Subido por Brian Anthony Bueno Padilla

taller-programacion-linealpdf compress

Anuncio
TALLER PROGRAMACIÓN LINEAL II-2014
ESTUDIANTES:
PABLO ANDRÉS GALVIS ACEVEDO C.C.: 1.052.395.359
DANIEL ALEXANDER GÓMEZ MEDINA C.C.: 1.052.395.360
TUTOR DE CURSO
CESAR AUGUSTO FIGUEREDO GARZÓN
ECACEN - PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
ECBTI - PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
100101- PROGRAMACIÓN LINEAL
CEAD: DUITAMA - BOYACÁ
SEPTIEMBRE DE 2014
TALLER PROGRAMACION LINEAL II-2014
Problema 1:
Una compañía de transporte dispone de 10 camiones con capacidad de 40000 libras y de 5 camiones con
capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un coste de transporte de 30 céntimos/milla, y los
pequeños de 25 céntimos/milla. En una semana la compañía debe transportar 400000 libras en un
recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones
pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes.
¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que debe movilizarse para ese transporte de forma
óptima y teniendo en cuenta las restricciones?
Cuadro de Resumen:
Camiones
A1
A2
Cantidad
10
5
Capacidad libras
40000
30000
Coste en céntimos/milla
30
25
Función:
Max Z = 30 x 800 A1 + 25 x 800 A2
Restricciones del Problema:
40000 A1 + 30000 A2 ≥ 400000
A1 ≤ 10
A2 ≤ 5
2 A2 ≤ 1 A1
Restricción Natural:
A1 , A2 ≥ 0
Problema 2:
Se pide que formules el siguiente problema de programación lineal: Tienes 2200 euros disponibles para
invertirlos durante los próximos cinco años. Al inicio de cada año puedes invertir parte del dinero en
depósitos a un año o a dos años. Los depósitos a un año pagan un interés del 5 %, mientras que los
depósitos a dos años pagan un 11% al final de los dos años. Además, al inicio del segundo año es posible
invertir dinero en obligaciones a tres años de la empresa X., que tienen un rendimiento (total) del 17 %.
Plantea el problema lineal correspondiente a conseguir que al cabo de los cinco años tu capital sea lo
mayor posible.
Cuadro de Resumen:
Depósitos
No. de Años en
inversión
0
1
2
3
D0
D1
D2
D3
Intereses
0
5% → 0.05
11% → 0.11
17% → 0.17
Denotamos los años de inversión con i: 1, 2, 3, 4, 5
Denotamos los depósitos con j: 0, 1, 2, 3
Entonces: Dij
Función:
Max D60
Restricciones del Problema:
2200
D10 + 1,05 D11
D20 + 1,05 D21 + 1,11 D12
D30 + 1,05 D31 + 1,11 D22
D40 + 1,05 D41 + 1,11 D32 + 1,17 D23
D50 + 1,05 D51 + 1,11 D42
Restricción Natural:
Dij ≥ 0
i: 1, 2, 3, 4, 5
=
=
=
=
=
=
D10 + D11 + D12
D20 + D21 + D22 + D23
D30 + D31 + D32
D40 + D41 + D42
D50 + D51
D60
j: 0, 1, 2, 3
Problema 3:
Una compañía quiere construir un gran dique en un área lejana. Para su construcción necesita mezclar el
hormigón en el lugar de construcción del dique, pero dicho hormigón se tiene que producir en cuatro
lugares lejanos al del dique. El hormigón se produce a partir de la mezcla de distintos materiales (grava,
arena, etc.). La siguiente tabla muestra las cantidades máximas disponibles para cada material y los costes
de transporte de cada origen de producción del material al área del dique.
Tipo de material
A
B
B
D
Cantidad disponible (m3)
8000
16000
9000
6000
Coste de transporte (e/m3)
5,2
7,5
3,9
5,1
Para la construcción del dique se requieren 2 tipos de hormigón que se producirán con distintas mezclas de
los cuatro materiales. A continuación se muestran los requisitos de las 2 mezclas:
Mezcla 1: como mucho puede contener un 50% de ingredientes de A y B a la vez; al menos tiene que
contener un 10% de ingredientes de C; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 98% de
la mezcla.
Mezcla 2: el ingrediente A debe estar presente en al menos el 20% de la mezcla; C y D deben suponer al
menos la mitad de A y B; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 99% de la mezcla.
La siguiente tabla muestra los costes de cada mezcla y las cantidades mínimas requeridas.
Tipo de
hormigón
Mezcla 1
Mezcla 2
Coste de la mezcla
(e/m3)
5.7
6.3
Cantidad mínima
necesitada (m3)
9000
15000
El objetivo de la compañía es producir la cantidad necesaria de hormigón con el menor coste posible.
Formular, pero no resolver, un problema de programación lineal apropiado para que la compañía tome una
decisión. Explicar claramente el significado de cada variable que introduzcas en la formulación.
Resumen:
Denotamos cantidad de materia usada con la mezcla con: M
Denotamos el tipo de material con: A, B, C, D
Denotamos la cantidad de hormigón producido por la mezcla: E
Denotamos el tipo de mezcla con: 1, 2
Función:
Min Z = 5,2 (MA1+MA2) + 7,5 (MB1+MB2) + 3,9 (MC1+MC2) + 5,1 (MD1+MD2) + 5,7 E1 + 6,3 E2
Restricciones del Problema:
Restricción Natural:
MA1 + MA2 ≤ 8000
MB1 + MB2 ≤ 16000
MC1 + MC2 ≤ 9000
MD1 + MD2 ≤ 6000
E1 ≥ 9000
E2 ≥ 15000
MA1 + MB1 ≤ 0,5 E1
MC1 ≥ 0,1 E1
MA1 + MB1 + MC1 + MD1 ≥ 0,98 E1
MA2 ≥ 0,2 E2
MC2 + MD2 ≥ 0,5 ( MA2 + MB2 )
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≥ 0,99 E2
A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, F1, F2 ≥ 0
Problema 4:
Una factoría fabrica dos tipos de productos, A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas, M1 y
M2. El artículo A necesita 2 horas de trabajo de la máquina M1 y 1.5 horas de la maquina M2. El artículo B,
1.5 horas, y 1 hora, respectivamente. Cada máquina está funcionando, a lo sumo, 40 horas semanales. Por
cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 250e, mientras que por cada unidad del artículo B es
de 150e. ¿Cuántas unidades de A y cuántas de B deben fabricarse semanalmente para obtener un
beneficio máximo?
Cuadro de Resumen:
Productos
A
B
Maquina 1
2 h
1,5 h
Maquina 2
1,5 h
1 h
Función:
Max Z = 250 A + 150 B
Restricciones del Problema:
2 A + 1,5 B ≤ 40
1,5 A + B ≤ 40
Restricción Natural:
A, B≥ 0
Beneficio
30 €
25 €
Problema 5:
La producción anual de una fábrica de cemento es de dos millones y medio de contenedores. La fábrica
dispone de colectores mecánicos para controlar la contaminación del aire pero, pese a ello, por la
fabricación de cada contenedor se emiten dos unidades de contaminación al aire. Por esta razón, se
propone a la industria que remplace sus colectores por precipitadores electrostáticos, que pueden ser de
dos tipos; el tipo A reduce la emisión de partículas contaminantes a la cuarta parte, y el tipo B a la décima
parte. Los costes asociados al funcionamiento de los precipitadores son de 0.14e por contenedor, para el
tipo A y de 0.18e por contenedor para el tipo B. Si la contaminación debe reducirse en 4200000 unidades,
¿Cuántos contenedores de cemento deben seguir tratamiento anti-contaminante en cada tipo de
precipitador para que el coste de la operación sea el menor posible?
Cuadro de Resumen:
Precipitadores Tipo
Reducción
Coste e
A
0,14
B
0,14
Función:
Min Z = 0,14 A + 0.18 B
Restricciones del Problema:
A + B ≤ 2500000
B ≤ 4200000
Restricción Natural:
A, B≥ 0
Problema 6:
A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de
ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50g.
La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 100 g de A
Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150
calorías, utilizando el método SIMPLEX:
a) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas?
b) ¿Y el más pobre en calorías?
Cuadro de Resumen:
Productos
Vitaminas en 100g
Calorías en 100g
A
30 mg → 0.3g
450 Calorías
B
20 mg → 0.2g
150 Calorías
Función:
a) Max Z = 0.3 A + 0.2 B
b) Min Z = 450 A + 150 B
Restricciones del Problema:
50 ≤ ( A + B ) ≤ 150
A≥ B
A ≤ 100
Restricción Natural:
A, B≥ 0
Problema 7:
La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el mineral de cada una se separa, antes
de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos
diarios de operación son los siguientes:
Mineral de Grado alto Mineral de grado bajo Costo de operación
Mina I
Mina II
Mina III
ton/día
4
6
1
Ton/día
4
4
6
miles/día
20
22
18
La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral
de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos que garantizan a los
trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté
abierta. Utilizando el método SIMPLEX, determínar el número de días que cada mina debería operar
durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo.
Resumen:
Denotamos a las minas con: A, B, C
Denotamos a mineral de grado alto con: 1
Denotamos a mineral de grado alto con: 2
Función:
Min Z = 20 A + 22 B + 18 C
Restricciones del Problema:
Restricción Natural:
A, B, C ≥ 0
4A1 + 6B1 + C1 = 54
4A2 + 4B2 + 6C2 = 65
A≤7
B≤ 7
C≤ 7
Problema 8:
Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier
combinación. La producción da cada producto requiere emplear las cuatro máquinas. El tiempo que cada
producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla anexa Cada máquina está
disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por
kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y
de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3.
El costo de material es de $1 para cada kilogramo de los productos B, C y D. Aplicando el método
SOLVER de Excel, la máxima utilidad que puede obtener la empresa.
Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto)
Producto
Máquina
Demanda
1
2
3
4
Máxima
A
10
5
3
6
100
B
6
3
8
4
400
C
5
4
3
3
500
D
2
4
2
1
150
Resumen:
Función:
8A – 3A – 3A = 2A
6B – 1B – 3B = 2B
5C – 1C – 1C = 3C
4D – 1D – 1D = 2D
Min Z = 2 A + 2 B + 3 C + 2 D
Restricciones del Problema:
Restricción Natural:
A, B, C, D ≥ 0
10A1 +
10A1 +
10A1 +
10A1 +
A ≤ 100
B ≤ 400
C ≤ 500
D ≤ 150
6B1 +
6B1 +
6B1 +
6B1 +
5C1
5C1
5C1
5C1
+
+
+
+
2D1
2D1
2D1
2D1
≤
≤
≤
≤
4800
4800
4800
4800
Problema 9:
Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y
$9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de
procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45
minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada metro de tubo, sin
importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los
tubos A, B y C respectivamente.
Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos
excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y
5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se
tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la
demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera
que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de
producción, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a
un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos
diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha
pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de
compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía.
Tabla 1: Datos referentes al problema:
Tubo tipo Precio
Venta
($/metro)
de Demanda Tiempo
de Material
Máquina
para soldar
(metros) (min/metro)
(kg/metro)
A
10
2,000
0.50
1
B
12
4,000
0.45
1
C
9
5,000
0.60
1
A. Formule el modelo de PL
B. Desarrollar el modelo Matemático y resuélvalo
Función:
Costo de Costo de compra
Producción a Japón ($/metro)
($/metro)
3
4
4
Max Z = 7 A + 8 B + 5 C
Min Z = 4 A + 6 B + 2 C
Restricciones del Problema:
0,5 A + 0,45 B + 0,6 C ≤ 2400
A ≤ 2000
A ≤ 4000
A ≤ 5000
A + B + C ≤ 5500
6
6
7
Restricción Natural:
A, B, C ≥ 0
Problema 10:
La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche
descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada
unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:
LECHE
MANTEQUILLA QUESO
DESCREMADA
MAQUINA #1 (min/galón)
0,2
0,5
1,5
MAQUINA #2 (min/galón)
0,3
0,7
1.2
GANANCIA NETA (US$/Galon) 0,22
0,38
0,72
Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como Gerente del Departamento de
Administración, utilizando el programa WINQSB, formule un modelo para determinar un plan de producción
diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche
descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso.
Resumen:
Denotamos a los productos con: A, B, C
Denotamos las maquinas con: 1, 2
Función:
Max Z = 0,22 A + 0,38 B + 0,72 C
Restricciones del Problema:
Restricción Natural:
A, B, C ≥ 0
0,2 A + 0,5 B + 1,5 C ≤ 480
0,3 A + 0,7 B + 1,2 C ≤ 480
A ≥ 300
B ≥ 200
C ≥ 100
Descargar