Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas Laboratorio de electromagnetismo Práctica #5 Descarga de un capacitor Equipo #5 Amezcua Cárdenas Luis Aidan Hernández Flores Oscar Hernández Ramírez Oscar Jorge Profesor: Julio David Cruz Ruiz Fecha de realización: jueves 14 de octubre del 2021 Fecha de entrega: jueves 27 de octubre del 2021 Secuencia 1TM31 2.- Resumen En esta quinta practica la cual lleva el nombre de “Descarga de un capacitor” el cual tiene como objetivo estudiar la variación de la diferencia de potencial con respecto al tiempo y la relación entre el tiempo de descarga y la diferencia de potencial del capacitor. Para esto es graficar los datos tomando como variable independiente al tiempo y la diferencia de potencial como la variable dependiente, y la comparamos con la recta ajustada (coordenadas de la recta ajustada (X=0.0, Y=6.35) y (X=0.014, Y= -0.887)) y observamos que esta no presenta un comportamiento lineal por lo que es necesario realizar un cambio de variable el cual será el Z= ln∆V y con los nuevos dato volvemos a graficar los datos y graficamos la recta ajustada (coordenadas de la recta ajustada (X=0.0, Y=2.13) y (X=0.014, Y=-0.996)) y comparándola con la gráfica esta ya presenta un comportamiento lineal, con este cambio variable se genera una ecuación pero esta no es la ley física experimental por lo que es necesario aplicar la leyes de los exponentes y propiedades de los logaritmos por lo que aplicamos la exponencial para anular el logaritmo natural por lo cual la ley física será esta ∆V = e-233.28 V/s t e2.13V . Para obtener el valor experimental de la resistencia en cual es un objetivo, comparamos la le física experimental con la ecuación teórica, despejamos la resistencia y sustituimos los valores y el resultado es Rexp = 91.75Ω. Con el valor obtenido de resistencia experimental y el valor teórico calculamos el error experimental el cual nos dio de 8.26% Para calcular el valor de la capacitancia experimental realizamos la misma comparación que resistencia solo que esta ves despejamos a la capacitancia y nos da un valor de Cexp = 4.2866x10-5, ya con eso y el valor experimental calculamos el error experimental el cual nos dio de 8.79% Ya por últimos calculamos el error experimental de la diferencia potencial inicial, para esto se consideró como el valor teórico del tiempo como 0 por lo cual nos da un valor es de ∆V0 exp = 8.4148 V y el valor teórico, por lo cual el valor del error experimental es de 7.13% 3.- Marco teórico Descarga de un capacitor Capacitor o Condensador Un condensador eléctrico es un dispositivo formado por dos placas metálicas separadas por un aislante llamado dieléctrico. Un dieléctrico o aislante es un material que evita el paso de la corriente La energía eléctrica se puede almacenar en un dispositivo común, que se llama capacitor o condensador, que hay en casi todos los circuitos eléctricos. Los capacitores se usan como almacenes de energía. La capacidad depende de las características físicas del condensador: ➢ Si el área de las placas que están frente a frente es grande la capacidad aumenta ➢ Si la separación entre placas aumenta, disminuye la capacidad ➢ El tipo de material dieléctrico que se aplica entre las placas también afecta la capacidad ➢ Si se aumenta la tensión aplicada, se aumenta la carga almacenada. La energía almacenada en un capacitor proviene del trabajo necesario para cargarlo. La energía se guarda en el campo eléctrico entre sus placas. Entre placas paralelas el campo eléctrico es uniforme. Circuito RC Se llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un resistor. Dicho circuito puede representar cualquier conexión de resistores y capacitores cuyo equivalente sea un solo resistor en serie con un solo capacitor. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia. En la siguiente imagen se muestra un circuito RC conectado a una fuente de voltaje continuo. El interruptor tiene como objetivo cargar y descargar al capacitor. El proceso inicia cuando el interruptor se conmuta a la posición “a” en el tiempo t=0 [s] y se considera que el capacitor se encuentra descargado. La descarga segura del condensador depende en gran medida de su diseño. Los condensadores de poliestireno se caracterizan por una alta estabilidad y resistividad del aislamiento, así como un límite superior de temperatura de funcionamiento bastante bajo. La descarga segura del condensador es un proceso parecido a la carga. Cuando se aplica voltaje a los terminales del condensador, que tienen una capacidad específica, el condensador Q se acumula en el condensador, que es el producto de la capacidad y el voltaje. La unidad de capacidad del condensador es faradio. Proceso de descarga Para descargar ahora al capacitor. Se cumple en este proceso que 𝑽𝒄 = 𝑽𝒓 es decir: El signo negativo en la ecuación representa la reducción de carga que ocurre en el Capacitor. La solución de la ecuación será: Entonces la corriente en el circuito será: El tiempo de la descarga del condensador será igual al producto del valor de resistencia conectado en serie al condensador y la capacidad. Después de este tiempo, el voltaje del elemento debería caer a un tercio del voltaje inicial, y su descarga completa debería ocurrir en un tiempo igual a cinco veces al del producto de la resistencia y de la capacidad. Cuanto más pequeña sea la resistencia que conectamos al sistema, más rápido se descargará el condensador. 3.- Desarrollo Tabla de datos del tiempo y diferencia de potencial Al hacer los cálculos notamos que el fenómeno no es lineal y no cumple los criterios de linealidad T vs ΔV ΔV (v) Descarga de un capacitor T(s) ΔV(v) 0.0 7.85 0.001 7.14 0.002 5.66 0.003 4.46 0.004 3.53 0.005 2.79 0.006 2.22 0.007 1.77 0.008 1.42 0.009 1.13 0.01 0.90 0.011 0.72 0.012 0.58 0.013 0.47 0.014 0.37 9.00 8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 -1.00 0.0 -2.00 0.0 0.0 0.0 No es lineal Tabla 1 comportamiento no es lineal Coordenadas de la recta ajustada (X=0.0, Y=6.35) y (X=0.014, Y= -0.887) Ecuación de la recta Gráfico 1 Capacitor ∆𝑉 = 𝑚𝑡 + 𝑏 𝑟 = −0.9326 Procedemos a hacer un cambio de variable para este experimento el cambio será dado por 𝑧 = ln 𝜘 y volveremos a determinar si el fenómeno es lineal. Tabla 2 cambio de variable T vs Z 2.50 2.00 1.50 1.00 Z (v) Descarga de un capacitor T(s) Z(v) 0.0 2.06 0.001 1.96 0.002 1.73 0.003 1.49 0.004 1.26 0.005 1.02 0.006 0.79 0.007 0.57 0.008 0.35 0.009 0.12 0.01 -0.10 0.011 -0.32 0.012 -0.54 0.013 -0.75 0.014 -0.99 0.50 0.00 0.000 -0.50 0.005 0.010 -1.00 -1.50 Es lineal Gráfico 2 cambio de variable, es lineal. Coordenadas de la recta ajustada (X=0.0, Y=2.13) y (X=0.014, Y=-0.996) 0.015 Ecuación de la recta 𝑍 = 𝑚∗ 𝑡 + 𝑏 ∗ 𝑟 ∗ = −0.9996 𝑚∗ = −223.28 𝑏 ∗ = 2.13 𝑣 𝑣 𝑠 Comprobamos que el fenómeno es lineal en esta ocasión, ahora procederemos a establecer la ley física experimental. ln ∆𝑉 = 𝑚∗ 𝑡 + 𝑏 ∗ Aplicamos leyes de los exponentes y propiedades de los logaritmos: ln ∆𝑉 𝑚∗ 𝑡+𝑏∗ 𝑒 =𝑒 ∗ ∗ ∆𝑉 = 𝑒 𝑚 𝑡 𝑒 𝑏 Ecuación para los voltajes 𝑑𝑞 𝑞 + =0 𝑑𝑡 𝑐 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑅 𝑑𝑞 𝑞 =− 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑞 1 =− 𝑑𝑡 𝑞 𝑅𝐶 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑞 𝑑𝑡 1 ∫ = −∫ =− ∫ 𝑑𝑡 𝑞 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑄0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑦 𝑞 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡 𝑞 𝑑𝑞 1 𝑡 ∫ =− ∫ 𝑑𝑡 𝑅𝐶 0 𝑄 𝑞 Ley física experimental ln ∆𝑉 = 𝑚∗ 𝑡 + 𝑏 ∗ ∗ ∗ ∆𝑉 = 𝑒 𝑚 𝑡 + 𝑒 𝑏 𝑣 ∆𝑉 = 𝑒 −233.28𝑠 𝑡 𝑒 2.13𝑣 Del resultado de la ecuación obtenemos que 𝑅 0 𝑞 ln 𝑞| =− 𝑄0 1 𝑅𝑐 𝑡 𝑡| ln 𝑞 − ln 𝑄0 = − ln ( 𝑞 𝑄0 𝑞 𝑄0 = )=− 𝑡 𝑅𝐶 𝑡 − −𝑒 𝑅𝐶 𝑡 𝑞(𝑡) = 𝑄0 𝑒 −𝑅𝐶 0 𝑡 𝑅𝐶 𝑡 𝑞(𝑡) = 𝑄0 𝑒 −𝑅𝐶 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎: 𝑡 ∆𝑉(𝑡) = ∆𝑉0 𝑒 −𝑅𝐶 Comparación de ecuaciones 1 ∆𝑉 = 𝑒 −𝑅𝐶𝑡 ∆𝑉0 𝑇𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 ∗ ∗ ∆𝑉 = 𝑒 𝑚 𝑡 𝑒 𝑏 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 1 𝑚∗ = − 𝑅𝐶 Procedemos a calcular el valor experimental de la resistencia del circuito, para poder calcular el error experimental vamos a ocupar la siguiente formula, donde ya conocemos el valor de C el cual es el valor de la capacitancia al igual que conocemos el valor de 𝑚. 1 𝑚∗ 𝑐 1 𝑅𝑒𝑥𝑝 = − 𝑣 (−233.28 𝑠 ) (4.7𝑥10−5 𝐹) 1 𝑅𝑒𝑥𝑝 = − 𝑣 𝑐 (−233.28 ) (4.7𝑥10−5 ) 𝑠 𝑣 1 𝑅𝑒𝑥𝑝 = − 𝑐 (−233.28 𝑣) (4.7𝑥10−5 ) 𝑠 1 𝑅𝑒𝑥𝑝 = − (−233.28 𝑣)(4.7𝑥10−5 𝐴) 1 𝑅𝑒𝑥𝑝 = − 𝑣 −0.0109 𝐴 𝑅𝑒𝑥𝑝 = −(−91.74Ω) 𝑅𝑒𝑥𝑝 = 91.74Ω 𝑅𝑒𝑥𝑝 = − ahora que conocemos el valor experimental podemos proceder a calcular el error experimental de la resistencia. |𝑉𝑇 − 𝑉𝐸 | 100% 𝑉𝑇 |(100Ω) − (91.74Ω)| 𝐸𝐸 = 100% (100Ω) |8.26Ω| 𝐸𝐸 = 100% (100Ω) 𝐸𝐸 = (0.0826)100% 𝐸𝐸 = 8.26% 𝐸𝐸 = Ahora nos toca realizar las operaciones para determinar el valor experimental de la capacitancia, utilizando la siguiente formula. 𝐶𝑒𝑥𝑝 = − 1 𝑣 (−233.28 𝑠 ) (100Ω) 1 =− 𝑣 𝑣 (−233.28 𝑠 ) (100 𝑠 ) 𝐶𝑒𝑥𝑝 = − 𝐶𝑒𝑥𝑝 1 𝑚∗ 𝑅 1 𝐶𝑒𝑥𝑝 = − 𝐶𝑒𝑥𝑝 𝐶𝑒𝑥𝑝 𝐶𝑒𝑥𝑝 𝐶𝑒𝑥𝑝 𝑣 𝑣 (100 𝐴) (−233.28 𝑠 ) 1 =− 𝑐 −23328 𝑣 1 =− −23328 𝐹 = −(−4.2866𝑥10−5 𝐹) = 4.2866𝑥10−5 𝐹 Al conocer el valor experimental ya podemos realizar el error experimental de la capacitancia |𝑉𝑇 − 𝑉𝐸 | 100% 𝑉𝑇 |(4.7𝑥10−5 𝐹) − (4.2866𝑥10−5 𝐹)| = 100% (4.7𝑥10−5 𝐹) |4.134𝑥10−6 𝐹| = 100% (4.7𝑥10−5 𝐹) = (0.0879)100% = 8.79% 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 𝐸𝐸 𝐸𝐸 𝐸𝐸 Ahora como último paso procederemos a calcular el error experimental de la diferencia de potencial inicial, esto considerando el valor teórico a la diferencia de potencial al tiempo 𝑡 = 0 ∗ ∆𝑉0 𝑒𝑥𝑝 = 𝑒 𝑏 ∆𝑉0 𝑒𝑥𝑝 = 𝑒 2.13𝑣 ∆𝑉0 𝑒𝑥𝑝 = 8.4148 𝑣 Error experimental |𝑉𝑇 − 𝑉𝐸 | 100% 𝑉𝑇 |(7.85 𝑣) − (8.41 𝑣)| 𝐸𝐸 = 100% (7.85 𝑣) |−0.56 𝑣| 𝐸𝐸 = 100% (7.85 𝑣) 𝐸𝐸 = (0.0713)100% 𝐸𝐸 = 7.13 % 𝐸𝐸 = 5.- Conclusión Para esta práctica podemos concluir que se cumplieron los objetivos ya que se logró determinar y comprender la variación y relación que tiene el tiempo en que se tarda de descarga con la diferencia de potencial, ya que el capacitor no se descarga de manera inmediata, sino que este tarda, y no se muestra un comportamiento lineal durante la descarga con respecto al tiempo por lo que es necesario hacer un cambio de variable, aplicando un logaritmo natural con respecto a la diferencia de potencial para que esta tenga un comportamiento lineal. Concluyendo que si hay una mayor diferencia de potencial mayor será su tiempo de descarga. Y por último logramos calcular el valor experimental de la resistencia con el de la capacitancia usando la ley física experimental y comparándola con la ley teórica, con esos valores calculamos sus errores experimentales y estos muestran un valor menor al 10%, por lo que los valores son confiables. 6.- Referencias http://profesores.dcb.unam.mx/users/franciscompr/docs/Tema%203/3.8%20Circuit o%20RC.pdf https://www.tme.com/ve/es/news/library-articles/page/22156/Como-descargar-elcondensador-de-forma-segura/ Física para ciencias e ingeniería/ décima edición/ volumen 2/ Editorial CENGAGE/ Autores Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr.
