Aplicación de la teoría del caos en los recrusos hídricos

Aplicación de la teoría del caos en los recursos hídricos
Ingeniero Roberto Ivan Aguilar Ortíz.
Resumen
El presente artículo expone la teoría del caos, el concepto de caos en la investigación moderna y sus propiedades, así
como conceptos relacionados a los sistemas caóticos; se abordan los problemas que se deben minimizar al hacer un
análisis de series de datos en hidrología y la aplicación de la teoría del caos en la hidrología a lo largo de la historia y los
avances que estos han representado. La teoría del caos, al tomar como base la no linealidad, la inestabilidad y la
incertidumbre, es perfectamente aplicable a la hidrología, ya que el comportamiento de esta, a partir de los diferentes
parámetros tanto ambientales como los referentes al recurso agua, no siguen un comportamiento lineal y por lo tanto los
resultados son inesperados y aleatorios. Los sistemas caóticos están regidos por una serie de propiedades que servirán
para establecer el comportamiento de las variables analizadas. Para obtener una serie de resultados satisfactorios se
deben minimizar los problemas que presenten las series, siendo los más importantes: tiempo de retardo, cantidad de datos,
influencia de los errores y presencia de ceros en las series. La aplicación de la teoría del caos en la hidrología inició con
un sencillo análisis de datos de lluvia, clasificación de cuencas, estimación de datos faltantes, etc., hasta llegar a estudios
más especializado, tales como: evaluación de los impactos del cambio climático global en los recursos hídricos,
identificación y evaluación de conexiones entre sistemas hidrológicos y otros sistemas, estudio de las aguas
transfronterizas, etc.
Palabras clave: teoría del caos, caos, sistemas caóticos, hidrología, no linealidad, incertidumbre, comportamiento lineal,
tiempo de retardo, lluvia, datos faltantes, cambio climático.
Abstract
This article presents the theory of chaos, the concept of chaos in modern research and its properties, as well as concepts
related to chaotic systems, the problems that must be minimized when doing a data series analysis in hydrology and the
application of chaos theory in hydrology throughout history and the advances that these have represented are addressed.
Chaos theory, based on non-linearity, instability and uncertainty, is perfectly applicable to hydrology, since its behavior,
based on the different environmental parameters as well as those referring to the water resource, do not follow linear
behavior and therefore the results are unexpected and random. Chaotic systems are governed by a series of properties
that will serve to establish the behavior of the variables analyzed. To obtain a series of satisfactory results, the problems
presented by the series must be minimized, the most important being: delay time, quantity of data, influence of errors and
presence of zeros in the series. The application of chaos theory in hydrology began with a simple analysis of rainfall data,
basin classification, estimation of missing data, etc., until reaching more specialized studies, such as: evaluation of the
impacts of global climate change in water resources, identification and evaluation of connections between hydrological
systems and other systems, study of transboundary waters, etc.
Keywords: chaos theory, chaos, chaotic systems, hydrology, non-linearity, uncertainty, linear behavior, lag time, rain,
missing data, climate change.
Introducción
En la actualidad se presentan temas
relacionados con los recursos hídricos cada
vez más complejos y difíciles de entender. La
aplicación de la teoría del caos a estos temas
resulta ser de gran ayuda para establecer el
comportamiento del ambiente ante factores
que años atrás eran difíciles de explicar y aún
más difícil establecer el impacto que
generaban.
Los recursos hídricos conforman un tema de
interés en la aplicación de la teoría del caos,
esto debido a la aleatoriedad en su
comportamiento y la interacción que present a
con gran número de variables ambientales.
El presente pretende establecer un punto de
partida en la investigación más a fondo de la
teoría del caos y su aplicación en la hidrología.
Teoría del Caos
La dinámica no lineal es el estudio de la
evolución de los sistemas no lineales. En los
sistemas no lineales, la relación entre causa y
efecto no es proporcional y determinada sino
más bien vaga y difícil de discernir. Los
sistemas no lineales se pueden caracterizar
por períodos de interacciones lineales y no
lineales entre variables. Esto significa que el
comportamiento dinámico puede revelar una
continuidad lineal en un período determinado,
mientras que las relaciones entre las variables
pueden cambiar, lo que resulta en cambios
estructurales
y
dramáticos
de
comportamiento, durante otros períodos.
El cambio dramático de un comportamient o
cualitativo a otro se denomina bifurcación. En
consecuencia, los sistemas no lineales son
capaces de generar comportamientos muy
complejos con el tiempo. Los estudios sobre
sistemas no lineales evidencian tres tipos de
comportamiento temporal:
1.
2.
3.
Estable (un equilibrio matemático o un
punto fijo).
Oscilación entre puntos matemáticos
de manera estable, fluida y periódica.
Aparentemente aleatorio, desprovis t o
de patrón (o comportamiento no
periódico)
donde
domina
la
incertidumbre y la previsibilidad se
rompe.
Estos comportamientos pueden ocurrir de
forma intermitente a lo largo de la vida de un
sistema no lineal. Un régimen puede dominar
para algunos períodos, mientras que otros
regímenes dominan en otros momentos. Es el
potencial
de
una
variedad
de
comportamientos que representa la dinámica
de sistemas no lineales.
La teoría del caos revela que la no linealidad,
la inestabilidad y el desorden y, por lo tanto, la
incertidumbre y la imprevisibilidad no solo son
de naturaleza generalizada, sino que también
son esenciales para la evolución de
complejidad en el universo.
Con el enfoque de la teoría del caos en la no
linealidad, la inestabilidad y la incertidumbre,
era cuestión de tiempo la aplicación de esta
teoría a la hidrología, ya que los sistemas
hidrológicos son claramente no lineales.
¿Qué es el caos?
La propiedad del "caos" se refiere a la
existencia combinada de interdependencia no
lineal, determinismo y orden, y dependenc ia
sensible en los sistemas. Los sistemas
caóticos suelen tener una estructura de
aspecto
aleatorio,
sin
embargo,
su
determinismo permite predicciones precisas a
corto plazo, aunque las predicciones a largo
plazo no son posibles.
En el lenguaje común, la palabra "caos",
típicamente significa un estado que carece de
orden o previsibilidad; en otras palabras, el
caos es sinónimo de "aleatoriedad". En la
literatura científica moderna de sistemas
dinámicos, el término "caos" se utiliza para
referirse a situaciones en las que las
situaciones complejas y los comportamientos
de "apariencia aleatoria" surgen de sistemas
deterministas simples con dependencia de las
condiciones iniciales; por lo tanto, el caos y la
aleatoriedad son conceptos diferentes.
Esta última definición tiene implicaciones
importantes para el modelado de sistemas y
predicción:


La aleatoriedad es irreproducible e
impredecible.
El caos es reproducible y predecible a
corto plazo, debido al determinismo,
pero irreproducible e impredecible
solo a largo plazo, debido a la
sensibilidad
a
las
condiciones
iniciales.
Las
tres
propiedades
fundamentales
inherentes a la definición de caos, las cuales
son muy relevantes en casi todos los sistemas
reales y los procesos asociados, son:
1.
2.
3.
Interdependencia no lineal
Determinismo y orden ocultos
Sensibilidad
a las
condiciones
iniciales
Tomando
ejemplo:
como base
la hidrología,
por
a) Las interacciones no lineales son
dominantes, en diversos grados,
entre los componentes y mecanismos
en el ciclo hidrológico.
b) El determinismo y el orden prevalec en
en la temperatura diaria y en el flujo
anual de los ríos.
c) El transporte de contaminantes en
aguas superficiales y subterráneas es
altamente sensible al momento, en
función de la época del año
(temporada lluviosa o seca), en el que
los contaminantes fueron liberados.
La primera propiedad representa la naturalez a
"general" de los procesos del sistema,
mientras que el segundo y el tercero
representan su naturaleza "determinista" y
"estocástica", respectivamente.
Propiedades de los sistemas caóticos
Sistemas dinámicos y análisis de estabilidad
Cualquier sistema cuya evolución desde algún
estado inicial esté dictada por un conjunto de
reglas es llamado sistema dinámico. Cuando
estas reglas son un conjunto de ecuaciones
diferenciales, el sistema recibe el nombre de
flujo porque su solución es continua en el
tiempo. Cuando las reglas son un conjunto de
ecuaciones en diferencias discretas, el
sistema se denomina mapa o mapa iterado.
Por otro lado, estimación de ciertas medidas
adecuadas
o invariantes
del atractor,
dimensión
o
entropía,
proporciona
información cuantitativa sobre el grado de
complejidad de un sistema dinámico, por
ejemplo:


Estudios sobre atractores de series de tiempo,
sintéticas y reales, revelan que tres regímenes
de comportamiento comunes que surgen de
ecuaciones diferenciales no lineales, crean
atractores de formas únicas.
1.
2.
3.
Atractores
Es un objeto geométrico que caracteriza el
comportamiento a largo plazo de un sistema.
En esencia, un atractor funciona como una
representación
abstracta del
flujo,
o
movimiento, de un sistema, al "almacenar"
información sobre un comportamiento del
sistema a lo largo del tiempo.
Un atractor con una dimensión baja es
generalmente un indicador de un
sistema simple.
Un atractor con una dimensión alta es
generalmente un indicador de un
sistema complejo.
Un equilibrio estable genera un
atractor puntual, en el que los datos
son atraídos a un solo punto en el
mapeo.
Una oscilación periódica genera un
mapeo circular, o ciclo límite, a
medida que giran los datos de ida y
vuelta entre puntos matemáticos
consistentes.
El atractor caótico está represent ado
por una variedad de formas únicas
que resultan en atractores extraños.
Figura 1: tipo de Atractores.
Se pueden utilizar para obtener información
cualitativa y cuantitativa importante sobre la
evolución del sistema. Una inspección visual
del atractor, forma o estructura, proporciona
información cualitativa útil sobre la naturalez a
de un sistema dinámico, por ejemplo:


Un atractor de forma perfecta y
claramente
estructurado
es
generalmente un indicador de un
sistema determinista.
Una forma imperfecta y el atractor con
comportamiento
disperso
es
generalmente un indicador de un
sistema estocástico.
Fuente: S.Bellie. Chaos in Hydrology.
Mientras que el atractor puntual y el ciclo límite
se observan en ciertos sistemas naturales y
físicos, es el atractor extraño que es
dominante en la mayoría de los sistemas.
Investigaciones de varias series de tiempo
hidrológicas sugieren que los atractores
extraños son mucho más frecuentes en
sistemas hidrológicos en comparación con el
atractor puntual y el ciclo límite.
comportamiento de un sistema para diferentes
valores de un parámetro de control.
Un atractor extraño es un atractor que exhibe
una dependencia sensible de las condiciones
iniciales, es decir, pequeños cambios en las
condiciones iniciales pueden dar lugar a
grandes efectos en los resultados finales y
viceversa.
La interacción en un sistema significa que no
es posible separar las variables que lo
gobiernan. La interacción entre las variables
de un sistema da lugar esencialmente a su
interdependencia. En sistemas lineales, la
interacción entre variables es a menudo
simple, lineal y unidireccional y, por tanto, a
menudo hay dependencia de una variable de
otra en una dirección.
Figura 2: Atractor extraño
Fuente: Atractores extraños, en línea.
Bifurcaciones
Es una transformación de un tipo de
comportamiento
a un
comportamient o
cualitativamente diferente. Un sistema puede
tener más de un atractor, es decir, un solo
sistema puede tener más de una diferent e
forma de comportamiento.
La bifurcación es una propiedad importante de
los sistemas no lineales, ya que los cambios
en la estructura y el comportamiento de tales
sistemas son comunes. Los sistemas no
lineales se caracterizan por períodos de
interacciones lineales y no lineales, si bien el
comportamiento del sistema puede revelar
una continuidad lineal durante algunos
períodos, las relaciones entre variables o
parámetros, llamados parámetros de control,
pueden cambiar durante otros períodos, lo
que resulta en cambios estructurales y de
comportamiento dramáticos.
Los puntos o valores de los parámetros en los
que se producen las bifurcaciones se
denominan puntos de bifurcación. Un
diagrama de bifurcación es esencialment e
un gráfico bidimensional, el cual proporciona
una descripción general de cómo varía el
Interacción e interdependencia
En sistemas no lineales este proceso es
complicado. La interacción entre las variables
ocurre de muchas maneras diferentes y en
diferentes grados de no linealidad, por lo que
las variables son interdependientes entre sí,
es decir, cada variable depende de cualquier
otra variable de forma directa o indirecta. El
ciclo hidrológico es un excelente ejemplo de
interacciones e interdependencias no lineales
entre las variables, ya que cada component e
del ciclo hidrológico está conectado con todos
los demás componentes, ya sea directa o
indirectamente.
Sensibilidad a las condiciones iniciales
La sensibilidad a las condiciones iniciales es
una propiedad innata de los sistemas
caóticos. Esta propiedad se refiere a la
amplificación, o propagación, de cualquier
pequeño cambio en las condiciones sobre la
evolución de un sistema durante un período
de tiempo. La implicación de esta propiedad
es que la predicción del comportamiento de un
sistema caótico a largo plazo es casi
imposible.
Espacio de estado y espacio de fase
Cuando los valores de las variables reales que
gobiernan el sistema se utilizan para mapear
la evolución del sistema, entonces se llama
espacio de estado. Sin embargo, hay
muchas situaciones en las que los valores de
las variables reales no están disponibles. En
tales situaciones, las variables "proxy" se
utilizan para mapear la evolución del sistema,
esto se llama espacio de fase. Este tipo de
representación a menudo se realiza utilizando
valores de una sola variable disponible con un
tiempo de retardo adecuado, que puede
representar
sistema.
los
cambios
dinámicos
del
Fractal y Dimensión fractal
Los fractales se refieren a un tipo particular
de estructura creada por un proceso iterativo,
autorreferencial.
Los
fractales
son
básicamente conjuntos definidos por los tres
principios relacionados de relaciones de autosemejanza, invariancia de escala y las
relaciones de la ley potencial. Cuando estos
principios convergen, se forman patrones
fractales. La dimensionalidad
de una
estructura fractal o atractor se llama
dimensión fractal. La dimensión fractal es
básicamente un parámetro invariante que
caracteriza un conjunto fractal, y es un índice
que define la complejidad como una
proporción del cambio en detalles de patrones
al cambio de escala.
Problemas en las series de datos
Tiempo de retardo
Este tiempo de retardo está relacionado a lo
mencionado al espacio de estado y espacio de
fase, el cual se utiliza para el relleno de datos
faltantes en una serie de tiempo. Un espacio
de fase construido apropiadamente es crucial
para una estimación confiable de invariant es
para la identificación del caos y también para
obtener predicciones confiables.
Es necesario un tiempo de retardo apropiado
para la reconstrucción del espacio de fase,
porque solo un tiempo óptimo da la mejor
separación de trayectorias vecinas dentro del
espacio de fase, mientras que un tiempo
erróneo puede dar lugar a resultados poco
fiables, las cuales pueden resultar en
subestimación
o
sobreestimación
de
invariantes.
Tamaño de datos (tiempo)
La estimación de la media de una serie de
tiempo puede ser considerado confiable solo
cuando el tamaño de los datos es
razonablemente largo para representar el
sistema subyacente, y la estimación se vuelve
más confiable cuando el tamaño de los datos
se más extenso.
En muchas aplicaciones de ingeniería a
recursos de agua, el mínimo espacio de
tiempo de datos, generalmente es de 30 años
(escala mensual). Sin embargo, en muchos
estudios climáticos a gran escala, la longitud
mínima de datos requerida es generalment e
del orden de cientos de años (escala anual).
El tamaño de los datos tiene cierta influencia
en los resultados de los métodos de
identificación y predicción del caos.
Tomando como base una serie de estudios
realizados, la pregunta crucial que uno debe
hacerse con respecto al problema del tamaño
de los datos en la estimación de la dimensión
de correlación es si la serie de tiempo es lo
suficientemente extensa para representar
los cambios que sufre el sistema durante
un período de tiempo.
Influencia de errores en los datos
Hay dos tipos de error: error de medición y
error dinámico. El error de medición se refiere
a la corrupción de las observaciones por
errores, que son externos e independiente de
la dinámica, y puede ser causada, por
ejemplo, por el dispositivo de medición. El
error dinámico, en contraste con el error de
medición, es un proceso de retroalimentación
en el que el sistema es perturbado por una
pequeña cantidad aleatoria en cada intervalo
de tiempo. El error dinámico influye
directamente en la evolución del sistema en el
tiempo.
La presencia de error puede afectar los
resultados de la identificación del caos y
métodos de predicción, y los efectos del error
de medición y el error dinámico también puede
ser diferente.
Influencia de presencia de ceros en las series
Una posible influencia de la presencia de un
gran número de ceros, o cualquier otro valor
único, es que la hipersuperficie reconstruida
en el espacio de fase tenderá a un punto y
puede resultar en una subestimación de la
dimensión de correlación.
Otros problemas
Se han identificado
otras cuestiones
metodológicas y de datos que influencian en
los resultados de los métodos de identificación
y predicción del caos. Entre estos están:




Frecuencia de muestreo
Correlación temporal
Escala de datos
Posible incapacidad de los métodos
para distinguir claramente entre
sistemas estocásticos y caóticos
Aplicaciones de la teoría del caos en
hidrología
La teoría del caos en hidrología inició con la
identificación básica del caos en los datos de
lluvia y posteriormente exploró una amplia
gama de problemas en diferentes tipos de
datos hidrológicos.
Los problemas estudiados incluyen:




Identificación y predicción del caos
Escalado y desagregación
Estimación de datos faltantes
Clasificación de cuencas, entre otros.
Los datos estudiados incluyen:






Precipitaciones
Caudal de ríos
Precipitaciones-escorrentías
Volumen y nivel de lagos
Transporte de sedimentos
Aguas subterráneas, entre otros.
A principios de la década de 1980, se inició
con el desarrollo de métodos de identificación
del caos, lo cual condujo a las aplicaciones
iniciales de dichos enfoques en hidrología, en
la última parte de esa década; así como
mejoras posteriores en estos métodos, y el
desarrollo de otros para la detección y
predicción de la no linealidad y el caos.
Los conceptos e ideas obtenidos de la teoría
del caos en la década anterior, han
encontrado numerosas
aplicaciones en
hidrología desde la década de 1990.
El primer estudio sobre la aplicación de la
teoría del caos en un contexto hidrológico fue
probablemente el realizado por Hense (1987),
sobre series cronológicas de precipitaciones.
Algunos de estos estudios y varios otros que
siguieron en los últimos años de esa década
también
abordaron,
además
de
la
identificación
/
predicción
del
caos,
importantes cuestiones metodológicas y de
datos, como el requisito de tamaño mínimo de
datos para la estimación de la dimensión de
correlación, efectos de los datos erróneos en
la identificación y predicción del caos, así
como la determinación y reducción del nivel de
error.
A principios de este siglo, Sivakumar (2000)
publicó la primera revisión de las aplicaciones
de la teoría del caos en hidrología.
Inicialmente los estudios del caos en
hidrología sufrieron continuas críticas, debido
a limitaciones de métodos y datos, así como
al escepticismo sobre
los resultados
informados, fue por esto que se realizó la
revisión que hizo especial hincapié en abordar
las cuestiones importantes en las aplicaciones
de la teoría del caos en hidrología y también
en la interpretación de los resultados
informados.
La naturaleza integral y equilibrada de la
revisión ayudó significativamente a disipar
muchos de los temores, críticas y recelos
anteriores sobre los estudios del caos en
hidrología y sus resultados, y cambió por
completo el curso de la teoría del caos en
hidrología para siempre.
El estudio de Sivakumar (2000-2006) condujo,
directa o indirectamente, a avances rápidos en
los años que siguieron, tanto en teoría como
en aplicación. Durante ese período, la teoría
del caos también se aplicó a otros procesos
hidrológicos y problemas asociados.
Los
procesos
incluyen:






hidrológicos
estudiados
Escorrentía por precipitación
Transporte de sedimentos
Ciclos de nutrientes del suelo
Flujo subterráneo
Transporte de solutos
Contaminación por arsénico en las
aguas subterráneas.
Los problemas
incluyen:
hidrológicos
estudiados






Escalado
y
agregación
/
desagregación de datos
Desarrollo de un nuevo enfoque
caótico para la desagregación de
datos hidrológicos
Estimación de datos faltantes
Reconstrucción de ecuaciones del
sistema
Hidrología regional y regímenes de
flujo de ríos
Integración de modelos.
Además, varios estudios abordaron los
problemas del tamaño de los datos, los
errores, los ceros, la selección de parámetros
óptimos y otros.
Algunos estudios también compararon las
predicciones hidrológicas en otras técnicas,
como los métodos estocásticos y las redes
neuronales artificiales.
Tomando en cuenta los fundamentos de la
teoría
del
caos
en
Hidrología
(interdependencia no lineal, determinismo y
orden, y sensibilidad a las condiciones
iniciales), Sivakumar (2004) argumentó que la
teoría del caos no debería verse como una
teoría separada, sino más bien como una
teoría que conecta las dos teorías dominantes
existentes: determinista y estocástica.
Con esta teoría del Caos, los estudios se
convirtieron en parte de la hidrología
"corriente".
Tabla 1: Métodos de análisis – teoría del caos en
Hidrología
Métodos “Teoría del Caos en Hidrología”,
ejemplos de 1980-1998
Fase de reconstrucción del espacio
Método de dimensión de correlación
Método de entropía de Kolmogorov
Método del exponente de Lyapunov
Método de predicción de aproximación local
no lineal
Algoritmo del falso vecino más cercano
Métodos de determinación y reducción del
nivel de error
Método de datos sustitutos
Trama de rendimientos cercanos
Método de redundancia
Interpolación no lineal
Técnica de análisis multivariable
Fuente: elaboración propia.
Tabla 2: Estudios de aplicación – teoría del caos en
Hidrología
Estudios
del caos en hidrología,
ejemplos de 1897-2013
Precipitación mensual en la isla de Nauru
Intensidad de lluvia de 15 segundos en
Boston (3 estaciones) y lluvia semanal en
Génova
Intensidad de lluvia de 10 segundos desde
el modelo de nubes
Tiempo entre mediciones sucesivas del
pluviómetro, cada una correspondiente a
0,01 mm de lluvia
Lluvias diarias en Hong Kong (3 estaciones)
Precipitación mensual en Lund, Suecia
Tormentas en Iowa (11 tormentas)
15 minutos de lluvia en Grecia
Precipitación diaria en Singapur
(6
estaciones)
Precipitación mensual en el río Göta,
Suecia
Precipitación mensual en Coaracy.
Cuenca del río Nunes / río Araguari
Precipitación mensual en Seúl
Precipitaciones mensuales en Australia
Occidental (62 estaciones)
Precipitación diaria en el embalse de Koyna,
India (promedio de nueve estaciones)
Fuente: elaboración propia.
Con avances significativos en la aplicación de
la teoría del caos y conceptos relacionados en
hidrología durante más de dos décadas, ha
habido una creciente comprensión de las
oportunidades y posibilidades de estudiar
problemas a gran escala, ya que actualment e
nos enfrentamos a algunos problemas a
escala global tremendamente desafiantes en
hidrología y recursos hídricos, que incluyen:



Evaluación de los impactos del
cambio climático global en los
recursos
hídricos
para
diseñar
estrategias apropiadas de adaptación
y mitigación.
Desarrollo de un marco genérico de
clasificación de cuencas hidrográfic as
para la elaboración de modelos y
pronósticos hidrológicos más eficaces
y eficientes.
Identificación
y
evaluación
de
conexiones
entre
sistemas
hidrológicos
y
otros
sistemas,

incluidos los sistemas ecológico,
humano y económico.
Estudio de las aguas transfronteriz as
(cuencas fluviales y acuíferos) para
mejorar la planificación y gestión de
dichas aguas y eliminar / aliviar la
crisis y los conflictos relacionados con
el agua.
En los últimos años, se han realizado algunos
intentos preliminares, aunque importantes,
para abordar al menos dos de estos
problemas hidrológicos a escala global
utilizando ideas de teoría del caos.
Si bien la aplicación de la teoría del caos para
estudiar estos desafíos hidrológicos globales
ha estado ganando impulso, otros estudios del
caos en hidrología también han ido creciendo,
incluidos los estudios sobre:




Transporte de sedimentos
Contaminación por arsénico en las
aguas subterráneas
Predicción de conjuntos de series de
tiempo hidrológicas caóticas
Etapa del río y descarga
Actualmente la teoría del caos está ganando
fuerza al abordar problemas más amplios y de
escala global en hidrología, incluyendo
estudios sobre el marco de clasificación de
cuencas y resultados del modelo climático.
Conclusiones
La teoría del caos es fundamental en el
estudio de la Hidrología y en el desarrollo de
la misma, ya que permite explicar fenómenos
que hasta hace un tiempo eran difíciles de
comprender e interpretar.
El estudio de las series de tiempo es de suma
importancia, ya que el comportamiento lineal
y caótico cambia en función de este.
Para el análisis de series de datos mediante la
aplicación de la teoría del caos, es esencial
tener a disposición la mayor cantidad y calidad
de datos que se sean posibles; tratando que
estas series interpreten el comportamiento y
las variaciones del sistema en un espacio de
tiempo determinado.
Bibliografía
Sivakumar, B. 2017. Chaos in Hydrology .
Bridgind Determinism and Stochasticity.
School of Civil and Environmental Engineering
The University of New South Wales, Sydney,
NSW Australia.
Vafakhah, M. Chaos theory in hydrology:
important issues and interpretations. En:
Proceedings of The Fourth International Iran &
Russia Conference. Watershed management
Department, Natural Resources and Marin
Sciences
Faculty,
Tarbiat
Modarres
University, Noor, Iran