TEMA 2: NÚMERO Y NUMERACIÓN 2.1.- INTRODUCCIÓN ¿Por qué número natural? Un mito: se admite, generalmente, que tienen, en un sentido filosófico, una existencia natural enteramente independiente del hombre. “Dios creó los números naturales; todos los demás son obra del hombre” (Kronecker). Después de examinar los fenómenos de la vida real y sus circunstancias, la mente humana ha elaborado, a partir de ellos, el concepto de número natural. Los números naturales son entes abstractos, independientes de los términos y símbolos que usamos para su representación. Sería interesante reflexionar sobre las etapas que atravesó el hombre en el pasado hasta llegar a la conceptualización del número natural. ¿Qué etapas posiblemente pasó el hombre hasta llegar al concepto de número natural? Uso de términos imprecisos: “muchos”, “pocos”, … Necesidad de cuantificar con exactitud. Descubrimientos del artificio de comparar objetos de un grupo con los de otro (correspondencia “uno-a-uno”). La correspondencia uno-a-uno condujo al uso de términos como “más”, “menos”, “tantos como”, … Para representar grandes números, el hombre haría marcas sobre un objeto (tarjas sobre un palo, por ejemplo). Uso de palabras que representaban a los grupos modelos, es decir, a los números abstractos. Salto intelectual, desconocido, desde la idea intuitiva de número hasta la idea de la condición de “dos” o “tres” en abstracto. ¿Cómo se llega a alcanzar la idea de número natural? ¿Cómo reconoce el niño la idea de “triplicidad cuantitativa” en varias colecciones integradas por tres elementos cada una? Una corriente de opinión: “El concepto de los números naturales es el resultado de una intuición primaria” (Poincaré). Otra corriente de opinión: “El conocimiento de los números naturales está basado totalmente en la lógica” (Russell, Whitehead). El desarrollo lógico lleva a la teorización matemática, usando nociones primitivas, axiomas y teoremas (se conoce como el desarrollo formal matemático). Cuando un matemático desarrolla un teorema, se vale de la intuición y de la comprensión perceptiva, aunque después puede utilizar perfectamente la lógica para demostrar estos teoremas. Habrá que explotar las experiencias perceptivas e intuitivas de los niños con el número, como medio para elaborar el concepto de número natural. Son numerosas las preguntas que subyacen para el profesor a la hora de intentar que sus alumnos construyan el número natural: ¿Cómo se construye el sentido de los números? ¿Para qué sirven los números? ¿En qué ocasiones es pertinente utilizar el número? ¿Qué tipos de problemas dan sentido a los procedimientos numéricos? ¿Qué dominios numéricos son los correctos, según el nivel del alumno? ¿Cómo nombrar, leer y escribir los números? 2.2.- EL CONCEPTO DE NÚMERO NATURAL SEGÚN PIAGET 2.2.1.- La teoría del número de Piaget. Piaget distingue tres tipos de conocimiento en el niño: El conocimiento físico: es el conocimiento de los objetos de la realidad exterior. Por ejemplo, el color y el peso de una ficha son propiedades físicas que pueden conocerse por la observación. El conocimiento lógico-matemático: se compone de relaciones construidas por cada individuo. Por ejemplo, si nos presentan dos fichas, una roja y otra azul, creemos que son diferentes gracias a los fundamentos del conocimiento lógico-matemático. Esa diferencia es una relación creada mentalmente por el niño que establece la relación entre los objetos. Para la abstracción de las propiedades de los objetos, Piaget utilizó el término de “Abstracción empírica”. Para la abstracción del número usó el término “Abstracción reflexionante”. El conocimiento social: los números pueden enseñarse por transmisión social (convencional). Para que un niño adquiera conocimientos sociales, es indispensable que reciba información de los demás. Las palabras “uno”, “dos”, “tres”, …, son ejemplos de conocimiento social, pero la idea subyacente, o sea, la idea de número, pertenece al conocimiento lógico-matemático, que es universal (2 + 3 es igual a 5 en todas las culturas). 2.2.2.- Tesis epistemológicas centrales. El trabajo práctico es más provechoso cuando se fundamenta en investigaciones básicas e imparciales. Una clase que fomente una actividad creativa y autónoma en el ámbito intelectual, también debe fomentarla en los ámbitos social y moral. El pensamiento matemático es producto de la actividad del sujeto sobre los objetos, mediante el doble mecanismo de la abstracción empírica, o simple, y la abstracción reflexionante, o constructiva. La abstracción empírica es la abstracción de las propiedades de los objetos, pero no se construyen relaciones entre ellos. Mediante ella, el sujeto extrae el conocimiento físico o conocimiento de los objetos de la realidad exterior (se realiza por observación). La abstracción reflexionante supone la elaboración, por parte del sujeto, de relaciones entre objetos (que no tienen existencia en la realidad, sino en la mente del individuo) y, mediante ella, el individuo construye el conocimiento lógico-matemático, por medio de la coordinación de sus propias acciones. Según Piaget, en los periodos sensoriomotor y preoperacional, ambos tipos de abstracción caminan unidas, siendo necesarias mutuamente. Posteriormente, la abstracción reflexionante se hace independiente. No es lo mismo descubrimiento que invención: Colón descubrió América (que ya existía); sin embargo, el teléfono no existía antes de su invención. Pues bien, el conocimiento lógico-matemático no es descubierto, sino inventado por cada niño. El número no puede ser descubierto desde el entorno, sino inventado por el niño. En cambio, los símbolos y signos los descubre por medio de la transmisión social. 2.2.3.- La formación del número. El número es la síntesis de dos tipos de relaciones entre objetos, que el niño establece por medio de la abstracción reflexionante: el orden y la inclusión jerárquica. La relación de orden entre objetos consiste en la necesidad lógica del niño de situar éstos en orden para asegurarse de que se cuentan correctamente. No importa el orden espacial de los objetos, sino que el niño sea capaz de ordenarlos mentalmente. La inclusión jerárquica es la capacidad del niño, cuando cuenta una serie de números, para incluir cada número en el siguiente, de tal modo que, en cada nivel jerárquico, haya sólo un elemento. O O O O O O seis (“sexto”, sólo el último elemento) ORDINAL. O O O O O O Seis (el número total de elementos de la colección) CARDINAL. 2.2.4.- El conocimiento social y los numerales. El conocimiento social lo constituyen el conjunto de convenciones elaboradas por la sociedad y cuya característica fundamental es su naturaleza arbitraria. No hay razones físicas o lógicas para que una flor se llame “flor”, o el número 3 se escriba “tres” y se represente por ese símbolo. El niño aprende los numerales y las palabras asociadas por transmisión social. Para adquirir conocimiento social, además de la información procedente de los demás, se ha de tener un marco de referencia lógico-matemático, para la asimilación y acomodación de un concepto. Socialmente hay un acuerdo generalizado de llamarle “7” a “3+4”, pero los conceptos de esos números no “existen” en el mundo social. Se puede enseñar socialmente a dar respuesta a esa suma, pero no enseñar directamente la relación que subyace a esa adición. 2.2.5.- Conclusiones. El conocimiento del número no es de naturaleza empírica. El niño lo construye mediante la abstracción reflexionante, a partir de su propia acción mental, estableciendo relaciones entre objetos. Los conceptos numéricos no pueden transmitirse. El número es una idea que el niño construye a partir de su propia capacidad de pensar. Sinclair, 1982. 2.3.- LA CONSTRUCCIÓN DEL NÚMERO A TRAVÉS DEL RECUENTO 2.3.1.- IMPORTANCIA DEL RECUENTO. Frente a la hipótesis empirista de que el número es el cardinal de una clase de conjuntos equipotentes, es decir, una propiedad de los conjuntos, no sólo Piaget se opone a esta idea, sino que Brousseau afirma que se da un verdadero efecto Jourdain. En este sentido, Freudenthal afirma: “En la génesis del concepto de número, el “número para contar” juega el primer y más importante papel”. 2.3.2.- LOS PRINCIPIOS DEL RECUENTO. 1. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA UNO-A-UNO. Consiste en asignar a cada elemento de una colección una sola palabra numérica, y a cada palabra numérica hacerle corresponder un solo elemento. Supone la coordinación de dos procesos: partición y etiquetación. La partición mantiene dos categorías de elementos u objetos: los que ya han sido contados y los que aún tienen que ser contados. Los objetos pasan de una categoría a otra por separación física o por señalamiento (externamente o interiorizando el acto de señalar). La etiquetación supone disponer de una serie de etiquetas, de modo que cada una de ellas corresponda con un objeto del conjunto contado. No importa, para este principio, si las etiquetas están, o no, repetidas dentro de la secuencia, o si se utiliza siempre en el mismo orden. Procedimiento: Hay que señalar una sola vez cada elemento y, al mismo tiempo que esto se hace, asignarle una única etiqueta. Errores. Según Gelman y Gallistel, una primera clasificación de errores al acometer este principio podría ser: Omisión de elementos. Repetición de elementos. Regresión, en el conteo, hacia algún elemento que ya ha sido contado. Dar por finalizado el conteo antes de haber tenido en cuenta todos los elementos de la colección. Seguir con el proceso de etiquetación cuando ya no quedan elementos que contar. Errores de asincronía (falta de coincidencia entre el elemento y la etiqueta). Fuson propone una clasificación más profunda de los errores del conteo, al resaltar en los niños, a la hora de contar, problemas de diferencias espacio-temporales entre las colecciones: la de los elementos y la de las etiquetas. Hay que establecer una correspondencia entre palabras emitidas en el tiempo y objetos situados en el espacio (las primeras carecen de coordenadas espaciales y los segundos, de una localización en el tiempo). Cuando se indica un elemento, intervienen tres actos: la etiqueta o palabra emitida en el tiempo, el objeto situado en el espacio y el señalamiento o nexo entre la etiqueta y el objeto. A continuación se describen los errores propuestos por Fuson: en la correspondencia temporal, en la espacial, duales y de repetición. A) ERRORES COMETIDOS EN LA CORRESPONDENCIA TEMPORAL. A.1.- No se etiqueta un objeto correctamente señalado: O O O O O SEÑALAMIENTO 1 2 3 4 A.2.- Se asignan múltiples correctamente señalado: etiquetas O O O O O 1 2 3 4 5 6 ETIQUETACIÓN a un objeto A.3.- Fraccionamiento de la etiqueta y señalamiento adecuado: O O O O O 1 2 TRE ES 4 A.4.- Se etiqueta un lugar en el que no hay elementos: O O O 1 2 3 4 O O 5 6 B) ERRORES COMETIDOS EN LA CORRESPONDENCIA ESPACIAL. B.1.- Omisión de objetos (no señalados ni etiquetados): O O 1 2 O O O 3 4 B.2.- Repetición de objetos, etiquetados varias veces: que O O O O O 1 2 3 4 5 6 son señalados y B.3.- Señalación y etiquetación de un lugar en el que no hay elementos: O O O 1 2 3 4 O O 5 6 C) ERRORES DUALES (QUE TRANSGREDEN TANTO A COMO B). C.1.- Señalamientos múltiples de un mismo objeto y asignación de una sola etiqueta: O O O O O 1 2 3 4 5 C.2.- Señalamientos múltiples de un mismo objeto sin asignación de etiquetas: O O O 1 2 3 O O 4 C.3.- Asignación de etiquetas sin señalamiento del objeto: O O O O O 1 2 3 4 5 D) ERRORES DE REPETICIÓN. D.1.- Invertir el conteo para contar nuevamente un elemento que ya había sido contado y seguir contando: O O O 1 2 3 O 4 O 6 5 7 D.2.- Recontar después de contar un elemento que había sido omitido y al que se regresa para corregir la omisión: O O O O O 1 2 5 3 6 4 7 Según un estudio internacional realizado en el año 2000, los niños con edades comprendidas entre los 3 y los 6 años cometen los mayores errores en los siguientes casos: 71 % : Error B.2. Repetición de objetos que son señalados y etiquetados varias veces. 66 % : Error B.1. Omisión de objetos (no señalados ni etiquetados). 58 % : Error A.1. No se etiqueta un objeto correctamente señalado. 2. EL PRINCIPIO DEL ORDEN ESTABLE. Existencia de una regularidad en la secuencia de los numerales al contar los objetos de una colección, aunque no sea el orden convencional. Los recuentos toman siempre la misma forma en una correspondencia uno-a-uno correcta. Los niños suelen utilizar listas idiosincrásicas, pero la secuencia de los numerales ha de ser repetible y estar integrada por etiquetas únicas. Una lista idiosincrásica es una forma de “canción” que utilizan los niños para “contar” de una manera personal, sin utilizar un vocabulario convencional, y de común acuerdo entre todos los que participan de esta “canción”. EJEMPLO DE LISTA IDIOSINCRÁSICA (Valdepeñas de Jaén): “Uni, dolis, telis, catolis, quilis, quileta, estando la reina sentá en su silleta, vino el rey apagó el candil, candil, candilón, cuenta veinte, que veinte son”. 3. EL PRINCIPIO DE CARDINALIDAD. La última palabra numérica del recuento tiene el significado especial de representar el número total de elementos de la colección. Si el niño no aplica correctamente los principios de correspondencia uno-a-uno y el de orden estable, no aplicará adecuadamente el de cardinalidad. Hay dos niveles en la adquisición de este principio: El primero corresponde a la regla mecánica de la cardinalidad (la regla del cuántos). En el segundo, el cardinal hace referencia a la colección como un todo. 4. EL PRINCIPIO DE ABSTRACCIÓN. Los principios anteriores se pueden aplicar a cualquier colección, independientemente de la naturaleza de sus elementos. En las primeras investigaciones se creía que el niño utilizaba las propiedades perceptivas y, más tarde, desarrollaba la capacidad de operar con propiedades más abstractas. Según lo anterior, el recuento se realizaría según las tres fases siguientes: Sobre objetos homogéneos, con propiedades perceptivas comunes (color, peso, forma, …). Sobre objetos homogéneos que pudiesen diferir en dichas propiedades, conservando, sin embargo, la misma identidad (formas geométricas, sin mezclar con animales, por ejemplo). Sobre objetos heterogéneos. Investigaciones posteriores distinguen cinco etapas en el desarrollo del principio de abstracción en el niño, según las unidades-objetos de recuento que éste crea: Unidades perceptivas: Unidades figurales: el niño adquiere la capacidad para sustituir los elementos que cuenta se encuentran en su campo perceptivo (cuenta con los dedos, a sus compañeros, …). como unidades contables a las unidades perceptivas por representaciones figurales de las mismas (imágenes visuales) no presentes de forma directa (contar los animales de un póster). Unidades motoras: son los actos motores (señalar, tocar, …) que acompañan al recuento de unidades perceptivas y figurales. cada palabra numérica, una vez coordinados los procesos anteriores, adquiere entidad por sí misma transformándose en un objeto contable. Unidades verbales: Unidades abstractas: cuando el niño puede prescindir de todo tipo de ayuda externa o vocal de su memoria y puede aplicar el recuento a distintos elementos y situaciones. 5. EL PRINCIPIO DE LA IRRELEVANCIA DEL ORDEN. El orden del recuento es irrelevante para determinar el cardinal de una colección. El dominio de este principio supone haber dominado previamente los principios de abstracción y de cardinalidad, pero no al revés. A juicio de Gelman y Gallistel (1978), el niño que actúa conforme a este principio sabe que: El ítem contado es una “cosa” y no un “1” o un “2” (Principio de Abstracción). Las etiquetas de conteo son asignadas de un modo arbitrario y temporal. Se obtiene el mismo cardinal, independientemente del orden del conteo. 2.3.3.- CONSTRUCCIÓN DE LA SECUENCIA NUMÉRICA. Teorías sobre esta construcción han surgido en varias ocasiones. La principal de ellas (Fuson, Richards y Briars, 1982) plantea la elaboración de la secuencia numérica como un proceso de diferenciación de las palabras dentro de la secuencia y de construcción de las relaciones entre estas palabras. Este proceso se dividiría, básicamente, en CINCO NIVELES. 1.- Nivel de secuencia (cuerda). En este nivel, las palabras numéricas aparecen indiferenciadas dentro de la secuencia, de manera que aquéllas sólo pueden enunciarse dentro del recitado de la misma, entendiendo ésta como un todo. Existe una correspondencia global entre la secuencia de palabras numéricas, las unidades contables y la secuencia de actos motores, sin la coordinación del principio de correspondencia uno-a-uno. Este nivel, en el niño, es anterior a los dos años y medio. 2.- Nivel de cadena sin roturas (cadena irrompible). Las palabras dentro de la secuencia numérica son ya unidades lingüísticas distinguibles de las demás, permitiendo la correspondencia uno-a-uno y, con ella, tanto el significado cardinal como ordinal del número. Sufre la limitación de que las relaciones entre dichas palabras son de carácter unidireccional y cada una de ellas está estrechamente relacionada con una secuencia verbal. De esta manera no se puede reproducir un trozo de la secuencia a partir de un número dado, sino que ha de recordarse toda la secuencia a partir del UNO. 3.- Nivel de cadena con roturas (cadena rompible). En este nivel aparecen dos nuevas destrezas: El recuento hacia delante a partir de un palabra numérica. El recuento hacia delante desde una palabra hasta otra. La primera, a partir de un número menor que diez, se adquiere entre los tres y cinco años, mientras que si el número de partida es una decena, puede demorarse hasta los seis años. La segunda se retrasa porque requiere el mecanismo adicional de recordar la palabra de llegada y compararla continuamente con las palabras alcanzadas en el recuento. 4.- Nivel de cadena numerable. Se alcanza, junto con el siguiente nivel, fuera de la edad propia de la Educación Infantil. Este nivel posee la característica específica de poder numerar trozos de la secuencia numérica, lo que da lugar a: Contar desde un número hasta otro, averiguando el número de palabras entre ambos números. Contar un número específico de palabras a partir de una determinada. La dificultad añadida consiste en incorporar al recuento un procedimiento de rastreo del número de palabras contadas. 5.- Nivel de cadena bidireccional. Se caracteriza por una automatización de la secuencia hacia delante y hacia atrás, sin que la dirección afecte al procedimiento de recuento. Además, existe un completa facilidad para cambiar la dirección del recuento con rapidez y flexibilidad. RESUMEN: Construcción de unidades perceptivas Se pasa del recuento de objetos concretos Nivel de cadena sin roturas Construcción de unidades verbales Hasta que las propias palabras son tomadas como objetos contables Nivel de cadena con roturas Para concluir siendo símbolos de carácter abstracto Construcción de unidades abstractas Cadena bidireccional 2.5.- LA CONSTRUCCIÓN DEL SENTIDO DE LOS NÚMEROS El niño construye sus conocimientos numéricos apoyándose en lo que DOUADY denomina “la dialéctica útil-objeto”. Es decir, primeramente los números se usan como útiles eficaces en la resolución de problemas, para, después, ser identificados como objeto de estudio en sí mismos. 2.5.1.- Tipos de problemas que dan sentido a los procedimientos numéricos: Problemas que ponen en juego dos colecciones: Comparo las colecciones A y B; construyo la B con tantos como la de A; construyo la B con el doble, triple, … que la de A; completo la B para que tenga tantos como la de A, … Problemas de anticipación: se trata de problemas que serán más tarde tratados por el cálculo, como, en particular: Problemas ligados al desplazamiento sobre una pista graduada: ¿dónde se llegará si se avanzan o retroceden “n” pasos?; ¿cuántas casillas y en qué sentido es necesario desplazarse para alcanzar tal graduación? Problemas donde intervienen dos o más colecciones, especialmente cuando se trata de anticipar el número de objetos de la colección obtenida o, incluso, el número de objetos a adjuntar a una colección conocida para obtener la cantidad deseada. Problemas en los que una colección conocida se encuentra separada en dos subcolecciones. Problemas de división de una colección en colecciones equipotentes, conociendo, o bien el número de partes a realizar, o bien el valor de una parte, especialmente cuando se trata de anticipar o de controlar el resultado de la división. Problemas de cambios: se realizan cambios de objetos de valor diferente como, por ejemplo, para tener tres cartas rojas es necesario dar una carta azul. Es necesario notar que estas situaciones son delicadas para muchos alumnos, pues admiten mal el que “uno no quiere decir siempre uno” y que, así, se puede tener menos monedas pero más dinero. Procedimientos: Que afloran más bien el recuento: se apoyan en el recuento o el sobrerrecuento (cuenta a partir de un número dado). Que afloran más bien el cálculo: el alumno se da cuenta de que puede acudir a saberes numéricos anteriores, utilizando resultados memorizados o conocimientos sobre los números y las transformaciones que pueden haber experimentado (técnicas de cálculo, descomposiciones,…). 2.5.2.- Los dominios numéricos. El dominio de los números “visualizables”: números hasta el 4 o el 5. Procedimientos del tipo “recuento mental” (recuento, sobrerrecuento y descuento). Procedimientos que acuden a resultados memorizados (se ve el poder de la anticipación por medio del número). El dominio de los números “familiares”: hasta el 12, 16, 19, …, según los niños. El procedimiento que prima es “la canción” (recitación del nombre de los números) para dominarlos rápidamente. También se puede destacar el procedimiento tipo “cálculo”. El dominio de los números “frecuentes”: son los números del calendario (hasta el 30, aproximadamente). A destacar que es en este dominio donde se sitúa el número de alumnos de la clase. El procedimiento de la canción puede prolongarse fácilmente hasta aquí. Es, sobre todo, en este dominio, en el que los alumnos van a encontrar la ocasión de hacer sus primeras constataciones sobre las regularidades de la serie escrita de los números. El dominio de “los grandes números”. Papel un poco “mítico” de estos números para el niño. Los procedimientos de enumeración o de escrituras ligadas a la numeración escrita toman todo su interés y sentido. Contrariamente a los dominios precedentes, donde las designaciones orales son las primeras, aquí dominan las designaciones escritas. Es en este dominio donde los algoritmos de cálculo escrito se vuelven necesarios. 2.5.3.- Designación de los números. Se distinguen tres grandes fases en el aprendizaje de la designación de los números. Fases flexibles que dependen, a la vez, de los propios niños, del dominio numérico utilizado y de las actividades que se les proponen. Primera fase: una propuesta global y de acceso oral. Palabras aisladas: se designan cantidades por medio de palabras, sin enlace entre ellas (el día del mes, número de alumnos, reparto de material, …). Palabras ordenadas: se refuerza la significación y memorización de estas palabras y se colocan en una serie ordenada. Se recitan “cantinas numéricas” (recitar a partir del 1 y pararse en un número convenido, recitar intercalando palabras, …). La serie escrita: se pasa de una palabra “dicha” a una escritura en cifras y no en letras de la recta numérica. Las cifras escritas: números etiquetados individualmente cuando aparecen “aislados”. Segunda fase: aspecto algorítmico de la escritura. Se trata de facilitar la toma de conciencia de la organización de la serie escrita: cuando un niño es capaz de recitar “28, 29, 30, 31, …” ya sabe que puede apoyarse en ciertas regularidades de los números. Al final de esta fase los niños son capaces de escribir (sin poder leerlos siempre) series de números a partir de no importa cuál, o bien, se puede conseguir que digan que entre 30 y 40 todos los números empiezan por “3”, sin por ello dar una significación a ese “3”. Esta fase, al final de la Educación Infantil y comienzos de la Primaria, no puede encontrar su plena justificación más que con el uso de números relativamente importantes: el niño que no utiliza más que los 20 o 30 primeros números, casi no puede observar las regularidades. Tercera fase: el agrupamiento por diez. Esta fase tiene por objetivo poner en evidencia los agrupamientos por diez. A diferencia de los visto en la fase anterior, la atención de los niños no solamente se fija en el orden de los números y los algoritmos de la serie escrita, sino sobre la significación de las cifras en función de su posición en la escritura del número: ponemos en juego las ideas de agrupamiento por diez y el cambio. Para comprender que el “3” de 31 no tiene el mismo valor que el “3” de 23, es necesario tener la ocasión de comprender que cuando se cambian diez elementos por UNO, este UNO vale siempre DIEZ. Dura tarea para los niños y para sus profesores… Al final del aprendizaje, el niño debe poder “ver” en el número 254, los doscientos cincuenta y cuatro elementos, como las veinticinco decenas, o las dos centenas que lo componen. 2.5.4.- Utilidades de los números Los números como memoria de la cantidad. Comprender que la enumeración es un medio experto para construir una colección equipotente a una colección dada fuera de su presencia. Se trata, pues, de aprender a utilizar un instrumento de pensamiento para prever, controlar y habituarse a confrontar percepciones visuales y respuestas intuitivas a los frutos de su razonamiento (así, por ejemplo, una vez que los elementos cambian de lugar, su cantidad no se modifica ya que no se quita ni se añade). Los números para comparar. Comprender que dos cantidades, y, por tanto, dos números, son comparables. Se puede pasar de las relaciones dicotómicas (mucho/poco, pequeño/grande, …) al establecimiento de una doble relación: más que / menos que; más pequeño que / más grande que. Comprender que dado un número, se pueden situar todos los demás con relación a él. Comprender que para comparar dos colecciones se puede utilizar la comparación numérica. Los números para repartir. Comprender que una colección puede dividirse y que esta división se puede traducir completamente con los números. Hay, por tanto, que establecer relaciones entre todas las partes. El interés de las actividades de reparto o de distribución es el acceso a cantidades más importantes. En efecto, lo que se sabe de las cantidades pequeñas permite dar sentido a las cantidades más grandes: 9 puede ser una cantidad global no accesible para una imagen mental, pero asequible por 4 y 5, o por 4, 4 y 1. El reparto equitativo en dos favorece la aproximación a los dobles. Los números para calcular. Comprender que una cantidad puede resultar de la composición de varias cantidades. Comprender que se puede operar sobre números para prever el resultado de una transformación (sobre colecciones o sobre una pista graduada). Poner en práctica el sobrerrecuento para resolver problemas aditivos.
