Universidad UTE Sede Santo Domingo Ciencias de la Ingeniería e Industrias Ingeniería Electromecánica Docente: Ing. MARCO CUJILEMA Tema: CONICAS Y SUS APLICACIONES Autores: Juan Diego Manzano Mora Fecha de inicio: 25/01/2021 Fecha de entrega: 25/01/2022 ORIGEN DE LAS CONICAS. Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocidísimas cónicas, en un principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus había escrito el primer tratado sobre cónicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que origino esta creación no fue precisamente el de explicar las ´orbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones solo con regla y compas de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles, como son el de la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Durante muchos siglos, las cónicas fueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas. En la elipse encontró Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene ´orbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos (de ahí el nombre dado a estos puntos). En base a este descubrimiento Newton enuncio la famosa ley de la gravitación universal; así el descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia maten ática de dicha ley. También los satélites y los cometas tienen ´orbitas elípticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hipérbolas o parábolas, no volverían a repetir su ciclo. Así mismo, Galileo demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas. APLICACIONES DE LAS CONICAS Se denomina cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en 4 tipos: elipses, circunferencia, parábolas e hipérbolas. TIPOS: En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: β < α: Hipérbola (azul) β = α: Parábola (verde) β > α: Elipse (amarillo) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo) Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: • Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). • Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). • Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano con tenga al eje tenga al eje del cono (β = 0). Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de la gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas. Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación basado en las propiedades de las hipérbolas. 1.- PARABOLA Se define como la curva abierta formada por dos líneas o ramas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos están a la misma distancia del foco y de la directriz. Una gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar. Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal. 2.-ELIPCE Se puede definir como una figura geométrica curva y cerrada, con dos ejes perpendiculares desiguales, que resulta de cortar la superficie de un cono por un plano no perpendicular a su eje, y que tiene la forma de un círculo achatado. Entre las aplicaciones de la elipsis tenemos: las órbitas de planetas, de los cometas y satélites. Además, se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos. Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas. En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica. ORBITAS PLANETARIAS CONSTRUCCIONES ELIPTICAS Dentro de los ejemplos tenemos: Propiedad Óptica: Un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejándose directamente del otro foco. Si usas una linterna (cuyo haz de luz es cónico) y la colocas paralela a una pared, la borde de luz que se ve contra la pared es una perfecta hipérbola. Trayectorias de cometas: Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Arquitectónica: Si tienes un edificio de sección cuadrada o rectangular con un remate o cúpula cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas. Radares: El sistema LORAN utiliza estaciones situadas en puntos conocidos que emiten una señal simultáneamente. Un barco observa el tiempo que pasa entre las señales recibidas de un par de estaciones y determina su posición en una hipérbola, que es una curva de diferencias constantes. El barco hace a continuación lo mismo con otro par de estaciones, y encuentra otra hipérbola en la que está situado. El punto en el que se cruzan las hipérbolas es el lugar en el que está situado el barco TORRE DE CABLES ELECTRICOS: Esta estructura está situado a una altura circunferencia con una torre metálica. De la circunferencia superior se cuelgan unos cables que materializan el hiperboloide y sostienen otra circunferencia también metálica que otros cables terminan de sujetar al suelo. TIPOS DE CONICAS Elipse: intersección del cono y un plano con un ángulo mayor al de la generatriz.Según la 1ª ley de Kepler, descrita por el famoso astrónomo en 1609, las trayectorias de las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elípticas, siendo el Sol uno de sus focos. Parábola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base. Gracias a su forma de parábola, las antenas parabólicas tienen la propiedad de reflejar hacia su foco todos los rayos paralelos de las ondas que recibe. De esta forma puede concentrar toda la señal que recibe su superficie en un solo punto. Hipérbola: intersección del cono con un plano con ángulo menor que la generatriz del cono. Un cometa que es atraído por el Sol desde fuera del Sistema Solar describe una trayectoria hiperbólica, siendo el Sol un foco. Al aproximarse al Sol, saldrá del Sistema Solar describiendo nuevamente una hipérbola. La circunferencia es un caso particular de elipse, donde el plano de corte al cono es paralelo a su base. Las cónicas están muy presentes en nuestro día a día. Las antenas parabólicas, la forma hiperbólica de muchas chimeneas de evaporación de las centrales nucleares y térmicas, la forma circular de los dvds, el telescopio que utiliza las propiedades reflectantes de la parábola, etc. Estas y muchas más son las aplicaciones del increible mundo de las cónicas.
