
v2
=1
gD
Fr = √
v
gD
(2.3.7)
Figura 2.6: Tirante medio
Fuente: Elaboración propia
2
Si graficamos E = y+ v2g podemos ver los resultados en la figura 2.7. F r < 1
Flujo subcrı́tico se presentan generalmente en Rı́os, F r = 1 Flujo crı́tico,
2
v
2g
RÍ
y
E=y+
O
Tirante
F r > 1 Flujo supercrı́tico. Donde para flujo crı́tico Emin = yc + vc 2 /(2g).
vc
2g
2
E=y
yc
2
2gA2
v
E=y+
2
2g
T
Flujo subcritico 0<dE/dy<1 Fr<1
Flujo crítico dE/dy=0 Fr=1
2
3
Q
A
=
g
T
yc
y
Q
dy
y
dA/dy=T
TORRENTE
Flujo supercrítico dE/dy<0 Fr>1
45°
Emín
Energía
Figura 2.7: Energı́a especifica para caudal constante
Fuente: Elaboración propia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (66)
2.4.
Clasificación de perfiles de la superficie
del agua
Para clasificar los perfiles de flujo vamos tener 3 zonas, donde denotaremos
yn = Tirante normal y yc = Tirante crı́tico
Figura 2.8: Zonas para perfil de flujo
Fuente: Elaboración propia
La pendiente inferior de un canal se denomina pendiente suave si el flujo
uniforme es subcrı́tico (yn > yc); para la descarga especificada y Manning n; es
pendiente crı́tica si el flujo uniforme es crı́tico (yn = yc); y es una pendiente
pronunciada si el flujo uniforme es supercrı́tico (yn < yc). Es evidente que
la profundidad normal es infinita si la pendiente del fondo es horizontal y no
existe si la pendiente del fondo es negativa.
Suave si yn > yc;
Pronunciada si yn < yc;
Crı́tico si yn = yc.
Teniendo en cuenta la ecuación 2.4.1 podemos clasificar en 12 perfiles de flujo
(la C2 no es una curva), como se muestra en la figura 2.9.
∂y
S0 − Sf
=
∂x
1 − F2
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
(2.4.1)
Página - (67)
Zona 2
Zona 3
Adeversa
Horizontal
Crítica
Fuerte
Suave
Zona 1
Figura 2.9: Los 12 perfiles de flujo (la C2 no es una curva)
Fuente: Adaptado de (Chaudhry, 2008)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (68)
Suave
Fuerte
Crítica
Horizontal
Adeversa
Figura 2.10: Perfiles de flujo con estructuras hidráulicas para todas las pendientes
Fuente: Adaptado de (Chaudhry, 2008)
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (69)
Figura 2.11: Perfiles M 1, M 2 y M 3 , pendiente suave - Flujo subcrı́tico Fr<1,
Yc<Yn, se propaga de aguas abajo.
Fuente: Elaboración propia
Figura 2.12: Perfiles S1, S2 y S3 , pendiente fuerte - Flujo supercrı́tico F r > 1,
Yc > Yn , se propaga de aguas arriba.
Fuente: Elaboración propia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (70)
Aguas arriba
c
Aguas abajo
c
(a) agua reposo, V = 0
2c
(c) Flujo crítico, V = c
Figura 2.13: (a) Cuando la velocidad del fluido (v) es igual a cero y solo existe
velocidad de la onda (c) el flujo se propaga en forma proporcional, (c) pero
si existe velocidad del fluido que es igual a la velocidad de la onda el flujo se
propaga aguas abajo proporcionalmente (Flujo crı́tico).
Fuente: Modificado de (Akan, 2006).
Aguas arriba
c
Aguas abajo
c
(a) agua reposo, V = 0
2c
(c) Flujo crítico, V = c
Figura 2.14: (b) Cuando la velocidad del fluido es menor que la velocidad de
la onda el flujo se propaga aguas arriba y aguas abajo (flujo subcrı́tico), (d)
caso contrario el flujo se propaga aguas abajo (flujo supercrı́tico).
Fuente: Modificado de (Akan, 2006).
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (71)
2.5.
Método de paso estándar
En el método de pasos estándar, las profundidades de flujo se calculan en
ubicaciones especı́ficas para un x dado, para el flujo subcrı́tico, se conocerán
las condiciones en la sección aguas abajo. para el flujo supercrı́tico, se
conocerán las condiciones en la sección aguas arriba.
yU +
VU2 1
V2 1
− ∆XSf U = yD + D − ∆XSf D − ∆XSO
2g
2
2g
2
∆X =
E1 − E2
=
SO − Sf
VU2 1
LHS = yU +
− ∆XSf U
2g
2
yD +
2
VD
2g
− yU +
(2.5.1)
VU2
2g
SO − Sf
VD2 1
RHS = yD +
− ∆XSf D − ∆XSO
2g
2
Flujo subcritico,se conoce condiciones aguas abajo:
(yU )k+1 = (yU )k − (∆y)k
(yU )k+1 =
(LHS)k − RHS
1 + F rU 2 +
3∆XSf U
2RU
Flujo supercritico,se conoce condiciones aguas arriba:
(yD )k+1 = (yD )k − (∆y)k
(yU )k+1 =
(RHS)k − LHS
1 + F rD 2 +
3∆XSf D
2RD
Figura 2.15: Condiciones de borde, Flujo subcrı́tico se conoce aguas abajo,
Flujo supecrı́tico se conoce aguas arriba
Fuente: Adaptado de clases de Hidráulica de Canales del Ing. Joel Ore
Iwanaga.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (72)
2.6.
Problemas
2.6.1.
Tirante critico canal rectagular
En un canal rectangular de ancho de solera B = 1.5 m, tránsita un caudal
Q = 6.0m3 /s. Calcular el tirante crı́tico
Solución:
A3
Q2
(yc T )3
Q2
=
=
g
T
g
T
s
r
Q2
62
3
3
yc =
y
=
c
T 2g
1.22 x9.81
2.6.2.
Q2
yc 3 T 3
=
g
T
yc = 1.177109844m
Tirante critico canal trapezoidal
En un canal trapezoidal de ancho de solera B = 1.5 m y talud 1H : 1V ,
tránsita un caudal Q = 6.0m3 /s. Calcular el tirante crı́tico
Solución:
Q2
A3
=
g
T
Q2
(yc T + yc 2 )
=
g
B + 2Byc
3
3
62
(1.5y c + yc 2 )
=
9.81
1.5 + 2x1.5yc
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
yc = 0.947238m
Página - (73)
// DESARROLLADOR : Ing . Ramirez Quispe , Robert Marlindo .
// PROGRAMA
: Tirante crı́tico - Talud Variable
//
: Método de Método de Newton
// LENGUAJE
: HP - PPL ( HP PRIME )
T I R A N T E _ C R I T I C O _ T R A P E Z O I D A L ()
BEGIN
// datos
Q :=6;
B :=1.5;
Z1 :=1;
Z2 :=1;
// calculo
C := Q ^2/9.81;
Yi :=0.8;
Yf :=2.5;
FOR I TO 40 DO
Yi := Yf ;
A := B * Yi +(( Z1 + Z2 ) /2) * Yi ^2;
T := B + Z1 * Yf + Z2 * Yf ;
DA := B +( Z1 + Z2 ) * Yi ;
DT := Z1 + Z2 ;
F := A ^3 - C * T ;
DX :=3* A ^2* DA - C * DT ;
Yf := Yi - F / DX ;
END ;
PE := B + Yi *(1+ Z1 ^2) ^.5 + Yi *(1+ Z2 ^2) ^.5;
AR := A ;
RI := AR / PE ;
VE := Q / AR ;
NF := ROUND ( VE /((9.81* AR / T ) ^0.5) ,4) ;
EE := Yf +( Q ^2) /(2*9.81* AR ^2) ;
PM := A / T ;
// resultado
PRINT ( PE ) ;
PRINT ( A ) ;
END ;
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (74)
2.6.3.
Energı́a especifica canal rectagular
En un canal rectangular de ancho de solera B = 1.5 m, transita un caudal
Q = 6.0m3 /s. Graficar la energı́a especifica.
Solución:
E =y+
Q2
2gA2
E =y+
62
2x9.81x(1.5y)2
Figura 2.16: Energı́a especifica Q = 6.0m3 /s
Fuente: Elaboración propia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (75)
2.6.4.
Energı́a especifica varios caudales - rectangular
En un canal rectangular de ancho de solera B = 1.5 m, graficar la energı́a
especifica para los caudales que transita Q = 4.0m3 /s, Q = 10.0m3 /s, Q =
16.0m3 /s y Q = 22.0m3 /s
Solución:
Q2
E =y+
2gA2
Qi2
E =y+
2x9.81x(1.5y)2
Figura 2.17: Energı́a especifica Q = 4.0m3 /s, Q = 10.0m3 /s, Q = 16.0m3 /s y
Q = 22.0m3 /s
Fuente: Elaboración propia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (76)
2.6.5.
Energı́a especifica rectangular y trapezoidal
En un canal rectangular de ancho de solera B = 1.5 m, y otro con la misma
base de talud 1H : 1V . Graficar la energı́a especifica si en ambos canales
transita un caudal Q = 10.0m3 /s.
Solución:
E = y+
102
102
(Rectangular)
E
=
y+
(T rapezoidal)
2x9.81x(1.5y)2
2x9.81x(1.5y + y 2 )2
Figura 2.18: Energı́a especifica Q = 10.0m3 /s Rectangular y Trapezoidal
Fuente: Elaboración propia
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (77)
2.6.6.
M1 - Remanso paso estándar
Se tiene un canal de 15m de ancho talud 2H : 1V con una pendiente
longitudinal de 0.0015m/m y un coeficiente de rugosidad de Manning de n =
0.025, si para un caudal de Q = 250m3 /sen un tramo del canal se tiene un
vertedero que el nivel del agua lo eleva a 5.0m, se pide calcular el perfil del
flujo aguas arriba de la estructura.
Solución:
Calculamos el tirante normal y tirante critico y esbozando el perfil corresponde
a M 1.
Q=
A5/3 P −2/3 s1/2
n
y = 3.78m
Q2
A3
=
g
T
yc = 2.69m
Figura 2.19: Perfil M1 - Remaso
Fuente: Elaboración propia - Python
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (78)
Cuadro 2.1: Resultados de la iteración de Paso estándar, del perfil M 1 Remanso, variación de x cada 70 m, se puede ver que es igual al tirante cuando x es
2380.0m, luego de ello se hace constante el tirante cuando sigues iterando
x (m)
y (m)
A (m2 )
R (m)
V (m/s)
Sf (m/m)
RHS (m)
LHS (m)
0.0
5.000
125.000
3.350
2.000
0.00050
5.1164
0.0000
70.0
4.920
122.280
3.300
2.040
0.00053
5.0485
5.1164
140.0
4.850
119.650
3.260
2.090
0.00056
4.9830
5.0485
210.0
4.770
117.110
3.220
2.130
0.00060
4.9199
4.9830
280.0
4.700
114.670
3.180
2.180
0.00063
4.8593
4.9199
350.0
4.630
112.340
3.150
2.230
0.00067
4.8013
4.8593
420.0
4.560
110.100
3.110
2.270
0.00071
4.7460
4.8013
490.0
4.500
107.960
3.070
2.320
0.00075
4.6935
4.7460
560.0
4.440
105.940
3.040
2.360
0.00079
4.6438
4.6935
630.0
4.380
104.020
3.010
2.400
0.00083
4.5970
4.6438
700.0
4.320
102.210
2.980
2.450
0.00087
4.5531
4.5970
770.0
4.270
100.510
2.950
2.490
0.00091
4.5121
4.5531
840.0
4.220
98.920
2.920
2.530
0.00096
4.4741
4.5121
910.0
4.170
97.440
2.890
2.570
0.00100
4.4389
4.4741
980.0
4.130
96.060
2.870
2.600
0.00104
4.4065
4.4389
1050.0
4.090
94.800
2.850
2.640
0.00108
4.3769
4.4065
1120.0
4.050
93.640
2.830
2.670
0.00111
4.3500
4.3769
1960.0
3.810
86.110
2.690
2.900
0.00141
4.1815
4.1878
2030.0
3.800
85.850
2.680
2.910
0.00142
4.1760
4.1815
2100.0
3.790
85.630
2.680
2.920
0.00143
4.1712
4.1760
2170.0
3.790
85.430
2.680
2.930
0.00144
4.1670
4.1712
2240.0
3.780
85.260
2.670
2.930
0.00145
4.1634
4.1670
2310.0
3.770
85.120
2.670
2.940
0.00146
4.1603
4.1634
2380.0
3.770
84.990
2.670
2.940
0.00146
4.1577
4.1603
Fuente: Elaboración propia - Programa en Python.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (79)
2.6.7.
M2 - Caı́da paso estándar
Se tiene un canal de 15m de ancho talud 2H:1V con una pendiente longitudinal de 0.0015m/m y un coeficiente de rugosidad de Manning de n = 0.025,
si para un caudal de Q = 250m3/s en un tramo tiene una caı́da. Calcular el
perfil del flujo.
Solución:
Calculamos el tirante normal y tirante critico y esbozando el perfil corresponde
a M 2.
Q=
A5/3 P −2/3 s1/2
n
y = 3.78m
Q2
A3
=
g
T
yc = 2.69m
Perfil M2
Tirante y[m]
3
2
1
0
Perfil de flujo
Tirante crítico
Fondo de canal
1
0
100
200
Distancia x[m]
300
400
500
Figura 2.20: Perfil M2 - Caida
Fuente: Elaboración propia - Python
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (80)
Cuadro 2.2: Resultados de la iteración de Paso estándar, del perfil M 2 caı́da,
se puede observar como el nivel agua va aumentando desde la caida.
x (m)
y (m)
A (m2 )
R (m)
V (m/s)
Sf (m/m)
RHS (m)
LHS (m)
0.0
2.680
54.560
2.020
4.580
0.00513
3.7659
0.0000
15.0
2.970
62.090
2.200
4.030
0.00355
3.7966
3.7663
30.0
3.050
64.460
2.250
3.880
0.00319
3.8220
3.7972
45.0
3.120
66.190
2.290
3.780
0.00296
3.8439
3.8227
60.0
3.170
67.570
2.320
3.700
0.00279
3.8633
3.8446
75.0
3.210
68.720
2.340
3.640
0.00266
3.8807
3.8639
90.0
3.240
69.720
2.360
3.590
0.00255
3.8965
3.8813
105.0
3.280
70.600
2.380
3.540
0.00246
3.9109
3.8971
120.0
3.300
71.390
2.400
3.500
0.00239
3.9243
3.9115
135.0
3.330
72.090
2.410
3.470
0.00232
3.9366
3.9248
150.0
3.350
72.740
2.430
3.440
0.00227
3.9481
3.9371
165.0
3.370
73.330
2.440
3.410
0.00221
3.9588
3.9486
180.0
3.390
73.870
2.450
3.380
0.00217
3.9689
3.9593
195.0
3.410
74.380
2.460
3.360
0.00213
3.9783
3.9693
210.0
3.430
74.840
2.470
3.340
0.00209
3.9871
3.9786
225.0
3.440
75.280
2.480
3.320
0.00206
3.9955
3.9875
240.0
3.450
75.690
2.490
3.300
0.00203
4.0034
3.9958
255.0
3.470
76.070
2.490
3.290
0.002
4.0108
4.0037
270.0
3.480
76.430
2.500
3.270
0.00197
4.0179
4.0111
285.0
3.490
76.760
2.510
3.260
0.00195
4.0246
4.0181
300.0
3.500
77.080
2.510
3.240
0.00192
4.0309
4.0248
315.0
3.510
77.380
2.520
3.230
0.0019
4.0369
4.0312
330.0
3.520
77.670
2.530
3.220
0.00188
4.0427
4.0372
345.0
3.530
77.940
2.530
3.210
0.00186
4.0482
4.0429
360.0
3.540
78.190
2.540
3.200
0.00185
4.0534
4.0484
Fuente: Elaboración propia - Programa en Python.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (81)
2.6.8.
M3 - Remando paso estándar
Se tiene un canal de 15m de ancho talud 2H : 1V con una pendiente
longitudinal de 0.0015m/m y un coeficiente de rugosidad de Manning de n =
0.025, si para un caudal de Q = 250m3/s en un tramo tiene compuerta que el
nivel agua tiene y = 1.0m. Calcular el perfil del flujo.
Solución:
Calculamos el tirante normal y tirante critico y esbozando el perfil corresponde
a M 3.
Q=
A5/3 P −2/3 s1/2
n
y = 3.78m
Q2
A3
=
g
T
yc = 2.69m
Perfil de flujo M3
3
Tirante y[m]
2
1
0
Perfil de flujo
Tirante crítico
Fondo de canal
Compuerta
1
0
50
100
150
Distancia x[m]
200
250
300
Figura 2.21: Perfil M3 - Remanso
Fuente: Elaboración propia - Python
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (82)
Cuadro 2.3: Resultados de la iteración de Paso estándar, del perfil M 3 caı́da,
se puede observar como el nivel agua va aumentando desde la compuerta.
x (m)
y (m)
A (m2 )
R (m)
V (m/s)
Sf (m/m)
RHS (m)
LHS (m)
0.000
1.000
17.000
0.870
14.710
0.161988
11.2126
0.0000
10.000
1.070
18.300
0.930
13.660
0.129368
9.9340
11.2126
20.000
1.140
19.600
0.980
12.750
0.104929
8.8997
9.9340
30.000
1.200
20.920
1.030
11.950
0.086226
8.0524
8.8997
40.000
1.270
22.240
1.080
11.240
0.071649
7.3509
8.0524
50.000
1.330
23.580
1.120
10.600
0.060105
6.7649
7.3510
60.000
1.400
24.930
1.170
10.030
0.050834
6.2716
6.7650
70.000
1.470
26.310
1.220
9.500
0.043294
5.8536
6.2718
80.000
1.530
27.710
1.270
9.020
0.037093
5.4977
5.8542
90.000
1.600
29.140
1.310
8.580
0.031940
5.1933
5.4990
100.000
1.670
30.600
1.360
8.170
0.027617
4.9321
5.1961
110.000
1.740
32.110
1.410
7.790
0.023958
4.7076
4.9376
120.000
1.810
33.670
1.460
7.430
0.020835
4.5143
4.7174
130.000
1.880
35.290
1.510
7.080
0.018148
4.3480
4.5304
140.000
1.960
36.990
1.560
6.760
0.015817
4.2054
4.3730
150.000
2.030
38.770
1.610
6.450
0.013781
4.0837
4.2418
160.000
2.110
40.660
1.660
6.150
0.011996
3.9813
4.1343
170.000
2.200
42.660
1.720
5.860
0.010433
3.8974
4.0482
180.000
2.290
44.740
1.770
5.590
0.009087
3.8319
3.9816
190.000
2.370
46.800
1.830
5.340
0.007977
3.7851
3.9331
200.000
2.450
48.640
1.880
5.140
0.007141
3.7562
3.9006
210.000
2.500
49.980
1.910
5.000
0.006600
3.7414
3.8816
220.000
2.530
50.750
1.930
4.930
0.006316
3.7351
3.8722
230.000
2.540
51.100
1.940
4.890
0.006194
3.7328
3.8683
240.000
2.550
51.230
1.940
4.880
0.006149
3.7320
3.8669
Fuente: Elaboración propia - Programa en Python.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (83)
Bibliografı́a
Akan, A. O. (2006). Open Channel Hydraulics. Eslevier.
Chaudhry, M. H. (2008). Open-Channel Flow. Springer.
Chow, V. T. (1959). Open Channel Hydraulics. McGraw - Hill.
Rocha, F. A. (1998). Indroducción a la Hidráulica Fluvial. Universidad Nacional de Ingenierı́a.
Vide, J. P. (2003). Ingenierı́a de rı́os. Alfaomega Grupo Editor.
Villón, B. M. (1995). Hidráulica de Canales. Editorial Villón.
Ing. Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Página - (84)