Series de potencias


n!

n1
n
n  1
Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo

 a n x n , en donde a n  R
o
Es decir

 a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ....+ a n x n + ...
0
Por ejemplo

 x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ...+ x n + .. .
0
en donde todos los a n valen 1, o

1
 n!
n
x = 1+ x +
0
y todos sus a n =
1
n!
x2
2!
+
x3
3!
1
+ ...+
n!
x n + ...
.
Es interesante saber cuáles son los valores de x  R para los que las respectivas series funcionales se
convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores

hacemos x=0,
 x n es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se
0
convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente.
Pero para x = 1/2 es
1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ...+
1
2n
que es una serie geométrica de razón q =
1
2
+ ...
<1
y su suma S =

Más aún,
1-q
= 2 con lo que la serie es convergente.
 x n es una serie geometrica de razón x y será convergente si | x |< 1 , es decir si x  I ,
0
siendo
1
I =  x  R / -1 < x < 1 .
Si se cumple esta condición:
1
1 + x + x 2 + x 3 + ...+ x n + ...=
1
1-x
Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una función. En este caso
a f(x) =
1
1-x
, pero sólo en el intervalo (-1;1).
Gráficamente
f(x) =
1
1-x
sólo definida en la parte marcada gruesa por
la serie
Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en
1+ 1+
1
2!
+
1
3!
+ ...+
1
n!
+ ...= e
Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de
convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica
convergente.
Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.

En el caso de
 x n se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R
0
= 1.

Se observa que el intervalo I está centrado en el origen. Siempre es asi para el I de
 an xn.
0
Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:

Sea la serie de potencias
 a n x n . Formemos la serie de valores absolutos, es decir
0

 | a n x n |= | a 0 |+ | a 1 x|+ | a 2 x 2 |+ ...+ | a n x n |+ ...=
0
2
= | a 0 |+ | a 1 || x|+ | a 2 || x 2 |+ ...+ | a n || x n |+ ...
que es una serie de términos positivos que si

converge arrastrará la convergencia de
0

La convergencia de
 a n x n que no necesariamente es de términos positivos.
 |a n x n|
la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si lim
n
0
|a n+1|| x n+1|
an
x
n
<1
será convergente.
Desarrollando
a n+ 1 x x+ 1
lím
n  
an
x
=
n
lím
n
a n+ 1
an
| x|< 1
y entonces la serie converge para
1
| x|<
n   a n+1
a n+ 1
lí m
n  a n
Llamamos R al lí m
an
ó | x|  lí m
an
n   a n+ 1
y además I =  x  R / -R < x < R  .

Para

xn
todos los valores de an=1, R  lím
an
n   a n+ 1
0

= 1 , en cambio para

0
1
n!
xn
es
1
R =
an
lí m
= lí m
n   a n+ 1
n 
n!
1
=
lí m n + 1 = 
n 
y el I = R
(n + 1 )!
Series de McLaurin y Taylor:
Sea la fórmula de McLaurin
f(x) = f(0) + f (0)x
+

siendo R
n+ 1 (x) =
n
Es decir f(x) =

0
f (0) x 2
f (n+ 1 ) (z)
(n + 1 )!
2!
x n+ 1
+ ...+
f (n) (0)
x n + R n+ 1 (x)
n!
con 0 < z < x.
f (n) (0)
x n + R n+ 1 (x) .
n!
Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión


0
f (n) (0)
f (n) (0)
f (0) 2
n = f(0) + f (0)x +
x
x + ....+
x n + ...

n!
2!
n!
Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello
deberá cumplirse que:
1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y
3
2) lím R
n 
n+ 1 (x) =
0.
Ejemplo: Sea f(x) = ex
ex = 1+ x +
Veremos si lím R
n 
e x n+ 1
x2
2!
+
x3
3!
+ ...+
xn
n!
+
e z x n+ 1
(n + 1)!
n+ 1 (x) = 0 .
z
x n+ 1
z
lím
= e lí m
n   (n + 1)!
n   (n + 1)!
= e z .0 = 0
que lí m
x n+ 1
n   (n + 1)!
=0.
Ejercicio:
Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx; f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV(x)= senx ; fIV(0)=0
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando
f
( n 1 )
R n+ 1 =
 sen x
 
 co s x
pero en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente
(n+ 1 ) n+ 1
[ senx ] z
x
senx = x -
x3
3!
+
con lo que lí m R
n 
(n + 1)!
x5
5!
-
x7
7!
+
x9
9!
+ ...+ (-1 )
n+ 1 =
n+ 1
lí m
n 
(n+ 1) n+ 1
[ senx ] z
x
(n + 1)!
x 2n+ 1
(2n + 1)!
Estudiemos el intervalo de convergencia
1
R 
an
(2n - 1)!
2
lí m
 lí m
 lí m 4 n + 2n   y por lo tanto I = R
1
n   a n+1
n
n
(2n + 1)!
4
=0
y finalmente