Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Programación Lineal
I.T. Informática de Gestión
Universidad Carlos III de Madrid
Curso 2009/2010
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta
Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la crı́a de pollos
una dieta mı́nima para la alimentación de las aves consistente en
3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas. El granjero tiene la
posibilidad de mezclar tres alimentos distintos: maı́z, harina de
pescado y pienso sintético. Cada kilo de maı́z proporciona
2.5 unidades de hierro y 1 unidad de vitaminas, cada kilo de harina
de pescado da 3 unidades de hierro y 3 unidades de vitaminas y
cada kilo de pienso sintético 1 unidad de hierro y 2 unidades de
vitaminas.
El granjero se pregunta por la composición de la dieta que,
satisfaciendo las necesidades alimenticias, minimice el coste total.
Los precios por kilo de maı́z, harina y pienso son, respectivamente,
0.3, 0.5 y 0.2 euros.
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta (Solución)
Maı́z
Harina
Pienso
Hierro (u/kg)
2.5
3
1
Vitaminas (u/kg)
1
3
2
Variables de decisión:
x1
x2
x3
=
=
=
“kilos de maı́z”,
“kilos de harina”,
“kilos de pienso”.
Programación Lineal
Coste (e/kg)
0.3
0.5
0.2
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta (Solución)
Maı́z
Harina
Pienso
Hierro (u/kg)
2.5
3
1
Vitaminas (u/kg)
1
3
2
Variables de decisión:
x1
x2
x3
=
=
=
“kilos de maı́z”,
“kilos de harina”,
“kilos de pienso”.
Programación Lineal
Coste (e/kg)
0.3
0.5
0.2
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta (Solución)
Se satisface el nivel de hierro mı́nimo:
2.5x1 + 3x2 + x3 ≥ 3.
Se satisface el nivel de vitaminas mı́nimo:
x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 4.
Función objetivo:
0.3x1 + 0.5x2 + 0.2x3 .
Variables positivas:
x1 , x2 , x3 ≥ 0.
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta (Solución)
Se satisface el nivel de hierro mı́nimo:
2.5x1 + 3x2 + x3 ≥ 3.
Se satisface el nivel de vitaminas mı́nimo:
x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 4.
Función objetivo:
0.3x1 + 0.5x2 + 0.2x3 .
Variables positivas:
x1 , x2 , x3 ≥ 0.
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta (Solución)
Se satisface el nivel de hierro mı́nimo:
2.5x1 + 3x2 + x3 ≥ 3.
Se satisface el nivel de vitaminas mı́nimo:
x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 4.
Función objetivo:
0.3x1 + 0.5x2 + 0.2x3 .
Variables positivas:
x1 , x2 , x3 ≥ 0.
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta (Solución)
Se satisface el nivel de hierro mı́nimo:
2.5x1 + 3x2 + x3 ≥ 3.
Se satisface el nivel de vitaminas mı́nimo:
x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 4.
Función objetivo:
0.3x1 + 0.5x2 + 0.2x3 .
Variables positivas:
x1 , x2 , x3 ≥ 0.
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
El problema de la dieta (Solución)
El modelo que se busca es:
Min.
0.3x1 + 0.5x2 + 0.2x3
s.a
2.5x1 + 3x2 + x3 ≥ 3,
x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 4,
x1 , x2 , x3
≥ 0.
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción
Una empresa de compuestos quı́micos puede elaborar dos
productos, A y B, a partir de la combinación de tres tipos de
elementos: hierro, plomo y estaño. Dada la siguiente tabla de
requerimientos y beneficios, formula el modelo que maximiza el
beneficio de la producción.
Recursos
Hierro
Plomo
Estaño
Beneficio unitario
Unidades de recurso necesarias
por kilo de producto fabricado
Producto A
Producto B
7
4
3
5
4
3
10
8
Programación Lineal
Unidades
de recurso
disponibles
56
45
48
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción (Solución)
Variables de decisión:
x1
x2
=
=
“kilos de producto A”,
“kilos de producto B”.
Función objetivo:
10x1 + 8x2 .
Restricción para el lı́mite de hierro:
7x1 + 4x2 ≤ 56.
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción (Solución)
Variables de decisión:
x1
x2
=
=
“kilos de producto A”,
“kilos de producto B”.
Función objetivo:
10x1 + 8x2 .
Restricción para el lı́mite de hierro:
7x1 + 4x2 ≤ 56.
Programación Lineal
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción (Solución)
Variables de decisión:
x1
x2
=
=
“kilos de producto A”,
“kilos de producto B”.
Función objetivo:
10x1 + 8x2 .
Restricción para el lı́mite de hierro:
7x1 + 4x2 ≤ 56.
Programación Lineal
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción (Solución)
Restricción para el lı́mite de plomo:
3x1 + 5x2 ≤ 45.
Restricción para el lı́mite de estaño:
4x1 + 3x2 ≤ 48.
Positividad de las variables:
x1 , x2 ≥ 0.
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción (Solución)
Restricción para el lı́mite de plomo:
3x1 + 5x2 ≤ 45.
Restricción para el lı́mite de estaño:
4x1 + 3x2 ≤ 48.
Positividad de las variables:
x1 , x2 ≥ 0.
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción (Solución)
Restricción para el lı́mite de plomo:
3x1 + 5x2 ≤ 45.
Restricción para el lı́mite de estaño:
4x1 + 3x2 ≤ 48.
Positividad de las variables:
x1 , x2 ≥ 0.
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Ejemplo 1: el problema de la dieta
Ejemplo 2: planificación de la producción
Planificación de la producción (Solución)
El modelo es:
Max.
10x1 + 8x2
7x1 + 4x2 ≤
s.a
3x1 + 5x2 ≤
4x1 + 3x 2 ≤
x1 , x2
≥
56,
45,
58,
0.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
Resuelve gráficamente el siguiente problema:
Max.
5x1 + 3x2
s.a
x
+
x2
≤ 7,
1
3x1 + 4x2 ≤ 24,
x2
≤ 5,
−6x
+
x
1,
1
2 ≤
x1 , x2
≥ 0.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
3
2
1
x1 ≥ 0
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
x2 ≥ 0
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
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8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
(0, 7)
6
5
4
x1 + x2 ≤ 7
3
2
1
(7, 0)
1
2
3
4
5
6
7
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8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
(0, 6)
5
4
(4, 3)
3
3x1 + 4x2 ≤ 24
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
(0, 6)
5
4
(4, 3)
3
3x1 + 4x2 ≤ 24
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
4
,5
3
x2 ≤ 5
(0, 5)
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
4
,5
3
x2 ≤ 5
(0, 5)
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
2
,5
3
4
3
2
1
−6x1 + x2 ≤ 1
(0, 1)
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
2
,5
3
4
3
2
1
−6x1 + x2 ≤ 1
(0, 1)
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
Formulación de problemas
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La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
+
3x 2
2
5x 1
3
=
10
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
5x 1
+
+
3x 2
3x 2
2
5x 1
3
=
=
1
2
20
10
1
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
4
=
=
3
4
50
20
10
2
3x 2
3x 2
=
1
+
+
3x 2
1
5x 1
5x 1
+
2
5x 1
3
5
6
7
Programación Lineal
8
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
7
6
5
z∗ = 35
4
5x 1
3x 2
=
5
6
7
Programación Lineal
50
4
35
20
3
+
=
=
10
2
3x 2
3x 2
=
1
+
+
3x 2
1
5x 1
5x 1
+
2
5x 1
3
8
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 2
Resuelve gráficamente el siguiente problema:
Max.
−x1 + 2x2
s.a
x
+
x2
≤ 7,
1
3x1 + 4x2 ≤ 24,
x2
≤ 5,
−6x
+
x
1,
1
2 ≤
x1 , x2
≥ 0.
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 2
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 2
7
6
x1
−
+2
x
=
2
28
3
5
4
3
z∗ =
2
28
3
1
1
2
3
4
5
6
7
Programación Lineal
8
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 3
Resuelve gráficamente el siguiente problema:
Min.
−x1 − x2
s.a
2x
≤ 6,
1 + x2
x1 + 2x2 ≤ 7,
−x
1 + 2x2 ≤ 6,
x1 , x2
≥ 0.
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 3
5
4
3
2
1
1
2
3
4
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 3
5
z∗ = − 13
3
− (x∗ , x∗ ) = 5 , 8
x1
1
2
3 3
4
3
−
2
x2
=
−
3
1
1
2
3
13
4
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
Resuelve el siguiente problema:
Max.
5x1 + 3x2
s.a
x
+
x2
≤ 7,
1
3x1 + 4x2 ≤ 24,
x2
≤ 5,
−6x
+
x
1,
1
2 ≤
x1 , x2
≥ 0.
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
Formulamos el problema en formato estándar:
max.
5x1 + 3x2
s.a
x
+x2 +x3
1
3x1 +4x2
+x4
x2
+x5
−6x
+x
+x6
1
2
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6
Programación Lineal
= 7,
= 24,
= 5,
= 1,
≥ 0.
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x3 0
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
3
0
-6
-5
↑
1
4
1
1
-3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
24
5
1
0
mı́n{−5, −3} = −5.
mı́n
7 24
,
1 3
= 7.
Programación Lineal
→
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x3 0
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
3
0
-6
-5
↑
1
4
1
1
-3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
24
5
1
0
mı́n{−5, −3} = −5.
mı́n
7 24
,
1 3
= 7.
Programación Lineal
→
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x3 0
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
3
0
-6
-5
↑
1
4
1
1
-3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
24
5
1
0
mı́n{−5, −3} = −5.
mı́n
7 24
,
1 3
= 7.
Programación Lineal
→
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x3 0
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
3
0
-6
-5
↑
1
4
1
1
-3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
24
5
1
0
mı́n{−5, −3} = −5.
mı́n
7 24
,
1 3
= 7.
Programación Lineal
→
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x3 0
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
3
0
-6
-5
↑
1
4
1
1
-3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
24
5
1
0
mı́n{−5, −3} = −5.
mı́n
7 24
,
1 3
= 7.
Programación Lineal
→
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x3 0
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
3
0
-6
-5
↑
1
4
1
1
-3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
24
5
1
0
mı́n{−5, −3} = −5.
mı́n
7 24
,
1 3
= 7.
Programación Lineal
→
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x3 0
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
3
0
-6
-5
↑
1
4
1
1
-3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
24
5
1
0
mı́n{−5, −3} = −5.
mı́n
7 24
,
1 3
= 7.
Programación Lineal
→
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x1 5
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
0
0
0
0
1
1
1
7
2
1
-3
0
6
5
0
1
0
0
0
x∗1 , x∗2 = (7, 0),
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
3
5
43
35
z∗ = 35.
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x1 5
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
0
0
0
0
1
1
1
7
2
1
-3
0
6
5
0
1
0
0
0
x∗1 , x∗2 = (7, 0),
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
3
5
43
35
z∗ = 35.
Programación Lineal
Formulación de problemas
Resolución gráfica
La tabla del sı́mplex
Ejemplo 1
Ejemplo 1
x1 5
x4 0
x5 0
x6 0
zj − cj
1
0
0
0
0
1
1
1
7
2
1
-3
0
6
5
0
1
0
0
0
x∗1 , x∗2 = (7, 0),
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
7
3
5
43
35
z∗ = 35.
Programación Lineal