ÁLGEBRA Eduardo Carpinteyro Vigil Rubén B. Sánchez Hernández PRIMERA EDICIÓN EBOOK México, 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA Para establecer comunicación con nosotros puede utilizar estos medios: Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Correo: Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, C. P. 02400, México, D. F. Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Perla Alejandra López Romo Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez Fotografías: Thinkstock e-mail: [email protected] ÁLGEBRA Serie Bachiller Fax pedidos: Derechos reservados: © 2014, Eduardo Carpinteyro Vigil, Rubén B. Sánchez Hernández © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. ISBN ebook: 978-607-744-055-0 (0155) 5354 9109 • 5354 9102 Sitio web: www.editorialpatria.com.mx Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico Teléfono: (0155) 53 54 91 00 ii Primera edición ebook: 2014 Presentación La misión de la ciencia consiste en sustituir las apariencias con los hechos y las impresiones con las demostraciones. John Ruskin Entre las razones que hemos tenido para la elaboración de este libro están: 1. C ompartir con otros profesores una didáctica personal acerca de la enseñanza de las matemáticas en el nivel medio superior, en la que se involucra nuestra experiencia como docentes en bachillerato. 2. O frecer a nuestros estudiantes de matemáticas información sobre el desarrollo histórico de esta ciencia, tal es el caso de la resolución de problemas de aplicación cotidiana de los conceptos que se van estudiando, para transformar la falsa imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemáticas por parte de algunos docentes y la mayoría de los alumnos de secundaria y bachillerato que pasan por nuestras aulas. 3. A unque en forma general, el estudiante ubica las matemáticas como una de las herramientas básicas utilizadas por cualquier ciencia, y vive en forma cotidiana los beneficios logrados en nuestra época, sobre todo en el campo de las comunicaciones, no es poco común escuchar en los salones de clases la interrogante natural del estudiante sobre la utilidad práctica del estudio que realiza, por lo que deseamos provocar la reflexión personal del mismo joven acerca de la construcción de su conocimiento matemático. Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarrón en el que el profesor puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia. Al llegar a este nivel de estudios, cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos; es por esta razón que la exposición que hemos hecho a lo largo del texto, toma en cuenta ambos aspectos, para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren estructurados, y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos, y por lo tanto, han caído en el olvido. Estamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de información global que encontrará un amplio interés de parte de los estudiantes de bachillerato, quienes serán en un futuro muy cercano, los ciudadanos que decidan y apoyen los programas ambientales y energéticos de nuestro país, y cumplamos así los compromisos de sustentabilidad en el ambiente y la energía, que México ha firmado y debe cumplir, en el concierto de las naciones. Los autores Grupo Editorial Patria v Álgebra a los alumnos A manera de reflexión queremos que pienses que ninguna persona inicia una actividad, llámese negocio, deporte o estudios, con la idea de fracasar, siempre tiene en mente que va a lograr las metas propuestas, si se aplica con dedicación y constancia en su esfuerzo por conseguirlas. Tú no vas a emprender tus estudios de matemáticas sintiéndote incapaz; si éste es tu caso, ya alcanzaste tu objetivo, has fracasado desde el momento de pensarlo. ¡Vence este temor!, no te contentes con ir siguiendo a tu profesor en el curso escolar, ¡anticípate a él! preparando la lección antes de recibirla, desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento. Tu profesor es un medio, no la causa de que domines la asignatura, y en cambio tú eres el que aprende, el actor principal para el cual el proceso de enseñanza tiene un fin preciso, el que te apropies del conocimiento. Los autores descripción de la obra La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripción de este texto es darte las gracias por permitirnos acompañarte en tu esfuerzo por alcanzar un nivel más de preparación, el cual se inicia en este primer año de bachillerato. Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temáticas, correspondientes a la asignatura de Matemáticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Preparatoria de la unam. En cada una de las unidades encontrarás una reseña histórica, que tiene como finalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la evolución de la ciencia. No queremos que consideres esta sección como la adquisición de un conocimiento enciclopédico, sino que aprendas que las matemáticas no han sido siempre iguales, nuestro conocimiento matemático se ha enriquecido con las aportaciones y también, por qué no decirlo, con las dudas y errores de personas como tú, quizás hasta con mayores limitaciones, las cuales han sido producto de sus creencias y de la época en que vivieron. vi Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje, la cual deseamos que intentes resolver con tus propios conocimientos. Estas actividades pueden ser resueltas con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio, pero si no te es posible hacerlo, no te desanimes, sigue avanzando en tu estudio y encontrarás en los temas de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solución pedida. Como diría un pintor “pinta y borra, pinta y borra, hasta que al fin ¡zas¡ tienes la obra maestra que te deja la satisfacción de que es creación tuya”. Los márgenes han sido diseñados para que tengas el espacio necesario y puedas rehacer tus operaciones, y cuando lo creas necesario, anotar en ellos observaciones, las cuales podrás consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes para lograr la comprensión del tema tratado. Un elemento más con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diálogo, como los siguientes: meros ¿Entre qué nú 636? es divisible 6 ¿Cómo se inte rpreta el hecho de q ue un polinomio ten ga un menor número de raíces que el grado del mismo? en los cuales te proponemos que realices una actividad o algún aspecto a investigar y que propicia la reflexión sobre el concepto sobre el que se está trabajando, o aclara y proporciona una indicación especial de algún algoritmo que se desarrolle. La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades, parte de un enfoque en el que se desarrolla la intuición y poco a poco se va formalizando por medio del simbolismo matemático correspondiente, y una ejemplificación del concepto y su demostración. En cada unidad encontrarás el número de ejercicios necesarios para comprender y reafirmar cada uno de los temas tratados; éstos los presentamos en forma de problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero, la relación de columnas, los ejercicios de complementación, los enunciados verbales y, por último, las secciones de Comprueba tu aprendizaje, una por cada unidad, y a las que les hemos dado el valor de comprobación y puedes utilizar como una forma de poner a prueba los conocimientos que has hecho tuyos. Grupo Editorial Patria vii Álgebra recomendaciones de estudio Una de las preguntas más frecuentes que los padres de los alumnos que no obtienen un buen resultado en esta asignatura, nos hacen a los profesores de matemáticas, es: “¿Qué puedo hacer para que mi hijo tenga éxito en su curso de matemáticas?” No es poco común una afirmación como la siguiente: “No entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen, soy testigo de que se pasa tardes y noches completas haciendo ejercicios y aun así reprueba.” Muchas veces nos ha tocado ver a los padres más preocupados que a los propios muchachos, quienes ven “normal” reprobar matemáticas, y hasta llegan a competir con sus amigos para obtener la calificación más baja. La intención de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para lo que te puede suceder durante este curso, sino expresar que esta preocupación también es nuestra, y representa parte de nuestra realidad educativa. También entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte “consejos” o “fórmulas de éxito” para tus estudios. Quizá lo que menos quieres escuchar es lo que siempre te han dicho que debes hacer. Así que cambiaremos de estrategia y te proponemos cuatro reglas de lo que sí es indispensable que realices para no tener éxito en matemáticas. viii Cómo ser un alumno deficiente en cualquier curso Sigue estas cuatro reglas: 1. Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor. 2. No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto. 3. No realices las tareas. 4. Estudia un día antes del examen, la noche es larga; el estudio sin organización y sin planes es una de las mejores técnicas; hacer ejercicios sin entenderlos nos asegura la nota reprobatoria. Si tu método de estudio responde en forma afirmativa a dos o más de estas reglas, puedes estar seguro de que reprobarás el curso. Pero si estás dispuesto a romper con esto, realiza lo contrario de lo que indican las anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso. A continuación escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado. Mi plan para ser un excelente estudiante de matemáticas 1. 2. 3. 4. Éste es tu nuevo compromiso, al cumplirlo estarás trabajando para aprender y aprobar matemáticas. De manera que sé constante en tu esfuerzo y no olvides tu compromiso. Grupo Editorial Patria ix Álgebra CONTENIDO Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Descripción de la obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Recomendaciones de estudio . . . . . . . . . . . . VIII 2.3 2.4 Unidad 1 Conjuntos 2 1.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Idea intuitiva de con­jun­tos . . . . . . . . . . . . . . . Con­jun­to. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 1.3 Car­di­na­li­dad de un con­jun­to. . . . . . . . . . . . . . 9 Car­di­na­li­dad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ti­pos de con­jun­tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con­jun­tos fi­ni­tos e in­fi­ni­tos. . . . . . . . . . . . . Con­jun­tos igua­les. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con­jun­to va­cío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con­jun­tos equi­va­len­tes. . . . . . . . . . . . . . . . Con­jun­to uni­ver­sal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sub­con­jun­tos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con­jun­to po­ten­cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 10 11 11 12 12 13 Operaciones con conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . Unión de con­jun­tos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . In­ter­sec­ción de con­jun­tos. . . . . . . . . . . . . . Mí­ni­mo co­mún múl­ti­plo . . . . . . . . . . . . . . . Má­xi­mo co­mún di­vi­sor . . . . . . . . . . . . . . . . Com­ple­men­to de un con­jun­to . . . . . . . . . . Di­fe­ren­cia en­tre dos con­jun­tos. . . . . . . . . . 14 14 15 16 16 18 19 1.6 Diagramas de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Pro­duc­to car­te­sia­no. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 Pla­no car­te­sia­no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Localización de puntos en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.9 Com­prue­ba tu apren­di­za­je. . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 1.5 nidad 2 Sistemas U de numeración 2.1 34 40 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2Sistemas de numeración de la Antigüedad. . . Sistema de numeración babilonio. . . . . . . . Sistema de numeración egipcio . . . . . . . . . 45 45 49 x 2.5 2.6 Sistema de numeración romano. . . . . . . . . Sistema de numeración maya. . . . . . . . . . . Sistema decimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notación desarrollada. . . . . . . . . . . . . . . . . Proyecto de trabajo grupal. . . . . . . . . . . . . Sistemas de numeración con diferentes bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversión de un número decimal a otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversión a decimal de un número con otra base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con otras bases . . . . . . . . . . . . . Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . nidad 3 Números U reales 3.1 3.2 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las operaciones binarias . . . . Operación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operación binaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres especiales de algunas estructuras numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4Algoritmo de Euclides para la obtención del máximo común divisor. . . . . . . . . . . . . . . . Reglas prácticas para la obtención del mcm y del MCD de dos o más números. . . . . . . 3.5 Números enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Números racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las razones geométricas. . Decimales periódicos infinitos. . . . . . . . . . . Orden en los números racionales. . . . . . . . Operaciones con números racionales. . . . . Densidad de los números racionales. . . . . . Las proporciones y sus propiedades. . . . . . 3.7 Números irracionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de números irracionales. . . . . 3.8 Números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedad de tricotomía. . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Números imaginarios y complejos . . . . . . . . . Representación de números complejos . . . 3.10 Valor absoluto de números reales. . . . . . . . . . 3.11 Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Leyes de los exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 50 52 54 58 59 60 62 63 65 73 76 78 80 80 81 83 83 86 88 91 95 96 99 100 103 108 111 112 116 119 121 122 123 125 128 132 Dos aplicaciones usando exponentes. . . . . 138 3.13 Notación científica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.14 Logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Leyes fundamentales de los logaritmos . . Obtención de logaritmos comunes mediante el uso de tablas. . . . . . . . . . . . . . Operaciones con logaritmos. . . . . . . . . . . . 144 146 3.15 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 152 nidad 4 Monomios U y polinomios 147 151 156 4.1 Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.2 Monomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . Grado de un término. . . . . . . . . . . . . . . . . . Clases de términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 159 161 161 4.3Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grado de un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . Clases de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . Términos semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . Reducción de términos semejantes . . . . . . Signos de agrupación. . . . . . . . . . . . . . . . . 162 162 163 166 166 167 4.4 Adición de monomios y polinomios . . . . . . . . Resta de monomios y polinomios. . . . . . . . 169 170 4.5 Multiplicación de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplicación de monomios. . . . . . . . . . . . Multiplicación de monomios por polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 173 173 4.6Factor común en un polinomio. . . . . . . . . . . . 178 4.7 División de monomios y polinomios. . . . . . . . Monomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . . Polinomio entre monomio. . . . . . . . . . . . . . Polinomio entre polinomio. . . . . . . . . . . . . Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . División sintética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 180 180 181 182 184 4.8 Valor numérico de un polinomio. . . . . . . . . . . 185 4.9 Polinomios como funciones. . . . . . . . . . . . . . . Funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . Evaluación de una función. . . . . . . . . . . . . . Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . 187 189 189 191 4.10 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 193 nidad 5 Productos U notables y factorización 196 5.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2Factor común en un polinomio. . . . . . . . . . . . 5.3Cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . Trinomio al cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4Factorización de trinomios cuadrados perfectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorización parcial de trinomios de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5Cubo de un binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Factorización de un cubo perfecto. . . . . . . . . 5.7Producto de binomios con un término común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8Factorización de trinomios de segundo grado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso en que el coeficiente del término cuadrático es 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso en que el coeficiente del término cuadrático es distinto de 1. . . . . . . . . . . . . . . 5.9Producto de binomios conjugados. . . . . . . . . 5.10Factorización de diferencia de cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11Factorización por agrupación de términos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Factorización de una suma o diferencia de dos potencias iguales. . . . . . . 5.13Mínimo común múltiplo de dos o más polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Otros tipos de factorizaciones. . . . . . . . . . . . . 5.15Binomio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16 Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 198 200 201 204 204 207 209 211 213 215 216 218 220 222 224 227 230 232 234 237 247 nidad 6 Operaciones U con fracciones y radicales 252 6.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2Teoremas del residuo y del factor. . . . . . . . . . Teorema del residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo Editorial Patria 254 256 256 259 xi Álgebra 6.3 6.4 6.5 6.6 Operaciones con fracciones algebraicas. . . . . Simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . . Multiplicación y división de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de fracciones algebraicas . . . Fracciones complejas algebraicas. . . . . . . . Simplificación de fracciones complejas. . . . Conversión entre fracciones comunes y fracciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . Radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raíz n-ésima principal. . . . . . . . . . . . . . . . . Exponente fraccionario. . . . . . . . . . . . . . . . Sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simplificación de un radical. . . . . . . . . . . . . Modificación del radicando para la simplificación del radical. . . . . . . . . . . . . . . Simplificación del radical cuando el radicando no sufre modificación. . . . . . . Suma y resta de radicales. . . . . . . . . . . . . . Multiplicación y división de radicales. . . . . Multiplicación de radicales simples. . . . . . . Multiplicación de radicales compuestos. . . División de radicales simples. . . . . . . . . . . . Racionalización del denominador de una fracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División de radicales compuestos. . . . . . . . Números imaginarios y complejos (continuación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Número imaginario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de números imaginarios . . . . Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma y resta de números complejos . . . . . Multiplicación de números complejos. . . . . División de números complejos . . . . . . . . . Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . nidad 7 Ecuaciones U y desigualdades 7.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2Igualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de las igualdades. . . . . . . . . . 7.3 Ecuaciones de primer grado. . . . . . . . . . . . . . xii 263 263 264 268 272 272 277 284 285 286 286 287 287 290 293 296 296 297 298 299 300 308 308 309 310 311 313 313 314 315 318 320 322 325 326 330 Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Más problemas verbales. . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones que contienen valores absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones que contienen logaritmos . . . . 7.4Desigualdades de primer grado. . . . . . . . . . . Desigualdades racionales. . . . . . . . . . . . . . 7.5 Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . Despeje de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Completando un trinomio cuadrado perfecto (TCP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por fórmula general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Más sobre ecuaciones de segundo grado . Ecuaciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones con radicales. . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones literales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Desigualdades de segundo grado . . . . . . . . . 7.7Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . nidad 8 Sistemas U de ecuaciones y desigualdades 8.1Breve reseña histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2Sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación lineal en dos variables. . . . . . . . . 8.3 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eliminación por suma o resta . . . . . . . . . . . Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . Método de igualación. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4Sistemas de ecuaciones lineales con tres o más variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de eliminación gaussiana . . . . . . . Método por determinantes. . . . . . . . . . . . . Los sistemas de ecuaciones lineales como matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación del método de eliminación gaussiana en la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . 341 344 358 361 365 372 375 376 377 379 381 384 388 389 390 391 391 396 399 402 404 406 406 414 416 417 420 428 432 437 440 444 444 446 8.5 8.6 Cálculo de un determinante. . . . . . . . . . . . Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Sistemas de ecuaciones no lineales. . . . . . . . . Sistema de una ecuación cuadrática y una ecuación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales ni término mixto en xy. Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . . . Desigualdad lineal con dos variables . . . . . 477 477 453 454 Gráfica de una desigualdad lineal con dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . Programación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7Comprueba tu aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . 478 480 484 490 ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Guía de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SECCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de los ejercicios. . . . . . . . . . . . . RESPUESTAS A LA GUíA DE ESTUDIO . . . . . . . . . SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE. . Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 496 503 505 533 539 547 454 463 467 471 Grupo Editorial Patria 1 1 unidad Conjuntos Descripción de la unidad En es­ta uni­dad, es­tu­diarás los con­cep­tos fun­da­men­ ta­les de la teo­ría de con­jun­tos que se­rá uti­li­za­da co­ mo un ele­men­to fun­da­men­tal del len­gua­je ne­ce­sa­rio pa­ra el ma­ne­jo de con­cep­­tos ma­te­má­ti­cos en la com­ pren­sión de uni­da­des de es­tu­dio pos­te­rio­res. Pro­pó­si­tos de la uni­dad: Co­no­cer la no­ción de con­jun­to. Com­pren­der las ope­ra­cio­nes en­tre con­jun­tos. Re­sol­ver pro­ble­mas re­la­cio­na­dos con es­tas ope­ra­cio­nes. A d­qui­rir los co­no­ci­mien­tos del len­gua­je ma­te­má­ti­co bá­si­cos pa­ra el de­sa­rro­llo de con­te­­ni­do en te­mas pos­te­rio­res. Con­te­ni­dos de es­tu­dio: Idea in­tui­ti­va de con­jun­to. Car­di­na­li­dad de un conjunto. T i­pos de con­jun­tos. Ope­ra­cio­nes con conjuntos. Dia­gra­mas de Venn-Eu­ler. Mul­ti­pli­ca­ción de con­jun­tos o pro­duc­to car­te­sia­no. Pla­no car­te­sia­no. Álgebra 1.1 Breve reseña histórica Uno de los con­cep­tos que han lla­ma­do la aten­ción de ma­te­má­ti­cos y fi­ló­so­fos en el trans­cur­so de las di­fe­ren­tes épo­cas en las que se ha ido con­for­man­do el co­no­ci­ mien­to, es el in­fi­ni­to. Al­gu­nos matemáticos han re­cha­za­do la idea de co­lec­cio­nes in­fi­ni­tas de ele­men­tos, apo­yán­do­se en que la co­rres­pon­den­cia biu­ní­vo­ca en­tre dos agru­pa­cio­nes in­fi­ni­tas con­du­ce a re­sul­ta­dos que no coin­ci­den con la ra­zón. Pa­ra ejem­pli­fi­car es­te pun­to de vis­ta, re­fle­xio­na y tra­ta de dar una res­pues­ta a las si­ guien­tes pre­gun­tas: Con­si­de­ra la se­rie de nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…, n, n + 1,… Aho­ra, pien­sa en la se­rie de sus cua­dra­dos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ,…, n2, (n + 1)2,… Si re­la­cio­na­s los nú­me­ros de las dos se­ries responde: 1.¿Qué se­rie tie­ne más nú­me­ros? 2.¿Qué se­rie es­tá con­te­ni­da en la otra? 3.¿Una de las par­tes pue­de te­ner la mis­ma ex­ten­sión que el to­do del cual es parte in­te­gran­te? Preguntas co­mo las anteriores son las que crea­ron po­lé­mi­ca en­tre los ma­te­má­ti­ cos que vi­vie­ron an­tes del si­glo xix, cu­ya ac­ti­tud ge­ne­ral era ig­no­rar aque­llo que no po­dían re­sol­ver, con­si­de­rán­do­lo só­lo co­mo pa­ra­dó­ji­co, aun­que con fre­cuen­cia lo uti­li­za­ran en la re­so­lu­ción o en la in­ves­ti­ga­ción de otros pro­ble­mas, tal es el ca­so de las se­ries nu­mé­ri­cas. Georg Cantor. 4 A los ma­te­má­ti­cos del si­glo xix les in­te­re­só la dis­cu­sión de pro­ble­mas co­mo la con­ti­nui­dad de una fun­ción en el pla­no car­te­sia­no, lo fi­ni­to y lo in­fi­ni­to, y les pa­re­ció que las ba­ses en las que se fun­da­men­ta­ban las ma­te­má­ti­cas no eran fir­mes e ini­cia­ron un mo­vi­mien­to des­ti­na­do a dar una cimentación más só­li­da a ca­da una de las ra­mas de su cien­cia. Mu­chos ma­te­má­ti­cos apor­ta­ron su ta­len­to y tra­ba­jo en es­te mo­vi­mien­to de axio­ma­ti­za­ción de las ma­te­má­ti­cas, en­tre ellos des­ta­ca Georg Can­tor (1845-1918) crea­dor de la teo­ría de con­jun­tos, con la que in­ tro­du­ce en las ma­te­má­ti­cas con­cep­tos co­mo: cla­se, cla­se de­ri­va­da, cla­se ce­rra­da, cla­se per­fec­ta, per­te­nen­cia a una cla­se, pun­to lí­mi­te, nú­me­ro car­di­nal, nú­me­ro or­di­nal y ti­po de or­den, con la fi­na­li­dad de con­ge­niar una ba­se más fir­me y ló­ gi­ca al pro­ble­ma de la con­ti­nui­dad de una fun­ción en el pla­no. Las apor­ta­cio­nes de Can­tor, co­mo ve­re­mos más ade­lan­te, pro­por­cio­na­ron a las ma­te­má­ti­cas una he­rra­mien­ta pa­ra po­der es­tu­diar las re­la­cio­nes exis­ten­tes en­tre un to­do y sus par­tes, al mis­mo tiem­po que sen­ta­ron las ba­ses que pos­te­rior­men­te usa­ron otros bri­llan­tes ma­te­má­ti­cos pa­ra sim­pli­fi­car de­fi­ni­cio­nes de con­cep­tos que re­sul­ta­ ban más com­ple­jas. UNIDAD 1 Conjuntos Problema eje En el grupo de Miguel hicieron una encuesta sobre los deportes que más se practicaban en la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su deporte favorito. Al recolectar la información que obtuvieron encontraron lo siguiente: 1.Com­ple­ta la ta­bla si­guien­te, para ello dis­tri­bu­ye la in­for­ma­ción anterior. Nú­me­ro de personas Deporte que practican 35 Futbol americano 34 Futbol soccer 33 Básquetbol 13 Futbol americano y futbol soccer 18 Futbol soccer y básquetbol 15 Futbol americano y básquetbol 10 Practican los tres deportes Futbol americano Futbol soccer Básquetbol 13 Futbol americano 18 Futbol soccer Soccer 15 2.Con­tes­ta las preguntas y copia la información en el diagrama. a)¿Cuán­tos alum­nos practican futbol americano o soccer? b)¿Cuán­tos alum­nos practican los tres deportes? c)¿Cuán­tos alum­nos practican básquetbol, pero no practican ni futbol soccer, ni americano? d)¿Cuán­tos alum­nos no practican ninguno de los tres deportes? e)¿Cuán­tos alum­nos no practican futbol americano? Americano Soccer Básquetbol Grupo Editorial Patria 5 Álgebra 1.2 Idea intuitiva de con­jun­tos Ini­cia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas. 1.¿Cuál es el nom­bre de tus tres me­jo­res ami­gos? 2.¿Cuál es el nú­me­ro de alum­nos pre­sen­tes en la cla­se de ma­te­má­ticas? 3.Men­cio­na el nom­bre de cin­co alum­nos que ha­yan ob­te­ni­do una ca­li­fi­ca­ción ma­yor que en su cur­so an­te­rior. 4.¿Cuán­tos de tus com­pa­ñe­ros es­tán dis­pues­tos a tra­ba­jar pa­ra acre­di­tar es­te curso? Ca­da una de las pre­gun­tas an­te­rio­res se basa en la idea de agru­pa­ción o de con­jun­ to. Es un con­cep­to intuitivo, no tiene una de­fi­ni­ción for­mal, así que se acep­ta co­mo un con­cep­to pri­mi­ti­vo de es­ta ra­ma de las ma­te­má­ti­cas. En geo­me­tría puedes ci­tar otro ejem­plo de con­cep­to pri­mi­ti­vo, que no se de­fi­ne y es el pun­to; no obs­tan­te, es un ele­men­to fun­da­men­tal de es­ta ra­ma. Cita otros ejemplos de conceptos primitivos en otras ramas matemáticas. Con­jun­to Una des­crip­ción in­for­mal de la idea de agru­pa­ción o con­jun­to pue­de ser la si­guien­te: Con­jun­to es una co­lec­ción de ob­je­tos di­fe­ren­tes don­de a los ob­je­tos que lo con­for­man se les lla­ma ele­men­tos del con­jun­to. Escribe y nombra dos conjuntos; luego enumera sus elementos utilizando el símbolo de pertenencia. Por lo ge­ne­ral, se de­no­ta a los con­jun­tos con le­tras ma­yús­cu­las y a sus ele­men­tos con mi­nús­cu­las, b [ B, se in­ter­pre­ta co­mo “el ele­men­to b per­te­ne­ce al con­jun­to B”; y b B se lee co­mo “el ele­men­to b no per­te­ne­ce al con­jun­to B”. Un con­jun­to pue­de ser pre­sen­ta­do en for­ma ana­lí­ti­ca, lis­tan­do to­dos sus ele­men­ tos cuan­do es po­si­ble, se­pa­ra­dos ca­da uno por me­dio de una co­ma y en­ce­rrán­do­los en­tre lla­ves { }, a es­ta for­ma se le lla­ma enu­me­ra­ción o ex­ten­sión; tam­bién pue­de ser re­pre­sen­ta­do por me­dio de una fra­se o re­gla que des­cri­be las pro­pie­da­des que tie­nen sus ele­men­tos, des­crip­ción por com­pren­sión; por me­dio de una for­ma grá­fi­ ca me­dian­te un di­bu­jo, dia­gra­ma de Venn-Eu­ler, una ta­bla o un dia­gra­ma de ár­bol pa­ra re­pre­sen­tar cier­tas re­la­cio­nes en­tre dos o más con­jun­tos. Escribe dos ejemplos de conjuntos en cada una de las formas descritas. En ocasiones, pa­ra lis­tar to­dos los ele­men­tos de al­gu­nos con­jun­tos se re­quie­re de mu­cho es­pa­cio y tiem­po, o sim­ple­men­te no es po­si­ble ha­cer­lo; por ejem­plo: “El con­jun­to A for­ma­do por los nú­me­ros en­te­ros pa­res ma­yo­res que 20 y me­no­res que un mi­llón.” 6 ¿Cuánto s elem entos tiene e l conju nto A? UNIDAD 1 ros s núme ¿Cuánto ores que s men entero 5 hay? Conjuntos “El con­jun­to B for­ma­do por los en­te­ros me­no­res que 5.” En estos ca­sos se citan al­gu­nos de los ele­men­tos del con­jun­to, ya sean los pri­me­ros o los úl­ti­mos, se­gui­dos (o an­te­ce­di­dos) del sím­bo­lo “...”. Es­tos tres pun­tos in­di­can que conoces la su­ce­sión de esos nú­me­ros. Así, en estos ejem­plos, los con­jun­tos des­cri­tos por enu­me­ra­ción o ex­ten­sión pue­den to­mar la si­guien­te for­ma: A = {22, 24, 26, 28,…, 999 998} B = {…, 0, 1, 2, 3, 4} Condición más general del conjunto Es­cri­be por ex­ten­sión los si­guien­tes con­jun­tos: C= Tipo de elementos del conjunto {Nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos im­pa­res, ma­yo­res que 10} Propiedades específicas de los elementos {Nú­me­ros en­te­ros, múl­ti­plos de tres, me­no­res que –4} Límites, si es que existen C= D= D= T= {Nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos, múl­ti­plos de 12 me­no­res que 31 401} T= Cuan­do se pue­de des­cri­bir un con­jun­to por com­pren­sión se si­gue un ca­mi­no en for­ma de em­bu­do, em­pe­zan­do por la con­di­ción ge­ne­ral del con­jun­to, has­ta la pro­ pie­dad más es­pe­cí­fi­ca de los ele­men­tos del mis­mo. Ejemplos Límites inferior y superior. 1. A = {x/x [ N, x es im­par, 7 x 14} … des­crip­ción por com­pren­sión Tipo de número. Pregunta a tu profesor el significado de los símbolos que desconozcas en esta expresión. Característica específica. Con x se representa cualquier elemento. La lec­tu­ra de la ex­pre­sión an­te­rior es: “A es el con­jun­to de to­das las x, ta­les que per­te­nez­can a los nú­me­ros en­te­ros po­si­ti­vos, im­pa­res ma­yo­res que 7 y me­no­res que 14.” Grupo Editorial Patria 7 Álgebra 2. B = {12, 15, 18, 21, 24, 27}… des­crip­ción por enu­me­ra­ción o ex­ten­sión. Ob­ser­va aten­ta­men­te los ele­men­tos del con­jun­to B y con­tes­ta las pre­gun­tas: 1.¿Qué ti­po de nú­me­ros hay en el con­jun­to B? 2.¿Cuál es la ca­rac­te­rís­ti­ca de sus ele­men­tos? 3.¿Cuá­les son sus lí­mi­tes? Una for­ma de des­cri­bir por com­pren­sión el con­jun­to B es: B = {x/x [ N, x es múl­ti­plo de 3, 11 x 28} EJERCICIO 1 1.Da­dos los si­guien­tes con­jun­tos por enu­me­ra­ción, ex­pré­sa­los por com­pren­sión. a)C = {7, 8, 9, 10,…}: • ¿Qué ti­po de nú­me­ros hay en el con­jun­to C? • ¿Cuál es la ca­rac­te­rís­ti­ca de sus ele­men­tos? • ¿Cuá­les son sus lí­mi­tes? b)E = {26, 28, 30, 32} • ¿Qué ti­po de nú­me­ros hay en el con­jun­to E? • ¿Cuál es la ca­rac­te­rís­ti­ca de sus ele­men­tos? • ¿Cuá­les son sus lí­mi­tes? c)M = {90, 99, 108, 117, 126, 135}: d)B = {…, –5, –3, –1}: { } 1 1 1 1 e)T = 1, , , , 3 9 27 81 2.Da­dos los si­guien­tes con­jun­tos por com­pren­sión, ex­pré­sa­los por enu­me­ración. f )D = {x/x es un dí­gi­to del nú­me­ro 2011} D= g)G = {x/x [ N, x es im­par, 12 < x} G= h)S = {x/x [ N, x es múl­ti­plo de 5, x ≤ 13} S= 8 UNIDAD 1 Conjuntos i)N = {x/x [ N, x ≥ 11} N= j)P = {x/x [ N, x es una so­lu­ción de la ecua­ción x2 – 5x + 6 = 0} P= Las des­crip­cio­nes por com­pren­sión de con­jun­tos con una gran can­ti­dad de ele­men­ tos se in­di­can en for­ma ge­ne­ral, con el fin de ob­te­ner cual­quier ele­men­to del con­ jun­to da­do y su su­ce­sor. Ejemplos 1. N = {x/x [ N, x ≥ 11} 2. N = {11, 12, 13, 14,…, n, (n + 1), …} Recuerda que el sucesor de un número entero es ese número más la unidad. 3. B = {…, –5, –3, –1} 4. B = {x/x = –2n + 1, n [ ≥ N} 1.3 Car­di­na­li­dad de un con­jun­to Cardinalidad Es el nú­me­ro de ele­men­tos dis­tin­tos que tie­ne un con­jun­to. Pa­ra re­pre­sen­tar la idea de car­di­na­li­dad de un con­jun­to se uti­li­za la le­tra n (ini­cial de nú­me­ro), en­ce­rran­do en­tre pa­rén­te­sis la le­tra ma­yús­cu­la que le da nom­bre al con­jun­to n(A) que se lee “car­di­na­li­dad del con­jun­to A”. EJERCICIO 2 In­di­ca la car­di­na­li­dad de ca­da con­jun­to del ejercicio 1. a) n(C) = e) n(D)= b) n(E)= f ) n(G)= c) n(M) = g) n(S) = d) n(T) = h) n(P)= Co­mo ha­brás no­ta­do, en los con­jun­tos C y G no es po­si­ble de­ter­mi­nar el nú­me­ro de ele­men­tos que con­for­man a ca­da uno de ellos, lo que nos lle­va a nues­tro si­guien­te te­ma. Grupo Editorial Patria 9 Álgebra 1.4 Ti­pos de con­jun­tos Con­jun­tos fi­ni­tos e in­fi­ni­tos Un con­jun­to es fi­ni­to cuan­do tie­ne n ele­men­tos, sien­do n un nú­me­ro en­te­ro po­si­ti­vo; en el ca­so con­tra­rio, al con­jun­to se le lla­ma in­fi­ni­to. Ejemplos 1. A = {x/x es un país del con­ti­nen­te ame­ri­ca­no} 2. B = {x/x es un nú­me­ro ra­cio­nal me­nor o igual que 100} En es­tos ejem­plos, co­mo pue­des ob­ser­var, el con­jun­to A es fi­ni­to, ya que se pue­de con­ce­bir un nú­me­ro en­te­ro po­si­ti­vo que nos in­di­que su car­di­na­li­dad; mien­tras que el con­jun­to B es in­fi­ni­to, ya que no puedes de­ter­mi­nar el nú­me­ro de ele­men­tos que lo con­for­man. Ex­pre­sa­do de otra for­ma, en un con­jun­to fi­ni­to el pro­ce­so de nu­me­rar sus ele­men­ tos siem­pre tie­ne un fin, es de­cir, es nu­me­ra­ble y siem­pre tie­ne un úl­ti­mo ele­men­to; mien­tras que en un con­jun­to in­fi­ni­to el pro­ce­so de nu­me­rar sus ele­men­tos nun­ca se de­tie­ne, o en otros ca­sos no es po­si­ble rea­li­zar es­te pro­ce­so, por lo que a es­tos con­jun­ tos se les nom­bra co­mo con­jun­to in­fi­ni­to nu­me­ra­ble o in­fi­ni­to no nu­me­ra­ble. Ejemplos 1. B = {3, 6, 9, 12,…, 3n, 3(n + 1),…} 2. C = {Las rec­tas que pa­san por un pun­to da­do} Tan­to el con­jun­to B co­mo el C son in­fi­ni­tos, la di­fe­ren­cia en­tre ellos es que los ele­ men­tos del con­jun­to B se pue­den ir nu­me­ran­do, aun­que es­te pro­ce­so nun­ca ter­mi­ ne, y los ele­men­tos del con­jun­to C no puedes nu­me­rarlos. D = {x/x es un ser hu­ma­no} E = {1, 3, 5,…, 2n + 1, 2(n + 1) + 1,…} Con­jun­tos igua­les Dos con­jun­tos A y B son igua­les si ca­da ele­men­to de A es un ele­men­to de B y vi­ce­ver­sa Es­ta igual­dad se expresa: A=B 10
