PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA UNIDAD DIDÁCTICA I: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: Caracterización de una partícula puntual respecto a un sistema de referencia inercial. 1.- Un sistema formado por las partículas A, B, C y D se encuentran localizadas en los puntos (4,-3) m, (-6,-8) m, (7,10) m y (-5,9) m; respectivamente. Determine el vector de posición para cada partícula: en notación cartesiana (vectores unitarios) y notación polar. R: vectores unitarios rA = 4 m ˆi − 3 m ˆj rA = 5 m, 32307´ rB = − 6 m ˆi − 8 m ˆj rB = 10 m, 23307´ rC = 7 m ˆi + 10 m ˆj rC = 12.21 m, 55 rD = − 5 m ˆi + 9 m ˆj rD = 10.3 m, 11903´ 6.- Una estación de radar detecta un avión que se aproxima directamente desde el este. A la primera observación, la distancia al avión es 350 m a 50° sobre el horizonte. El avión es rastreado durante otros 125° en el plano vertical este-oeste, y la distancia de contacto final es de 890 m; como se muestra en la figura. Encuentre el desplazamiento del avión durante el periodo de observación. R: r = -1 111.58 m ˆi - 190.56 m ˆj notación polar 350 m 890 m 3.- Una hormiga se mueve en las trayectorias mostradas en la figura. Determine el desplazamiento resultante por el método analítico de las componentes rectángulares y exprese el vector resultante en notación analítica cartesiana. y x 35° Antena de radar 7.- En una pista circular de 50 m de radio, una persona recorre la mitad de la pista en sentido antihorario, en 3 min. a) ¿Cuál es sudesplazamiento?. Establezca su sistema de referencia y use notación de vectores unitarios. b)¿Qué distancia recorrió la persona en la trayectoria semi circular y cuál es la magnitud del desplazamiento calculado en el inciso a). c) ¿cuál fue su velocidad media? .d) ¿ Con qué rapidez se movió en el trayecto y cuál es el valor de la magnitud de la velocidad media calculada en el inciso c)? a) r = - 100 m ˆi, b) d = 157.08 m, Δr = 100 m c) v = - 0.56 m/s ˆi, d) v = 0.87 m/s, v = 0.56 m/s. 30 cm P 50° 20 cm E 8.- Un cilindro con un radio de 45 cm rueda sobre el piso horizontal sin deslizarse como se aprecia en la figura, P es un punto pintado en el borde del cilindro. En t1, P se encuentra en el punto de contacto entre el cilindro y el piso. En el momento posterior t2, la rueda ha rodado media revolución. ¿Cuánto se desplaza P durante el intervalo? R: r = 1.41 m ˆi + 0.90 m ˆj. 40 cm 40° 50° O 2.- Considerando a los cuatro vectores de posición en notación polar, relice la suma de estos vectores por el método analítico de las componentes rectángulares y exprese el vector resultante también en notación polar. R: r = 8 m, 90. 125° P 110° 50 cm 4.- Se conduce un automóvil al Este una distancia de 54 km, luego al Norte una distancia de 32 km y finalmente 27 km en la dirección 28° al Este del Norte. Trace un diagrama vectorial y determine el desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida. R: S = 87.13 km a 39°51’ al Norte del Este. 5.- El minutero de un reloj de pared mide 11.13 cm del eje a la punta. ¿Cuál es el desplazamiento de la punta (a) desde un cuarto después de la hora hasta media hora después (b) en la siguiente media hora y (c) en la siguiente hora? R: (a) r = -22.26 cm ˆi (b) r = 22.26 cm ˆi y (c) r = 0 . En el tiempo t1 En el tiempo t2 9.- Un tren se mueve a una rapidez constante de 60 km/h hacia el Este durante 40 minutos, luego en una dirección 50° al Este del Norte en 20 minutos y al final, al oeste durante 50 minutos. ¿Cuál es la velocidad media del tren durante este viaje? R: v = 7.58 km / h a 6730´ al Norte del Este. 10.- Usted camina horizontalmente de la puerta de su casa de campo 60 m hacia el este, rumbo a un río, luego da vuelta y camina lentamente 40 m al oeste y se sienta en una banca para descansar. En el primer recorrido transcurren 28 s y en el segundo 36 s. Considerando el recorrido total, de la puerta a la banca, ¿cuáles son a) su velocidad media y b) su rapidez media? R: a) v = 0.313 m/s al este, b) v = 1.56 m/s. 11.- Un automóvil sube una colina a una rapidez constante de 40 km/h y en el viaje de regreso desciende a una rapidez ENERO-JUNIO 2017 1 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA constante de 60 km/h. Calcule la rapidez promedio del viaje redondo. R: v = 48 km/h. 12.- El vector de posición inicial de un ion es: r = 5 ˆi - 6 ˆj + 2 kˆ y el final r = -2 ˆi +8 ˆj - 2 kˆ 10 s más tarde, todo en metros ¿cuál es la velocidad media durante los 10 segundos? 7 m ˆ 7m ˆ 2m ˆ i+ jk. R: v = 10 s 5 s 5 s 13.- Un protón inicialmente tiene v = 4 ˆi - 2 ˆj + 3 kˆ y luego, 4 s después, v = -2 ˆi - 2 ˆj + 5 kˆ (en metros por segundo). Para esos 4 segundos. Determine: a) La aceleración media del protón en notación de vector unitario. b) Como una magnitud y una dirección. 3m ˆ 1m ˆ 5 m 3 2 ˆ 1 2 ˆ − i+ k b) a = R: a) a = i+ j 2 2 2s 2s 2 s2 2 5 2 5 14.- Una persona está parada en la planta baja frente a una escalera de caracol. Inmediatamente sube por ella hasta el segundo piso quedando verticalmente arriba a una altura de 4.80 m y caminar de frente tres metros hacia un corredor, gira hacia la derecha para caminar sobre éste un tramo de 5.00 m y después gira a la izquierda otro tramo de 7.00 m para bajar por una escalera que esta al frente hasta el primer piso; suponer que sobre la escalera recorre horizontalmente 3.60 m (sin el descanso de la escalera). a) ¿Cuál fue su desplazamiento? b) ¿Qué magnitud tiene este desplazamiento? 15.- Usted tiene antojo y decide visitar la tienda de autoservicio. Sale de su departamento, baja 12 pisos en elevador, cada piso tiene 3.20 m de altura y camina 12 m al este hacia la salida del edificio. Luego camina 0.3 km al norte. Da vuelta al este y camina 0.15 km hasta la entrada de la tienda. a) Determine el desplazamiento entre su departamento y la entrada de la tienda. Use notación de vectores unitarios en su respuesta dejando bien claro qué sistema de referencia escogió. b) ¿Qué distancia recorrió por el camino que siguió de su departamento a la tienda y qué magnitud tiene el desplazamiento que calculó en el inciso a)? Funciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración en una, dos y tres dimensiones: 1.- Una partícula se desplaza en el plano xy, de modo que sus coordenadas x y y varían con el tiempo según x(t) = At3 + Bt y y(t) = Ct2 + D, donde A =1.00 m/s3, B = -32.0 m/s, C = 5.0 m/s2 y D = 12 m. a) Calcule su posición, velocidad y aceleración cuando t = 3 s. b) Representa la trayectoria de la partícula en movimiento considerando a sus posiciones en t = 0, t = 1, t = 2, t = 3 y t = 4 s. c) represente gráficamente la velocidad y aceleración de la partícula en la posición t = 3 s. R: a) r = -69 m ˆi + 57 m ˆj, v= -5 m/s ˆi + 30 m/s ˆj y a = 18 m/s2 ˆi + 10 m/s2 ˆj. 2.- La posición de una partícula en el plano xy está dada por: r = [(2 m/s3 ) t3 - (5 m/s) t] ˆi + [(6 m) - (7 m/s4 ) t 4 ] ˆj . Calcule cuando t = 2s: a) r , b) v y c) a . 3.- Un ingeniero crea una animación en la que un punto en la pantalla de su computadora tiene posición r = 6 cm + (4.5 cm / s2 ) t 2 ˆi + (10 cm / s) t ˆj. a) Determine la magnitud y dirección de la velocidad media del punto entre t = 0 y t = 4 s. b) Determine la magnitud y dirección de la velocidad instantánea en t = 0, en t = 3 s y t = 5 s. c) Dibuje la trayectoria del punto de t = 0 a t = 5 s y muestre las velocidades calculadas en el inciso (b). R: a) v = 20.59 cm/s a 29° b) v(0) = 10 cm/s a 90°, v(3s) = 28.73 cm/s a 20° 19’, v(5s) = 46.1 cm/s a 12° 31’. 4.- La posición de un cuerpo que oscila sobre un muelle viene dada por x = A sen ωt, en donde A y ω son constantes de valores A = 5 cm y ω = 0.175 s-1. (a) Graficar x en función de t para 0 ≤ t ≤ 36 s. Medir la pendiente del gráfico en t = 0 para determinar la magnitud de la velocidad en ese instante. (c) Calcular la velocidad media para una serie de intervalos que comienzan en t = 0 y terminan en 6, 3, 2, 1, 0.5 0.25 s. (d) calcular dx/dt y determinar la velocidad en el instante t= 0. Comparar los resultados con los apartados (b) y (c). 5.- La aceleración de un cohete viene dada por ax = bt, donde b es una constante positiva. (a) Determinar la posición en función del tiempo x(t). (b) Calcular la velocidad y la posición cuando t = 5 s si x = 0 y v0x = 0 cuando t = 0, y si b = 3 m/s3. 6.- La velocidad de una partícula que se desplaza en el plano xy está dada por: v = (6 m / s2 ) t − (4 m / s3 ) t 2 ˆi + (8 m / s) ˆj . Suponga que t > 0. a) ¿Cuál es la aceleración cuando t = 3 s? b) ¿Cuándo (si es que alguna vez) es cero la aceleración? c) ¿Cuándo (si es que alguna vez) es cero la velocidad? d) ¿Cuándo (si es que alguna vez) es la velocidad igual a 10 m/s en magnitud? R: a) a(3s) = −18 m / s2 ˆi , b) t = 0.75 s, c) nunca y d) t = 2.2 s. 7.- Una langosta camina en línea recta sobre la arena en lo profundo del mar y que asignaremos como eje x con la dirección positiva hacia la derecha. La ecuación de la posición de la langosta en función del tiempo es: x(t) = 80 cm + (5 cm/s)t –(0.075 cm/s2 )t2. a) Determine la velocidad inicial, posición inicial y aceleración inicial de la langosta. b) ¿En qué instante t la langosta tiene velocidad cero? c) ¿Cuánto tiempo después de ponerse en marcha regresa la langosta al punto de partida? d) ¿En qué instantes t la langosta está a una distancia de 20 cm de su punto de partida? ¿Qué velocidad tiene la langosta en cada uno de esos instantes? e) Dibuje las gráficas: x-t, v-t y a-t para el intervalo de t =0 a t = 40 s. R: a) v0x = 5 cm/s, x0 = 80 cm, ax = -0.15 cm/s2; b) t = 33.33 s; c) t = 66.67 s; d) t1 = 4.27 s, vx1 = 4.36 m/s, t2 = 62.4 s, vx2 = -4.36 m/s y t3 = 3.8 s, vx3 = 4.43 m/s. 8.- La velocidad de una partícula viene dada por v(t) = (6 m/s2 ) t + 3 m/s ˆi. a) Hacer un gráfico de v en función del tiempo y marcar el área limitada por la curva en el intervalo de t = 0 a t = 5 s. b) Determine el área marcada en el inciso anterior tomando en cuenta las unidades y ENERO-JUNIO 2017 2 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA mediante ellas indique a qué cantidad física se refiere. c) Hallar la función de posición r (t), evalúe t = 5 s y compare con el inciso anterior; que concluye. R: b) 90, c) r = (3 m/s2 ) t 2 + (3 m/s) t ˆi y r (5s) = 90 m ˆi km/h y B a 30 km/h. Si están separados inicialmente por 20 kilómetros y parten al mismo tiempo. Calcular: a) La distancia que tiene que recorrer A desde el punto de partida para alcanzar a B.. b) El tiempo necesario para alcanzarlo. R: a) d = 80 km, b) t = 2 h. 9.- La aceleración de una partícula que se mueve en una dimensión durante el intervalo de tiempo comprendido entre 0.0 y 10 s viene dada por ax = (0.20 m/s3)t. Si la partícula inicia su movimiento desde el reposo y en el origen: a) calclar la velocidad instantánea en cualquier instante comprendido entre dentro del intervalo indicado. b) Calcular su velocidad media durante el intervalo de tiempo entre 2.0 s y 7.0 s. R: (a) (b) vx = 2.23 m/s. 4.- En un mismo instante, un auto pasa por un punto A y otro por un punto B, si el que pasa por el punto A tiene una rapidez de 30 m/s y el que pasa por B 20 m/s y la distancia de A hasta B es de 40 m. ¿A qué distancia del punto A alcanza el primer auto al segundo y cuánto tiempo transcurre? R: d = 120 m; t = 4 s. 10.- Considere el movimiento de una partícula que está sometida a una aceleración no constante dada por:ax = a0x + bt, donde a0x y b son constantes. a) Calcular la velocidad instantánea en función del tiempo. b) Determinar la posición en función del tiempo. c) Calcular la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo, entre un tiempo inicial 0 y un tiempo final arbitrario t . R: (a) vx = vox + a0xt + 1 bt2, (b) x = x0 + voxt + 1 a0xt2 + 1 bt3, 2 (c) vx = vox + 1 2 2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) 6 11.- Dos objetos A y B se conectan mediante una barra rígida que tiene una longitud L. los objetos se deslizan a lo largo de rieles guía perpendiculares como se muestra en la figura. Suponga que A se desliza hacia la izquierda con una rapidez constante v. Encuentre la rapidez de B cuando Ө = 60°. R: 0.577 v. B L x 3.- Un tren partió del reposo y desplaza con aceleración constante. En cierto momento iba a 33.0 m/s y 160 m más adelante iba a 54 m/s. Calcule: a) la aceleración, b) el tiempo necesario para cubrir los 160 m, c) el tiempo requerido para alcanzar la rapidez de 33.0 m/s y d) la distancia recorrida entre el reposo y el momento en que el tren alcanzó una rapidez de 33.0 m/s. v Ө 1.- Una bala se mueve horizontalmente con rapidez de 150 m/s, choca con un árbol y penetra 35 cm hasta que se detiene. Determine la magnitud de la aceleración y el tiempo en que se detiene, suponiendo que su rapidez disminuye constantemente y su trayectoria es recta. R: a = 32 142.86 m/s2, t = 4.67 ms. 2.- Un conductor va en línea recta en su automóvil con rapidez de 30 m/s, aplica los frenos constantemente hasta detenerse en 2 s y así evita pasar un alto. Determine: a) La aceleración. b) La distancia que recorrió desde el instante en que aplica los frenos. R: (a) a = -15 m/s2 ˆi y (b) d = 30 m. y 0 6.- Si en el problema anterior la ventaja se diera en distancia ¿cuál deberá ser dicha distancia para que lleguen empatados? R: x0B = d = 80 m. 6 a0xt + 1 bt2. y 5.- Dos corredores participaron en una carrera de 200 metros en línea recta; si el primero puede adquirir una rapidez máxima de 5 m/s y el segundo de 3 m/s, si llegan empatados. ¿Cuánto tiempo de ventaja dio el primer corredor al segundo? (suponer que los dos corredores no tienen aceleración a lo largo de la carrera). R: t = 26.67 s. A x MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN (MRU): 1.- Un auto pasa por el punto A mientras otro auto pasa por el punto B en un mismo instante, los puntos están separados por una distancia de 160 km, si ambos autos van en línea recta, en sentido contrario y carriles diferentes con rapidez constante, ¿a qué distancia del punto A se encuentran? si el primero tiene una rapidez de 50 km/h y el segundo 30 km/h. R: x = d = 100 km. 2.- Un corredor pasa por el punto A, mientras otro pasa por el punto B situado a 30 metros adelante del punto A; si ambos corredores van en línea recta en el mismo sentido y rapidez constante, ¿a qué distancia del punto A el primer corredor alcanza al segundo?. Si y el primero se mueve a 8 m/s y el segundo a 5 m/s. R: x = d = 80 m. 3.- Dos ciclistas A y B se mueven en la misma dirección y sentido con rapidez constante. El ciclista A se mueve a 40 4.- Un tráiler acelera constantemente a 1.6 m/s2 partiendo del reposo en 12 s. A continuación se mueve con rapidez constante durante 20 s, después de los cuales disminuye su rapidez con una aceleración de -1.6 m/s2. a) ¿Qué distancia total recorrió el tráiler? b) ¿Cuál fue su velocidad media? R: a) d = 614.4 m, b) v med = 13.96 m / s ˆi 5.- Una pelota se encuentra inicialmente en reposo, y adquiere una aceleración de 0.50 m/s2 al moverse en sentido descendente por un plano inclinado de 9.0 m de longitud. Cuando la pelota alcanza la parte inferior, ésta sube por otro plano y después de desplazarse 15.0 m, se detiene. Determine: a) ¿Cuál es la rapidez de la pelota al llegar a la parte inferior del primer plano? b) ¿Cuánto tarda en descender por el primer plano? c) ¿Cuál es la aceleración a lo largo del segundo plano? d) ¿Cuál es la rapidez de la pelota cuando ha recorrido 8.0 m por el segundo plano? ENERO-JUNIO 2017 3 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA R: a) v = 3 m/s, b) t = 6 s, c) a = -0.3 m/s2 ˆi y d) v = 2.05 m/s. CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL 6.- En el instante en que un semáforo se pone en luz verde, un auto que esperaba en el cruce arranca con aceleración constante de 3.5 m/s 2. En el mismo instante, un camión que viaja con rapidez constante de 23 m/s alcanza pasa al auto. a) ¿A qué distancia de su punto de partida el auto pasa al camión? b) ¿Qué rapidez tiene el auto en ese momento? R: a) d = 302.28 m y b) v = 46 m/s 7.- Dos trenes se acercan uno al otro sobre vías adyacentes. Inicialmente están en reposo con una separación de 40 m. El tren de la izquierda acelera hacia la derecha a 1.0 m/s2. El tren de la derecha acelera hacia la izquierda a 1.3 m/s2. a) ¿Qué distancia recorre el tren de la izquierda en el instante de encuentro? b) Si los trenes tienen una longitud de 150 m, ¿cuál es el tiempo que tardan en cruzarse por completo desde que ambos parten del reposo? R: (a) d = 17.39 m y (b) t = 17.19 s. 8.- Partiendo del reposo un tren acelera a una tasa constante de 1.4 m/s2 durante 20 s, continúa su movimiento ahora con rapidez constante en 65 s y luego frena uniformemente a 3.5 m/s2 hasta detenerse. Calcule la distancia total recorrida. R: d = 2 212 m. 9.- Un coche lleva una rapidez contante de 25 m/s en una zona escolar. Una patrulla que se encuentra estacionada arranca tras el infractor acelerando de manera constante a 5 m/s2 suponer que la patrulla avanza inicialmente a la par del auto. (a) ¿Cuánto tiempo tarda la patrulla en alcanzar al vehículo infractor? (b) ¿Qué velocidad lleva la patrulla cuando le alcanza? R: (a) t = 10 s y (b) v = 50 m/s ˆi . 10.- ¿Qué velocidad tendrá la patrulla, cuando se encuentra a 25 m por detrás del vehículo infractor? R: v = 5.64 m/s ˆi y v = 44.4 m/s ˆi. 11.- Una chica va en bicicleta. Cuando llega a una esquina, se detiene a tomar agua de su botella. En ese momento pasa un amigo a una rapidez constante de 8 m/s. a) Después de 20 s, la chica se monta nuevamente en su bicicleta y viaja con una aceleración constante de 2.2 m/s 2. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar a su amigo? b) Si la chica hubiese estado en su bicicleta pedaleando con una rapidez de 1.2 m/s cuando pasó su amigo, ¿qué aceleración constante habría necesitado para alcanzarlo en la misma cantidad de tiempo? R: a) t = 16.23 s, b) a = 0.84 m/s2 ˆi 12.- Un agente de tránsito está escondido en un cruce de calles y observa que un auto no respeta la señal de stop, el auto cruza la intersección y continúa con rapidez constante. El agente emprende su persecución 3 s después de que el coche sobrepasa la señal, acelera a 4.5 m/s2 y alcanza una rapidez de 120 km/h, continúa con esta rapidez hasta que alcanza al auto infractor. En ese instante, el coche se encuentra a 1.5 km del cruce. (a) ¿Qué tiempo desde que está en marcha el agente le lleva alcanzar al auto? (b) ¿Qué velocidad lleva el auto? R: (a) t = 48.71 s, (b) v = 29 m / s ˆi. 1.- Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? (Despreciar la altura del punto de lanzamiento) R: t = 4.08 s. 2.- Para intentar estudiar los efectos de la gravedad un estudiante lanza un pequeño proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad 300 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, ¿cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? R: hmax = 4591.84 m 3.- Un bombardero dispara verticalmente hacia arriba para derribar a un helicóptero que se mantiene suspendido en el aire a 45 metros de altura exactamente sobre el bombardero. (a) ¿Con qué rapidez debe lanzar el proyectil para dar en el blanco con una rapidez de 10 m/s (b) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en dar en el blanco? R: a) v0 = 31.34 m/s y b) t = 2.18 s. 4.- Un submarino lanza un proyectil desde la superficie del mar hacia un helicóptero que se mantiene suspendido en el aire exactamente por encima de éste. Si el helicóptero se encuentra a una altura de 450 metros de la superficie del mar. (a) ¿Cuál es la rapidez del proyectil en el instante del impacto con el helicóptero, si es lanzado con una rapidez inicial de 200 m/s? (b) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en dar en el blanco desde que fue lanzado? R: (a) v = 176.58 m/s y (b) t = 2.38 s. 5.- En el patio de la escuela los gemelos Pablo y Juan se encuentran jugando con una bola de goma. Si Pablo está en el barandal del primer piso, mientras que Juan en la planta baja del patio, y la altura entre niveles es de 2.5 m, determine: a) el tiempo que tarda la bola en llegar a las manos de Pablo, si Juan la lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 12 m/s, b) el tiempo que tardará la bola en llegar a las manos de Juan si Pablo ahora la lanza verticalmente hacia arriba con la misma rapidez que Juan y c) La velocidad con que cada uno recibe la bola. R: a) t1 = 2.22 s, t2 = 0.23 s, b) t = 2.64 s y m m c) Pablo la recibe: v1 = −9.75 ˆj o v 2 = 9.75 ˆj , mientras s s mˆ que Juan la recibe: v1 = −13.89 j s 6.- Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la distancia que recorre durante su último segundo en el aire. R: d = 43.6 m. 7.- Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba con una aceleración de 20 m/s2. Al cabo de 25 s el combustible se agota y el cohete continúa como una partícula libre, hasta llegar al suelo. Calcular: a) el punto más alto que alcanza el cohete. b) el tiempo total que el cohete está en el aire. c) la velocidad del cohete justo antes de chocar con el suelo. R: a) y = 19 005.1 m, b) t = 138.3 s y c) v = −609.65 m / s ˆj . 8.- Un niño ve un balín de acero subir y bajar en una ventana de 1.2 m de altura. Si el balín permanece a la vista un total de 0.62 s, calcule la altura que alcanza por encima de la parte superior de la ventana? R: h = 0.28 m. ENERO-JUNIO 2017 4 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 9.- Una bola de acero se deja caer desde el techo de un edificio (su velocidad inicial es cero). Un observador pardo frente a una ventana de 120 cm de altura observa que la bola tarda 0.125 s en llegar de la parte superior a la parte inferior de la ventana. Sigue cayendo, tiene una colisión completamente elástica con una acera horizontal y reaparece en la parte inferior de la ventana 2.0 s despuésde su descenso. ¿Qué altura tiene el edificio? (La bola tendrá la misma rapidez en un punto en que asciende que el que tenía al descender tras una colisión totalmente elástica). 10.- Se deja caer una pelota desde una altura de 2.2 m y rebota a una altura de 1.9 m sobre el suelo. Suponga que estuvo en contacto con éste durante 96 ms y determine su aceleración promedio o media, durante el contacto con el suelo. a = 130.31 m / s2 ˆj 11.- Un objeto cae de una altura h. Durante el segundo final de su caída recorre 38 m. ¿Cuál es la altura? R: h = 93.9 m. 12.- Una grúa levanta una carga de ladrillos a la velocidad constante de 5 m/s, cuando a 6 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. Determine: a) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo? b) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? c) ¿Cuál es su velocidad en el instante en que choca contra el suelo? R: (a) hmax =7.28 m, (b) R: t = 1.73 s y (c) v = −11.94 m / s ˆj . 13.- Un payaso se encuentra en la azotea de un edificio a 52 m de suelo, su colaborador, quien mide 1.80 m de estatura camina hacia el edificio con una rapidez constante de 1.3 m/s. Si el payaso deja caer un huevo con la intención de caiga en la cabeza de su colaborador, ¿en dónde deberá encontrarse el colaborador al momento de soltar el huevo? R: a 4.16 m respecto a la trayectoria vertical del huevo. que la parte delantera de un camión pasa debejo de elle. Si el vehículo va a 50 km/h y mide 12 m de largo, ¿a qué distancia por arriba del camión debe estar la valla si el llavero casi golpea la perte trasera? R: h = 3.66 m. 17.- Una paracidista salta y cae 52 m sin fricción. Cuando se abre el paracaídas desacelera a 2.10 m/s2 y toca el suelo con una rapidez de 2.90 m/s. a) ¿Cuánto tiempo permanece la paracaidista en el aire? b) ¿A qué altura empezó la caída? 18.- Se dispara una bala desde un cañón directamente hacia arriba y de regreso cae con una rapidez de 260 ft/s, enterrándose 9 in. Calcule: a) La aceleración (supuestamente constante) necesaria para detener a la bala. b) el tiempo que tarda el suelo en ponerla en reposo. R: (a) a = 45 066.67 ft/s2 ˆj y (b) t = 5.77 X 10-3s. 19.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. En su ascenso cruza el punto A con una rapidez v, y el punto B, 3 m más alto que A, con una rapidez v/2. Calcule: a) la rapidez v, b) la altura máxima alcanzada por la piedra arriba del punto B. R: (a) v = 8.85 m/s y (b) hmax = 0.99 m. 20.- Dos objetos inician la caída libre a partir del reposo desde la misma altura, si uno de ellos cae 1 s más tarde, en que tiempo después de que el primer objeto cae la distancia entre ellos será de 10 m. R: 1.52 s. TIRO PARABÓLICO 1.- El portero de un equipo de fútbol realiza un despeje desde su portería. Si el balón sale disparado con un ángulo de 45° sobre la horizontal, y el tiempo que tarda en llegar a los pies de un jugador que se encuentra parado sobre el piso esperando el pase es de 1.8 s (sin considerar el efecto del balón y el rozamiento del aire). Determine: (a) La rapidez inicial del balón (b) ¿A qué distancia se encontraba el jugador que recibió el pase respecto a la posición inicial del balón? R: a) v0 = 12.47 m/s y b) d = 15.88 m. 2.- Un proyectil de juguete se lanza con una rapidez de 24 m/s con un ángulo de 53° sobre la horizontal. Determine: (a) La posición horizontal y vertical a 3 s después del disparo (b) Las componentes de la velocidad horizontal y vertical en dicho instante. R: (a) x= 43.33 m, y = 13.4 m y (b) vx = 14.44 m/s, vy = -10.23 m/s. 52 m v = 1.30 m/s 1.80 m 14.- Un tornillo se desprende del fondo exterior de un ascensor que se mueve hacia arriba a velocidad de 6 m/s. El tornillo alcanza el fondo del hueco del ascensor en un tiempo de 3 s. (a) ¿A qué altura estaba el ascensor cuando se desprendió el tornillo? (b) ¿Qué velocidad tiene el tornillo al chocar con el fondo del hueco del ascensor? R: a) h = 26.1 m, b) v = −23.4 m / s ˆj 15.- Dos bolas de billar se dejan caer desde un edificio de 60 m de altura. La segunda bola se deja caer 1.6 s después de la primera. ¿Qué distancia ha recorrido la segunda bola cuando la separación entre ambas es de 36 m? R: d = 10.97 m. 16.- Una persona parada en un puente que da a una carretera, suelta un llavero sobre la valla en el momento en 3.- Un cañón se ajusta con un ángulo de tiro de 45°. Dispara un bala con rapidez de 320 m/s. (a) ¿A qué altura llegará la bala? (b) ¿Cuánto tiempo estará en el aire? (c) ¿Cuál es el alcance horizontal? (d) ¿Qué velocidad tendrá un instante antes del impacto? R: (a) ymax = 2612.24 m (b) t = 46.18 s (c) x = 18448.98 m (d) v = 320 m / s ,315º. . 4.- Un lanzador arroja una pelota a 140 km/h hacia la base de una cancha de béisbol que está a 16.90 m de distancia horizontal. Despreciando la resistencia del aire, determinar la altura a la que fue lanzada la pelota. R: h = 0.93 m. 5.- Un peñasco de 76 kg se mueve de manera horizontal cuando deja de tener contacto con el borde de un acantilado que se encuentra a 25 m arriba de un lago, como se muestra en la figura. El tope de la cara vertical de la presa está a 100 m del pie del acantilado al nivel de la superficie del lago. Hay una llanura 30 m debajo del tope de la presa. a) ¿Qué ENERO-JUNIO 2017 5 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA rapidez mínima debe tener la roca al perder el contacto con el acantilado para llegar a la llanura sin golpear la presa? b) ¿A qué distancia del pie de la presa, cae en la llanura? 100 m 25 m 30 m 6.- Una piedra lanzada desde un puente 20 m arriba de un río tiene una velocidad inicial de 12 m/s dirigida a 45º sobre la horizontal. (a) ¿Qué distancia horizontal recorre la piedra al chocar con el agua? (b) ¿con qué velocidad llega la piedra al agua? R: d = 26 m y (b) v = 23.11 m / s, 291 32'. paquete y la distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y aquel donde el paquete cae a tierra es de 600 m, (a) ¿cuánto tiempo está el paquete en el aire antes de impactarse con el suelo? (b) ¿a qué altura estaba el avión en el instante en que el piloto soltó el paquete? R: (a) t = 9.4 s y (b) y0 = 936.45 m. 11.- Un proyectil se dispara desde el suelo con un ángulo Φ0 sobre la horizontal. (a) Demuestre que el ángulo de elevación Ө visto desde el punto de lanzamiento al punto más alto se relaciona con Φ0 por tan Ө = ½ tan Φ0 (b) calcule Ө cuando Φ0 = 45°. R: (a) tan Ө = ½ tan Φ0 y b) Ө = 26.57°. hmax 7.- Un objeto es lanzado con un ángulo de 37° sobre la horizontal con una rapidez inicial de 20 m/s. A 32 m del punto de partida se encuentra un muro con el cual choca. ¿A qué altura del muro se produce el choque? R: 4.44 m. 8.- Una muchacha que está a 4m de una pared vertical lanza contra ella una pelota (ver figura). La pelota sale de su mano a 2 m por encima del suelo von una velocidad inicial v = (10 m / s) (iˆ + ˆj) o v = 10 2 m / s a 45. Suponer que 0 0 cuando la pelota choca en la pared, se invierte la componente horizontal de su velocidad mientras que permanece sin variar su componente vertical. ¿Dónde caera la pelota al suelo? Φ0 Ө 12.- Un acróbata intenta saltar un río en motocicleta. La rampa de despegue está inclinada 53.0°, el río tiene 40.0 m de anchura y la ribera lejana está a 15 m bajo el tope de la rampa. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez necesita en el tope de la rampa para alcanzar apenas el borde de la ribera lejana? b) Si su rapidez es apenas la mitad del valor obtenido en (a), ¿Dónde cayó? 15 m v0 100 m 53° 10 m/s 10 m/s 40 m 2m 4m 9.- Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una montaña a 200 m por encima de un valle. Su velocidad inicial es de 60 m/s a 60° respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, ¿dónde caerá el proyectil directamente en el valle? R: x = 408.13 m. v0 = 60 m/s 60° 200m x 10.- Un avión con rapidez de 300 km/h, vuela en picada a un ángulo de 40° debajo de la horizontal, de éste se suelta un 13.- Una persona sostiene un carro de supermercado que está situado en un plano inclinado que termina en un precipicio sobre un rio. El plano inclinado forma un ángulo de 40° por debajo de la horizontal. La persona se descuida y suelta el carro el cual desciende por el plano en línea recta desde la posición de equilibrio, con una aceleración constante de 3 m/s2, recorriendo una distancia de 30 m hasta el borde de un precipicio vertical. El precipicio se encuentra a 10 m por encima del agua. Halla, (a) la magnitud de la velocidad del carro cuando alcanza el borde del precipicio y el tiempo que tarda en llegar allí (b) la rapidez del carro cuando choca con el agua (c) el tiempo total que el carro tarda desde el reposo hasta el contacto con el agua (d) la posición del carro sobre la superficie del agua respecto de la base del precipicio. 14.- En una película un monstruo trepa a la azotea de un edificio de 30 m sobre el suelo y lanza un peñasco hacia abajo con una rapidez de 25 m/s y un ángulo de 45º por debajo de la horizontal. (a) ¿A qué distancia del edificio cae el peñasco? (b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? R: (a) 22.24 m y (b) v = 34.85 m / s 300º 39'. ENERO-JUNIO 2017 6 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 15.- Un acto circense consiste en lo siguiente: Una bella dama se mece en un trapecio, se proyecta con un ángulo de 53° y se supone que es atrapada por un trapecista cuyas manos están a 5.9 m arriba y 8.3 m adelante del punto de lanzamiento (ver figura) ignore la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez inicial debe tener la dama para ser atrapada por el trapecista? b) Para la rapidez alcanzada en el inciso, a) ¿qué velocidad tendrá la bella dama al ser atrapada. c) La noche de debut, la bella dama no fue atrapada, ¿qué distancia horizontal recorrió ella desde su punto de lanzamiento al caer en la red que está a 8.5 m debajo de dicho punto? R: a) v0 = 13.5 m/s, b) v = 8.16 m / s,5.5º y c) d = 22.87 m. 20.- Un leopardo ataca moviéndose en línea recta hacia un cazador con rapidez constante de 80 m/s. En ese instante el cazador está a 150 m de distancia y le dispara una flecha a 35º con respecto al suelo. ¿Cuál deberá ser la rapidez inicial de la flecha para que dé en el blanco? R: v0 = 14 m/s. 21.- Un cañón de juguete se coloca en una rampa que tiene una pendiente con un ángulo α. Si el proyectil se lanza por encima de la rampa con un ángulo Ө sobre la horizontal, como se muestra en la figura, y tiene una rapidez inicial v0, demostrar que el alcance R, medido a lo largo de la rampa viene dado por: R= 2 v 02 cos2 (tg − tg) g cos v0 v0 R 5.9 m 53° Ө 8.3 m α 8.5 m a la red 16.- El alcance de un proyectil disparado horizontalmente desde lo alto de un valle es igual a la altura desde donde fue lanzado. ¿Cuál es la dirección de la velocidad del proyectil un instante antes del impacto con el suelo? R: Ө = 296.5°. 17.- Un cañón de juguete dispara un proyectil con una velocidad inicial de 36 m/s, se desea que llegue a un blanco situado en una distancia horizontal de 100 metros del cañón y elevado a 3 metros por encima de éste. ¿Cuál es el ángulo mínimo de elevación del disparo? R: θ = 26.76° 18.- Una canica se proyecta desde el descanso de una escalera a 2.5 m/s, si los escalones tienen una altura de 0.18 m y 0.30 m de ancho. ¿Con cuál escalón chocará primeramente la bola? R: 3 19.- La figura muestra las trayectorias de una pelota de tenis que tira su amiga desde la ventana de su departamento, y de una piedra que usted lanza desde el suelo en el mismo instante. La piedra y la pelota chocan en x = 50.0 m, y = 10.0 m y t = 3.00 s. Si la pelota se soltó desde una altura de 54.1 m, determine la velocidad inicial de la piedra y en el momento del choque con la pelota. R: v 0 = 24.55 m / s, 47.24º. y 22.- Una persona va a su trabajo por la mañana, sale trotando por la puerta de su casa a la acera a 4.02 m/s. Su esposa se da cuenta de que salió con tanta prisa que se le olvidó su almuerzo, así que corre a la ventana de su departamento, que está 8.0 m directamente arriba de la acera, para lanzárselo. La sañora lanza el almuerzo horizontalmente 4.00 s después de que la persona ha pasado por debajo de la ventana, y lo atrapa corriendo. Haga caso omiso de la resistencia del aire. a) ¿Con qué rapidez inicial debió haber lanzado el desayuno la señora para que la persona lo atrapara justo antes de tocar la acera? b) ¿A qué distancia por debajo de la ventana y sobre la acera es atrapado el desayuno? R: a) v0 = 16.58 m/s, b) d = 21.22 m. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) 1.- Realiza las conversiones que a continuación se indican: (a) 15 revoluciones a grados sexagesimales y a radianes. R: Ɵ = 5400°, 30 π rad = 94.25 rad (b) 23.50° a revoluciones y radianes. R: 0.065 rev y 0.41 rad (c) 126 radianes a grados sexagesimales y revoluciones. R: Ɵ = 7219.8°, 20.05 rev. 2.- ¿Qué radio tiene una circunferencia en la que se recorre un arco de 7 metros con un desplazamiento angular de 4.3 radianes? R: r = 1.63 m. 3.- Encontrar cuanta cinta se enreda en una rueda de 8 m de diámetro adaptada a un motor si gira 1.2 rad. R: s = 4.8 m. 4.- Calcular el tiempo en que un objeto gira 2.5 revoluciones si tiene una magnitud de velocidad angular de 8 rad/s. R: t = 1.96 s. 5.- ¿Cuál es la frecuencia de giro de un cuerpo si su periodo es de 12 segundos? R: f = 0.083 Hz. x 6.- Calcular la rapidez angular si su periodo de giro es de 25 segundos. R: ω = 0.25 rad/s ENERO-JUNIO 2017 7 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 7.- Imagine que en su primer día de trabajo para un fabricante de electrodomésticos, le piden averiguar qué hacerle al periodo de rotación de una lavadora para triplicar la magnitud de su aceleración centrípeta, y usted impresiona a su jefecontestando inmediatamente. ¿Qué contesta? 8.- La rapidez angular con que se mueve un disco colocado en un fonógrafo es de 3.5 rad/s. Si gira en sentido contrario a las manecillas de un reloj, con su plano de giro paralelo al plano xy ¿qué velocidad tangencial llevará una partícula de polvo a 5 cm del centro en el instante que pase por la coordenada (0,-5,0) cm? R: v = 175 mm/ s ˆi. 15.- Cuando el cohete impulsor se separa, los astronautas normalmente experimentan aceleraciones de 3.00 g, en donde la magnitud g = 9.8 m/s2. Durante su entrenamiento, los astronautas cuentan con un dispositivo en el que experimentan tal aceleración en forma de aceleración centrípeta. Específicamente, el astronauta es convencionalmente fijado al extremo de un brazo mecánico que gira con rapidez constante siguiendo un círculo horizontal. Determinar la rapidez de rotación, en revoluciones por segundo, necesaria para proporcionar una aceleración de 3.00 g en movimiento circular con un radio de 9.45 m. R: ω = 0.28 rev/s. 9.- Una rueda de la fortuna gira con M.C.U. en el mismo sentido de las manecillas del reloj con su plano paralelo al plano yz. Si su periodo es de 15 segundos. Determine: a) Su velocidad angular. b) La velocidad tangencial que una persona tendrá sobre la rueda, si está sentada a una distancia de 6 metros del centro de giro en la parte más alta. R: (a) = −0.42 rad/ s ˆi. y (b) v = 2.51 m/ s ˆj . 16.- El veloz tren francés conocido como TGV (Tren a Gran Velocidad) tiene una rapidez promedio programada de 216 km/h. Determine: a) Si el tren pasa por una curva a esa rapidez y la magnitud de la aceleración experimentada por los pasajeros debe limitarse a 0.050 de g, ¿cuál es el mínimo radio de curvatura de la vía que pueda tolerarse? b) ¿A qué rapidez debe pasar el tren por la curva con un radio de un kilómetro para estar en el límite de la aceleración? R: (a) r = 7 346.94 m, (b) v = 22.14 m/s 10.- Un astronauta se pone a girar en una máquina centrífuga a un radio de 5 metros. Determine: a) La rapidez tangencial del astronauta si la aceleración centrípeta es de 68.6 m/s2.. b) Las revoluciones por minuto que se necesitan para producir esta aceleración. c) El periodo del movimiento. R: a) v = 18.52 m/s, b) ω = 35.37 rpm y c) T = 1.7 s 17.- Un trineo recorre una pista circular de 12 m de radio en la nieve, a 0.15 rev/s. De repente se detiene en el punto A como se muestra en la figura, un paquete que estaba sobre él continúa moviéndose a la velocidad que tenía al parar. Describa la posición del paquete respecto al centro del círculo, después de 4 s. 11.- Un muchacho hace girar una piedra en un círculo horizontal de 1.5 m de radio y a una altura de 2 m sobre el nivel del suelo. Cuando la cuerda se rompe, la piedra sale volando horizontalmente y choca contra el suelo después de recorrer una distancia horizontal de 10 m. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de la piedra mientras su movimiento era circular? R: ac = 163.33 m/s2. 12.- Un carrusel gira con una rapidez angular constante de 8.5 rad/s. Determine: a) Su desplazamiento angular en 8 s. b) Las revoluciones dadas en ese tiempo. R: a) ΔӨ = 68 rad y b) 10.82 rev 13.- El radio de la órbita terrestre alrrededor del Sol (suponiendo que fuera circular) es de 1.5 x 10 8 km, y la Tierra la recorre en 365 días. a) Calcule la rapidez óbital de la tierra en m/s. b) Calcule la aceleración radial hacia el Sol en m/s. R: a) v = 29 885.77 m/s, b) ac = 5.95 X10-3 m/s2. 14.- Una rueda de la fortuna de 14.0 m de radio gira sobre un eje horizontal en el centro (ver figura) la rapidez lineal de un pasajero en el borde es constante e igual a 7.00 m/s. ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración del pasajero al pasar a) por el punto más bajo de su movimiento circular? b) ¿Por el punto más alto? c) ¿Cuánto tarda una revolución de la rueda? 0.15 rev/s A 12 m 18.- Una partícula se mueve alrededor de un círculo de radio r = 0.30 m en el plano xy. Si su rapidez angular es de 4.5 rad/s. Cuando t = 0 pasa por el eje x. (El origen está en el centro del circulo). Determine la posición, velocidad y aceleración, cuando t = 0.40 s y t = 1.3 s. 19.- Una piedra atada a una cuerdase mueve en el plano xy, sus coordenadas en función del tiempo son x(t) = R cos ωt y(t) = R sen ωt donde R y ω son constantes. a) Demuestre que la distancia de la piedra al origen es constante e igual a R, es decir, que su trayectoria es un círculo de radio R. b) Demuestre que la velocidad de la piedra siempre es perpendicular a su vector de posición. c) Demuestre que la aceleración de la piedra siempre es opuesta al vector de posición y tiene una magnitud ω2R. d) Demuestre que la magnitud de la velocidad de la piedra es constante e igual a ωR. e) Combine los resultados de los incisos (c) y (d) para demostrar que la magnitud de la aceleración de la piedra es constante v2/R. 20.- Una partícula se mueve en un círculo con velocidad m rad ˆ rad ˆ . v = −(10 ) sen (4.5 )t i + cos (4.5 )t j s s s Deduzca las funciones de posición y aceleración. ENERO-JUNIO 2017 8 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA MOVIMIENTO CIRCULAR VARIADO (MCUV) UNIFORMEMENTE 1.- El tornamesa de un tocadiscos gira en sentido horario a 45 rev/min y baja su velocidad a 33 rpm en 5 s. Si su plano es paralelo al plano xy ¿Cuál es la aceleración angular? R: = 0.25 rad / s2 kˆ 2.- Un objeto gira en sentido anti horario en el plano xy. Su aceleración angular tiene una magnitud de 8 rad/s2, si realiza 26 revoluciones en 5 segundos ¿Qué velocidad angular inicial tenía? R: 0 = 12.67 rad / s kˆ. f) an = 6.39 m/ s2, 45.12. 12.- Una partícula se mueve en sentido horario en una circunferencia de 1.00 m de radio. En cierto momento la magnitud de la aceleración es a = | a | = 25.0 m/s2 la aceleración forma un ángulo θ = 50.0° con el vector de posición, como se muestra en la figura. En este instante ¿cuál es el valor de la rapidez, v = | v |, de la partícula?. v r 3.- Un motor cuyo eje gira inicialmente a 400 rpm se acelera hasta 600 rpm con una aceleración de 20 rad/s2, calcule el desplazamiento angular en grados. R: θ = 3141.6°. 4.- La centrifuga de secado de una máquina lavadora está dando vueltas en sentido anti horario en el plano xy a 900 rpm y disminuye uniformemente hasta 300 rpm mientras efectúa 50 revoluciones Determine la aceleración angular. ˆ R: = −12.57 rad/ s2 k. 5.- ¿A qué velocidad angular gira la rueda de una bicicleta si originalmente giraba en sentido horario en el plano yz a 50 rad/s con una aceleración de 12 rad/s2 dando 25 revoluciones? R: = -79.18 rad/ s ˆi . 6.- ¿En qué tiempo, un cuerpo con rapidez angular inicial de 15 rad/s y aceleración angular constante de 36 rad/s 2 realiza 30 revoluciones? R: t = 2.85 s 7.- ¿Qué aceleración angular tiene el aspa del motor de un barco si tienen una rapidez angular inicial de 30 rad/s y gira 90 revoluciones en sentido horario en 2 segundos si su plano de giro es paralelo a yz? R: = −252.74 rad / s2 ˆi. 8.- Encontrar la aceleración tangencial en las ruedas de un automóvil, si tienen un radio de 30 centímetros y una magnitud de aceleración angular de 20 rev/s2. R: at = 37.7 m/s2, justifica con un sistema de referencia su dirección. 9.- ¿Qué radio tiene un cuerpo circular que tiene una aceleración tangencial de 8 m/s2 y una aceleración angular de 2 rad/s2? R: r = 4 m. 10.- Un auto en reposo, acelera sus ruedas en un banco de prueba a 15 rad/s2 en 30 s. Encontrar la rapidez angular final. R: ω = 450 rad/s. 11.- Un lanzador de disco (con una longitud de brazo de 1.20 m) parte del reposo y comienza a girar en sentido horario con una aceleración angular de 2.5 rad/s2 en magnitud. a) ¿Cuánto tarda el lanzador de disco en llegar a una rapidez de 4.70 rad/s? b) ¿Cuántas revoluciones realiza el lanzador de disco para llegar a una rapidez de 4.70 rad/s? c) ¿Cuál es la rapidez lineal del disco a 4.70 rad/s? d) ¿Cuál es la aceleración tangencial del lanzador de disco en ese punto? e) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta del disco? f) ¿Cuál es la aceleración total del disco a la rapidez de 4.70 rad/s?. R: a) t = 1.88 s, b) θ = 0.703 rev, c) v = 5.64 m/s, d) at = 3 m/ s2, 343.13, e) ac = 26.51 m/s2, θ a 13.- Encontrar la aceleración centrípeta de una partícula en la punta del aspa de un ventilador de 0.3 metros de diámetro que gira a 1200 r.p.m. R: ac = 2368.71 m/s2, justifica con un sistema de referencia su dirección. 14.- Una partícula, parte del reposo y se mueve en trayectoria circular en sentido horario, con un radio de 40 cm. Si su rapidez angular es de 45 rpm en un desplazamiento angular de 30 rad, determine (a) la aceleración angular (b) la rapidez tangencial (c) La velocidad tangencial en notación analítica polar y cartesiana con vectores unitarios (d) la aceleración neta de la partícula en esa posición. 14.- El radio de la órbita terrestre (supuestamente circular) es de 1.5 x 1011 m, si recorre esta órbita en 365 días, ¿cuál es la rapidez tangencial en la órbita en m/s y cuál es la magnitud de la aceleración hacia el sol? R: vt = 29 885.77 m/s y ac = 5.96 X 10-3 m/s2. 15.- En la figura se representa la aceleración total de una partícula que se mueve en el mismo sentido de las agujas del reloj a lo largo de un círculo de radio 2.50 m en cierto instante. En dicho instante, halla (a) la aceleración radial o centrípeta, (b) la rapidez de la partícula y (c) su aceleración tangencial. R: a) ac = 13 m/s2, b) v = 5.7 m/s y c) at = 7.5 m/s2. v 30° 2.50 m a = 15 m/s2 17.- En la exhibición de juguetes de una tienda departamental, un disco pequeño (disco 1) con radio de 0.100 m, es movido por 0.500 m. El disco 2, a su vez, mueve al disco 3, cuyo radio es de 1.00 m. Los tres discos están en contacto y no hay deslizamiento. Se observa que el ENERO-JUNIO 2017 9 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA disco 3 da una revolución completa cada 30 s. a) ¿Cuál es la rapidez angular del disco 3? b) ¿Cuál es la relación de las rapideces tagenciales de los tres discos? c) ¿Cuál es la rapidez angular de los discos 1 y 2? d) Si el motor funciona mal ocasionandoal disco 1 una aceleración angular de 0.100 rad/s2 en magnitud, ¿cuáles son las aceleraciones angulares de los discos 2 y 3? R: a) ω3 = 0.21 rad/s, b) , c) ω2 = 0.42 rad/s, ω1 = 2.1 rad/s, d) α2 = 0.02 rad/s2, α2 = 0.02 rad/s2. Disco 2 R: a) v = 31 m/s, b) v = 10 m/s y c) v =13 m/s. Justifica la dirección de la velocidad en cada inciso. 13.0 m/s 6.- Un bote se desplaza en el agua de un río a 10 m/s respecto al agua, cualquiera que sea la dirección del bote. Si el agua del río fluye a 1.5 m/s. ¿Cuánto tiempo le toma al bote llevar a cabo un viaje redondo consistente en un desplazamiento de 300 m a favor de la corriente seguido de un desplazamiento de 300 m a contra corriente. R: t = 61.38s. Disco 1 Disco 3 16.- Un punto situado sobre una tornamesa giratoria, a 20.0 cm del centro, acelera desde la posición de reposo, hasta una rapidez final de 0.700 m/s en 1.75 s. En t = 1.25 s, calcular (a) la aceleración radial o centrípeta, (b) la rapidez lineal de la partícula y (c) la aceleración total del punto. R: a) a = 1.25 m/s2 , 26950' , b) v = 0.5 m/s y c) a = 1.32 m/s2 , 25150'. MOVIMIENTO RELATIVO 1.- El piloto de un avión observa que la brújula indica que el avión se dirige hacia el Oeste. La rapidez del avión respecto al aire es de 150 km/h. Si hay un viento de 30 km/h hacia el Norte, calcular la velocidad del aeroplano respecto de la tierra. R: vaT = 152.97 km/h a 11°18’ al Norte del Oeste. 2.- El piloto de una aeronave desea volar hacia el oeste en un viento de 50 km/h que sopla hacia el sur. Si la rapidez del avión respecto al aire es de 200 km/h, (a) ¿en qué dirección debe avanzar la aeronave? y (b) ¿cuál será su rapidez respecto al suelo? R: vaT = 193.65 km/h a 75° 57’ al Oeste del Norte. 3.- Una lancha de motor cruza un río ancho moviéndose con una rapidez de 15 km/h en relación con el agua. El agua en el río tiene una rapidez uniforme de 10 km/h hacia el Este en relación con la tierra. (a) Si la lancha se dirige hacia el norte, determine la velocidad de la lancha en relación con un observador que está de pie en cualquier orilla. (b) Si la lancha viaja con la misma rapidez 15 km/h en relación con el rio y debe viajar al norte ¿hacia qué dirección se debe dirigir el timón? R: a) vLT = 18.03 km/h a 56° 19’ al Norte del Este y (b) vLT = 11.18 km/h y el bote debe dirigirse a 41° 48’ al Oeste del Norte. 4.- Una persona sube por una escalera automática inmóvil en 90 s. Cuando la persona permanece inmóvil sobre la misma y la escalera se mueve, llega hasta arriba en 60 s. ¿Cuánto tiempo tardaría en subir si la escalera está en movimiento? R: t = 36 s. 5.- Un furgón plano de ferrocarril viaja a la derecha con rapidez de 13 m/s relativa a un observador que está parado en tierra. Alguien se mueve en una motoneta relativa al furgón. ¿Qué velocidad tiene la motoneta relativa al observador, si su velocidad relativa al furgón es: (a) 18 m/s a la derecha? (b) ¿3 m/s a la izquierda? y (c) ¿cero? 7.- (a) ¿Qué dirección debe tomar el hombre en el ejercicio anterior para llegar a un punto de la orilla opuesta directamente al Oeste de su punto de partida? (la rapidez del hombre relativa a la corriente del río sigue siendo 5.0 m/s) (b) ¿Qué velocidad tendría el hombre relativa a la Tierra? c) ¿Cuánto tardaría en cruzar? R: a 45°34´ del Sur al Oeste, b) vhT = 3.57 m/s al Oeste y c) t = 168 s. 8.- Un elevador sube con una aceleración ascendente de 4 ft/s2. En un instante su rapidez ascendente es de 8 ft/s, y un perno desprendido del techo del elevador cae del techo del elevador a 9.0 ft del piso. Calcule: a) Su tiempo de vuelo del techo al piso. b) la distancia que cae en relación a la cabina del elevador. R: a) t = 0.71 s, b) d = 2.3 ft. LEYES DE NEWTON: PRIMERA, TERCERA. SEGUNDA Y 1.- Considere el peso suspendido por medio de los cables como se muestra en las figuras. Determine las tensiones que experimentan los cables A y B en cada inciso. a) 45º A 420 N B 60º b) 40° 160° B 220 N R: a) TA = 1 398.94 N, TB = 1142.23 N. b) TA = 492.75 N, TB = 604.45 N. A 2.- Un trineo con alimento está estancado en terreno con nieve blanda. El conductor está solo pero dispone de una cuerda larga y fuerte. El conductor que ha estudiado física, ata la cuerda tensa a un árbol y tira de ella lateralmente como se indica en la figura. (a) Determinar la fuerza ejercida sobre el trineo, cuando el angulo θ es de 4° y el conductor tira con una fuerza de 300 N, pero el trineo no se mueve. (b) ENERO-JUNIO 2017 10 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA ¿Qué resistencia debería tener la cuerda si se necesitara una fuerza de 450 N, bajo un ángulo de 5° para mover el trineo? R: (a) T = 2 150.34 N (b) T = 2 581.59 N. 9.- Un cuerpo de 5 kg se lanza hacia arriba sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal, si en la parte más baja tiene una rapidez inicial de 2 m/s determinar: (a) La aceleración que experimenta la masa (b) La distancia que recorre a lo largo del plano, hasta detenerse. R: a) a = -4.9 m/s2 ˆi , b) d = 0.41 m. θ θ T T F 4.- En la figura a) se muestra un bloque de 1.00 kg que cuelga del punto medio de la cuerda de 1.80 m de longitud. Los extremos la cuerda están sujetos al techo en unos puntos separados 1.20 m. (a) ¿Qué ángulo forma la cuerda con el techo? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (c) Se quita el bloque de 1.00 kg y se cuelgan dos bloques de 0.500 kg cada uno de forma que la longitud de los tres tramos de la cuerda es la misma, tal como se ve en la figura b) ¿Cuál es la tensión en cada segmento de la cuerda? R: (a) θ = 48.19°, (b) T = 6.52 N y (c) T1 = T3 = 5.66 N y T2 = 2.83 N. 10.- Tres astronautas impulsados por mochilas a chorro, empujan y guían un asteroide de 150 kg hacia un muelle de procesamiento, ejerciendo las fuerzas que se muestran en la figura. Determina la aceleración del asteroide: (a) en notación polar (b) en notación cartesiana. R: a) a = 0.66 m/s2 13° , b) a = 0.65 m/s2 ˆi + 0.15 m/s2 ˆj. y 60 N 30° θ 1 2 3 x 50° 30 N 40° 1.00 kg 40 N 0.500 kg figura a) 0.500 kg figura b) 5.- La posición de una aeronave de 2.5 X 105 N que se está probando está dada por: ˆ r = (0.08 m/s2 )t2 ˆi + (6.3 m/s)t ˆj - (0.03 m/s3 )t3 k. Determine la fuerza neta sobre la aeronave en t = 5 s. R: F = 4.1 X 103 N ˆi - 23 X 103 N k. 6.- Una esfera de acero de 20 N se apoya sin rozamiento, en un sistema formado por un plano inclinado a 30° con la horizontal a la izquierda y otro plano inclinado a 60° a la derecha, como se muestra en la figura. Determinar la fuerza ejercida por cada plano sobre la esfera. R: N = 17.32 N plano de 30° y N = 10 N plano de 60°. 14.- Un cajón de naranjas se desliza hacia abajo por un plano inclinado sin fricción. Si se suelta desde el reposo y alcanza una apidez de 5.832 m/s después de deslizarse una distancia de 2.29 m, ¿cuál es el ángulo de inclinación del plano respecto a la horizontal? R: θ = 49. 27°. 11.- Un objeto con masa m = 0.8 kg está inicialmente en reposo, si se le aplica una fuerza: ˆ F = 5.0 N ˆi - (4.0 N/s3 )t 3 ˆj + (6.0 N / s2 )t 2 k. Calcule la velocidad v(t) del objeto como función del tiempo. ˆ R: v(t) = (6.25 m/s2 )t ˆi - (1.25 m/s5 )t 4 ˆj + (2.5 m / s4 )t3k. 12.- Un hombre que pesa 70 kg se encuentra dentro de un elevador ¿Qué magnitud de fuerza ejercerá el piso del elevador sobre sus pies? Si el elevador se está moviendo: a) Con una aceleración uniforme hacia abajo de 1.5 m/s2, b) con una aceleración uniforme hacia arriba de 1.5 m/s2, c) en caída libre a = g y d) Con una velocidad constante de 6 m/s. R: a) N = 581 N, b) N = 791 N, c) N = 0 y d) N = 686 N. 60° 30° 7.- Un objeto con masa m se mueve sobre el eje x. Su posición en función del tiempo está dada por x(t) = At - Bt3, donde A y B son constantes. Calcule la fuerza neta como función del tiempo. R: Fx(t) = - 6 mBt. 8.- Determinar las reacciones que ejercen cada una de las paredes sobre el cuerpo. R: N = 1188.18 N superficie vertical y N = 1372 N superficie inclinada. 13- Dos bloques de masas m1 y m2, con m1 > m2, se colocan tocándose entre sí sobre una superficie horizontal y sin rozamiento como se indica en la figura. Se aplica una fuerza horizontal constante F a m1, como se indica. Determine: (a) La aceleración del sistema formado por los dos bloques. (b) La magnitud de la fuerza de contacto entre los dos bloques. R: a) a = [F / (m1 + m2 )] ˆi y b) F2 = m2 F / (m1 + m2.). 70 kg F m1 60° ENERO-JUNIO 2017 m2 11 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 14.- Dos objetos de masas m1 y m2, situados sobre una superficie horizontal sin rozamiento están unidos mediante una cuerda ligera. Se ejerce una fuerza F hacia la derecha sobre uno de los objetos, como se muestra en la figura. Determinar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. R: a = [F / (m1 + m2 )] ˆi y T = (m1 F) / (m1 + m2) F 18.- La tabla entre otras dos tablas en la figura pesa 95.5 N. Si el coeficiente de fricción entre los tableros es de 0.663, ¿cuál debe ser la magnitud de las fuerzas de compresión (supuestas horizontales) que actúan sobre ambos lados del tablero central para evitar que se deslice? R: N = 72 N. m2 m1 15.- Suponga que los tres bloques que se indican en la figura se desplazan sobre la superficie sin fricción y que una fuerza de 45 N actúa como se muestra sobre el bloque de 8 kg. Determine (a) La aceleración que se imprime al sistema (b) la magnitud de la tensión de la cuerda que conecta a los bloques de 4 kg y 8 kg, y (c) la fuerza que el bloque de 4 kg ejerce sobre el bloque de 6 kg. R: a) a = 2.5 m/s2 ˆi, b) T = 25 N y c) F = 15 N ˆi . 19.- En la figura el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la mesa es de 0.2, la masa del cuerpo A es de 25 kg y el del cuerpo B es de 15 kg. ¿Qué distancia recorrerá el bloque B en los primeros 3 s después de que el sistema se suelta? R: d = 11.025 m. 45 N 4 kg A 8 kg 6kg 16.- Dos bloques de 10 kg están atados al techo de un ascensor, como se muestra en la figura. El ascensor acelera hacia arriba a 3 m/s2. Calcule la magnitud de la tensión en cada cuerda. R: T1 = 256 N y T2 = 128 N. 20.- Un bloque de mármol de masa m1 = 567.1 kg y un B bloque de granito de masa m2 = 266.4 kg se conectan entre sí mediante una cuerda que pasa por una polea, como se muestra en la figura. B Ambos bloques están sobre planos inclinados, cuyos ángulos son α = 39.3° B y θ = 53.2°. Ambos bloques se mueven sin fricción, y la cuerda se desliza sobre la polea sin fricción. ¿Cuál es la aceleración del bloque de mármol? R: a = 1.72 m/s2. m1 m2 β 17.- Un bloque de masa de 4 kg se libera desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado cuyo ángulo es de 35º respecto a la horizontal y una altura de 45 cm por encima de la superficie de una mesa como se muestra en la figura, si no se considera rozamiento alguno. Determine: (a) La magnitud de la aceleración del bloque cuando se desliza por el plano inclinado. (b) ¿Cuál es la rapidez del bloque al instante de abandonar el plano inclinado? (c) ¿A qué distancia de la mesa impactará el bloque contra el suelo? (d) ¿Qué tiempo transcurrirá entre el momento en que se deja caer el bloque desde lo alto del plano al momento del choque con el suelo? R: (a) a = 5.62 m/s2, (b) v = 2.96 m/s, (c) d = 0.7 m y (d) t = 0.82 s. 45 cm α 21.- Para un bloque cuya masa es de 20 kg y que se encuentra sobre una superficie horizontal, el coeficiente de rozamiento estático es de 0.45 y el cinético 0.25. Determine: a) La fuerza normal que actúa sobre el bloque. b) La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque, si ejerce sobre éste una fuerza horizontal de 50 N. c) La fuerza máxima horizontal que pondrá al bloque en movimiento. d) La fuerza mínima horizontal que mantendrá al bloque en movimiento una vez que ha empezado a moverse y e) La fuerza de rozamiento si la fuerza horizontal aplicada es de 100 N. R: a) N = 196 N, b) fs = 50 N, c) F = 88.2 N, d) F = 49 N y e) F = 49 N. 22.- Un bloque se coloca contra el frente vertical de un carro como se muestra en la figura. ¿Qué aceleración debe tener el carro para que el bloque A no caiga? El coeficiente de fricción estática entre el bloque y el carro es µ S. ¿Cómo describiría un observador en el carro el comportamiento del bloque? R: a = g/S ˆi. a 35º A 90 cm ENERO-JUNIO 2017 12 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 23.- El bloque A en la figura tiene un peso de 2.4 N, y B, 4.4 N. El coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es 0.2. Determine la magnitud de la fuerza F necesaria para arrastrar a B a la izquierda con rapidez constante si A y B están conectados por un cordel flexible que pasa por una polea fija sin fricción. R: F = 2.32 N. 45 N 27.- El aparato que se muestra en la figura se denomina máquina de Atwood y se utiliza para medir la aceleración debida a la gravedad g a partir de la aceleración de los dos bloques. Suponiendo que la cuerda y la polea tienen masa despreciable y la polea carece de fricción, demostrar que la magnitud de la aceleración en cualquiera de los dos bloques y la magnitud de la tensión de la cuerda están dados por m -m a= 1 2 g y m1+m2 A F B T= 24.- En el sistema de la figura la masa del bloque A es de 250 kg y la del bloque B es de 200 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre A y la superficie en que se encuentra es de 0.05, mientras que el cinético es de 0.02; la masa de la cuerda y el rozamiento de polea se desprecian. Determinar: a) La masa mínima del cuerpo C que debe colocarse sobre A para evitar que resbale. b) La aceleración de A si el cuerpo C se retira repentinamente. C A 2m1m2g . m1+m2 m1 m 1 m2 28.- Dos bloques de masas 4.00 kg y 8.00 kg están conectados por un cordel y bajan resbalando por un plano inclinado de 30° como muestra la figura. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de 4.00 kg y el plano es de 0.25, y entre el bloque de 8.00 kg y el plano, 0.35. a) Calcule la magnitud de la aceleración en cada bloque. b) Calcule la tensión en el cordel. c) ¿Qué sucede si se invierten las posiciones de los bloques? R: a) a = 2.21 m/s2, b) T = 2.27 N. 8.00 kg B 25.- Como se muestra en la figura, dos masas m 1 = 3.50 kg y m2 = 5.00 kg, están sobre una mesa sin fricción, y la masa m3 = 7.60 kg cuelga de m1. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre m1 y m2 son 0.600 y 0.500, respectivamente. a) ¿Cuáles son las aceleraciones de m 1 y m2? b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda entre m1 y m3? R: a) a1 = 5.16 m/s2, a2 = 3.43 m/s 2 y b) T = 35.23 N. m1 m2 m3 4.00 kg 30° 29.- Para el sistema mostrado en la figura determine la magnitud aceleración del sistema y la tensión de la cuerda, si el coeficiente de rozamiento μk = 0.4: R: a = 1.7 m/s2 y T = 121.48 N. 10 kg 26.- Un pingüino de 5 kg está sentado sobre un trineo de 10 kg como en la figura. Se aplica al trineo una fuerza horizontal de 45 N, pero el pingüino intenta impedir el movimiento sujetándose de una cuerda atada a un árbol. El coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve, así como el que hay entre el trineo y el pingüino, es de 0.20. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del pingüino y uno más del trineo, e identifique la fuerza de reacción a cada fuerza que incluya. b) Determine la tensión en la cuerda. c) La aceleración del trineo. R: a = 0.58 m/s2 ˆi. R: T = 9.8 N. 15 kg 60° 30.- Las masas colocadas a cada lado de la máquina de Atwood son una pila de cinco arandelas, cada una de masa m, como se muestra en la figura. La tensión de la cuerda es T0. Si se quita una arandela del lado izquierdo, las restantes arandelas aceleran y la tensión disminuye en 0.3 N. (a) ¿Qué valor tiene m? (b) Calcular la nueva tensión y la aceleración de cada masa cuando se quita una segunda arandela del lado izquierdo. R: a) m = 0.0551 kg, b) T = 2.025 N, a = 2.45 m/s2. ENERO-JUNIO 2017 13 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 31.- Se tira horizontalmente en la nieve de un trineo que pesa 60 N; el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve es de 0.1. Un pingüino que pesa 70 N va montado en el trineo. Si el coeficiente de fricción estática entre el pingüino y el trineo es de 0.7, calcule la fuerza horizontal máxima que se puede ejercer sobre el trineo sin que el pingüino comience a deslizarse. R: Fmax = 153 N. 3.- Un objeto de masa m se suspende de una cuerda de longitud L. El objeto gira siguiendo un círculo horizontal de radio r con una rapidez constante, como se muestra en la figura (como la cuerda genera un cono al girar, el sistema es conocido como péndulo cónico). Hallar: a) la magnitud de la velocidad del objeto; b) el periodo de revolución. R: a) v = g R tan , b) T = (2π R) / g R tan . T Ө F 32.- Tres objetos con masas m1 = 36.5 kg, m2 = 19.2 kg y m3 = 12.5 kg cuelgan de las cuerdas que coorren sobre poleas, no hay rozamiento en las poleas. ¿Cuál es la aceleración de m1? m3 m2 S E GU N D A LE Y DE NE WT ON MOV IMIE N T O C IR C U LA R . r 4.- Un piloto se encuentra en un avión acrobático y ejecuta una maniobra de bucle, como en la figura. El avión se mueve en un círculo vertical de radio 2.7 km con rapidez constante de 225 m/s. Determinar la fuerza ejercida por el asiento sobre el piloto en (a) el punto más bajo del bucle y (b) el punto más alto del bucle. Expresar las respuestas en términos del peso mg del piloto. R: a) N = [ m (18.75 m/s2) + m (9.8 m/s2) ] y b) N = [ m (18.75 m/s2) - m (9.8 m/s2) ]. m1 Y EL 1.- Un automóvil tiene una rapidez constante cuando se mueve sobre ua carretera recta pero escarpada. Una sección tiene una cresta y una depresión de 250 m de radio, como se muestra en la figura. a) En el momento que pasa por la cresta, la fuerza normal tiene ua magnitud igual a la mitad del peso de 16 kN del automóvil. ¿Cuál será la magnitud de la fuerza normal en él cuando cruza el fondo de la depresión? b) ¿Cuál es la rapidez máxima que alcanza sin dejar la carretera en la cumbre de la colina? c) Si se meve a la rapidez de b), ¿cuál será la magnitud de la fuerza normal en él cuando cruza el fondo de la depresión? R = 250 m R = 250 m 2.- Considere las sillas voladoras de un parque de diversiones, como se muestra en la figura. Si la longitud L es de 8 m y la distancia a = 2.5 m ¿Qué magnitud de velocidad tangencial hará que la cadena de la silla forme un ángulo de 35º con la vertical? R: v = 6.98 m/s. a 5.- Un juego mecánico en un parque de diversiones consiste de un carro que se mueve en círculo vertical colocado en el extremo de una viga rígida de masa despreciable. El peso del carro con sus pasajeros es de 6 kN y el radio del círculo es de 8 m. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza de la viga en la parte superior del círculo, si la rapidez del carro ahí es: a) 4 m/s y b) 13 m/s? a) Fv = 4775.5 N, b) Fv = 6933.57 N. 7.- El bloque de 4.00 kg de la figura está unido a una varilla vertical con dos hilos. Cuando el sistema gira sobre el eje de la varilla, los hilos se extienden como se muestra y la tensión en el hilo superior es de 80 N. a) ¿Qué tensión hay en el otro hilo? b) ¿Cuántas revoluciones por minuto (rpm) da el sistema? c) Calcule las rpm con las que el hilo inferior pierde toda tensión. d) Explique qué sucede si el número de rpm es menor que en c). R: a) T = 31 N, b) ω = 45 rpm 1.25 m 2.00 m L Ө 1.25 m ENERO-JUNIO 2017 R 4.00 kg 14 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 8.- Una pequeña esfera de masa m está unida al extremo de una cuerda de longitud R, gira bajo la influencia de la fuerza de gravedad describiendo un círculo vertical alrededor de un punto fijo como se muestra en la figura 2. Determine la tensión de la cuerda cuando ésta forma un ángulo con la vertical. La rapidez de la bola no es constante. R: T = m [(v2/R) + g cos θ] 13.- Un bloque de masa m1 está sujeto a una cuerda L1 fija por un extremo. El bloque se mueve en un círculo horizontal sobre una mesa sin rozamiento. Un segundo bloque de masa m2 se une al primero mediante una cuerda de longitud L2 y se mueve también en círculo, como se indica en la figura. Determinar la tensión en cada una de las cuerdas si el periodo del movimiento es T. m1 R L1 Ө 9.- ¿Cuál es el radio mínimo de un camino plano (sin peralte) alrededor del cual una ciclista puede viajar con rapidez de 30 km/h y el coeficiente de fricción entre las llantas y el camino es de 0.32? R: R = 22.14 m. 10.- Un coche de 1800 kg se mueve sobre una carretera horizontal y plana y sigue una curva cuyo radio es de 40 m. Si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el pavimento seco es de 0.5, calcular la magnitud de la velocidad máxima que el coche puede alcanzar para dar la vuelta sin problemas. R: vmax = 14 m/s. 11.- Un ingeniero desea diseñar una rampa de salida en curva para una autopista, de tal forma que los coches no tengan que depender del rozamiento para tomar la curva sin derrapar, como se muestra en la figura. Suponga que un coche típico toma la curva con una rapidez de 50 Km/h y que el radio de la curva es de 45 m ¿cuál ha de ser el ángulo de inclinación de la curva? R: Ө = 23° 37’. m2 L2 UNIDAD TEM ÁTICA II: TRABAJO, ENERGÍA Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. T R A B A JO (FU E R ZA S C ON S T AN T ES T R A Y EC T OR IA R EC T ILÍN E A : EN 1.- Un bloque de 10 kg se encuentra bajo la acción de una fuerza constante de 90 N a lo largo de un recorrido rectilíneo de 10 m (sin rozamiento), en las situaciones mostradas a continuación. Determine en cada situación el trabajo efectuado por dicha fuerza: a) fuerza horizontal. R: W = 900 J. F m1 b) fuerza de empuje. R: W = 779.42 J. 30 F ° m1 c) fuerza tirando del cuerpo. R: W = 779.42 J. F 30° θ m1 12.- Un bloque pequeño de masa m se coloca dentro de un cono invertido que gira sobre un eje vertical de modo que la duración de una revolución es T, como se muestra en la figura. Las paredes del cono forman un ángulo β con la vertical. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y el cono es μs. Si el bloque ha de mantenerse a una altura h sobre el vertice del cono, ¿ qué valores máximo y mínimo puede tener T? d) fuerza horizontal. R: W = 845.72 J. F m1 20° e) fuerza paralela al plano inclinado. R: W = 900 J. m β β m1 F h 20° ENERO-JUNIO 2017 15 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 2.- Suponer que en el problema anterior el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie µk = 0.2. Determine en cada caso el trabajo efectuado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque. R: a) Wmg = 0 J, WN= 0J , WF = 900 J y Wf = -196 J. b) Wmg = 0 J, WN= 0 J, WF = 779.42 J y Wf = -286 J. c) Wmg = 0 J, WN= 0 J, WF = 779.42 J y Wf = -106 J d) Wmg = - 335.18 J, WN= 0 J, WF = 845.72 J y Wf = - 245.74 J e) Wmg = - 335.18 J, WN= 0 J, WF = 900 J y Wf = -184.2 J 3.- Determine el trabajo total efectuado sobre el cuerpo en cada caso del problema 2. R: a) Wtotal = 704 J, b) Wtotal = 491.42 J, c) Wtotal = 677.42J, d) Wtotal = 264.46 J y e) Wtotal = 308.62 J. 4.- Una gota de lluvia de 3.35 X 10-5 kg de masa cae verticalmente con rapidez constante bajo la influencia de la gravedad y la resistencia del aire. Modele la gota como partícula. Mientras cae 100 m, ¿cuál es el trabajo consumido en la gota a) por la fuerza gravitacional y b) por la resistencia del aire? R: a) WFg = 3.28 cJ, b) Wf = -3.28 cJ. 5.- Un bloque de hielo flotante que es empujado por una corriente efectúa un desplazamiento r = 15 m ˆi - 12 m ˆj a lo largo de un terraplén recto; el agua ejerce una fuerza F = 210 N ˆi + 150 N ˆj sobre el bloque. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza sobre el bloque durante el desplazamiento? R: W = 1350 J. 6.- Un pescador jala una lancha sobre un lago estacionario con un viento fuerte. El pescador aplica una fuerza constante F = 30 N ˆi - 40 N ˆj a la lancha, mientras ésta sufre un desplazamiento s = -9 m ˆi - 3 m ˆj ¿Cuánto trabajo efectúa la 3.- Se requiere un trabajo de 12 J para estirar un resorte 3.00 cm respecto a su longitud no estirada. ¿Cuánto trabajo debe efectuarse para comprimir ese resorte 4.00 cm respecto a su longitud no estirada? R: W = 21.33 J. 4.- Un resorte tiene una constante de fuerza de 150 N/cm. a) ¿Cuánto trabajo se necesita para extenderlo 7.60 mm respecto a su posición relajada? b) ¿Cuánto trabajo se requiere para extenderlo otros 7.60 mm? R: a) 0.433 J, b) 1.3 J. 5.- Una vaca terca trata de salirse del establo mientras usted la empuja cada vez con más fuerza para impedirlo. En coordenadas cuyo origen es la puerta del establo, la vaca camina de x = 0 a x = 6.9 m mientras usted aplica una fuerza componente x Fx = - [20 N + (3N/m)x]. ¿Cuánto trabajo efectúa sobre la vaca la fuerza que usted aplica durante ese desplazamiento? R: W = -209.42 J. 7.- Un objeto de masa m, está suspendido por medio de una cuerda de longitud L. Al objeto lo mueve lateralmente una fuerza F que siempre es horizontal, hasta que la cuerda finalmente forma un ángulo Φ con la vertical. El movimiento se consigue con una pequeña rapidez constante. Determine el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto, ver figura. fuerza del pescador sobre la lancha? R: W = -150 J. Φ T R A B A JO (FU E R ZA S V A R IA B LE S EN T R A Y EC T OR IA R E CT ILÍN E A Y FU E R ZA S C ON S T A NT E S E N T R A YE C T OR IAS C U R V A S ) 1.- Una fuerza de 160 N estira un resorte 0.050 m más allá de su longitud no estirada (a) ¿Qué intensidad de fuerza se requiere para un estiramiento de 0.015 m? ¿Para una compresión de 0.020 m respecto a la longitud no estirada? (b) ¿Cuánto trabajo debe efectuarse en los dos casos de la parte (a)? R: a) F = 48 N y F = 64 N, b) W = 0.36 J y W = 0.64 J. 2.- Una niña aplica una fuerza F paralela al eje x a un trineo de 10 kg que se mueve sobre la superficie congelada de un estanque. La niña controla la rapidez del trineo, y la componente x de la fuerza que aplica varía con la coordenada x del objeto como se muestra en la figura. Calcule el trabajo efectuado por F cuando el trineo se mueve: a) de x = 0 a x = 8.0 m. b) de x = 8.00 m a x = 12.0 m. c) de x = 0 a x = 12.0 m. R: a) 40 J, b) 20 J y c) 60 J. 8.- Batman cuya masa es de 80 kg, está colgado en el extremo libre de una soga de 12 m, el otro extremo está fijo de la rama de un árbol arriba de él. Al flexionar repetidamente la cintura, hace que se ponga en movimiento, y eventualmente la hace balancear lo suficiente para que pueda llegar a una repisa cuando la soga forma un ángulo de 60° con la vertical. ¿Cuánto trabajo invirtió la fuerza gravitacional sobre Batman en esta maniobra? R: W = -4 704 J. P OT E N C IA : 1.- Un cuerpo de 5 kg es elevado por una fuerza igual al peso del cuerpo. El cuerpo se mueve verticalmente hacia arriba con velocidad constante de 2 m/s. (a) ¿Cuál es la Fx, [N] 10 5 ENERO-JUNIO 2017 16 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA potencia de la fuerza? (b) ¿cuánto trabajo realiza la fuerza en 4 s? R: a) P = 98 W, b) W = 392 J. 2.- Un escalador de 650 N de peso, como parte de su entrenamiento, sube por una cuerda vertical de 12 m con rapidez constante, en 10.0 s ¿cuál es la potencia que desarrolla? 3.- Determinar la potencia suministrada por la fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento, en los casos: a) F = 4 N ˆi + 3 N kˆ , v = 6 m/s ˆi . b) F = 6 N ˆi - 5 N ˆj , v = -5 m/s ˆi . c) F = 3 N ˆi - 6 N ˆj , v = 2 m/s ˆi + 3 m/s ˆj. R: a) P = 24 W, b) P = -30 W y c) P = -12 W. 4.- Un malacate que funciona por medio de energía eléctrica (ver figura), arrastra una caja de 2.0 kg pendiente arriba con una rapidez constante de 3.0 m/s. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es de 0.3. ¿Cuánta potencia debe suministrar el malacate? R: 47.3 W. 30 m 5.- Un hombre empuja una caja con una fuerza horizontal de 3 000 N para subirla por una rampa de 8 m de longitud que forma un ángulo de 15° por encima de la horizontal: (a) ¿Qué trabajo realiza el hombre? b) Si tarda 15 s en subirla, ¿Qué potencia desarrolla en watts y en caballos de potencia? R: a) W = 23 182.22 J, b) P = 1 545.48 W y en Hp 2.07. 6.- Una de las más poderosas grúas del mundo, que funciona en Suiza, es capaz de levantar lentamente una carga de m = 6 000 ton a una altura h = 12.0 m (1 ton = 1 000 kg). (a) ¿Cuánto trabajo realiza la grúa? (b) Determinar la potencia desarrollada por la grúa sabiendo que tarda 1.00 min en elevar la cerga a velocidad constante a dicha altura? R: a) W = 70.56 X 107 J (b) P = 11.76 MW. 7.- Un carro de montaña rusa, con todo y sus ocupantes tiene un peso de 8 000 N, es remolcado hacia arriba por una vía inclinada de 40° sobre la horizontal. Si recorre 20 m y el coeficiente de fricción cinético entre la vía y el carro es de 0.02. Determine la potencia del motor si debe realizar el recorrido en 4 s. R: P = 26 324.34 W. “TR A B A JO 3.- Un martinete de 2 100 kg se usa para enterrar una viga I de acero en la tierra. El martinete cae 5.00 m antes de quedar en contacto con la parte superior de la viga. Después clava la viga 12.0 cm más en el suelo mientras llega al reposo. Aplicando consideraciones de energía. Calcule la fuerza promedio que la viga ejerce sobre el martinete mientras éste llega al reposo. R: F = 870 080 N, vertical hacia arriba. 4.- Una masa de 6 kg en reposo se eleva a una altura de 3 m con una fuerza vertical de 80 N. Determinar: a) El trabajo realizado por la fuerza. b) El trabajo realizado por la fuerza de gravedad. c) La energía cinética final de la masa R: a) W = 240 J, b) W = -176.4 J y c) K = 63.6 J. 5.- Un trineo de 15 kg desciende desde el reposo por un terreno nevado sin rozaminto cuya inclinación es de 40°, hasta que es detenido por un fuerte resorte de constante k = 2.50 X104 N/m. El trineo se desliza 3.5 m desde el punto en que se suelta hasta que queda momentáneamente en reposo después de chocar contra el resorte. Cuando el bloque se detiene, ¿cuánto se ha comprimido el resorte? R: x = 0.163 m. 20 m T E OR E MA C IN É T IC A : 2.- Un objeto de 3.00 kg tiene una velocidad de ( 6 ˆi - 2 ˆj ) m/s. a) ¿Cuál es su energía cinética en ese momento? b) ¿Cuál es el trabajo neto invertido en el objeto si su velocidad cambia a ( 8 ˆi - 4 ˆj ) m/s? Nota: de la definición de producto punto: v2 = v·v . R: a) K = 60 J. b) Wif = 60 J. Y E N E R GÍA 1.- Una bola de 0.300 kg tiene una rapidez de 15.0 m/s. a) ¿Cuál es su energía cinética? b) si su rapidez se duplica, ¿cuál sería su energía cinética? R: a) K = 33.75 J, b) K = 135 J. 6.- Se proporciona un impulso a un carro avalancha de masa m que se encuentra sobre un estanque helado. El impulso le imprime una rapidez inicial de 2.00 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético entre el trineo y el hielo es de 0.10. Utilizando la aproximación energética, calcular la distancia que recorre el trineo antes de detenerse. R: d = 2.04 m. 7:- Un bloque de 2 kg está unido a un resorte cuya constante de fuerza es 500 N/m, el bloque se jala 5 cm hacia la derecha, estirando al resorte desde su posición de equilibrio y se suelta. Hallar la rapidez del bloque cuando pasa por la posición de equilibrio si (a) la superficie que es horizontal no presenta rozamiento y (b) si el coeficiente rozamiento entre la superficie y el bloque es de 0.350. 8.- Un automóvil de 1400kg viaja a 30m/s cuando el conductor repentinamente aplica los frenos de modo que traba las ruedas y hace que el automóvil derrape hasta detenerse. El coeficiente de fricción de derrape entre los neumáticos y el piso es de 0.88. a) ¿Cuál es la desaceleración y la distancia requerida para detenerse? b) ¿ Cuál es la fuerza de fricción entre el piso y las llantas y cuál es la cantidad de trabajo que realiza la fuerza de fricción durante el proceso de degtención? TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA (FUERZAS CONSERVATIVAS). 1.- (a) Suponer que una fuerza constante actúa sobre un cuerpo. La fuerza no varía en el tiempo, ni con su posición ni con la velocidad del cuerpo. Partiendo de la definición general del trabajo realizado por una fuerza ENERO-JUNIO 2017 17 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA f W= F dr i Si F = (4iˆ + 6ˆj) N actúa sobre un cuerpo que se mueve 50 m desde 0 hasta C. Calcular el trabajo realizado por F si el cuerpo se mueve a lo largo de los tres caminos mostrados en la figura, es decir: 0AC, 0BC y 0C. Explica tu conclusión en base a la solución. 40 m y 100 m (4,5) m 2.- Una fuerza actúa sobre un cuerpo que se mueve en el plano xy está dada por la expresión F = (3yiˆ + x2ˆj) N , donde x y y se expresan en metros. El cuerpo se mueve desde el origen hasta un punto de coordenadas (4,5) m, como se muestra en la figura del problema 1. Calcular el trabajo realizado por F si el cuerpo se mueve a lo largo de los tres caminos mostrados en la figura, es decir: 0AC, 0BC y 0C. Explica tu conclusión en base a la solución. 4.- Una partícula se mueve a lo largo del eje x bajo la influencia de una fuerza variable Fx = 2x3 + 1 (donde la fuerza se mide newtons y la distancia en metros). Demuestre que esta fuerza es conservativa, es decir, que para cualquier movimiento oscilante que comience y termine en el mismo sitio (viaje redondo), el trabajo realizado por la fuerza es cero. 3.- Un carro de montaña rusa sin fricción arranca en el punto A como se muestra en la figura, con rapidez v0. ¿Qué rapidez alcanzará a) en el punto B, b) en el punto C, y en el punto D? Suponga que el carro puede considererse como una partícula y que siempre permanece sobre la vía. A v 0 20 m P B 60 m C h 15 m 6.- Un bloque de 4 kg se pone contra un resorte en un plano inclinado sin fricción de 33º con la horizontal. (El bloque no está unido al resorte). El resorte cuya constante k = 22.4 N/cm se comprime 20 cm y luego se suelta (a) ¿Cuál es la energía potencial elástica del resorte comprimido Ue? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial gravitacional del sistema formado por el bloque y la Tierra cuando el primero se mueve desde el punto en que se suelta, hasta el punto más alto al que llega del plano inclinado (c) ¿Qué distancia recorre el bloque sobre el plano inclinado, desde el punto en que se deja en libertad al punto más alto al que llega? R: (a) U = 44.8 J. (b) ΔU = 44.8 J. (c) d = 2.09 m 7.- Una partícula de masa m = 0.500 kg se lanza desde el punto P, como se indica en la figura. La partícula tiene una velocidad v0 con una componente horizontal de 30.0 m/s, la partícula alcanza una altura máxima de 20.0 m por encima del punto P. Utilizando el teorema de conservación de la energía, determinar (a) la componente vertical de vi, (b) el trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre la partícula durante su movimiento desde P hasta B y (c) las componentes horizontal y vertical de la velocidad en el punto B. R: a) vy = 19.8 m/s, b) W = 294.3 J, c) vx = 30 m/s y vy = - 39.6 m/s g h h/2 D 4.- Un carro de montaña rusa de 1 000 kg inicialmente esta en lo alto de un bucle en el punto A. Luego se mueve 135 pies a un ángulo de 40° bajo la horizontal, hacia un punto inferior B. a) Elija el carro en el punto B como configuración cero para energía potencial gravitacional del sistema montaña rusa Tierra. Hallar la energía potencial del sistema, cuando el carro está en los puntos A y B, así como el cambio en la energía potencial conforme el carro se mueve. b) repita el inciso a) pero haga la configuración cero con el carro en el punto A. R: a) UA = 259 204.36 J, UB = 0 J, b) UA = 0, UB = -259 204.36 J. A B 8.- Una cuenta de collar se desliza sobre un cable sin rozamiento que forma un bucle como el mostrado en la figura. La cuenta se suelta desde una altura h = 3.5 R. (a) ¿Cuál es su rapidez en el punto A? (b) ¿Cuál es la fuerza normal ejercida sobre ella en el punto A, si su masa es de 5.00 g? R: (a) v = (3gR)1/2 (b) 0.098 N descendente. 5.- Un bloque de 3.00 kg que se desliza remonta la colina lisa, cubierta de hielo, como se muestra en la figura. La cima de la colina es horizontal y está a 50 m más arriba de su base. ¿Qué rapidez mínima debe tener el bloque en la base de la colina para no quedar atrapada en el foso al otro lado de la colina? ENERO-JUNIO 2017 A h R 18 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 9.- Un carro de montaña rusa rueda por una vía sin fricción en un parque de diversiones, como muestra la figura. Si parte del reposo en el punto A cuya altura es h sobre la base del rizo. Trate al carro como partícula. a) ¿Qué valor mínimo debe tener h (en términos de R) para que el carro no caiga en el punto B? b) Si h es 3.5 R y R = 20 m, calcule la rapidez, la magnitud de la aceleración radial y la magnitud de la aceleración tangencial de los pasajeros cuando el carro está en el punto C, en el extremo de un diámetro horizontal. Realice un diagrama a escala de las componentes de aceleración en dicho punto. R: a) h = 5R/2, b) v = 31.30 m/s, aR = 49 m/s2 y at = 9.8 m/s2. A h 12.0 kg B 2m 4.0 kg C R 10.- El mecanismo de lanzamiento de un rifle de juguete consiste en un resorte de constante de fuerza desconocida. Si el resorte se comprime una distancia de 0.14 m y el juguete se dispara verticalmente, como de indica, el rifle puede lanzar un proyectil de 22 g desde el reposo a una altura máxima de 20 m por encima del punto de partida de proyectil. Sin tomar en cuenta las fuerzas resistivas, determine (a) la constante de fuerza del resorte y (b) la velocidad del proyectil cuando pasa por la posición de equilibrio del resorte. R: a) k = 440 N/m, (b) v = 19.93 m/s ˆj . x con que la cubeta golpea el piso. Haga caso omiso de la fricción y la inercia de la polea. R: v = 4.43 m/s. x= 0 13.- Un péndulo está formado por una cuerda de longitud L y un lenteja de masa m. La cuerda se dispone en posición horizontal y se da a la lenteja la velocidad inicial mínima para que el péndulo de una vuelta completa en el plano vertical. (a) ¿Cuál es la máxima energía cinética de la lenteja? (b) ¿Cuál es en ese momento la tensión de la cuerda? R: (a) Kmax = 5 mgR/2 (b) T = 6mg 14.- Un péndulo consiste en una pequeña masa m atada al extremo de una cuerda de longitud L. Tal como se muestra en la figura, la masa se coloca en posición horizontal y se suelta. En el punto más bajo de la oscilación, la cuerda choca con una clavija delgada situada a una distancia R por encima de dicho punto. Demostrar que R debe ser menor que 2L/5 para que la masa describa un círculo entero alrededor de R. x L R . 11.- Un péndulo está formado por una lenteja de 2 kg atada a una cuerda ligera de longitud 3 m. La lenteja se golpea horizontalmente, de modo que alcanza una velocidad horizontal inicial de 4.5 m/s. En el punto en que la cuerda forma un ángulo de 30° con la vertical (a) ¿cuál es el módulo de la velocidad de la lenteja? (b) ¿Cuál es su energía potencial? (c) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (d) ¿Qué ángulo forma la cuerda con la vertical cuando la lenteja alcanza su máxima altura? R: (a) v = 3.52 m/s (b) U = 7.84 J (c) T = 25.23 N (d) θ = 49ª 15.- La figura muestra una piedra de 7 kg en reposo sobre un resorte, que es comprimido 10 cm por la piedra: (a) ¿Cuál es la constante de resorte? (b) la piedra es empujada otros 35 cm y soltada. ¿Cuál es la energía potencial elástica U e del resorte comprimido, justo antes de soltarla? (c) ¿Cuál es el cambio de energía potencial gravitacional del sistema formado por la piedra y la Tierra cuando la primera se mueve desde el punto donde se suelta hasta su máxima altura. (d) ¿Cuál es la máxima altura, medida desde el punto en que se suelta? R: a) k = 686 N/m, b) Ue = 69.46 J, c) ΔU = 69.46 J y d) h = 1.012 m 12.- Un sistema que consta de dos cubetas de pintura conectadas por una cuerda ligera se suelta del reposo con la cubeta de 12 kg a 2 m sobre el piso. Use el teorema de conservación de la energía mecánica para calcular la rapidez ENERO-JUNIO 2017 19 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 16.- Un tabique se encuentra sobre un montículo semiesférico como se muestra en la figura, si empieza a resbalar desde el reposo. ¿En qué punto p de la superficie sin rozamiento, deja el tabique de tener contacto con el montículo? R: h = 2R/3. 20.- Una pesa de gimnacia formada por dos bolas de masa m conectadas por una barra de longitud L y masa despreciable se apoya sobre una superficie horizontal y un muro vertical, ambos sin rozamiento. Comienza a deslizar, como se muestra en la figura. Determinar la rapidez de la bola que está junto al suelo en el momento que tiene la misma rapidez de la otra bola. R: v = 0.29gL. R 17.- El sistema que se muestra en la figura 11a está en reposo cuando se corta la cuerda inferior. Determinar la rapidez de los objetos cuando están a la misma altura. En la polea no hay rozamiento y su masa es despreciable. 3 kg 1m 21.- En la figura, los bloques de 10 kg y 15 kg están v unidos vmediante una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción. El bloque de 15 kg está unido al resorte de masa despreciable con constante de fuerza de 200 N/m. El resorte no está deformado cuando el sistema se encuentra en la posición indicada. Se desplaza 15 cm hacia abajo al bloque de 10 kg por el plano inclinado que no presenta rozamiento con el bloque (así el bloque de 15 kg queda a 30 cm de altura, respecto del suelo) y se libera desde el reposo. Calcular la rapidez de cada bloque cuando el bloque de 15 kg se encuentra a una altura de 15 cm respecto del suelo (es decir, cuando el resorte no está deformado). R: v = 1.13 m/s. 2 kg 10 kg 18.- El lanzador de bolas de un juego de “pinball” tiene un resorte cuya constante fuerza es 1.2 N/cm. La superficie sobre la que se desplaza la bola está inclinada 10º respecto a la horizontal. Si el resorte se comprime inicialmente 5 cm, determine la rapidez con la que se lanza la bola de 0.1 kg cuando se suelta del émbolo. La fricción y la masa del émbolo son insignificantes. R: v = 1.68 m/s. 10º 19.- Un bloque de masa m parte del reposo a una altura h y se desliza hacia abajo por un plano inclinado sin rozamiento que forma un ángulo θ con la horizontal, como se muestra en la figura. El bloque choca contra un muelle de constante de fuerza k. Determinar la compresión del muelle cuando el bloque se detiene momentáneamente. 15 kg 15 cm ENERGÍA MECÁNICA (FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS). 1.- Un guijarro de 0.20 kg se libera del reposo en el punto A, en el borde un tazón hemisférico de radio R = 0.50 m. Suponga que la piedra es pequeña en comparación con R, así que puede tratarse como una partícula suponga que la piedra se desliza en lugar de rodar. El trabajo efectuado por la fricción sobre el guijarro al bajar de A al punto B en el fondo del tazón es –0.22 J. ¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar a B? R: v = 2.76 m/s. A R m k B h θ 35° 2.- Un trozo de madera de 2.0 kg resbala por una superficie como se muestra en la figura. Los lados curvos son perfectamente lisos, pero el fondo horizontal tiene una longitud de 30 m y es áspero, con coeficiente de fricción cinética de 0.20 con la madera. El trozo de madera parte del ENERO-JUNIO 2017 20 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA reposo 4.0 m arriba del fondo áspero. (a) ¿Dónde se detendrá finalmente este objeto? (b) Para el movimiento desde que se suelta la madera hasta que se detiene, ¿cuál es el trabajo total que realiza la fricción? R: a) d = 20 m, b) W = -78.4 J. 3.- Un bloque de 1 kg se suelta sobre un plano inclinado deslizándose hacia abajo a una distancia de 5 m de un muelle de constante de fuerza k = 200 N/m. El muelle está fijo a lo largo del plano inclinado, que forma un ángulo de 60° como se muestra en la figura. (a) Si no hay rozamiento entre el bloque y la superficie, hallar la compresión máxima del muelle, admitiendo que carece de masa. (b) Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0.3, hallar la compresión máxima. (c) En el plano del apartado (b), ¿hasta qué punto subirá el bloque por el plano después de abandonar el muelle? R: (a) x = 0.7 m, (b) x = 0.63 m y (c) d’ = 3.54 m 6.-El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de 4 kg y la plataforma es de 0.35. (a) Determinar la energía disipada por rozamiento cuando el bloque de 2 kg cae una distancia y. (b) Calcular la energía mecánica total E del sistema después de que el bloque de 2 kg caiga la distancia y, Suponiendo que inicialmente E = 0. (c) Utiliza los resultados de (b) para determinar el módulo de la velocidad de cualquiera de los dos bloques después de que el bloque de 2 kg caiga 2 m. 4 kg 2 kg m = 1 kg 5m UNIDAD TEM ÁTICA III: CANTIDAD DE M OVIM IENTO LINEAL Y SU CONSERVACIÓN . k = 200 N/m C A N T ID A D D E MOV IMIE NT O LIN E A L, S U C ON S E R V A C IÓN E IMP U LS O: 60° 4.- Una piedra de 15 kg baja deslizándose por una colina nevada como se muestra en la figura. Si parte del punto A con una rapidez de 10.0 m/s y no hay fricción en la colina entre los puntos A y B, pero sí en el terreno plano, la base entre B y la pared. Después de entrar en la región áspera la piedra recorre 100 m y choca con un resorte muy largo y ligero cuya constante de fuerza es de 2.00 N/m, si los coeficientes de fricción cinética y estática entre la piedra y el suelo horizontal son de 0.20 y 0.80, respectivamente. a) ¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar al punto B? b) ¿Qué distancia comprimirá la piedra al resorte? c) ¿La piedra se moverá otra vez después de haber sido detenida por el resorte? R: a) v = 22.18 m/s, b) x = 16.38 m. A 1.- Una partícula de 3 kg tiene una velocidad de (3 î – 4 ĵ ) m/s. (a) calcular las componentes x y y de su cantidad de movimiento. (b) Determine la cantidad de movimiento en notación cartesiana y en notación polar. R: (a) px = 9 kg·m/s y py = -12 kg·m/s, (b) p = 9 kg m/s ˆi - 12 kg m/s ˆj y p = 15 kg m/s, 307°. 2.- Un objeto de 4.88 kg con una rapidez de 31.4 m/s choca contra una placa de acero en un ángulo de 42°, y rebota con la misma rapidez y ángulo. ¿Cuál es el cambio en su momentum? R: p = 205 kg·m/s ˆj. m 20 m 42° B 15 m 5.- Un bloque reposa sobre un plano inclinado como se muestra un la figura. Por medio de una polea, el bloque está conectado a un resorte del cual se tira hacia abajo con una fuerza gradualmente creciente. El valor de µe es conocido. Determinar la energía potencial Ue del resorte en el momento que el bloque comienza a moverse. Ue = 42° 3.- Un camión de 2 000 kg que se dirige al Norte a 40 Km/h, da vuelta al Este y acelera a 50 km/h. ¿Cuál es el cambio de su momentum? R: Δp = 35 572 kg·m/s a 38° 39 al Sur del Este. 4.- Un niño de 40.0 kg, que se encuentra de pie sobre un estanque helado, lanza una piedra de 0.500 kg hacia el Este con una rapidez de 5.0 m/s. Ignorando el rozamiento entre el niño y el hielo calcular la velocidad de retroceso del niño. R: v = 0.0625 m/s al Oeste. θ ENERO-JUNIO 2017 21 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 5.- Cada minuto una ametralladora especial de juguete de un celador dispara 220 balas de goma de 12.6 g con una rapidez inicial de 975 m/s. ¿Cuántas balas habrá disparado con un animal de 84.7 kg que se lanza contra el celador con una rapidez de 3.87 m/s a fin de detener al animal? (Suponga que la balas se desplazan horizontalmente y caen al suelo después de dar en el blanco). R: 27. 6.- Dos bloques de masas M y 3M se colocan sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se fija un resorte ligero a uno de ellos y enseguida se empujan ambos bloques comprimiendo el resorte entre ellos, como se muestra en la figura, sujetando los bloques mediante una cuerda. A continuación, se rompe la cuerda, por lo que el bloque de masa 3M se mueve hacia la derecha con una rapidez de 2 m/s. (a) ¿Cuál es la rapidez del bloque de masa M? (b) Hallar la energía potencial elástica original del resorte si M = 0.350 kg. R: (a) v = 6 m/s, (b) Ue = 8.4 J. numéricamente en una pelota de goma con masa de 140 g, que se mueve a 7.8 m/s, la colisión dura 3.9 ms. 2mv ˆ R : (a) F = − i, (b) F = − 560 N ˆi. t 10.- Una bola de acero de 3.00 kg choca contra una pared con un rapidez de 10 m/s, formando un ángulo de 60° con la superficie. La bola rebota con la misma rapidez y formando el mismo ángulo, ver la figura. Si la bola está en contacto con la pared durante 0.20 s, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida por la pared sobre la bola? R: F = -260 N ˆi. y 60° x 3M M 60° antes 2.00 m/s v M 11.- Un chorro de 100 bolitas de vidrio sale de un tubo horizontal cada segundo y choca contra un platillo de una balanza como se ve en la figura. En su marcha caen a lo largo de una distancia de 0.5 m hasta la balanza y rebotan hasta la misma altura. Cada bolita tiene una masa de 0.5 g. ¿Qué valor debe tener la masa M colocada en el otro platillo de la balanza para hacer que la aguja permanezca en cero? R: M = 31.9 g. 3M después 7.- Una pelota de 300 gr se orienta hacia un bate con una rapidez de 13 m/s, cinco centésimas después sale en sentido contrario con una rapidez de 20 m/s calcular: (a) El impulso que recibe la pelota. (b) La fuerza que ejerce la pelota sobre el bate. R: a) I = 9.9 kg m/s ˆi y b) F = -198 N ˆi . 8.- Se suelta un bloque pequeño de masa m 1 = 0.500 kg desde una posición de reposo en el punto más alto de una cuña curva de masa m 2 = 3 kg que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura (a). Cuando el bloque deja atrás a la cuña su velocidad medida es de 4.00 m/s hacia la derecha como en la figura (b). a) ¿Cuál es la velocidad de la cuña después de que el bloque llega a la superficie horizontal? b) ¿Cuál es la altura h de la cuña? R: a) v = - 0.67 m/s ˆi. b) h = 0.95 m m1 M C OLIS ION E S E N U N A Y D OS D IME NS ION E S . 1.- Una pelota de 1 kg moviéndose a 12 m/s choca de frente con otra de 2 kg que se mueve inicialmente en la misma dirección pero en sentido contrario a 24 m/s, encontrar la velocidad para cada una después del choque si: (a) El coeficiente de restitución es 2/3. (b) Después del choque quedan unidas.(c) El choque es perfectamente elástico. R:a) v1 = - 28 m/s ˆi y v 2 = - 4 m/s ˆi. b) v1 = v 2 = -12 m/s ˆi y c) v = 36 m/s ˆi y v = 0. 1 h v2 m2 Figura (a) 2 2.- Un proyectil de 5 g se dispara horizontalmente sobre un bloque de madera de 3 kg inicialmente en reposo obre una superficie horizontal cuyo coeficiente de rozamiento entre los objetos es de 0.2. El proyectil permanece incrustado al bloque deslizándose 25 cm en la superficie ¿Cuál es la velocidad inicial del proyectil? R: v = 601 m/s ˆi. 4.00 m/s Figura (b) 9.- Una pelota de masa m y rapidez v golpea un muro perpendicularmente, y rebota con rapidez inalterada. (a) Si el tiempo de colisión es Δt, ¿cuál será la fuerza promedio ejercida por la pelota sobre el muro? (b) Evalúe esta fuerza 3.- Un camión 20 000 kg se mueve hacia la derecha con una velocidad de 60 km/h, choca contra un automóvil que se mueve en la misma dirección pero de sentido contrario; si su masa es de 1500 kg y su velocidad es de 25 m/s. Encontrar la velocidad para c/u después del choque si: ENERO-JUNIO 2017 22 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA a) e = ¾. R:a) v1 = 11.58 m/s ˆi y v 2 = 42.83 m/s ˆi. b) e = 0. R: b) v1 = v 2 = 13.76 m/s ˆi. 4.- Una pelota se deja caer sobre una superficie horizontal, alcanza una altura de 144 cm en el primer rebote y 81 cm en el segundo rebote ¿Cuál es (a) El coeficiente de restitución entre los objetos. (b) ¿La altura al tercer rebote? R: a) e= 0.75 y b) h = 0.45 m. 5.- Se dispara horizontalmente una bala de 3.54 g contra dos bloques que se hallan en reposo sobre una tabla sin fricción, como se muestra en la figura a. La bala atraviesa el primer bloque con una masa de 1.22 kg, y se incrusta en el segundo con una masa de 1.78 kg. Por lo cual se produce la rapidez de 0.630 m/s y de 1.48 m/s respectivamente en cada bloque, como se aprecia en la figura b. Si prescindimos de la masa extraída del primer bloque por la bala, calcule: a) la rapidez de ésta de inmediato después de salir del primer bloque, y b) la rapidez original de la bala. R:a) v = 746 m/s, b) v = 963 m/s. figura: a 1.22 kg b) v1 = -3 m/s ˆi y v 2 = 46.5 m/s i. 9.- El péndulo balístico consiste de un bloque de madera colgado mediante una cuerda. Al ser golpeado por un proyectil que se queda incrustado en el bloque, ambos se balancean hasta una altura determinada. Calcular la velocidad con la que el proyectil choca con el bloque, considerando al bloque de 5 kg inicialmente en reposo y la bala de 6 gr observando que el conjunto se eleva hasta una altura de 60 cm sobre el nivel original. R: v = - 2861.17 m/s ˆi. 10.- Se suelta del reposo un bloque de 2 kg desde la parte superior del plano inclinado de 22° sin fricción y altura de 0.65 m. En la parte inferior del plano choca contra un bloque de 3.5 kg y se adhiere a él. Los dos bloques se deslizan juntos a una distancia de 0.57 m por un plano horizontal antes de detenerse. ¿Cuál es el coeficiente de fricción de la superficie horizontal? R: µk = 0.151. 1.78 kg 0.630 m/s figura: b 7.- Una pelota de 10 kg se mueve hacia la derecha con una velocidad de 30 m/s, choca contra otra que se mueve en la misma dirección pero con sentido contrario, si su masa es de 4 kg y su velocidad es de 36 m/s Encontrar la velocidad para c/u después del choque si: (a) e = 1, (b) e =3/4. R: a) v1 = -7.7 m/s ˆi y v 2 = 59.24 m/s ˆi. y 1.48 m/s 6.- Una bola de acero de 0.514 kg de masa, está sujeta a un cordón de 68.7 cm de longitud, se deja caer la bola cuando el cordón se encuentra horizontal. Al soltar la bola desde esta posición, golpea a un bloque de acero de 2.63 kg inicialmente en reposo sobre una superficie sin fricción. Si la colisión es elástica. Halle: (a) La velocidad de la bola un instante antes del impacto con el bloque y (b) La velocidad de ambos un instante después del choque. R: (a) u1 = 3.67 m/s ˆi. (b) v1 = - 2.47 m/s ˆi y v 2 = 1.2 m/s ˆi. 8.- Dos carritos de igual masa, m = 0.250 kg, están colocados en un carril sin fricción que tiene un resorte ligero cuya constante de fuerza es k = 50.0 N/m, fijo a un extremo del mismo, como en la figura. Al carrito de la izquierda se le imprime una velocidad inicial de υ0 = 3.00 m/s hacia la derecha y el segundo carrito esta en reposo al principio. Si los dos carritos chocan elásticamente, determine: (a) La rapidez de los carritos un momento después del primer choque y (b) La compresión máxima del resorte. R: a) v1 = 0 m/s y v2 = 3 m/s y b) x = 0.21 m 2 kg 0.57 m 11.- En un partido rugby, un defensa de 90 kg que corre hacia el Este con una rapidez de 5 m/s es alcanzado por un oponente de 95 kg que corre hacia el Norte con una rapidez de 3 m/s. Si la colisión es perfectamente inelástica, (a) calcular la rapidez y dirección de los jugadores justo después del encuentro y (b) determinar la energía mecánica perdida como resultado de la colisión. R: (a) v = 2.88 m/s a 32° 34´ al norte de este, (b) ΔK = 783 J. 12.- Como se muestra en la figura, una bala de masa m y rapidez v pasa a través de la bola de un péndulo de masa M. La bala sale con una rapidez v/2. La bola del péndulo está suspendida de una varilla rígida de longitud ℓ y masa despreciable. ¿Cuál es el valor mínimo de v para que el péndulo oscile describiendo un círculo vertical completo? R: v= m1 4M g m ℓ m v0 . 3.5 kg 0.65 m m2 v ENERO-JUNIO 2017 M v/2 23 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 13.- Se dispara una bala de 10 g hacia un bloque de 250 g que inicialmente está en reposo al borde de una mesa de 1 m de altura. La bala permanece dentro del bloque, el cual después del impacto cae al suelo a 2.5 m del fondo de la mesa, como se muestra en la figura. Determine la rapidez inicial de la bala. R: u1 = 143.78 m/s ˆi. 2.- Tres masas puntuales de 2 kg están localizadas sobre el eje x, en el origen, en x = 0.2 m y en x = 0.5 m. hallar el centro de masas del sistema. R: xCM = 0.23 m. 3.- Cuatro objetos se colocan en el eje y, del siguiente modo: 2 kg en la posición + 3 m, 3 kg en la posición + 2.5 m, 2.5 kg en el origen y 4 kg en – 0.5 m. Encuentra el centro de masas del sistema? R: rCM = 1 m ˆj. 4.- El hacha de piedra mostrada en la figura, está formada por una piedra simétrica de 8 kg, atada al extremo de un palo homogéneo de 2.5 kg. Hallar el centro de masas del sistema. R: xCM = 0.79 m. 80 cm 1m 18 cm 2.5 m 14.- Una bola de billar que se mueve a 5 m/s golpea a una bola inmóvil de la misma masa. Después de la colisión la primera bola se mueve a una velocidad de 4.33 m/s con un ángulo de 30° respecto a la línea de movimiento original. Suponiendo una colisión elástica (e ignorando el rozamiento y la rotación), calcular la velocidad de la bola golpeada. R: v = 2.5 m/s a 60° de la línea de movimiento de la 1a bola. 15.- Una bola con rapidez inicial de 10 m/s choca de manera elástica con dos bolas idénticas, cuyos centros están en una línea perpendicular a la velocidad inicial, y que inicialmente están en contacto entre sí. La primera bola se lanza a los puntos de contacto y ninguna de ellas tiene fricción. Determine la velocidad de las tres bolas después de la colisión. (Sugerencia: Si no hay fricción, los impulsos se dirigen a lo largo de la línea de centros de las bolas, normales a las superficies en colisión). y(m) 2 1 A B C 1 2 3 2 x(m) 6.- ¿Dónde está el centro de masa de las partículas que se muestran en la siguiente figura? R: rCM = 1.067 m ˆi + 1.333 m ˆj. v0 1 5.- Tres bolas A, B y C de masas 3 kg, 1 kg y 1 kg respectivamente, están conectadas por barras de masa despreciable. Las bolas están localizadas como se muestra en la figura. ¿Cuál es el centro de masas? R: rCM = 2 m ˆi + 1.4 m ˆj. y(m) 3 8 kg 2 16.- Un núcleo atómico inestable cuya masa es 17 X 1027kg, inicialmente en reposo se desintegra en tres partículas. Una de las partículas, de masa 5 X 10-27 kg, se mueve a lo largo del eje y con una rapidez de 6 X 106 m/s. Otra partícula, de masa 8.4 X 10-27 kg, se mueve a lo largo del eje x con una rapidez de 4 X 106 m/s. Calcular (a) la velocidad de la tercera partícula y (b) el incremento de la energía cinética total en el proceso. R: (a) v = - 9.33 Mm/s ˆi - 8.33 Mm/s ˆj, (b) ΔK = 439 fJ. 3 kg x(m) 7.-Una hoja de acero uniforme tiene la forma mostrada en la figura. Calcular el centro de masas de la pieza. R: rCM = 11.7 cm ˆi + 13.3 cm ˆj. y(cm) 30 C E N T R O DE MA S A DE U N S IS TE MA D E N P A R T ÍC U LA S Y SU MOV IMIE N T O (V E LOC ID A D , A C E LE R A C IÓN , MOME N TU M LIN E A L Y S U C ON S E R V A C IÓN ). 1.- ¿A qué distancia del centro de la tierra se encuentra el centro de masas del sistema Tierra-Luna? ¿Es interesante comparar la respuesta con el radio terrestre? (masa de la Tierra = 5.98 X 10 24 kg, masa de la Luna = 7.36 X 1022 kg y radio orbital de la Luna = 3.82 X 108 m. R: xCM = 4.644 X 106 m. 4 kg 1 20 10 8.- Una molécula de agua consta de de un átomo de oxígeno enlazado con dos moléculas de hidrógeno. El ángulo entre x(cm) 20 Si 30 los dos enlaces es10de 106°. los enlaces tienen una 24 ENERO-JUNIO 2017 H 0.1 nm PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA longitud de 0.1 nm, ¿Dónde se encuentra el centro de masas de la molécula? R: r(CM) = 6.69 pm ˆi. 9.- Una caja abierta en la parte superior, tiene forma de cubo con una longitud de borde de 40cm, y está hecha de una placa metálica delgada, encuentre las coordenadas del centro de masa de la caja respecto al sistema de referencia indicado. R: xCM = yCM = 20 cm y zCM = 16 cm. continuación, tiene coordenadas x = 1/3 a, y = 1/3 b e indique por simetría la coordenada z de dicho centro de masa. . 14.- Se tiene una varilla fina y uniforme curvada en forma de arco circular de radio R y ángulo θm (ver figura). Demostrar que el centro de masa está situado sobre el eje x a una distancia xCM = R sen θm/θm donde θm se expresa en radianes. Compruebe su respuesta verificando que se obtiene el valor conocido, cuando el ángulo es de 180°. y z R θm x y x 10.- En la figura se muestra una losa compuesta con las dimensiones (22, 13 y 2.8) cm. La mitad está hecha de aluminio (densidad = 2.7 g/cm3), y la otra de hierro (densidad = 7.85 g/cm3). ¿Dónde se halla el centro de masa de la losa? R: r = 6.5 cm ˆi + 13.68 cm ˆj + 1.4 cm kˆ 15.- Una placa uniforme circular de radio R tiene un orificio circular cortado en ella de un radio R/2, como se muestra en la figura, haya el centro de masa de la placa. Sugerencia: el orificio puede representarse por dos discos superpuesto; uno con masa m y otro con masa –m. y CM 22 cm x 2.8 cm 11 cm 11 cm 13 cm 11.- Una tira delgada de material se dobla en forma de semicírculo, como se indica en la figura. Determine su centro de masa. R: yCM = 0.637 R. y 16.- Una plancha de metal se corta en forma de parábola como se muestra en la figura, viene determinada por la ecuación y = ax 2, con 0 ≤ y ≤ b. Determinar el centro de masa, en función de a y b. (Hay que calcular primero el área). R: yCM = 3b/5. y b 2 12.- Demostrar que R el centro de masa de un disco semicircular uniforme de radio R está en un punto que dista 4R/(3π) del centro del círculo. x 13.- Empleando cálculo integral demuestre que el centro de masa de la placa uniforme triangular mostrada a y y = axde 30 cm tiene una 17.- Una varilla con una longitud densidad lineal (masa por unidad de longitud) determinada por: λ = 50 g/m + (20 g/m2) x, donde x es la distancia desde un extremo medida en metros. (a) ¿Cuálxes la masa de la varilla? (b) ¿A qué distancia de x = 0 se encuentra el centro de masa? R: (a) M = 15.9 g y (b) 0.153 m. MOV IMIE N T O C E N T R O DE MA S A S . ENERO-JUNIO 2017 25 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 1.- Las partículas de 2 kg y 3 kg tienen las velocidades de (2 ˆi + 3 ˆj) m/s y (1 ˆi + 6 ˆj) m/s respectivamente. Calcular (a) la velocidad del centro de masas y (b) la cantidad de movimiento total del sistema. R: (a) v CM = 1.4 m/s ˆi + 4.8 m/s ˆj y (b) pCM = 7 kg m/s ˆi + 24 kg m/s ˆj. 2.- Dos pelotas colisionan con las siguientes características: m1 = 0.200 kg, u1 =1.5 m/s î y m2 = 0.300 kg, u2 = -0.4 m/s î . Ambas pelotas chocan frontalmente en una colisión elástica. (a) Hallar sus velocidades después de la colisión. (b) Hallar la velocidad del centro de masas antes y después de la colisión. R: (a) v1 = -0.78 m/s ˆi y v 2 = 1.12 m/s ˆi (b) uCM = 0.36 m/s ˆi y v CM = 0.36 m/s ˆi. 3.- Considere un sistema de dos partículas en el plano xy con las siguientes características: m1 = 2 kg, r1 = (1 ˆi + 2 ˆj) m y v1 = (3 ˆi + 5 ˆj) m/s; m2 = 3 kg, r2 = (-4 ˆi -3 ˆj) m y v 2 = (3 ˆi + 5 ˆj) m/s. . (a) Dibuje a estas partículas sobre una cuadrícula o un papel milimétrico y represente a los vectores de posición y velocidad en cada una de éstas. (b) Halle la posición del centro de masas del sistema y señálelo sobre la cuadrícula o papel milimétrico. (c) Determine la velocidad del centro de masas y señálelo sobre el diagrama. (d) ¿Cuál es el momentum lineal del sistema? R: (b) rCM = -2 m ˆi - 1 m ˆj (c) v CM = 3 m/s ˆi + 5 m/s ˆj y (d) pCM = 15 kg m/s ˆi + 25 kg m/s ˆj 4.- Romeo de 77 kg entretiene a Julieta de 55 kg tocando la guitarra en la parte trasera de su barca, la barca esta en reposo sobre un lago en calma Julieta se encuentra en la parte delantera de la barca a una distancia de 2.7 m de Romeo, después de la serenata, Julieta se mueve cuidadosamente hasta la parte posterior de la barca (alejándose de la orilla) para besar a Romeo en la mejilla. ¿Qué distancia se acercará la barca de 80 kg a la orilla hacia la que está orientada? R: d = 0.70 m. 5.- Con un arma se dispara una bala a una velocidad inicial de 466 m/s, a un ángulo de 57.4° con la horizontal. En la parte más elevada de la trayectoria, la bala explota y produce dos fragmentos de igual masa. Uno de ellos, cuya rapidez inmediatamente después de la explosión es cero, cae en dirección vertical. ¿A qué distancia de la pistola cae el otro fragmento? R: 30 172 m. UNIDAD TEMÁTICA CINEMÁTICA Y DINÁMICA CUERPO RÍGIDO. IV: DE CINEMÁTICA ROTACIONAL: CUERPO RÍGIDO CON ACELERACIÓN CONSTANTE: 1.- Se apaga el motor que hace girar a una podadora a 100 rpm. Suponiendo que hay una aceleración angular negativa constante de 2 rad/s: a) ¿Cuánto tiempo tarda en parar la rueda? b) ¿cuántos radianes recorre en su giro mientras se está deteniendo? R: (a) t = 5.24 s y (b) Ө = 27.4 rad. 2.- La posición angular de una puerta oscilante está descrita por: θ = 5.00 rad + (10.0 rad/s)t + (2.00 rad/s2)t2. Calcular la posición angular, la magnitud de la velocidad angular y la magnitud de la aceleración angular de la puerta. (a) en t = 0 y (b) t = 3.00s. R: (a) θ(0s) = 5 rad, ω(0s) = 10 rad/s y α(0s) = 4 rad/s2(b) θ(3s) = 53 rad, ω(3s) = 22 rad/s y α(3s) = 4 rad/s2. 3.- Un disco de 8 cm de radio gira alrededor de su eje central a razón constante de 1200 rpm. Calcular: a) su rapidez angular. b) la rapidez tangencial en un punto situado a 3.00 cm de su centro. c) la magnitud de la aceleración radial o centrípeta de un punto del borde. d) la distancia total que recorre que recorre un punto del borde en 2.00 s. R: a) ω = 126 rad/s, b) v = 3.77 m/s, c) aC = 1.26 km/s2 y (d) d = 20.1 m. 4.- Un automóvil acelera uniformemente desde el reposo y alcanza una rapidez de 22 m/s en 9 s. si el diámetro de una llanta es de 58 cm, calcular: a) el número de revoluciones que realiza la llanta durante este movimiento suponiendo que no hay deslizamiento. b) ¿Cuál es la rapidez de rotación final de la rueda, en revoluciones por segundo? R: (a) θ = 54.3 rev y (b) ω = 12.07 rev/s. 5.- Un disco de 12 cm de radio empieza a girar alrededor de su eje partiendo del reposo con aceleración angular constante de 8 rad/s2. Al cabo de 5 s, ¿cuál es (a) la magnitud de la velocidad angular del disco y (b) las magnitudes de las aceleraciones: tangencial at y centrípeta ac de un punto del borde del disco? R: (a) ω = 40 rad/s, (b) at = 0.96 m/s2 y ac = 192 m/s2. MOMENTO DE INERCIA Y ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN: 1.- Tres masas conectadas a una varilla delgada de 1 m de longitud y masa despreciable giran alrededor del origen en el plano xy. La partícula 1 (52 g) está unida a 27 cm del origen, la partícula 2 (35 g) se encuentra a 45 cm y la partícula 3 (24 g) está a 65 cm. (a) ¿Cuál es la inercia rotacional del sistema? (b) Si en cambio la varilla girase alrededor del centro de masa del sistema ¿cuál sería su inercia rotacional? R: (a) I = 0.011 kgm2 y (b) I = 2.46 X 10-3 kgm2. 2.- Dos varillas delgadas de masa despreciable están conectadas rígidamente a sus extremos para formar un ángulo de 90°. Giran en el plano xy y los extremos unidos forman el pivote en el origen. Se conecta una partícula de 75 g a una de ellas a una distancia de 42 cm del origen; una partícula de 30 g se conecta ala otra a una distancia de 65 cm del origen. a) ¿Cuál es la inercia rotacional del sistema? b) ¿Cómo cambia la inercia rotacional del sistema si las partículas estuvieran unidas a una varilla en las distancias señaladas respecto al origen? R: 0.026 kg/m2. 3.- Tres pequeñas partículas están conectadas por medio de varillas rígidas de masa despreciable situadas a lo largo del ENERO-JUNIO 2017 26 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA eje como se muestra en la figura. Si el sistema gira alrededor del eje x, con una rapidez angular de 2.00 rad/s, calcular: a) el momento de inercia respecto al eje x y la energía cinética de rotación total, evaluada a partir de ½Iω2. b) la rapidez tangencial de cada partícula y la energía cinética total evaluada a partir de Σ½mivi2. R: (a) K = 184 J y (b) K = 184 J. 450 g. ¿Qué momento de inercia tiene la rueda alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su plano. R: I = 3.312 kg m2. 1.2 m y 4 kg y=3m 10.- La Polea de la figura tiene un radio R y momento de inercia I. La cuerda no resbala sobre la polea y ésta gira sobre un eje sin fricción. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque A y la superficie de la mesa es µk. El sistema se suelta del reposo y el bloque B desciende. Use Métodos de energía para calcular la rapidez de B en función de la distancia d que ha descendido. x 2 kg y = -2 m 3 kg y = -4 m 4.- Cuatro partículas están en los vértices de un cuadrado unidas por varillas de masa despreciable, de modo que m1 = m4 = 3 kg y m2 = m3 = 4 kg. La longitud del lado del cuadrado es L = 2 m, Hallar el momento de inercia respecto a: (a) el eje z y (b) el eje x. R: (a) I = 60 kgm2 y (b) I = 28 kgm2. y m1 I A m2 B 11.- Una barra delgada y uniforme de longitud L y masa M está sujeta por uno de sus extremos a un pivote o eje fijo sobre el cual puede oscilar. ¿Qué rapidez angular inicial se requiere para que la barra alcance la posición vertical al final de su oscilación, como se muestra en la figura, desde una posición horizontal? R: ω0= (3g/L)1/2. y m4 z m3 yCM CM x 0 5.- Demuestre que el momento de inercia de un disco uniforme de masa M es ½ MR2, si su eje de rotación es perpendicular al disco y pasa por su centro. L 6.- Demuestre que el momento de inercia de un cilindro hueco de pared delgada con masa uniforme M es: MR2, si su eje de rotación es perpendicular al plano circular del cilindro y pasa por su centro. 7.- Demuestre que el momento de inercia de una varilla con densidad uniforme de masa M es ⅓ MR2, si su eje de rotación está en uno de sus extremos. 8.- Una hélice de avión con diámetro de 2.3 m de punta a punta y masa 127 kg, gira a 2400 rpm alrededor de un eje que pasa por su centro. a) ¿Qué energía cinética rotacional tiene? Trate a la hélice como varilla delgada. b) Si no girara, ¿qué distancia tendría que caer libremente la hélice para adquirir esa energía? 12.- Considere dos objetos con masas m 1 > m2 unidos entre sí por medio de una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea cuyo momento de inercia respecto a su eje de giro es I, como se muestra en la figura. La cuerda no resbala sobre la polea y ésta gira sin fricción. Los objetos se sueltan partiendo del reposo, separados por una distancia vertical de 2h. Utilizar el principio de conservación de la energía mecánica para calcular la rapidez de traslación de los objetos en el instante que pasan el uno al lado del otro. Calcular la rapidez angular de la polea en ese instante. R: ω = [2gh(m1-m2) /R2(mi + m2 +M)]1/2. R 9.- Una rueda de carreta tiene un radio de 60 cm y la masa de su borde es de 8 kg. Cada rayo que está sobre un diámetro, tiene una longitud de 60 cm y tiene una masa de ENERO-JUNIO 2017 2h 27 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA ˆ calcular el momento de torsión. R: r = 4 m ˆi + 5 m ˆj + 0 mk, ˆ = 2 N m k. 13.- Dos discos metálicos de radios R1 = 3.00 cm y R2 = 5.50 cm y masas M1 = 1.2 kg y M2 = 2.5 kg se sueldan juntos y se montan en un eje sin fricción que pasa por su centro común, como se muestra en la figura. a) ¿Qué Momento de inercia tienen los discos? b) Un hilo ligero se enrolla en el disco más chico y se cuelga de él un bloque de 2 kg. Si el bloque se suelta desde una altura de 1.50 m del piso, ¿qué rapidez tiene justo antes de golpear el piso? c) Repita el inciso b) pero ahora con el hilo enrollado en el disco grande. ¿En qué caso alcanza mayor rapidez el bloque? Explique su respuesta. R: a) IR = 4.32 X 10-3 kg m2, b) v = 2.94 m/s y c) v = 4.14 m/s. R1 2.- Una placa rectangular y uniforme, tiene como eje de rotación su centro geométrico, el cual coincide con el origen del sistema de referencia como se muestra en la figura. Determine la torca o momento de torsión que ejerce la fuerza aplicada sobre la placa en el punto indicado: y[m] 3 4 x [m] R2 50° 40 N 2.00 kg 14.- Este problema describe un método experimental para determinar el momento de inercia de un objeto de de forma irregular como, por ejemplo, la carga útil de un satélite. La figura muestra un cilindro de masa m suspendido de una cuerda que está enrollada alrededor de un carrete de radio r, montado en una placa giratoria. Cuando se suelta el cilindro partiendo del reposo, desciende una distancia h, adquiriendo una rapidez v. Demostrar que el momento de inercia I del conjunto (incluyendo la placa giratoria) es: mr2 [(2gh/v2) -1] 3.- La figura muestra las líneas de acción y los puntos de aplicación de dos fuerzas alrededor del origen 0, todos los vectores están en el plano de la figura. Imagine que actúan sobre un cuerpo rígido que gira alrededor un eje en el punto 0 y perpendicular al plano de la figura. Encuentre la torca resultante si: r1 = 2.3 m, r2 = 4.2 m, F1 = 12 N, F2 = 9 N, Ө1 = 120° y Ө2 = 40°. r2 r1 0 Ө1 F1 FUERZAS EXTERNAS QUE GENERAN LA ROTACIÓN DE LOS CUERPOS RÍGIDOS, MOMENTO DE FUERZA RESPECTO A UN EJE DE ROTACIÓN: PRODUCTO VECTORIAL, CRUZ O EXTERNO: 1.- Si: a = 4.5 45, b = 6.3 320 y c = 6.8 110. Determine: a) a b, b) b a, c) b c y d) c d. 2.- ˆ B = 4iˆ − 2jˆ − 2kˆ Dados: A = 3iˆ − 2jˆ − k, y C = 2iˆ + ˆj. Ө2 F2 4.- Un cuerpo rígido irregular, tiene su centro de giro fijo en el origen de un sistema de referencia. Si se le aplican las siguientes fuerzas en las posiciones indicadas, determine la torca neta que experimenta: ˆ N, ˆ N F1 = (5 ˆi - 3 ˆj + 6 k) F2 = (-7 ˆi + 3 ˆj + 8 k) ˆ cm, ˆ N en r1 = (40 ˆi + 50 ˆj - k) F3 = (-4 ˆi + 3 k) y ˆ cm r2 = (-80 ˆi + 35 ˆj - 10 k) r3 = ( -5 ˆi + 35 ˆj) cm; y respectivamente. ˆ R: = 7.12 N m ˆi + 4.8 N m ˆj - 2.25 N m k. Determina: a) A B, b) B A, c) C A y d) B C. TORCA O MOMENTO FUERZA: 1.- Se aplica una fuerza F = 2 N ˆi + 3 N ˆj a un objeto que gira alrededor de un eje fijo alineado con eje de coordenadas z. Si se aplica la fuerza en el punto 5.- Calcular el momento de torsión neto sobre la rueda de la figura, respecto al eje que pasa por 0, si a = 10 cm y b = 25 cm. 10 N a 30° 0 ENERO-JUNIO 2017 28 12 N b 9N PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA d m1 m2 P 0 CG x 6.- Determine la torca resultante en el plano siguiente bajo la acción del sistema de fuerzas, si puede girar sobre:(a) El punto Ay (b) El punto B 1m A 1m 3N L 3.- Un cartel de densidad uniforme con peso Fg y anchura 2L, cuelga de una barra horizontal de masa despreciable unida a la pared y que se sostiene por medio de un cable, como se muestra en la figura. Calcular (a) la tensión en el cable y (b) las componentes de la fuerza de reacción que ejerce la pared sobre la la barra en función de Fg, d, L y θ. 4N 8N 2N B 6N 5N Paraiso México d 2L 7.- En la figura las fuerzas A, B, C y D tienen magnitud de 80 N y actúan sobre el mismo punto del objeto. a) ¿Qué momento de torsión ejerce cada una de estas fuerzas sobre el objeto alrededor del punto P? 4.- Un cable soporta a una viga, uno de sus extremos esta fijo en la pared, del otro lado se sostiene un peso de 100 N, la viga pesa 30 N y es uniforme. Halle la tensión del cable y la fuerza ejercida sobre la pared en la viga. A B 1/3 L 45° 67° 2/3 L 45° 37° C 40 cm 25° 60° P D C U E R P O R ÍGID O E N E QU ILIB R IO . 1.- Una clavadista de 588 N de peso está en la punta de un trampolín uniforme de 5.20 m y 130 N de peso. El trampolín está sostenido por dos pedestales separados una distancia de 1.60 m, como se indica en la figura. Calcule la compresión o tensión en los dos pedestales. 5.- Un adorno consiste en dos esferas con chapa de oro con masas de 0.300 kg y 0.480 kg suspendidas de una varilla uniforme de 1.20 kg y 100 cm de longitud como se muestra en la figura. Halla la tensión en cada una de las cerdas que conforman el sistema. F 20 cm 60 cm 35° C 20 cm E 50° D B 5.20 m 0.300 kg A 0.480 kg 1.60 m 2.- Una viga uniforme de masa mb y longitud L soporta dos bloques de masas m1 y m2 situados en dos posiciones distintas, tal como se muestra en la figura. La viga descansa sobre dos pilares triangulares. ¿Para qué valor de x estará la viga en equilibrio en P de modo que la fuerza normal en 0 sea cero? L/2 6.- Un ingeniero está diseñando un sistema transportador (banda transportadora) para cargar pacas de paja de 30 kg en un carro, ver figura. Las pacas miden 0.25 cm de ancho, 0.50 cm a lo alto y 80 cm a lo largo (la dimensión perpendicular al plano de la figura), con su centro de gravedad en el centro geométrico. El coeficiente de fricción estática entre una paca y la banda transportadora es de 0.60, y la banda se mueve con rapidez constante. a) El 29 ENERO-JUNIO 2017 0.25 m PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA ángulo β del transportador se aumenta lentamente. En cierto ángulo crítico las pacas se voltearán (si no se deslizan antes). Calcule los dos ángulos críticos y determine qué sucede en el ángulo más pequeño. b) ¿Sería diferente el resultado de la parte a) si el coeficiente de fricción fuera de 0.40? 7- La paca del problema anterior es arrastrada sobre una superficie horizontal como muestra la figura. El coeficiente de fricción cinética es de 0.35. a) Calcule la magnitud de F. b) Determine el valor de h con el cual la paca apenas comenzará a volcarse. 0.25 m 0.50 m F CG h 8.- Imagine que trata de subir una rueda de bicicleta de masa m y radio R a una acera de altura h; para ello aplica una fuerza horizontal F. ¿Qué magnitud mínima de F logra subir la rueda si la fuerza se aplica a) al centro de la rueda como indica la figura? b) en la parte superior de la rueda? c) ¿En cuál caso se requiere menos fuerza? F R 9.- La figura muestra una fuerza vertical que se aplica de h manera tangencial sobre un cilindro uniforme cuyo peso es Fg el coeficiente de fricción estático entre el cilindro las superficies es de 0.50. Calcular en función de Fg la magnitud de la fuerza máxima P que se puede aplicar de modo que el cilindro no gire. (nota, cuando el cilindro está a punto de girar las fuerzas de fricción alcanzan sus valores máximos ¿por qué?) P MOME N T O O T OR C A S OBR E U N CU E R P O R ÍGID O . 1.- Un avión de aeromodelismo con una masa de 0.800 kg, está atado a un cable de modo que vuela en círculo de 30.0 m de radio. El motor del avión del avión proporciona un empuje neto de 0.95 N perpendicular al cable al que está atado. (a) Calcular el momento de torsión que produce el empuje neto respecto al centro del círculo. (b) Calcular la aceleración angular cuando el avión está en pleno vuelo. (c) Calcular la aceleración tangencial del avión. 2 – La combinación de dos fuerzas, una externa y otra de fricción producen un momento de torsión neto cuya magnitud es de 40 N·m sobre una rueda que gira alrededor de un eje fijo. La combinación de fuerzas actúa durante 10 s. En ese tiempo la rapidez angular de la piedra se incrementa de 0 a 20 rad/s. En ese instante se deja de aplicar la fuerza externa y la rueda acaba por detenerse al cabo de 100 s. Calcular (a) el momento de inercia de la rueda (b) La magnitud del momento de torsión del rozamiento y (c) el número total de revoluciones que ha girado la rueda. R: (a) I = 20 kg·m2 (b) = 4 N·m y (c) θ = 175 rev. 3.- El volante de un motor tiene un momento de inercia de 2.50 kg·m2 alrededor de su eje de rotación. a) ¿Qué momento de torsión se requiere para que alcance una rapidez angular de 400 rpm en 8 s partiendo del reposo? b) ¿Qué energía cinética final tiene? 4.- Un casco esférico uniforme de 8.4 kg y 50 cm de diámetro tiene cuatro masas pequeñas de 2.0 kg pegadas a su superficie exterior, a distancias equidistantes. Está combinación gira respecto a un eje que pasa por el centro de la esfera y dos de las masas pequeñas, como muestra la figura. ¿Qué magnitud del momento de torsión por fricción se requiere para reducir la rapidez angular del sistema de 75 rpm a 50 rpm en 30 s? R: 0.0524 N·m. 5.- EL torno de un alfarero es un disco grueso de piedra con un radio de 0.500 m y una masa de 100 kg al girar libremente a 50 rev/min, el alfarero puede detener la piedra en 6.0 s si presiona con un trapo húmedo contra el borde ejerciendo una fuerza radial hacia el centro de 70.0 N. Calcular el coeficiente efectivo de fricción dinámico entre el torno y el trapo. 6.- Un objeto con un peso de 50.0 N está unido al extremo libre de una cuerda de masa despreciable enrollada alrededor de un carrete con un radio de 0.250 m y masa de 3.00 kg. El carrete es un disco sólido que puede girar libremente en el plano vertical alrededor de un eje horizontal que pasa a través de su centro. Se suelta el objeto a 6.00 m del suelo. (a) Calcular la tensión en la cuerda, la aceleración del objeto y la rapidez con la que el objeto golpea al suelo (b) Utilizando el principio de conservación de la energía calcular la rapidez con la que el objeto golpea el suelo. 7.- La figura muestra una máquina de Atwood. Encuentre las aceleraciones lineales de los bloques A y B, la aceleración angular de la rueda C y la tensión en cada lado del cable si no hay deslizamiento entre el cable y la superficie de la rueda. Sean las masas de los bloques A y B 4 kg y 2 kg, respectivamente, el momento de inercia de la rueda entorno a su eje es 0.300 kg·m2, y sea el radio de la rueda igual a 0.120 m. ENERO-JUNIO 2017 R 30 C A PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA 25.0 kg y con su eje fijo en 0y momento de inercia respecto al eje de 0.500 kg·m2. El hilo tira sin resbalar a una distancia perpendicular de 0.200 m respecto a ese eje. a) ¿Qué aceleración tiene el bloque? b) ¿Qué tensión hay en el hilo? 0 5 kg 8.- Un motor eléctrico hace girar una rueda por medio de una correa de transmisión que une dos poleas, situadas una en motor y otra en la rueda, como se muestra en la figura. La rueda es un disco sólido con una masa de 80.0 kg y un diámetro de 1.25 m, que gira sobre un eje sin fricción. La polea unida a ella tiene una masa mucho menor y un radio de 0.230 m. Si la tensión en el segmento superior (el más tenso) de la correa de transmisión es de 135 N y la rueda experimenta una aceleración angular de 1.67 rad/s 2, resultado de un giro en el sentido de las manecillas de un reloj, calcular la tensión en el segmento inferior (el más flojo) de la correa de transmisión. 9.- Una cubeta con agua y masa de 15.0 kg se suspende de una cuerda enrollada en un rodillo, es un cilindro sólido de 0.300 m de diámetro y masa de 12 kg, pivotando en un eje sin fricción que pasa por su centro. La cubeta se suelta del borde de un poso y cae 10 m hasta el agua. El peso de la cuerda es despreciable. a) ¿Qué tensión hay en la cuerda mientras la cubeta cae? b) ¿Con qué rapidez golpea la cubeta el agua? c) ¿Cuánto tarda en caer? d) Mientras la cubeta cae ¿qué fuerza ejerce el eje sobre el cilindro? 36.9° ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DE CUERPO RÍGIDO: 1.- Un cilindro sólido homogéneo de 20 cm de radio y 50 kg de masa, rueda sin deslizamiento sobre una superficie horizontal, con rapidez de 4 m/s que trabajo se necesitó para ponerlo en movimiento. 2.- Un aro de 0.50 m de radio y 0.80 kg rueda sin deslizarse con una rapidez de 18 m/s hacia un plano inclinado de 30°. ¿Cuál será la distancia recorrida por el aro sobre el plano inclinado? (Suponer que rueda sin deslizarse). 3.- Un cilindro de masa M y radio R tiene en enrollada una cuerda. Esta cuerda está fuertemente sujeta, y el cilindro cae verticalmente, tal como se muestra en la figura. (a) Demostrar que la aceleración del cilindro está dirigida verticalmente hacia abajo y que su magnitud o módulo es de a = 2g/3. (b) Calcular la tensión de la cuerda. 10.- Dos bloques, como se muestra en la figura, están unidos por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea de radio 0.25 m y momento de inercia I. El bloque sobre la pendiente sin fricción se mueve hacia arriba con una aceleración de 2.00 m/s2. (a) Calcular las tensiones T1 y T2 en las dos partes de la cuera. (b) Calcular el momento de inercia de la polea. 2 m/s2 4.- Una esfera hueca y otra sólida (y uniforme) de iguales masas M y radios R ruedan sin deslizamiento por un plano inclinado desde la misma altura H, ver figura. Ambas se mueven horizontalmente al salir de la rampa. Cuando las esferas chocan contra el suelo, el alcance de la esfera hueca es L. Determinar el alcance L’ de la esfera uniforme sólida. R : L’ = 1.09 L T1 T2 15 kg 20 kg 37° 11.- Un bloque de masa m = 5.00 kg baja deslizándose por una superficie inclinada de 36.9° respecto a la horizontal, como muestra la figura. El coeficiente fricción cinética es de 0.25. Un hilo atado al bloque está enrollado en un volante de ENERO-JUNIO 2017 31 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA de la circunferencia y es perpendicular al plano de movimiento? (c) ¿Cuál la rapidez angular de la partícula? R: (a) L = 28 kg·m2/s, (b) I = 32 kg·m2, (c) ω = 0.875 rad/s. 3.- Un cuerpo de 2 kg se mueve con velocidad constante de 4.5 m/s a lo largo de una línea recta: (a) ¿Cuál es el módulo de su momento angular respecto a un punto situado a 6 m de la línea? (b) Describir cualitativamente cómo varía con el tiempo su rapidez angular respecto a dicho punto? R: (a) L = 54 kg·m2/s 5.- Un taco de billar golpea a una bola horizontalmente a una distancia x por encima del centro de masa de la bola, como se muestra en la figura. Determinar el valor de x para el cual la bola de billar rodará sin deslizamiento. Expresar la respuesta en función del radio R de la bola. R: (2/5)R 4.- Una barra rígida ligera de 1.00 m de longitud une a dos partículas con masas de 4.00 kg y 3.00 kg, en sus extremos. Determine la cantidad de movimiento angular del sistema en torno al origen, cuando la rapidez de cada partícula sea de ˆ 5.00 m/s. R: L = 17.5 kg m2 / s k. y v 3.00 kg x x 1.00 m 4.00 kg 6.- Una bolita de masa M y radio R rueda sin deslizamiento hacia abajo por la pista de la izquierda desde la altura h 1 como indica la figura. La bolita sube entonces por la pista sin rozamiento de la derecha hasta una altura h 2. Determinar la altura h2. R: h2 = 5h1/7 5.- Dos partículas v m1 y m2 están localizadas en la posiciones r1 y r2 respecto al mismo origen 0 como indica la figura, estas particulas en conjunto experimentan fuerzas simétricas. Calcular el momento resultante ejercido por estas fuerzas alrededor del origen y demostrar que es nulo si las fuerzas F1 y F2 están dirigidas a lo largo de la línea que une ambas partículas. m 2 F2 h1 F1 h2 m1 r2 r1 0 7.- En 1993, un yo-yo gigante de masa 400 kg y 1.5 m de radiose dejó caer desde una grúa de 57 m de altura. Uno de los extremos de la cuerdaestaba atada a la grúa, de modo que el yo-yo se desenrrollaba al descender. Suponiendo que el eje del yo-yo tenía un radio de 0.1 m, determinar la rapidez de descenso en el punto mas bajo de su recorrido. R: v = 3.14 m/s 6.- Una partícula de 1.8 kg se mueve en una circunferencia de radio 3.4 m. El módulo de su momento angular relativo al centro del circulo depende del tiempo según la expresión: L = (4 N·m) t (a) Determinar el módulo del momento que actúa sobre la partícula.(b) Determinar la rapidez angular de la partícula en función del tiempo. R: (a) = 4 N·m, (b) ω = (0.192 rad/s)t CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN: 7.- El vector de posición de una partíca de 2 kg de masa como función del tiempo se conoce por r = (6.00 ˆi + 5.00 t ˆj) m. Determine el momento angular de la partícula en torno al origen como función del tiempo. R: ˆ L = 60 kg m2 / s k. O 1.- Una partícula que se mueve a velocidad constante, tiene un momento angular nulo respecto a un determinado punto. Demostrar que la partícula ha pasado por dicho punto, está en dicho punto o pasará por él. 2.- Una partícula de masa 2 kg se mueve con rapidez constante de 3.5 m/s describiendo una circunferencia de 4 m de radio. (a) ¿Cuál es la magnitud del momento angular respecto al centro de la circunferencia? (b) ¿Cuál es su moento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro 8.- Con dirección justo hacia la cima de los Pikes Peak, un avión de 12 000 kg de masa vuela sobre las planicies de Kansas a una altitud ccasi constante de 4.30 km con velocidad constante de 175 m/s oeste. (a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del avión en relación con ENERO-JUNIO 2017 32 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA una granja de trigo sobre el suelo directamente bajo el avión? (b) ¿ Este valor cambia a medida que el avión continúa su movimientoa lo largo de la línea recta? (c) ¿Cuál es su cantidad de movimiento angular en relación con la cima de los Pikes Peak? 9.- un péndulo cónico consiste de una plomada de masa m en movimiento en una trayectoria circular en el plano horizontal, como se muestra en la figura. Demuestre que la magnitud de la cantidad e movimiento angular de la plomadaen torno al centro del círculo es 1/ 2 m2g 3sen4 L= cos T Ө r 10.- Una partícula de 1.5 kg se mueve en el plano xy con ua velocidad v = 4.20 m/s ˆi + 3.60 m/s ˆj. Determine la cantidad de movimiento angular de la partícula en torno al origen cuando su vector de posición es r = 1.50 m ˆi + 2.20 m ˆj. 11.- Un cilindro uniforme de masa 90 kg y radio 0.4 m está dispuesto de modo que gira sin rozamiento alrededor de su eje de simetría, gracias a una correa de transmisión que se arrolla sobre su perímetro y ejerce un momento constante. En el tiempo t = 0 su rapidez angular es cero. En el tiempo t = 25 s su rapidez angular es de 500 rev/min. (a) ¿Cuál es su momento angular en t = 25 s? (b) ¿Cómo se incrementa el momento angular en cada unidad de tiempo? (c) ¿Qué momento externo actúa sobre el cilindro? (d) ¿Cuál es el módulo de la fuerza que actúa sobre la periferia del cilíndro? 12.- una partícula de masa m se mueve en un círculo de radio R con una rapidez constante v, como se muestra en la figura. El movimiento comienza en el punto Qen el tiempo t = 0. Determine la cantidad de movimiento angular de la partícula en torno al punto P como función del tiempo. vt ˆ R: L = mvR cos( + i) k. R y momento externo actúa sobre el cilindro? (d) ¿Cuál es el módulo de la fuerza que actúa sobre la periferia del cilíndro? 14.- En la figura el plano inclinado carece de rozamiento y la cuerda pasa através del centro de masa de cada bloque. La poleatiene un momento de inercia I y un radio R. (a) Determinar el momento resultante que actúa sobre el sistema (las dos masas, la cuerda y la polea) respecto al centro de la polea. (b) Expresar el momento angular total del sistema respecto al centro de la polea cuando las masas se mueven con velocidad v. (c) Determinar la magnitud de la aceleración de las masas a partir de los resultados del apartado (a) y (b) igualando el momento resultante con la derivada respecto al tiempo del momento angular del sistema. R: (a) = Rg(m2senθ-1), I g(m2sen − m1 ) (b) L = vR( 2 + m1 + m2 ), (c) a = . R I + m + m 1 2 R2 v m2 v m1 15.- Una partíula de masa m se dispara con una velocidad inicial v que forma un ángulo θ sobre la horizontal, como se θ muestra en la figura. La partícula se mueve en el campo gravitacional de la tierra; despreciando el rozamiento del aire. Determine lecantidad de movimiento angular de la partícula en torno al origen, cuando la partícula esta a) en el origen, b) en el punto más alto de su trayectoria y c) justo antes de golpear el suelo. d) ¿exprese qué momento de torsión hace que cambie la cantidad de movimiento angular de la partícula durante su recorrido? R: a) cero, b) L = ( −mv 03sen2 cos / 2g)kˆ c) L = ( −2mv 03sen2 cos / g)kˆ v v0 v Φ m R v P Q x 13.- Un cilindro uniforme de masa 90 kg y radio 0.4 m está dispuesto de modo que gira sin rozamiento alrededor de su eje de simetría, gracias a una correa de transmisión que se arrolla sobre su perímetro y ejerce un momento constante. En el tiempo t = 0 su rapidez angular es cero. En el tiempo t = 25 s su rapidez angular es de 500 rev/min. (a) ¿Cuál es su momento angular en t = 25 s? (b) ¿Cómo se incrementa el momento angular en cada unidad de tiempo? (c) ¿Qué CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMENTO ANGULAR 1.- Un planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, estando éste en el foco de la elipse, como se muestra en la figura. (a) ¿Cuál es el momento producido por la fuerza gravitatoria de atracción del Sol sobre el planeta? (b) En la posición A, el planeta está a una distancia r 1 del Sol y se está moviéndo con una velocidad v 1 perpendicular a la línea que va del Sol al planeta. En la posición B, está a una distancia r2 y se mueve con velocidad v 2 de nuevo perpendicular ala línea que va del Sol al planeta. ¿Cuál es la relación de v1 y v2 en función de r1 y r2? ENERO-JUNIO 2017 33 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA R: v1 r2 = v 2 r1 v2 Sol r1 r2 B A A v1 2.- Un pequeño disco plano con masa m = 2.4 kg que se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción. Se mantiene en una órbita circular en torno a un eje fijo mediante una barra con masa despreciable y longitud R = 1.50 m, articulado en un extremo. Al inicio el disco tiene una rapidez v = 5.00 m/s. Una bola de arcilla de 1.3 kg se deja caer verticalmente sobre el disco desde una pequeña distancia sobre éste y de inmediato se pega al disco. (a) ¿Cuál es el nuevo periodo de rotación? (b) ¿En este proceso se conserva la cantidad demovimiento angular del sitema disco-arcilla en torno al eje de rotación? (c) ¿La cantidad de movimiento del sistema se conserva en el proceso de la arcilla que se pega al disco? (d) ¿La energía mecánica se conserva en el proceso? 3.- Un cilindro con momento de inercia I 1 de vueltas en torno a un eje vertical sin fricción con rapidez angular ω0. Un segundo cilindro, con momento de inercia I2 y que inicialmente no gira, cae sobre el primer cilindro como se muestra en la figura. Debido a la fricción entre las superficies, con el tiempo los cilindros llegan a la misma rapidez angular ω. (a) Calcule la rapidez angular final. (b) Demuesrtra que la energía cinética del sistema disminuye en esta interacción y calcue la proporción de la enrgía rotacional final a la inicial. R= (a) ω = ω0I1/(I1 + I2), (b) I1/( I1 + I2). ω0 antes ω 6.- Un disco ded 80 g de masa y 4.00 cm de radio se desliza a través de una mesa de aire con una rapidez de 1.50 m/s, como se muestra en la figura. Forma una colisión oblicua con otro disco de 6.00 cm de radio y 120 g de masa (inicialmente en reposo) tal que sus bordes apanas se tocan. Ya que los bordes están recubiertos por pegamento de acción instantánea. Los dicos quedan unidos y giran despue de la colisión. (a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del sistema relativa al centro de masa? (b) ¿Cuál es la rapidez angular del sistema relativa al centro de masa? 1.50 m/s b) a) 7.- Una pequeña porción de masilla de masa m cae desde el techo sobre el borde exterior de un tocadiscos de radio R y momento de inercia I0, que está girando libremente con rapidez angular ω0 alrededor de su eje de simetría vertical fijo. (a) ¿Cuál es la rapidez angular del tocadiscos y la masilla despues del choque? (b) Después de varias vueltasla masilla se desprende del borde del tocadiscos hacia fuera. ¿Cuál es la rapidez angular del tocadiscos después de I0 desprenderse la masilla? R: = 2 0 I0 + mR 8.- Un bloque de madera de masa M, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está unido a una barra rigida de longitud ℓ y masa despreciable como se muestra en la figura. La barra se articula en el otro extremo. Una bala de masa m que viaja paralela a la superficie horizontal y perpendicular a la barra von rapidez v, golpea al bloque y queda incrustado en él. (a) ¿Cuál es la magnitud de la cantidad de moviento angular del sistema bala bloque? (b) ¿Qué fracción de energía cinética orriginal se convierte en energía interna en la colisión? R: (a) L = mv ℓ, (b) M/(M+m/ después ℓ 4.- Un carrusel de jardin con radio R = 2.00 m tiene un momento de inercia de I = 250 kg·m2 y es rotatorio a 10,0 rev/min en torno a un eje vertical sin fricción. Frente al eje un niño salta hacia el tiovivo y logra sentarse en el borde. ¿Cuál es la nueva rapidez del tiovivo? R: ω = 7.4 rev/min. 5.- Un hombre está de pie sobre una plataforna sin rozamiento que gira con rapidez angular de 1.5 rev/s. sus brazos están extendidos y sostiene en cada mano una bola pesada. El momento de inercia del hombre, los pesos extendidos y la plataforma es de 6 kg·m2. Cuándo el hombre impulsa los pesos hacia su cuerpo, el momento de inercia decrece a 1.8 kg·m2. (a) ¿Cuál es la rapidez angular de la plataforma? (b) ¿Cuál es la variación de la energía cinética experimentada por el sistema? R: (a) ω = 5 rev/s, (b) ΔK = 622 J. M v 9.- Dos discos de masas idénticas pero de radios diferentes (r y 2r) giran sobre cojnetes sin rozamienta a la misma rapidez angular ω0 pero en sentido contrario ver figura. Lentamente los dos discos son impulsados el uno hacia el otro hasta que sus superficies entran en contacto. La fuerza de fricción superficial da lugar a que los dos discos poseean la misma velocidad angular. ¿Cuál el módulo de esa valocidad angular final? R: ω = 3 ω0/5. 2r ENERO-JUNIO 2017 ω0 r 34 PROBLEMARIO DE MECÁNICA CLÁSICA horizontalmente, las mancuernas están a 1.00 m del eje de rotación y el estudiante da vueltas con rapidez angular de 0.750 rad/s. El momento de inercia del estudante más el banco es de 3.00 kg·m2 y se supone constante. El estudiante jala las mancuernas horizontalmente hacia adentro a una posición de 0.300 m del eje de rotación. (a) Encuentre la nueva rapidez angular del estudiante. (b) Encuentre la energía cinética del sistema rotatorio antes y después de jalar las mancuernas hacia adentro. R: (a) ω = 1.9 rad/s, (b) K0 = 2.5 J, K = 6.4 J 10.- Si para el sistema del problema 12, d = 1.2 m, M = 0,8 kg y m = 0.3 kg y el ángulo máximo entre la barra y la vertical es de 60°, determinar la rapidez de la partícula antes del impacto. R: v = 7.74 m/s. 11.- La figura muestra una barra uniforme de longitud d y masa M cuelga de un pivote en la parte superior. La barra, inicialmente en reposo, recibe el choque de una partícula de masa m en un punto x = 0.8 d por debajo del pivote. Suponer que la masilla se pega al barra. ¿Cuál debe ser el módulo de la velocidad v de la partícula para que el ángulo máximo entre la barra y la vertical sea de 90°? 1 (0.5M+ 0.8 m)( Md2 + 0.65md2 )g 3 R: v = 0.32dm2 x d M m 11.- Una barra de 16 kg y 2.4 m de longitud está apoyada sobre el filo de una cuchilla por su punto medio. Una bola de arcilla de 3.2 kg se deja caer desde el reposo, de una altura de 1.2 m y produce un choque con la barra completamente inelástico, a 0.9 m del punto de soporte, como indica la figura. Determinar el momento angular del sistema barra más arcilla, inmediatamente despues de la colisión. R: L = 14 J·s. 0.9 m 1.2 m 2.4 m 12.- Un estudiante se sienta sobre un banco rotatorio libremente, sosteniendo dos mancuernas, cada una de 3.00 kg de masa. Cuando el estudiante extiende los brazos ENERO-JUNIO 2017 35
