C21 1) Sea la función z = f (x; y) = p x2 + y 2 a) (0’50 ptos) Halla el grado de homogeneidad de Deduce, en caso de que sea homogenea, el grado de homogeneidad de f por medio del Teorema de Euler Solución Es sencillo comprobar que p p f (tx; ty) = (tx)2 + (ty)2 = t2 x2 + t2 y 2 = t2 (x2 + y 2 ) = tf (x; y) con lo que la función es homogenea de grado k = 1 b) (1’00 ptos) Comprueba, en caso de que sea homogenea, que se veri…ca el Teorema de Euler Solución Veamoslo: x p @f @f x y x2 + y 2 +y = xp + yp =p = x2 + y 2 @x @y x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 2) Consideremos f (x; y) = x3 y 2 a) (0’25 ptos) Halla las elasticidades Elx (f ); Ely (f ) Solución Es una función de Cobb-Douglas y resulta evidente que: Elx (f ) = x 3x3 y 2 y @f y 2x3 y 2 x @f = 3 2 3x2 y 2 = 3 2 = 3 ; Ely (f ) = = 3 2 x3 2y = 3 2 = 2 f @x x y x y f @y x y x y b) (0’75 ptos) Si, a su vez, x; y son funciones de dos variables distintas s; t del modo x = st; y = s+t, halla las elasticidades compuestas Els (x); Elt (x); Els (y); Elt (y) para s = 2; t = 1 Solución Tenemos las siguientes elasticidades para t: Elt (x) = t t @y t 1 1 t @x = s = 1 ; Elt (y) = = = = x @t st y @t s+t 2+1 3 donde se ha sustituido s02; t = 1. Por la formula de las elasticidades compuestas para t, en s = 2; t = 1: Elt (f ) = Elx (f )Elt (x) + Ely (f )Elt (y) = 3 1 + 2 1 1 11 = 3 3 En cuanto a la elasticidad respecto de s: Els (x) = s @x s s @y s 2 2 = t = 1 , Els (y) = = = = x @s st y @s s+t 2+1 3 de modo que Els (f ) = Elx (f )Els (x) + Ely (f )Els (y) = 3 1 + 2 2 13 = 3 3 3) Sea la relación zx + yz 2 + xy + 2x 3y = 0 donde se supone que z depende implícitamente de las variables x e y. Tomamos el punto P (x; y; z) = (1; 2; 2) a) (1.00 ptos) Halla las derivadas parciales del plano tangente en dicho punto @z @z @x ; @y en P , así cómo ecuación Solución En primere lugar comprobaremos que el punto está en la super…cie, sustituyendo en la ecuación por (x; y; z) = (1; 2; 2) ! 2 2 4+1 ( 2)+2 3 ( 2) = 0 Tomaremos, ahora, diferenciales: (dz)x + z(dx) + z 2 (dy) + 2yz(dz) + y(dx) + x(dy) + 2(dx) 3(dy) = 0 (z + y + 2)(dx) + (z 2 + x 3)(dy) + (x + 2yz)(dz) = 0 y sustituyrndo por el punto P (x; y; z) = (1; 2; 2), queda: 2(dx)+2(dy) 7(dz) = 0 ! (dz)P = 2 2 @z 2 @z 2 (dx)P + (dy)P ! (P ) = ; (P ) = 7 7 @x 7 @y 7 b) (0.50 ptos) Para los valores x = 10 2 e y = madamente la z? 20 1, ¿cuanto valdrá, aproxi- Solución La ecuación del plano tangente es la que sirve para proporcionarnos la aproximación lineal. Así (dz)P = 2 2 2 2 2 2 (dx)P + (dy)P ! z 2 = (x 1)+ (y+2) ! z ' 2+ (10 2 1)+ ( 20 1+2) ' 20 0286 7 7 7 7 7 7 2
