Isostaticité des systèmes matériels - Degré d’hyperstaticité
Le principe fondamental de la statique permet de vérifier les conditions d’équilibre d’un système
matériel à partir de trois équations :
- la résultantes des actions extérieures est nulle (2 équations),
- le moment résultant des actions extérieures calculé en un point est nul (1 équation).
Mathématiquement, ce système de trois équations permet au plus l’étude de trois actions extérieures
inconnues.
Ainsi, pour chaque système matériel isolé, il convient de définir le nombre d’actions extérieures
inconnues, afin de vérifier si le système d’équation peut être résolu.
1/ NOTION D’HYPERSTATICITE
Les conditions d’isostaticité se résument aux trois situations suivantes :
Ne : Nombre d’équations du système matériel,
Ni : Nombre d’inconnues extérieures au système,
D : le degré d’hyperstaticité du système,
D>0
Le système est hyperstatique (plus d’actions que nécessaire
participent à l’équilibre du solide), l’application du PFS ne
permet pas de résoudre le système complètement.
Ni - Ne = D
D=0
Le système est isostatique, l’application du PFS permet de
résoudre le système complètement.
D<0
Le système est un mécanisme, aucune solution ne permet au
système d’être en équilibre.
En pratique, les actions extérieures aux systèmes matériels dépendent des liaisons extérieures
présentent.
2/ DEGRE D’HYPERSTATICITE
Il s’agit d’étudier le potentiel cinématique d’une structure, en observant les liaisons présentent.
Elément 3
C
D
Elément 2
B
A
EdC Mécanique
Elément 1
La structure est décomposée en éléments simples :
- 3 éléments ( trois barres),
- 4 noeuds (quatre liaisons A, B, C et D).
1/2
Ch02meca.doc
3 inconnues
d’encastrement
Noeud C - 3
3 inconnues
d’encastrement
Noeud D - ext
Ni = (3 inconnues x 8) = 24
3 inconnues
d’encastrement
Noeud C - 1
3 inconnues
d’encastrement
Noeud B - 2
3 inconnues
d’encastrement
Noeud B - 2
Ne = (3 équations x 7 systèmes) =21
3 inconnues
d’encastrement
Noeud D - 3
3 inconnues
d’encastrement
Noeud A - 1
D = 24 - 21 = 3
le système est hyperstatique de degré 3
D = Σ Li - 3x( Σ Ni + Σ Bi )
Li = Nombre d’inconnues de liaison
Ni = Nombre de noeuds
Bi = Nombre de barres
3 inconnues
d’encastrement
Noeud A - 1
3/ EXERCICES
Déterminer le degré d’hyperstaticité des systèmes suivants :
Elément 3
Elément 3
C
C
D
D
Elément 2
Elément 2
B
B
Elément 1
A
Elément 1
A
Elément 3
Elément 3
C
C
D
D
Elément 2
Elément 2
B
B
Elément 1
A
Elément 1
A
Elément 3
Elément 3
C
C
D
D
Elément 2
Elément 2
B
A
EdC Mécanique
B
Elément 1
A
2/2
Elément 1
Ch02meca.doc
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