Isostaticité des systèmes matériels - Degré d’hyperstaticité Le principe fondamental de la statique permet de vérifier les conditions d’équilibre d’un système matériel à partir de trois équations : - la résultantes des actions extérieures est nulle (2 équations), - le moment résultant des actions extérieures calculé en un point est nul (1 équation). Mathématiquement, ce système de trois équations permet au plus l’étude de trois actions extérieures inconnues. Ainsi, pour chaque système matériel isolé, il convient de définir le nombre d’actions extérieures inconnues, afin de vérifier si le système d’équation peut être résolu. 1/ NOTION D’HYPERSTATICITE Les conditions d’isostaticité se résument aux trois situations suivantes : Ne : Nombre d’équations du système matériel, Ni : Nombre d’inconnues extérieures au système, D : le degré d’hyperstaticité du système, D>0 Le système est hyperstatique (plus d’actions que nécessaire participent à l’équilibre du solide), l’application du PFS ne permet pas de résoudre le système complètement. Ni - Ne = D D=0 Le système est isostatique, l’application du PFS permet de résoudre le système complètement. D<0 Le système est un mécanisme, aucune solution ne permet au système d’être en équilibre. En pratique, les actions extérieures aux systèmes matériels dépendent des liaisons extérieures présentent. 2/ DEGRE D’HYPERSTATICITE Il s’agit d’étudier le potentiel cinématique d’une structure, en observant les liaisons présentent. Elément 3 C D Elément 2 B A EdC Mécanique Elément 1 La structure est décomposée en éléments simples : - 3 éléments ( trois barres), - 4 noeuds (quatre liaisons A, B, C et D). 1/2 Ch02meca.doc 3 inconnues d’encastrement Noeud C - 3 3 inconnues d’encastrement Noeud D - ext Ni = (3 inconnues x 8) = 24 3 inconnues d’encastrement Noeud C - 1 3 inconnues d’encastrement Noeud B - 2 3 inconnues d’encastrement Noeud B - 2 Ne = (3 équations x 7 systèmes) =21 3 inconnues d’encastrement Noeud D - 3 3 inconnues d’encastrement Noeud A - 1 D = 24 - 21 = 3 le système est hyperstatique de degré 3 D = Σ Li - 3x( Σ Ni + Σ Bi ) Li = Nombre d’inconnues de liaison Ni = Nombre de noeuds Bi = Nombre de barres 3 inconnues d’encastrement Noeud A - 1 3/ EXERCICES Déterminer le degré d’hyperstaticité des systèmes suivants : Elément 3 Elément 3 C C D D Elément 2 Elément 2 B B Elément 1 A Elément 1 A Elément 3 Elément 3 C C D D Elément 2 Elément 2 B B Elément 1 A Elément 1 A Elément 3 Elément 3 C C D D Elément 2 Elément 2 B A EdC Mécanique B Elément 1 A 2/2 Elément 1 Ch02meca.doc