Álgebra Abstracta tarea3

Álgebra Abstracta –EDM210
Asignación:
Practica IV
Facilitador:
Nelson Gómez
Participante:
Julio Cesar Rodriguez
Mat. 2018-06168
Fecha:
14 de diciembre del 2019,
Santiago de los Caballeros,
República Dominicana
−𝟔 𝟑
𝟏 −𝟓
Dadas las matices A= (
) y B= (
). Determine si se cumplen la teoría de anillos para
−𝟕 𝟖
𝟔 −𝟒
(+,*) en 𝑹𝟐𝒙𝟐
1) Cerradura o interna (+)
−6 3
1 −5
𝐴+𝐵 = (
)+(
)
−7 8
6 −4
𝐴+𝐵 = (
1 + (−6) −5 + 3
)
6 + (−7) −4 + 8
1−6
𝐴+𝐵 = (
6−7
−2
)
4
−𝟓 −𝟐
𝑨+𝑩= (
)
−𝟏 𝟒
Propiedad asociativa (+)
𝑪= (
𝟐 𝟑
)
𝟏 𝟔
(𝑨 + 𝑩) + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪)
−6 3
2 3
1 −5
1
)+(
)] + (
)= (
[(
−7 8
1 6
6 −4
6
1 − 6 −5 + 3
2 3
1
)] + (
)= (
[(
6 − 7 −4 + 8
1 6
6
2
−5 −2
(
)+(
1
−1 4
−5 + 2
(
−1 + 1
−6 + 2
−5
) + [(
−7 + 1
−4
3
−4 6
1 −5
)= (
)+(
)
6
−6 14
6 −4
−2 + 3
1−4
)= (
4+6
6−6
−5 + 6
−4 6
)+(
)
−4 + 14
−6 14
−3 1
−3 1
(
)= (
)
0 10
0 10
Elemento neutro (+)
𝐷= (
−6 3
2
−5
) + [(
)+(
−7 8
1
−4
0 0
)
0 0
0 0
1 −5
1
𝐴+𝐷 = (
)+(
)=(
0 0
6 −4
6
−5
)
−4
1 + 0 −5 + 0
1 −5
𝐴+𝐷 = (
)=(
)
6 + 0 −4 + 0
6 −4
1 −5
1 −5
𝐴+𝐷 = (
)=(
)
6 −4
6 −4
3+3
)]
8+6
3
)]
6
Opuesto o inverso (+)
𝐵 + (−𝐵) = 0
𝐵+𝐵 =0
−6 3
−6 3
(
)−(
)=0
−7 8
−7 8
−6 + 6
(
−7 + 7
3−3
)=0
8−8
0 0
0 0
(
)=(
)
0 0
0 0
Propiedad conmutativa (+)
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴
−6 3
−6 3
1 −5
1
(
)+(
)=(
)+(
−7 8
−7 8
6 −4
6
1 − 6 −5 + 3
−6 + 1
(
)=(
6 − 7 −4 + 8
−7 + 6
−5
)
−4
3−5
)
8−4
−5 −2
−5 −2
(
)=(
)
−1 4
−1 4
Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
(
1
6
−6
−5
) ((
−7
−4
3
2
)+(
8
1
3
1
)) = (
6
6
(
1
6
−5 −6 + 2
)(
−4 −7 + 1
(
1
6
−6 + 35
−5 −4 6
)(
)=(
−36 + 28
−4 −6 14
(
1
6
29
−5 −4 6
)(
)=(
−8
−4 −6 14
−5 −6
)(
−4 −7
3
1
)+(
8
6
(1)(−6) + (−5)(−7)
3+3
)=(
(6)(−6) + (−4)(−7)
8+6
(1)(−4) + (−5)(−6)
(
(6)(−4) + (−4)(−6)
(
−4 + 30
−24 + 24
(
26
0
−64
29
)=(
−20
−8
(
26
0
29 − 3
−64
)=(
−8 + 8
−20
(
26
0
−64
26
)=(
−20
0
−37
−3
)+(
−14
8
−37
−3
)+(
−14
8
3 − 30
)
18 − 24
−27
)
−6
(1)(6) + (−5)(14)
29
)=(
(6)(6) + (−4)(14)
−8
6 − 70
29
)=(
36 − 56
−8
3
)
6
(1)(3) + (−5)(8)
(1)(2) + (−5)(1)
)+(
(6)(3) + (−4)(8)
(6)(2) + (−4)(1)
3 − 40
2−5
)+(
18 − 32
12 − 4
−37
−3
)+(
−14
8
−5 2
)(
−4 1
−37
−3
)+(
−14
8
−27
)
−6
−27
)
−6
−27
)
−6
−37 − 27
)
−14 − 6
−64
)
−20
∴ 𝒍𝒂 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏(+)𝒆𝒏 𝑹 𝟐𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒂𝒏𝒊𝒍𝒍𝒐
(1)(3) + (−5)(6)
)
(6)(3) + (−4)(6)
1) Cerradura o interna (*)
1 −5 −6 3
𝐴∗𝐵 = (
)(
)
6 −4 −7 8
(1)(−6) + (−5)(−7) (1)(3) + (−5)(8)
𝐴∗𝐵 =(
)
(6)(−6) + (−4)(−7) (6)(3) + (−4)(8)
−6 + 35
3 − 40
𝐴∗𝐵 =(
)
−36 + 28 18 − 32
29 −37
𝐴∗𝐵 =(
)
−8 −14
Propiedad conmutativa (*)
𝑨∗𝑩=𝑩∗𝑨
(
[
1
6
−5 −6 3
−6 3) (1
)(
)=(
−4 −7 8
−7 8 6
(1)(−6) + (−5)(−7)
(6)(−6) + (−4)(−7)
(
−6 − 35
−36 + 28
(
−41
−8
(1)(3) + (−5)(8)
(−6)(1) + (3)(6)
] =[
(6)(3) + (−4)(8)
(−7)(1) + (8)(6)
−6 + 18
3 − 40
) =(
−7 + 48
18 − 32
−37
12
) ≠(
−14
41
−5)
−4
(−6)(−5) + (3)(−4)
]
(−7)(−5) + (8)(−4)
30 − 12
)
35 − 32
18
)
3
∴ 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒏𝒐
𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒊𝒍𝒍𝒐𝒔𝒆𝒏 𝑹 𝟐𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒂𝒏𝒊𝒍𝒍𝒐