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Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles
“ANÁLISIS COMPUTACIONAL NO LINEAL DE
ESTRUCTURAS DE ACERO, INCORPORANDO AISLADORES
SÍSMICOS DE COMPORTAMIENTO LINEAL Y NO LINEAL
EN SU BASE”
Memoria para optar al Título de
Ingeniero Civil en Obras Civiles
Profesor Patrocinante
: Sr. José Soto M.
Ingeniero Civil
M. Sc. Eng. Civil
Profesor Copatrocinante : Sr. Julio Lopetegui T.
Ingeniero Civil,
Doctor en Ingeniería
Profesor Examinador
: Sr. Adolfo Castro B.
Ingeniero Civil
M. Sc. Eng. Civil
EDUARDO JAVIER PELDOZA ANDRADE
VALDIVIA, 2002
AGRADECIMIENTOS
Quisiera aprovechar este espacio para agradecer primero que nada a Dios, que
me ha bendecido y acompañado durante todos estos años.
A mi familia, quien me ha brindado cariño y comprensión en todos mis proyectos
de vida.
A los profesores Sr. Julio Lopetegui Torres y Sr. José Soto Miranda, por las horas
de apoyo teórico y la disponibilidad de material bibliográfico y equipo necesario.
A todos mis compañeros de la carrera de Ingeniería Civil en Obras Civiles, que
esperaron (pacientemente) los resultados de esta tesis con grandes expectativas.
ÍNDICE DE MATERIAS
Capitulo
1.
2.
Página
Introducción.
Descripción del Programa Computado-nal Estructural Utilizado (PLANT).
1
2
2.1.
Introducción.
2
2.2.
Hipótesis de cálculo estructural utilizadas por el programa.
2
2.2.1. Reacciones internas en el estado deformado.
2
2.2.2. Desplazamientos rígidos y propios.
3
2.2.3. Superposición de las rotaciones resultantes.
4
2.2.4. Transformación de sistemas de coordenadas.
6
2.2.5. Descripción de la posición de un elemento deformado.
7
2.2.6. Estados de carga - deformación.
10
2.2.7. Trabajo y energía de deformación.
11
2.2.8. Trabajo de una carga sobre el desplazamiento causado por otra carga. 12
2.2.9. Ejemplo de solución aproximada.
13
2.2.10. Resolución de grandes sistemas de ecuaciones.
15
2.2.11. Análisis de sistemas no lineales.
17
2.2.12. Control por desplazamientos.
18
2.3.
Modalidades de cálculo del programa.
20
2.4.
Entrada de datos al programa.
20
2.4.1. Representación espacial de la estructura.
20
2.4.2. Descripción de las secciones transversales.
21
2.4.3. Soficttaciones de carga.
22
Cálculos dinámicos utilizando PLANT.
23
2.5.1. El método de Newmark.
23
2.5.2. Adaptación del método de Newmark al programa PLANT
25
2.5.
3.
Programas de Computación para Análisis de Estructuras Aisladas Existentes en el
Mercado.
30
3.1.
Programa N - PAD.
30
3.2.
Programa 3D - BASIS.
30
3.3.
Programa ETABS.
31
3.4.
Programa SAP2000 Nonlinear.
32
4.
5.
Modelos de Ablación Sísmica.
4.1.
El objetivo de la aislación sísmica.
33
4.2.
Aislador de goma con bajo amortiguamiento (Low-damping rubber bearíng: LDB).
35
4.3.
Aislador de goma de alto amortiguamiento (High-damping rubber bearíng: HDB).
36
4.4.
Aislador de goma con núcleo de plomo (Lead-rubber bearíng: LRB).
37
4.5.
Aislador Bectriáté de France (EDF).
40
4.6.
Aislador elástico - friccionante (Resilient-fríction base isolator: R-FBI).
41
4.7.
Aislador de péndulo friccionante (Friction pendulum system: FPS).
42
Método Utilizado para Incorporar el Modeb de Aislación Sísmica al Programa PLANT
Original.
44
5.1.
Modelo de aislación utilizado.
44
5.2.
Resolución de la ecuación diferencial asociada al modelo.
47
5.2.1. Solución por medio del método de Euler.
47
5.2.2. Solución por medio del método de Runge - Kutta de quinto orden.
48
Adaptación de las soluciones del modelo de Wen al programa PLANT.
50
5.3.
6.
7.
33
Presentación de Resultados.
52
6.1.
Aislador solo.
52
6.2.
Marco plano con aislación basal.
55
6.3.
Estructura tridimensional de un piso con aislación basal.
62
Conclusiones.
66
Resumen.
67
Summary.
68
Bibliografía.
69
Anexo A: Diagrama de Flujo para la Subrutina DYNAM.
71
Anexo B: Entrada de datos para cálculos dinámicos con PLANT.
80
Anexo C: Input de los ejemplos del Capítulo VI en formato de PLANT.
85
CAPÍTULO I : INTRODUCCIÓN
En la actualidad, el computador se ha convertido en una herramienta indispensable para
la Ingeniería Civil. No sólo ha mejorado enormemente la velocidad y precisión de los cálculos,
también ha posibilitado el tratamiento y la operatoria de algoritmos y modelos matemáticos que
hasta hace unas décadas atrás eran impracticables y que sólo pertenecía al ámbito puramente
teórico. Ello ha abierto innumerables posibilidades para solucionar satisfactoriamente una
amplia gama de problemas que requieren complejas simulaciones numéricas o el manejo de
grandes cantidades de información en forma casi instantánea.
En el campo de la Ingeniería Estructural, el computador ha posibilitado entre otras cosas
el análisis del comportamiento de estructuras frente a variadas formas de solicitaciones de
cargas. Para el caso del diseño sismorresistente, es de especial interés el estudio de la
respuesta estructural frente a la aceleración basal debida a un terremoto. Como se trata de una
solicitación de duración e intensidad aleatoria, lo ideal es representar la estructura de manera lo
más fidedigna posible, considerando que muchos de sus elementos pueden sufrir algún tipo de
falla que comprometa su estabilidad y capacidad de soporte.
En la década de los ochenta, un grupo de ingenieros del Lehrstühl für Stahlbau de
Aachen (Alemania) desarrolló el programa computacional PLANT con el objetivo de llevar a
cabo numerosas modalidades de cálculo estructural que incluyesen la posible plastificación de
algún elemento. Dicho programa abarca la determinación de la carga última, estabilidad
estructural (pandeo), y análisis dinámico (frecuencias propias y método de Newmark). A través
de los años, este programa ha sido corregido y aumentado en varias oportunidades, según
sean los requerimientos de los usuarios y las nuevas tecnologías implementadas.
La presente tesis trata sobre la inclusión del modelo de Wen en las subrutinas de cálculo
dinámico del programa PLANT, el cual hace posible la simulación de aisladores sísmicos de
base de comportamiento elastoplástico, a fin de disponer de una herramienta de cálculo que,
además de describir la respuesta de una estructura aislada, también verifique si ésta incurre en
algún tipo de falla que implique plastificación. Se incluyen los fundamentos teóricos del
programa, como así también algunos ejemplos de cálculo de estructura aislada.
1
CAPÍTULO II : DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA COMPUTACIONAL ESTRUCTURAL
UTILIZADO (PLANT)
2.1.
Introducción.
El programa de cálculo estructural PLANT fue creado en 1980 en el Lehrstühl für
Stahlbau de Aachen (Alemania) por los Drs. J. Lopetegui, A. Saleh y Ch. Stutzki. Fue concebido
como un programa de análisis experimental que simulase test de carga sobre estructuras,
incorporando modelos de comportamiento de materiales y las condiciones del sistema
analizado (barras, nudos, apoyos, secciones, etc.) (LOPETEGUI, 1983; SALEH, 1982;
STUTZKI, 1982).
El programa fue escrito en lenguaje FORTRAN, a fin de hacer comprensible su
funcionamiento al usuario, además de dejar abierta la posibilidad de incorporar nuevas
subrutinas, según sean los futuros requerimientos de análisis (LOPETEGUI et al., 1987).
2.2.
Hipótesis de cálculo estructural utilizadas por el programa.
Los algoritmos de PLANT se fundamentan en el equilibrio de las fuerza de reacción
interiores de una estructura deformada y las cargas que se obtienen directamente por la matriz
de rigidez elástica que se genera de los elementos que componen dicha estructura. Esto
permite saber si comportamiento del sistema está dentro del rango elástico, o bien ha
incursionado en valores que producen la plastificación de algún elemento. La teoría que
sustenta estos cálculos es la que se explica a continuación.
2.2.1. Reacciones internas en el estado deformado.
Para un elemento estructural tipo barra, la teoría de cálculo de matriz de rigidez utiliza un
sistema de coordenadas locales asociado a los extremos del elemento. Con ello es posible
describir la barra tanto en su posición inicial como deformada, puesto que en cada sección
transversal existen las siguientes posibilidades de deformación (SEDLACEK et al., 1985):
1)
Tres desplazamientos (u, v, w)
2)
Tres rotaciones (ϕx, ϕy, ϕz)
3)
Un ángulo de alabeo (ϕx’)
Además, a cada deformación le corresponde una reacción interna:
1)
Tres fuerzas (Qx, Qy, Qz)
2)
Tres momentos (Mx, My, Mz)
3)
Un bimomento (Mw)
2
X
ϕxk
Wk
ϕ'xi
ϕxi
Vi
Ui
ϕyk
UVk
k
X
Mxk
ϕ'xk
Qzk
ϕyi
Wi
ϕzk
Y
Mwi
Myk
Qyi Myi
Qxi
Mxi
Mwk
QQxk
yk
Qzi
ϕzi
Mzi
Z
Z
Mzk
Y
FIGURA 2.1 Definición de las posibles deformaciones y sus reacciones internas
asociadas.
El equilibrio de las fuerzas interiores de los extremos de las barras con las fuerzas
exteriores en los extremos de las mismas lleva a la ecuación en notación matricial que expresa
esta relación:
Fext = K ⋅ v
(2.1)
donde Fext es el vector de las fuerzas exteriores, K es la matriz de rigidez del elemento, y v
es el vector de las deformaciones antes mencionadas.
2.2.2. Desplazamientos rígidos y propios.
En un elemento perteneciente a una estructura bajo carga, y atendiendo a un sistema
global de coordenadas, se pueden distinguir dos tipos de desplazamientos:
1)
Desplazamientos rígidos: corresponden a los desplazamientos y giros del elemento
analizado en los cuales no están comprometidas sus propiedades mecánicas, sino que
se deben a deformaciones de los elementos aledaños.
2)
Desplazamientos propios: corresponden a los desplazamientos y giros que se producen
al aplicar directamente algún tipo de solicitación de carga sobre el elemento.
3
P
P
B
B
C
C
A
A
(b)
(a)
FIGURA 2.2 Ejemplos de desplazamiento rígido y propio.
La FIGURA 2.2 es un ejemplo simple de ambos casos de desplazamiento. En (a) el
elemento BC presenta una desplazamiento rígido, pues se traslada por efecto de la
deformación propia del elemento AB bajo la carga P. En (b) el desplazamiento de BC se debe
tanto a su deformación propia como a la que presenta AB por transmisión de momento, es
decir, hay tanto desplazamiento propio como rígido.
2.2.3. Superposición de las rotaciones resultantes.
En el análisis de una estructura tridimensional compuesta, un problema a resolver es la
adecuada transformación y superposición de las deformaciones de los elementos, que se
traducen en desplazamientos y rotaciones de los puntos que sirvieron de referencia para las
posiciones iniciales; más aún si se trata de un análisis elástoplástico, en donde se pueden
alcanzar grandes deformaciones.
Es de especial interés lo que sucede con las rotaciones, pues se debe considerar que en
el caso tridimensional se debe convertir de un sistema particular de coordenadas (el de cada
extremo de una barra) a uno global o viceversa, además de separar las rotaciones rígidas de
las propias en cada elemento; pero los vectores de rotación no se pueden “sumar” o “restar” en
cada paso iterativo.
En el programa PLANT se plantean las fórmulas del Dr. A. Saleh que son especialmente
útiles para la conversión de grandes rotaciones de un sistema a otro, utilizando una matriz de
transformación que se calcula en base a un vector de rotación obtenido en cada iteración de
carga. Para un cuerpo sometido a dos rotaciones sucesivas, digamos A y a continuación B, el
vector de giro resultante se obtiene a partir de la siguiente fórmula (SALEH, 1981):
C=
A + B − A× B
1− A⋅ B
4
(2.2)
en notación condensada:
( A, B ) ⇒ C
Es posible invertir el proceso para obtener la diferencia entre dos rotaciones, o sea, el
vector de giro A a partir de C y B :
A=
C − B + B×C
1+ C ⋅ B
Como la fórmula no es conmutativa, es decir,
(2.3)
( A,B) ≠ (B, A)
, el orden de sucesión de
las rotaciones necesariamente debe tenerse en cuenta (SALEH, 1981).
Una forma de describir la posición de un elemento en el espacio respecto de un sistema
global de coordenadas es mediante un vector. Aplicando el concepto del vector de giro, se
puede determinar su longitud, dirección y sentido iniciales con la siguiente información:
Δx0 :
diferencia de coordenadas entre los extremos de las barras, calculada a lo largo
del eje X.
Δy0 :
diferencia de coordenadas entre los extremos de las barras, calculada a lo largo
del eje Y.
Δz0 :
diferencia de coordenadas entre los extremos de las barras, calculada a lo largo
del eje Z.
l0 :
longitud del elemento indeformado.
La relación entre los valores anteriores es:
l 0 = Δ x 02 + Δ y 02 + Δ z 02
(2.4)
De acuerdo a la FIGURA 2.3, los ángulos que señalan la dirección del elemento en el
espacio son:
(
α = arcsen Δy o
l 02 − Δ z 02
β = arcsen(− Δ z 0 l 0 )
)
(2.5a y 2.5b)
Existe además un tercer ángulo, denominado γ , que viene dado por la geometría del
sistema y que determina la posición de la sección en el eje principal del elemento.
5
X
Y
β
Z
α
Y’’
l 02 − Δ z 02
X’’
Z’’
Δy0
Δx0
γ
Δz0
FIGURA 2.3 Ángulos que definen la posición del elemento en el espacio.
Estos ángulos forman los siguientes vectores de giro:
α⎞
⎛
A = ⎜ 0 0 tan ⎟
2⎠
⎝
T
β
⎛
B = ⎜ 0 tan
2
⎝
T
γ
⎛
C = ⎜ tan
2
⎝
⎞
0⎟
⎠
⎞
0 0⎟
⎠
(2.6a, 2.6b y 2.6c)
T
2.2.4. Transformación de sistemas de coordenadas.
Si tomamos en cuenta la FIGURA 2.3, para transformar el sistema de coordenadas
globales al sistema de coordenadas local del elemento, se le somete a la siguiente secuencia
(SEDLACEK et al., 1985):
1)
El sistema se traslada en forma paralela hasta la posición del extremo inicial de la barra.
2)
El sistema se rota alrededor del eje Z en el ángulo α que se encuentra contenido dentro
del plano XY. Los ejes X e Y se convierten en X’ e Y’ respectivamente.
3)
En la nueva posición, el sistema se rota alrededor del eje Y’ en el ángulo β ;este paso
hará coincidir el eje X’ con el eje longitudinal del elemento, transformándose en el eje
X’’.
4)
Finalmente, el sistema en su nueva posición se rota alrededor del eje X’’ en el ángulo γ
para hacerlo coincidir con el sistema local de coordenadas, convirtiendo los ejes X’ e Y’
6
en X’’ e Y’’ respectivamente y completándose así la transformación.
Para realizar el proceso anterior mediante vectores de giro, la transformación de
coordenadas globales a coordenadas locales se puede obtener con la doble aplicación de la Ec.
2.2, lo que en notación resumida es (SALEH, 1982):
(C, (B, A)) ⇒ D
(2.7)
Para realizar la conversión de un sistema de coordenadas local a otro global, se aplica la
siguiente matriz T dada por la fórmula (SALEH, 1982):
⎡T11 T12
T = ⎢⎢T21 T22
⎢⎣T31 T32
T13 ⎤
1
T23 ⎥⎥ =
1+ D2
T33 ⎥⎦
⎡ 1 + 2 D x2 − D 2 2(D x D y + D z ) 2(D x D z − D y )⎤
⎢
⎥
2
2
2(D y D z + D x )⎥
⎢2(D x D y − D y ) 1 + 2 D y − D
⎢ 2(D x D z + D y ) 2(D y D z − D x ) 1 + 2 D z2 − D 2 ⎥
⎣
⎦
T
: Matriz de transformación.
D
: Vector de giro.
(2.8)
Dx,y,z : Componentes del vector de giro.
D2
: Cuadrado del módulo del vector de giro.
La forma en que opera esta matriz T es multiplicándose a ambos lados de la matriz de
rigidez local K , dando como resultado una matriz de rigidez global K G .
2.2.5. Descripción de la posición de un elemento deformado.
Un elementos en su posición deformada se le define por la deformación que presentan
sus puntos extremos. Después de n iteraciones para el cálculo de la deformación final, la
posición de un nudo en el espacio en coordenadas cartesianas se puede expresar
vectorialmente como:
n
x 0 + v = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + ∑ (u , v, w) j
T
T
(2.9)
j =1
La rotación de un nudo se define como la rotación de su sistema local de coordenadas,
el cual inicialmente se encuentra paralelo al sistema global de coordenadas. Estos ángulos de
rotación para un paso iterativo cualquiera en notación vectorial son:
Φ j = (ϕ x , ϕ y , ϕ z )
7
(2.10)
o como vector de rotaciones:
Fj =
⎛ Φj ⎞
⎟
tan⎜
⎜
2 ⎟
Φj
⎝
⎠
Φj
(2.11)
La rotación total después de n pasos iterativos se compone de varias rotaciones
parciales Fj, las cuales se superponen por medio de la Ec. 2.2. Debido a la traslación y rotación
de los nudos, el eje de la viga se torna una línea curva tridimensional, presentándose los
desplazamientos rígidos y propios descritos en el Párrafo 2.2.2. ; esto produce la traslación del
eje principal de inercia. La relación entre los vectores de giro que describen la posición final que
adopta la viga al cabo de n pasos iterativos está dada por la siguiente relación, que toma en
cuenta la Ec. 2.2 (SALEH, 1982; SEDLACEK et al., 1985):
(C n , (B n , An )) ⇒ E
(2.12)
A y B : Vectores de rotación que contienen el movimiento total del elemento debido a
desplazamientos tanto rígidos como propios de la barra.
: Vector de rotación en el sentido del desplazamiento del eje de la viga; este
C
resultado corresponde al valor medio de la torsión del elemento.
: Vector de rotación correspondiente a la rotación rígida del eje longitudinal de la
E
viga desde su posición inicial indeformada hasta su posición final.
Los vectores anteriores se muestran como ejemplo para una viga en el espacio en la
FIGURA 2.4 (SEDLACEK et al., 1985).
X
Y
Z
Δx
X0
k0
Y0
i0,n
Bn
An
Δy
αn
Cn
Z0
βn
Δz
kn
ln
Xn
Zn
Yn
FIGURA 2.4 Vectores de giro que definen la posición deformada.
8
Una vez determinado el vector de rotación E , es posible mediante la Ec. 2.2 determinar
el vector que relaciona la posición en coordenadas globales con la posición deformada (SALEH,
1982; SEDLACEK et al., 1985):
( E , D0 ) ⇒ D n
(2.13)
Además, también es posible determinar la rotación relativa de los extremos de la viga,
separando la rotación total de la rotación rígida:
(− E , F ) ⇒ F
(− E , F ) ⇒ F
ni
*
ni
nj
*
nj
(2.14a y b)
en donde:
Fn i , Fn j :
Rotaciones de los nudos en los extremos de las vigas en la n-ésima
iteración, con respecto a los ejes locales iniciales (X0, Y0, Z0).
E :
Rotación rígida del eje de la viga.
Fn*i , Fn*j :
Rotaciones relativas de los nudos extremos de la viga, las cuales causan
las deformaciones.
También se pueden aprovechar las Ecs. 2.6a, b y c, para obtener los ángulos de
rotación de los extremos de la viga (SALEH, 1982; SEDLACEK et al., 1985).
Φ *ni , j
⎧ϕ x* ⎫ ⎧arctan Fx ⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
= ⎨ϕ *y ⎬ = 2⎨arctan Fy ⎬
⎪ϕ * ⎪ ⎪ arctan F ⎪
z⎭
⎩ z⎭ ⎩
(2.15)
Con esta información se pueden calcular las fuerzas de reacción elástica mediante la
teoría lineal clásica, pues las deformaciones relativas ϕ n* son pequeñas. Los valores para los
momentos (Mx, My, Mz) y las fuerzas (Fx, Fy, Fz) se obtienen en los extremos de la viga mediante
el método de las deformaciones. Con la fuerzas internas elásticas es posible determinar la
deformación del material en los extremos del elemento (SEDLACEK et al., 1985; STUTZKI,
1980):
u ′ = Q xel E A
v ′′ = − M zel E J z
w′′′ = − M yel E J y
ϕ ′x′ = − M wel EC M
9
(2.16a - d)
con la expresión para la deformación:
ε ( x, y, z, w) = 1 ⋅ u ′ − y ⋅ v ′′ − z ⋅ w′′ − ω ⋅ ϕ ′x′
(2.17)
Por medio de las relaciones esfuerzo - deformación del material, se obtiene la
distribución de tensiones en la sección. Las fuerzas internas se calculan por integración de
estas tensiones en las secciones transversales. Estas fuerzas de reacción en la sección son a
la vez las reacciones del elemento en sus extremos. Para calcular las fuerzas de reacción de la
estructura completa, se suman las fuerzas internas de los elementos producidas en los puntos
nodales. Para poder ejecutar este cálculo, las fuerzas en los extremos de las vigas son
transformadas por medio de la matriz
TnT
de la Ec. 2.8, desde un sistema local de
coordenadas a uno global (SEDLACEK et al., 1985).
2.2.6. Estados de carga - deformación.
Un estado de carga - deformación se define como un par de vectores P y v que
satisfacen la expresión correspondiente a la Ec. 2.1. Esta ecuación expresa una
correspondencia
única
en
el
caso
de
vectores
lineales;
esto
se
puede
denotar
(LOPETEGUI,1983; SEDLACEK et al., 1985):
P↔v
(2.28)
Se define la ortogonalidad de dos estados cualesquiera de carga - deformación, digamos
P1 ↔ v 1 y P2 ↔ v 2 , si la carga de una de las configuraciones no tiene una contribución de
trabajo en la otra configuración:
P1 ⋅ v 2 = P2 ⋅ v1 = 0
(2.29)
Dos vectores de carga o dos vectores de deformación son paralelos cuando existe un
escalar, digamos x , tal que P1 = x P2 o bien v1 = xv 2 .
La ortogonalización de dos estados de carga - deformación es siempre posible. Una
forma es expresar un vector de carga, por ejemplo P2 , en dos componentes: una paralela al
otro vector de carga conocido, digamos P1 , y otra perpendicular al vector deformación
conocido, digamos v1 :
P2 = P2
P1
+ P2⊥ v1 = x1 P1 + P2*
P2* es la componente de P2 la cual es ortogonal a v 1 :
10
(2.30)
P2* = P2⊥ v1 = P2 − x1 P1
(2.31)
El escalar x1 se calcula a partir de la condición de ortogonalidad entre P2* y v1 :
(P2 − x1 P1 ) ⋅ v1 = 0
⇒ x1 =
P2 ⋅ v1
P1 ⋅ v1
(2.32)
El vector de desplazamiento v2 también se puede expresar por medio de dos
componentes; una paralela al vector de desplazamiento v 1 y la otra componente ortogonal al
vector de carga:
v 2 = v 2 1 + v 2⊥ P1 = y1 v1 + v 2*
v
(2.33)
v2* es la componente de v2 la cual es ortogonal a P1 . El escalar y1 también se puede calcular
usando la doble condición de ortogonalidad, es decir, P1 ⋅ v 2* = 0 :
(v 2 − y1 v1 ) ⋅ P1 = 0
⇒ y1 =
P1 ⋅ v 2
P1 ⋅ v1
(2.34)
Si consideramos el principio general de Betti, obtenemos la expresión (LOPETEGUI y
SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988; SEDLACEK et al., 1985):
P1 ⋅ v 2 = P2 ⋅ v1
(2.35)
Si a la Ec. 2.35 le aplicamos la Ec. 2.32 y la Ec. 2.34, entonces se llega a la conclusión
que x1 = y1 ; luego, el segundo estado ortogonal se puede expresar como P2* ↔ v 2* :
P2* = P2⊥v1 = P2 − x1 P1
v 2* = v 2⊥P1 = v 2 − y1 v1
(2.36a y b)
2.2.7. Trabajo y energía de deformación.
La ecuación que expresa el trabajo para un estado de carga - deformación en un
sistema estructural es:
11
1
W = P1 ⋅ v1
2
(2.37)
donde P1 es un vector generalizado de carga, y v 1 es su correspondiente vector generalizado
de deformación.
La Ec. 2.37 expresa el trabajo realizado por el vector de carga P1 sobre el estado de
deformación, representado por el desplazamiento v 1 . Este trabajo es almacenado como
energía de deformación. La energía de deformación en estructuras almacenada inicialmente por
medio de la flexión puede escribirse:
l
U=
1
E I v ′′( x) 2 d x
∑
∫
2 0
(2.38)
Donde v ( x ) es la función de desplazamiento. De acuerdo a la teoría clásica de flexión
en vigas: E I v ′′ ( x ) = − M ( x ) , lo cual aplicado a la Ec. 2.38:
l
U =
M ( x) 2
1
dx
∑
2 ∫0 E I
(2.39)
2.2.8. Trabajo de una carga sobre el desplazamiento causado por otra carga.
Considerando dos estados de carga - deformación denotados como
P1 ↔ v 1
y
P2 ↔ v 2 y a partir de lo planteado en el Párrafos 2.2.6 y 2.2.7, se tienen los siguientes
resultados (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988):
l
P1 ⋅ v 2 = P2 ⋅ v1 = ∑ ∫ E I v1′′( x)v 2′′ ( x)d x
0
(2.40a y b)
l
= ∑ ∫ (M 1 ( x) M 2 ( x) E I )d x
0
M (x) representa el diagrama de momento de flexión en la estructura debido a Pi
Es posible trabajar a nivel global en la estructura con estados de carga - deformación de
la misma manera que con funciones de Ritz en un medio continuo. Si existen estados de carga deformación disponibles, o si éstos pueden ser generados usando una matriz de rigidez
existente, entonces se pueden aplicar todos los métodos de análisis estático, reemplazando las
funciones e integrales con estados de carga - deformación. Para el análisis de sistemas no
lineales, la matriz de rigidez necesaria para generar los estados de carga - deformación podría
12
ser la del sistema lineal o simplificado (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y
SEDLACEK, 1988).
2.2.9. Ejemplo de solución aproximada.
A continuación, se expondrá un ejemplo de solución aproximada con un subespacio
definido por algunos estados de carga - deformación. Sean P1 ↔ v 1 , P2 ↔ v 2 , ... , Pn ↔ v n
estados de carga - deformación para un sistema estructural bajo un vector de carga externa F0 .
Una solución aproximada para un campo de desplazamiento se puede escribir (LOPETEGUI y
SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988; SEDLACEK et al., 1985):
v = x1 v1 + x 2 v 2 + K + x n v n
(2.41)
Las fuerzas de reacción correspondientes al estado deformado son:
R = − x1 P1 − x 2 P2 − K − x n Pn
(2.42)
Las fuerzas residuales corresponden a fuerzas que no están en balance, las cuales se
pueden expresar como:
F = F0 + R = F0 − x1 P1 − x 2 P2 − K − x n Pn
(2.43)
El estado deformado se varía sucesivamente, de tal manera que cada componente de la
deformación es aumentado de xi v i hasta
( xi + d xi )v i
. La nueva deformación está dada por:
v + Δv i , con Δv i = d xi v i .
El diferencial d xi es un escalar. El trabajo correspondiente a la variación d v i puede ser
expresado como:
dU i* = F ⋅ d v i
= (F0 − x1 P1 − x 2 P2 − K − x n Pn ) ⋅ v i d x i
El trabajo virtual es cero cuando el producto escalar
F ⋅ d v i es cero. Si se fijan las
variaciones dU i* en cero, se puede obtener un sistema de ecuaciones:
13
(2.44)
⎡ P1 ⋅ v1
⎢P ⋅ v
⎢ 1 2
⎢ M
⎢
⎣ P1 ⋅ v n
P2 ⋅ v1
P2 ⋅ v 2
M
P2 ⋅ v n
L Pn ⋅ v1 ⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧ F0 ⋅ v1 ⎫
L Pn ⋅ v 2 ⎥⎥ ⎪⎪ x 2 ⎪⎪ ⎪⎪F0 ⋅ v 2 ⎪⎪
⎨ ⎬=⎨
⎬
O
M ⎥⎪ M ⎪ ⎪ M ⎪
⎥
L Pn ⋅ v n ⎦ ⎪⎩ x n ⎪⎭ ⎪⎩F0 ⋅ v n ⎪⎭
(2.45)
El sistema de ecuaciones tiene una solución si la matriz de coeficientes no es singular y
éste es el caso cuando los estados de carga - deformación son linealmente independientes.
La mejor aproximación posible al vector de deformación v de la estructura viene dada
por la Ec. 2.41, y la correspondiente fuerza residual es F de la Ec. 2.43. La solución
proporcionada será una solución exacta cuando el vector de carga dado sea una combinación
lineal de vectores de carga conocidos Pi . La matriz de coeficientes es una matriz diagonal
cuando los estados de carga - deformación son ortogonales, es decir, los productos Pi ⋅ v k = 0
para i ≠ k , los escalares xi (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y SEDLACEK,
1988):
xi =
F0 ⋅ v i
Pi ⋅ v i
(2.46)
Si los estados de carga - deformación no fuesen ortogonales, puede efectuarse un
procedimiento de ortogonalización.
Otra forma de llegar al mismo resultado es descomponiendo el vector de carga F0 en
componentes paralelas a las cargas individuales Pi y en una componente perpendicular a
todos los vectores de desplazamiento de los estados de carga - deformación (LOPETEGUI y
SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988).
F0 = F0 1 + F0
P
P2
+K+ F0
Pn
+ F0⊥v1 ,v 2 ,K,v n
= x1 P1 + x 2 P2 +K+ x n Pn + F *
(2.47)
Esto lleva a una expresión de la componente ortogonal antes mencionada:
F * = F0 − x1 P1 − x 2 P2 −K− x n Pn
(2.48)
La condición de ortogonalidad F * ⋅ v i = 0 nos lleva también al sistema planteado en la
Ec. 2.45 (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988).
14
2.2.10. Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales.
A fin de resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales con el método de estados de
carga - deformación, dichos estados deben ser calculados. A continuación se da un algoritmo
para encontrar los estados en caso que el sistema de ecuaciones esté particionado como se
indica (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988):
⎡ A11
⎢A
⎣ 21
A12 ⎤ ⎧V a ⎫ ⎧ Pa ⎫
⎨ ⎬=⎨ ⎬
A22 ⎥⎦ ⎩Vb ⎭ ⎩ Pb ⎭
(2.49)
⎧ A11V a + A12 Vb = Pa
⇒⎨
⎩ A21V a + A22 Vb = Pb
Primero, se intentará resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
⎧ A11V a + A12 Vb = Pa − P00
⎨
⎩ A21V a + A22 Vb = Pb
(2.50)
Donde están dadas las matrices Ai k ,i, k = 1,2 y los vectores Pa y Pb ; la solución que se
busca es Va , Vb y P00 . Una posible estrategia de solución podría ser primero resolver Va en la
siguiente ecuación (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1986; LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988):
A11V a = Pa
(2.51)
Conocido el vector Va , luego se resuelve el siguiente sistema:
A22 Vb = Pb − A21V a
(2.52)
Se puede entonces obtener una solución para el vector de desplazamientos Vb . El
vector P00 , el cual es desconocido hasta este momento, se puede determinar (LOPETEGUI y
SEDLACEK, 1988):
P00 = − A12 Vb
(2.53)
El vector P00 en el análisis estructural es el vector de las fuerzas residuales, las cuales
están presentes cuando el vector de deformación es V . El vector P00 tiene componentes
distintas de cero solamente en su parte superior. Cuando cada estado de carga - deformación
no tiene componentes en su parte inferior de su vector de carga, el método de ortogonalización
15
resulta ser muy ventajoso pues los productos escalares Pi ⋅ v k sólo necesitan ser evaluados en
la parte superior de los vectores (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988).
Para la solución de un sistema de ecuaciones lo más recomendable es, en primer lugar,
determinar un vector de deformación v0 y una fuerza residual P1 = P00 . La solución luego se
postula de la siguiente forma (LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988):
v = v 0 + x1 v1 + x 2 v 2 +K+ x n v n
(2.54)
El procedimiento de cálculo consta de los siguientes pasos (LOPETEGUI y SEDLACEK,
1988):
1)
Determinación de vi y Pi,i usando Pi (donde i = 1, 2, ..., n). El estado de carga deformación es: Pi − Pi ,i ↔ v i
2)
El estado de carga - deformación es ortogonalizado para i > 1 . Cada caso de carga deformación que se obtenga con este algoritmo será ortogonal a todos los estados
anteriores excepto el último, por tanto necesita ser ortogonalizado solamente a partir de
las componentes del último estado de carga - deformación. El estado ortogonalizado se
denota así:
Pi* ↔ v i*
3)
(2.55)
Se mejora la aproximación a la solución:
v nueva = v antes + x i v i*
(2.56)
donde vi* es el vector de deformación del estado de carga - deformación ortogonal, y el
coeficiente xi es:
xi =
4)
Pi ⋅ v i*
Pi* ⋅ v i*
(2.57)
Las fuerzas residuales correspondientes a v nueva son:
Pi +1 = Pi − xi Pi*
16
(2.58)
5)
Si no se alcanza la precisión requerida, el procedimiento debe reiniciarse desde el paso
(1) con i = i + 1.
2.2.11. Análisis de sistemas no lineales.
En el caso de sistemas no lineales, también es posible calcular el vector de deformación
si se conocen numerosos estados de carga - deformación del tipo Pi* ↔ v i* . El asterisco indica
que los estados de carga - deformación son semi - ortogonales, es decir Pi* ⋅ v k* = 0 si i > k
(LOPETEGUI, 1983).
La aproximación en la deformación que define el estado de equilibrio deseado es:
v = x1 v1* + x2 v 2* +K+ x n v n*
(2.59)
El siguiente procedimiento se realiza para construir un sistema de estados de carga deformación ortogonalizados y para mejorar simultáneamente la aproximación del vector
deformación. Sea una estructura no lineal en el estado deformado
v antes , cargada con las
fuerzas residuales Fi . Se calcula un vector de deformación v i con la matriz de rigidez inicial y
con Fi como vector de carga. La nueva aproximación para el vector de deformación es:
v nueva = v antes + v i
(2.60)
En el siguiente paso, las fuerzas residuales Fi i se calculan con el sistema real no lineal
en el estado deformado v nueva . El nuevo estado de carga - deformación se define:
Fi − Fii ↔ v i
(2.61)
En el lado izquierdo está la diferencia entre las fuerzas residuales correspondientes a las
deformaciones v antes y v nueva , y al lado derecho el incremento de deformación v i .
Si se conoce otro estado de carga - deformación, el nuevo debe ser ortogonalizado con
respecto a todos los estados anteriores. Esto sólo requiere que el vector de carga de este
nuevo estado no realice trabajo en el vector deformación de todos los anteriores. Si el nuevo
estado de carga - deformación es
Pi ↔ v i
y los anteriores son
entonces:
17
Pk* ↔ v k* (k = 1,2,..., i − 1)
Pi* = Pi − z k Pk*
v i* = v i − z k v k*
donde: z i =
(2.62a y b)
Pi ⋅ v k*
Pk* ⋅ v k*
Este estado de carga - deformación ortogonalizado se varía bajo el supuesto de
linealidad en los alrededores de v nueva , lo que significa que xi Pi* ↔ xi v i* también es válido. La
nueva aproximación para el vector deformación:
v nueva = v antes + xi v i*
(2.63)
El factor xi se determina de tal manera que el producto escalar de las fuerzas residuales
así calculadas multiplicadas con v i* sea cero.
xi =
Fi ⋅ v i*
Pi* ⋅ v i*
(2.64)
La fuerza residual para el siguiente paso es Fi +1 :
Fi +1 = Fi − xi Pi*
(2.65)
2.2.12. Control por desplazamientos.
Para cálculos con desplazamiento controlado, se determina una línea inicial de
deformación v1 y una variación de la misma, de tal manera que la amplitud en el vector de
deformación se mantenga suficientemente cerca de un valor constante para reducir las fuerzas
residuales al mínimo. Para una deformada v1 , se calcula la fuerza R requerida para mantener
el sistema en equilibrio. Esto se asume (LOPETEGUI et al., 1987; LOPETEGUI y SEDLACEK,
1988):
R = λ F0 + F
donde:
λ : Factor de carga.
F0 : Carga que recibe el sistema.
F : Fuerzas residuales.
18
(2.66)
El factor de carga es entonces determinado para que las fuerzas residuales no realicen
ningún trabajo en la deflexión v1 :
(R − λ F0 ) ⋅ v1 = 0
⇒λ =
R ⋅ v1
F0 ⋅ v1
(2.67a y b)
Con ayuda de la fuerza residual F se calcula un incremento de deformación v2 , y la
deformación resultante
(v1 + v 2 )
se normaliza de tal manera que tiene una amplitud muy
cercana a la de v1 . Se dan a continuación dos posibilidades:
1)
El nuevo vector (v1 + v 2 ) se multiplica por un factor de reducción a , para que el vector
total de deformación a(v1 + v 2 ) y el vector v1 tengan igual longitud:
∑ v i21 = a 2 ∑ (v i1 + v i2 )
n
n
i =1
i =1
2
n
⇒a=
∑v
i =1
∑ (v
n
i =1
2)
2
i1
(2.68a y b)
+ vi2 )
2
i1
La deformación v 2 es la única multiplicada por el factor a , para que las longitudes de
los
vectores v1 y
(v1 + av 2 )
∑v
sean iguales:
2
i1
= ∑ vi21 + 2a∑ vi1 ⋅ vi 2 + a 2 ∑ vi22
⇒a=−
2∑ vi1 ⋅ vi 2
∑v
(2.69a y b)
2
i2
Se calcula la fuerza R1 la cual mantiene al sistema en la posición deformada v nueva . El
incremento de la deformación mejorado es v nueva − v1 . El estado de carga deformación más
reciente es:
R − R1 ↔ v nueva − v1
(2.70)
La iteración se realiza de la misma forma explicada en el Párrafo 2.2.11. La longitud del
vector deformación es mantenida constante sólo para la determinación de los estados de carga
- deformación (LOPETEGUI et al., 1987; LOPETEGUI y SEDLACEK, 1988).
19
2.3.
Modalidades de cálculo del programa.
En cuanto a la forma de cálculo, PLANT considera la teoría de primer, segundo y tercer
orden, contemplando los estados elástico y elastoplástico del material, dentro de lo cual existen
las siguientes opciones de procedimientos de análisis (KUCK y HOFFMEISTER, 1988;
LOPETEGUI et al., 1987):
1)
Cálculo con deformaciones iniciales.
2)
Carga última por medio de deformación controlada.
3)
Estabilidad, pandeo longitudinal.
4)
Estabilidad, pandeo torsional.
5)
Estabilidad, pandeo con volcamiento.
6)
Cálculo con deformación controlada.
7)
Cálculo con factor de carga controlado por historial de carga.
8)
Cálculo con factor de carga controlado por iteración corregida.
9)
Cálculo con deformación controlada por historial de carga.
10)
Análisis dinámico, cálculo de frecuencias propias.
11)
Análisis dinámico, método de Newmark para integrar la ecuación de movimiento.
2.4.
Entrada de datos al programa.
A fin de ingresar los datos que representen a la estructura, PLANT está diseñado con
una orden de leer un archivo de input en formato ASCII, el cual debe contar con los siguientes
códigos descriptivos (KUCK y HOFFMEISTER, 1988; LOPETEGUI et al., 1987):
1)
Procedimiento de análisis requerido.
2)
Representación espacial de la estructura.
3)
Características de las secciones, tanto geométricas como del material constituyente.
4)
Solicitaciones de carga.
2.4.1 Representación espacial de la estructura.
PLANT trabaja por medio de estructuras planteadas en base a barras descritas por
medio de sus puntos extremos, con su respectiva ubicación espacial dada en coordenadas
cartesianas. A estos puntos se les asocian los grados de libertad correspondientes a las
condiciones de conexión dadas por el problema, tales como nudos desplazables o fijos, con o
sin transmisión de momento (KUCK y HOFFMEISTER, 1988; LOPETEGUI et al., 1987).
20
X
20
Y
21
Z
17
16
13
24
25
23
26
22
18
14
12
9
8
5
10
15
11
7
6
3
4
1
19
2
FIGURA 2.2 Descripción de una estructura simple mediante barras y nudos.
2.4.2. Descripción de las secciones transversales.
Como se consideran tanto el análisis elástico y plástico de las estructura, se han incluido
dos formas de representar las secciones transversales de los elementos (KUCK y
HOFFMEISTER, 1988; LOPETEGUI et al., 1987):
1)
Para los cálculos de tipo elástico, se ingresan directamente los valores de área de la
sección, momentos de inercia y torsionales, módulo de elasticidad y corte, distancia
entre el centro de gravedad y corte, constante de alabeo y área interna de Brent (para
secciones tipo cajón).
2)
Para los cálculos de tipo elastoplástico, la descripción geométrica del perfil debe hacerse
mediante láminas. Dichas láminas se describen mediante coordenadas de inicio y fin,
referidas a un sistema que tiene como origen el centro de gravedad de la sección.
Además para cada lámina se incluirá el espesor y los valores de ordenadas de alabeo y
tensiones residuales de cada extremo. A estos datos se les debe adjuntar información general
de la sección como módulo de elasticidad y corte, esfuerzo de fluencia y distancia del centro de
gravedad al centro de corte (LOPETEGUI et al., 1987).
21
1,9
14,05
1,1
Y
14,05
1,9
15,0
15,0
Z
Lámina
e
yi
zi
Wi
2
yk
zk
Wk
2
σi
σi
[kN/cm2] [kN/cm2]
Nº
[cm]
[cm]
[cm]
[cm ]
[cm]
[cm]
[cm ]
1
1,9
-15,0
-14,05
210,0
15.0
-14,05
-210,0
0,0
0,0
2
1,1
0,0
-14,05
0,0
0,0
14,05
0,0
0,0
0,0
3
1,9
-15,0
14,05
-210,0
15,0
14,05
210,0
0,0
0,0
FIGURA 2.2 Ejemplo de un perfil representado con tres láminas para cálculos
elastoplásticos.
2.4.3. Solicitaciones de carga.
Se puede distinguir tres tipos de cargas aplicables a la estructura (KUCK y
HOFFMEISTER, 1988; LOPETEGUI et al., 1987):
1)
Cargas puntuales, ingresadas en forma vectorial con respecto a un sistema global de
coordenadas.
2)
Momentos, ingresados en forma vectorial.
3)
Cargas dinámicas, ingresadas como aceleraciones basales por medio de un archivo de
datos.
Además, de acuerdo a la modalidad de análisis realizada, a dichas solicitaciones se les
debe adjuntar un código que exprese el uso que deberán tener dentro de los cálculos, los
cuales son:
1)
Cargas multiplicadas por un factor adimensional, a fin de estudiar su comportamiento
frente a las reacciones internas de la estructura (por ejemplo, en análisis de carga
última).
22
2)
Cargas que permanecen constantes durante el análisis completo (por ejemplo, las de
peso propio).
3)
Cargas que producen perturbaciones iniciales en la estructura, y por ello solamente se
incluyen en la primera iteración del análisis (por ejemplo, para calcular pandeo de
columnas se necesita incluir, además de la carga compresiva axial, una carga
perpendicular al eje del elemento, ubicada en un punto conveniente).
4)
Cargas para el cálculo de valores propios (por ejemplo, frecuencias propias).
2.5.
Cálculos dinámicos utilizando PLANT.
Por medio de la integración de los esfuerzos que provocan las deformaciones, PLANT
permite calcular las reacciones internas de la sección en cada extremo de la barra. El vector de
las fuerzas resultantes se obtiene mediante la suma de las fuerzas de reacción. Para el caso de
un vector de fuerzas que incluye momentos, dicha suma se calcula aplicando la superposición
de vectores de rotación para distintos sistemas de coordenadas que fue explicada en los
Párrafos 2.2.3, 2.2.4 y 2.2.5 (KUCK y HOFFMEISTER, 1988; LOPETEGUI et al., 1987).
La intención de crear un programa que obtenga reacciones por medio de integración es
precisamente abarcar los casos en que la solicitación implica un mayor riesgo, y detectar si es
que en alguno de los extremos de las barras en las cuales se ha discretizado la estructura se ha
producido alguna plastificación que pueda inducir deformaciones adicionales, o bien
comprometer la capacidad de soporte.
En lo referente al cálculo de estructuras sometidas a terremotos, PLANT posee
subrutinas adaptadas para el análisis dinámico, basado en la ecuación que expresa la relación
de equilibrio entre la aceleración del suelo y las reacciones de la estructura frente a los
desplazamientos (LOPETEGUI et al., 1987):
M &y& + C y& + K y = Q (t )
(2.71)
La resolución se efectúa mediante las ecuaciones de Newmark, que expresan la
integración de la velocidad y el desplazamiento en pequeños intervalos de tiempo.
2.5.1. El método de Newmark.
Este método propuesto originalmente por N. Newmark (1959) incluye en su formulación
variados métodos que usan intervalos de tiempo para la solución de ecuaciones lineales y no
lineales. Dentro de las ecuaciones se utilizan los parámetros β y γ, los cuales sirven para
expresar la forma en que varía la aceleración a través del tiempo (PAZ, 1997).
23
La expresión para el incremento de la velocidad, considerando intervalos de tiempo de
igual longitud (PAZ, 1997):
Δy& = &y&i Δt + γ Δ&y&Δt
(2.72)
Además, el incremento del desplazamiento, considerando también intervalos de tiempo
de igual longitud (PAZ, 1997):
Δy = y& i Δt +
1
2
2
&y&i Δt + β Δ&y&Δt
2
(2.73)
Con respecto al parámetro γ, se han observado que su valor óptimo es γ = 21 , ya que
cualquier valor distinto a éste introduce un efecto de amortiguación superfluo al problema.
Atendiendo a esto, y combinando las Ecs. 2.72 y 2.73, es posible hallar las siguientes
expresiones para el incremento de la aceleración y la velocidad (PAZ, 1997):
Δ&y& =
1
1
1
Δy −
y& i −
&y&i
2
β Δt
2β
β Δt
(2.74)
Δy& =
⎛
1
1
1 ⎞
⎟⎟Δt &y&i
Δy −
y& i + ⎜⎜1 −
2 β Δt
2β
⎝ 4β ⎠
(2.75)
Además, si se considera la Ec. 2.71 de movimiento de la estructura en forma
incremental, se tiene:
M Δ&y& + C Δy& + K Δy = ΔQ
(2.76)
Si en la Ec. 2.76 se introduce lo obtenido en las Ecs. 2.74 y 2.75, es posible hallar una
expresión que relacione el incremento del desplazamiento con el resto de las fuerzas que
participan en el movimiento (PAZ, 1997):
⎛ M
⎞
⎛
Ci
C
1
M
M
⎜⎜
y& i + i y& i +
y i − C i Δt ⎜⎜1 −
+
+ K i ⎟⎟Δy = ΔQ +
2
2 β Δt
β Δt
2β
2β
⎝ 4β
⎝ β Δt
⎠
⎞
⎟⎟ &y&i
⎠
(2.77)
En la Ec. 2.77 es posible asumir lo siguiente:
K i* =
Ci
M
+
+ Ki
2
2 β Δt
β Δt
24
(2.78)
Y además:
ΔQ * = ΔQ +
⎛
C
1
M
M
y& i + i y& i +
y i − C i Δt ⎜⎜1 −
β Δt
2β
2β
⎝ 4β
⎞
⎟⎟ &y&i
⎠
(2.79)
Reemplazando las Ecs. 2.78 y 2.79 en la Ec. 2.77 se obtiene:
K i* Δy = ΔQ *
(2.80)
En todas las ecuaciones anteriores, C i y K i son las matrices de amortiguación y
rigidez respectivamente, evaluadas en el instante de tiempo inicial t i del intervalo de tiempo
Δt = t i +1 − t i (PAZ, 1997).
En el uso del método de Newmark se debe seleccionar primeramente un valor numérico
para el parámetro β; el autor sugiere que
1
6
≤ β ≤ 12 . Para β =
1
6
el método asume una
variación lineal de la aceleración, si bien los cálculos resultan ser condicionalmente estables.
Para β = 14 , el método asume una variación lineal de la velocidad, lo que conlleva a considerar
la aceleración como constante dentro del intervalo de tiempo. Este segundo caso es el más
usado, pues ha demostrado ser estable en forma incondicional, además de poseer una
precisión satisfactoria en sus resultados (PAZ, 1997).
2.5.2. Adaptación del método de Newmark al programa PLANT.
Para el cálculo de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones resultantes en una
estructura debido a un terremoto, PLANT recoge los conceptos planteados por Newmark para
su aplicación en algoritmos que equilibran las fuerzas de reacción (inercia, amortiguación y
restauración) con las producidas por aceleraciones basales (LOPETEGUI et al., 1987).
Retomando lo expuesto en el Párrafo 2.5.1. , Newmark plantea las siguientes
ecuaciones para calcular el incremento de la velocidad y desplazamiento en un intervalo de
tiempo dado:
Δy& = &y&i Δt + γ Δ&y&Δt
Δy = y& i Δt +
1
2
2
&y&i Δt + β Δ&y&Δt
2
(2.72)
(2.73)
Si consideramos que la variación de la aceleración comprende la diferencia entre los
valores extremos del intervalo, entonces se tiene que:
25
Δ&y& = &y&i + 1 − &y&i
(2.81)
Con la Ec. 2.81 es posible ampliar las Ecs. 2.72 y 2.73. Recordando además que los
valores óptimos para el análisis son β = 41 , γ = 21 , se obtiene (KUCK y HOFFMEISTER, 1988;
LOPETEGUI et al., 1987):
Δy& = &y&i Δt +
Δy = y& i Δt +
1
( &y&i +1 − &y&i )Δt
2
1
1
2
2
&y&i Δt + ( &y&i +1 − &y&i )Δt
2
4
(2.82)
(2.83)
De la Ec. 2.83 es posible obtener la siguiente expresión para &&
yi + 1 :
&y&i + 1 =
4
4
Δy −
y& i − &y&i
2
Δt
Δt
(2.84)
La Ec. 2.84 puede sustituirse en la Ec. 2.82, a fin de expresar la variación de la
velocidad en función de los valores para el instante t = ti :
Δy& =
2
Δy − 2 y& i
Δt
(2.85)
Además, teniendo presente que Δy& = y& i + 1 − y& i , se obtendrá de la Ec. 2.85 una nueva
expresión:
y& i +1 =
2
Δy − y& i
Δt
(2.86)
Como se observa, las Ecs. 2.84 y 2.86 establecen una relación entre desplazamiento,
velocidad y aceleración en los instantes t = ti+1 y t = ti . Si además retomamos la Ec. 2.71,
ésta puede quedar determinada para el instante t = ti+1 , resultando (LOPETEGUI et al., 1987):
M &y&i + 1 + C y& i + 1 + K y i + 1 = Q i + 1
(2.87)
Como y i + 1 = y i + Δy , se tiene de la Ec. 2.87 :
M &y&i + 1 + C y& i + 1 + K Δy = Q i + 1 − K y i
26
(2.88)
Es posible ahora sustituir las Ecs. 2.84 y 2.86 en la Ec. 2.88 :
4
⎞
⎛ 2
⎞
⎛ 4
M ⎜ 2 Δy −
y& i − &y&i ⎟ + C ⎜ Δy − y& i ⎟ + K Δy = Q i + 1 − K y i
Δt
⎠
⎝ Δt
⎠
⎝ Δt
(2.89)
De la Ec. 2.89 se puede separar Δy i a un lado de la igualdad:
2
⎞
⎛ 4
⎞
⎛ 4
⎜ 2 M + C + K ⎟Δy = Q i + 1 + ⎜ M + C ⎟ y& i + M &y&i − K y i
Δt
⎠
⎝ Δt
⎠
⎝ Δt
(2.90)
En la Ec. 2.90 es posible asumir los siguientes valores auxiliares:
KS =
4
2
M+ C +K
2
Δt
Δt
(2.91)
⎞
⎛ 4
Q iS+ 1 = Q i + 1 + ⎜ M + C ⎟ y& i + M &y&i
⎠
⎝ Δt
(2.92)
Reemplazando las Ecs. 2.91 y 2.92 en la Ec. 2.90, se obtiene una expresión equivalente
a un problema estático (LOPETEGUI et al., 1987):
K S Δy = Q iS+ 1 − K y i
(2.93)
Para el caso de la Ec. 2.93, el programa obtiene las reacciones que equivalen a K y i
mediante integración, mientras que Δy i se calcula por los métodos clásicos de resolución de
sistemas de ecuaciones (KUCK y HOFFMEISTER, 1988; LOPETEGUI et al., 1987).
Para optimizar el resultado de Δy i que se obtiene de la Ec. 2.93, se debe retomar lo
planteado en la Ec. 2.90, y establecer que las fuerzas de reacción para
y i +1 = y i + Δ y se
determinen por medio de integración de las secciones, es decir (KUCK y HOFFMEISTER, 1988;
LOPETEGUI et al., 1987):
2 ⎞
⎞
⎛ 4
⎛ 4
⎜ 2 M + C ⎟Δy = Q i + 1 + ⎜ M + C ⎟ y& i + M &y&i − K ( y i + Δy )
Δt ⎠
⎠
⎝ Δt
⎝ Δt
(2.94)
De manera análoga a la Ec. 2.93, en la Ec. 2.94 posible distinguir fuerzas que dependen
de las reacciones internas ( R s ) , otras que dependen de factores asociados al problema
27
dinámico como son masa, amortiguamiento y tiempo ( R M ) , lo que se resume en las siguientes
fórmulas (LOPETEGUI et al., 1987):
RS = K ( y i + Δ y )
2 ⎞
⎛ 4
R M = ⎜ 2 M + C ⎟Δ y
Δt ⎠
⎝ Δt
(2.95)
(2.96)
Reemplazando las Ecs. 2.95 y 2.96 en la Ec. 2.94, y aprovechando la sustitución de la
Ec. 2.92, se tiene:
R M = Q iS+ 1 − R S
(2.97)
Lo anterior sólo se cumple si los desplazamientos obtenidos en la Ec. 2.93 por medio de
la solución del sistema de ecuaciones satisfacen lo planteado en la Ec. 2.97, cosa que no
siempre sucede debido a que R S es la resultante que se obtiene mediante la integración de las
reacciones, la cual también considera la plastificación de alguna parte de la sección si ésta
alcanza esfuerzos superiores al de fluencia del material; es por ello que se producen fuerzas
residuales que rompen el equilibrio, las cuales se pueden calcular reordenando la Ec. 2.97 de la
siguiente forma (LOPETEGUI et al., 1987):
Fdes = Q iS+ 1 − R S − R M
(2.98)
Dicho vector de fuerzas residuales es controlado por algoritmos del programa PLANT,
puesto que es utilizado para aplicar los siguientes criterios de convergencia:
1)
El módulo del vector de las fuerzas residuales deberá ser menor que un valor de
tolerancia establecido previamente.
2)
El módulo del vector de las fuerzas residuales para el presente paso de tiempo deberá
ser menor que el del paso de tiempo anterior.
3)
El trabajo realizado por las fuerzas residuales deberá ser menor que el trabajo realizado
por las fuerzas que solicitan la estructura.
4)
El trabajo realizado por las fuerzas residuales en el presente paso de tiempo deberá ser
menor que el trabajo realizado por las fuerzas residuales del paso de tiempo anterior.
28
Si alguna de las condiciones anteriores no se cumple, entonces el programa ejecuta una
subrutina de optimización de cargas y deformaciones, en donde a las fuerzas residuales se les
restan sus componentes que no realizan trabajo en los estados de carga - deformación que se
obtienen por integración. Dicha condición se determina mediante la ortogonalización de estados
de carga y deformación que fue explicada en el Párrafo 2.2 (LOPETEGUI et al., 1987).
29
CAPÍTULO III : PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
AISLADAS EXISTENTES EN EL MERCADO
3.1.
Programa N-PAD.
Fue el primer programa desarrollado específicamente para el cálculo de estructuras
aisladas sísmicamente. Funciona en computadores IBM o compatibles, y es propiedad de Base
Isolation Consultants of San Francisco (California). En él se modela explícitamente el
comportamiento no-lineal del aislador, pero se simplifica el modelamiento de la superestructura.
La aproximación se debe al supuesto que el aislador, al modificar el período y aumentar la
energía disipada, reduce la transmisión de esfuerzos a través de la base a tal punto que la
superestructura permanece dentro del rango elástico. En la representación de ésta se asumen
diafragmas rígidos, de tal manera que hay sólo dos grados de libertad posibles en cada piso:
dos de traslación y uno de rotación. Se puede especificar un amortiguamiento viscoso
equivalente para cada modo de la superestructura (NAEIM y KELLY, 1999).
Este programa trabaja con dos modelos de comportamiento de material para representar
la aislación: elastoplástico y bilineal, aparte de éstos también se puede representar el
comportamiento lineal. Estos modelos consideran que las relaciones fuerza - deformación se
producen dentro de un plano de corte. También se puede incluir para el aislador un coeficiente
de amortiguación viscosa y la rigidez vertical (NAEIM y KELLY, 1999).
La configuración de la superestructura y los aisladores en el N-PAD tienden a resultados
eficientes desde el punto de vista computacional. La desventaja de este programa radica en que
no está diseñado para obtener el comportamiento completo de la superestructura, además de la
falta de un modelo que considere el endurecimiento posterior a la fluencia que presentan
algunos tipos de aisladores (NAEIM y KELLY, 1999; SKINNER et al., 1996).
3.2.
Programas 3D-BASIS.
Corresponde a una serie de programas ampliamente difundidos para el cálculo de
estructuras con aislación sísmica. Su primera versión fue desarrollada en la State University of
New York con sede en Buffalo el año 1989, y fue posteriormente actualizada en 1991. En él se
representa la superestructura con un modelo lineal elástico similar al del N-PAD, pero además
se incorporan variados modelos para representar los comportamientos bilineales, friccionales o
lineales viscosos que pueda presentar un aislador. El modelo bilineal está representado con el
modelo de Wen, pero la respuesta está desacoplada en las dos direcciones horizontales (WEN,
1976). Los elementos friccionales consideran cargas bidireccionales e incorporan un coeficiente
de fricción que varía con la velocidad de deslizamiento. Los soportes elásticos con
amortiguación moderada se pueden representar también con elementos elásticos lineales y
30
viscosos lineales. El 3D-BASIS no incorpora ninguna capacidad vertical de análisis (NAEIM y
KELLY, 1999).
En el 3D-BASIS se implementó un esquema de solución eficiente, en el cual las fuerzas
de los elementos no lineales se trasladan al lado derecho de la ecuación y se resuelven
iterativamente. Sin embargo, al igual que el N-PAD, no tiene la capacidad de modelar una
superestructura general en tres dimensiones ni considerar el posible endurecimiento del
aislador. Actualmente existen versiones del 3D-BASIS para diferentes tipos de plataformas y
estaciones de trabajo. También se han creado versiones adaptadas para diferentes
necesidades de cálculo estructural, como el 3D-BASIS-M (para varias estructuras soportadas
por una única base aislada), el 3D-BASIS-ME (para estanques con aislación sísmica), y el 3DBASIS-TABS (interface con el programa de análisis estructural ETABS). La distribución del 3DBASIS se hace a través del National Center for Earthquake Engineering Research (NCEER) de
la State University of New York en Buffalo (EE.UU.), y también en el National Information
Service for Earthquake Engineering (NISEE) de la University of California en Berkeley (NAEIM y
KELLY, 1999).
3.3.
Programa ETABS.
El programa ETABS es uno de los más populares para el análisis dinámico estructural
en la zona oeste de Estados Unidos. Ha sido desarrollado por Computer and Structures of
Berkeley (California). A partir de su sexta versión se le han introducido numerosos elementos
no-lineales, los cuales son apropiados para la modelación de aisladores sísmicos. Éstos
incluyen elementos bilineales simples con endurecimiento constante y elementos viscosos con
velocidades de exponente variable. Al combinar estos elementos se puede modelar el
comportamiento de aisladores de elastómero de alto amortiguamiento, con núcleo de plomo, o
del tipo friccional. En un análisis de historial de tiempo el modelo de una superestructura
tridimensional completa de comportamiento lineal se descompone en sus formas modales y
luego se combina con los elementos no-lineales. Estos elementos no-lineales concentrados
también se pueden usar dentro de la superestructura, por ejemplo, para modelar disipadores
pasivos de energía. El uso de elementos especiales como aberturas (“gaps”) y resortes
(“springs”) hace posible la modelación de la tensión neta y el levantamiento del aislador. En este
caso, sin embargo, las masas no producen efecto en el sentido vertical, por lo que se subestima
la fuerza de impacto que se produce cuando un aislador levantado retorna a su posición de
equilibrio. Una característica importante de este programa es la facilidad con que se pueden
modelar losas de piso no-rígidas (NAEIM y KELLY, 1999).
31
3.4.
Programa SAP-2000 Nonlinear.
El programa SAP-2000 pertenece a una serie de programas desarrollados por Edward L.
Wilson en la University of California (Berkeley, EE.UU.) desde los primeros años de la década
del ‘70. En dicha época, las versiones más populares de esta serie eran SAP-IV, NONSAP y
SOLIDSAP. Posteriormente, con la aparición de los computadores personales, aparecen
nuevas versiones para este formato a cargo de la Computer and Structures (Berkeley,
California). La última generación es la SAP-2000, diseñada para ejecutarse en ambiente
Microsoft Windows, e incluye interfases gráficas que permiten entre otras cosas la visualización
de la estructura diseñada, deformaciones a escala, y animaciones en tiempo real de
desplazamientos en un historial de carga a través del tiempo (CSI, 1997; NAEIM y KELLY,
1999).
La serie SAP-2000 está compuesta por los programas SAP-2000, SAP-2000 PLUS y
SAP-2000 Nonlinear. Todos estos programas incluyen sistemas rápidos de solución de
ecuaciones, solicitaciones estructurales de cargas o deformaciones, vigas no prismáticas,
elementos tipo cáscara de alta precisión, análisis dinámico con vectores propios o de Ritz,
diferentes tipos de sistemas coordenados, opciones de constricción de puntos, fusión de mallas
creadas en forma independiente, elementos de resorte para todos los grados de libertad,
múltiples análisis dinámicos en un sólo cálculo, y el diseño y optimización de estructuras de
acero o concreto. La versión SAP-2000 Nonlinear es de especial interés para el modelamiento
de edificios aislados sísmicamente, pues incluye variados elementos no lineales que simulan el
comportamiento de aisladores elastoplásticos o friccionales, amortiguadores viscosos, entre
otras no-linealidades localizadas. El SAP-2000 Nonlinear utiliza un esquema de solución similar
al del 3D-BASIS, en el cual las fuerzas de los elementos no-lineales se colocan en el lado
derecho de la ecuación de movimiento, que luego se resuelve en forma iterativa hasta alcanzar
la convergencia (CSI, 1997; NAEIM y KELLY, 1999).
32
CAPÍTULO IV : MODELOS DE AISLACIÓN SÍSMICA
4.1.
El objetivo de la aislación sísmica.
Un aislador sísmico pasivo, a la luz del análisis estructural, es un elemento conector que
en virtud de sus propiedades mecánicas produce un desacople del movimiento de una
estructura con respecto a su base. Su objetivo principal es producir una concentración de
deformaciones en la base, de tal manera que la inercia y la rigidez relativa mayor que tiene la
estructura montada sobre él produzcan un efecto análogo al que tendría un cuerpo rígido
apoyado sobre una base muy blanda, es decir, mientras el suelo se desplaza, la estructura
tiende a mantener su posición original. Como se muestra en la FIGURA 4.1. , este hecho hace
ventajosa la implementación de aisladores, puesto que los efectos más dañinos para las
estructuras se deben precisamente a los esfuerzos resultantes del desplazamiento relativo
entre pisos (“drift”) (BOZZO, 1996; ASOCIACIÓN CHILENA DE SISMOLOGÍA E INGENIERÍA
SISMICA (ACHISINA), 2001).
ab
ab
FIGURA 4.1 Comportamiento de una estructura de base fija y con aislación basal.
En términos generales, cuando se habla de un modelo de aislación, el concepto va
enfocado a representar mediante una ecuación las fuerzas restauradoras (lineales o no lineales,
según sea el caso) localizadas en la base de una estructura (BOZZO, 1996; ORDÓÑEZ, 1996).
Es decir, para un elemento aislador:
mb &x&b + c ais x& b + f r = F (t )
mb :
Masa asociada al aislador, generalmente referida a la base de la estructura.
cais :
Amortiguamiento viscoso correspondiente al aislador.
xb :
Grado de libertad donde está involucrado el efecto del aislador.
33
(4.1)
fr :
Función que representa la fuerza restauradora que varía según el tipo de
aislador.
F(t) :
Función que representa la solicitación de carga sobre el aislador en un instante
de tiempo determinado.
Al incluir este elemento aislador en las ecuaciones correspondientes al sistema
estructural analizado, se obtiene la siguiente ecuación matricial (ORDÓÑEZ, 1996; SKINNER et
al., 1996):
&& + (C L + C ais )X& + K L X + Rais = F (t )
MX
X:
(4.2)
Vector de los grados de libertad del sistema que forman la estructura y el
aislador.
M:
Matriz de masa del sistema.
CL :
Matriz de amortiguación para la estructura como cuerpo libre.
C ais : Matriz que contiene los amortiguamientos viscosos de los aisladores en los
grados de libertad correspondientes, y ceros en las restantes posiciones.
K L : Matriz de rigidez de la estructura como cuerpo libre.
Rais : Vector que contiene las fuerzas restauradoras en los grados de libertad
correspondientes, y ceros en las otras posiciones.
F (t ) : Vector de las fuerzas que solicitan la estructura en un instante de tiempo.
X2
M2
M2
K2 , C2
K2 , C2
X1
M1
M1
K1 , C1
K1 , C1
Xb
Mb
Rais
Rais
ab
Mb
ab
FIGURA 4.2 Ejemplo de una estructura lineal de dos pisos montada sobre un sistema
de aislación.
34
Sin embargo, los planteamientos anteriores conllevan a dos hechos sustanciales dentro
de la teoría y la ejecución del análisis de una estructura aislada (BOZZO, 1996; ORDÓÑEZ,
1996):
1)
La concepción de modelos matemáticos que representen el comportamiento a través del
tiempo del dispositivo aislador utilizado.
2)
La necesidad de revisar y adaptar los procedimientos de análisis estructural dinámico
convencionales a estos nuevos elementos.
A continuación se presentan algunos de los dispositivos de aislación pasiva usados en la
actualidad; junto a ellos está su correspondiente modelo matemático adecuado para el análisis
estructural (BOZZO, 1996).
4.2.
Aislador de goma con bajo amortiguamiento (Low-damping rubber bearing: LDB).
Históricamente, el primer uso de un dispositivo elástomérico de bajo amortiguamiento
con fines antisísmicos data de 1969, durante la construcción del Colegio Pestalozzi en Skopje
(Macedonia). En aquel entonces, un grupo de ingenieros suizos ideó una forma de desacoplar
la estructura de su base, montado ésta sobre bloques macizos de goma natural (NAEIM y
KELLY, 1999).
En la actualidad, estos dispositivos de aislación son fabricados con varias capas
horizontales de neopreno (o goma natural) alternadas con planchas delgadas de acero; éste
conjunto se somete a calor y presión para adherir ambas fases por vulcanización. Esta
composición le confiere al aislador una gran rigidez axial y una gran flexibilidad al corte
(ACHISINA, 2001; BOZZO, 1996; NAEIM y KELLY, 1999).
Desde el punto de vista numérico, este tipo de aislador es el más directo de tratar.
Básicamente es un elemento con alta rigidez vertical (o axialmente indeformable, en el caso de
un análisis pseudo-tridimensional), rigidez horizontal lineal baja y amortiguación viscosa baja o
nula; esto le permite ser analizado por los métodos convencionales de la dinámica de
estructuras. La siguiente es su ecuación de fuerza restauradora (ACHISINA, 2001; BOZZO,
1996; NAEIM y KELLY, 1999; SKINNER et al., 1996):
f r = k ais xb
En la ecuación anterior se debe tener presente:
35
(4.3)
1)
La rigidez lineal del aislador k ais será mucho menor que la rigidez obtenida por
condensación estática de la estructura para cualquier otro grado de libertad incluido en
el análisis.
2)
El amortiguamiento viscoso del aislador será muy bajo o prácticamente nulo.
Xb
Kais
Mb
Placas de goma
alternadas con
placas de acero
Placas de acero
para conexión
FIGURA 4.3 Esquema de un aislador LDB junto a su modelo dinámico.
Las ventajas de este sistema de aislación radican en su bajo costo de producción y
mantenimiento, además de su fácil modelamiento matemático (BOZZO, 1996; NAEIM y KELLY,
1999). Su desventaja está en que a la mayoría de los edificios aislados les conviene incluir un
elemento de amortiguación adicional que disipe energía dinámica, por lo que es necesario
considerar la instalación de estos amortiguadores adicionales (NAEIM y KELLY, 1999).
4.3.
Aislador de goma de alto amortiguamiento (High-damping rubber bearing: HDB).
El primer dispositivo aislador de goma que incluía entre sus propiedades un alto
amortiguamiento data de 1982, y fue creado en la Malaysian Rubber Producers’ Reseach
Association. Se obtuvo un notable incremento de la amortiguación al añadir a la goma algunos
aditivos tales como bloques de carbón extrafino, aceites y resinas; el resto de las características
de fabricación son las mismas de los aisladores LDB (NAEIM y KELLY, 1999).
Numéricamente, este aislador tiene el mismo tratamiento de los LDB (BOZZO, 1996;
NAEIM y KELLY, 1999). Sin embargo, se debe tener presente que en este caso el dispositivo
tiene su propia amortiguación inherente a su composición (NAEIM y KELLY, 1999).
Xb
Cais
Placas de goma
con aditivos,
alternadas con
placas de acero
Mb
Placas de acero
para conexión
Kais
FIGURA 4.4 Esquema de un aislador HDB junto a su modelo dinámico.
36
Considerando lo anterior, la fuerza restauradora del aislador HDB será la misma
expresada en la Ec. 4.3, pero con un valor de amortiguación significativamente alto (BOZZO,
1996).
Las ventajas del aislador HDB son su bajo costo de producción y mantenimiento (puesto
que requiere de la misma tecnología de un LDB), además de no requerir la instalación de
dispositivos adicionales para agregar amortiguamiento a la estructura como en el caso de los
LDB (NAEIM y KELLY, 1999). Su desventaja se encuentra precisamente en la modelación
matemática de dicha amortiguación. Los ensayos de laboratorio han demostrado que el
amortiguamiento varía significativamente en función de la deformación (ACHISINA, 2001;
NAEIM y KELLY, 1999). Teniendo en cuenta el valor ζ (cuociente entre el amortiguamiento
viscoso y el amortiguamiento crítico del aislador), se ha observado que para valores de hasta el
20% de deformación por corte se tiene un ζ de alrededor del 0.3 , mientras que entre 20% y
120% de deformación por corte, el valor de ζ se reduce a 0.05. Esto conlleva a que el
comportamiento de este aislador no esté claramente definido; si bien lo aceptado para el diseño
es usar un valor de ζ = 0.1 y asumir el modelo clásico de las Ecs 4.1 y 4.3 (BOZZO, 1996;
NAEIM y KELLY, 1999), es decir:
mb &x&b + c ais x& + k ais xb = F (t )
4.4.
(4.4)
Aislador de goma con núcleo de plomo (Lead - rubber bearing: LRB).
Este dispositivo de aislación fue creado en Nueva Zelanda el año 1975 por el ingeniero
William H. Robinson (SKINNER et al., 1996). Básicamente, se trata de un aislador LDB que
tiene incorporado en el centro un cilindro de plomo que lo atraviesa longitudinalmente, el cual
está firmemente confinado por las placas de acero del aislador (NAEIM y KELLY, 1999;
SKINNER et al., 1996). Debido a que el plomo tiene la capacidad de recuperar la configuración
cristalina a temperatura ambiente luego de una deformación plástica, además de poseer un
límite de fluencia al corte más bajo que el de la mayoría de los metales (10 MPa), se observa en
este tipo de aislador un comportamiento elastoplástico, el cual se hace evidente en la forma
histerética de la curva de carga versus deformación del LRB sometido a un test de carga cíclica
(ACHISINA, 2001; SKINNER et al., 1996). En lo referente al análisis numérico, existen dos
modelos utilizados para representar este comportamiento. El primero es el modelo bilineal, en el
cual la histéresis obtenida en el test de carga cíclica es aproximada por medio de rectas
(ACHISINA, 2001; SKINNER et al., 1996).
F(t)
37
kf
fy
ki
δy
X(t)
ki
FIGURA 4.5 Curva histerética, aproximada mediante modelo bilineal.
Como se observa en la FIGURA 4.5, mediante este modelo es posible además obtener
valores que sirven para caracterizan al aislador LRB (SKINNER et al., 1996):
1)
Una rigidez inicial ( ki ), asociada a la reacción del aislador frente a cargas de baja
magnitud. Se obtiene al trazar una recta tangente a las zonas de menor carga del ciclo.
2)
Una rigidez post - fluencia ( kf ), asociada a la reacción del aislador frente a las cargas
más altas del ciclo. Se obtiene al trazar una recta tangente a la curva que pase por el
punto de mayor desplazamiento de la histéresis.
3)
Una carga de fluencia ( fy ), con su correspondiente desplazamiento de fluencia ( δy ),
que establecen un valor convencional de transición entre las relaciones carga deformación antes mencionadas. Se obtiene en el punto de intersección de la recta de
rigidez post - fluencia con la de rigidez inicial, esta última debe pasar por el origen de
coordenadas (representando así el estado previo a la primera fluencia del aislador en el
ciclo).
La principal ventaja de este modelo es su simplicidad, pues mediante algoritmos
sencillos es posible determinar si el aislador LRB está sometido a una carga que comprometa
su rigidez inicial o de post - fluencia (SKINNER et al., 1996). Su desventaja radica en que la
región de transición en el estado elastoplástico se aproxima mejor con una curva y no con una
38
recta, por lo que se están considerando deformaciones mucho menores que las reales
(ACHISINA, 2001).
El segundo método utilizado para representar el comportamiento de un aislador LRB es
el modelo histerético de Bouc - Wen, en el cual se descompone la reacción elastoplástica en
una componente directamente proporcional al desplazamiento (resorte lineal) y otra
dependiente de la variable z, como se observa en la Ec. 4.5 (ACHISINA, 2001; BOZZO, 1996;
COMPUTER AND STRUCTURES INC. (CSI), 1997; ORDÓÑEZ, 1996; WEN,1976):
f r = α k i xb + (1 − α ) f y z
La variable
z
(4.5)
es adimensional y su comportamiento viene dado por la siguiente
ecuación diferencial (ACHISINA, 2001; BOZZO, 1996; CSI, 1997; ORDÓÑEZ, 1996;
WEN,1976):
z& =
1
δy
(Ax&
b
− β z x&b z
n −1
− γ x&b z
n
)
(4.6)
Los valores ki , fy , δy , son los mismos utilizados para caracterizar el modelo bilineal,
mientras que α = kf / ki (BOZZO, 1996; CSI, 1997; ORDÓÑEZ, 1996). Los parámetros A , β, γ, n
que aparecen en la Ec. 4.6 están relacionados con el tipo de reacción elastoplástica a través del
tiempo que se desea obtener (ACHISINA, 2001; BOZZO, 1996; ORDÓÑEZ, 1996; WEN,1976).
La principal ventaja de este modelo es su refinamiento y exactitud, pues al variar sus
parámetros es posible emular una gran variedad de comportamientos elastoplásticos que sirven
para caracterizar la respuesta de un aislador LRB en el tiempo (ACHISINA, 2001; BOZZO,
1996; CSI, 1997; ORDÓÑEZ, 1996; WEN,1976). Su desventaja radica en que se trata de un
modelo descrito mediante una ecuación diferencial, el cual al ser incorporado a la expresión
general del aislador en movimiento (Ec. 4.1) se tiene:
⎧ mb &x&b + c ais x& b + α k i xb + (1 − α ) f y z = F (t )
⎪
1
n −1
n
⎨
⎪ z& = δ Ax& b − β z x& b z − γ x& b z
y
⎩
(
)
(4.7)
Los problemas surgen al buscar un algoritmo que combine y resuelva satisfactoriamente
tanto el comportamiento del edificio analizado como el de los aisladores LRB incorporados,
particularmente la fuerza expresada por el parámetro z de la Ec. 4.6 (ORDÓÑEZ, 1996).
39
Xb
Kais
Placas de goma
alternadas con
placas de acero
Cais
Mb
Placas de acero
para conexión
Cilindro de plomo
FIGURA 4.5 Esquema de un aislador LRB junto a su modelo dinámico.
4.5.
Aislador Electricité de France (EDF).
Este sistema de aislación fue desarrollado durante los años ‘70 para su aplicación en la
central de energía nuclear de Koeberg (Sudáfrica) (NAEIM y KELLY, 1999). El aislador EDF se
compone de un bloque de neopreno reforzado, sobre el cual se adhiere una placa de aleación
de bronce y plomo, sobre ésta va una placa de acero inoxidable simplemente apoyada, la cual
está fijada a la base de la estructura. Esta disposición produce un efecto tal que para
solicitaciones de baja intensidad el movimiento es controlado por el bloque de neopreno
reforzado, de tal manera que reacciona análogamente a un aislador HDB. Si la solicitación
aumenta, entonces se produce el deslizamiento entre las placas de bronce - plomo y acero,
provocando una fuerza de roce con la consecuente disipación de energía (BOZZO, 1996;
NAEIM y KELLY, 1999). Se ha comprobado que para este tipo de aisladores el efecto del
neopreno reforzado rige hasta desplazamientos no mayores a 5 cm., luego de lo cual el
deslizamiento de las placas provee una fuerza de roce con un μ = 0.2 (NAEIM y KELLY, 1999).
El modelo matemático asociado a un aislador EDF consta de dos fases. Para la fase
previa al deslizamiento, es la misma Ec. 4.4 utilizada para representar un aislador HDB. En la
fase donde existe deslizamiento de las placas, éstas producen una fuerza de roce dada por la
siguiente ecuación (BOZZO, 1996):
f roce = μ g mt sign( x& b − x& e )
(4.8)
En la ecuación anterior, μ es el coeficiente de roce entre las superficies deslizantes, g
es la aceleración de gravedad, mt es la masa de la estructura sobre dicho aislador (no sólo la
masa de la base), sign es la función signo, xb es el desplazamiento de la base del edificio
relativo al suelo y xe es la deformación del elastómero. Al respecto, si consideramos que las
fuerzas del elastómero se encuentran en serie con las de rozamiento, entonces se tiene la
siguiente ecuación (BOZZO, 1996):
40
c x& e + k xe − μ g mt sign( x&b − x& e ) = 0
(4.9)
Al aplicar estás ecuaciones, se debe tener presente que en la fase inicial previa al
deslizamiento las fuerzas de corte generadas por la aceleración basal ab no superan a las
fuerzas de roce generadas por la carga sobre el aislador (BOZZO, 1996):
mt μ g > mt ab
(4.10)
La ventaja de este aislador es que el bloque de neopreno le proporciona buena
amortiguación frente a sismos de baja intensidad, mientras que sus placas deslizantes
producen gran disipación de energía cuando las solicitaciones aumentan (BOZZO, 1996;
NAEIM y KELLY, 1999). El principal inconveniente de este sistema es que para solicitaciones
muy severas la fuerza restauradora del elastómero no es suficiente para recentrarlo, por lo que
puede incurrir en deformaciones permanentes (NAEIM y KELLY, 1999).
xe
xb
Kais
Placa de acero
Placas de
acero para
conexión
Placa de aleación
bronce - plomo
μ
Mt
Cais
Neopreno
reforzado
FIGURA 4.6 Esquema de un aislador EDF junto a su modelo dinámico.
4.6.
Aislador elástico - friccionante (Resilient - friction base isolator: R-FBI).
Este sistema aprovecha las fuerzas de roce provocadas por la velocidad relativa entre
dos superficies de distinta naturaleza que permanecen en contacto. Un aislador R-FBI está
compuesto de varias capas intercaladas de acero inoxidable y Teflón (politetrafluorotileno), en
su núcleo posee un cilindro de elastómero que lo atraviesa longitudinalmente. La idea de una
composición multilaminar es repartir en varios desplazamientos pequeños el desplazamiento
total, que de otra manera generaría una excesiva fuerza de roce debido al μ significativamente
alto que existe entre el acero y el Teflón. El propósito del cilindro central de elastómero es
proporcionar fuerza restauradora al aislador para recentrarlo después de un desplazamiento
(BOZZO, 1996; NAEIM y KELLY, 1999).
El modelo matemático de un aislador R-FBI representa la acción en paralelo del núcleo
de elastómero y las placas de Teflón (BOZZO, 1996):
mb &x&b + cais x& b + k ais xb + μ g mt sign( x& b ) = F (t )
41
(4.11)
La Ec. 4.11 no se cumple si la fuerza de corte basal junto a la fuerza restauradora
elástica del aislador son inferiores a las fuerzas de roce generadas por la carga normal sobre el
aislador (BOZZO, 1996):
mt g μ > mt ab + k ais x
(4.12)
Con respecto al coeficiente de roce, el valor de μ usado para el diseño es del rango de
0.03 a 0.05, el cual es bastante menor si se le compara con el μ = 0.2 utilizado para el diseño
de un aislador EDF (BOZZO, 1996). Se ha comprobado mediante ensayos de laboratorio que el
núcleo de elastómero no evita la concentración de deformaciones en una sola capa de Teflón,
por lo que se han creado aisladores R-FBI que incluyen una barra de acero que pasa por el
centro del elastómero a fin de mantener una distribución uniforme de los desplazamientos
(NAEIM y KELLY, 1999).
Xb
Kais
Placas de Teflón
alternadas con
placas de acero
Cais
Placas de acero
para conexión
μ
Mb
Cilindro de
elastómero
FIGURA 4.7 Esquema de un aislador R-FBI junto a su modelo dinámico.
4.7.
Aislador de péndulo friccionante (Friction pendulum system: FPS).
Este sistema fue desarrollado durante los años ‘80 en Estados Unidos (BOZZO, 1996).
Al igual que el aislador R-FBI, se basa en la disipación de energía por rozamiento. Este aislador
consiste en un apoyo esférico cubierto con Teflón montado sobre una placa cóncava de acero
pulimentado. Al desplazarse lateralmente el aislador, se rompe el equilibrio estable de la esfera
sobre la superficie cóncava, lo que produce una fuerza lateral que tiende a centrar nuevamente
el apoyo y que actúa como fuerza restauradora (ACHISINA, 2001; BOZZO, 1996; NAEIM y
KELLY, 1999).
El modelo matemático asociado a un aislador FPS es (ACHISINA, 2001; BOZZO, 1996):
fr =
mt g
x + μ mt g sign( x& )
R
42
(4.13)
R es el radio de curvatura de la placa cóncava de acero. Se puede observar que en la
Ec. 4.13 se puede obtener una analogía de la rigidez elástica en la expresión que multiplica el
desplazamiento del aislador (ACHISINA, 2001):
k ais =
mt g
R
(4.14)
Como en los demás casos de aisladores friccionantes, se debe considerar que existe
una condición que impide el deslizamiento:
mt g μ > mt ab +
mt g
xb
R
(4.15)
Para el diseño de los aisladores FPS se recomienda que la presión de contacto entre el
Teflón y el acero no exceda los 40 Mpa (ACHISINA, 2001), y el coeficiente de fricción μ se
encuentre dentro del rango de 0.05 a 0.15 (BOZZO, 1996). Valores por debajo de este rango
pueden provocar que la estructura sea susceptible a moverse por acción del viento. Por otra
parte, valores por sobre el rango bloquean el deslizamiento, cancelando la mecánica aisladora
(BOZZO, 1996).
Xb
Kais
Placas de
conexión
Placa cóncava
de acero
μ
Apoyo esférico
recubierto de
Teflón
FIGURA 4.8 Esquema de un aislador FPS junto a su modelo dinámico.
43
Mb
CAPÍTULO V : MÉTODO UTILIZADO PARA INCORPORAR EL MODELO DE
AISLACIÓN SÍSMICA AL PROGRAMA PLANT ORIGINAL
5.1.
Modelo de aislación utilizado.
Frente a las posibilidades de escoger un modelo matemático para incluir un dispositivo
de aislación sísmica dentro del programa de cálculo estructural PLANT a partir de lo enunciado
en el Capítulo IV, se ha optado por el modelo de WEN (1976). Dicha elección se debe a que
con esta ecuación es posible simular variadas respuestas elastoplásticas como así también
bilineales o lineales (BOZZO, 1996; ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976; WEN, 1980). Otra razón
importante es el hecho que éste modelo está incorporado como elemento no lineal en el
programa de cálculo estructural SAP-2000® Nonlinear, el cual servirá como punto de
comparación con los resultados incluidos dentro de esta tesis (CSI,1997; NAEIM y KELLY,
1999).
El modelo de Wen se compone de una fuerza restauradora que utiliza como variable el
desplazamiento, además de una variable adimensional denominada z (WEN, 1976; WEN,
1980):
Fres ( x, z ) = α k x + (1 − α )k z
(5.1)
El comportamiento de la variable z está descrito por la siguiente ecuación diferencial
(WEN, 1976; WEN, 1980):
z& = Ax& − β z x& z
n −1
− γ x& z
n
(5.2)
Los parámetros A , α , β , γ , n que aparecen en la Ec. 5.2 son números adimensionales
que regulan cada una de las características del comportamiento del modelo (ORDÓÑEZ, 1996;
WEN, 1976):
A :
Factor de escala general.
α :
Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal.
β , γ : Determinan la forma de la curva.
n :
Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y no lineal.
La influencia que tienen los parámetros β y γ en la variable z se puede visualizar al
trazar la gráfica de dicha variable versus el desplazamiento, con una solicitación externa de tipo
periódica (sinusoidal a través del tiempo). Dicha solicitación debe afectar a un oscilador de un
44
grado de libertad en el cual se incluyen las fuerzas de inercia, de amortiguación (viscoelástica) y
la restauradora representada por el modelo de Wen:
⎧m &x& + c x& + F ( x, z ) = P (t )
res
⎪⎪
⎨ Fres ( x, z ) = α k x + (1 − α )k z
⎪
n −1
n
⎪⎩ z& = Ax& − β z x& z − γ x& z
(5.3)
En la FIGURA 5.1 se presentan ejemplos de z versus x con P (t ) = sen( 12π t ) ,
m = 0.4 , c = 1 , k = 1 , α = 0.5 , A = 1 , n = 1 para diferentes valores de β y γ (WEN, 1976).
Z
1.0
Z 1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
-3
3
-2
-1
0
1
2
X
-0.5
-0.5
β = 0.5
γ = 0.5
-1.0
-1.5
β = 0.1
γ = 0.9
-1.0
Z 1.0
Z 4
0.5
2
0.0
-2.5
0
-0.5
0.5
1.5
2.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
X
-0.5
-2
β = 0.9
γ = 0.1
-1.0
Z
3
-1
2
1
0
-2
0
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
X
-3
-6
β = 0.5
γ = - 0.5
-4
Z 6
-3
3
X
-1
β = 0.25
γ = - 0.75
-2
β = 0.75
γ = - 0.25
FIGURA 5.1 Comportamiento de la variable z con A = 1 , α = 0.5 y n = 1 para diferentes
valores de β y γ.
45
Con respecto al parámetro n ∈ [1,+ ∞[ , entre más alto sea el valor utilizado, más dura
es la curva de transición, como se observa en la FIGURA 5.2 (ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976).
Dado lo anterior, para eliminar completamente la porción curva, se entiende que
n → +∞ ,
aunque en la práctica se ha observado que es suficiente tomar valores del orden de n > 20
(CSI, 1997).
Z
1.0
0.8
0.6
N=1
N=3
0.4
N=7
N=50
0.2
0
0.5
1.5
1.0
FIGURA 5.2 Comportamiento de la variable
2.0
2.5
3.0
X
z con A = 1 , α = 0.5 , β = γ = 0.5 , y distintos
valores de n.
Si bien el modelo de Wen puede resultar muy versátil a la hora de representar un
comportamiento elastoplástico, sus parámetros no tienen una interpretación clara para el campo
de la ingeniería estructural. Es por ello que para el cálculo y diseño de aisladores, algunos
autores han reescrito la ecuación de la fuerza restauradora, adaptando algunos de los términos
de la versión original (BOZZO, 1996; CSI, 1997; ORDÓÑEZ, 1996;):
⎧⎪ Fres ( x, z ) = α k i x + (1 − α ) f y z
⎨
n −1
n
⎪⎩δ y z& = Ax& − β z x& z − γ x& z
ki :
Rigidez inicial (previa a la fluencia).
α :
Cuociente entre la rigidez post fluencia ( kf ) y la rigidez inicial
fy :
Esfuerzo de fluencia
δy :
Desplazamiento de fluencia
(5.4)
La interpretación de los términos ki , α , fy , δy es la misma que se mencionó en el
Párrafo 4.4. Por otra parte, los parámetros A , β , γ y n conservan el significado asignado
originalmente por Y. Wen (ORDÓÑEZ, 1996). Esta versión usa z como variable adimensional,
mientras que el término δy se ha introducido para mantener la concordancia entre las unidades
46
de la ecuación que representa a z& con las unidades de la ecuación de la fuerza restauradora
(BOZZO, 1996; CSI, 1997; ORDÓÑEZ, 1996).
Con respecto a los valores más comunes utilizados para la modelación de aisladores,
los autores recomiendan A = 1 (BOZZO, 1996; CSI, 1997; DE LUCA et al., 1994; ORDÓÑEZ,
1996; WEN,1976; WEN, 1980). En cuanto a los parámetros β y γ , BOZZO (1996) propone
β = 1.4 y γ = -0.54 , mientras que la herramienta para el cálculo de aisladores del programa
SAP2000® Nonlinear utiliza β = γ = 0.5 (CSI, 1997). Como se señaló en el Párrafo 4.4, los
valores de fy y δy son convencionales y dependerán del tipo de aislador que se desee modelar
(SKINNER et al., 1996). Para la mayoría de los autores el valor más representativo para estimar
la curva de transición es n = 1 , aunque en el programa SAP2000® Nonlinear se utiliza una
variante bidireccional del modelo, la cual fue propuesta por PARK et al. (1986), y que es
equivalente a la fórmula de Wen pero con n = 2 (CSI, 1997).
5.2.
Resolución de la ecuación diferencial asociada al modelo.
El modelo de Wen representa el comportamiento no lineal por medio de la variable z , la
cual está definida mediante la fórmula diferencial en la Ec. 5.3. Como en este problema la
derivada de z a través del tiempo es una función implícita de la velocidad, es necesario
resolver la ecuación mediante un método numérico que discretice la solución; esta alternativa
tiene la ventaja adicional que posibilita su incorporación al programa computacional de análisis
estructural original PLANT. En esta tesis se estudiaron dos opciones: el método de Euler y el
método de Runge - Kutta de quinto orden.
5.2.1. Solución por medio del método de Euler.
Este método numérico resuelve ecuaciones diferenciales de la forma:
dy
= f ( x, y )
dx
(5.5)
Para ello, predice un valor de yi+1 por medio de la pendiente (es decir, la primera
derivada) en el i - ésimo valor que se extrapola en forma lineal sobre el intervalo de tamaño Δ x
(CHAPRA et al., 1988):
yi +1 = yi + f ( xi , yi )Δ x
(5.6)
Como el modelo de Wen también consiste en una ecuación diferencial análoga a la
planteada en la Ec. 5.5, es posible postular una solución de similares características:
47
(
dz
1
n −1
n
= f ( x& , t ) =
Ax& − β z x& z − γ x& z
dt
δy
)
(5.7)
Si se aplica lo planteado en la Ec. 5.6, se tiene para el paso i +1 - ésimo:
z i +1 = z i +
Δt
δy
(Ax& − β z x&
i
i
i
zi
n −1
− γ x& i z i
n
)
(5.8)
Por lo tanto, la solución para zi se calcula en función de los valores de la velocidad y de
la variable
z
que se obtuvieron en el paso anterior. Como el problema dinámico de una
estructura sometida a vibraciones siempre parte del reposo, entonces para el primer instante de
tiempo (donde i = 1) se tienen x& 0 = 0 , z0 = 0 .
5.2.2. Solución por medio del método de Runge - Kutta de quinto orden.
La solución por el método de Euler tiene la ventaja de ser muy sencilla desde el punto de
vista numérico y computacional, pues se basa en una aplicación directa de la definición de
derivada de z . Sin embargo, al ser implementada dentro de un programa computacional en
lenguaje FORTRAN que simulaba un oscilador con un grado de libertad, se pudo ver que los
resultados en su mayoría presentaban un alto porcentaje de error frente a los generados por el
programa SAP2000® Nonlinear. Según CHAPRA et al. (1988) ello puede deberse a que esta
solución es muy susceptible a errores de truncamiento (es decir, debido al tipo de aproximación
utilizada). Entonces fue necesario implementar una nueva solución mediante un algoritmo más
refinado, como es el caso del método de Runge - Kutta de quinto orden.
Este es otro método de resolución de ecuaciones diferenciales que tienen la forma
planteada en la Ec. 5.5. Todos los métodos de Runge - Kutta tienen un esquema general que se
puede resumir en la siguiente expresión (CHAPRA et al., 1988):
y i +1 = y i + φ ( xi , y i , h )h
(5.9)
La expresión φ se conoce como función de incremento, la cual puede interpretarse
como una pendiente representativa sobre el intervalo de x . La constante h corresponde al
mismo Δ x definido para el método de Euler. En el caso de Runge - Kutta de quinto orden, la
función de incremento toma la siguiente forma (CHAPRA et al., 1988):
φ ( xi , y i , h ) =
1
(7k1 + 32k 3 + 12k 4 + 32k 5 + 7k 6 )
90
48
(5.10)
Los términos
k i presentes en la Ec. 5.10 corresponden a relaciones de recurrencia
definidas de la siguiente manera (CHAPRA et al., 1988):
k1 = f ( xi , yi )
k 2 = f ( xi + 14 h, yi + 14 k1 h )
k 3 = f (xi + 14 h, y i + 18 k1 h + 18 k 2 h )
(5.11a - f)
k 4 = f (xi + 12 h, yi − 12 k 2 h + k 3 h )
k 5 = f (xi + 34 h, yi + 163 k1 h + 169 k 4 h )
k 6 = f (xi + h, y i − 73 k1 h + 72 k 2 h + 127 k 3 h − 127 k 4 h + 78 k 5 h )
Este método es preferible al de Euler, pues genera resultados de mayor exactitud,
debido a que el error de acuerdo a serie de Taylor es de quinto orden (CHAPRA et al., 1988).
Para aplicar esta solución será necesario redefinir el modelo de Wen de la manera
propuesta por ORDÓÑEZ (1996) donde la variable independiente es el desplazamiento,
teniendo como punto de partida la expresión de la ecuación de Wen en notación diferencial:
dz 1 ⎛ dx
n −1 d x
n dx⎞
⎟
= ⎜⎜ A − β z z
−γ z
d t ⎟⎠
dt
dt δ y ⎝ dt
(5.6)
Expresando la Ec.(5.6) en forma discretizada:
Δz
1 ⎛ Δx
n −1 Δ x
n Δx ⎞
⎟
−γ z
= ⎜⎜ A − β z z
Δt ⎟⎠
Δt
Δt δ y ⎝ Δt
Como Δ t
(5.7)
es una constante positiva para todos los valores del input (en este caso,
aceleración basal), se puede omitir el valor absoluto en el término que multiplica a β en el
segundo miembro:
Δz 1 ⎛ Δx
n −1 Δ x
n Δx ⎞
⎟
−γ z
= ⎜⎜ A − β z z
Δt ⎟⎠
Δt
Δt δ y ⎝ Δt
(5.8)
Lo anterior hace posible que se pueda simplificar la ecuación por Δ t :
Δz =
1
δy
(AΔ x − β z z
49
n −1
Δx − γ z Δx
n
)
(5.9)
La Ec. 5.9 concuerda con lo planteado por ORDÓÑEZ (1996) respecto a expresar z
como función del desplazamiento. Además, es posible arreglar la Ec. 5.9 considerando que
Δ x = sign(Δ x )Δ x , donde sign es la función signo, la cual toma el valor 1 si su argumento es
un número mayor o igual a cero, y valor -1 si su argumento es un número menor que cero:
Δz =
1
δy
(AΔ x − β z z
n −1
sign(Δ x )Δ x − γ z Δ x
n
)
(5.10)
Ahora es posible factorizar Δ x en el lado derecho:
Δz =
1
δy
(A − β z z
n −1
)
sign(Δ x ) − γ z Δ x
n
(5.11)
Entonces, la Ec. 5.11 puede resolverse mediante Runge - Kutta de quinto orden:
z i = z i −1 +
1
δy
(A − β z
i −1
z i −1
n −1
)
sign(Δ x ) − γ z i −1 Δ x
n
(5.12)
La función de incremento φ en este caso será:
φ=
5.3.
1
δy
(A − β z z
n −1
sign(Δ x ) − γ z
n
)
(5.13)
Adaptación de las soluciones del modelo de Wen al programa PLANT.
Para realizar un análisis elastoplástico, el programa PLANT aplica inicialmente la carga a
la estructura, asumiendo que ésta se deforma elásticamente. Tales deformaciones son
introducidas en un algoritmo que obtiene las reacciones internas correspondientes por medio de
integración de las secciones. Este proceso de integración toma en cuenta el comportamiento
del material, de manera que si una parte de la sección alcanza un esfuerzo correspondiente al
valor de fluencia, entonces la porción de área implicada cesa de incrementar su capacidad de
soporte, es decir, plastifica. Para llevar a cabo esta integración, el programa tiene como punto
de partida las propiedades geométricas y constitutivas de las secciones del elemento, como fue
señalado en el Párrafo 4.1.
Para el caso del aislador sísmico representado por medio del modelo de Wen sucede lo
contrario, pues no se conoce la sección, pero sí la ley que rige su comportamiento. Por ello fue
necesario trabajar en la parte del programa que equilibra las fuerzas de acción con las de
reacción, de manera tal que se incluyeron las reacciones producidas por la variable z a una
barra que funcionara axialmente en forma análoga a un resorte.
50
Como el programa utiliza como aproximación el resultado elástico, entonces también era
necesario buscar una aproximación sencilla a los resultados del modelo de Wen. Para ello se
usó la solución por medio del método de Euler como fue planteada en la Ec. 5.8. Con este valor
tentativo de z se calcula la reacción del aislador como primera aproximación para incluirla en la
corrección de las fuerzas por medio de la integración. Para la corrección, se utiliza la solución
por el método de Runge - Kutta de quinto orden; como ésta es más exacta que la anterior, sirve
para mejorarla de la misma manera que la reacción calculada por integración optimiza la
obtenida por cálculo elástico. A este resultado se le aplican los algoritmos de convergencia de
PLANT para obtener una solución que satisfaga los test de tolerancia, y así continuar con el
paso siguiente. El diagrama de flujo que corresponde a esta rutina del programa es el que se
presenta en el Anexo 1, con la diferencia de que en las fuerzas de reacción obtenidas
matricialmente se deben incluir las correspondientes al modelo de Wen calculado por el método
de Euler, y en las fuerzas de reacción obtenidas por integración se deben incluir las del modelo
de Wen obtenidas por el método de Runge - Kutta de quinto orden.
51
CAPÍTULO VI : PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Una vez implementadas las subrutinas que representan el modelo de Wen, se calcularán
a continuación ejemplos de estructuras típicas con aislación de tipo elastoplástica, sometidas a
solicitaciones de aceleración basal. Paralelamente, las mismas estructuras fueron analizadas
con el programa comercial de cálculo estructural SAP2000® Nonlinear. Se incluyen gráficos
que comparan los resultados obtenidos con ambos programas.
6.1.
Aislador solo.
Se calculó el comportamiento de un aislador elástoplástico tipo LRB, representado
mediante un oscilador de un grado de libertad compuesto de una barra de comportamiento
elástico empotrada en uno de sus extremos; en el otro extremo sólo está permitido el
desplazamiento axial. A este elemento se le ha asociado una masa de 100 KN·s2/m, una
amortiguación viscoelástica de 100 KN·s/m y las siguientes propiedades para la aplicación del
modelo de Wen:
1)
Rigidez inicial ki : 2000 KN / m
2)
Cuociente α : 0,1
3)
Esfuerzo de fluencia fy : 20 KN
4)
Factor de escala A : 1
5)
Parámetro de forma β : 0,5
6)
Parámetro de forma γ : 0,5
7)
Parámetro de transición n : 2
La solicitación aplicada al aislador consistió en la aceleración basal
a(t ) = 2sen(3π t )
m/s2 , con un paso de tiempo Δt = 0,01 seg. La duración de la solicitación es de 20 segundos
(2000 pasos).
Xb
α Ki
Cais
M
Z
a(t)
FIGURA 6.1 Aislador LRB.
52
Desplazamiento del aislador con aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t)
0.04
0.02
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.02
-0.04
SAP2000
PLANT
-0.06
-0.08
-0.1
Tiempo (seg)
Histéresis del aislador con aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t)
30
20
10
0
Fuerza (KN)
Desplazamiento (m)
0
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
-10
-20
-30
-40
Desplazamiento (m)
53
0.02
0.04
Histéresis del aislador con aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t) (Estado de régimen)
30
20
Fuerza (KN)
10
0
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
-10
-20
-30
Desplazamiento (m)
54
0.02
0.03
6.2.
Marco plano con aislación basal.
Se calculó el comportamiento de un marco plano cuyos pilares son perfiles de acero
A42-27ES del tipo HN 30×180 de 3 metros de longitud. En el lugar correspondiente a las vigas y
la base de la estructura, se colocaron elementos de rigidez infinita para emular losas . Las
masas de la estructura están incluidas como puntuales en los vértices de ésta con un valor de
20 KN s2/m. Bajo la base se colocaron aisladores elastoplásticos tipo LRB con las siguientes
propiedades para la aplicación del modelo de Wen:
1)
Amortiguación viscoelástica Cais : 100 KN·s/m
2)
Rigidez inicial ki : 2000 KN / m
3)
Cuociente α : 0,5
4)
Esfuerzo de fluencia fy : 20 KN
5)
Factor de escala A : 1
6)
Parámetro de forma β : 0,5
7)
Parámetro de forma γ : 0,5
8)
Parámetro de transición n : 2
La solicitaciones aplicadas al sistema fueron:
1)
Aceleración basal a(t ) = 2sen(3π t ) m/s2 , con Δt = 0,01 seg., y 20 segundos de
duración (2000 pasos).
2)
Aceleración basal correspondiente a la componente N-S del terremoto de Northridge
expresada en m/s2, con Δt = 0,02 seg., y 60,24 segundos de duración (3012 pasos).
3)
Aceleración basal correspondiente a la componente N-S del terremoto de Valparaíso
expresada en m/s2, Δt = 0,005 seg., y 54,57 segundos de duración (10914 pasos).
x3
M
M
M
M
M
M
M
M
Elemento
rígido
x2
x1
Columna
HN30X180
de largo 3 m.
xb
Aislador
a(t)
FIGURA 6.2 Marco plano con aislación basal.
55
Desplazamiento de la base del marco plano con aceleración basal a(t) = sen (3*pi*t)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Desplazamiento (m)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
SAP2000
PLANT
-0.05
-0.06
-0.07
-0.08
Tiempo (seg)
Desplazamiento del marco plano del primer piso con aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Desplazamiento (m)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
SAP2000
PLANT
-0.05
-0.06
-0.07
-0.08
Tiempo (seg)
56
18
19
20
Desplazamiento del segundo piso del marco plano con aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Desplazamiento (m)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
SAP2000
PLANT
-0.06
-0.07
-0.08
Tiempo (seg)
Desplazamiento del tercer piso del marco plano con aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Desplazamiento (m)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
SAP2000
PLANT
-0.05
-0.06
-0.07
-0.08
Tiempo (seg)
57
19
20
Desplazamiento de la base del marco plano con el terremoto de Northridge
0.25
0.2
0.15
Desplazamiento (m)
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
55
60
-0.05
SAP2000
PLANT
-0.1
-0.15
-0.2
Tiempo (seg)
Desplazamiento del primer piso del marco plano con el terremoto de Northridge
0.25
0.2
0.15
Desplazamiento (m)
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-0.05
SAP2000
PLANT
-0.1
-0.15
-0.2
Tiempo (seg)
58
Desplazamiento del segundo piso del marco plano con el terremoto de Northrigde
0.25
0.2
0.15
Desplazamiento (m)
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
55
60
-0.05
SAP2000
PLANT
-0.1
-0.15
-0.2
Tiempo (seg)
Desplazamiento del tercer piso del marco plano con el terremoto de Northridge
0.25
0.2
0.15
Desplazamiento (m)
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-0.05
SAP2000
PLANT
-0.1
-0.15
-0.2
Tiempo (seg)
59
Desplazamiento de la base del marco plano con el terremoto de Valparaíso
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
Desplazamiento (m)
0.015
0.01
0.005
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-0.005
-0.01
SAP2000
PLANT
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
Tiempo (seg)
Desplazamiento del primer piso del marco plano con el terremoto de Valparaíso
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
Desplazamiento (m)
0.015
0.01
0.005
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0.005
-0.01
SAP2000
PLANT
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
Tiempo (seg)
60
50
55
Desplazamiento del segundo piso del marco plano con el terremoto de Valparaíso
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
Desplazamiento (m)
0.015
0.01
0.005
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
50
55
-0.005
-0.01
SAP2000
PLANT
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
Tiempo (seg)
Desplazamiento del tercer piso del marco plano con el terremoto de Valparaíso
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
Desplazamiento (m)
0.015
0.01
0.005
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0.005
-0.01
SAP2000
PLANT
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
Tiempo (seg)
61
6.3.
Estructura tridimensional de un piso con aislación basal.
Se calculó el comportamiento de una estructura tridimensional de un piso, compuesta de
cuatro pilares de acero A42-27ES del tipo HN 30×180 de 3 metros de longitud. En la base y el
techo de la estructura, se colocaron elementos de rigidez infinita para emular losas. Las masas
incluidas en la estructura son de tipo puntual en los vértices de ésta con un valor de 50 KN s2/m.
Bajo la base se colocaron aisladores elastoplásticos tipo LRB con las siguientes propiedades
para la aplicación del modelo de Wen:
1)
Amortiguación viscoelástica Cais : 120 KN·s/m
2)
Rigidez inicial ki : 2000 KN / m
3)
Cuociente α : 0,4
4)
Esfuerzo de fluencia fy : 30 KN
5)
Factor de escala A : 1
6)
Parámetro de forma β : 0,5
7)
Parámetro de forma γ : 0,5
8)
Parámetro de transición n : 2
La solicitaciones aplicadas al sistema en la dirección X fueron:
1)
Aceleración basal a(t ) = 2sen(3π t ) m/s2 , con Δt = 0,01 seg., y 20 segundos de
duración (2000 pasos).
2)
Aceleración basal correspondiente a la componente N-S del terremoto de Northridge
expresada en m/s2, con Δt = 0,02 seg., y 60,24 segundos de duración (3012 pasos).
3)
Aceleración basal correspondiente a la componente N-S del terremoto de Valparaíso
expresada en m/s2, Δt = 0,005 seg., y 54,57 segundos de duración (10914 pasos).
Elemento
rígido
Columna
HN30X180
3m
Z
Aislador
X
a(t)
Y
FIGURA 6.3 Estructura tridimensional con aislación basal.
62
Desplazamiento de la base de la estructura tridimensional con la aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t)
aplicada en la dirección X
0.06
0.04
0.02
Desplazamiento (m)
0
0
5
10
15
20
-0.02
-0.04
SAP2000
PLANT
-0.06
-0.08
-0.1
Tiempo (seg)
Desplazamiento del primer piso de la estructura tridimensional con la aceleración basal a(t)=sen(3*pi*t)
aplicada en la dirección X
0.06
0.04
0.02
Desplazamiento (m)
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.02
-0.04
SAP2000
PLANT
-0.06
-0.08
-0.1
Tiempo (seg)
63
18
20
Desplazamiento de la base de la estructura tridimensional con el terremoto de Northridge aplicado en
la dirección X
0.25
0.20
0.15
Desplazamiento (m)
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
-0.05
SAP2000
PLANT
-0.10
-0.15
-0.20
Tiempo (seg)
Desplazamiento del primer piso de la estructura tridimensional con el terremoto de Northridge aplicado
en la dirección X
0.25
0.20
0.15
Desplazamiento (m)
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-0.05
SAP2000
PLANT
-0.10
-0.15
-0.20
Tiempo (seg)
64
55
60
Desplazamiento de la base de la estructura tridimensional con el terremoto de Valparaíso aplicado en la
dirección X
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
Desplazamiento (m)
0.010
0.005
0.000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-0.005
-0.010
SAP2000
PLANT
-0.015
-0.020
-0.025
-0.030
Tiempo (seg)
Desplazamiento del primer piso de la estructura tridimensional con el terremoto de Valparaíso aplicado
en la dirección X
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
Desplazamiento (m)
0.01
0.005
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0.005
-0.01
SAP2000
PLANT
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
Tiempo (seg)
65
50
55
CAPÍTULO VII : CONCLUSIONES
El programa PLANT ha sido diseñado mediante algoritmos que equilibran las
solicitaciones externas con fuerzas de reacción calculadas por integración de las secciones,
todo ello mediante el tratamiento de las fuerzas residuales a través de la energía potencial
involucrada. Este principio ha permitido la implementación del modelo de Wen como un vector
adicional calculado mediante algoritmos y agregado al vector de fuerzas de reacción en los
grados de libertad correspondientes.
Como lo han afirmado diferentes autores, el modelo de Wen permite la representación
de una amplia gama de comportamientos elastoplásticos a través del tiempo. El programa
SAP2000 posee una versión de este modelo cuyos parámetros de forma A, β y γ vienen ya
fijados, lo cual es una desventaja desde el punto de vista de la caracterización de un aislador,
pues el verdadero potencial de este modelo radica precisamente en la variabilidad que estos
parámetros le otorgan, como se explicó en el Párrafo 5.1. La ecuación diferencial de Wen ha
demostrado ser también una expresión muy flexible, pues es posible obtener tanto versiones en
función de la velocidad o del desplazamiento, sin diferencias en los resultados obtenidos en
cada caso.
Los resultados obtenidos con el programa PLANT para el cálculo de estructuras con
aislación basal no presentaron diferencias significativas de los producidos con SAP2000 con las
mismas estructuras y solicitaciones. Cabe señalar que PLANT utiliza el método de Newmark
para calcular la integración en el paso de tiempo, pero en los manuales de SAP2000 no está
especificado cuál es el método aplicado. Con respecto a la posible plastificación de la estructura
montada sobre aisladores, PLANT no registró en ninguno de los elementos algún tipo de
fluencia, lo que ratificaría la ventaja de la aislación basal para la protección de la estructura. Sin
embargo, se debe tener presente que PLANT fue diseñado para detectar plasticidad provocada
por esfuerzos de flexión y no de corte, y son precisamente éstos últimos los que provocan
mayores daños en las estructuras sometidas a sismos. Esto último se debe más que nada a la
dificultad que ha representado hasta ahora el modelar los mecanismos de falla referidos al
corte, por lo que tampoco han sido incluidos en este programa.
Los cálculos de PLANT con la estructura tridimensional de un piso con aislación de base
sólo pudieron ser ejecutados con una aceleración basal en la dirección global X, pues al
introducir una aceleración basal en la dirección global Y, el programa experimentaba problemas
de convergencia y de overflow. Más tarde se comprobó que dicho problema se presentaba
también en estructuras tridimensionales sin aislación. Este hecho imposibilitó la comprobación
de la efectividad del programa en terremotos aplicados en ambas direcciones.
66
RESUMEN
La presente tesis fue realizada en la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la
Universidad Austral de Chile, en el período comprendido entre abril de 2000 y marzo de 2002.
Su objetivo principal fue la implementación de un modelo matemático que simulara el
comportamiento de un aislador sísmico pasivo en el programa de cálculo estructural PLANT, el
cual fue creado en 1980 en el Lehrstühl für Stahlbau de Aachen (Alemania). La principal
característica de este programa es su capacidad de realizar cálculos considerando la
plastificación de las secciones sometidas a grandes deformaciones.
Primeramente, se expone la teoría aplicada en el programa para el cálculo de
estructuras sometidas a grandes deformaciones y el sistema utilizado para la optimización de
los resultados. También se exponen los diferentes modelos matemáticos de aislación sísmica, y
se incluye una reseña de los programas estructurales existentes en el mercado.
En la elección del modelo matemático de aislación incorporado en PLANT, se optó por el
modelo de Wen, debido a la versatilidad de éste para representar diversas variedades de
comportamiento elástico o elastoplástico. Otra razón importante fue que este modelo también
está incorporado en el programa de cálculo estructural SAP2000, el cual sirvió para la
verificación de los resultados obtenidos.
La parte experimental fue realizada simultáneamente con los programas PLANT y
SAP2000. Se analizaron tres tipos de estructuras: un dispositivo aislador solo, un marco plano
de tres pisos hecho de acero y con aislación de base, y una estructura tridimensional de un piso
hecha de acero y con aislación de base. Las solicitaciones aplicadas fueron aceleraciones
basales correspondientes a una función sinusoidal, el terremoto de Northridge y el terremoto de
Valparaíso.
En todos los resultados obtenidos con los ejemplos anteriores, la diferencia entre ambos
programas no resultó significativa. El programa PLANT no acusó la plastificación de ninguno de
los elementos de acero de la estructura montada sobre aisladores, sin embargo se debe tener
presente que PLANT está diseñado para considerar la plastificación de una sección debida a
esfuerzos de flexión solamente, no incluyendo los esfuerzos de corte, que son precisamente los
que producen los mayores daños estructurales durante un terremoto.
67
SUMMARY
The present thesis was carried out at the Faculty of Sciences of the Engineering of the
Universidad Austral de Chile, between April of 2000 to March of 2002. Its main goal was the
addition of a mathematical model that simulates the behavior of a passive seismic insolator on
the program of structural analysis PLANT, which was created in 1980 at the Lehrstühl für
Stahlbau of Aachen (Germany). The main feature of this program is its capacity to carry out
analysis considering the plastification of a frame section bearing large deformations.
At the first place, the theory applied in the program for the calculation of structures
subjected to large deformations and the system used for the improvement of the results are
stated. The several mathematical models of seismic isolation are also stated, and a review of the
another commercial programs for structural analysis is included.
In the selection of the mathematical model of isolation to be added in PLANT, it was
choosed the Wen’s model, due to its versatility in order to represent many elastic or elastoplastic
behaviors. Another important reason was that this model is also incorporate in the program of
structural analysis SAP2000, which it was used for the verification of the obtained results.
The experimental stage was carried out simultaneously with the programs PLANT and
SAP2000. Three kinds of structures were analyzed: a single insolation device, a three - storied
steel plane frame with base isolation, and a three-dimensional single - story steel structure with
base isolation. Basal accelerations corresponding to a sinusoidal function, the earthquake of
Northridge and the earthquake of Valparaíso were applied.
In all the results obtained with the previous examples, the difference between both
programs was not significant. PLANT didn't accuse the yielding of any of the steel members of
the structure over the insolators, however it should keep in mind that PLANT was designed in
order to consider yielding due to flextion only, not including the shear stresses, in fact those
shear stresses produce the major structural damages during an earthquake.
68
BIBLIOGRAFÍA
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código para el análisis y diseño de edificios con aislación sísmica. Santiago, Grupo de
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69
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of applied mechanics ASME. Marzo 47: 150-154.
70
ANEXO A : Diagrama de Flujo para la Subrutina DYNAM
Label 63
Ingreso de
datos iniciales
ANF - ANFWE
Valores iniciales y variables de
la subrutina quedan en cero
LASTVE
Formación del vector de cargas externas.
Los valores se graban.en el registro LAST.
Si las fuerzas son nulas, Go to 8
LAS11
Definición del estado de carga
para una posición deformada
previa dada en el vector V. El
resultado es incluído en P
El vector P es almacenado en
los registros LAST y LAST1
MATRIX
Formación del la matriz de
rigidez global de la estructura
(matriz AA)
CHOL
La matriz AA es reordenada en
bloques triangulares que quedan
grabados como línea en el registro INE
Label 21
Lee el registro de las fuerzas externas
(LAST) con el vector V
CHOL2
Resuelve el sistema AA * V = P . El resultado
corresponde al vector de deformaciones y
queda almacenado finalmente en V
1
71
1
Escribe V en el registro IPE, luego lee
el registro ISUM con el vector W
Label 10001
Hace P = 0 y agrega el vector
V al vector W (deformaciones)
NO
N(9) < 10
LAGEN
Aplica transformaciones
geométricas para grandes
deformaciones
SI
LASTVE
Formación del vector de cargas
externas. Los valores se graban
en el registro LAST
FEHLG
Calcula los esfuerzos internos para
las deformaciones dadas. Se
obtiene en P las fuerzas residuales
NO
(no converge)
N(25) = 1
Escribe P en el
registro LAST
SI
(converge)
Label 8
Lee del archivo con la
información del terremoto:
número de pasos, duración
del paso, factor de
amplificación
NARCOS
Remueve las fuerzas y
desplazamientos residuales
de las reacciones calculadas
elásticamente
MATRIX
Formación del la matriz de rigidez
global de la estructura (matriz AA)
Go to 21
MATDYN
Agrega el efecto dinámico adicional
a la matriz de rigidez AA
2
72
2
CHOL
La matriz AA es reordenada en
bloques triangulares que quedan
grabados como línea en el registro INE
Label 41
Lee del archivo con la
información del terremoto:
tiempo, aceleración basal en
la dirección X, aceleración
basal en la dirección Y
Ciclo DO 131: Hace nulos
los vectores P y Q
PDACH
Escribe en Q el vector de carga
dinámico:
⎡ 4m
⎤
Q = m ⋅ abasal + ⎢
+ C ⎥V&t + m ⋅ V&&t
Δ
t
⎣
⎦
Escribe Q en el registro NORM
y lee V del registro ISUM
Ciclo DO 1000 (para cada barra):
- DEHN: Reacciones elásticas (R) debido a
deformaciones (V)
- SPANG: A partir de las deformaciones en
cada barra, integra en las secciones para
calcular reacciones internas, tomando en
cuenta la elastoplasticidad
- LAS: Crea vector de reacciones internas
(P) para toda la estructura en base a
lo calculado en SPANG
LAS11
Definición del estado de carga
para una posición deformada
previa dada en el vector V. El
resultado es incluído en P
3
73
3
Label 121
Vector Q igual a las fuerzas de
reacción estáticas (P) más los
esfuerzos dinámicos calculados en
PDACH
Hace DELV = 0, luego escribe Q en
los registros LAST y LAST1
Label 31
Lee el registro LAST con el vector V
y lo escribe en el registro LAST1
CHOL2
Resuelve el sistema AA * V = P . El resultado
corresponde al vector de deformaciones y
queda almacenado finalmente en V
Escribe el vector V en el registro
IPE, y lee ISUM con el vector W
Label 123
Al vector W le agrega V
Ciclo DO 143: Genera vector DELV:
DELV = W - AUSL
(AUSL: vector desplazamiento de las masas
concentradas en el paso anterior)
Escribe el vector W
en el registro ISUM
NO
N(9) < 10
SI
4
74
LAGEN
Aplica transformaciones
geométricas para grandes
deformaciones
4
Label 35
Ciclo DO 52 (para cada barra):
- DEHN: Reacciones elásticas (R) debido a
deformaciones (V)
- SPANG: A partir de las deformaciones en
cada barra, integra en las secciones para
calcular reacciones internas, tomando en
cuenta la elastoplasticidad
- LAS: Crea vector de reacciones internas
(P) para toda la estructura en base a
lo calculado en SPANG
LAS11
Definición del estado de carga
para una posición deformada
previa dada en el vector V. El
resultado es incluído en P
Lee NORM con el vector Q
Ciclo DO 145: Agrega al vector P el
efecto dinámico
⎡4⋅m 2⋅C ⎤
P = P+⎢ 2 +
⎥ ⋅ DELV
Δt ⎦
⎣ Δt
Ciclo DO 53: Genera:
CA = Σ (Pi · Wi)
CB = Σ (Qi · Wi)
Pi = Pi + Qi
Label 125
A1 = Σ (Pi2)
C1 = Σ (Wi2)
Pi : vector fuerzas residuales
A1 : módulo fuerzas residuales
C1 : módulo desplazamiento
CN1 = CA / CB
5
75
5
SI
Go to 301
Nº Iteración < 2
NO
SI
A1 (i - 1) > A1 (i)
Go to 301
NO
CN1 (i - 1) > 1
y
CN1 (i) > 1
SI
Go to 302
NO
CN1 (i - 1) < 1
y
CN1 (i) < 1
SI
Go to 303
NO
SI
Go to 305
CN1 (i - 1) > 1
NO
CC1 = 1 - CN (i - 1)
CC2 = CN (i) - 1
SI
CC1 > CC2
NO
Go to 304
6
76
Go to 301
6
SI
Label 303
Go to 304
CN1 (i) < CN1(i - 1)
NO
Go to 301
Label 305
CC1 = CN (i - 1) - 1
CC2 = 1 - CN (i)
SI
CC1 > CC2
Go to 301
NO
Go to 304
SI
Label 302
CN1 (i - 1) > CN1(i)
NO
Label 304
- Graba RW en ISUM y RP en LAST
- Contador de iteraciones a cero
(N(24) = 0)
Go to 31
Label 301
- Respalda CN1, A1 y C1
para el siguiente paso
- Hace N(25) = 1
Ciclo DO 33:
- Hace RP = P y RW = W
- Si P > CN(3) ⇒ N(25) = 0
(CN(3): tolerancia)
7
77
Go to 301
7
SI
(converge)
N(25) = 1
Go to 43
NO
(no converge)
Escribe P en el
registro LAST
Nº Iteración ≤ 15
SI
NO
Contador de Iteraciones
a cero (N(24) = 0)
Go to 31
NARCOS
Remueve las fuerzas y
desplazamientos residuales de las
reacciones calculadas elásticamente
Label 73
Go to 31
Label 43
Lee el registro ISUM
con el vector V
NEUWE
Calcula y escribe en el archivo de salida:
desplazamiento, velocidad y aceleración de
los puntos con las masas concentradas
UMS
Reinicia los registros LGA y LGN
8
78
Go to 73
8
SI
Nueva acel. basal
NO
END
79
Go to 41
ANEXO B: Entrada de datos para cálculos dinámicos con PLANT
1) Constantes del sistema:
NS, NP, NT, N6, N9, IEIN, N88, N8, N7
(Formato FORTRAN: 6I5, I2, I3, I5)
NS :
Cantidad de barras.
NP :
Cantidad de puntos.
NT :
Cantidad de secciones transversales.
N6 :
Cantidad de nudos cargados.
N9 :
Forma de cálculo:
N9 = 1 : Cálculo elasto - plástico con teoría de segundo orden.
IEIN : Sistema para determinar las secciones transversales.
IEIN = 1 : Las secciones transversales se determinan por medio de láminas.
N88 : Cantidad de propiedades para deslizamiento de holguras.
N8 :
Cantidad de líneas características para la relación fuerza axial - deformación.
N7 :
Tipo de cálculo:
N7 = 10 : Análisis dinámico de historial de tiempo (método de Newmark).
2) Descripción de los nudos:
X, Y, Z, ϕw, ϕx, ϕy, ϕz, u, v, w
(Formato FORTRAN: 3F10.0, 7I1)
X:
Coordenada global X del nudo (m).
Y:
Coordenada global Y del nudo (m).
Z:
Coordenada global Z del nudo (m).
ϕw :
Alabeo.
ϕx :
Rotación en torno a X.
ϕy :
Rotación en torno a Y.
ϕz :
Rotación en torno a Z.
u:
Desplazamiento en la dirección X.
v:
Desplazamiento en la dirección Y.
w:
Desplazamiento en la dirección Z.
(Para ϕw, ϕx, ϕy, ϕz, u, v, w : 0 es libre y 1 es bloqueado)
80
3) Descripción de las secciones (IEIN = 1):
E, G, SFL, ym, zm, FD
(Formato FORTRAN: 6F10.3)
E:
Módulo de elasticidad (KN/m2).
G:
Módulo de corte (KN/m2).
SFL : Esfuerzo de fluencia (KN/cm2).
ym :
Distancia entre el centro de gravedad y el centro de corte en la dirección local Y
(cm).
zm :
Distancia entre el centro de gravedad y el centro de corte en la dirección local Z
(cm).
FD :
Área interna para secciones tipo cajón (cm2).
t, yi, zi, wi, yk, zk, wk, σei, σek
(Formato FORTRAN: F6.1, 2F9.2, F10.2, 2F9.2, F10.2, 2F8.3, una línea por lámina)
t:
Espesor de la lámina (cm).
yi :
Coordenada local Y del extremo i (cm)
zi :
Coordenada local Z del extremo i (cm)
wi :
Ordenada de alabeo del extremo i (cm2)
yk :
Coordenada local Y del extremo k (cm)
zk :
Coordenada local Z del extremo k (cm)
wk :
Ordenada de alabeo del extremo k (cm2)
σei :
Tensión residual en el extremo i (KN/cm2)
σek :
Tensión residual en el extremo k (KN/cm2)
La descripción de la sección se termina con una línea en blanco.
4) Descripción de los elementos:
M, N, LM, LN, QTYP, ITYP, KTYP, GAMMA
(Formato FORTRAN: BZ, 2I3, 2I1, 3.I2, F10.0)
M:
Número del nudo inicial.
N:
Número del nudo final.
LM :
Condición de unión del nudo inicial.
LN :
Condición de unión del nudo final.
81
LM, LN = 0 : No hay transmisión de momentos Mx, My o Mz
LM, LN = 1 : Sí hay transmisión de momentos Mx, My o Mz
QTYP : Número de la sección transversal.
ITYP : Determinación de los esfuerzos internos.
ITYP = 0 : Integración del esfuerzo en las secciones.
ITYP = 1 : Deslizamiento de holguras.
ITYP = 2 : Líneas características.
KTYP : Número de la propiedad de deslizamiento o la línea característica
(sólo si ITYP = 1 o 2).
GAMMA : Ángulo de rotación en torno al eje local X (grados)
5) Descripción de las cargas:
NR, LSTF
(Formato FORTRAN: 2I5)
NR :
Número del nudo cargado.
LSTF : Factor de carga.
LSTF = 1 : Las cargas van multiplicadas por el factor actual de carga.
LSTF = 0 : Las cargas permanecen constantes durante todo el análisis.
LSTF = -1 : Las cargas sirven para perturbar el sistema durante la primera
iteración solamente.
LSTF = -2 : Las cargas sirven para el cálculo de vectores y valores propios.
Mx, My, Mz, Vx, Vy, Vz
(Formato FORTRAN: 6F10.2)
Mx :
Momento en torno al eje global X (KN·m).
My :
Momento en torno al eje global Y (KN·m).
Mz :
Momento en torno al eje global Z (KN·m).
Vx :
Fuerza en dirección global X (KN).
Vy :
Fuerza en dirección global Y (KN).
Vz :
Fuerza en dirección global Z (KN).
82
xp, yp, zp
(Formato FORTRAN: 3F10.2)
xp :
Excentricidad de la carga en la dirección global X (m)
yp :
Excentricidad de la carga en la dirección global Y (m)
zp :
Excentricidad de la carga en la dirección global Z (m)
6) Constantes para modificación del análisis:
CN(1), CN(2), CN(3), CN(4), ITMAX
(Formato FORTRAN: BZ, 4F10.3, I5)
CN(1) : Factor de carga inicial.
CN(2) : Factor de aumento de carga.
CN(3) : Valor límite tolerable del módulo de las fuerzas residuales.
CN(4) : Valor límite tolerable del factor de carga.
ITMAX : Número máximo de iteraciones en el estado de equilibrio (opcional)
7) Parámetros para el análisis dinámico:
KF, SM, C(1), C(2), NW
(Formato FORTRAN: I5, 3F10.6, I5)
KF :
Número del nudo con la masa asociada.
SM :
Valor de la masa asociada al nudo (KN·s2/m).
C(1) : Amortiguación viscoelástica en la dirección global X (KN·s/m).
C(2) : Amortiguación viscoelástica en la dirección global Y (KN·s/m).
NW :
Control para el modelo de Wen.
NW = 0 : Sin modelo de Wen.
NW = 1 : Con modelo de Wen.
Los parámetros dinámicos se terminan con una línea en blanco.
83
8) Parámetros para el modelo de Wen (requeridos sólo si se especificó un NW =1 en el bloque
anterior):
FYW, SKI, AWE, ALF, BET, GAM, NEX
(Formato FORTRAN: 6F10.3, I5)
FYW : Fuerza de fluencia (KN).
SKI :
Rigidez inicial (KN/m).
AWE : Parámetro de escala A del modelo de Wen.
ALF : Cuociente α entre la rigidez final e inicial.
BET : Parámetro de forma β del modelo de Wen.
GAM : Parámetro de forma γ del modelo de Wen.
NEX : Exponente N para la suavidad de transición.
84
ANEXO C: Input de los ejemplos del Capítulo VI en formato de PLANT
1) Ejemplo 1: Aislador solo.
Aislador solo
*El aislador es la barra horizontal; las masas van en KN*seg^2/m
1
2
1
1
1
1 0 0
10
0.0
0.0
0.0
1111111
1.0
0.0
0.0
1111011
2.000
0.000 999999.
0.
0.
10.0
0.0
-5.0
0.0
0.0
5.0
0.0
1
211 1
1
0
0.00
0.00
1.000
0 0 0 0
0 0 0 0
2 100.
20.000
0.0
0.0000
0.00
0.00
1.000
0 0 0
0 0 0
100.0
2000.000
0
0
0.00
0.00
.001
0 0
0 0
0.0
1.000
0.00
0.00
0.0
10.00
1
0.100
.500
0.500
2
2) Ejemplo 2: Marco plano con aislación basal.
Marco plano de tres pisos con aisladores en la base, con límite plástico
* Las columnas son HN300X180
* fy=2700 kg/cm2 => 26476.2 kN/cm2
*
70
68
3
1
1
1 0 0
10
-1.0
0.0
0.0
1111111 1
0.0
0.0
0.0
1111011 2
0.0
0.0
-0.3
1101010 3
0.0
0.0
-0.6
1101010 4
0.0
0.0
-0.9
1101010 5
0.0
0.0
-1.2
1101010 6
0.0
0.0
-1.5
1101010 7
0.0
0.0
-1.8
1101010 8
0.0
0.0
-2.1
1101010 9
0.0
0.0
-2.4
1101010 10
0.0
0.0
-2.7
1101010 11
0.0
0.0
-3.0
1111010 12
0.0
0.0
-3.3
1101010 13
0.0
0.0
-3.6
1101010 14
0.0
0.0
-3.9
1101010 15
0.0
0.0
-4.2
1101010 16
0.0
0.0
-4.5
1101010 17
0.0
0.0
-4.8
1101010 18
0.0
0.0
-5.1
1101010 19
0.0
0.0
-5.4
1101010 20
0.0
0.0
-5.7
1101010 21
0.0
0.0
-6.0
1111010 22
0.0
0.0
-6.3
1101010 23
0.0
0.0
-6.6
1101010 24
0.0
0.0
-6.9
1101010 25
0.0
0.0
-7.2
1101010 26
0.0
0.0
-7.5
1101010 27
0.0
0.0
-7.8
1101010 28
0.0
0.0
-8.1
1101010 29
0.0
0.0
-8.4
1101010 30
85
0.0
0.0
0.0
1.5
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
1.5
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
1.5
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
3.0
4.0
1.5
21000.0
3.2
1.6
3.2
0.0
-8.7
1101010
0.0
-9.0
1111010
0.0
-9.0
1111010
0.0
-9.0
1111010
0.0
-8.7
1101010
0.0
-8.4
1101010
0.0
-8.1
1101010
0.0
-7.8
1101010
0.0
-7.5
1101010
0.0
-7.2
1101010
0.0
-6.9
1101010
0.0
-6.6
1101010
0.0
-6.3
1101010
0.0
-6.0
1111010
0.0
-6.0
1111010
0.0
-5.7
1101010
0.0
-5.4
1101010
0.0
-5.1
1101010
0.0
-4.8
1101010
0.0
-4.5
1101010
0.0
-4.2
1101010
0.0
-3.9
1101010
0.0
-3.6
1101010
0.0
-3.3
1101010
0.0
-3.0
1111010
0.0
-3.0
1111010
0.0
-2.7
1101010
0.0
-2.4
1101010
0.0
-2.1
1101010
0.0
-1.8
1101010
0.0
-1.5
1101010
0.0
-1.2
1101010
0.0
-0.9
1101010
0.0
-0.6
1101010
0.0
-0.3
1101010
0.0
0.0
1111011
0.0
0.0
1111111
0.0
0.0
1111011
7980.0
26476.2
0.
-15.0
-13.4
201.0
0.0
-13.4
0.0
-15.0
13.4
-201.0
9999.99
200.0
9999.99 99999.
0.0 -100.00
0.0
10.00
10.0
0.00 99999.
0.0
-5.00
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
211
311
411
511
611
711
811
911
1011
1111
1211
1311
1411
1511
1611
1711
1811
1911
2011
2111
2211
2311
2411
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
15.0
0.0
15.0
0.
-13.4
13.4
13.4
0.0
0.
100.00
0.
0.
201.0
0.0
201.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
86
5.00
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
44
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
55
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
66
68
2511 1
2611 1
2711 1
2811 1
2911 1
3011 1
3111 1
3211 1
3311 2
3411 2
3511 1
3611 1
3711 1
3811 1
3911 1
4011 1
4111 1
4211 1
4311 1
4411 1
4511 2
2211 2
4611 1
4711 1
4811 1
4911 1
5011 1
5111 1
5211 1
5311 1
5411 1
5511 1
5611 2
1211 2
5711 1
5811 1
5911 1
6011 1
6111 1
6211 1
6311 1
6411 1
6511 1
6611 1
6711 3
6811 2
211 2
1
0
0.00
0.00
1.000
0 0 0 0
0 0 0 0
2 20.00
12 20.00
22 20.00
32 20.00
34 20.00
44 20.00
55 20.00
66 20.00
20.000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
0.00
0.00
0.00
0.00
1.000
.0001
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
100.00
0.0
0.00
0.0
0.00
0.0
0.00
0.0
0.00
0.0
0.00
0.0
0.00
0.0
100.00
0.0
2000.00
1.000
0.00
0.00
0.0
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0
0
0
0
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2
3) Ejemplo 3: Estructura tridimensional de un piso con aislación basal.
Estructura tridimensional simple: base y un piso, con l¡mite pl stico
* Columnas son HN300X180
*
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