Edición anotada para el profesorado
PRIMARIA
6
Matemáticas
El libro Matemáticas para el 6.o curso de Primaria
es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en
el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana
Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.
En su elaboración ha participado el siguiente equipo:
TEXTO Y EDICIÓN
José Antonio Almodóvar Herráiz
Jordi Bosch Argelich
Ana de la Cruz Fayos (Libro anotado)
Jesús Escudero Martín
Pilar García Atance (Libro anotado)
Silvia Marín García (Libro anotado)
Magdalena Rodríguez Pecharromán
Domingo Sánchez Figueroa
Manuel Santiago Espejo
ILUSTRACIÓN
Agustín Comotto
Carlos Díaz Herrera
Eduardo Leal Uguina
EDICIÓN EJECUTIVA
José Antonio Almodóvar Herráiz
DIRECCIÓN DEL PROYECTO
Domingo Sánchez Figueroa
DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN
EDITORIAL DE PRIMARIA
Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero
Cuadro de contenidos
Unidades
Información y actividades
1. Números naturales.
Potencias
• Números de hasta nueve cifras
• Expresión polinómica de un número
• Operaciones combinadas
• Raíz cuadrada
• Potencias
• Números romanos
Tratamiento de la información. Gráficos lineales
2. Divisibilidad
• Múltiplos y divisores
• Criterios de divisibilidad
• Cálculo de todos los divisores
3. Números enteros
• Números enteros
• Suma y resta de enteros
• Comparación de enteros
• Coordenadas cartesianas
Tratamiento de la información. Proyecto con gráficos lineales
4. Ángulos y
circunferencia
• Tipos de ángulos
• Simetría y traslación
• Semejanza
5. Fracciones.
Operaciones
• Números mixtos
• Suma de fracciones
• Fracciones equivalentes
• Resta de fracciones
• Reducción a común denominador • Multiplicación de fracciones
• Comparación de fracciones
• División de fracciones
Tratamiento de la información. Histogramas
6. Números decimales.
Operaciones
• Comparación y aproximación
• Suma y resta de decimales
7. División de
números decimales
• División de decimales
• Problemas con decimales
• Obtención de cifras en el cociente • Expresión decimal de una fracción
Tratamiento de la información. Proyecto con histogramas
8. Medida
• Longitud, capacidad y masa
• Superficie
• Volumen con un cubo unidad
• El metro cúbico. Submúltiplos
9. Proporcionalidad
y porcentajes
• Proporcionalidad
• Problemas de porcentajes
• Porcentajes
• Escalas: planos y mapas
Tratamiento de la información. Análisis de gráficos de barras y lineales
10. Área de figuras planas
• Base y altura
• Área de paralelogramos
• Área del triángulo
11. Cuerpos geométricos.
Volumen
• Poliedros
• Volumen de prismas y pirámides
• Cuerpos redondos
• Volumen de cuerpos redondos
Tratamiento de la información. Análisis de pictogramas e histogramas
12. Probabilidad y
estadística
• Frecuencia absoluta y relativa
• Media y moda
• Números primos y compuestos
• M.c.m. y m.c.d.
• Problemas de m.c.m. y m.c.d.
• La circunferencia. Longitud
• El círculo y las figuras circulares
• Posiciones relativas con rectas
• Multiplicación de decimales
• Estimación de operaciones
• El metro cúbico. Múltiplos
• Volumen y capacidad
• Sistema sexagesimal
• Área de polígonos regulares
• Área del círculo
• Área de figuras planas
• Mediana y rango
• Probabilidad
Solución de
problemas
Cálculo mental
Saber hacer
Matemáticas
manipulativas
• Pasos para resolver
un problema
• Sumar 1.001, 2.001, 3.001...
• Restar 1.001, 2.001, 3.001...
• Elegir un
presupuesto
• Juega con
las potencias
• Relacionar
enunciado y
resolución
• Sumar 999, 1.999, 2.999...
• Restar 999, 1.999, 2.999...
• Organizar un
campamento
• Juega con
los múltiplos
• Sacar conclusiones
de un enunciado
• Sumar por compensación (I)
• Sumar por compensación (II)
• Interpretar
datos
geográficos
• Juega con
los números enteros
• Elaborar tablas
de informaciones
• Restar por compensación (I)
• Restar por compensación (II)
• Realizar
un diseño
• Juega con
los ángulos
• Extraer datos de
la resolución
• Multiplicar por decenas, centenas
y millares
• Dividir entre decenas, centenas
y millares
• Estudiar
la pureza de
una joya
• Juega con
las fracciones
• Cambiar los datos
• Multiplicar decimales por 10, 100...
• Dividir decimales entre 10, 100...
• Analizar
la Bolsa
• Juega con
los decimales
• Explicar qué
se ha calculado
• Multiplicar un número natural por 2
• Dividir un número natural entre 2
• Entender la
etiqueta de
un producto
• Juega con
las divisiones
• Elegir preguntas que
se pueden resolver
• Multiplicar un número natural por 5
• Dividir un número natural entre 5
• Analizar
datos
hidrológicos
• Juega con
la medida
• Escribir la pregunta
que se responde
con unos cálculos
• Multiplicar un número natural por 11
• Multiplicar un número natural por 9
• Interpretar
información
científica
• Juega con
los porcentajes
• Anticipar una
solución aproximada
• Multiplicar un número natural por 4
• Dividir un número natural entre 4
• Diseñar
envases
• Juega con
las áreas
• Elegir la solución
correcta
• Calcular el 10 % de un número
• Calcular el 50 % de un número
• Trabajar con
densidades
• Juega con
cuerpos
geométricos
• Determinar varias
soluciones
• Calcular el 20 % de un número
• Calcular el 25 % de un número
• Realizar
un control
de calidad
• Juega con la
probabilidad
Antes de empezar
Material de aula
Dominó
de operaciones
con decimales.
Cálculo mental
Pequeños problemas
Multiplica un número por 11
Calcula mentalmente
3 11
35
3 10
350
1 35
385
14 3 11
300 3 11
17 3 11
400 3 11
20 3 11
510 3 11
26 3 11
630 3 11
12 3 9
230 3 9
23 3 9
340 3 9
35 3 9
780 3 9
45 3 9
890 3 9
1. Mónica camina 15 km cada día.
¿Cuánto caminó del día 2
al día 12 de marzo?
2. Cada caja tiene 15 pinturas.
Marta y sus ocho amigos
han comprado una caja cada uno.
¿Cuántas pinturas han comprado
en total?
Multiplica un número por 9
39
36
3 10
360
2 36
324
3. Este año Juana ha actualizado
11 veces los 45 ordenadores
de su empresa. ¿Cuántas
actualizaciones ha realizado?
SU GER E N CI A S
Extraiga una ficha
del dominó y pida
a los estudiantes que
digan la fracción decimal
asociada al número
decimal que aparece
en ella.
Varias multiplicaciones
Escribe la multiplicación en la que:
Uno de sus factores es 11 y su resultado es 495.
Uno de sus factores es 9 y su resultado es 378.
¿Qué sabes ya?
Fracciones decimales
Multiplicación de decimales
Una fracción decimal tiene como denominador
la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000…
Toda fracción decimal puede expresarse como
número decimal, y viceversa.
Para multiplicar dos decimales se multiplican como
si fueran naturales y en el resultado se separan,
con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras
decimales como tengan entre ambos.
27
5 0,27
100
LibroMedia
Multiplicación
de decimales.
3,8 5
2 ceros
2 cifras decimales
1
38
10
1 cifra decimal
1 cero
4, 2 3 ◀ 2 cifras decimales
3
2,4 ◀ 1 cifra decimal
16 92
84 6
1 0, 1 5 2 ◀ 3 cifras decimales
Expresa cada fracción decimal como un número decimal y, después, multiplica.
LibroMedia
Fracción decimal
y multiplicación.
9
3 4,7
10
14
39
100
714
39
1.000
42
3 0,74
10
175
33
100
64
3 2,8
1.000
5
3 11
100
27
3 11
1.000
3.042
3 5,42
1.000
164
Soluciones
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 4
¿Qué sabes ya?
Varias multiplicaciones
11 3 45 5 495
28/02/2019 14:49:16
9 3 42 5 378
Pequeños problemas
1 15 3 11 5 165 km caminó.
2 15 3 9 5 135 pinturas han comprado.
3 11 3 45 5 495 actualizaciones ha hecho.
1
0,9 3 4,7 5 4,23
0,14 3 9 5 1,26
0,714 3 9 5 6,426
4,2 3 0,74 5 3,108
1,75 3 3 5 5,25
0,064 3 2,8 5 0,1792
0,05 3 11 5 0,55
0,027 3 11 5 0,297
3,042 3 5,42 5 16,48764
Material de aula
Lámina de aula
de Fracciones
y decimales.
S U GER EN CIAS
9
Proporcionalidad
y porcentajes
Tiempo para leer
Tiempo para hablar
Seguro que, si piensas en un animal del desierto,
el primero que te viene a la mente es el camello
o el dromedario. Estos animales ayudaban
a los pueblos nómadas para realizar largos
viajes debido a la capacidad que tienen para
recorrer grandes distancias sin beber agua.
• El 30 % de una cantidad significa que dividimos
esa cantidad en 100 partes iguales
y tomamos 30 de ellas. ¿Qué otros porcentajes
aparecen en el texto de la izquierda?
Mientras que una persona moriría por
deshidratación si perdiera más de un 12 % de
su peso, los camellos pueden llegar a perder el
25 % de su peso y sobrevivir. En la Antigüedad
se pensaba que sus jorobas estaban llenas de
agua y por eso resistían sin beber. En realidad,
su contenido es grasa, que les sirve de reserva
de energía.
Coloree en una cuadrícula
de la lámina partes con
distintos colores. Después,
pida a los estudiantes
que digan qué fracción
decimal corresponde
a cada color y que
la enuncien como
«de 100 cuadritos hay …
coloreados de …».
• Imagina que una persona pesa 100 kg.
Según el texto, ¿cuántos kilos puede perder
esa persona como máximo antes de morir
por deshidratación?
• ¿Cuántos kilos podría perder un camello
que pesara 100 kg como máximo?
¿Y si pesara 200 kg? ¿Y 500 kg?
LibroMedia
El IVA.
• Escribe otros dos porcentajes y explica
qué significan.
165
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 5
Tiempo para hablar
12 % y 25 %
12 % de 100 5 12
Puede perder 12 kg como máximo.
04/03/2019 10:55:45
25 % de 100 5 25
Podría perder 25 kg.
25 % de 200 5 50
Podría perder 50 kg.
25 % de 500 5 125
Podría perder 125 kg.
R. L.
Proporcionalidad
En la pastelería de Marisa, una tarta de manzana cuesta 3 €.
¿Cuánto costarán 5 tartas de manzana?
LibroMedia
Proporcionalidad.
En la tabla aparece el número de tartas y su precio.
33
1
Precio (€)
3
2
3
4
5
:3
6
9
12
15
Observa que en la tabla podemos pasar de los números de
una fila a los de la otra multiplicando o dividiendo entre 3.
SU GER E N CI A S
Es importante que los
estudiantes comprendan
que la relación entre las
magnitudes debe ser
matemática, no basta con
que si una crece crezca
la otra, sino que ese
crecimiento debe venir
dado por una relación
matemática que se cumple
en todo momento. Pídales
que aporten ejemplos
propios.
Número
de tartas
Por eso, las series de números 1, 2, 3, 4, 5 y 3, 6, 9, 12, 15
son dos series de números proporcionales y la tabla es
una tabla de proporcionalidad.
Esta mañana, Marisa ha vendido 8 tartas de manzana en
una hora. ¿Podemos saber cuántas tartas venderá en 4 horas?
No podemos saberlo, porque en cada hora no venderá siempre
el mismo número de tartas. Por eso, el número de tartas
que vende no es proporcional al número de horas.
1
Lee y contesta.
Teresa camina todos los días 3 km.
– ¿Puedes calcular cuántos kilómetros recorre en 5 días?
¿Podrías hallar los kilómetros que recorre en una semana?
– ¿Son proporcionales el número de kilómetros y el número de días?
Jorge mide 140 cm y pesa 36 kg.
– ¿Puedes saber su peso cuando medía 70 cm?
¿Podrías saberlo cuando mida 150 cm?
LibroMedia
Proporcionalidad.
– ¿Son proporcionales la altura y el peso? ¿Por qué?
2
Copia y completa en tu cuaderno las tablas de proporcionalidad.
1
34
4
LibroMedia
Tabla de
proporcionalidad.
3
5
7
8
9
12
:4
35
:…
3…
30
18
36
42
54
60
3
5
7
8
9
:5
15
5
3…
2
4
12
7
15
9
24
:…
30
166
Soluciones
1
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 6
3 3 5 5 15. Recorre 15 km.
3 3 7 5 21. Recorre 21 km.
Son proporcionales porque todos los
días recorre el mismo número
de kilómetros.
No podemos saberlo porque la altura
y el peso no son proporcionales.
28/02/2019 14:49:18
2
1
3
5
7
8
9
34
4
12
20
28
32
36
5
3
6
7
9
10
36
30
18
36
42
54
60
:4
35
:6
33
2
3
5
7
8
9
10
15
25
35
40
45
4
5
7
8
9
10
12
15
21
24
27
30
:5
:3
9
3
Copia y completa en tu cuaderno cada tabla de
proporcionalidad.
S U GER EN CIAS
Cuatro amigos han comido de menú y han pagado
48 €. ¿Cuánto costarán 5 menús? ¿Y 8 menús?
N.º de menús
1
4
5
8
3 ...
: ...
48
Precio (€)
Calcula primero el
precio de un menú.
En un restaurante han servido 6 cajas de helados para
los postres. Han sido 108 helados en total.
¿Cuántos helados habrá en 4 cajas?
¿Y en 8 cajas?
N.º de cajas
3 ...
1
6
4
8
N.º de helados
: ...
Para resolver
los problemas muestre
la utilidad de hallar,
en primer lugar, el
valor de la magnitud
dependiente asociado
a 1 unidad de la magnitud
independiente (método
de reducción a la unidad).
Señale la importancia de
comprobar que la solución
obtenida tiene sentido.
Problemas
4
Resuelve.
RETO
Un grupo de 4 amigos va al cine y las entradas
les han costado 24 €. ¿Cuánto pagaría en total
un grupo de 7 amigos por sus entradas?
Abel ha colocado 96 pasteles en bandejas iguales.
En total ha utilizado 8 bandejas. ¿Cuántas
bandejas necesita para colocar 108 pasteles?
¿Cuántos pasteles colocará en 7 bandejas?
Tres amigos pagaron
600 € por alojarse
4 noches en un hotel.
¿Cuál fue el precio por
persona y noche?
¿Cuánto habrían pagado
por 3 noches?
Lucía lleva en su furgoneta una carga de 900 kg
en 45 cajas iguales. ¿Cuántas cajas tendrá
que llevar para cargar 1.140 kg?
EM
OCIONES
Carmela compra 4 bollos iguales por 2,80 €
y 6 zumos iguales por 7,20 €. ¿Cuánto tendrá
que pagar si compra 6 bollos y 8 zumos?
Piensa y contesta.
David y Míriam son hermanos. David tiene 120 € y Míriam 60 €.
Quieren hacer a su madre un regalo que cuesta 30 €.
¿Cuánto crees que debería poner cada uno para el regalo?
¿Por qué piensas eso?
LibroMedia
Proporcionalidad.
Tortillas.
¿Coincide tu respuesta con la de otros compañeros o compañeras?
167
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 7
3
1 menú F 12 €. Se multiplica por 12.
5 menús F 60 €. 8 menús F 96 €
108 : 6 5 18. Se multiplica por 18.
1 caja F 18 helados
6 cajas F 108 helados
4 cajas F 72 helados
8 cajas F 144 helados
4
28/02/2019 14:49:20
2,80 : 4 5 0,70 €/bollo; 7,20 : 6 5 1,20 €/zumo
6 3 0,70 1 8 3 1,20 5 13,80
Tendrá que pagar 13,80 €.
Reto
600 : 3 5 200; 200 : 4 5 50. Cuesta 50 € por persona y noche.
24 : 4 5 6; 6 3 7 5 42. Pagarían 42 €.
50 3 3 3 3 5 450. Pagarán 450 € por las 3 noches entre los 3.
96 : 8 5 12; 108 : 12 5 9. Necesita 9 bandejas.
7 3 12 5 84. Colocará 84 pasteles.
Emociones
900 : 45 5 20 kg/caja; 1.140 : 20 5 57. Tendrá 57 cajas.
R. L.
Porcentajes
A una función de teatro han ido 200 personas.
Material de aula
Dominó triangular
de porcentajes.
De ellas, 35 de cada 100, es decir,
35
eran jóvenes.
100
Las fracciones que tienen como denominador 100
se llaman porcentajes o tantos por ciento.
Fracción
35
100
SU GER E N CI A S
5
Porcentaje
Lectura
35 %
35 por ciento
Un porcentaje es una fracción que tiene como denominador 100.
Extraiga al azar una ficha
del dominó de porcentajes
y elija uno de los tres
valores escritos en ella.
Los estudiantes deberán
expresarlo de todas las
formas posibles asociadas
a un porcentaje. También
puede pedirles que lo
representen en la lámina
de fracciones y decimales.
1
2
Copia y completa la tabla.
Porcentaje
10 %
29 %
Lectura
10 por ciento
Fracción
10
100
Número decimal
0,1
Significado
10 de cada 100
39 por ciento
47
100
0,7
6 de cada 100
Cuenta y escribe el porcentaje que hay de cada color.
EJEMPLO
LibroMedia
Porcentajes. Tabla.
▶
20
5 20 %
100
¿Cuánto suman todos los porcentajes?
3
Piensa si las siguientes interpretaciones de las oraciones
son correctas y corrige las que no lo sean.
El 40 % de los visitantes eran de Japón.
Interpretación: hubo 100 visitantes y 40 eran de Japón.
De cada 100 helados vendidos, 75 son de fresa.
Interpretación: el 75 % de los helados vendidos son de fresa.
LibroMedia
Porcentajes.
Colores.
Fueron al viaje 100 personas, siendo 80 de ellas mujeres.
Interpretación: el 40 % de los viajeros eran hombres.
El 10 % de las aves eran loros, el 5 % águilas y el resto búhos.
Interpretación: el 85 % de las aves eran búhos.
168
Soluciones
1
29 %
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 8
39 %
47 %
70 %
28/02/2019 14:49:24
6%
29 por ciento 39 por ciento 47 por ciento 70 por ciento 6 por ciento
29
100
39
100
47
100
70
100
6
100
0,29
0,39
0,47
0,7
0,06
29 de
cada 100
39 de
cada 100
47 de
cada 100
70 de
cada 100
6 de
cada 100
24
18
12
, amarillo:
, azul:
,
2 Verde:
100
100
100
17
9
100
naranja:
, morado:
, total:
51
100
100
100
3
De cada 100 visitantes, 40 eran de Japón.
Correcta.
Fueron al viaje 100 personas, 80 mujeres y 20 hombres:
el 20 % eran hombres.
Correcta.
9
4
Escribe para cada dibujo la fracción decimal, el porcentaje,
el número decimal y la expresión en cuartos correspondiente.
RETO
Material de aula
Lámina de aula
de fracciones
y decimales.
¿Cuál es mayor?
Calcula y comprueba.
El 40 % de 500.
El 20 % del 20 %
de 500.
5
Calcula.
HAZLO ASÍ
Calcular un porcentaje de un número es lo mismo que
hallar la fracción de ese número.
12 % de 500 5
S U GER EN CIAS
12
12 3 500
6.000
de 500 5
5
5 60
100
100
100
Realice actividades
similares a la actividad 4
partiendo de dibujos
en la lámina de aula.
Trabaje porcentajes
usuales como 10 %, 20 %,
40 %, 60 %, 80 %.
El 12 % de 500 es igual a 60.
El 6 % de 50.
El 8 % de 150.
El 15 % de 860.
Problemas
6
Resuelve.
El 15 % de las 800 personas de un pueblo juegan al ajedrez.
¿Cuántas personas del pueblo juegan al ajedrez?
En un parque hay 600 árboles. El 30 % son pinos.
¿Cuántos árboles no son pinos?
Aurora tiene 80 cómics y Martín tiene 90.
El 30 % de los cómics de ambos son de superhéroes.
¿Cuántos cómics de superhéroes tiene cada uno?
LibroMedia
Porcentajes.
Dibujos.
En un estanque hay 850 peces de colores variados. Un 36 %
son azules y un 50 % son verdes. ¿Cuántos peces hay
de otros colores? ¿Qué porcentaje del total representan?
O
Piensa, calcula y contesta.
EN
SAMIENT
El 20 % de las 900 socias de un gimnasio llegan en bicicleta.
De ellas, un 50 % son jubiladas. ¿Cuántas jubiladas llegan
al gimnasio en bicicleta?
LibroMedia
Porcentajes.
Cálculo.
María tiene 300 fichas. Son rojas 240 fichas y, de ellas, 60 son triángulos.
¿Podemos decir que el 20 % de las fichas de María son triángulos rojos?
¿Es correcto decir que el 20 % de las fichas no son de color rojo?
P
169
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 9
4
25
1
5 25 % 5 0,25 5
100
4
50
2
5 50 % 5 0,5 5
100
4
28/02/2019 14:49:27
75
3
5 75 % 5 0,75 5
100
4
100
4
5 100 % 5 1 5
100
4
5
3 12 129
6
15 % de 800 5 120. Juegan al ajedrez 120 personas.
70 % de 600 5 420. No son pinos 420 árboles.
30 % de 80 5 24. Tiene 24 cómics.
30 % de 90 5 27. Tiene 27 cómics.
100 % 2 (36 % 1 50 %) 5 14 %
14 % de 850 5 119. Hay 119 peces de otros colores.
20 % de 900 5 180; 50 % de 180 5 90. Llegan 90 en bicicleta.
Reto
40 % de 500 5 200 . 20 % de 20 % de 500 5 20
Pensamiento
20 % de 300 5 60 F El 20 % son triángulos rojos.
80 % de 300 5 240 F El 20 % no son rojas.
Problemas de porcentajes
Bernardo compra para su tienda de electrodomésticos
un lote de televisores a 750 € cada uno. Quiere ganar
en cada televisor un 16 % del precio de compra.
¿Cuál debe ser el precio de venta de cada televisor?
LibroMedia
Problemas con
porcentajes.
1.º Calcula el 16 % del precio de compra del televisor.
16 % de 750 5
16 3 750
12.000
5
5 120
100
100
2.º Suma el porcentaje obtenido al precio del televisor.
750 1 120 5 870
SU GER E N CI A S
Deje claro que en los
problemas de porcentajes
es muy importante
considerar siempre sobre
qué número estamos
calculando el porcentaje,
sobre todo en el caso
de porcentajes sucesivos.
Anímelos a comprobar
siempre si la solución
obtenida tiene sentido.
El precio de venta de cada televisor debe ser de 870 €.
1
Fíjate en los precios sin rebaja y completa la tabla en tu cuaderno.
TODOS LOS ARTÍCULOS
REBAJADOS UN 25 %
48 €
Precio sin
rebaja
36 €
Euros que
se rebajan
Precio final
Camisa
Jersey
56 €
Zapatillas
Pantalón
20 €
LibroMedia
Problemas
de porcentajes.
Objetos.
Cazadora
52 €
2
LibroMedia
Problemas
de porcentajes.
Datos académicos.
Resuelve.
Un tren tenía 150 plazas y el billete costaba
40 €. El nuevo modelo tiene un 14 % más
de plazas y el billete cuesta un 10 % menos.
¿Cuántas plazas hay en el nuevo modelo?
¿Cuánto cuesta cada billete?
En una exposición de pintura hay
450 cuadros. El 28 % de los cuadros
son de paisajes, el 16 % de plantas
y el resto de ciudades. ¿Cuántos cuadros
de ciudades hay en la exposición?
Serafín quiere comprar una nevera que cuesta
500 € más el 21 % de IVA. Tiene ahorrados
600 €. ¿Puede comprarla?
¿Cuánto le falta o le sobra?
En un club de alpinismo hay inscritas
200 personas. El 40 % de ellas son hombres
y, de los hombres, un 20 % son jubilados.
¿Cuántos hombres jubilados hay en el club?
170
Soluciones
1
Camisa
Jersey
Zapatillas
Pantalón
Cazadora
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 10
28/02/2019 14:49:31
2
Precio
sin rebaja
20
36
48
52
56
Euros que
se rebajan
5
9
12
13
14
Precio
final
15
27
36
39
42
14 % de 150 5 21; 21 1 150 5 171. Hay 171 plazas.
10 % de 40 5 4; 40 2 4 5 36. El billete cuesta 36 €.
21 % de 500 5 105; 105 1 500 5 605
No puede comprarla, le faltan 5 €.
100 % 2 (28 % 1 16 %) 5 56 %
56 % de 450 5 252. Son de ciudades 252 cuadros.
20 % de 40 % de 200 5 16. Hay 16 hombres jubilados.
9
3
Calcula cada porcentaje.
RETO
HAZLO ASÍ
Halla el 30 % del 40 %
de 500. El resultado
que obtienes, ¿qué
porcentaje es de 500?
Juan tiene 120 €. ¿Qué porcentaje del total son 24 €?
Con los datos del problema construye y completa
la tabla de proporcionalidad. Fíjate en que 120 : 24 5 5.
35
24
…
24
20
120
100
120
100
:5
S U GER EN CIAS
El cálculo del porcentaje
que supone un número
sobre un total puede
plantear dificultades.
Señale la importancia
de calcular en primer
lugar la razón
de proporcionalidad
y aplicarla después
en sentido inverso para
hallar el número que
nos falta.
24 € son un 20 % del total del dinero de Juan.
La sala de un museo alberga una exposición de insectos.
En total hay 90 insectos y 45 de ellos son mariposas.
¿Qué porcentaje de los insectos son mariposas?
Ernesto ha comprado un huerto con 65 árboles frutales.
De todos los árboles, 13 son manzanos.
¿Qué porcentaje de los árboles son manzanos?
Marina está leyendo un libro de 120 páginas.
Tienen fotos 30 páginas. ¿Qué porcentaje de
las páginas tienen fotos?
Valentina ha recibido en su tienda un total de
140 teléfonos móviles. De ellos, 14 no tienen cámara.
¿Qué porcentaje de los teléfonos no tienen cámara?
LibroMedia
Problemas
de porcentajes.
Encuesta.
O
Calcula y contesta.
¿Qué tarro de mermelada contiene
más gramos de azúcar? ¿Y menos?
EN
SAMIENT
La compañía aérea A ha puesto en venta 240 billetes,
y de ellos 24 tienen una oferta. La compañía B ha puesto
en venta 140 billetes, 28 de ellos con oferta. ¿Qué
compañía tiene más porcentaje de billetes con oferta?
P
Peso
500 g
Peso
250 g
Azúcar
12 %
Azúcar
5%
Peso
720 g
Azúcar
144 g
¿Qué tarro de mermelada tiene mayor
porcentaje de azúcar?
LibroMedia
Problemas
de porcentajes.
Botones.
¿Cuántos gramos de azúcar contiene
un tarro de 1 kg de mermelada que
tiene el mismo porcentaje de azúcar
que el tarro morado?
171
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 11
3
28/02/2019 14:49:33
90 : 45 5 2; 100 : 2 5 50; 50 %
Reto
65 : 13 5 5; 100 : 5 5 20; 20 %
30 % de 40 % de 500 5 60
120 : 30 5 4; 100 : 4 5 25; 25 %
0,3 3 0,4 5 0,12 5 12 %
140 : 14 5 10; 100 : 10 5 10; 10 %
Pensamiento
240 : 24 5 10; 100 : 10 5 10; 10 %
1.er tarro: 12,5 g 2.º tarro: 60 g 3.er tarro: 144 g
140 : 28 5 5; 100 : 5 5 20; 20 %
Tiene más porcentaje de billetes en oferta la compañía B.
El tercer tarro tiene más gramos de azúcar y el primero menos.
144
El tercero tiene mayor porcentaje:
5 0,2 5 20 %
720
20 % de 1.000 g 5 200. Contiene 200 g.
Escalas: planos y mapas
El ayuntamiento de una ciudad ha recibido
el plano del nuevo parque infantil.
El plano está hecho a escala 1:450.
¿Cuáles son las medidas reales de la zona verde?
LibroMedia
Escalas: mapas
y planos.
ZONA VERDE
La escala 1:450 indica que 1 cm del plano
representa 450 cm en la realidad.
Para calcular las medidas reales de
la zona verde sigue estos pasos:
Material de aula
Lámina
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
MERENDERO
1.º Mide en el plano el largo y el ancho
de la zona verde en centímetros.
Largo
7 cm
Ancho
ZONA DE CIRCUITO DE
JUEGOS BICICLETAS
3,5 cm
2.º Calcula las medidas reales, sabiendo que
está hecho a escala 1:450.
SU GER E N CI A S
Represente en la lámina
de aula un plano de la
clase a escala, obteniendo
con los estudiantes las
medidas de cada objeto.
Pregúnteles después
cómo cambiarán estas
si variamos a una escala
mayor o menor que la que
hemos usado.
7 cm 3 450 5 3.150 cm 5 31,5 m
3,5 cm 3 450 5 1.575 cm 5 15,75 m
La zona verde mide 31,5 m de largo y 15,75 m de ancho.
La escala de un plano o un mapa indica la relación que hay entre las medidas del plano o del mapa
y las medidas reales.
1
Explica el significado de estas escalas.
Escala 1:75
2
LibroMedia
Escala.
Largo real
Ancho real
3
Escala 1:250
Escala 1:2.000
Mide con una regla en el plano de arriba y calcula las siguientes medidas reales.
El largo y el ancho del merendero.
El largo y el ancho del circuito.
El perímetro de la zona de juegos.
El perímetro de todo el parque.
Lee y escribe la escala a la que está dibujado cada plano.
PRESTA ATENCIÓN
Expresa las dos medidas
en la misma unidad.
LibroMedia
Escala gráfica.
Escala 1:1.500
EJEMPLO
1 cm representa 4 m
Plano A
1 cm del plano son 75 cm en la realidad.
Plano B
1 cm del plano son 8 cm en la realidad.
Plano C
1 cm del plano son 23 m en la realidad.
Plano D
1 cm del plano son 5 km en la realidad.
1 cm representa 400 cm
Escala 1:400
172
Soluciones
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 12
1 R. M. 1:75 F 1 cm en el mapa representa 75 cm en la realidad.
2
Largo: 3,5 3 450 5 1.575 cm 5 15,75 m
Ancho: 2 3 450 5 900 cm 5 9 m
Perímetro: 14 3 450 5 6.300 cm 5 63 m
Largo: 5 3 450 5 2.250 cm 5 22,5 m
Ancho: 1,5 3 450 5 675 cm 5 6,75 m
Perímetro: 7 3 4 3 450 5 12.600 cm 5 126 m
28/02/2019 14:49:37
3 Plano A
Escala 1:75
Plano C:
Escala 1:2.300
Plano B
Escala 1:8
Plano D
Escala 1:500.000
9
Problemas
4
Observa la escala y calcula el perímetro real.
Escala 1:200
Escala 1:80
5
LibroMedia
Escala y perímetro.
Observa la escala del mapa y calcula la distancia real
que recorre un avión en cada trayecto.
HAZLO ASÍ
En los mapas, las escalas
son gráficas. En la escala de
este mapa cada barrita
de 1 cm representa
175 km en la realidad.
S U GER EN CIAS
Pida a los estudiantes
que elaboren problemas
propios donde se usen
las escalas. Después,
resuelva algunos de ellos
en común, aprovechando
para resolver posibles
dudas.
Para calcular la distancia real
entre Madrid y Zaragoza:
Distancia en el mapa: 1,6 cm.
1,6 3 175 5 280
Distancia real: 280 km.
6
Madrid - Barcelona
Badajoz - Sevilla - Madrid
Valencia - Bilbao
Zaragoza - Madrid - A Coruña
Piensa y resuelve.
Dibuja una escala gráfica en la que 1 cm son 720 km.
¿A qué escala numérica equivaldría esa escala gráfica?
¿Cómo lo has averiguado?
O
Calcula y contesta.
Tenemos un rectángulo de 4 cm de largo y 3 cm de alto en un plano
a escala 1:100. Si fotocopiamos ese plano al 50 %, ¿cuál será
la escala del nuevo plano que obtenemos?
EN
SAMIENT
¿Cuánto medirá en un plano una carretera de 4 km
a escala 1:20.000? ¿Y en un plano a escala 1:200.000?
P
173
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 13
4 Triángulo: (3 1 4 1 5) 3 80 5 960 cm
Rectángulo: (2 3 2 1 4,5 3 2) 3 200 5 2.600 cm
5
Madrid-Barcelona: 2,9 3 175 5 507,5 km
Valencia-Bilbao: 2,7 3 175 5 472,5 km
Badajoz-Sevilla-Madrid: (1 1 2,3) 3 175 5 577,5 km
Zaragoza-Madrid-A Coruña: (1,6 1 2,9) 3 175 5 787,5 km
6
0
720 1.040 2.160
kilómetros
28/02/2019 14:49:39
720 km 5 72.000.000 cm F 1:72.000.000
4 km 5 400.000 cm
A escala 1:20.000 F 400.000 : 20.000 5 20 cm
A escala 1:200.000 F 400.000 : 200.000 5 2 cm
Pensamiento
50 % de 1 5 0,5
Si antes 1 cm en el plano representaba 100 cm en la realidad,
ahora 0,5 cm del plano representan 100 cm de la realidad.
0,5:100 o lo que es igual, 1:200.
COMPRUEBO MI PROGRESO
1
LibroMedia
Compruebo
mi progreso.
6
Piensa y contesta si son o no
proporcionales y explica por qué.
Los kilos de naranjas y su precio.
¿Qué es mayor: un 60 % de 800
o un 80 % de 600?
La longitud de un coche y su peso.
¿Qué es mayor: un 50 % de 400
o un 70 % de 200?
La altura de una persona y su edad.
Los litros de agua que contiene
una garrafa y el peso de esa agua.
Un 80 % de 500, ¿es lo mismo
que el 50 % del 30 % de 500?
El tiempo de juego de un partido
de fútbol y los goles metidos.
2
3
4
3
5
49
63
70
48
68
76
10
20
5
Mide con una regla y calcula la longitud
de cada cinta en la realidad.
Escala 1:200
5
14
4
7
Completa estas tablas de proporcionalidad
en tu cuaderno.
SU GER E N CI A S
El trabajo cualitativo
sobre la comprensión
del concepto de
porcentaje es muy
importante. Realice
actividades similares
a la actividad 6,
para profundizar
en ese sentido. Señale
que el porcentaje es
equivalente a calcular la
fracción de un número
y que hay que tener
siempre en cuenta
sobre qué número
estamos calculando
esa fracción.
El 45 % de las 300 piezas de un juego
son rojas. ¿Son rojas más o menos
de la mitad de las piezas?
Explica, mediante un ejemplo, qué es
una tabla de proporcionalidad.
2
Contesta. Después, calcula y comprueba
tus respuestas.
8
Observa la escala a la que está hecho
el plano y calcula el perímetro real de
cada instalación.
0
Calcula estos porcentajes.
5 % de 800
15 % de 40
8 % de 1.050
25 % de 640
Lee y elige en cada caso la mejor oferta.
TE REGALAMOS
10 g del producto
o
el 10 % del peso
de tu compra.
¡TÚ ELIGES!
25
50
75
metros
ZONA DE
JUEGOS
ZONA
VERDE
AUDITORIO
¿Qué zona tiene mayor perímetro? Indica
el perímetro real de cada una.
¿Cuánto costará vallar la zona verde
si el metro de valla cuesta 65 €?
Alrededor de la zona de juegos
se quieren poner, además de
las farolas de las esquinas,
farolas alrededor cada 5 metros.
¿Cuántas farolas se necesitan?
Si compras 500 g de castañas.
Si compras 50 g de castañas.
Si compras 100 g de castañas.
174
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 14
Soluciones
1
Sí No No Sí No
28/02/2019 14:49:42
4
40 84 6 160
5
510 g , 550 g F La 2.ª oferta.
60 g . 55 g F La 1.ª oferta.
2 R. L.
3
110 g 5 110 g F Da igual.
2
4
5
7
9
10
14
28
35
49
63
70
3
5
10
12
17
19
80 % de 500 5 400
12
20
40
48
68
76
45 % , 50 %. Son rojas menos de la mitad.
6
60 % de 800 5 80 % de 600 5 480
50 % de 400 5 200 . 70 % de 200 5 140
50 % de 30 % de 500 5 75
9
Problemas
9
10 Piensa y resuelve.
Resuelve.
Una máquina fabrica 200 piezas en 1 hora
y 40 minutos. ¿Cuántas piezas fabrica en
50 minutos? ¿Y en 10 minutos? ¿Cuánto
tiempo tardará en fabricar 250 piezas?
¿Y 400 piezas?
En un jardín se han plantado 25 claveles
chinos, 50 petunias y el resto han sido
pensamientos. En total se han plantado
250 flores. ¿Qué porcentaje de cada clase
de flores se ha plantado?
Número de habitantes
en 2016
Villares
Robledal
Sauceda
3.500
5.000
4.200
En 2017, la población de todos
los pueblos creció un 10 %. ¿Cuántos
habitantes había en cada uno?
En 2018, la población se redujo con
respecto a 2016 un 8 %, un 10 %
y un 5 %, respectivamente. ¿Cuántos
habitantes había en cada pueblo?
S U GER EN CIAS
Pida a los estudiantes
que traigan las recetas
de algunos platos que
les gusten mucho,
especificando la cantidad
de cada ingrediente y
el número de personas.
Después, resuelva algunas
actividades en común
similares a la actividad
11 para trabajar los
contenidos de la unidad.
11 Resuelve.
Hoy es el cumpleaños de Gustavo y quiere hacer
una tarta de queso. En la receta que ha encontrado,
aparecen los ingredientes para 4 personas.
TARTA DE QUESO
(4 personas)
– 24 galletas
– 100 g de mantequilla
– 300 g de queso
– 250 cl de leche condensada
– 200 cl de nata
– 4 guindas
¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita para preparar
la tarta para 8 personas? ¿Y para 12 personas? ¿Y para 10 personas?
De los 20 invitados, 10 van a clase con Gustavo y el 45 % son chicas.
¿Qué porcentaje de los invitados son compañeros de Gustavo?
¿Cuántas de las chicas son, como máximo, compañeras de clase de Gustavo?
¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno.
¿Sé resolver problemas con porcentajes?
¿Sé usar la proporcionalidad en la vida cotidiana?
¿Manejo las escalas en mapas y planos?
Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.
175
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 15
7 Roja: 3 3 200 5 600 cm
Amarilla: 4 3 200 5 800 cm
8
9
28/02/2019 14:49:44
Azul: 3,5 3 200 5 700 cm
Verde: 4,5 3 200 5 900 cm
Juegos: 10 3 25 5 250 m Verde: 14 3 25 5 350 m
Auditorio: 12 3 25 5 300 m
10
Villares: 3.850
Robledal: 5.500
Sauceda: 4.620
Villares: 3.220
Robledal: 4.500
Sauceda: 3.990
11
Ga
M
Q
L
N
Gu
350 3 65 5 22.750. Costará 22.750 €.
8 pers.
48
200 g
600 g
500 cl
400 cl
8
Alto: 75 m, ancho: 50 m
Se necesitan 9 1 9 1 14 114 5 46 farolas más.
12 pers.
72
300 g
900 g
750 cl
600 cl
12
10 pers.
60
250 g
750 g
625 cl
500 cl
10
100 piezas en 50 min.
20 piezas en 10 min.
250 piezas en 125 min.
400 piezas en 200 min.
El 50 %. 45 % de 20 5 9 F Como máximo, 9 chicas.
SABER HACER
Interpretar información científica
LibroMedia
Interpretar
información
científica.
Desde el espacio, al contemplar nuestro
planeta, es fácil darse cuenta de que la mayor
parte de su superficie está ocupada por agua,
aproximadamente un 70 % del total.
Se han realizado muchos estudios científicos
sobre el agua y su distribución en la esfera
terrestre.
Para el ser humano, el agua es algo vital
y necesario en el día a día. Ahora bien,
la inmensa mayoría del agua de nuestro
planeta no es dulce, sino salada, y está en
los mares y océanos, constituyendo el 94 %
del agua total del planeta.
Agua subterránea
71,2 %
Agua superficial
y atmosférica
0,5 %
Hielo
28,3 %
Agua atmosférica
3,3 %
SU GER E N CI A S
Comente en común
las aportaciones de los
estudiantes en la actividad
2. Analice la corrección
científica en el uso de los
porcentajes y los cálculos
que hayan realizado.
Indique que la suma
de todos los porcentajes
debe ser igual al total.
Lagos
96,2 %
En el gráfico puedes ver el reparto del resto
de agua, el agua dulce. Fíjate en cómo
un pequeñísimo porcentaje de ella está en
la atmósfera y en la superficie y, dentro
de esta, muy poca se encuentra en los ríos.
Ríos 0,5 %
1
Responde a estas preguntas.
Explica qué quiere decir la frase: «Un 70 % de la superficie de la Tierra
está ocupada por agua». ¿Es esa cantidad más o menos de la
mitad? ¿Qué porcentaje de la superficie de nuestro planeta no está
ocupada por agua?
¿Qué porcentaje del agua del planeta es agua dulce? De cada mil
litros de agua, ¿cuántos son de agua salada? ¿Y de agua dulce?
De cada mil litros de agua dulce, ¿cuántos son aguas
subterráneas? ¿Cuántos están en forma de hielo? ¿Y en el agua
superficial y atmosférica?
Imagina que tienes un millón de litros de agua. Haz un reparto
siguiendo los datos del texto y el gráfico, y calcula cuántos litros
habría de agua dulce, agua salada y de cada tipo de agua dulce
(subterránea, en forma de hielo, atmosférica, agua de lagos y ríos).
2
Investiga y expón.
Busca información con tu compañero o compañera sobre el uso del agua para
agricultura, industria y consumo humano en distintos países. Exponed los datos
obtenidos utilizando porcentajes para expresar el reparto en los tres conceptos.
176
Soluciones
1
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 16
El 70 % es agua y el 30 % no.
Es más de la mitad.
100 % 2 94 % 5 6 % es agua dulce.
940 litros de agua salada y 60 de agua dulce.
71,2 % de 1.000 5 712 litros son de aguas subterráneas.
28,3 % de 1.000 5 283 litros son hielo.
0,5 % de 1.000 5 5 litros son de aguas superficiales y atmosféricas.
28/02/2019 14:49:48
Salada: 940.000 ℓ
Dulce: 60.000 ℓ
Subterránea: 42.720 ℓ
Hielo: 16.980 ℓ
Atmosférica: 9,9 ℓ
Ríos: 1,5 ℓ
Lagos: 288,6 ℓ
2 R. L.
9
MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS
Juega con los porcentajes
5%
40 %
Número de jugadores: 4
1
Reglas del juego:
Se ponen todas las fichas del dominó
bocabajo en el centro de la mesa y se mueven
hasta mezclarlas bien.
Material de aula
Dominó triangular
de porcentajes.
0,06
Material: Dominó triangular de porcentajes.
0,2
0,08
60 %
4%
1
2
2%
9%
0,05
80 %
Cada participante elige 3 fichas sin que los demás
las vean. Las fichas que sobran se dejan en el centro de la mesa.
S U GER EN CIAS
Inicia el juego quien tenga el porcentaje más bajo: 1 %, 2 %, 3 %…, colocando
la ficha de este porcentaje bocarriba sobre la mesa. Los siguientes participantes,
por turnos, deben colocar una ficha pegada a uno de los lados de las fichas que
hay sobre la mesa, de tal manera que los lados unidos tengan dos expresiones
equivalentes.
Si un jugador o jugadora no tiene ninguna ficha que pueda colocar, coge una ficha
de las que han sobrado. En el caso de que no haya fichas sobrantes o no pueda
colocar ninguna sobre la mesa, pasa su turno al siguiente participante.
Ganador: El primer jugador o jugadora que se quede sin fichas.
1
¿Qué porcentaje debe tener la ficha que se puede colocar
a la derecha de esta ficha? ¿Y a la izquierda?
¿Qué número decimal debe tener la ficha
que puedes colocar encima?
5%
0,08
0,2
Puede ampliar el dominó
pidiendo a los estudiantes
que elaboren nuevas
piezas. Señale que
deben conectar de forma
adecuada con alguna
de las ya existentes
y dígales que deben usar
expresiones diferentes
a las que tenga la pieza
actual con la que
contacten.
Retos matemáticos
Canguro saltarín
El ganadero y el pienso
Los canguros recorren
grandes distancias saltando,
pudiendo alcanzar
una velocidad de 40 km/h.
¿Cuántos minutos tardará
un canguro en recorrer
a esa velocidad
una distancia de 5 km?
Un ganadero dispone de pienso
para alimentar a una vaca
durante 3 días o a una oveja
durante 6 días.
¿Cuántos días durará
el pienso si tiene que alimentar
a la vez a la vaca y a la oveja?
177
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Juega con los porcentajes
1 Derecha: 8 %
Retos matemáticos
28/02/2019 14:49:51
Canguro saltarín
Izquierda: 20 %
Tardará 7 minutos y medio.
Encima: 0,05
El ganadero y el pienso
Un día de la vaca alimenta dos días a la oveja.
Tiene para alimentar a la vaca 2 1 1 días.
Alimentará a la vaca 2 días y a la oveja otros 2.
Solución de problemas
Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos
LibroMedia
Escribir la pregunta
que se responde
con unos cálculos.
Un tercio de los asistentes a la función de títeres eran adultos.
De ellos, un 30 % eran hombres. Tenían más de 65 años
40 mujeres. A la función asistieron 210 personas.
¿Qué pregunta se responde con estos cálculos?
1.º 210 : 3 5 70
2.º 70 % de 70 5 49
3.º 49 2 40 5 9
Vamos a ver qué se obtiene con cada cálculo:
1.º Con esta división se halla cuántos adultos había.
2.º Con este cálculo se determina el número de mujeres
adultas que había en la función.
3.º Con esta resta se obtiene cuántas mujeres
tenían menos de 65 años.
La pregunta es: ¿cuántas mujeres menores de 65 años
había en la función de títeres?
SU GER E N CI A S
Muestre la importancia
de leer el problema
con cuidado y resolverlo
mentalmente, pensando
qué proceso hay que
seguir. Eso los ayudará
a darse cuenta, más tarde,
de qué hallamos con cada
cálculo.
Escribe la pregunta que se responde con cada grupo de cálculos.
1
Juan recogió 4.000 kg de nueces. Apartó un cuarto de ellas para envasarlas.
Mientras las envasaba desechó un 5 % porque tenían algún defecto.
1.º
2
2.º 95 % de 1.000 5 950
3.º 4.000 2 950 5 3.050
En un tren viajaban 175 personas. Subieron 47 personas y bajaron 18
en la primera parada, y en la segunda parada subieron 59 y bajaron 32.
1.º
3
4.000 : 4 5 1.000
47 1 59 5 106
2.º 18 1 32 5 50
3.º 106 2 50 5 56
Tres quintos de los 300 animales de un parque natural son vertebrados.
De ellos, un tercio son mamíferos.
1.º
3
de 300 5 180
5
2.º
1
de 180 5 60
3
3.º 180 2 60 5 120
178
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Soluciones pág. 178
Soluciones pág. 179
1 ¿Cuántas nueces quedaron sin envasar?
1
2 ¿Cuántas personas había al final del trayecto más que
2 A(2, 2), B(23, 3), C(22, 0), D(21, 23), E(3, 23)
al principio?
3 ¿Cuántos animales vertebrados no son mamíferos?
3
4
16 19 18 60
4
1
6
5
7
.
8
12
4,52 . 4,519
719
0,724 .
1.000
15
70
200
11
22
.
3
7
3,186 , 3,188
28/02/2019 14:49:52
9
REPASO ACUMULATIVO
1
4
Calcula.
13 1 4 3 2 2 5
5
8
46 2 3 3 4 2 3 3 5
(12 2 4) 3 2 1 18 : 9
5
13
B
12
C
24 23 22 21
11
0
11 12 13 14
21
22
D
A
23
6
E
3,186
3,188
Calcula.
12,9 3 0,02
288 : 2,25
0,326 3 4,3
8,428 : 49
5,203 3 3,17
64,505 : 0,095
Completa en tu cuaderno.
3
0,7 m 5 ... cm
8º 12’ 5 ...”
Calcula.
22
7
719
1.000
4,3 m2 5 ... cm2
24
3
11
3
4,519
0,724
Escribe las coordenadas de
cada punto.
14
7
12
4,52
25 1 21 : 7 1 (2 1 6) 3 4
2
Compara en tu cuaderno.
3
S U GER EN CIAS
3
19 dm 5 ... ml
715 ℓ 5 ... m3
m.c.d. (12 y 4)
m.c.m. (3 y 15)
m.c.d. (16 y 21)
m.c.m. (14 y 10)
5 % de 280
15 % de 2.500
m.c.d. (30 y 18)
m.c.m. (25 y 40)
9 % de 4.900
36 % de 6.800
7
Muestre la importancia
del repaso como forma
de afianzar los contenidos
anteriores y poder así
avanzar con seguridad.
Indique que el aprendizaje
de las matemáticas
necesita siempre
de los contenidos
anteriores y es esencial
tenerlos bien asentados.
500 s 5 ... min y ... s
Calcula estos porcentajes.
Problemas
8
9
Lucas compra 2 kg de naranjas a 1,30 €
el kilo, 3 kg de patatas a 0,45 € el kilo
y 2 kg de limones. En total paga 5,61 €.
¿Cuánto cuesta un kilo de limones?
11 Adela tiene en su granja un total de
200 animales. Tres quintos son patos,
20 son conejos y el resto gallinas.
¿Tiene más conejos o gallinas?
En una pastelería han hecho 40 kg de pastas.
Las han envasado en cajas con un cuarto
de kilo en cada una. ¿Cuántas cajas de pastas
han obtenido? ¿Cuántos gramos pesan
12 cajas? ¿Cuántos hectogramos
pesan 17 cajas?
12 Olga compra 125 g de pipas por 1,50 €
10 Un tren de largo recorrido sale de la estación
con un total de 320 pasajeros. En la primera
parada baja un cuarto de los pasajeros,
y en la segunda, un tercio de los que quedaban.
¿Cuántos pasajeros quedan en el tren?
¿En qué parada se han bajado más pasajeros?
y 400 g de cacahuetes por 2,40 €. ¿Cuánto
pagará si compra un kilo de cada producto?
13 Emilio utiliza tres cuartos de litro de leche para
hacer dos bizcochos iguales. ¿Cuántos cm3
de leche usa para cada bizcocho?
179
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 19
5
6
7
8
9
0,258
16,49351
0,172
1,4018
128
679
2
43.000 cm
29.520’’
19.000 ml
700.000 cm3
8 min 20 s
0,715 m3
14 441 375 2.448
5,61 2 2 3 1,3 2 3 3 0,45 5 1,66; 1,66 : 2 5 0,83
El kilo de limones cuesta 0,83 €.
Obtienen 160 cajas. 12 cajas pesan 3.000 g.
17 cajas pesan 42,5 hg.
28/02/2019 14:49:54
10 Primero bajan 80 y quedan 240. Después, bajan
80 y quedan 160. Bajan los mismos pasajeros.
11 Tiene 120 patos, 20 conejos y 60 gallinas.
Tiene más gallinas.
12 12 €/ kg cuestan las pipas y 6 €/ kg los cacahuetes.
Pagará 18 €.
13
3
3
:25
5 0,375
4
8
Utiliza 375 cm3 para cada uno.
TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
Analizar gráficos de barras
Material de aula
Lámina de aula
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
En el gráfico está representado el número de personas que pidió
cada tipo de primer plato en el restaurante Comecome en tres meses
del año pasado.
Ensalada
Pasta
100
200
Guiso
Mes
Agosto
Septiembre
Octubre
0
300
400
N.º de personas
SU GER E N CI A S
Fíjate en que en agosto más gente prefirió los platos frescos
(ensaladas) a los platos más calientes.
Represente en la lámina
distintos gráficos
de barras para trabajar
la interpretación. Señale
que las barras de cada
color nos permiten
comparar la evolución
de ese tipo de datos
y que dentro de cada
grupo de barras podemos
comparar entre sí los tipos
de datos.
1
Observa el gráfico anterior. Después, contesta.
¿Qué platos fueron los preferidos en septiembre y octubre?
¿Por qué crees que ocurrió así?
Juan, el camarero, comentó que la gente que eligió pasta fue aumentando
desde agosto hasta octubre. ¿Tenía razón según el gráfico?
María, la dueña, creía que a partir de septiembre sería mejor no servir
ensalada hasta la llegada del verano. ¿Crees que tenía razón? ¿Por qué?
2
Razona y contesta.
En el restaurante tienen que hacer la compra este año para los meses
de agosto, septiembre y octubre. Han anotado estas decisiones.
Comprar la misma cantidad de verdura para ensalada
los tres meses.
Comprar la misma cantidad de pasta para agosto que
para octubre.
Ir aumentando la cantidad de ingredientes para guisos
a medida que avance el otoño.
Incluir gazpacho en el menú a partir de septiembre.
¿Crees que tienen razón a partir de la información del año pasado?
180
Soluciones
1
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Guiso. R. M. Porque el tiempo era frío.
No. De agosto a septiembre disminuye.
R. M. No, porque siempre hay gente que la pide.
28/02/2019 14:49:56
2
No. Según el mes, varía el número de gente que toma ensalada.
No. Hay gran variación en el número de clientes que toma
pasta.
Sí. Aumenta el número de personas que lo pide.
No. Habría que incluirlo en verano, ya que aumenta el número
de gente que pide platos frescos.
9
Analizar gráficos lineales
Material de aula
Lámina de aula
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
En el ayuntamiento están estudiando los datos de reciclaje en la ciudad.
El gráfico muestra los kilos de vidrio reciclados en dos barrios durante varios meses.
Valdeluz
4.000
3.500
Número de kilos
3.500
3.700
Solana
3.400
3.200
3.400
3.000
2.500
2.000
2.6 0 0
2.8 0 0
2.9 0 0
2.9 0 0
S
O
Mes
N
2.7 0 0
1.500
1.000
500
0
A
D
S U GER EN CIAS
Represente en la lámina
distintos gráficos lineales.
Muestre su utilidad para
representar tendencias
en el tiempo y analizarlas
rápidamente, tanto
los valores de un tipo
de datos como las
series de datos entre sí.
Fíjate en que de agosto a septiembre aumentó el número de kilos de vidrio
reciclados en los dos barrios.
1
Observa el gráfico anterior y contesta.
¿Qué ha ocurrido con el reciclaje de vidrio en Valdeluz en estos meses?
¿Y con el reciclaje en Solana?
¿En qué mes comenzó a reciclarse más en Solana que en Valdeluz?
El ayuntamiento piensa llevar algunos contenedores de vidrio desde Solana
a Valdeluz. ¿Crees que es una buena decisión? ¿Por qué?
Fíjate en el gráfico, lee el texto y contesta.
Dos amigos, Jon y César, se han
propuesto ahorrar cada vez más
en sus gastos. En el gráfico han
representado el dinero que
han ahorrado cada mes.
¿Quién ahorró más en mayo que en enero?
¿Jon ha ido ahorrando más de mes
en mes? ¿Y César?
Jon
Dinero ahorrado (€)
2
César
180
140
100
60
20
¿Quién crees que debe hacer un esfuerzo
para cumplir su propósito?
E
F
M
A
My
Mes
181
ES0000000093924 929039_U09_164_181_81148.indd 21
Soluciones
1
En Valdeluz aumentó de agosto a septiembre y disminuyó
el resto de los meses. En Solana aumentó todos los meses.
En noviembre.
R. M. Sería bueno motivar a los vecinos de Valdeluz
a reciclar, pero llevar más contenedores no es quizá
lo mejor. Privar además a Solana de contenedores puede
disminuir la progresión que está habiendo en el reciclaje.
28/02/2019 14:50:00
2
Los dos ahorraron más en mayo que en enero.
Jon comenzó ahorrando más, pero en marzo bajó su ahorro
y se mantuvo constante desde marzo hasta mayo. César
empezó disminuyendo su ahorro en febrero, pero desde
entonces hasta mayo lo fue aumentando.
Jon.
Antes de empezar
Pequeños problemas
Cálculo mental
Calcula mentalmente
Multiplica un número natural por 4
Material de aula
Lámina de aula
de Medida.
34
23
32
46
92
32
31 3 4
43 3 4
42 3 4
25 3 4
51 3 4
36 3 4
62 3 4
57 3 4
1. El lunes Marta recogió 32 kg
de patatas. El martes recogió
el cuádruple. ¿Cuántos kilos
recogió el martes?
2. Un cuarto de los 48 pacientes
de una doctora eran personas
mayores. ¿A cuántas
personas mayores atendió
la doctora?
Divide un número natural entre 4
:4
240
120
:2
60
:2
SU GER E N CI A S
Utilice la lámina de aula
para realizar actividades
de trabajo con las
unidades de superficie,
recordando el paso
de unas a otras
y el concepto
de perímetro.
480 : 4
600 : 4
804 : 4
500 : 4
260 : 4
360 : 4
640 : 4
780 : 4
3. Luisa repartió 128 € entre
sus 4 nietos. ¿Cuánto recibió
cada nieto?
4. Cada entrada de un musical
cuesta 53 €. ¿Cuánto pagarán
Silvia y sus
tres amigas
por sus
entradas?
Un número, varias operaciones
Escribe usando 4 como uno de los términos:
Una multiplicación con resultado 840.
Una división con cociente 45.
¿Qué sabes ya?
Unidades de superficie
Utilizamos las unidades de superficie para expresar el área de figuras planas.
Su unidad principal es el metro cuadrado. 1 m2 es el área de un cuadrado de 1 m de lado.
Para pasar de una unidad a otra menor se multiplica
3100
LibroMedia
Unidades
de superficie.
3100
km2
hm2
: 100
3100
dam2
: 100
3100
3100
m2
3100
dm2
: 100
cm2
: 100
: 100
mm2
: 100
Para pasar de una unidad a otra mayor se divide
Perímetro
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.
1
2
Completa en tu cuaderno.
2
2
2
4,1 m 5 … cm
LibroMedia
Perímetros.
2
750 dm 5 … m
2
1,38 dm 5 … mm
2
0,7 hm 5 … m
2
2
2
Calcula cada perímetro.
Un cuadrado de lado 10 cm.
2
900 cm 5 … dm
2
8.000 dm 5 … dam
Un rectángulo de lados 8 cm y 6 cm.
2
Un hexágono regular de lado 5 cm.
182
Soluciones
ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 22
Un número, varias operaciones
210 3 4 5 840 180 : 4 5 45
28/02/2019 14:51:16
4 53 3 4 5 212. Pagarán 212 € por las entradas.
¿Qué sabes ya?
1
Pequeños problemas
1 32 3 4 5 128. El martes recogió 128 kg.
2 48 : 4 5 12. La doctora atendió a 12 personas mayores.
3 128 : 4 5 32. Cada nieto recibió 32 €.
2
4.100 cm2
7,5 m2
13.800 mm2
9 dm2
7.000 m2
0,8 dam2
P 5 4 3 10 5 40 cm
P 5 2 3 (8 1 6) 5 28 cm
P 5 6 3 5 5 30 cm
S U GER EN CIAS
10
Área de figuras planas
Tiempo para leer
Tiempo para hablar
Los envases llamados popularmente brik son
una tecnología moderna para poder conservar
durante más tiempo y distribuir fácilmente
distintos productos.
• ¿Qué forma tienen las caras de los envases
brik más habituales que se usan para la leche
o el zumo?
Se obtienen plegando una figura plana, formada
por la superposición de una fina lámina de
aluminio, una capa de cartón y varias capas
de plástico. Esa figura se pliega más tarde
hasta formar el envase y se rellena con
el producto elegido.
Un envase brik de litro suele tener un área
de 660 cm22 y pesa unos 30 gramos.
En España se consumen al año cerca de
1.400.000 toneladas de envases domésticos
(briks y otros), de los cuales se recicla un 77 %.
Pida a los estudiantes
que aporten ejemplos
de situaciones reales
en las que tengan que
calcular áreas. Pregúnteles
qué áreas saben calcular
ahora y comente que
en esta unidad van a
aprender a calcular el
área de una figura plana
cualquiera.
• Si tuvieras las medidas, ¿sabrías calcular
el área de cada cara de esos envases?
LibroMedia
Las áreas
en la India.
• Si el brik tuviera una forma de cubo con caras
cuyo lado midiera 8 cm, ¿qué área de cartón
se usaría para construirlo?
• ¿Cuántos briks usas en tu casa en
una semana? ¿Cuántos reciclas?
• ¿Cuántos kilos de envases domésticos
se consumen al año en España?
¿Cuántos kilos se reciclan?
183
ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 23
Tiempo para hablar
Las caras de los briks son rectángulos.
Sí, calculando el área de cada rectángulo.
6 caras cuadradas F Área 5 A 5 6 3 82 5 384 cm2
R. L.
28/02/2019 14:51:18
1.400.000 t 5 1.400.000.000
Se consumen 1.400.000.000 kg.
77 % de 1.400.000.000 5 1.078.000.000
Se reciclan 1.078.000.000 kg al año.
Base y altura de triángulos y paralelogramos
Patricia ha repasado de naranja una base de cada polígono
y ha trazado de rojo una altura correspondiente a esa base.
Material de aula
Lámina de aula
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
C
C
A
B
C
A
B
A
B
El lado AB es una base del triángulo. También lo son los lados BC y AC.
El segmento rojo es la altura correspondiente a la base AB. Es un segmento perpendicular
a ella o a su prolongación, y uno de sus extremos es el vértice C.
SU GER E N CI A S
Trace en la lámina
distintos triángulos
y paralelogramos y pida
a los estudiantes
que salgan y marquen
en ellos sus bases
y alturas.
D
C
D
C
A
B
A
B
D
A
C
D
B
A
C
B
El lado AB es una base del paralelogramo. También lo son los lados BC, CD y AD.
El segmento rojo es una altura correspondiente a la base AB. Es un segmento perpendicular
a ella o a su prolongación, y uno de sus extremos es uno de los vértices opuestos C o D.
LibroMedia
Base y altura
de triángulos.
La base de un triángulo o de un paralelogramo es uno cualquiera de sus lados.
La altura de un triángulo o de un paralelogramo es un segmento perpendicular
a una base o a su prolongación, trazado desde un vértice opuesto.
LibroMedia
Base y altura
de paralelogramos.
1
Escribe en tu cuaderno cuántas bases tienen los triángulos y los paralelogramos.
2
Calca cada triángulo y traza, con una escuadra o un cartabón, la altura correspondiente
a la base AB.
C
C
¿En qué triángulo coincide
la altura con uno de sus lados?
Clasifícalo según sus ángulos.
C
¿En qué triángulo has prolongado
la base para trazar la altura?
Clasifícalo según sus ángulos.
LibroMedia
Bases de triángulos
y paralelogramos
A
A
B
A
B
B
¿En qué triángulo has dibujado
la altura en su interior?
Clasifícalo según sus ángulos.
184
ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 24
Soluciones
28/02/2019 14:51:21
En el triángulo amarillo. Es un triángulo rectángulo.
1 Los triángulos tienen 3 bases y los paralelogramos tienen 4.
C
2
A
B
C
A
C
B
A
B
En el triángulo naranja. Es un triángulo obtusángulo.
En el triángulo rosa. Es un triángulo acutángulo.
10
3
Calca cada paralelogramo y traza, con una escuadra o un cartabón,
la altura correspondiente a la base AB desde el vértice D.
D
D
C
D
D
C
C
C
S U GER EN CIAS
A
A
B
A
B
A
B
Pida a los estudiantes
que tracen distintos
triángulos y/o
paralelogramos que
compartan una altura
o una base. Es importante
que tengan claros
estos conceptos ya
que los usarán más tarde
en las fórmulas de cálculo
de áreas.
B
¿En qué paralelogramos coincide la altura con uno de sus lados?
¿En cuál has prolongado la base para trazar la altura?
¿Desde qué otro vértice puedes trazar la altura a la base AB? Trázala.
4
Traza los siguientes triángulos y clasifícalos.
HAZLO ASÍ
Para trazar un triángulo ABC cuyos lados miden 6 cm, 5 cm y 4 cm, sigue estos pasos:
1.º Dibuja con la regla un segmento AB de 6 cm.
2.º Abre el compás 5 cm, pincha en el punto A y traza un arco.
3.º Abre el compás 4 cm, pincha en el punto B y traza un arco que corte el anterior en el punto C.
4.º Une los puntos A y B con C para formar los lados del triángulo. Después, colorea el interior.
1.º
2.º
3.º
4.º
C
C
5 cm
6 cm
A
B
6 cm
A
B
A
6 cm
B
A
6 cm
4 cm
B
Un triángulo ABC cuyos lados midan 4 cm, 3 cm y 5 cm.
¿Cuánto miden las tres bases? Traza la altura de la base AB.
AT I V I D A
D
Un triángulo DEF cuyos lados midan 3 cm, 3 cm y 5 cm.
¿Cuánto miden las tres bases? Traza la altura de la base DE.
RE
Dibuja.
C
Haz un dibujo en el que aparezcan distintos triángulos, cuyos lados
tengan medidas exactas en centímetros, y varios paralelogramos.
Después, traza una altura de cada figura.
Traza dos triángulos diferentes que compartan una base
y cuyas alturas midan lo mismo.
185
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3
D
D
C D
D
C
C
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4
C
R. G. Las tres bases miden 4 cm, 3 cm
y 5 cm respectivamente.
R. G. Las tres bases miden 3 cm, 3 cm
y 5 cm respectivamente.
A
A
A
B
B
En el cuadrado y en el rectángulo coinciden.
La base se prolonga en los romboides.
B
A
Se puede trazar otra altura correspondiente a la base AB
desde el vértice C.
B
Creatividad
R. G.
Área del rectángulo y del cuadrado
¿Cuál es el área de este rectángulo?
SU GER E N CI A S
LibroMedia
Área del rectángulo
y del cuadrado.
LibroMedia
Área de
rectángulos
y cuadrados.
h 5 2 cm
El largo del rectángulo es su base, b,
y el ancho es su altura, h.
Enuncie un valor numérico
y pida a los estudiantes
que digan distintas figuras
cuya área sea ese valor.
Anótelas y pregúnteles
si todas tendrán el mismo
perímetro. Después,
calcúlelos y señale que
igual área no implica igual
perímetro.
Área del rectángulo 5 largo 3 ancho 5 base 3 altura
b 5 4 cm
Área 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm2
¿Cuál es el área de este cuadrado?
l 5 3 cm
El cuadrado es un tipo especial de rectángulo.
Su base y su altura son iguales al lado, l.
Área del cuadrado 5 lado 3 lado 5 lado2
Área 5 l 3 l 5 l 2 5 32 cm2 5 9 cm2
l 5 3 cm
El área del rectángulo es el producto
de su base por su altura.
Área del rectángulo 5 b 3 h
El área de un cuadrado es su lado
elevado al cuadrado.
Área del cuadrado 5 l 2
1
Mide y calcula el área en centímetros cuadrados de cada figura.
2
Haz un croquis y calcula el área en cada caso.
3
Un rectángulo de 30 cm de base
y 20 cm de altura.
Una parcela rectangular de 12 m de largo,
y de ancho, un tercio del largo.
Un cuadrado de 50 cm de lado.
Un marco de fotos cuadrado de 40 cm
de perímetro.
Halla el área de cada cuadrado. Después, contesta.
¿Es el lado del cuadrado mayor el doble del lado
del cuadrado menor?
LibroMedia
Área del cuadrado.
¿Es el área del cuadrado mayor el doble del área
del cuadrado menor?
1 cm
2 cm
186
Soluciones
1
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Rojo F 1 5 1 cm
3 Sí, el lado es el doble.
No, el área no es el doble.
A 5 4 3 4 5 16 cm2
A 5 30 3 20 5 600 cm2
A 5 502 5 2.500 cm2
2
Verde F 22 5 4 cm2
A 5 3 3 4 5 12 cm2
A 5 2 3 8 5 16 cm2
2
28/02/2019 14:51:26
2
A 5 12 3 (12 : 3) 5 48 m2
A 5 (40 : 4)2 5 100 cm2
10
Área del rombo
¿Cuál es el área de este rombo?
LibroMedia
Área del rombo.
Fíjate en que, si trazamos paralelas a cada diagonal del rombo por sus vértices,
se forma un rectángulo, cuya base es igual a la diagonal mayor del rombo, D,
y cuya altura es igual a la diagonal menor, d.
d
d 5 2 cm
h 5 d 5 2 cm
D
D 5 5 cm
S U GER EN CIAS
b 5 D 5 5 cm
Es importante que los
estudiantes comprendan
la manera de obtener
la fórmula para poder
deducirla en caso de que
se les olvide. Señale que
el área del rombo
es siempre la mitad
del área del rectángulo
cuya base y altura
coinciden con las
diagonales del rombo.
El área del rombo es la mitad del área de ese rectángulo.
Área del rombo 5
Área del rectángulo
diagonal mayor 3 diagonal menor
5
2
2
Área 5
D3d
5 cm 3 2 cm
5
5 5 cm2
2
2
El área del rombo es el producto de
sus diagonales dividido entre 2.
1
Mide y calcula el área.
Área del rombo 5
2
D3d
2
Calcula el área de cada rombo.
La diagonal mayor mide 12 cm
y la diagonal menor 10 cm.
La diagonal menor mide 8 cm
y la diagonal mayor 15 cm.
La diagonal mayor y la diagonal menor
son iguales y las dos miden 30 cm.
O
EN
SAMIENT
La diagonal menor mide 6 cm
y la diagonal mayor, el doble que ella.
Piensa y contesta. Después, da valores a las diagonales
en centímetros y comprueba tus respuestas.
Si multiplicas por 2 la longitud de una diagonal de un rombo,
¿el área del nuevo rombo es el doble que el área
del rombo original?
LibroMedia
Área del rombo.
P
¿Qué ocurrirá con las áreas si multiplicas por 2
la longitud de las dos diagonales?
187
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Soluciones
1
2
432
A5
5 4 cm2
2
5 3 2,4
A5
5 6 cm2
2
12 3 10
A5
5 60 cm2
2
15 3 8
A5
5 60 cm2
2
28/02/2019 14:51:29
30 3 30
A5
5 450 cm2
2
12 3 6
A5
5 36 cm2
2
Pensamiento
Sí, el área del nuevo rombo es el doble.
El área del nuevo rombo será el cuádruple que la original.
Área del romboide
¿Cuál es el área de este romboide?
SU GER E N CI A S
Fíjate en que un romboide se puede transformar en un rectángulo.
Basta con cortar por la altura h y trasladar el triángulo obtenido al otro lado.
El trabajo de troceado
y composición de figuras
que se utiliza para deducir
el área del romboide
es un comienzo de las
descomposiciones usadas
después para hallar
el área de una figura
cualquiera.
Puede pedirles que
lo hagan recortando
la figura en una hoja
de papel y viendo cómo
las áreas coinciden.
Señale que el área
de cualquier romboide
es la misma que la de
un rectángulo de su
misma base y altura.
h 5 2 cm
h 5 2 cm
h
b 5 3 cm
b 5 3 cm
El rectángulo obtenido tiene la misma base, b, y altura, h, que el romboide.
Área del romboide 5 Área del rectángulo 5 base 3 altura
Área 5 b 3 h 5 3 cm 3 2 cm 5 6 cm2
El área del romboide es el producto
de su base por su altura.
Área del romboide 5 b 3 h
1
Mide y calcula el área de cada romboide en centímetros cuadrados.
Traza su altura cuando sea necesario.
2
Calcula el área de cada romboide. Después, contesta.
LibroMedia
Área del romboide.
A. Su base mide 8 cm y su altura 6 cm.
C. Su base mide 10 cm y su altura 4,8 cm.
B. Su altura mide 4 cm y su base 9 cm.
D. Su altura mide 12,4 cm y su base 5 cm.
¿Qué romboides de los anteriores tienen la misma área?
Dos romboides con distintas bases y alturas, ¿pueden tener la misma área?
LibroMedia
Área del romboide.
Piensa.
3
Piensa y contesta. Después, calcula y comprueba.
Martín tiene una parcela con forma de romboide cuya base mide 100 m y cuya altura es 60 m.
También tiene un prado romboidal de base 100 m y con el doble de altura que la parcela.
El área del prado, ¿es el doble del área de la parcela?
188
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Soluciones
1
28/02/2019 14:51:31
Los romboides A y C tienen la misma área.
Dos romboides con distintas bases y alturas sí pueden
tener la misma área.
A 5 2 3 3 5 6 cm2
A 5 4 3 1,5 5 6 cm2
3 El área del prado es el doble que el área de la parcela.
2
A 5 3 3 2 5 6 cm
AParcela 5 b 3 h
A 5 2 3 2,5 5 5 cm2
2
2 A. 8 3 6 5 48 cm
B. 9 3 4 5 36 cm2
APrado 5 2 3 b 3 h
C. 10 3 4,8 5 48 cm
2
D. 5 3 12,4 5 62 cm2
AParcela 5 100 3 60 5 6.000 m2
APrado 5 100 3 120 5 12.000 m2
10
Área del triángulo
¿Cuál es el área de este triángulo?
LibroMedia
Área de
un triángulo.
Fíjate en que si trazamos paralelas a dos lados del triángulo se forma un romboide
con la misma base, b, y altura, h, que el triángulo de partida.
h 5 2 cm
h 5 2 cm
b 5 4 cm
b 5 4 cm
S U GER EN CIAS
El área del triángulo es la mitad del área de ese romboide.
Área del triángulo 5
Puede realizar otra
deducción del área
del triángulo a partir del
área de un rectángulo
con igual base y altura
que él.
Área del romboide
base 3 altura
5
2
2
Área 5
b3h
4 cm 3 2 cm
5
5 4 cm2
2
2
El área del triángulo es el producto de
su base por su altura dividido entre 2.
Área del triángulo 5
1
Mide y calcula el área de cada triángulo en cm2.
Traza su altura cuando sea necesario.
2
Calcula el área en cada caso.
b3h
2
Un triángulo cuya base mide 15 cm y cuya altura mide 10 cm.
Un triángulo cuya base mide 4 cm y cuya altura mide 12 cm más que la base.
LibroMedia
Área del triángulo.
Una pieza de madera triangular cuya base mide 30 cm y cuya altura mide 15 cm.
O
P
¿Tienen los dos triángulos
la misma área? ¿Por qué?
2 cm
¿Tienen los dos triángulos
la misma base? ¿E igual altura?
2 cm
Observa y contesta.
EN
SAMIENT
Una parcela triangular cuya base mide 150 m y cuya altura mide 70 m.
189
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28/02/2019 14:51:35
Soluciones
1
2
Pensamiento
4 3 1,5
A5
5 3 cm2
2
232
A5
5 2 cm2
2
233
A5
5 3 cm2
2
4 3 2,5
A5
5 5 cm2
2
15 3 10
A5
5 75 cm2
2
4 3 16
A5
5 32 cm2
2
30 3 15
A5
5 225 cm2
2
150 3 70
A5
5 5.250 m2
2
Los dos triángulos tienen las mismas base y altura.
Tienen igual área por tener iguales la base y la altura.
Área de polígonos regulares
Un polígono regular tiene todos sus lados iguales y todos
sus ángulos iguales. Al unir su centro con sus vértices,
se puede descomponer en triángulos iguales.
ap
La base de cada triángulo es un lado del polígono
y la altura es el segmento que une el centro
del polígono con el punto medio del lado.
Ese segmento se llama apotema, ap.
1,4 cm
¿Cuál es el área de este polígono regular?
LibroMedia
Área de polígonos
regulares.
b 5 2 cm
El área del polígono es la suma de las áreas de los triángulos.
Fíjate en que, si colocamos los triángulos en fila, su área total es la mitad
del área de un romboide cuya base es el perímetro del polígono, P,
y cuya altura es la apotema, ap.
SU GER E N CI A S
El trabajo manipulativo
recortando los triángulos
que forman el polígono
y formando más tarde
el romboide puede ayudar
a la interiorización
de la fórmula. Señale
que en algunos polígonos
la apotema es menor que
el lado pero que en otros
es mayor.
ap 5 1,4 cm
2 cm
2 cm
2 cm
Área del polígono regular 5
2 cm
P 3 ap
10 cm 3 1,4 cm
5
5 7 cm2
2
2
Calcula el área de cada polígono regular,
sabiendo que el área de cada triángulo
marcado es 20 m2.
LibroMedia
Área de un
polígono regular I.
2
P 3 ap
2
Halla el área de cada polígono.
17,3 cm
1
Área del polígono regular 5
6,9 cm
Área 5
Área del romboide
perímetro 3 apotema
5
2
2
El área de un polígono regular
es el producto de su perímetro
por su apotema dividido entre 2.
LibroMedia
Área de polígonos
regulares II.
2 cm
perímetro (P)
10 cm
20 cm
Un octógono regular cuyo lado mide 18 cm
y cuya apotema mide 21,7 cm.
Un decágono regular cuyo perímetro mide
150 cm y cuya apotema mide 23,1 cm.
190
Soluciones
1
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28/02/2019 14:51:39
2
Cuadrado F A 5 4 3 20 5 80 m
2
Hexágono F A 5 6 3 20 5 120 m2
Octógono F A 5 8 3 20 5 160 m2
10 3 5 3 6,9
Pentágono F A 5
5 172,5 cm2
2
6 3 20 3 17,3
Hexágono F A 5
5 1.038 cm2
2
18 3 8 3 21,7
Octógono F A 5
5 1.562,4 cm2
2
150 3 23,1
Decágono F A 5
5 1.732,5 cm2
2
10
Área del círculo
Fíjate en el dibujo.
LibroMedia
Radio y área
del círculo.
El círculo es similar a un polígono regular
con muchísimos lados.
Su perímetro sería la longitud de la circunferencia y su apotema, el radio.
¿Cuál es el área de este círculo?
Área de un polígono regular 5
1 cm
perímetro 3 apotema
2
S U GER EN CIAS
Área del círculo 5
23p3r3r
longitud de la circunferencia 3 radio
5 p 3 r2
5
2
2
Área 5 p 3 r 2 5 3,14 3 12 cm2 5 3,14 cm2
El área del círculo es el producto
del número p por su radio al cuadrado.
1
2
Calcula el área y contesta.
Calcula el área.
3
De un círculo de 5 cm de radio.
cm
12
De un círculo de 4 m de diámetro.
cm
De un cristal circular de 30 cm
de radio.
¿Cuál es el radio del círculo mayor?
¿Es el doble que el radio del menor?
El área del círculo mayor, ¿es el doble
que el área del menor?
De una pizza de 14 cm de radio.
De una plaza de 200 m de diámetro.
De un cráter circular de 300 m
de diámetro.
O
EN
SAMIENT
Usa 3,14 como
valor de p.
Área del círculo 5 p 3 r 2
Deje claro el proceso
de obtención de
la fórmula del área
a partir de la de un
polígono regular. Indique
que el número pi tiene
infinitas cifras decimales
pero que, para los cálculos
normales, se toma como
valor 3,14.
Piensa y contesta. Después,
calcula algunos ejemplos.
¿Cómo puedes calcular el área
de un semicírculo?
¿Por qué crees que no se estudia
ninguna fórmula para calcularla?
5
cm
2 cm
P
¿Y el área de un cuarto de círculo?
LibroMedia
Área del círculo.
2 cm
191
ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 31
Soluciones
A 5 p 3 302 5 2.826 cm2
A 5 p 3 142 5 615,44 cm2
1 Rojo F A 5 p 3 32 5 28,26 cm2
Verde F A 5 p 3 6 5 113,04 cm
2
2
12 : 2 5 6 cm es el radio del círculo mayor.
Es el doble que el radio del círculo menor.
El área del círculo mayor no es el doble.
2
A 5 p 3 52 5 78,5 cm2
A 5 p 3 22 5 12,56 m2
28/02/2019 14:51:41
A 5 p 3 1002 5 31.400 m2
A 5 p 3 1502 5 70.650 m2
Pensamiento
Es el área del círculo completo dividido entre 2. R. L.
Es el área del círculo completo dividido entre 4.
(p 3 2,52) : 2 5 9,8125 cm2
(p 3 22) : 4 5 3,14 cm2
Área de figuras planas
¿Cuál es el área de la figura verde?
LibroMedia
Área de figuras
planas.
Para hallar el área, dividimos la figura en otras figuras conocidas
cuya área seamos capaces de calcular.
En este caso podemos dividir la figura verde en un semicírculo,
un rectángulo y un triángulo.
100 m
100 m
Material de aula
Lámina de aula
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
50 m
50 m
100 m
180 m
80 m
180 m
El área total de la figura es la suma de las áreas de las tres figuras
en las que la hemos descompuesto:
El semicírculo es la mitad de un círculo de 100 m de diámetro.
El rectángulo tiene 50 m de altura y 100 m de base.
El triángulo tiene 80 m de base (180 m 2 100 m) y 50 m de altura.
SU GER E N CI A S
Área del semicírculo 5
Trace en la lámina
distintas figuras planas
y pida a los estudiantes
que las descompongan
en figuras cuya área
sepan calcular. Indique
que el área de la
figura no depende
de la descomposición
realizada.
Área del círculo
p 3 r2
3,14 3 502 m2
5
5
5 3.925 m2
2
2
2
Área del rectángulo 5 b 3 h 5 100 m 3 50 m 5 5.000 m2
Área del triángulo 5
80 m 3 50 m
b3h
5 2.000 m2
5
2
2
Área de la figura verde 5 3.925 m2 1 5.000 m2 1 2.000 m2 5 10.925 m2
Para calcular el área de una figura plana, hay que descomponerla primero en otras figuras
cuyas áreas sepamos calcular y sumar después las áreas de esas figuras.
1
Completa en tu cuaderno y calcula el área de la zona roja.
El área de la zona roja es el área del …
menos el área del …
10 m
10 m
12
El radio del círculo mide … m.
Área del círculo 5 …
m
El lado del cuadrado mide … m.
Área del cuadrado 5 …
Área de la zona roja 5 … 2 … 5 …
192
Soluciones
1
ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 32
El área de la zona roja es el área
del círculo menos el área del cuadrado.
El radio del círculo mide 12 m.
Área del círculo 5 p 3 122 5 452,16 m2
El lado del cuadrado mide 10 m.
Área del cuadrado: 100 m2.
Área de la zona roja 5 452,16 2 100 5 352,16 m2
28/02/2019 14:51:44
38 3 20
5 380 m2
2 Verde F A 5 38 3 20 2
2
p 3 102
20 3 23
Morada F A 5
1
5 387 m2
2
2
3 Rosa F A 5 p 3 22 2 2 3 1,5 5 9,56 cm2
Roja F A 5 2 3 4 1 p 3 12 5 11,14 cm2
Marrón F A 5
334
1 42 2 p 3 22 5 9,44 cm2
2
10
2
20 m
20 m
Calcula el área de cada figura.
LibroMedia
Área de figuras
planas II.
23 m
38 m
3
Mide y calcula el área de cada pieza de metal.
S U GER EN CIAS
O
Dibuja y contesta.
EN
SAMIENT
En el caso de las figuras
con «huecos» indique
que hay que restar
el área de ese «hueco»
a la figura completa.
Pídales que reflexionen
antes de ponerse
a calcular si la
descomposición que han
hecho es la mejor o más
sencilla.
Cada cuadrito de la cuadrícula mide 1 cm de lado.
¿Qué ocupa más, el pino o el fondo cuadriculado blanco?
P
193
ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 33
1,5 3 4
Amarilla F A 5 2 3
1 3 3 4 5 18 cm2
2
p 3 12
Azul F A 5
1 42 1 22 5 21,57 cm2
2
433
Morada F A 5
1 4 3 2 5 14 cm2
2
28/02/2019 14:51:48
Pensamiento
331
632
1
1 3 3 4,5 1 2 5 23 cuadritos
2
2
Cuadrícula F 7 3 8 5 56 cuadritos
Pino F
Fondo blanco F 56 2 23 5 33 cuadritos
Ocupa más el fondo blanco.
COMPRUEBO MI PROGRESO
1
LibroMedia
Compruebo
mi progreso.
2
Haz una ficha en la que aparezca un dibujo
de cada tipo de figura plana y la fórmula para
hallar su área.
4
Haz un croquis y halla el área de cada figura.
Un romboide cuya base mide 15 cm
y cuya altura es 30 cm.
Un triángulo cuya base mide 12 cm
y cuya altura es 8 cm.
Calcula el área de cada figura.
13 m
20 m
Un hexágono regular cuyo perímetro mide
60 cm y cuya apotema mide 8,7 cm.
8m
Un círculo de 40 cm de diámetro.
Un cuadrado cuyo perímetro mide 36 cm.
14 m
Un rectángulo cuyo perímetro mide 20 cm
y el lado mayor mide 6 cm.
5
24 cm
9 cm
8m
6 cm
26,5 m
Pida a los estudiantes
que, en parejas,
preparen figuras sencillas
y las unan formando
una figura compuesta.
Después, la colocarán
sobre una hoja de papel
y trazarán su contorno.
Reúna las hojas y
repártalas. Cada pareja
deberá calcular el área de
la figura que ha recibido.
Resuelva algunas en
común, comprobando si la
descomposición realizada
se corresponde con la
composición que había
hecho la pareja inicial.
Calcula el área de cada jardín. Fíjate bien
en qué figuras planas lo componen.
5,5 m
16 cm
SU GER E N CI A S
20 cm
12 m
3
Halla el área de cada figura midiendo
las longitudes que sean necesarias.
12 m
20 m
8m
138 m
69 m
56 m
16 m
80 m
194
Soluciones
ES0000000093924 929039_U10_182_199_81328.indd 34
3
1 R. L.
2
28/02/2019 14:51:51
A 5 260 m2
A 5 56 m2
A 5 384 cm2
A 5 110 m2
A 5 90 cm2
A 5 113,04 cm2
A 5 6,25 cm
2
A 5 4,5 cm
2
A 5 5 cm2
A 5 2,5 cm2
A 5 5,85 cm2
A 5 3,14 cm2
A 5 2,5 cm2
4 R. G.
Romboide F 450 cm2
Círculo F 1.256 cm2
Triángulo F 48 cm2
Cuadrado F 81 cm2
Hexágono F 261 cm2
Rectángulo F 24 cm2
10
Problemas
6
7
Traza las líneas oportunas, mide y halla
el área de cada azulejo.
Resuelve.
¿Qué área de césped hay alrededor
de la piscina?
5m
5m
S U GER EN CIAS
Pida a los estudiantes
que traigan datos sobre
monumentos, edificios,
sus casas… y que
propongan y resuelvan
problemas que impliquen
el cálculo de áreas.
Comente algunos
de ellos con toda
la clase.
15 m
25 m
¿Cuántos árboles se pueden plantar en
una parcela romboidal de 100 m de largo
y 40 m de altura si cada árbol necesita
un área de 8 m2 para poder crecer?
8
Observa las medidas y resuelve.
Milagros quiere pintar ella misma
el salón de su casa.
Ha estado investigando y sabe
que con 1 kilo de la pintura que
más le gusta puede pintar
un área de 8 m2.
Calcula cuántos metros cuadrados
tiene que pintar Milagros
y cuántos botes de pintura
debe comprar si en cada bote
hay 5 kilos.
PAREDES
2 paredes, de 6 m de largo y 3 m de alto.
2 paredes, de 4 m de largo y 3 m de alto.
TECHO
6 m de largo y 4 m de ancho.
PUERTA
1 puerta, de 2 m de alto y 1,5 m de ancho.
VENTANAS
2 ventanas, de 1,5 m de alto y 1 m de ancho.
¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno.
¿Sé reconocer bases y alturas?
¿Calculo áreas de polígonos y círculos?
¿Sé hallar el área de figuras planas?
Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.
195
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5 Verde F A 5 865 m
2
7
Amarillo F A 5 24.288 m2
Naranja F A 5 50,24 m2
(100 3 40) : 8 5 500. Se pueden plantar 500 árboles.
8 2 3 6 3 3 1 2 3 4 3 3 1 6 3 4 2 3 2 3 5 78
6 Rosa F A 5 8 cm2
Amarillo F A 5 12,86 cm
2
Marrón F A 5 8,5 cm2
(25 1 10) 3 (15 1 10) 2 25 3 15 5 500
Hay 500 m2 de césped alrededor de la piscina.
Tiene que pintar 78 m2 en total.
78 : 8 5 9,75. Necesita 9,75 kg de pintura.
Debe comprar 2 botes de pintura.
SABER HACER
Diseñar envases
LibroMedia
Diseñar envases.
La empresa de Laura trabaja en el diseño de nuevos envases.
Sus clientes les dan las dimensiones de los objetos que
quieren envasar, o bien las condiciones que deben cumplir
los envases, y su empresa les presenta distintas opciones
para que elijan la que prefieran.
Laura está ahora resolviendo varios encargos.
Ayúdala con lo que has aprendido en la unidad.
SU GER E N CI A S
1
Piensa y resuelve.
Laura debe presentar a Lácteos Martínez, una empresa que vende leche,
distintos modelos de envases con la misma capacidad. Ha preparado estos:
Envase modelo A
Envase modelo B
Envase modelo C
25 cm
20 cm
10 cm
10 cm
8 cm
Muestre la importancia
del cálculo de áreas
en procesos industriales
como el presentado.
Pídales que vuelvan
a resolver la actividad
2 suponiendo que se
quieren guardar 4 pelotas
de petanca en lugar
de 3 y que comparen
los resultados con los
obtenidos.
10 cm
5 cm
5 cm
Halla la cantidad de cartón que necesita cada envase.
¿Cuál es mejor para la empresa?
2
Calcula el área de cartón empleada en cada diseño y razona cuál es mejor.
Una empresa de productos deportivos quiere diseños de envases para pelotas de petanca.
El diámetro de cada una es 8 cm y cada envase contendrá tres pelotas.
196
Soluciones
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1 A F 2 3 8 3 5 1 2 3 5 3 25 1 2 3 8 3 25 5 730 cm2
B F 2 3 5 3 10 1 2 3 5 3 20 1 2 3 10 3 20 5 700 cm2
C F 6 3 102 5 600 cm2
Como los volúmenes de los envases son iguales, es mejor
el envase que se construya con la menor cantidad de cartón,
es decir, el envase C.
28/02/2019 14:51:58
2
2
A 5 2 3 p 3 4 1 24 3 2 3 p 3 4 5 703,36 cm
2
A 5 2 3 82 1 4 3 8 3 24 5 896 cm2
Es mejor el envase que se construya con la menor cantidad
de material, es decir, el envase cilíndrico.
10
MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS
Juega con las áreas
Material: Tangram, baraja de tarjetas numéricas,
lápiz y papel.
Material de aula
Tangram, baraja
de tarjetas
numéricas.
3
Número de jugadores: 5
Reglas del juego:
En la baraja de tarjetas numéricas, se dejan solo las cartas correspondientes
a los números comprendidos entre el 2 y el 9.
Se da un tiempo razonable para que todos los participantes del juego puedan medir
con una regla las dimensiones de las piezas del tangram y tomar notas en su papel.
Por turnos, alguien toma el papel de controlador. Esta persona se encargará de extraer
una carta de las tarjetas numéricas, elegir el número de piezas del tangram que le indique
la tarjeta y componer una figura con ellas.
Los otros cuatro jugadores o jugadoras tendrán un minuto para hacer una estimación del área
de la figura compuesta.
Las personas que hayan acertado, o quien más se aproxime, obtienen 1 punto.
S U GER EN CIAS
Ganador: Gana el jugador o la jugadora que primero consiga 5 puntos.
Puede variar el juego
pidiendo a un estudiante
que forme una figura
con el número de piezas
que marque la carta
sin que los demás vean
cuántas son. Deberá
marcar su contorno en
una hoja y los demás
tendrán que determinar
las figuras que la
componían y el área total
de la figura formada.
1
¿Cuál es el área de esta figura
compuesta por piezas del tangram?
Retos matemáticos
Para el jardinero
¿Cuál es el área de la zona
de color morado de esta figura?
¿Cómo se pueden plantar 10 árboles
en 5 filas de 4 árboles cada una?
4 cm
La zona sombreada
4 cm
197
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Juega con las áreas
1 Área 5 2,52 1
p 3 2,52
5 11,15625 cm2
4
Retos matemáticos
La zona sombreada
Área morada 5 42 2 3 3
432
5 4 cm2
2
Para el jardinero
28/02/2019 14:52:00
Solución de problemas
Anticipar una solución aproximada
Material de aula
Tangram, baraja
de tarjetas
numéricas.
Ana y Marcos han ido a la papelería a comprar material escolar.
Han comprado 3 cuadernos a 1,80 € cada uno, 4 bolígrafos
a 1,25 € cada uno y 2 carpetas a 3,90 € cada una.
¿Cuánto han pagado en total?
En situaciones de compra es muy útil hallar primero
una solución aproximada del total que debemos pagar.
Eso nos dará una idea bastante fiable del total exacto.
Solución aproximada
SU GER E N CI A S
1.º Aproxima cada precio a las unidades.
Muestre la utilidad
de las estimaciones
para hacernos una idea
del valor exacto que
debemos obtener al
resolver el problema.
Indique que la diferencia
entre el valor aproximado
y el exacto dependerá
del orden al que
aproximemos.
Cuaderno: 1,80
2
Bolígrafo: 1,25
1
Carpeta: 3,90
4
2.º Calcula el precio aproximado.
3 3 2 1 4 3 1 1 2 3 4 5 6 1 4 1 8 5 18
Han pagado 18 € aproximadamente.
Solución exacta
3 3 1,80 1 4 3 1,25 1 2 3 3,90 5 5,40 1 5 1 7,80 5 18,20
Han pagado 18,20 €.
Las dos soluciones, la exacta y la aproximada, tienen valores muy cercanos.
Calcula una solución aproximada para cada problema. Después, halla
la solución exacta y comprueba que obtienes valores cercanos.
1
Paqui compra una chaqueta por 12,90 €, unos pantalones por 29,80 €
y unas deportivas por 19,60 €. ¿Cuánto paga Paqui?
2
Ramiro tenía en el monedero 29,65 €. Compró un libro por 12,85 €
y una mochila por 14,25 €. ¿Cuánto dinero le sobró?
3
Juan compró una cámara de fotos a plazos. Primero pagó 180,90 € y después
3 plazos iguales de 44,90 € cada uno. ¿Cuánto pagó por la cámara de fotos?
4
Para preparar su fiesta de cumpleaños, Lorena compró 4 paquetes de servilletas
a 0,95 € cada uno, 5 paquetes de vasos a 2,75 € cada uno y 3 paquetes
de platos a 2,85 € cada uno. ¿Cuánto pagó Lorena en total?
5
Escribe un problema similar a los de esta página y pídele a tu compañero
o compañera que lo resuelva hallando primero una solución aproximada.
198
Soluciones
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1 Aproximada F 13 1 30 1 20 5 63 €
Exacta F 12,90 1 29,80 1 19,60 5 62,30 €
2 Aproximada F 30 2 13 2 14 5 3 €
Exacta F 29,65 2 12,85 2 14,25 5 2,55 €
28/02/2019 14:52:01
3 Aproximada F 181 1 3 3 45 5 316 €
Exacta F 180,90 1 3 3 44,90 5 315,60 €
4 Aproximada F 4 3 1 1 5 3 3 1 3 3 3 5 28 €
Exacta F 4 3 0,95 1 5 3 2,75 1 3 3 2,85 5 26,10 €
5 R. L.
10
REPASO ACUMULATIVO
1
2
9.540.602
1.840,5
23.081.003
35,74
750.300.090
429,106
4
1.000
1.000.000
Calcula.
25
34
43
52
• 16
• 49
• 81
• 100
7
En m
0,3 km
7 dam y 96 mm
En ℓ
5.873 cl
0,86 kl y 2 dal
En kg
750 g
9ty4q
En m2
0,6 hm2
538 dm2
En m3
9,1 dam3
7.200 cm3
S U GER EN CIAS
Anime a los estudiantes
a mantener vivos los
aprendizajes que han
hecho a lo largo del curso.
Resuelva las posibles
dudas que puedan surgir
y pregúnteles cuáles les
han parecido más útiles o
interesantes.
Suma y resta cada pareja.
5 h 54 min 37 s
Calcula.
3
4
1
5
9
5
1
2
8
6
(
3
2
1
2
1
4
9
3
5
Expresa en la unidad indicada.
Expresa usando una potencia de 10.
100
3
6
Descompón cada número.
2
4
3
7
5
)
3 h 12 min 49 s
6 3
:
8 9
64º 40’ 40’’
5
1
2
1
3
6
4
3
45º 50’’
8
Calcula.
2,74 1 85,3 1 0,9
63,2 2 8,195
3,6 3 9
8,5 3 4,2
7,4 3 5,08
47,2 : 8
381 : 5,6
29,35 : 3,7
Piensa y contesta.
Si representas un parque de 500 m
de largo por 200 m de ancho
en un plano a escala 1 : 10.000,
¿qué dimensiones tendrá?
Problemas
9
12 En una fábrica hay 24.000 botellas de 200 cm3
En un museo hay expuestas 240 obras.
Dos tercios son pinturas, un quinto son
esculturas y el resto son maquetas.
¿Cuántas maquetas hay en el museo?
¿Qué fracción de las obras del museo
no son maquetas?
cada una. Quieren llenarlas con el aceite
de un depósito de 5 kl que está lleno.
¿Les sobrará o les faltará aceite? ¿Cuánto?
13 Mónica ha recorrido en bicicleta 39 km
en 3 horas. Si fuera siempre al mismo ritmo,
¿cuántos kilómetros recorrería en 5 horas?
¿Cuánto tardaría en recorrer 104 km?
10 Una bicicleta costaba 232 €. El mes pasado
la rebajaron 15 € y este mes
la han rebajado un 20 % de su precio.
¿Cuánto cuesta ahora la bicicleta?
11 Alberto tenía 26,84 €. Esta mañana su abuelo
le ha dado 20 €. Ha dejado 13 € en su hucha
y el resto del dinero lo ha repartido
en partes iguales entre sus 3 hermanos.
¿Cuánto dinero ha dado Alberto
a cada hermano?
199
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28/02/2019 14:52:04
Soluciones
7
9.000.000 1 500.000 1 40.000 1 600 1 2
1 R. M. 2
102 103 106
3
32 81 64 25 4 7 9 10
4
5
47/45 88,94
37,592
11/24 55,005
c 5 5,9
8/35 9/4 32,4
c 5 68, r 5 0,2
300 m 70,096 m
6 R. M.: 9 h 7 min 26 s
o
109 41’ 30”
2 h 41 min 48 s
19o 39’ 50”
8 Tendrá unas dimensiones de 5 cm 3 2 cm.
9 Hay 32 maquetas y 13/15 no son maquetas.
7/36 1
10 (232 2 15) 3 80 : 100 5 173,60 € cuesta la bici.
35,7
11 (26,84 1 20 2 13) : 3 5 11,28 € da a cada hermano.
c 5 7,9, r 5 0,12
12 5.000 2 4.800 5 200 litros de aceite les sobrarán.
13 (39 : 3) 3 5 5 65 km 104 : (39 : 3) 5 8 h
Antes de empezar
Material de aula
Lámina de aula
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
Cálculo mental
Pequeños problemas
Calcula el 10 % de un número o multiplica por 0,1
Calcula mentalmente
10 % de 40
0,1 3 40
40 : 10 5 4
10 % de 6
10 % de 30
10 % de 9
0,1 3 67
0,1 3 5
10 % de 420
0,1 3 7
0,1 3 3.000
Calcula el 50 % de un número o multiplica por 0,5
50 % de 80
0,5 3 80
SU GER E N CI A S
Dibuje en la lámina
de aula distintos cuerpos
geométricos para que los
estudiantes los clasifiquen.
Pídales que cuenten
sus elementos y que
caractericen cada tipo
de cuerpo mostrando
sus diferencias
con los demás.
80 : 2 5 40
50 % de 6
50 % de 60
50 % de 8
0,5 3 46
0,5 3 4
50 % de 6.000
0,5 3 12
0,5 3 2.600
Un porcentaje, varios números
Escribe un número:
Cuyo 10 % sea 35.
Cuyo 50 % sea 20.
Cuyo 10 % sea 126.
Cuyo 50 % sea 230.
Cuyo 10 % sea 5,6.
Cuyo 50 % sea 6,4.
1. El precio de un billete de
autobús sin IVA es de 4,50 €.
¿Cuánto cuesta en total
el billete si hay que añadirle
un 10 % de IVA?
2. Míriam va a comprar
un teléfono móvil que cuesta
280 €. Por estar de rebajas,
le descuentan un 10 %.
¿Cuánto pagará?
3. De los 180 socios de
un gimnasio, el 50 % hace
dos actividades.
¿Cuántos socios hacen
dos actividades?
¿Qué sabes ya?
Prismas
Pirámides
Cuerpos redondos
Cilindro
Cono
Esfera
Este prisma
se llama cubo.
1
Clasifica cada cuerpo geométrico.
LibroMedia
Cuerpos
geométricos.
200
ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 40
Soluciones
28/02/2019 14:49:19
3 50 % de 180 5 90. Hacen dos actividades 90 socios.
Un porcentaje, varios números
350
56
460
1.260
40
12,8
Pequeños problemas
1 4,50 1 0,45 5 4,95. Cuesta 4,95 €.
2 280 2 28 5 252. Pagará 252 €.
¿Qué sabes ya?
1 Prisma
Cuerpo redondo (cilindro)
Pirámide
Cuerpo redondo (cono)
Cuerpo redondo (esfera)
Pirámide
S U GER EN CIAS
11
Cuerpos geométricos.
Volumen
Tiempo para leer
Tiempo para hablar
Al sur de China, en la población de Tian-Xing,
se encuentra la cueva de Miao-Keng. Es una
cueva tan gigantesca que el volumen del hueco
tallado en la roca por las aguas no había podido
ser medido de forma precisa hasta hace
muy poco tiempo.
• ¿Por qué crees que era difícil medir el volumen
de la cueva? ¿Cómo hallarías tú el volumen de
una caja de zapatos?
Una expedición organizada por la National
Geographic Society, utilizando una tecnología
muy moderna a base de láseres, ha determinado
que su volumen es de aproximadamente
11 millones de metros cúbicos.
• En una piscina olímpica caben 2.500 metros
cúbicos de agua. ¿Cuántas piscinas
olímpicas serían necesarias para llenar
la cueva del texto?
Para que te hagas una idea, ese volumen es
equivalente a cuatro veces el volumen que tiene
la mayor de las pirámides de Egipto, una de
las construcciones más grandes del mundo,
o a unas 100.000 veces el volumen de tu aula.
Señale que en esta
unidad van a trabajar
los cuerpos geométricos
y el cálculo de la
magnitud relacionada
con ellos: el volumen.
Para afianzar la visión
espacial puede ser
interesante la construcción
de distintos cuerpos
geométricos a partir
de los desarrollos
planos por parte
de los estudiantes.
• ¿Qué es un cubo? Descríbelo. ¿Qué volumen
tiene un cubo cuya arista mide 1 metro?
Explica tu respuesta.
• Imagina dos cubos de 1 metro de arista,
uno de madera y otro de piedra. ¿Tienen
el mismo volumen? ¿Y peso? ¿Por qué?
LibroMedia
Poliedros
en el fútbol.
201
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Tiempo para hablar
Por ser demasiado grande y no ser un espacio regular.
Para medir el volumen de una caja de zapatos se toman
medidas de su alto, ancho y largo, y se multiplican.
Un cubo es un prisma cuadrangular y sus 6 caras
son cuadrados iguales.
Su volumen es de 1 m3.
28/02/2019 14:49:20
11.000.000 : 2.500 5 4.400
Serían necesarias 4.400 piscinas olímpicas.
Tienen el mismo volumen pero no el mismo peso ya que son
sustancias diferentes.
Poliedros. Poliedros regulares
Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos.
LibroMedia
Poliedros.
Poliedros regulares.
Los prismas y las pirámides son poliedros. Los prismas tienen dos caras paralelas
e iguales llamadas bases, y el resto de sus caras son paralelogramos.
Las pirámides tienen una base, y el resto de caras son triángulos.
Se nombran según el polígono que forma sus bases. Sus elementos son:
Prisma hexagonal
Pirámide hexagonal
vértice o cúspide
base
altura
arista
lateral
SU GER E N CI A S
cara lateral
altura
vértice
arista
lateral
cara lateral
vértice
base
arista básica
arista básica
Indique que solo existen
cinco poliedros regulares.
En cada vértice los
ángulos de las caras
coincidentes deben ser
todos iguales y sumar
menos de 360º, además
las caras deben ser
polígonos regulares.
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y coincide
el mismo número de ellas en cada vértice. Existen solo cinco poliedros regulares.
1
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
4 caras que
son triángulos
regulares.
8 caras que
son triángulos
regulares.
20 caras que
son triángulos
regulares.
Cubo
Dodecaedro
6 caras que
son cuadrados.
12 caras que
son pentágonos
regulares.
Escribe cuáles de estos cuerpos son poliedros.
A
B
F
C
D
G
E
H
I
2
LibroMedia
Poliedros.
Cuenta las caras, vértices y aristas de cada poliedro.
¿Qué poliedros de los anteriores son prismas? ¿Cuál es una pirámide?
202
Soluciones
1 Poliedros: A, C, D, I.
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28/02/2019 14:49:23
2
Verde
Azul
Marrón Amarillo Morado
Caras
5
7
6
8
11
Vértices
6
7
8
12
13
Aristas
9
12
12
18
22
Es un prisma el marrón y una pirámide el azul.
11
3
Escribe el nombre del prisma o pirámide que se puede construir.
¿Qué dos desarrollos pertenecen a poliedros regulares?
S U GER EN CIAS
RETO
La altura de un prisma,
¿con qué otro elemento
coincide en longitud?
4
En caso de dificultades
a la hora de contar
los elementos de los
poliedros regulares puede
pedir a los estudiantes
que los construyan a
partir de sus desarrollos.
Para identificar a qué
poliedro da lugar un
desarrollo muestre la
importancia de identificar
las bases y las caras
laterales.
Calcula el número de aristas y vértices y completa.
HAZLO ASÍ
Tetraedro
Tiene 4 caras, con 3 lados cada una.
Cada arista pertenece a 2 caras.
▶
En total hay
433
5 6 aristas.
2
Tiene 4 caras, con 3 vértices cada una.
Cada vértice pertenece a 3 caras.
▶
En total hay
433
5 4 vértices.
3
Poliedro regular
Número de caras
Número de aristas
Número de vértices
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Cubo
Modela y explica.
C
RE
AT I V I D A
D
Dodecaedro
LibroMedia
Poliedros regulares.
Clasificación.
Utilizando plastilina, crea distintos poliedros y forma con ellos una figura,
una ciudad o cualquier cosa que te sugieran.
Después, escribe en tu cuaderno qué poliedros has usado.
203
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3 Verde: Tetraedro
28/02/2019 14:49:25
4
Poliedro
N.º aristas
N.º vértices
4
6
4
8
12
6
Icosaedro
20
30
12
Cubo
6
12
8
Dodecaedro
12
30
20
Morado: Pirámide pentagonal
Tetraedro
Naranja: Prisma hexagonal
Octaedro
Azul: Prisma triangular
Amarillo: Cubo
Son poliedros regulares el tetraedro y el cubo.
N.º caras
Reto. Con la arista lateral.
Creatividad. R. L.
Cuerpos redondos
Hay cuerpos geométricos que no son poliedros.
Los cuerpos redondos son cuerpos con superficies curvas.
LibroMedia
Cuerpos redondos.
Sus elementos son:
Cono
Cilindro
base
altura
superficie
lateral curva
radio
SU GER E N CI A S
Pregunte las semejanzas
y diferencias entre
los poliedros y los cuerpos
redondos. Pida a algunos
estudiantes que dibujen
en la pizarra cuerpos
redondos a partir
de una descripción dada
por usted.
Esfera
vértice
superficie
lateral curva
altura
base
superficie
curva
radio
radio
El cilindro tiene dos bases iguales y circulares y una superficie curva.
El cono tiene una base circular, un vértice y una superficie curva.
La esfera tiene una superficie curva.
1
Clasifica cada cuerpo redondo y mide su radio.
2
Clasifica cada cuerpo y explica las semejanzas y diferencias en cada pareja.
3
Descompón cada figura en cuerpos redondos e indica cuáles son.
LibroMedia
Clasificación
de cuerpos
redondos.
204
Soluciones
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28/02/2019 14:49:25
2
1 Rosa 1: Cilindro de radio 1,5 cm.
Cono: una base circular y una superficie curva.
Pirámide: base triangular y 3 caras laterales.
Los dos tienen vértice.
Azul: Cono de radio 0,5 cm.
Verde: Esfera de radio 2 cm.
Amarillo: Cilindro de radio 1 cm.
Prisma: 2 bases cuadrangulares y 4 caras laterales.
Cilindro: 2 bases circulares y una superficie curva.
Rosa 2: Esfera de radio 0,5 cm.
Marrón: Cono de radio 1,5 cm.
Cilindro: dos bases. Cono: una base.
Los dos tienen una superficie curva.
3
Dos conos. Una esfera, un cilindro y un cono.
11
4
Razona cuáles de estos desarrollos corresponden
a un cuerpo redondo e indica a cuál.
RETO
LibroMedia
Desarrollos
de cuerpos
redondos.
La esfera no tiene
desarrollo plano.
¿Por qué crees
que sucede esto?
Averigua cómo afecta
a los mapas.
Material de aula
Memory
de cuerpos
geométricos.
5
Fíjate en cada pareja de desarrollos, mide y contesta.
S U GER EN CIAS
Muestre al azar
una tarjeta del memory
y pregunte
a los estudiantes
qué tipo de cuerpo es,
cuáles son sus elementos,
cuántos son…
¿Qué cilindro tiene mayor altura? ¿Qué cilindro tiene mayor radio?
Fíjate en la figura que gira; dibuja y contesta.
C
RE
AT I V I D A
D
¿Qué cono tiene mayor radio? ¿Y altura?
Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene cuando
esta figura gira. ¿En qué dos cuerpos redondos puedes
descomponer ese cuerpo?
LibroMedia
Desarrollos
de cuerpos
redondos II.
Dibuja otras figuras que al girar produzcan cuerpos
formados por cuerpos redondos.
205
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4 Rosa: Cilindro
Naranja: Cono
5
El cilindro azul tiene mayor altura.
El verde tiene mayor radio.
l cono naranja tiene mayor radio.
E
El rosa tiene mayor altura.
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Reto
Los mapas de la esfera terrestre son representaciones aproximadas,
pero no son exactas.
Creatividad
Se puede descomponer
en un cilindro y un cono.
R. L.
Volumen de prismas y pirámides
El volumen de un prisma es el producto del área de una de sus bases por su altura.
SU GER E N CI A S
Señale que en las
pirámides su volumen
es igual a un tercio
del volumen de un
prisma que tenga su
misma área de la base
y su misma altura.
Pueden comprobarlo
manipulativamente
construyendo algunos
cuerpos con sus
desarrollos y luego
rellenándolos.
V 5 ABASE 3 h
5 cm
3 cm
ABASE 5 12 cm 3 3 cm 5 36 cm2
V 5 36 cm2 3 5 cm 5 180 cm3
12 cm
El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de su base
por su altura. La altura de la pirámide es el segmento perpendicular
a la base trazado desde el vértice.
V5
18 cm
8,7 cm
10 cm
1
ABASE 5
V5
ABASE 3 h
3
P 3 ap
6 3 10 cm 3 8,7 cm
5
5 261 cm2
2
2
261 cm2 3 18 cm
5 1.566 cm3
3
Fíjate en el prisma verde de la explicación de arriba, calcula y contesta.
Si consideras como base uno de los rectángulos de dimensiones 5 cm y 3 cm,
¿cuánto mide la altura de ese prisma? Calcula su volumen.
LibroMedia
Prismas
y pirámides.
Volumen.
Haz lo mismo tomando como base uno de los rectángulos de dimensiones
12 cm y 5 cm.
El volumen de ese prisma, ¿depende de la base escogida?
2
Calcula el volumen de cada cuerpo.
8 cm
8 cm
9 cm
5,2 cm
8 cm
8 cm
3
LibroMedia
Volumen
de prismas
y pirámides.
5 cm
6 cm
10 cm
Calcula el volumen de cada cuerpo. Haz un dibujo aproximado.
Un prisma de base triangular y altura 10 cm. Su base es
un triángulo de 7 cm de base y 5 cm de altura.
Una pirámide cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado
y cuya altura es de 12 cm.
206
Soluciones
1
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La altura mide 12 cm. V 5 5 3 3 3 12 5 180 cm3
La altura mide 3 cm. V 5 12 3 5 3 3 5 180 cm3
El volumen no depende de la base escogida.
2 VCubo 5 83 5 512 cm3
VPirámide 5
10 3 5 3 8
5 133,3 cm3
3
28/02/2019 14:49:29
6 3 6 3 5,2
VPrisma 5
3 9 5 842,4 cm3
2
3 R. G.
VPrisma 5
735
3 10 5 175 cm3
2
VPirámide 5
102 3 12
5 400 cm3
3
11
4
Observa los desarrollos y halla los volúmenes
de los prismas a los que corresponden.
RETO
3 cm
10 cm
7 cm
LibroMedia
Desarrollos
de prismas.
Calcula el volumen de
este cuerpo geométrico.
6 cm
12 cm
3 cm
5
6 cm
2 cm
6 cm
2 cm
6 cm
2 cm
Calcula el volumen de cada cuerpo. Fíjate en los cuerpos
que lo forman o descomponlo en algunos que conozcas.
6,9 cm
20 cm
12 cm
60 cm
S U GER EN CIAS
Señale que al igual que
ocurría con las figuras
planas, también podemos
descomponer cualquier
cuerpo geométrico
en otros cuerpos más
sencillos, cuyo volumen
sepamos calcular
y obtener su volumen
como suma de los
volúmenes de sus partes.
10 cm
10 cm
10 cm
5 cm
5 cm
O
LibroMedia
Volumen
de cuerpos
geométricos.
Piensa y contesta.
¿Qué crees que ocurrirá con el volumen de un cubo
si multiplicamos la longitud de su arista por 2?
¿Será el doble del volumen del cubo original?
EN
SAMIENT
30 cm
P
207
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3
28/02/2019 14:49:31
3
4 Amarillo: V 5 10 5 1.000 cm
Azul: V 5 3 3 6 3 2 5 36 cm3
Rosa: V 5 3 3 7 3 12 5 252 cm3
10 3 5 3 6,9
5 172,5 cm3
5 Azul: ABase 5
2
172,5 3 12
V 5 2 3
5 1.380 cm3
3
Rosa: V 5 603 1 3 3 203 5 240.000 cm3
Verde: V 5 5 3 5 3 30 1 5 3 5 3 10 5 1.000 cm3
Reto
V 5 63 2 2 3 2 3 6 5 192 cm3
Pensamiento
No. El volumen será 8 veces el del cubo original.
Volumen de cuerpos redondos
El volumen de un cilindro y de un cono se calculan de forma similar al de un prisma
y una pirámide, respectivamente. El de la esfera se halla de forma diferente.
LibroMedia
Volúmenes de
cuerpos redondos.
En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo.
En el caso del cilindro y el cono se usa también la de su altura (h).
Volumen del cono
Volumen del cilindro
Volumen de la esfera
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm 3 cm
SU GER E N CI A S
La elaboración
de un mural de aula
con las fórmulas de los
volúmenes puede ser útil
al comienzo. Señale que
entre cilindros y conos
hay la misma relación que
ya conocían para prismas
y pirámides (un tercio
del volumen del cilindro
de igual base y altura).
V 5 ABASE 3 h
V5
ABASE 3 h
3
V 5 p 3 r2 3 h
V5
p 3 r2 3 h
3
V 5 p 3 (2 cm)2 3 4 cm
5 3,14 3 4 cm2 3 4 cm
5 50,24 cm3
p 3 (3 cm)2 3 5 cm
3
3,14 3 9 cm2 3 5 cm
5
3
V5
5 47,1 cm3
1
4 3 p 3 r3
3
V5
4 3 p 3 (3 cm)3
3
4 3 3,14 3 27 cm3
5
3
5 113,04 cm3
V5
Calcula el volumen de cada cuerpo.
5 cm
LibroMedia
Volumen de
cuerpos redondos.
2
8 cm
10 cm
6 cm
Halla el volumen de cada cuerpo. Fíjate bien en los datos.
12 cm
3
20 cm
10 cm
8 cm
10 cm
LibroMedia
Volumen
de cuerpos
redondos.
Capacidad.
6 cm
Halla el volumen de cada cuerpo redondo.
Un bote de conservas cilíndrico de radio 10 cm y altura 15 cm.
Un cono de plástico de radio 12 cm y altura 16 cm.
Una bola de vidrio de radio 4 cm.
208
Soluciones
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1 Cilindro: 3,14 3 52 3 10 5 785 cm3
3,14 3 62 3 8
Cono: V 5
5 301,44 cm3
3
4 3 3,14 3 63
Esfera:
5 904,32 cm3
3
2 Cilindro: 3,14 3 52 3 12 5 942 cm3
Cono: V 5
3,14 3 42 3 10
5 167,47 cm3
3
4 3 3,14 3 103
Esfera:
5 4.186,7 cm3
3
3
V 5 3,14 3 102 3 15 5 4.710 cm3
3,14 3 122 3 16
5 2.411,52 cm3
3
4 3 3,14 3 43
V 5
5 267,95 cm3
3
V 5
04/03/2019 10:45:15
11
4
Agrupa las figuras para formar los desarrollos
de dos cilindros y calcula su volumen.
8 cm
25
cm
Calcula el volumen de
este cuerpo geométrico.
m
40 c
62,
RETO
cm
4 cm
,6 c
m
12
cm
10 c
m
20
125
20 cm
5
8 cm
10 cm
S U GER EN CIAS
Señale que dos cuerpos
con igual área no tienen
por qué tener el mismo
volumen y viceversa.
Pídales que dibujen
composiciones de cuerpos
redondos, rotulando
sus dimensiones, y calcule
el volumen de alguna
de ellas en común.
32 cm
Calcula el volumen de cada cuerpo. Fíjate en los cuerpos
que lo forman y descomponlo en otros más sencillos.
30 cm
18 cm
20 cm
40 cm
16 cm
LibroMedia
Volumen
de cuerpos
geométricos
compuestos.
24 cm
40 cm
40 cm
O
Piensa y contesta.
EN
SAMIENT
40 cm
María sabe que el volumen de un cilindro es de 90 cm3.
¿Cuál es el volumen de un cono que tiene la misma base
y altura que ese cilindro?
P
Si dividimos entre 2 la longitud del radio de una esfera,
¿qué ocurre con su volumen? ¿Es la mitad del volumen
de la esfera inicial? Da valores y comprueba tu respuesta.
209
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04/03/2019 10:45:16
Cono y semiesfera:
4 Rectángulo amarillo con círculos verde y naranja.
V 5 3,14 3 102 3 25 5 7.850 cm3
V5
Rectángulo morado con círculos rosa y azul.
V 5 3,14 3 202 3 10 5 12.560 cm3
Reto
2
3,14 3 16 3 30
5 16.076,8 cm3
3
4 3 3,14 3 203
Cubo y esfera: V 5 403 1
5 97.493,3 cm3
3
4 3 93
Cilindro y esfera: V 5 3,14 3 92 3 20 1
5 8.138,88 cm3
3
5 Dos conos: V 5 2 3
1
3,14 3 82 3 24
1
4 3 3,14 3 83
1
3
5 2.679,47 cm3
3
3
2
2
V5
1
3 (3,14 3 42 3 12) 5 301,44 cm3
2
Pensamiento
90 : 3 5 30 cm3
El volumen se divide entre 8.
COMPRUEBO MI PROGRESO
1
LibroMedia
Compruebo mi
progreso.
2
Define cada uno de estos términos.
Poliedro.
Cuerpo redondo.
Prisma.
Cilindro.
Pirámide.
Cono.
Poliedro regular.
Esfera.
6
Escribe a qué poliedro regular corresponde
cada desarrollo.
7
Calcula el volumen de estos cuerpos.
Fíjate bien en las medidas.
Clasifica cada cuerpo.
SU GER E N CI A S
4 cm
Trabaje el cálculo
de volúmenes
a partir de dibujos,
de desarrollos
y de descripciones
por escrito como
en la actividad 9.
Señale que todas ellas
son formas de expresar
un mismo cuerpo
geométrico.
4 cm
8 cm
8 dm
3m
5 dm
8
Identifica cada cuerpo y halla su
volumen.
¿Es un poliedro? ¿Por qué?
¿Es un prisma? ¿Por qué?
12 cm
Cuenta y escribe para cada poliedro
de la actividad 3:
Número
de caras
5
Número
de vértices
9 cm
12 cm
¿Es una pirámide? ¿Por qué?
4
12 cm
Observa cada cuerpo y contesta.
8 cm
3
9
Halla el volumen de cada cuerpo.
Número
de aristas
Un prisma de base rectangular
con dimensiones 3 dm y 19 cm
y una altura de 2 dm.
Un cono cuyo radio de la base mide
2 dm y su altura mide el doble.
Cuenta y comprueba.
Cuenta en distintos poliedros de esta unidad
las caras (C), vértices (V) y aristas (A)
y comprueba que se cumple la relación
de Euler: C 1 V 5 A 1 2.
Una esfera de diámetro 24 cm.
Una pirámide de altura 10 cm y base
un hexágono regular cuyo lado mide 8 cm
y cuya apotema mide 6,93 cm.
210
Soluciones
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1 R. L.
2 Tetraedro, cono, prisma triangular, esfera, pirámide pentagonal,
octaedro, ortoedro, cubo, cilindro.
3
Los dos lo son porque sus caras son polígonos.
El primero no porque sus bases no son iguales. El segundo sí.
Ninguno lo es porque sus caras no son triángulos.
28/02/2019 14:49:34
4 5 caras, 6 vértices, 9 aristas.
6 caras, 8 vértices, 12 aristas.
5 R. L.
6 Tetraedro
Icosaedro
7 Prisma: 128 cm3
Cilindro: 628 dm3
Esfera: 113,04 m3
8 Pirámide: 384 cm3
Cono: 1.017,36 cm3
11
Problemas
10 Piensa y dibuja.
11 Resuelve.
Sara quiere hacer una caja cúbica
y ha dibujado varios desarrollos.
Identifica los que pueden formar
un cubo y dibuja tú otros posibles.
La gran pirámide de Keops tiene una base
cuadrada de 230 m de lado y una altura
de 136 m.
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
¿A cuántos kilolitros equivale?
Imagina un enorme cono con dimensiones
muy similares a las de la gran pirámide:
radio de 115 m y altura de 136 m.
¿Cuál sería su volumen?
¿Es mayor o menor que el volumen
de la pirámide?
En un cubo de 20 cm de arista se han
metido 8 esferas de 5 cm de radio.
¿Qué volumen del cubo queda vacío?
S U GER EN CIAS
El cálculo de actividades
con volúmenes
de edificios conocidos
por los estudiantes
(monumentos, su propia
casa…) les resulta
motivador y permite
interesarlos y profundizar
en los aprendizajes.
12 Piensa y resuelve.
En la fábrica de batidos tienen un gran depósito cilíndrico
y están pensando en construir otro de forma diferente.
El depósito cilíndrico está lleno de batido
de chocolate. Tiene 10 m de altura
y el radio de su base es la mitad.
¿Cuántos litros hay en el depósito?
El contenido del depósito se usará para
rellenar briks cuyas dimensiones son
6 cm, 4 cm y 10 cm. ¿Cuántos llenarán?
En la fábrica dudan entre construir
un depósito cúbico con 15 m de arista
o uno esférico con 15 m de diámetro.
¿Cuál de los dos tiene mayor volumen?
¿Cuántos litros puede contener
el mayor más que el menor?
¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno.
¿Sé reconocer poliedros, prismas y pirámides?
¿Reconozco los cuerpos redondos y sus elementos?
¿Calculo volúmenes de cuerpos geométricos?
Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.
211
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9
28/02/2019 14:49:38
Prisma:11.400 cm
3
Cono: 16,75 dm
3
3
Esfera: 7.234,56 cm
Pirámide: 554,4 cm
3
10 Forman un cubo las figuras roja y amarilla.
11
2302 3 136
5 2.398.133 m3 5 2.398.133 kl
3
3,14 3 1152 3 136
V5
5 1.882.534 m3. Es menor.
3
4 3 3,14 3 53
V 5 203 2 8 3
5 3.813,33 cm3
3
V5
12
2
V 5 3,14 3 5 3 10 5 785 m3 5 785.000 ℓ
V 5 6 3 4 3 10 5 240 cm3 5 0,24 ℓ
785.000 : 0,24 5 3.270.833
Llenarán 3.270.833 briks.
VCubo 5 153 5 3.375 m3 5 3.375.000 ℓ
4 3 3,14 3 7,53
5 1.766,25 m3 5 1.766.250 ℓ
3
3.375.000 2 1.766.250 5 1.608.750
Caben 1.608.750 ℓ más en el cubo.
VEsfera 5
SABER HACER
Trabajar con densidades
LibroMedia
Trabajar con
densidades.
¿Por qué el aceite flota sobre el agua?
¿Pesa lo mismo 1 cm3 de mercurio
que 14 cm3 de agua?
Para responder estas preguntas hay
que conocer el concepto de densidad.
SU GER E N CI A S
Una vez explicado
el concepto de densidad,
trabaje con la clase
cómo obtener una de
las magnitudes a partir
de las otras dos para que
tengan claro cómo realizar
las actividades.
La densidad se obtiene dividiendo
la masa entre el volumen. La densidad
es una propiedad característica de la materia. Cada tipo de materia
tiene un valor propio para la densidad que la distingue de las demás.
La densidad de las sustancias se suele expresar en kilogramos por metro
cúbico (kg/m3) o en gramos por centímetro cúbico (g/cm3). Así, el agua tiene
una densidad de 1 g/cm3, el aceite 0,9 g/cm3, el mercurio 13,6 g/cm3...
1
Piensa y contesta.
Un cuerpo pesa 3 dag y 6 g y su volumen es de 4 cm3. ¿Cuál es el valor
de su densidad en gramos por centímetro cúbico?
Una sustancia tiene una densidad de 7.800 kilogramos por metro cúbico.
¿Cuánto pesa 1 centímetro cúbico de esa sustancia? ¿Cuál es su densidad
en gramos por centímetro cúbico?
Calcula el volumen
de cada cubo
y el valor de su densidad.
Fíjate en su peso.
56 g
2 cm
2
24,3 t
3m
Piensa y contesta.
¿Cuánto pesará el mercurio contenido en la probeta
de la izquierda si la densidad del mercurio es de 13,6 g/cm3?
Si en esa probeta añadimos 10 cm3 más de mercurio,
¿cuál será el nuevo volumen? ¿Y la densidad?
¿Cómo hallarías el peso total del mercurio?
¿Cuál sería el volumen y la densidad si quitas 20 cm3
de la probeta? ¿Cuánto pesaría el mercurio que queda?
3
Busca y resuelve.
Junto con tu compañero o compañera, busca información sobre
densidades de distintas sustancias y plantea problemas similares
a los de esta página. Intercambiadlos con otras parejas
y resolvedlos.
212
Soluciones
1
ES0000000093924 929039_U11_200_217_81333.indd 52
28/02/2019 14:49:40
2
36 g
d5
5 9 g/cm3
4 cm3
7.800 : 1.000.000 5 0,0078 kg 5 7,8 g
d 5 7,8 g/cm3
Morado: V 5 8 cm3
d 5 7 g/cm3
Verde: V 5 27 m3
d 5 900 kg/m3
50 3 13,6 5 680 g
50 1 10 5 60 cm3
La densidad no varía.
60 3 13,6 5 816 g
V 5 50 2 20 5 30 cm3
La densidad no varía.
30 3 13,6 5408 g
3 R. L.
11
MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS
Juega con cuerpos geométricos
Material de aula
Memory
de cuerpos
geométricos.
Material: Cartas de cuerpos
geométricos.
Número de jugadores: 4
Reglas del juego:
Se barajan las cartas y se dejan
bocabajo sobre la mesa
organizadas en 3 filas y 6 columnas.
Por turnos, cada participante levanta dos cartas y se las muestra al resto.
– Si una de ellas es un cuerpo geométrico y la otra su desarrollo, debe explicar
a los demás cómo se calcula el volumen de dicho cuerpo geométrico. Si todos
los jugadores están de acuerdo, se las guarda y vuelve a coger dos cartas.
– Si las dos cartas no son un cuerpo geométrico y su desarrollo, o si no se explica
correctamente cómo calcular el volumen, las deja sobre la mesa bocabajo
y en el lugar en el que estaban.
Quien haya conseguido formar el mayor número de parejas cuando ya no queden
cartas sobre la mesa obtiene 1 punto.
S U GER EN CIAS
Puede pedir
a los estudiantes
que amplíen la baraja
realizando nuevas
cartas con más cuerpos
geométricos y desarrollos.
Señale que deben realizar
ambos para que la baraja
siga siendo válida para
el juego.
Ganador: Gana quien primero consiga 4 puntos.
1
Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano
de este cuerpo geométrico.
Retos matemáticos
La cara inferior
La naranja
Tres dados están
colocados formando
una torre. La cara inferior
de cada dado marca los
mismos puntos que la
superior del dado que
está debajo. Si en la
cara de arriba hay un 6,
¿cuánto marca la cara
de más abajo?
Hemos marcado tres puntos en una naranja.
¿Podemos cortar la naranja
por la mitad de tal manera
que los tres puntos
queden en una
de sus partes?
213
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Juega con los cuerpos
geométricos
1
Retos matemáticos
La cara inferior
Marca un 1.
La naranja
Siempre se puede. Consideramos la naranja
como una esfera y tomamos el centro
de la esfera y el círculo que determinarían
los tres puntos que hemos marcado:
28/02/2019 14:49:45
Si el centro no pertenece al círculo, se
puede cortar la naranja en dos mitades,
dejando los puntos en una parte.
Si el centro pertenece al círculo, hay que
cortar la naranja justamente por esos
puntos. Los puntos también quedan
en una parte de la esfera.
Solución de problemas
Elegir la solución correcta entre varias
En la fábrica han envasado 1.000 litros de zumo
de piña en briks de 200 cm3 cada uno.
¿Cuántos briks han obtenido?
Calcula mentalmente y elige la solución correcta.
A. Han obtenido 5 briks.
B. Han obtenido 50.000 briks.
C. Han obtenido 500.000 briks.
D. Han obtenido 5.000 briks.
Sabes que 1 cm3 5 1 ml, luego cada brik contiene 200 ml.
Con 1 litro de zumo (1.000 ml) se obtendrán
1.000 : 200 5 5 briks.
En total serán 5 3 1.000 5 5.000 briks.
La respuesta correcta es la D.
Elige la solución correcta calculando mentalmente. Después, comprueba tu respuesta.
1
SU GER E N CI A S
Muestre a los estudiantes
la importancia de analizar
siempre si la solución
que obtenemos tiene
sentido en la situación
trabajada.
2
En una almazara tenían un gran depósito de 4 kl
lleno de aceite. Envasaron todo en garrafas de
0,5 dal cada una. ¿Cuántas garrafas obtuvieron?
A. Obtuvieron 8 garrafas.
C. Obtuvieron 800 garrafas.
B. Obtuvieron 8.000 garrafas.
D. Obtuvieron 80.000 garrafas.
Un camión puede transportar 3 t y 5 q de carga.
Va cargado con 6 paquetes de 500 kg cada uno.
¿Cuántos kilos más puede llevar?
A. Puede llevar 50 kg más.
B. No puede llevar más peso.
C. Puede llevar 5.000 kg más.
D. Puede llevar 500 kg más.
3
Sonia tiene que colocar placas de madera en el suelo de una pista de 2 dam2.
Va a utilizar placas cuadradas de 2 dm de lado. ¿Cuántas placas utilizará?
A. Utilizará 5.000 placas.
B. Utilizará 1.000 placas.
C. Utilizará 500 placas.
D. Utilizará 2.000 placas.
214
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Soluciones pág. 214
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Soluciones pág. 215
1 C. 4.000 : 5 5 800
1 R. M. Treinta millones cuarenta y cinco mil doscientos tres.
2 D. 3.500 2 6 3 500 5 500
2
2
3 A. 20.000 : 2 5 5.000
3
4
Div(24) 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
m.c.m. (8, 10 y 16) 5 80
m.c.d. (4, 12 y 14) 5 2
11
18
2,139 ,
,
, 2,4
5
8
5.000 dm; 601,5 dm
37
15
, 7,488 , 7,49 ,
5
2
9 h; 12 h
520 cl; 4.300 cl
700 m2; 500,08 m2
11
REPASO ACUMULATIVO
1
5
Escribe cómo se lee cada número.
30.045.203
27,803
402.800.920
134,99
Completa en tu cuaderno.
0,004 hm3 5 … m3
45.000 m3 5 … dam3
2
Calcula.
2.800 dam3 5 … hm3
Todos los divisores de 24.
3
m.c.m. (8, 10 y 16)
1,5 dm3 5 … ℓ
m.c.d. (4, 12 y 14)
80 cm3 5 … cl
11
5
15
2
4
4.000 ℓ 5 … m
Ordena cada grupo de menor a mayor.
18
8
2,4
7,49
6
2,139
Piensa y contesta.
Un mueble de 2 m de longitud mide
en un plano 4 cm. ¿A qué escala
está hecho ese plano?
37
5
7,488
S U GER EN CIAS
3
Expresa en la unidad indicada.
7
En dm: 0,5 km; 6 dam y 150 mm
Calcula el área de cada figura.
Un cuadrado de lado 3,5 cm.
En cl: 5.200 ml; 0,03 hl y 4 dal
En hg: 0,007 t; 3,2 kg y 2.900 cg
Un romboide de base 10 cm
y altura el doble de la base.
En h: 540 min; 43.200 s
Un círculo de diámetro 14 cm.
En m2: 0,07 hm2; 5 dam2 y 800 cm2
Un triángulo de base 40 cm y altura
un 30 % de la base.
En hl: 2,3 kl; 4 dal y 53 dl.
Pida a los estudiantes
que escriban en una
hoja una actividad
de los contenidos vistos
hasta ahora en el curso
que les hayan parecido
más interesantes
o importantes. Después,
reúnalas y resuelva alguna
de ellas en común.
Problemas
8
Silvia contestó ayer 400 correos. Un quinto
eran de compañeros suyos, el 60 % de clientes
y el resto de su directora. ¿Cuántos correos
de su directora contestó ayer?
10 Lidia pagó 120 € por 4 cajas de manzanas
de 15 kg cada una. Si el precio del kilo
es el mismo, ¿cuánto habría pagado por
7 cajas de 20 kg cada una?
11 Concha ha hecho un viaje de 540 km.
Sabe que, cada 100 km, gasta 7,1 ℓ
de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina
ha gastado?
12 En un depósito hay 5 kl y 4 hl de un líquido.
En total pesan 4,86 t. ¿Cuántos kg pesarán
7 hl de ese líquido?
13 Si una parcela de 5 ha se divide en 8 trozos
9
iguales, ¿cuántos dam2 tiene cada trozo?
Martín tenía un depósito de 5 hm3.
Lo amplió y el volumen actual es
un 20 % mayor. ¿Cuántos litros
caben en el nuevo depósito?
14 En la piscina de Leo caben 12 m3 de agua.
Ahora hay 4.000 ℓ. ¿Cuántos dm3
más caben?
215
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28/02/2019 14:49:51
70 hg; 32,29 hg
23 hl; 0,453 hl
5 4.000 m3; 45 dam3; 2,8 hm3; 1,5 ℓ; 8 cl; 4 m3
Habría pagado 280 €.
6 Está hecho a escala 1:50.
7
12,25 cm2
200 cm2
11 540 : 100 3 7,1 5 38,34. Ha gastado 38,34 ℓ.
153,86 cm2
240 cm2
8 400 2 80 2 240 5 80
12 4.860 : 54 3 7 5 630. Pesarán 630 kg.
13 500 : 8 5 62,5. Cada trozo tiene 62,5 dam2.
Contestó 80 correos de su directora.
3
10 120 : (4 3 15) 5 2 €/kg; 2 3 7 3 20 5 280
3
3
9 5 hm 1 20 % de 5 hm 5 6 hm 5 6.000.000.000 ℓ
Caben seis mil millones de litros.
14 12.000 2 4.000 5 8.000. Caben 8.000 dm3 más.
TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
Analizar pictogramas
Material de aula
Lámina de aula
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
En el pictograma se han representado los envíos repartidos por
una empresa de mensajería durante los últimos años.
1.000 envíos
2015
2016
500 envíos
2017
2018
Año
Fíjate en que en 2015 repartieron 2.500 envíos, y en 2016 repartieron 1.000 envíos más.
1
Observa el pictograma de arriba y contesta.
¿Cuántos envíos repartieron en 2017 y 2018?
SU GER E N CI A S
El número de envíos, ¿creció o disminuyó entre esos años?
Dibuje en la lámina
de aula distintos
pictogramas con varios
símbolos y trabaje
con los estudiantes
la interpretación.
Muestre que una mayor
altura de la columna no
implica que el número
total de datos sea mayor
ya que intervienen varios
símbolos para calcular
el valor total.
En la empresa de mensajería han decidido comprar más furgonetas para repartir.
¿Por qué piensas que lo han hecho?
2
Grandes
Fíjate en el pictograma, lee el texto y contesta.
Pequeñas
En el gráfico tienes las empanadas vendidas
usualmente cada día de la semana según
su tamaño (grandes, 8 personas; pequeñas,
4 personas).
Al verlo, en la tienda han tomado estas
decisiones. Indica si te parecen correctas
o no y por qué.
Los miércoles y jueves harán
las mismas empanadas de cada tipo.
El día que más empanadas grandes
harán será el sábado.
X
J
V
S
Día
Harán siempre 3 empanadas pequeñas.
Ningún día harán menos de
2 empanadas grandes.
Harán siempre 3 empanadas grandes.
216
Soluciones
1
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En 2017 se repartieron 5.000 y en 2018, 5.500.
El número de envíos creció cada año.
R. M. Porque piensan que el número de envíos seguirá
aumentando.
2
Incorrecto, porque el número de empanadas vendidas
de cada tipo es diferente.
Correcto, porque es el día que más venden.
28/02/2019 14:49:53
Incorrecto, porque los jueves solo venden 2 normalmente.
Correcto, porque todos los días venden 2 o más.
Incorrecto, porque los miércoles no venden tantas,
y los viernes y sábados venden más.
11
Analizar histogramas
Material de aula
Lámina de aula
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
El histograma muestra los envíos entregados ayer por la mensajería clasificados
según sus pesos.
Número de envíos
21
18
15
12
9
6
3
0
Menos De 100 De 200 De 500 Más de
de 100 a 200 a 500 a 1.000 1.000
Peso en gramos
Fíjate en que solo 12 envíos pesaron 500 o más gramos. El grupo más numeroso
fue el de los envíos que pesaban menos de 100 gramos.
S U GER EN CIAS
1
Dibuje en la lámina
de aula distintos
histogramas con varios
símbolos y trabaje
su interpretación. Señale
que en los histogramas
se agrupan los datos
en intervalos numéricos
y que no podemos
conocer el valor concreto
de dichos datos, sino
entre qué valores están
comprendidos.
Observa el histograma anterior y contesta.
En la empresa usan cajas para los envíos que pesen entre 100 g y 500 g.
¿Cuántas cajas de ese tipo utilizaron ayer?
El encargado dice que hubo más envíos mayores de 200 g que envíos
de peso menor. ¿Tiene razón?
El peso total de los envíos menores de 200 g, ¿pudo ser mayor de 6 kg?
¿Por qué?
Observa el histograma, razona y contesta.
Una científica ha elaborado un
histograma con el número de frutos
en un tipo de planta. Razona si
cada frase es cierta o no.
Lo más común es que la planta tenga
entre 5 y 8 frutos.
280
Número de plantas
2
240
200
160
120
Lo menos común es que tenga
menos de 5 frutos.
Hay más plantas con menos de
8 frutos que con 8 o más frutos.
80
40
0
De 1
a5
De 5
a8
De 8
a 10
De 10 Más de
a 15
15
Número de frutos
217
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Soluciones
1
18 1 15 5 33. Utilizaron 33 cajas.
39 . 27. No es verdad.
Suponiendo que los paquetes tuvieran el peso máximo
del intervalo:
21 3 100 1 18 3 200 5 5.700
No pudo ser mayor de 5.700 g.
28/02/2019 14:49:55
2
Verdadero. Es el intervalo con mayor número de plantas.
Falso. Lo menos común es que tenga más de 15 frutos.
320 , 360
Falso. Hay más plantas con 8 o más frutos.
Antes de empezar
Material de aula
Fichas de colores.
Cálculo mental
Pequeños problemas
Calcula el 20 % o multiplica por 0,2
Calcula mentalmente
20 % de 45
0,2 3 45
45 : 5 5 9
20 % de 5
20 % de 500
20 % de 10
20 % de 450
0,2 3 35
0,2 3 300
1. De los 30 estudiantes de
una clase, el 20 % tiene
alguna alergia. ¿Cuántos
estudiantes tienen alergia?
2. El año pasado llovieron
240 litros en total en Villares.
Este año ha llovido un 25 %
más. ¿Cuánto ha llovido
este año?
Calcula el 25 % o multiplica por 0,25
25 % de 32
0,25 3 32
32 : 4 5 8
SU GER E N CI A S
Prepare un grupo
de fichas de distintos
colores, plantee que va
a extraer una al azar
y pida a los estudiantes
que enuncien frases que
sean ciertas con las
expresiones de
probabilidad trabajadas
en esta página.
25 % de 4
25 % de 800
25 % de 12
25 % de 120
0,25 3 40
0,25 3 320
3. El 20 % de los 75 km de un
sendero están en un bosque.
¿Cuántos kilómetros
del sendero
están en
el bosque?
Un porcentaje, varios números
Escribe un número:
Cuyo 20 % sea 30.
Cuyo 25 % sea 20.
Cuyo 20 % sea 100.
Cuyo 25 % sea 150.
¿Qué sabes ya?
Agrupación de datos en una tabla
Más probable, menos probable
Si tenemos muchos datos, es conveniente
hacer un recuento y expresar el resultado
en una tabla.
Si se saca una bola al azar:
Los puntos en 18 tiradas de dados son:
6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 4, 3, 1, 3, 4, 6, 3, 4
LibroMedia
Agrupación de
datos en una tabla.
Recuento:
Puntuación
N.º de veces
1
3
2
1
3
6
1
3 veces
2
1 vez
3
6 veces
4
5 veces
4
5
5
1 vez
5
1
2 veces
6
2
6
1
LibroMedia
Conjunto de datos.
– Sacar bola verde es más probable que
sacar bola roja.
– Sacar bola azul es menos probable que
sacar bola roja.
– El color más probable es el verde, el menos
probable es el azul.
2
Haz el recuento y agrupa cada conjunto
de datos en una tabla.
Fíjate en el dibujo y escribe frases con
más probable que, menos probable que,
el más probable y el menos probable.
6, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 9, 7, 9, 7, 7
3, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4
218
Soluciones
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28/02/2019 14:48:27
Han llovido 300 litros.
Un porcentaje, varios números
150
80
500
600
Pequeños problemas
1 20 % de 30 5 6. Tienen alergia 6 estudiantes.
2 25 % de 240 5 60; 240 1 60 5 300
3 20 % de 75 5 15
Están en el bosque 15 km.
¿Qué sabes ya?
1
N.º
6
7
8
9
N.º
3
4
5
N.º veces
2
5
2
3
N.º veces
5
3
4
2 R. M. El color más probable es el rojo; y el menos probable, el azul.
S U GER EN CIAS
12
Pregunte a los estudiantes
sobre el concepto
de media para explorar
sus ideas previas. Pídales
que digan ejemplos
propios de situaciones
donde se utilicen: notas
de una asignatura, puntos
en una competición,
piezas de fruta comidas
al día…
Probabilidad
y estadística
Tiempo para leer
Tiempo para hablar
A lo largo de la historia, la estatura media del ser
humano ha cambiado debido a factores como
la alimentación y las condiciones sanitarias.
• ¿Qué quiere decir estatura media?
¿Significa que todas las personas miden
lo mismo?
En el Imperio romano, los hombres más altos
eran reclutados para la guardia del emperador
y su estatura media no superaba 1,76 m.
La estatura media usual era de 1,65 m.
• Explica cómo calcularías la estatura media
de tu grupo de amigos y la de
los habitantes de tu comunidad autónoma.
¿Puede hacerse de la misma forma?
Durante los siguientes siglos, las condiciones
provocaron un descenso de la estatura.
Las armaduras de la Edad Media muestran que
la estatura media era de 1,60 m, y en el siglo xviii
no llegaba a 1,60 m.
• Si a una clase de 6.º llegan varias personas
nuevas más altas que todas las que hay ahora,
¿qué ocurrirá con la estatura media?
Desde finales del siglo xix hasta hoy las
condiciones sanitarias y las mejoras alimentarias
han hecho crecer mucho la estatura media.
LibroMedia
Los censos.
• ¿Puedes calcular la media de cualquier
característica? Di ejemplos de algunas
en las que sí sea posible y de otras en
las que no se pueda hallar.
219
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Tiempo para hablar
La estatura media indica cuál es el valor promedio del total
de todas las estaturas. No indica que todas las personas
midan lo mismo.
Grupo de amigos: se suman las estaturas de todos y se divide
entre el total de amigos.
28/02/2019 14:48:29
Habitantes de la comunidad autónoma: no puede hacerse
de la misma forma, porque son demasiados datos. Se toma
una muestra representativa de los habitantes y se calcula
la media como en el caso del grupo de amigos.
La estatura media aumentará.
Se puede calcular la media de datos numéricos: pesos,
tiempos, etc. No se puede calcular la media de datos cualitativos:
color de pelo, país de origen, etc.
Variables estadísticas
Paco trabaja en una agencia de viajes y quiere tener más información
sobre los gustos y costumbres de los clientes.
Por eso, ha hecho una encuesta a varias personas sobre su último viaje.
Como las preguntas son variadas, ha obtenido datos de distintos tipos.
SU GER E N CI A S
Pregunte a los estudiantes
si sería posible convertir
una variable cuantitativa
en cualitativa y cómo
podrían hacerlo (por
ejemplo, agrupando
los valores en intervalos
y poniendo un nombre
a cada intervalo).
Comente en común
las aportaciones.
La estadística se encarga de recoger y extraer información de los datos.
El lugar visitado, la duración del viaje, el precio, el medio de transporte
utilizado… son variables estadísticas. Hay de dos tipos:
Pregunta: ¿cuántos días duró el viaje?
Todas las respuestas son números.
Respuestas: 5, 20, 7, 14…
La duración de un viaje es una variable cuantitativa.
Pregunta: ¿qué medio de transporte utilizó en el viaje?
Las respuestas no son números.
Respuestas: avión, coche, tren…
El medio de transporte utilizado es una variable cualitativa.
La estadística recoge datos para extraer información de ellos.
Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas (tienen valores numéricos)
o cualitativas (tienen valores no numéricos).
1
Escribe qué pregunta harías para obtener información sobre cada variable
y di si la variable es cuantitativa o cualitativa.
RECUERDA
Piensa si las respuestas
son numéricas o no.
La edad.
El peso.
La nacionalidad.
La estatura.
La comida favorita.
El color de los ojos.
EJEMPLO La edad: ¿cuántos años tienes? Es una variable cuantitativa.
2
Escribe tres variables cuantitativas y tres variables cualitativas.
3
Observa cada grupo de respuestas y escribe cuál puede ser
la variable estadística y de qué tipo es.
8, 5, 7, 9, 5
fútbol, baloncesto, fútbol, tenis, kárate
rojo, azul, verde, rosa, azul
LibroMedia
Variables
estadísticas.
EJEMPLO 8, 5, 7, 9, 5
1, 2, 0, 1, 1
Variable estadística: notas de un examen.
Tipo de variable: cuantitativa.
sandía, melón, ciruela, pera, piña
65, 32, 40, 89, 23
220
Soluciones
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1 R. M. ¿Cuántos kilogramos pesas?
Cuantitativas: edad, peso y estatura.
Cualitativas: nacionalidad, comida favorita y color de ojos.
2 R. L.
28/02/2019 14:48:35
3 R. M.
Notas de un examen.
Deporte más practicado.
Color favorito.
N.º de hijos.
Tipo de fruta que ha comido hoy.
Fotocopias realizadas.
Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
Isabel ha preguntado a 10 compañeros
y compañeras qué número de calzado
usan y ha anotado sus respuestas.
34
35
La frecuencia absoluta de 34 es 3.
En total hay 10 datos.
La frecuencia relativa de 34 es
35
36
37
35
34
36
35
34
3
.
10
Isabel cuenta las veces que aparece cada dato
y construye la tabla de frecuencias.
34
Número de calzado
35
36
S U GER EN CIAS
Introduzca las fichas
de colores en una bolsa
y extraiga unas cuantas
al azar. Los estudiantes
irán anotando los colores
extraídos y después
elaborarán la tabla
de frecuencias absolutas
y relativas. Pregúnteles
si la tabla sería la
misma si volvieran
a realizar otra vez todas
las extracciones.
37
Frecuencia absoluta
3
4
2
1
Suma: 10 (número total de datos)
Frecuencia relativa
3
10
4
10
2
10
1
10
Suma:
10
51
10
La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece.
La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre el número de veces
que aparece dicho dato y el número total de datos.
1
Material de aula
Fichas de colores.
Número de calzado
Observa el dato 34:
Aparece 3 veces.
12
Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias. Después, contesta.
Iván ha anotado la mascota favorita
de sus doce amigos:
Mascota
perro
gato
perro
conejo
Frecuencia absoluta
perro
perro
gato
perro
Frecuencia relativa
gato
perro
perro
gato
perro
LibroMedia
Tabla
de frecuencias.
Color preferido.
¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿Con qué coincide?
¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas?
Tira un dado 10 veces y construye la tabla de frecuencias de los resultados.
Lanza una moneda 12 veces y construye también la tabla de frecuencias.
AT I V I D A
D
2
RE
Piensa y experimenta.
LibroMedia
Frecuencia absoluta
y relativa.
C
Haz una encuesta en la clase o a tu familia con tres preguntas, anota
los resultados y, después, haz la tabla de frecuencias de cada pregunta.
¿Tienen que coincidir las sumas de las frecuencias absolutas
de todas las preguntas?
221
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28/02/2019 14:48:38
Soluciones
1
La suma de las frecuencias relativas es 1.
2 R. L.
Mascota
Perro
Gato
Conejo
F. absoluta
7
4
1
F. relativa
7
12
4
12
1
12
La suma de las frecuencias absolutas es 12.
Coincide con el total de amigos.
Creatividad
R. L. La suma de las frecuencias absolutas tiene que coincidir
en todas las preguntas porque siempre se pregunta al mismo
número de personas.
Media y moda
El entrenador ha anotado el peso de los 12 jugadores del equipo.
Como algunos se repiten, agrupa los datos en la siguiente tabla:
SU GER E N CI A S
Pida a los estudiantes que
realicen experimentos
aleatorios sencillos y que
calculen la media y la
moda de los resultados;
por ejemplo, lanzar un
dado 20 veces. Señale
que la media no es
necesariamente uno
de los datos.
Peso en kilos
62
63
64
65
Frecuencia absoluta
2
1
4
5
¿Cuál es el peso medio?
Calcula la media de los datos:
1.º Multiplica cada dato por su frecuencia
absoluta y suma los productos.
62 3 2 1 63 3 1 1 64 3 4 1 65 3 5 5
5 124 1
63 1 256 1 325 5 768
2.º Divide la suma entre el número
de datos.
N.º de datos: 2 1 1 1 4 1 5 5 12
768 : 12 5 64
El peso medio es 64 kg.
¿Cuál es el peso que más se repite?
El dato que más se repite es 65, porque es el que tiene mayor frecuencia absoluta (5).
Este dato se llama moda.
La moda de los pesos es 65 kg.
LibroMedia
Media y moda.
La media de un grupo de datos se obtiene al dividir la suma de los productos de cada dato
por su frecuencia absoluta entre el número total de datos.
La moda es el dato (o datos) con mayor frecuencia absoluta.
1
Calcula la media y la moda. Después, contesta.
Rocío ha anotado en la tabla el número de canastas
que metió cada jugadora de su equipo en un partido.
LibroMedia
Media y moda.
Canastas.
Número
de canastas
0
1
2
3
4
Frecuencia
absoluta
1
2
4
2
1
¿Coinciden la media y la moda de los datos?
¿Deben coincidir siempre estos dos valores?
2
Calcula la media y la moda de los siguientes grupos de números.
PRESTA ATENCIÓN
LibroMedia
Media y moda.
3, 10, 7, 7, 4, 5
Si hay datos repetidos, agrúpalos en una tabla.
1, 5, 2, 4, 2, 3, 5, 2
10, 5, 15, 10, 20, 5, 10, 10, 5, 10
222
Soluciones
ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 62
25 personas
La mayor frecuencia absoluta es 7. Corresponden al xilófono
y la flauta, que son las dos modas.
No se puede calcular la media porque los datos son cualitativos.
4 R. M.
5, 6, 7 y 14.
7, 8, 9, 9 y 17.
4, 5, 5, 4, 6, 4.
1, 2, 3, 8, 8, 9 y 9.
3
1 Media 5 20 : 10 5 2 canastas
Moda 5 2
La media y la moda coinciden.
La media y la moda no tienen por qué coincidir.
2
28/02/2019 14:48:40
Media 5 6
Moda 5 7
Media 5 3
Moda 5 2
Media 5 10
Moda 5 10
12
3
Observa la tabla de frecuencias absolutas y contesta.
En clase de Música
han anotado
el número de personas
que tocan
cada instrumento.
Instrumento
Frecuencia
Pandero
5
Xilófono
7
Platillos
3
Flauta
7
Claves
3
LibroMedia
Media y moda.
Taller de
manualidades.
RETO
La media de cuatro
números es 8.
Si añadimos un 3,
¿cuál es la media
de los cinco números?
¿Cuántas personas hay en la clase de Música?
¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta? ¿Qué datos
la tienen? ¿Cuáles son las modas? ¿Cuántas hay?
¿Puedes calcular la media de los datos? ¿Por qué?
4
Piensa y escribe.
Cuatro números cuya media sea 8.
S U GER EN CIAS
Cinco números cuya media sea 10.
La invención de conjuntos
de datos que cumplan
ciertas condiciones
permite a los estudiantes
afianzar los conceptos
trabajados. Pídales que
comprueben siempre
que el grupo que han
inventado cumple todas
las condiciones.
Seis números cuya moda sea 4.
Siete números que tengan dos modas.
Problemas
5
Resuelve.
Mila ha comprado varios libros de estos precios (en €):
10
12
26
12
16
12
20
16
20
¿Cuál es el precio medio de los libros?
¿Cuál es la moda de los precios?
Elisa ha hecho esta semana varios recorridos en
bicicleta. Las distancias en kilómetros han sido:
3,2
5,4
1,6
4,5
2,8
O
Piensa y contesta.
EN
SAMIENT
¿Cuál es la distancia media de los recorridos?
David lanza un dado 10 veces y anota los resultados.
¿Qué valores pueden tener los datos?
P
¿Cuál es el menor valor que puede tener la media?
¿Y el mayor?
LibroMedia
Media y moda.
Gasolinera.
¿Puede ser la media un número que no le haya salido
ninguna vez? ¿Puede ser un número decimal?
223
ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 63
5
Precio medio 5 144 : 9 5 16 €
Moda 5 12 €
Distancia media 5 17,5 : 5 5 3,5 km
Reto
83413
35
5
57
5
5
La media de los 5 números es 7.
28/02/2019 14:48:43
Pensamiento
1, 2, 3, 4, 5 y 6
El menor valor es 1; y el mayor, 6.
La media puede ser un número que no haya salido nunca.
Por ejemplo:
1, 2, 5, 4, 6, 6, 1, 1, 2, 2 F Media 5 3
También puede ser un número decimal. Por ejemplo:
5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 1, 1, 1 F Media 5 2,9
Mediana
Patricia ha cortado tiras de papel para adornar un farolillo:
3 tiras azules de 25 cm, 15 cm y 20 cm, respectivamente,
y 4 tiras rojas de 12 cm, 18 cm, 14 cm y 16 cm.
¿Cuál es la mediana de las longitudes de las tiras azules?
¿Y de las tiras rojas?
LibroMedia
Mediana.
SU GER E N CI A S
Organice a los estudiantes
en pequeños grupos y
pídales que se midan
y calculen la mediana
de sus alturas
en centímetros. Haga
grupos con números pares
e impares de personas.
Después, compruebe
algunos de los cálculos
que han hecho y calcule
en común la mediana
de las medianas obtenidas
por los grupos.
Para calcular la mediana
de las 3 tiras azules:
Para calcular la mediana
de las 4 tiras rojas:
1.º Ordena los datos.
1.º Ordena los datos.
2.º Busca el dato que ocupa
el lugar central.
2.º Busca los dos datos centrales
y calcula su media.
15
20
25
12
16
18
Dato central
Datos centrales
La mediana es 20 cm.
La mediana es 15 cm.
14 1 16
5 15
2
La mediana de un grupo con un número impar de datos es, una vez ordenados,
el dato que ocupa el lugar central.
La mediana de un grupo con un número par de datos es, una vez ordenados,
la media de los dos datos centrales.
1
Calcula la mediana de cada grupo de números.
PRESTA ATENCIÓN
Al ordenar los datos,
escribe todos los números
aunque se repitan.
LibroMedia
Mediana.
14
2
5, 8, 6
10, 14, 7, 15
2, 9, 18, 2, 15
20, 30, 60, 20, 50, 60
7, 3, 4, 2, 3, 4, 9
8, 5, 6, 10, 12, 5, 10, 11
Piensa y escribe.
Cinco números cuya mediana sea 10.
Seis números cuya mediana sea 8.
3
Resuelve.
Begoña ha comprado 5 camisetas para sus sobrinos,
de las tallas 3, 4, 5, 8 y 10 años.
¿Cuál es la media de estas tallas? ¿Y la mediana?
LibroMedia
Mediana. Libros.
Carlos tiene en el jardín 4 cubos llenos de agua,
de 25 ℓ, 16 ℓ, 32 ℓ y 27 ℓ de capacidad.
¿Cuál es la media de estas capacidades? ¿Y la mediana?
224
Soluciones
1
ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 64
3
6
12
9
40
4
9
2 R. M.
8, 9, 10, 11, 12
6, 7, 8, 8, 9, 10
28/02/2019 14:48:46
Media F 30 : 5 5 6
Mediana 5 5
Media F 100 : 4 5 25
Mediana 5 26
12
Rango
Daniel está estudiando cómo varía la temperatura
a lo largo del día en dos pueblos.
LibroMedia
Rango.
Calcula la temperatura media de cada pueblo.
Marazul
11 1 13 1 14 1 15 1 13 1 12
5 13
6
Campol
8 1 11 1 17 1 18 1 14 1 10
5 13
6
Temperaturas (en ºC)
Marazul
11 13 14 15 13 12
Campol
8 11 17 18 14 10
La temperatura media es igual en los dos pueblos.
S U GER EN CIAS
Después, calcula el rango de los datos de cada pueblo.
El rango es la diferencia del dato mayor y el menor.
Marazul
Campol
El dato mayor es 15 y el menor es 11.
15 2 11 5 4
Con los datos de las
alturas obtenidos para
los grupos de estudiantes
en la página anterior,
pídales ahora que calculen
los rangos dentro de cada
grupo de alturas. Después,
halle en común el rango
de todas las alturas.
Señale que el rango
solo depende de dos
valores: el mayor
y el menor, el resto
de valores no intervienen
en su cálculo.
El dato mayor es 18 y el menor es 8.
18 2 8 5 10
El rango es 4.
Las temperaturas no varían mucho:
los datos están próximos a la media.
El rango es 10.
Las temperaturas varían bastante:
algunos datos están lejos de la media.
El rango da idea de la proximidad de los datos a la media. Se calcula restando
el dato menor al dato mayor.
1
12, 20, 5, 7
8, 10, 7, 8, 7
7, 9, 5, 9, 7, 11
15, 9, 16, 24
7, 5, 13, 5, 5
12, 9, 20, 14, 20, 15
Resuelve.
Minutos de espera
Alicia ha anotado los minutos que tardan en llegar los autobuses
de dos líneas para ver cuál de las dos funciona mejor.
Línea A
Línea B
5
3
¿Cuál ha sido el tiempo medio de espera en cada línea?
¿Y el rango de los tiempos de espera?
8
4
6
14
¿En qué línea ha variado más el tiempo de espera de
unos autobuses a otros? ¿En cuál el rango es mayor?
6
7
5
2
LibroMedia
Rango.
Piensa y escribe dos conjuntos de datos diferentes.
C
RE
AT I V I D A
D
2
Calcula la media y el rango de cada grupo de datos.
LibroMedia
Rango.
Salto de longitud.
Con la misma media y rango.
Con la misma moda y rango.
Con el mismo rango y mediana.
225
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28/02/2019 14:48:48
Soluciones
1
2
Creatividad
11 y 15
8y3
8y6
16 y 15
7y8
15 y 11
R. M.
A
1
2
2
4
Media 5 2,25
B
0
3
3
3
Rango 5 3
Tiempo medio en ambas líneas 5 6 min
Rango línea A 5 3 min. Rango línea B 5 12 min.
A
1
2
2
2
Moda 5 2
B
2
2
2
3
Rango 5 1
Ha variado más el tiempo en la línea B.
El rango es mayor en la línea B.
A
2
3
4
5
6
Mediana 5 4
B
1
2
4
4
5
Rango 5 4
Probabilidad
Estrella tiene un dado y lo lanza.
¿Cuál es la probabilidad de que el número
obtenido sea menor que 5?
Material de aula
Fichas de colores.
El resultado al lanzar un dado depende del azar.
No podemos saber qué resultado concreto saldrá,
pero sí saber, para cada resultado,
la probabilidad de que ocurra.
La probabilidad es el cociente entre el número
de casos favorables y el número de casos posibles.
SU GER E N CI A S
Casos favorables: 1, 2, 3, 4
Introduzca fichas
de colores en una
bolsa y muéstrelas
a los estudiantes.
Pídales que calculen
la probabilidad de extraer
una ficha de cada color.
Pregúnteles si esa
probabilidad cambia
si la ficha se vuelve
a meter en la bolsa
en cada extracción o no.
Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Probabilidad de sacar un número menor que 5
La probabilidad de sacar un número menor que 5 es
1
Casos menores que 5
Casos posibles
4
6
4
.
6
Calcula y escribe para cada caso la probabilidad correspondiente. Después, contesta.
Manuel saca una fruta al azar de la bolsa.
Sacar una manzana roja.
Sacar una naranja.
Sacar una pera.
Sacar una manzana.
Sacar una fruta de color verde.
¿Qué fruta es más probable obtener: manzana, naranja o pera? ¿Cuál es la menos probable?
LibroMedia
Probabilidad.
2
Calca en tu cuaderno y colorea para que todas las oraciones sean ciertas.
Hay bolas verdes, azules y rojas.
Hay bolas verdes, azules y rojas.
La probabilidad de sacar bola verde
y azul es la misma.
La probabilidad de sacar bola roja
es mayor que un medio.
Sacar bola roja es lo menos probable.
Sacar bola verde es el doble de
probable que sacar bola azul.
LibroMedia
Probabilidad.
Lacasitos.
226
Soluciones
ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 66
4
3
2
2
7
6
1 11
11
11
11
11
Es más probable obtener manzana; y menos probable
pera o naranja.
2
3
8
40
3
40
28/02/2019 14:48:50
12
40
6
40
9
40
6
No es un juego justo: la probabilidad de que gane Pedro
20
5
es mayor que la de que gane Bruno
.
20
1
La probabilidad de que ganen los dos es
.
20
10
1
La probabilidad de que no gane ninguno es
5 .
20
2
1 2
1 2
12
3
Calcula cada probabilidad al sacar al azar una carta
de una baraja española.
RETO
Un rey o un as.
LibroMedia
Probabilidad.
Dominó.
Un dado tiene 4 caras
con 2 puntos,
1 cara con 1 punto
y 1 cara con 3 puntos.
Un caballo que no sea de bastos.
Un 3, un 4 o un 5.
Un as, un tres o un rey que sean de oros o copas.
Halla la probabilidad
de que al lanzarlo
salga:
Una figura que no sea de espadas.
EJEMPLO Un rey o un as
Casos favorables: 4 reyes y 4 ases, 8 en total
Casos posibles: 40 (n.º de cartas)
8
Probabilidad de un rey o un as:
40
– Un 2.
– Un número par.
– Un 1 o un 2.
Material de aula
Lámina
de Geometría
y Tratamiento
de la información.
Problemas
4
Resuelve.
Pedro y Bruno tienen una bolsa con tarjetas numeradas
del 1 al 20. Sacan un número al azar. Gana Pedro
si sale un divisor de 20 y gana Bruno si sale
un número par mayor que 10.
– ¿Es un juego justo? ¿Por qué?
– ¿Qué probabilidad hay de que ganen los dos?
¿Y de que no gane ninguno?
S U GER EN CIAS
70 niños
65 niñas
20 chicos jóvenes
15 chicas jóvenes
30 mujeres adultas
15 hombres adultos
En un espectáculo de magia hay 215 espectadores.
Si se elige un espectador al azar, halla la probabilidad
de que:
– Sea niño o niña.
– No sea un hombre.
– Sea adulto.
Dibuje en la lámina
figuras planas con rellenos
diferentes. Trabaje el
cálculo de probabilidades
de sucesos compuestos:
probabilidad de más
de 3 lados, de relleno
blanco o rayado, de más
de 4 lados y relleno no
blanco...
ESPECTADORES
– Sea de sexo femenino.
– No sea chico o chica joven.
– No sea hombre adulto ni joven.
O
Piensa y contesta.
EN
SAMIENT
Maite lanza 3 monedas diferentes.
¿Qué es más probable: sacar al menos una cara
o sacar dos cruces?
En un grupo de 16 personas que tienen mascota,
la probabilidad de elegir a una persona que tenga
10
un perro es
y la probabilidad de elegir una
16
8
que tenga un gato es
. ¿Cómo es eso posible?
16
LibroMedia
Probabilidad.
Bingo.
P
227
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28/02/2019 14:48:52
135
215
110
215
200
215
180
215
Probabilidad de sacar número par 5
45
215
165
215
Probabilidad de sacar 1 o 2 5
Reto
Probabilidad de sacar 2 5
Es más probable sacar al menos una cara.
4
6
4
6
5
6
Pensamiento
Es posible porque dos personas tienen perro y gato.
COMPRUEBO MI PROGRESO
1
LibroMedia
Compruebo mi
progreso.
5
Clasifica cada variable estadística en
cuantitativa o cualitativa.
Calcula la media, la mediana, la moda
y el rango de estos grupos de números.
Número de cromos de una colección.
6, 9, 7, 4, 9
Edad.
10, 12, 20, 16, 12, 20
Sexo.
13, 10, 15, 10, 15, 13, 15
Localidad donde se vive.
12, 8, 10, 12, 10, 8, 12, 8
Número de alumnos de una clase.
5, 9, 6, 5, 4, 9, 4, 10, 2
Helados vendidos en un puesto un día.
Mes de cumpleaños.
6
Observa la tabla y calcula.
En una clase de Infantil hay varios puzles
de distinto número de piezas.
Altura en centímetros.
2
Completa la tabla de frecuencias
en tu cuaderno y contesta.
Julio ha preguntado a sus amigos cuál
es su color preferido y han contestado:
6 el rojo, 5 el azul, 3 el verde, 4 el negro,
4 el rosa y 1 el naranja.
7
¿Cuál es la suma de las frecuencias
absolutas? ¿A cuántos amigos
preguntó Julio?
10
8
6
12
14
6
14
8
12
10
12
8
12
12
10
8
6
Media
5
Moda
7
10
2
¿Puede tener un grupo de cinco
números tres modas?
¿Y dos modas?
8
Calcula cada probabilidad.
Se elige al azar un número
del 1 al 30.
Es un número par.
Explica cómo se halla cada medida
estadística y calcúlalas con este grupo
de números.
8
1
En un grupo de tres números, ¿tiene
que ser la mediana uno de ellos?
¿Y en un grupo de cuatro números?
Ester ha anotado la talla de las camisetas
que ha vendido hoy en su tienda:
7
Frecuencia
absoluta
¿Puede ser la media de un grupo
de números un número distinto a todos?
Haz un recuento y construye la tabla
de frecuencias.
5
12
Piensa y contesta.
¿Cuál es la suma de las frecuencias
relativas?
4
9
¿Cuántos puzles hay con menos piezas
que la media? ¿Y con más piezas?
Frecuencia relativa
3
6
¿Cuál es la media del número de piezas
de los puzles? ¿Y la moda?
Frecuencia absoluta
Agrupe a los
estudiantes por parejas
y pídales que diseñen
un experimento
aleatorio propio
y que calculen distintas
probabilidades
asociadas al mismo.
Pueden hacer tarjetas,
figuras, usar objetos…
Haga una puesta en
común con algunos de
ellos y compruebe que
las probabilidades están
bien calculadas.
4
¿Cuántos puzles hay en la clase?
Color
SU GER E N CI A S
N.º de piezas
del puzle
6
10
12
Mediana
5
Tiene dos cifras.
Es impar o mayor
que 25.
6
Tiene dos cifras
que suman 5.
Rango
No es par ni múltiplo
de 3.
228
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Soluciones
28/02/2019 14:48:55
La suma de las frecuencias relativas es 1.
1 Cuantitativas: número de cromos, edad, número de estudiantes,
3
helados y altura. Cualitativas: Sexo, localidad y mes.
2
Rojo
Azul
Verde
Negro
Rosa
Naranja
6
5
3
4
4
1
6/23
5/23
3/23
4/23
4/23
1/23
La suma es 23. Preguntó a 23 amigos.
Talla
6
8
10
12
14
Fr. abs
2
4
3
5
2
Fr. rel
2/16
4/16
3/16
5/16
2/16
4 Media 5 7
Moda 5 5 y 6
Mediana 5 6
Rango 5 7
Rango 5 5
5
R. M. Media 5 Mediana 5 7
Moda 5 9
6
20 puzles
Moda 5 9
Media 5 8
8 y 12 puzles, respectivamente.
12
Problemas
9
Piensa y contesta.
10 Resuelve.
Los pesos en kilos de las mochilas que
llevan un grupo de personas son:
4
Peso en kilos
Frecuencia absoluta
1
5
3
6
2
En una floristería venden 10 macetas con
flores a estos precios en euros:
7
15
18
20
15
14
1
18
15
12
18
15
– ¿Cuál es el rango de los pesos?
– ¿Cuántas mochilas llevan? Escribe
los pesos ordenados de mayor a menor.
¿Cuál es la mediana?
La edad de cinco primos es 8, 9, 3, 4
y 6 años. ¿Cuál es la edad media?
¿Cuál será la edad media de los 5 primos
dentro de dos años? ¿Qué relación
hay entre las dos medias?
Halla la media, la moda, la mediana
y el rango de los precios.
En una bolsa hay 10 tarjetas verdes
y 5 tarjetas rojas. Se van sacando
tarjetas al azar y no se devuelven.
Calcula la probabilidad de que:
– La primera tarjeta sea verde.
– Si la primera ha sido roja,
la segunda también lo sea.
S U GER EN CIAS
Pida a los estudiantes
que busquen datos de
su deporte o actividad
favorita y que calculen
medidas estadísticas
asociadas a ellos.
También pueden
proponer situaciones
de probabilidad que
puedan darse en ese
contexto.
11 Piensa y resuelve.
Elsa está participando en un torneo de seis partidos de tenis.
Ha jugado ya cinco partidos, con las siguientes duraciones:
1.er partido
46 minutos
2.º partido
58 minutos
3.er partido
1 hora y 5 minutos
4.º partido
42 minutos
5.º partido
1 hora y 14 minutos
¿Cuál es la media de las duraciones en minutos de los cinco partidos jugados?
¿Es más o menos de 1 hora? ¿Cuáles son la mediana y el rango de dichas duraciones?
¿Cuántos minutos debe durar el sexto partido?
– Para que la media sea 1 hora.
– Para que la mediana sea 59 minutos.
– Para que la moda sea 46 minutos.
– Para que el rango sea 38.
¿CÓMO LO HE HECHO? Responde en tu cuaderno.
¿Sé construir e interpretar tablas de frecuencias?
¿Sé calcular la media, la moda, la mediana y el rango?
¿Calculo probabilidades de distintos sucesos?
Pon una nota a tu trabajo en esta unidad.
229
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7
Sí.
28/02/2019 14:48:57
10
En un grupo de 3 números, sí; en uno de 4, no.
No puede tener 3 modas, pero sí 2.
8
9
15
21
18
2
10
30
30
30
30
30
Rango 5 3 kg. Llevan 7 mochilas. Mediana 5 5 kg.
Media 5 6 años. Media en 2 años 5 8 años.
Media actual 1 2 5 Media dentro de 2 años.
Media 5 16
Mediana 5 15
Verde:
11
Moda 5 15
Rango 5 8
10
4
; roja:
15
14
Media 5 57 min , 1 hora.
Mediana 5 58 min
Rango 5 32 min
75 min 60 min
46 min 80 min o 36 min
SABER HACER
Realizar un control de calidad
LibroMedia
Realizar un control
de calidad.
Los procesos de fabricación industrial
están sometidos a un control de calidad.
El control de calidad consiste en analizar,
durante todas las etapas de la fabricación,
distintos datos que informen de si todo
está funcionando como debe.
En muchos casos se toman varios
ejemplares de los objetos fabricados
y se mide su longitud, peso, tamaño…
Si se detecta algún error considerable,
se retira ese lote y se revisa el proceso.
SU GER E N CI A S
Muestre la utilidad
de la estadística
en muchas situaciones
cotidianas, como la
fabricación de productos.
Pídales que escriban
varios conjuntos de datos
que cumplan y que no
cumplan cada uno
de los criterios de
calidad trabajados
en esta página.
1
Calcula y resuelve.
En una fábrica de quesos la temperatura de la leche debe estar en torno a 39 ºC.
Toman la temperatura de los depósitos cinco veces.
Si la media de las temperaturas se aparta más de medio grado
de los 39 ºC, la leche del depósito se desecha.
Analiza si estos depósitos deben ser desechados:
Depósito 1
38º 39º 39º 40º 39º
Depósito 2
Depósito 3
38,5º 39,5º 39º 39,5º 38,5º
40º 39º 40º 40º 40º
En la planta de envasado de manzanas se analiza
el rango de sus diámetros. Si en un lote el rango
es mayor que 2 cm, se reclasifican las manzanas
de nuevo.
Estudia, a partir de las medidas en cm, qué lotes
deben reclasificarse:
Lote 1: 7, 6, 7, 5, 9, 7, 6
Lote 2: 8, 6, 7, 7, 8, 8, 6
Lote 3: 8, 7, 5, 7, 8, 6, 8
2
Piensa y prepara.
Elige con tu compañero o compañera un producto
industrial y proponed un criterio de control de calidad
basado en medidas estadísticas. Exponedlo a la clase
con ejemplos de lotes aceptados y rechazados.
230
Soluciones
1
ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 70
Depósito 1 F Media 5 39o F No se desecha.
Depósito 2 F Media 5 39,8o F Sí se desecha.
Depósito 3 F Media 5 39o F No se desecha.
Lote 1 F Rango 5 4 cm F Debe reclasificarse.
Lote 2 F Rango 5 2 cm F No debe reclasificarse.
Lote 3 F Rango 5 3 cm F Debe reclasificarse.
28/02/2019 14:48:59
2 R. L.
12
MATEMÁTICAS MANIPULATIVAS
Juega con la probabilidad
Material: Baraja de tarjetas
numéricas, dos fichas del
mismo color para cada
jugador, lápiz y papel.
Fracción
2
3
4
5
6
Gana 12 puntos Gana 12 puntos Gana 12 puntos
De las tarjetas numéricas,
se eliminan las del 0, 7, 8
1
y 9 y todas las de .
6
1
2
1
4
Gana 6 puntos
Gana 4 puntos
Número par
Gana 4 puntos
Se dibuja en una hoja
de papel un tablero
como este.
1
Gana 12 puntos Gana 12 puntos Gana 12 puntos
Número impar
Gana 2 puntos
Número de jugadores: 4
Reglas del juego:
Material de aula
Baraja de tarjetas
numéricas, fichas
de colores.
Gana 3 puntos
Número natural
Gana 2 puntos
Cada participante coloca sus fichas en las casillas que crea convenientes.
—1
2
Por turnos, cada participante levanta una tarjeta. Quienes tengan fichas
en las casillas ganadoras reciben los puntos que figuran en el tablero.
Ganador: Gana quien consiga primero 36 puntos.
1
Lidia ha colocado sus fichas en las casillas 5 y Número impar. Ha salido la tarjeta 3.
¿Cuántos puntos recibe?
S U GER EN CIAS
Puede variar el tablero
y adaptarlo a otros
conjuntos de valores como
la suma de los resultados
de dos o más dados,
o bien al producto
de los resultados…
Pida a los estudiantes que
diseñen juegos similares
y comente algunos
de ellos en común.
Retos matemáticos
Paquetes y regalos
Tenía 3 paquetes con distintos regalos
para mis amigas. En cada paquete había
puesto sus direcciones y me faltaba
meter los regalos.
Me puse a recordar lo que había vivido
con cada una de ellas y... me equivoqué
al meter los regalos en los paquetes.
¿Cuántos regalos como máximo
he podido meter correctamente?
231
ES0000000093924 929039_U12_216_233_81408.indd 71
Juega con la probabilidad
1 Lidia recibe 4 puntos.
Retos matemáticos
28/02/2019 14:49:04
Paquetes y regalos
He podido meter correctamente solo 1 regalo.
Solución de problemas
Determinar varias soluciones a un problema
LibroMedia
Determinar varias
soluciones a un
problema.
En un banco de alimentos han recogido 2.500 kg de comida.
Un porcentaje lo han aportado supermercados.
¿Qué porcentaje ha aportado la ciudadanía?
¿Cuántos kilos de comida han aportado
los supermercados?
El problema tiene muchas soluciones posibles.
Puedes dar un valor al porcentaje aportado por
la ciudadanía. Supongamos que es mayor que el
porcentaje aportado por los supermercados,
es decir, debe ser mayor del 50 %.
Con ese valor halla después la solución.
Porcentaje aportado por la ciudadanía: 80 %.
SU GER E N CI A S
80 % de 2.500 5 2.000
Comente en clase
algunas de las
soluciones generadas
por los estudiantes a los
problemas propuestos.
Verifique su corrección
y muestre cómo el valor
de la solución varía
según el valor que se
haya dado al dato que no
conocíamos.
2.500 2 2.000 5 500
Solución: Los supermercados han aportado 500 kg.
Da tú otro valor al porcentaje de la ciudadanía y halla la nueva solución.
Halla dos soluciones para cada problema.
1
En una ruta de senderismo hubo 120 personas.
Un quinto eran personas mayores, y del resto
había más adultos que jóvenes.
¿Cuántos adultos más que jóvenes hubo?
2
Miguel tenía 250 €. Gastó un 60 % en comprar
una cafetera y una batidora, y el resto
lo usó para comprar una bicicleta.
¿Cuánto gastó en la cafetera menos que
en la bicicleta?
3
Laura es mayor que su hermano Raúl. Dentro de 5 años, las edades de los dos
sumarán 37 años. ¿Cuántos años es mayor Laura que Raúl?
4
Los dos tercios de las fotos hechas por Marisa eran de animales y el resto de plantas.
De las fotos de animales, la mayoría eran fotos de aves y el resto de anfibios.
Si Marisa hizo 120 fotos, ¿cuántas fotos de aves más que de plantas hizo?
5
Una página web tuvo 5.000 visitas. Menos de la mitad fueron de Europa, 1.000 personas
más fueron de América y el resto de Asia. ¿Cuántas visitas tuvo de América más
que de Asia?
232
Soluciones
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1
3 120 5 24 personas mayores
5
Supongamos que el número de adultos es 60:
120 2 24 2 60 5 36 jóvenes.
60 2 36 5 24 adultos más que jóvenes hubo.
1 R. M.
2 R. M. 60 % de 250 5 150; 250 2 150 5 100
Supongamos que la cafetera costó 70 €:
100 2 70 5 30 € menos costó la cafetera que la bicicleta.
28/02/2019 14:49:07
3 R. M. Supongamos que Laura tiene 22 años:
22 2 5 5 17. Laura es 17 años mayor.
2
3 120 5 80 de animales 40 de plantas
3
Supongamos que hizo 75 fotos de aves:
75 2 40 5 35 fotos de aves más que de plantas hizo.
4 R. M.
5 R. M.: Supongamos que a Europa fueron 1.500 personas:
A América fueron 2.500 personas y a Asia, 1.000.
Fueron 1.500 personas más a América que a Asia.
12
REPASO ACUMULATIVO
1
2
4
8,54 3 26
9,12 : 8
216.083.920
73 3 9,06
345 : 4,6
34.502.006
604.700.041
35,7 3 8,5
61,36 : 5,9
Calcula.
7
35
104
• 49
Calcula.
•81
3,5 3 (25,7 2 8,46)
21,95 1 9,01 : 5,3
Calcula.
m.c.m. (5 y 7)
m.c.d. (8 y 10)
m.c.m. (10 y 12)
m.c.d. (15 y 20)
702 : 6,5 2 14,93 3 0,8
8
Escribe con cifras.
Cinco octavos.
Siete décimas.
Doce veinteavos.
Nueve milésimas.
Seis unidades y quince centésimas.
9
Diez unidades y ciento dos milésimas.
5
Calcula.
7.890.054
27
3
6
Descompón cada número y escribe
cómo se lee.
Completa en tu cuaderno las siguientes
igualdades.
0,6 dam2 5 … m2
9,23 m3 5 … dm3
5 dm2 5 … mm2
48 dm3 5 … cm3
2.470 cm2 5 … m2
150 dm3 5 … m3
S U GER EN CIAS
Calcula.
El área de un círculo
de 20 cm de diámetro.
Calcula.
7
4
1
12 15
8
5
2
9
18
3
6
3
4
7
El volumen de un cilindro
de radio 10 cm y altura 20 cm.
9 2
:
10 6
Problemas
10 En una piscina de bolas hay diez mil bolas.
12 Un televisor que costaba 400 € incrementó
Cada una tiene 8 cm de diámetro. ¿Qué
volumen tienen en total? ¿Es mayor o menor
que el de una bola de 5 m de diámetro?
Resuelva en común
las actividades en las
que los estudiantes
hayan tenido mayores
dificultades. Comente
todos los contenidos que
han aprendido en este
curso y en la Educación
Primaria.
su precio un 10 %. Después, el nuevo
precio se redujo en un 10 %.
¿Cuánto costaba el televisor al final?
¿Es cierto que el precio final era un 99 %
del inicial?
13 En un laboratorio han recibido 4 bolsas
de 2 hg y 5 dag de un compuesto.
Necesitan 0,7 kg y 20 g para un experimento.
¿Cuántos miligramos les sobrarán
tras el experimento?
14 En un mapa la distancia entre dos
ciudades es 8,5 cm. La escala del
mapa es 1 : 400.000. ¿Qué distancia
las separa en la realidad?
Dos ciudades separadas por 16 km,
¿a qué distancia estarán en el mapa?
11 Jaime pagó en una tienda 7,65 €
por 4,5 kg de patatas y 10,72 € por 8 kg
de cebollas. ¿Cuánto habría pagado en total
por 10 kg de patatas y 9 kg de cebollas?
233
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28/02/2019 14:49:09
Soluciones
7
1
R. M. 7.000.000 1 800.000 1 90.000 1 50 1 4
Siete millones ochocientos noventa mil cincuenta y cuatro.
2
128
243
10.000
7
3
35
60
2
5
4
5/8 12/20 0,7 0,009 6,15 10,102
12
5
17/20 11/18 9/14 27/10
13
6
222,04 661,38 303,45 1,14 75 10,4
14
9
60,34
23,65
96,056
8 60 m2 50.000 mm2 0,247 m2
9
10
11
9.230 dm3
48.000 cm3
0,15 m3
314 cm2
6.280 cm3
3
VTotal bolas5 2,68 m , VBola grande 5 65,42 m3
Habría pagado 29,06 € en total.
Costaba 396 €, que es el 99 % del precio inicial.
Les sobrarán 280 miligramos.
Las separan 34 km. Estarán a 4 cm.
COOPERAMOS
Decoramos nuestra
habitación
Parada de
tres minutos
1. Organizad la clase en equipos
de cinco personas.
2. En equipo, leed el texto, observad
la ilustración y fijaos en los datos
que encontraréis en ella.
Hemos decidido redecorar nuestra habitación, y para ello necesitamos tener
en cuenta algunas medidas. Así que preparamos nuestra cinta métrica, hacemos
una fotografía de la estancia y anotamos los datos más importantes.
Muestre la importancia
del trabajo en común
para poder determinar
las dudas que
existen y resolverlas
adecuadamente. Anime
siempre a los estudiantes
a aportar lo mejor
de sí mismos en el trabajo
en común.
2m
SU GER E N CI A S
60 cm
90 cm
50 cm
80 cm
0
20
cm
3. Después, leed conjuntamente las instrucciones que tenéis que seguir.
• Leed el primer ejercicio y, durante tres minutos, concentraos en anotar todas las dudas
que el enunciado os sugiera. Pensad cómo deberíais proceder para resolverlo, sin empezar.
• A la indicación del profesor o la profesora, designad un portavoz para expresar en voz
alta las dudas del equipo. Los demás, si es necesario, os ayudarán a resolverlas.
Finalmente, comentad la estrategia que seguiríais para realizar el ejercicio.
• Repetid estas pautas para cada uno de los ejercicios, eligiendo a un compañero o compañera
diferente como portavoz de cada ejercicio.
234
Soluciones
1 VHabitación 5 20 m3
ES0000000093924 929039_U13_cooPyRepaso234_239_81410.indd 74
28/02/2019 14:48:35
4 P(vacaciones) 5 4/18
VMuebles 5 1,86 m3
1,86 : 20 3 100 5 9,3. Está ocupado un 9,3 %.
2 Cada caja debería tener, como máximo estas dimensiones:
0,4 m 3 0,3 m 3 0,5 m VCaja 5 0,06 m3
3 7 3 0,2 3 0,3 1 6 3 0,3 3 0,4 1 5 3 0,22 1
1 3,14 3 0,152 1 0,8 3 2 5 3,01065 m2
3,2 3 2,5 2 3,01065 5 4,98935 m2 quedarán libres.
P(familiares) 5 5/18
P(pequeños) 5 6/18
P(deportes) 5 3/18
5 (7 3 20 3 30 1 6 3 30 3 40) : 10 3 0,02 5 22,8 €
21 % de 22,8 5 4,79; 22,8 1 4,79 5 27,59 €
(5 3 202) : 10 3 0,02 5 4 €
15 % de 4 5 0,60 €; 4 2 0,6 5 3,40 €
21 % de 3,4 5 0,71 €; 0,71 1 3,40 5 4,11 €
27,59 1 4,11 5 31,7. Todas las fotografías cuestan 31,70 €.
EJERCICIOS
1
La habitación mide 3,2 m de ancho, 2,5 m de alto y 2,5 m de fondo. ¿Qué proporción
del volumen de la habitación, expresada en un porcentaje, está ocupado por muebles?
2
Si queréis poner dos cajas iguales para guardar ropa de fuera de temporada encima
del armario, ¿qué medidas debería tener como máximo cada una y cuál sería
su volumen?
3
Decoraremos la pared del fondo con 18 fotografías, siendo siete de 20 cm 3 30 cm,
seis de 30 cm 3 40 cm y cinco de 20 cm 3 20 cm. Además, hay un espejo redondo
de 30 cm de diámetro. Teniendo en cuenta que el armario se apoya sobre esa pared,
¿qué superficie de la pared quedará libre?
4
Entre las fotografías que habéis mandado a revelar hay 4 de las vacaciones, 6 de cuando
erais pequeños, 5 de familiares y 3 de los deportes que practicáis. En el laboratorio
os han avisado de que hay un archivo dañado y que, si no se soluciona el problema,
no se podrá imprimir la foto de ese archivo. ¿Qué probabilidad hay de que sea una foto
de las vacaciones? ¿Y de los demás temas?
5
Al final se soluciona el problema y recogéis las 18 fotografías. Al ir a pagar,
el encargado os recuerda que cada 10 cm2 de impresión en color cuesta 2 céntimos,
sin incluir el IVA. Hay una oferta especial, esta semana, para fotos cuadradas:
un descuento del 15 %, antes de aplicar el IVA. ¿Cuánto cuestan todas las fotografías
si el IVA que se aplica es del 21 %?
4. Al terminar, resolved cada ejercicio en una hoja, en equipo, recordando
los aspectos que se han comentado.
5. TIEMPO PARA HABLAR. Por último, elegid cada equipo uno
de los ejercicios y mostrad la resolución al resto de equipos,
explicándoles las estrategias que habéis utilizado.
¿CÓMO LO HEMOS HECHO?
Responde en tu cuaderno.
¿Nos hemos puesto de acuerdo en las dudas que debíamos
consultar?
¿Hemos anotado las dudas en el tiempo previsto?
¿Hemos resuelto los ejercicios en común teniendo
en cuenta las aportaciones de los demás y del profesor
o la profesora?
Pon una nota a tu trabajo en equipo.
235
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28/02/2019 14:48:36
REPASO FINAL
1
Escribe con cifras.
15
•
4
6
•
12
• 5.099.204
• 28.902.113
3
2
Escribe cómo se lee.
• Treinta y dos millones doce mil.
• Cuatrocientos millones ochocientos mil uno.
• Dieciséis doceavos.
• 675.000.870
• 24,016
• 903.070.015
• 305,607
• Ocho veinteavos.
• Tres unidades y doce milésimas.
Aproxima cada número al orden indicado.
• A las centenas de millar: 387.915; 4.678.113.
• A los millones: 6.600.129; 13.299.999.
SU GER E N CI A S
• A las unidades: 4,76; 13,292; 309,714.
Trabaje en común
las actividades en las que
los estudiantes tengan
mayores dificultades.
Pídales que las verbalicen
y que traten de buscar
ellos mismos las
respuestas acudiendo
a las páginas del libro
en las que se trabajaba
ese contenido. Ayúdelos
con pequeñas pistas para
que sean ellos los que
realicen la mayor parte
de la búsqueda
y resolución.
• A las décimas: 9,28; 37,386; 426,098.
4
Compara en tu cuaderno. Coloca el signo adecuado.
• 35.090.126
35.100.032
• 176.234.892
5
176.240.625
•
5
4
6
5
• 1,86
•
4
5
5
8
• 2,134
1,9
2,134
• 23
29
• 24
11
Dibuja unos ejes cartesianos y representa estos puntos.
• A (23, 12)
• C (11, 13)
• E (23, 0)
• B (25, 24)
• D (1 2, 25)
• F (0, 15)
¿Podías saber, antes de representarlos, qué puntos estaban sobre los ejes?
Explica cómo es posible.
6
Ordena cada grupo de números de menor a mayor.
14
8
7
8
1,8
12
5
2
3,4 3
2
5
16
5
33
10
4,52
451
100
4,6
4.508
1.000
Calcula.
• 78.999 1 16.741
• 1.235 3 349
• 65.117 : 704
• 84.006 2 9.878
• 6.127 3 890
• 86.450 : 934
• 9 3 (5 2 4)
• 20 : 5 2 (8 2 4)
• 12 : 6 1 3 3 5
• 18 2 9 : 3
• (9 1 6) 3 2 2 13
• 20 2 2 3 (8 : 2)
Halla estas potencias y raíces.
• 74
• 8
5
• 107
• 9
3
• • 16
• • 25
• 19
• 5
6
• • 100
• • 49
• • 81
• • 36
236
Soluciones
ES0000000093924 929039_U13_cooPyRepaso234_239_81410.indd 76
1 R. M. Cinco millones noventa y nueve mil doscientos cuatro.
7
2 R. M. 32.012.000
3
4
400.000 4.700.000
7.000.000 13.000.000
5 13 310
9,3 37,4 426,1
,
.
.
.
,
5
.
,
5 R. G. Los puntos que tienen alguna coordenada igual a 0.
14/8 , 1,8 , 2 , 12/5 16/5 , 33/10 , 3,4 5 3 2/5
6 8
4.508/1.000 , 451/100 , 4,52 , 4,6
95.740
431.015
74.128
5.453.030
9
0
15
17
2.401
10.000.000
1
32.768
729
15.625
9 R. M.
18, 27 y 36
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
40
1
21/03/2019 14:52:23
c 5 92, r 5 349
c 5 92, r 5 522
17
12
4
10
9
5
7
6
30
4
9
Halla.
• Tres múltiplos de 9.
• m.c.m. (8 y 20)
• m.c.m. (6, 10 y 5)
• Todos los divisores de 24.
• m.c.d. (10 y 9)
• m.c.d. (20, 12 y 16)
10 Opera con fracciones.
•
4
2
1
7
9
•
15
8
2
4
6
•
5
3
3
2
7
•
11 : 4
3
6
•
21
5 : 2
2
2
4 3
•
6
12
11
•
30
23
8
•
9
32
5
•
21 :
2
5
•
20
3 :
2
2
4 3
3
8
5
(
)
11 Calcula.
• 3,099 1 2,76
• 28,2 : 3
• 3,8 3 1,9 2 2 : 0,4 1 2
• 7,8 2 2,195
• 185 : 2,5
• 1,8 : (8,468 2 3,2 3 2,64)
• 4,76 3 2,94
• 10,927: 4,9
• 8,9 3 1,023 2 11,78 : 6,2
12 Divide, obteniendo en el cociente las cifras decimales indicadas.
2 cifras • 27,13 : 9,2
• 85,4 : 17,6
3 cifras • 3,45 : 0,127
• 19,4 : 2,6
13 Completa en tu cuaderno cada cambio de unidad.
0,091 km 5 … dm
0,12 dal 5 … ml
0,075 t 5 … kg
135.000 cm 5 … hm
250.000 cl 5 … kl
37.000 mg 5 … dag
9.700 dm 5 … dam
1,32 kl 5 … dl
241.000 dg 5 … kg
7.200 s 5 … min 5 … h
45.000 cm2 5 … m2
30.000 dm3 5 … m3
4 h y 5 min 5 … s
0,08 dam2 5 … cm2
0,07 m3 5 … kl
30.000’’ 5 …º, …’ y …’’
3,7 ha 5 … m
2
4.000.000 cm3 5 … ℓ
14 Ordena cada grupo de medidas de mayor a menor.
• 9.084 cm
0,0087 km
9m
910 dm
• 2,6 dal
0,27 hl
256 ℓ
2.600 dl
• 890.000 mg
88 kg
871 hg
91 dag
• 30.000 s
4 h y 7 min
210 min
2
• 0,09 ha
1.100 m
• 475 ℓ
480 dm3
1.300.000 cm
479.000 cm3
25.800 cl
4 h y 500 s
2
12 dam2
481.000 ml
237
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50/63
29/12
15/14
11/2
28/11
3/4
18/5
21/10
5,859
9,4
4,22
11 5,605
74
90
13,9944
2,23
7,2047
2,94 4,85 27,165 7,461
12 910 dm
1.200 ml
75 kg
13 13,5 hm
2,5 kl
3,7 dag
97 dam
13.200 dl
24,1 kg
10
69/8
1.591/240
28/02/2019 14:48:37
120 min 5 2 h
4,5 m2
30 m3
14.700 s
80.000 cm2
0,07 kl
o
2
8 20’ 0’’
37.000 m
4.000 ℓ
910 dm . 9.084 cm . 9 m . 0,0087 km
14 R. M. 2.600 dl . 25.800 cl . 256 ℓ . 0,27 hl . 2,6 dal
88 kg . 871 hg . 91 dag . 890.000 mg
30.000 s . 4 h y 500 s . 4 h y 7 min . 210 min
12 dam2 . 1.100 m2 . 0,09 ha . 1.300.000 cm2
481.000 ml . 480 dm3 . 479.000 cm3 . 475 ℓ
REPASO FINAL
15 Completa la tabla de proporcionalidad.
3
3…
21
7
14
9
35
16 Calcula.
:…
28
• 30 % de 900
• 5 % de 1.400
• 28 % de 450
• 12 % de 2.500
17 Observa cada escala y contesta.
• ¿Cuántos centímetros en la realidad representa
1 cm en el plano?
Mapa
Plano
Escala 1 : 600
0
5
10
15
kilómetros
• ¿Cuántos kilómetros en la realidad
representa 1 cm en el mapa?
• ¿Qué distancia real representan 5 cm
en el plano y en el mapa?
18 Halla el área de estas figuras planas.
• Un rectángulo de base 3 cm y altura 2,5 cm.
• Un círculo de diámetro 24 cm.
• Un romboide de base 8 cm y altura 4 cm.
• Un cuadrado de lado 6 cm.
• Un triángulo de base 15 cm y altura 10 cm.
• Un círculo de radio 7 cm.
• Un hexágono regular de lado 9 cm y apotema 7,8 cm.
• Un cuadrado de altura 12 cm.
19 Clasifica cada cuerpo geométrico.
20
cm
20 Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico.
9 cm
15 cm
18 cm
9 cm
18 cm
9 cm
21 Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de cada grupo de números.
• 18, 12, 22, 14, 22, 14
• 17, 19, 17, 19, 14, 19, 14
• 13, 15, 13, 15, 11, 11, 15, 11
• 4, 3, 4, 8, 5, 9, 1, 8, 3
22 Halla cada probabilidad al elegir al azar un número del 1 al 30.
• Que sea impar.
• Que sea mayor de 20 o divisor de 10.
• Que sea par y múltiplo de 6.
• Que no sea par ni múltiplo de 3.
238
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15
37
3
2
7
5
9
4
21
14
49
35
63
28
:7
16
270
126
70
300
17
600 cm
5 km
Plano: 30 m
Mapa: 25 km
18
7,5 cm2
75 cm2
452,16 cm2
153,86 cm2
32 cm2
210,6 cm2
36 cm2
144 cm2
19 Prisma, octaedro, poliedro, cilindro, pirámide, cono y esfera.
20
729 cm3 1.620 cm3 33.493,33 cm3
21
17 - 16 - 14 y 22 - 10
17 - 17 - 19 - 5
13 - 13 - 11 y 15 - 4
5 - 4 - 3, 4 y 8 - 8
22
15/30 5/30 14/30 10/30
28/02/2019 14:48:38
Problemas
23 Resuelve.
• En el parque hay 800 árboles. Dos quintos son chopos,
un 30 % pinos y el resto fresnos. ¿Cuántos fresnos hay?
• El año pasado cortarse el pelo costaba 20 €. Este año
ha bajado un 3 %. ¿Cuánto cuesta cortarse el pelo
este año?
• Un lote de 7 cámaras fotográficas iguales cuesta 527,45 €.
¿Cuánto costarán 14 cámaras?
¿Y 9 cámaras?
• Marta necesita preparar 40 círculos iguales de 10 cm
de diámetro cada uno.
S U GER EN CIAS
Pida a los estudiantes
que inventen problemas
propios con los contenidos
del curso que más
les hayan interesado.
Resuelva algunos de ellos
en común.
– ¿Cuánto papel necesita para cada uno?
– ¿Cuánto papel necesita en total?
– Para recortar los círculos, utiliza un trozo de cartulina
de 50 dm2. ¿Cuánta cartulina le sobra?
• En el mapa de Leonor, 5 cm representan 15 km
en la realidad. ¿Qué dimensiones tiene en él
una parcela de 3 km de largo y 24 km de ancho?
• Sonia compró 12,5 kg de manzanas por 17 €
y Pablo compró 10 kg por 14 €.
¿Cuál obtuvo un mejor precio por kilo?
• El sueldo de Alejandro en 2016 era 1.700 €
al mes. En 2017 aumentó un 2 % y en 2018
aumentó un 1 %. ¿Cuánto cobraba al mes
en 2018? ¿Cobraba un 3 % más que en 2016?
• Un examen constaba de dos partes. En la primera,
Tania tardó 1 h y 28 min, y en la segunda tardó
39 min y 40 s menos que en la primera.
¿Cuánto tardó en la segunda parte? ¿Y en total?
• En una parcela de 90.000 m2 se reservarán
2 parcelas rectangulares de 3 hm de largo y 40 m de ancho
para zonas verdes. ¿Qué área quedará para otros usos?
• Un depósito esférico de 6 m de diámetro está lleno
por la mitad de zumo. Se va a envasar el zumo en
envases de 200 ml cada uno. ¿Cuántos envases
se podrán llenar?
• Marisa tiene anotado el número de clientes que visitó
un restaurante las dos pasadas semanas. Hubo
30 visitantes en 5 días, 28 visitantes en 2 días, 24 visitantes
en 2 días y 22 visitantes en 5 días. ¿Cuál fue la media
de clientes por día? ¿Y la mediana? ¿Y el rango?
239
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23
Hay 240 fresnos.
Este año cuesta 19,40 €.
28/02/2019 14:48:40
Cobraba 1.751,34 € en 2018, que no es un 3 % más que
en 2016.
Costarán 1.054,90 € y 678,15 €, respectivamente.
En la segunda parte tardó 48 min 20 s y, en total, 2 h 16 min 20 s.
ACírculo 5 78,5 cm2 ATotal 5 3.140 cm2
ACartulina sobrante 5 1.860 cm2
Quedarán para otros usos 66.000 m2.
Se podrán llenar 282.600 envases de zumo.
Mide 1 cm de largo y 8 cm de ancho.
Media 5 26 clientes Mediana 5 26 clientes
Rango 5 8 clientes
Obtuvo mejor precio Sonia (1,36 €/kg).
Saber más
Unidades de información
Polígonos cóncavos y convexos
Mediatriz de un segmento
Bisectriz de un ángulo
Áreas de prismas y pirámides
Áreas de cuerpos redondos
Unidades de información
La capacidad de almacenamiento de la información
en los dispositivos electrónicos (teléfonos móviles,
ordenadores, tarjetas de memoria…) se mide
utilizando las unidades de información.
Estas unidades nos indican la cantidad de información
que se puede almacenar o que hay en un cierto momento
en ese dispositivo.
La unidad más pequeña es el bit, aunque la más utilizada
es el byte, que son 8 bits. En esta tabla tienes las unidades
de información más comunes, sus símbolos y equivalencias.
SU GER E N CI A S
Pida a los estudiantes
que inventen problemas
propios usando
las especificaciones
de dispositivos que
tengan en sus casas
o en el colegio.
1
Unidad
Valor
Byte
8 bits
Kilobyte (kB)
103 bytes
Megabyte (MB)
106 bytes
Gigabyte (GB)
109 bytes
Terabyte (TB)
1012 bytes
Piensa y calcula.
¿A cuántos bits equivale un kilobyte? ¿Y un megabyte?
¿A cuántos megabytes equivale un gigabyte? ¿Y kilobytes?
¿A cuántos gigabytes y megabytes equivale un terabyte?
2
Ordena las siguientes capacidades de almacenamiento de menor a mayor.
12.000 kB
3,5 GB
200 MB
3
0,00004 TB
0,002 GB
25.000.000 kB
8.000 MB
Resuelve.
Las fotos que hace un teléfono móvil ocupan 8 MB cada una.
Sara tiene en su teléfono una tarjeta de memoria de 64 GB.
¿Cuántas fotos podrá almacenar en la tarjeta?
Míriam compone música y ha comprado un disco duro de 2 TB de capacidad
para guardar todas sus canciones. Si cada una ocupa 5 MB,
¿cuántas canciones podrá guardar?
Mónica descarga un archivo a una velocidad de 4 MB cada segundo. Si el archivo ocupa
10 GB, ¿cuántos segundos tardará en descargarlo por completo?
242
Soluciones
1
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103 3 8 5 8.000
6
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3
1 kB 5 8.000 bits
10 3 8 5 8.000.000
1 MB 5 8.000.000 bits
1 GB 5 1.000 MB
1 GB 5 1.000.000 kB
1 TB 5 1.000 GB
1 TB 5 1.000.000 MB
2 0,002 GB , 12.000 kB , 0,00004 TB ,
, 200 MB , 3,5 GB , 8.000 MB , 25.000.000 kB
64.000 : 8 5 8.000
Podrá almacenar 8.000 fotos.
2.000.000 : 5 5 400.000
Podrá guardar 400.000 canciones.
10.000 : 4 5 2.500
Tardará 2.500 segundos.
Polígonos cóncavos y convexos
Los ángulos, interiores al polígono, que se forman al cortarse
dos lados de un polígono se llaman ángulos interiores.
Un polígono que tiene todos sus ángulos interiores
menores de 180° se llama polígono convexo.
Si alguno de sus ángulos es mayor de 180°,
se llama polígono cóncavo.
Polígono convexo
Polígono cóncavo
Ángulos menores
de 180º.
Algún ángulo mayor
de 180º.
Lado
Ángulo
interior
Lado
S U GER EN CIAS
1
Clasifica cada polígono en cóncavo o convexo.
2
Piensa y dibuja en tu cuaderno.
Pida a los estudiantes
que hagan composiciones
artísticas en las que usen
polígonos de los dos tipos.
Comente algunas de ellas
en común, aprovechando
para trabajar el
reconocimiento.
Un cuadrilátero cóncavo y otro convexo.
Un polígono cóncavo con dos ángulos mayores de 180º.
Dos hexágonos convexos diferentes.
Un polígono cóncavo que tenga dos ejes de simetría.
3
Escribe verdadero o falso y justifica tu respuesta.
Es posible dividir un polígono cóncavo en polígonos convexos.
Un polígono regular puede ser cóncavo.
Es posible dibujar un triángulo cóncavo.
4
Construye en tu cuaderno los siguientes polígonos,
utilizando las figuras de la cuadrícula.
Un cuadrilátero convexo con dos triángulos.
Un cuadrilátero cóncavo con dos triángulos.
Un hexágono cóncavo con dos cuadriláteros.
243
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28/02/2019 14:49:48
Soluciones
3
1 Son cóncavos el naranja y el morado. El resto son convexos.
2 R. M.
Verdadero.
Falso, porque todos sus ángulos tienen que ser iguales
y no todos pueden ser mayores de 180o.
Falso, porque la suma de los ángulos de un triángulo es 180o.
4 R. G.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular
a ese segmento que pasa por su punto medio.
La mediatriz divide el segmento en dos partes iguales.
Cualquier punto de la mediatriz está a la misma
distancia de los dos extremos del segmento.
P
A
punto
medio
Para dibujar la mediatriz sigue estos pasos:
1.º Abre el compás con
una abertura mayor que
la mitad del segmento AB
y traza un arco con centro
en A.
SU GER E N CI A S
Señale que todos
los puntos de la mediatriz
están a la misma distancia
de los extremos pero
que esa distancia depende
del punto.
Pídales que apliquen
el trazado de la mediatriz
al trazado de distintos
triángulos isósceles
conociendo el lado
desigual.
mediatriz
2.º Con la misma abertura,
traza un arco con centro
en B. Los dos arcos
se cortan en los
puntos C y D.
B
3.º Traza con la regla la recta
que pasa por los puntos
C y D. Esta recta es
la mediatriz del
segmento AB.
C
A
B
A
B
A
B
D
1
Dibuja un segmento de 8 cm, traza su mediatriz y comprueba que cada punto
de ella está a la misma distancia de los dos extremos.
2
Calca estas figuras y traza las mediatrices de sus lados.
¿Qué observas?
3
Dibuja y contesta.
1.º Traza un segmento y su mediatriz.
2.º Pincha el compás en un punto de la mediatriz y, con radio la distancia
de ese punto a uno de los extremos, traza una circunferencia.
3.º Elige otro punto de la mediatriz distinto, que puede estar al otro lado
del segmento, y repite el proceso, trazando otra circunferencia.
¿Qué tienen en común estas circunferencias? ¿Puedes dibujar más?
¿Cuántas circunferencias pasan por dos puntos cualesquiera?
244
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Soluciones
1 R. G.
2
28/02/2019 14:49:50
3
Estas circunferencias pasan por
los extremos del segmento. Se pueden
dibujar infinitas circunferencias que pasen
por los extremos.
Infinitas.
Las mediatrices se cortan en un único punto.
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta
que pasa por su vértice y lo divide en
dos ángulos iguales.
riz
bisect
Para dibujar la bisectriz sigue estos pasos:
1.º Traza con el compás un arco con centro
en el vértice del ángulo, A. Llama P y Q
a los puntos de corte del arco con
los lados del ángulo.
2.º Abre el compás y traza un arco con centro
en el punto P.
P
A
A
Q
3.º Sin mover la abertura del compás, pincha
en Q y traza otro arco. Este arco se corta
con el arco del paso 2.º en el punto R.
P
S U GER EN CIAS
P
Q
4.º Traza con la regla la semirrecta que pasa
por el vértice del ángulo, A, y por
el punto R. Esta semirrecta es la bisectriz
del ángulo.
Señale que la bisectriz
no depende de los arcos
tomados y que es única.
Pídales que dibujen
un polígono cualquiera
y que tracen las bisectrices
de sus ángulos.
R
R
A
A
Q
1
Dibuja un ángulo de 80º, traza su bisectriz y mide los dos ángulos que resultan.
Comprueba que son iguales.
2
Piensa y contesta. Después, dibuja y comprueba.
La bisectriz de un ángulo, ¿depende de los arcos trazados en los pasos 1.º y 2.º?
3
Calca estas figuras y traza las bisectrices de sus ángulos.
¿Qué observas en cada figura?
245
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Soluciones
28/02/2019 14:49:53
3
1
40°
40°
2 La bisectriz de un ángulo no depende de los arcos trazados
en los pasos 1.º y 2.º.
Las bisectrices se cortan en un único punto.
Áreas de prismas y pirámides
El área de un cuerpo geométrico se obtiene sumando las áreas
de todas las superficies que lo delimitan.
El área de un prisma es la suma de las áreas de las dos bases (polígonos iguales)
más las áreas de las caras laterales (paralelogramos).
A 5 ABASES 1 ACARAS LATERALES
5 cm
SU GER E N CI A S
Deje claro que el área
de un cuerpo geométrico
es igual a la suma
de las áreas de las caras
o superficies que
lo delimitan.
3 cm
8 cm
ABASES 5 2 3 8 cm 3 3 cm 5 48 cm2
AC. LATERALES 5 2 3 3 cm 3 5 cm 1 2 3 8 cm 3 5 cm 5
5 30 cm2 1 80 cm2 5 110 cm2
A 5 48 cm2 1 110 cm2 5 158 cm2
El área de una pirámide es la suma del área de su base más las áreas
de las caras laterales (triángulos).
A 5 ABASE 1 ACARAS LATERALES
14 cm
13,7 cm
ABASE 5 10 cm 3 8 cm 5 80 cm2
10 cm 3 13,7 cm
8 cm 3 14 cm
123
5
2
2
2
2
2
5 137 cm 1 112 cm 5 249 cm
AC. LATERALES 5 2 3
8 cm
10 cm
1
A 5 80 cm2 1 249 cm2 5 329 cm2
Calcula el área de cada cuerpo geométrico. Fíjate en su desarrollo.
8 cm
7 cm
5 cm
2 cm
5 cm
4 cm
2
Calcula el área de estos cuerpos geométricos.
12 cm
9 cm
10 cm
6,9 cm
10 cm
10 cm
4 cm
11 cm
8 cm
246
Soluciones
1
ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 86
A 5 2 3 (7 3 2 1 4 3 7 1 4 3 2) 5 100 cm2
A 5 52 1 4 3 (5 3 8) : 2 5 105 cm2
2
A 5 6 3 102 5 600 cm2
A 5 2 3 (11 3 4) : 2 1 9 3 11 1 2 3 9 3 9,5 5 314 cm2
A 5 (8 3 6 3 6,9) : 2 1 6 3 (8 3 12) : 2 5 453,6 cm2
28/02/2019 14:49:54
Áreas de cuerpos redondos
El área de un cuerpo redondo se obtiene sumando las áreas de las superficies,
planas y/o curvas, que lo delimitan.
En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo.
En el caso del cilindro se usa también la de su altura (h),
y en el del cono, la de su generatriz (g).
Área del cilindro
Área del cono
Área de la esfera
S U GER EN CIAS
r
g
h
r
r
1
A 5 ABASES 1 ASUP. CURVA
A 5 ABASE 1 ASUP. CURVA
A 5 ASUP. CURVA
A 5 2 3 p 3 r2 1 2 3 p 3 r 3 h
A 5 p 3 r2 1 p 3 r 3 g
A 5 4 3 p 3 r2
Las fórmulas de las áreas
de los cuerpos redondos
son más complejas
de recordar que otras.
Puede elaborar un mural
de aula junto con los
estudiantes para que
las usen en los primeros
momentos.
Calcula el área de cada cuerpo redondo. Fíjate en su desarrollo.
3 cm
7 cm
10 cm
2
5 cm
Piensa y calcula el área de estos cuerpos redondos.
Un bote de conservas cilíndrico de radio 8 cm y altura 12 cm.
Un cono de plástico de radio 10 cm y generatriz 20 cm.
Una bola de madera de radio 40 cm.
Una vela con forma de media esfera, de radio 6 cm.
Halla el área de cada figura.
12
8 cm
cm
20 cm
cm
20 cm
18
16 cm
3
13 cm
247
ES0000000093924 929039_PagsFinales_240_248_81334.indd 87
Soluciones
1
A 5 2 3 p 3 32 1 2 3 p 3 3 3 7 5 188,4 cm2
A 5 p 3 52 1 p 3 5 3 10 5 235,5 cm2
2
A 5 2 3 p 3 82 1 2 3 p 3 8 3 12 5 1.004,8 cm2
A 5 p 3 102 1 p 3 10 3 20 5 942 cm2
A 5 4 3 p 3 402 5 20.096 cm2
A 5 (4 3 p 3 62) : 2 5 226,08 cm2
21/03/2019 14:52:34
3
2
A 5 (4 3 p 3 10 ) : 2 1 p 3 10 3 18 5 1.193,2 cm2
A 5 4 3 p 3 42 1 2 3 p 3 82 1 2 3 p 3 8 3 13 5 1.256 cm2
A 5 2 3 p 3 10 3 12 5 753,6 cm2
