FFI-lección1-1-r2011

Lección 1
Campo electrostático en el vacío. Conceptos y resultados
fundamentales.
Sumario.
1.
2.
3.
4.
Carga eléctrica. Ley de Coulomb.
1
1.1.
Introducción. Carga eléctrica y distribuciones de carga.
1
1.2.
Ley de Coulomb.
4
Campo eléctrico. Líneas de Campo.
6
2.1.
Campo eléctrico.
6
2.2.
Líneas de campo.
10
Ley de Gauss. Aplicaciones.
13
3.1.
Caracterización vectorial de una superficie.
13
3.2.
Flujo del campo eléctrico.
14
3.3.
Ley de Gauss.
15
3.4.
Cálculo del campo eléctrico mediante la Ley de Gauss
18
Trabajo del campo electrostático. Energía potencia y potencial eléctrico.
24
4.1.
Trabajo de una fuerza.
24
4.2.
Energía potencial electrostática. Potencial eléctrico.
25
4.3.
Campo electrostático y potencial.
28
4.4.
Potencial de una carga puntual.
30
4.5.
Energía potencial de un sistema de cargas.
31
4.6.
Potencial debido a una distribución continua de carga.
32
4.7.
Relaciones de energía en un campo electrostático.
36
5.
Movimiento de partículas cargadas en el seno de un campo eléctrico.
Aplicaciones.
37
6.
Dipolo eléctrico. Momento dipolar. Acción de un campo sobre un dipolo.
43
Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
ii
7.
Ejercicios propuestos.
47
8.
Bibliografía.
51
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano) – DFIS – ULPGC
Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
iii
Introducción
En esta primera lección del curso, se repasan las ideas esenciales relacionadas con
los fenómenos electrostáticos en el vacío. Mostramos cómo la interacción está asociada
a la existencia de la carga, definiéndola como una propiedad escalar de la materia de
carácter invariante conservativo y cuantizada (en el ámbito microscópico). Para
caracterizar los agregados de carga macroscópicos, introducimos el concepto de
distribución de carga lineal, superficial y volumétrica.
Como primer aspecto cuantitativo del tema se enunciará la Ley de Coulomb como
una ley empírica que da cuenta de la interacción entre dos cargas puntuales en reposo. A
continuación se introduce el concepto de campo vectorial y se define el campo
electrostático. Se estudian las características principales del campo eléctrico se
determinará el campo que crean algunas distribuciones discretas y continuas de carga.
Continuando con el estudio de los campos vectoriales, se presenta el concepto de
líneas de campo como una herramienta para representarlos, y se define el concepto de
flujo de un campo vectorial, para a continuación enunciar la Ley de Gauss. Como
aplicación de lo estudiado, se calculará la expresión del campo electrostático creado por
algunas distribuciones de carga sencillas aplicando la Ley de Gauss.
La segunda parte de la lección se dedica a un estudio energético del campo
electrostático destacando el carácter conservativo del campo introduciendo el concepto
de energía potencial y potencial eléctrico. Como aplicación se calculará la expresión del
potencial electrostático creado por algunas distribuciones de carga sencillas.
Para finalizar, se estudiará el movimiento de partículas cargadas en el seno de un
campo electrostático haciendo particular énfasis en el desplazamiento de cargas en un
campo uniforme. También se tratará el caso del dipolo eléctrico definiéndose el vector
momento dipolar y observando como el dipolo tiende a orientarse paralelo al campo
aplicado. Se calcula el momento de fuerzas y, a partir del estudio del trabajo realizado
por el campo eléctrico para girar el dipolo, se determina la energía potencial del mismo.
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
iv
Objetivos específicos
 Conocer las propiedades de la carga eléctrica.
 Comprender las leyes que rigen la interacción entre cargas en reposo.
 Comprender el conceptos de campo y eléctrico y saber aplicarlo para la
resolución de problemas.
 Entender la importancia de la Ley de Gauss como una de las leyes fundamentales
del electromagnetismo.
 Comprender el concepto de energía potencial electrostática y de potencial
eléctrico y saber aplicarlo para la resolución de problemas.
 Saber calcular la expresión del campo electrostático y del potencial, creados por
distribuciones de carga sencillas.
 Conocer la dinámica de las partículas cargadas sometidas a campos eléctricos.
 Conocer el concepto de dipolo eléctrico y su comportamiento ante campo
aplicados.
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
1.-
1
Carga eléctrica. Ley de Coulomb.
1.1.- Introducción. Carga eléctrica y distribuciones de carga.
La electrostática puede definirse como la parte de la física que se dedica al estudio
de la interacción entre cargas eléctricas en reposo1. Resulta conveniente, por tanto,
comenzar definiendo el concepto de carga eléctrica: La carga eléctrica (q) es un
atributo de las partículas fundamentales que la poseen, que las caracteriza en su
interacción electrostática con otras partículas cargadas.
La experiencia demuestra que existen dos tipo de electrización, por lo que hay dos
tipos de carga que llamaremos positiva (+) y negativa (-). La carga neta de un cuerpo es
la suma algebraica de sus cargas (positivas y negativas). Un cuerpo con el mismo
número de carga positivas y negativas (Qneta= 0) se dice que es eléctricamente neutro.
La carga eléctrica tiene las siguientes propiedades:
 Esta cuantizada, es decir en la naturaleza existe una carga mínima que es la carga
del electrón. De esta forma cualquier cantidad de carga será un múltiplo de la carga
del electrón.
 La carga neta de un sistema aislado se conserva. Esto quiere decir que siempre que
en un sistema cerrado se crea una carga positiva debe aparecer, necesariamente otra
negativa para que se cumpla el principio de conservación.
La unidad de
carga eléctrica en el sistema internacional es el Culombio (C).
Expresada en culombios, la carga del electrón vale: qe  1.602 10 -19 C . Además existen
otras unidades de carga menos utilizadas entre las que podemos destacar la unidad
electrostática (UEE) de carga, del sistema cgs. La equivalencia es: 1 C = 3109 UEE.
Evidentemente qe  4.806 10 -10UEE .
Para estudiar el comportamiento de un sistema de cargas en reposo necesitamos saber
cómo están distribuidas en el espacio, para lo que utilizaremos el concepto de
distribución de carga.
1
Es importante la restricción de que las cargas estén en reposo porque cuando se consideran cargas en movimiento aparecen,
además de fenómenos eléctricos, fenómenos magnéticos que complican el problema. Por esto, en esta lección nos restringiremos a
la electrostática, y cuando aparezcan cargas en movimiento supondremos que éste es tan lento que los fenómenos magnéticos
asociados se pueden despreciar.
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
2
Una Distribución discreta de cargas es
aquélla en la que las partículas están netamente
diferenciadas por la existencia de espacios vacíos
entre ellas. Una distribución de este tipo queda
definida mediante las coordenadas de posición
(respecto a un sistema de referencia determinado)
de todas y cada una de las cargas que la integran.
Para calcular la carga neta en una distribución de este tipo simplemente
hacemnos la suma algebráica de todas ellas:
N
Qneta   qi
[1.1]
i 1
Para
tratar
objetos
extensos
(macroscópicos) cargados no podemos utilizar una
distribución
discreta
de
cargas
ya
que
consideramos que los cuerpos están constituidos
por un número tan grande de cargas elementales
que podemos considerarlas un continuo.
Para trabajar con este tipo de distribuciones es necesario descomponer el sistema
de cargas en un número infinito de porciones infinitesimales de carga dq. Es importante
resaltar que una porción elemental se corresponde con un volumen infinitesimal del
objeto extenso pero que contiene un número muy grande de cargas elementales de tal
forma que puede considerarse un continuo cargado que denominaremos distribución
continua de carga. En este tipo de distribuciones la carga total se calcula, también,
sumando todas las cargas infinitesimales mediante una suma continua o integral
extendida a todo el volumen en el que hay cargas:
Q   dq
[1.2]
V
Para caracterizar las distribuciones de carga de este tipo se definen las funciones
de densidad de carga. Según se trate de caracterizar una distribución volumétrica,
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
3
superficial o lineal de carga, definimos, respectivamente, la densidad volumétrica (), la
densidad superficial () y la densidad lineal (), por
  lim
q dq

 Q   dq   dV
V dV
V
V
[1.3]
  lim
q dq

 Q   dq   dS
S dS
S
S
[1.4]
Q dQ

 Q   dq   d
 0 
d


[1.5]
V 0
S 0
  lim
En general estas densidades de carga serán funciones continuas definidas en todo
el espacio y en el caso más general también pueden depender del tiempo. Hay que
resaltar que la magnitud diferencial dV (dS, d) será para nosotros un volumen muy
pequeño a escala macroscópica pero debe ser, a escala microscópica, lo suficientemente
grande para contener un gran número de cargas fundamentales.
Ejercicio 1: Se tiene un disco de radio a cargado con una cierta carga neta en su
superficie. Se sabe que esta carga no está distribuida homogéneamente sobre la
superficie del disco, sino que se distribuye según la siguiente ley:

r

r  a
 r    0  a 

0
r  a
a
r
siendo  0 una constante de valor 10nC/m2, r la distancia
al centro del disco y a el radio de valor 10 cm. Determine
la carga total del disco.
En este ejercicio tenemos que tratar con un objeto que no está cargado
uniformemente y para indicarnos cómo se distribuye la carga en la superficie del disco
se nos proporciona la función densidad superficial de carga.
Analizando la función vemos que la densidad carga crece a medida que nos
alejamos del centro del disco. Tomando los valores límites obtenemos que en origen
r  0  0 y en la periferia r  a    0 . Para comprender mejor el problema, a
veces, resulta útil representar la función densidad tal y como hacemos en la figura
siguiente:
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
4
Como se puede ver, la densidad
aumenta linealmente con la distancia r al
centro del disco (fuera, evidentemente,
es cero). Esto nos indica que la mayor
parte de la carga está situada en la
periferia. Para calcular la carga total,
a=
utilizamos la ec. [1.4]
dq   dS  Q   dq   r  dS
[1.6]
S
Esta es una integral de superficie, pero como hay simetría de revolución, se puede
convertir en una integral de una sola variable si tenemos en cuenta que,
S  r 2 
dS
 2r  dS  2rdr
dr
[1.7]
sustituyendo la función densidad de carga proporcionada en el enunciado en [1.6 ],
2 0 a 2
2 0
r
Q   r dS    0  2rdr 
r dr 

a 0
a
a
S
0
a
a
r3 
2
2
    0 a
 3 0 3
[1.8]
con lo que finalmente, sustituyendo los datos numéricos tenemos que,


2
2
2
Q   0 a 2    10  10 9 C m 2  0.1m  2.09  10 10 C  0.209nC
3
3
[1.9]
1.2.- Ley de Coulomb
Esta Ley fue establecida por Charles Auguste Coulomb (1736-1806) en el año
1785 a partir de datos experimentales obtenidos con una balanza de torsión y expresa la
interacción electrostática entre cargas en reposo. Su enunciado es el siguiente:
La fuerza ejercida entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al
producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa, su dirección es la de la recta que une las cargas, y el sentido depende de los
signos respectivos: de atracción si son de signo opuesto y de repulsión si son del mismo
signo.
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
Matemáticamente
la
fuerza
5
que
experimenta una carga q2 debido a la
presencia de la carga q1 en un sistema de
referencia como el que se muestra en la
figura puede expresarse como:

qq
F12  k 1 2 2 r̂12
r12
[1.10]
 
donde r12  r2  r1 es la distancia entre las dos cargas y k es la Constante de Coulomb
cuyo valor, en el sistema internacional, es:
k = 8.99109 Nm2/C2
esta constante no es universal, y es distinta según la interacción se produzca en el vacío
o en el interior de un medio material, tal y como veremos en capítulos posteriores.
Como se puede deducir de la ecuación [1.10] la Ley de Coulomb tiene las siguientes
características:
 Es atractiva o repulsiva en función de la naturaleza de las cargas que intervienen.
 Es una fuerza central, es decir su dirección pasa siempre por un punto fijo (que se
suele denominar centro de fuerzas).


 Cumple el principio de acción y reacción ( F12   F21 ).
Cuando intervienen más de dos cargas, es necesario complementar la Ley de Coulomb
con el denominado Principio de Superposición Lineal. Según éste, la fuerza
electrostática ejercida por un sistema de cargas sobre otra carga –situada en un punto
cualquiera del espacio–, es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por
cada carga del sistema sobre la carga problema.
Aunque la ley se estableció en condiciones macroscópicas, su aplicación es válida
incluso a nivel microscópico, y así las fuerzas que mantienen unidos átomos y
moléculas son de naturaleza culombiana.
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
2.-
Campo Eléctrico. Líneas de Campo.
2.1-
Campo Eléctrico.
6
Supongamos un conjunto de cargas situado en una región del espacio, tal y como
se ve en la figura.
La fuerza ejercida por este sistema de
cargas (q1, q2, ..) sobre una carga testigo q
es, aplicando la Ley de Coulomb y el
Principio de Superposición,
  kqq

 N q 
kqq
kqq
F   2 1 rˆ1  2 2 rˆ2  2 3 rˆ3  ....  q  k 2i rˆi 
r2
r3
 r1

 i 1 ri 
[1.11]
como se deduce de la ecuación anterior, la fuerza que cada carga q1, q2, ... produce sobre
la carga testigo es proporcional a la magnitud de ésta y, por tanto, la fuerza resultante
también será proporcional a q. Una consecuencia de [1.11] es que el cociente

F  N qi 
   k rˆi 
q  i 1 ri 2 
[1.12]
sólo depende de las cargas que ejercen la fuerza sobre la carga testigo. Este hecho nos
permite asociar a cada punto del espacio próximo a la distribución de carga un vector
dado definido por la operación indicada en [1.12]. A este vector lo denominamos
campo eléctrico creado por las cargas (q1, q2, ..) en dicho punto. Este vector se define
como la fuerza por unidad de carga en dicho punto. En rigor la carga testigo utilizada en
[1.12] debe ser muy pequeña para no afectar (y por tanto cambiar de posición) a las
cargas que crean el campo, por eso se suele definir el campo eléctrico como


F
E  lim
q 0 q
[1.13]
El campo eléctrico se mide, por tanto, en el Sistema Internacional en N/C.
De forma general, diremos que existe un campo eléctrico2 en una región del
espacio cuando una carga cualquiera situada en dicha región (que denominaremos carga
2
En algunos textos se suele denominar Intensidad de Campo Eléctrico.
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
7
testigo) experimenta una fuerza. La fuerza se deberá a la presencia de otras cargas en
dicha región y estará dada por


Fq  qE
[1.14]
Dado que la fuerza de Coulomb cumple el principio de superposición la
intensidad de campo eléctrico también lo cumplirá. Es importante notar que el campo
eléctrico representa en cada punto una propiedad local asociada a dicho punto. Una vez
conocido el campo en un punto no es necesario saber quien lo origina para calcular la
fuerza sobre una carga u otra propiedad asociada al campo. De esta forma asociamos a
cada punto del espacio un valor del campo eléctrico independientemente de que en ese
punto exista una carga testigo. Según la definición anterior, el campo electrostático
creado por una carga puntual Q en un punto r está dado por:

q
E (r )  k 2 rˆ
r
[1.15]
El campo creado por un conjunto discreto de cargas será, aplicando el
principio de superposición:

q
E (r )  k  2i rˆi
i ri
[1.16]
Para calcular el campo creado por una distribución continua de carga será
necesario:
Z
 Descomponer la distribución en porciones

r
dq
elementales de carga dq.

r
 Determinar el campo creado por cada

R
porción.
 Sumar las contribuciones de cada porción
Y
X
elemental.
El elemento dq se puede expresar en función de la geometría del problema mediante
las densidades de carga adecuadas. En general:
 kdq
dE  2 rˆ
r
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[1.17]
Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
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de forma que el campo creado por todo el objeto extenso se obtendrá sumando todas las
contribuciones mediante
 
ER 

kdq
rˆ
2
r
Distribucion

[1.18]
Según la geometría del problema, será conveniente expresar el dq en función de
una distribución lineal, superficial ó volumétrica de carga y la ecuación anterior se
expresará, en estos casos, como:

 dV
E  k  2 rˆ
r
V
Distribución volumétrica de carga [1.19]

 dS
E  k  2 rˆ ;
S r
Distribución superficial de carga
[1.20]

 d
Distribución lineal de carga
[1.21]
E  k  2 rˆ
L r

En estas expresiones R es el vector de posición del punto del espacio en el que

se quiere calcular el campo. La dependencia de las densidades de carga con r ' indica
que la suma se hace barriendo toda la distribución de carga. De la figura anterior es fácil
  
deducir que r  R  r' .
Ejercicio 2: Cálculo del campo electrostático creado por un anillo uniformemente
cargado, con carga total, Q en un punto de su eje de simetría.
En la figura mostramos la geometría del problema y establecemos la
nomenclatura. Comenzaremos seleccionando una carga elemental dq y calculando el

campo dE que crea un punto en el eje de simetría que hemos hecho coincidir con el eje

X. En la figura siguiente mostramos la geometría del problema y el campo dE
descompuesto en dos componentes, una paralela al eje X y otra perpendicular al mismo.
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Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
9
De la simetría de la figura deducimos que el campo resultante debido al anillo
entero debe estar dirigido a lo largo del eje del mismo, ya las componentes
perpendiculares debidas a elementos de carga diametralmente opuestos se anulan dos a
dos. Por tanto, sólo será necesario calcular la componente x del campo creado por la
carga elemental dq, que es:
dE x 
k dq
k dq x
kxdq
cos   2

2
3/ 2
r
r r
x2  a2

[1.22]

donde x y a son constantes para cada punto P del eje. El campo total lo obtenemos
finalmente sumando (de forma continua) las contribuciones debidas a todos los dq del
anillo.
Ex 
x
kx
2
a

2 3/ 2

dq

E
( x) 

x
kxQ
2
a

2 3/ 2
iˆ
[1.23]
Ejercicio 3: Cálculo del campo electrostático creado por un disco uniformemente
cargado en un punto de su eje de simetría.
Para este calculo nos basaremos en el resultado del apartado anterior, y
descompondremos el disco en una serie de anillos cargados concéntricos de espesor
infinitesimal dr’, con carga dq.
En función de la densidad superficial de carga, la carga de cada anillo elemental
será:
dq   dS   2r ' dr '
siendo  =Q/a2 la densidad superficial de carga del disco.
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[1.24]
Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
10
El campo creado por esta carga elemental en su eje de simetría (que de nuevo
hemos hecho coincidir con el eje X) es –según el resultado del ejemplo anterior–
perpendicular al disco y vale

dE 
x
kxdq
2
 r '2

3
2
i
kx 2r ' dr ' ˆ
i
3
x 2  r '2 2

[1.25]

para calcular el campo creado por todo el disco será necesario sumar las contribuciones
de todos los círculos concéntricos, esto se consigue integrando entre r ' 0 y el radio del
disco a.
a

r ' dr '
E  2kx 
 x 2  r ' 2 3 / 2
0


iˆ  2k 1 





iˆ
2
2 
x a 
x
[1.26]
a partir de este resultado se puede calcular el campo creado por un plano infinito
uniformemente cargado. Esto se consigue haciendo tender el radio a del disco a
infinito.


E  lim 2 k 1 
a 


nˆ   2 knˆ 

x2  a2 
x
[1.27]
donde n̂ es el vector unitario perpendicular al plano. Este resultado nos indica que el
campo crea un plano infinito cargado es constante. Matemáticamente la condición de
plano infinito se puede expresar como a >> x, es decir, que el plano es grande
comparado con la distancia a la que se encuentra el punto donde calculamos el campo (y
que estamos lejos del borde). Por tanto el resultado anterior nos indica que en las
proximidades de una superficie cargada el campo puede considerarse constante.
2.2.- Líneas de campo
Al definir el campo eléctrico lo que hemos hecho es asociar a cada punto del

espacio un valor del vector E y de esta forma que hemos definido un campo vectorial.
En general será una función vectorial de las tres coordenadas del espacio y del tiempo
 
E  E( x , y , z; t )  E x ( x , y , z; t )î  E x ( x , y , z; t )ˆj  E x ( x , y , z; t )k̂
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[1.28]
Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
11
Si el campo no depende del tiempo se dice que es estacionario y si es constante en todo
punto del espacio diremos que es homogéneo. Resulta conveniente representar
gráficamente los campos vectoriales mediante las líneas de campo, que se definen
como líneas que en cada punto del espacio son tangentes al vector campo en dicho
punto. Dos líneas de campo nunca se pueden cortar, ya que en el punto de corte se
tendrían dos direcciones distintas para el campo (y a cada punto del espacio le debe
corresponder un valor único del campo). Además, las líneas de campo sirven para
representar la intensidad de campo, ya que éste será tanto más intenso cuanto más
cercanas estén dichas líneas. Se suelen utilizar las siguientes reglas para dibujar las
líneas de campo:
 Las líneas de campo nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas.
 El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una negativa es
proporcional al valor de dicha carga.
 La densidad de líneas (número de líneas por unidad de área perpendicular a las
mismas) es proporcional al valor del campo en dicho punto.
 A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas de campo están igualmente
espaciadas como si procedieran de una sola carga puntual de valor la carga neta del
sistema.
En las siguientes figuras mostramos la estructura de líneas de campo de una carga
positiva aislada, otra negativa y un sistema de dos cargas de igual valor una positiva y
otra negativa (dipolo eléctrico).
+
–
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano) – DFIS – ULPGC
Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
+
12
–
Si analizamos la estructura de líneas de campo del dipolo eléctrico vemos que
muy cerca de la carga positiva las líneas de campo son radiales y salientes de la carga,
similares a las de una carga puntual. En el caso de la carga negativa, a cortas distancias
ocurre lo mismo, con la salvedad de que en este caso las líneas son entrantes. Dado que
las cargas tienen el mismo valor el número de líneas que parten de la carga positiva es
igual que el número que terminan en la carga negativa. En este caso el campo es más
intenso en la región entre las cargas como lo indica la mayor densidad de líneas de
campo en esta región.
Uno de los resultado que hemos obtenidos en los ejemplos anteriores es que el
campo creado por un plano cargado infinito es constante, en la figura siguiente
mostramos la estructura de líneas de campo para esta distribución de carga.
Como se puede ver, el campo es discontinuo a ambos lados del plano cargado
(ya que cambia bruscamente de sentido de un lado a otro). Esta discontinuidad en el
valor del campo es característica de todas las distribuciones superficiales de carga
debido a que, en realidad, son abstracciones matemáticas.
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