Recta de Simson

RECTA DE SIMSON
Una recta de Simson en un triángulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares
a los lados del triángulo, trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita.
TEOREMA DE SIMSON
“Si desde un punto P se trazan perpendiculares a los lados de un triángulo o a sus
prolongaciones, los respectivos pies de las perpendiculares estarán alineados si y sólo si el
punto P pertenece a la circunferencia circunscripta del triángulo”.
DEMOSTRACIÓN
De acuerdo con el diagrama, sean ABC
los vértices del triángulo, X, Y, Z los pies
de las perpendiculares respectivas
sobre las rectas que contienen los lados
AB, CA y BC. Supongamos P en el arco
AC de la circunferencia circunscrita que
no contiene a B.
*PXC = PYC = 90º  PYXC es
cuadrilátero cíclico  CYX = CPX
por abarcar la misma cuerda [CX].
*PYA = PZA = 90º  PYAZ es
cuadrilátero cíclico  AYZ = APZ
*PXB = PZB = 90º  PXBZ es
cuadrilátero cíclico  ABX y XPZ
son suplementarios.
*Por construcción PABC es cuadrilátero cíclico  ABC y CPA son suplementarios.
Dado que ABX = ABC, se deduce que XPZ = CPA son iguales. Restando a ambos el
valor del ángulo XPA resulta:
Arreglar el ángulo mal escrito, hay que escribir:
XPA
Y por tanto
.
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Así, siendo CYX =AYZ y compartiendo AC como recta sostén de un lado de cada ángulo,
deben ser opuestos por el vértice y por tanto X, Y y Z están alineados.
Observación:
Las distintas configuraciones que aparecen dependiendo de la posición relativa de P respecto a
la posición de A, B, C se pueden reducir a la prueba anterior renombrando los puntos
involucrados.
Solo demostraron el directo del teorema, deben aclararlo.
 Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos suman 180°.???
 Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si los ángulos que abren un mismo lado son iguales.???
PROPIEDADES:
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 La línea de Simson de un vértice del triángulo es la altura del triángulo trazada desde ese
mismo vértice.
 La línea de Simson de un punto diametralmente opuesto a un vértice es el lado formado
por los otros dos vértices.
 El ángulo formado entre las rectas de Simson de dos puntos P, Q es exactamente igual a la
mitad del ángulo central del arco PQ.
 La línea de Simson de un punto P pasa por el punto medio del segmento PH, donde H
representa el ortocentro del triángulo. Además, dicho punto de intersección está sobre la
circunferencia de los nueve puntos.
 La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide denominado deltoide de Steiner.
Faltan los dibujos ilustrando las propiedades porque si no los compañeros se van a perder y no
van a entender.
Para formar la recta de Simson es necesario que el punto P pertenezca a la circunferencia
circunscripta, dado que de ser P un punto exterior o interior a la circunferencia en lugar de
formarse la recta de Simson se formaría lo que se conoce como el triángulo pedal.
Reseña sobre Robert Simson
Incluir la foto y un poco de su biografía.
Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simson (1687-1768) aunque los
historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría. Dado que la primera
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publicación conocida en la que aparecen estas rectas, fechada en 1797 y perteneciente a
William Wallace, en ocasiones se denomina a estas rectas como rectas de Wallace-Simson.
Esta reseña debería estar al comienzo, antes de la demostración. Acá queda colgada!! jeje
Bibliografía:
 http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_de_Simson
Falta de dónde sacaron la demostración!!
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