Resolución del problema ANOVA

Resolución del problema ANOVA
A:D
Tipo de documento Formación
Autor Juan Carlos Medina
Fecha 17 de enero de 2005
A:D
Resolución de problema ANOVA
Indice
1.
Definición previa: Análisis de la varianza de un factor .......................................... 3
2.
Resolución del problema ................................................................................. 4
3.
Conclusión ................................................................................................... 7
4.
Resumen: puntos a seguir en la realización de ANOVA de un factor........................ 8
5.
Ejercicio planteado ........................................................................................ 8
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1. Definición previa: Análisis de la varianza de un factor
Antes de comenzar con el desarrollo del problema, recordemos lo que es un análisis de la
varianza.
El análisis de la varianza (ANOVA) es una técnica estadística que nos permite comparar las
medidas de varios grupos de población definidos a través de una variable. Pongamos un
ejemplo, estamos interesados en comparar las medidas de las puntuaciones de estadística
en función del color del pelo de los alumnos, siendo los posibles valores esta variable
“morenos, castaños y rubios”. La prueba t para muestras independientes no tiene la
capacidad de realizar este tipo de contrastes ya que, como sabemos, la variable que
diferencia a los grupos debe ser dicotómica (es decir únicamente puede tomar dos valores)
y en nuestro caso existen 3.
En el ejemplo, la hipótesis nula a plantear sería "las medidas de las puntuaciones no
depende del color del pelo del alumno". Generalizando, el análisis de la varianza siempre
establece la hipótesis nula como que todas las medidas de los posibles grupos son iguales.
H0 :
µ1 =µ2 =µ3 = ...= µn
La base matemática que subyace detrás un análisis de la varianza tiene que ver con la
comparación entre las varianzas de cada uno de los grupos y su comparación con las
varianzas dentro de cada grupo. Para realizar está comparación se utiliza la F de Fischer.
(Recordemos que la distribución F de Fisher depende de dos parámetros (n1 y n2 ) y
gráficamente es similar a la
χ2.)
En este caso hablamos de ANOVA de un factor ya que únicamente aparece una variable que
marque las posibles diferencias entre medias (en el caso del ejemplo, “color del pelo”).
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2. Resolución del problema
Estamos estudiando si existencia de ruido afecta al éxito de la realización de una tarea.
Tenemos tres grupos de sujetos: grupo uno que realiza la tarea con cierto nivel de ruido,
grupo dos que realiza la tarea con el doble de ruido que la anterior y grupo 3 que realiza la
tarea sin ruido.
La siguiente tabla nos muestra las puntuaciones obtenidas por cada individuo en función del
nivel de ruido.
Puntuaciones
Media
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
6
6
7
3
4
6
0
10
12
1
2
3
2.5
5.5
7
La media total de la población analizada es 5 (calculada como suma de valores partido entre
el nº total de casos (12).
Nota: la variabilidad no es mas que la “distancia” entre cada uno de los valores que toma la
variable y la media
Como hemos definido anteriormente, nos interesa comparar la variabilidad dentro de cada
grupo con la variabilidad entre grupos. Para ello descomponemos la variabilidad total de la
siguiente forma:
Variabilidad Total = Variabilidad Intergrupos + Variabilidad Intragrupo
Con el fin de rechazar la Hipótesis nula (H0 :
µ1 =µ2 =µ3 ) , nos interesa que la variabilidad
total pueda ser explicada en su mayoría por la variabilidad intragrupo. Es decir, nos
conviene que la variabilidad total dependa de la variabilidad que existe dentro de los grupos
y no entre las posibles diferencias entre grupos (variabilidad Intergrupos).
Detallemos el proceso de cálculo para el primero de los individuos analizados (n11 =6).
Variabilidad total = valor de la variable – valor de la media total = 6-5=1
Variabilidad intragrupo = valor de la variable – valor de la media del grupo = 6-2,5 = 3,5
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Variabilidad intergrupo = valor de la media del grupo – valor de la media total =2,5-5=-2, 5
Es decir, hemos descompuesto la variabilidad del sujeto n11 como:
1 (Variabilidad total)=3,5 (Variabilidad intragrupo) – 2,5 Variabilidad intergrupo
Con la misma metodología se realiza para cada uno de los valores que aparecen en el
enunciado del ejercicio la descomposición de la variabilidad. La tabla siguiente muestra la
descomposición de la variabilidad para cada uno de los sujetos analizados:
Puntuacion
6
3
0
1
6
4
10
2
7
6
12
3
Grupo
Media grupo
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
Variabilidad
total
2,5
2,5
2,5
2,5
5,5
5,5
5,5
5,5
7,0
7,0
7,0
7,0
Suma
Variabilidad
Variabilidad
Intergrupo (entre
intragrupo
grupos)
(dentro grupo)
1,0
-2,0
-5,0
-4,0
1,0
-1,0
5,0
-3,0
2,0
1,0
7,0
-2,0
-2,5
-2,5
-2,5
-2,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2,0
2,0
2,0
2,0
3,5
0,5
-2,5
-1,5
0,5
-1,5
4,5
-3,5
0,0
-1,0
5,0
-4,0
0,0
0,0
0,0
Como era de esperar, la suma es cero. Con el fin de evitar esto, elevamos todas ellas al
cuadrado, por lo que la tabla nos queda como:
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Puntuacion
Grupo
6
3
0
1
6
4
10
2
7
6
12
3
Media grupo
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
(Variabilidad
2,5
2,5
2,5
2,5
5,5
5,5
5,5
5,5
7,0
7,0
7,0
7,0
Suma
(Variabilidad
(Variabilidad
1,0
4,0
25,0
16,0
1,0
1,0
25,0
9,0
4,0
1,0
49,0
4,0
Intergrupo)2
6,3
6,3
6,3
6,3
0,3
0,3
0,3
0,3
4,0
4,0
4,0
4,0
intragrupo)2
12,3
0,3
6,3
2,3
0,3
2,3
20,3
12,3
0,0
1,0
25,0
16,0
140,0
42,0
98,0
total)2
Hagamos un inciso y recordemos que el cálculo de la varianza (poblacional) viene dada por
la siguiente expresión:
σ
2
∑ ( x − µ)
=
2
i
N
Mientras que la muestral, tiene la forma:
s
2
∑(x
=
i
− x )2
N −1
Como decíamos al principio, la idea es comparar las varianzas intergrupos y varianzas
intragrupos. En realidad, casi la totalidad de los cálculos los tenemos realizados ya que:
Varianza intergrupos = (Variabilidad intergrupo)2 / numero de grupos –1
De igual forma tenemos:
Varianza intragrupos = (Variabilidad intragrupo)2 / grados de libertad. En este caso, los
grados de libertad vienen definidos como la suma del número de casos por grupo –1. Nos
queda entonces:
Grados de libertad
varianza intragrupo =
(4-1)+ (4-1)+ (4-1)=3 + 3 + 3 = 9
Calculemos las varianzas:
Varianza intergrupos = 42 / 2 = 21
Varianza intragrupos = 98 / 9 = 10,89
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Para ver la relación entre ambas, utilizamos el estadístico F de Fisher:
F = Varianza intergrupos/ Varianza intragrupos = 21/10,89=1,929
El valor es mayor que uno, lo que significa que el numerador es mayor que el denominador
o, dicho de otra forma, la varianza intergrupal es mayor que la intragrupal. El valor del
estadístico de contraste es F0,05 , 2 , 9 = 4,25 (valor extraído de las tablas de la distribución F
de Ficher-Snedecor) donde los parámetros de la F son:
Nivel de significación = 0,05
n1 = grados de libertad intergrupal = nº grupos –1 (en nuestro caso 2)
n2 = grados de libertad intragrupal = 9
Veamos el aspecto gráficamente:
Región de aceptación
Región de rechazo
1,9
F0,05 , 2 , 9 = 4,25
La salida que nos proporciona SPSS es:
ANOVA
Puntuaciones
Inter-grupos
Suma de
cuadrados
42,000
Intra-grupos
Total
98,000
140,000
gl
2
9
11
Media
cuadrática
21,000
F
1,929
Sig.
,201
10,889
3. Conclusión
Como nuestro valor del estadístico cae dentro de la zona de aceptación, no podemos
rechazar la hipótesis nula y concluimos que las medias son iguales en los distintos grupos,
es decir, el ruido no influye de forma significativa a las puntuaciones obtenidas.
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4. Resumen: puntos a seguir en la realización de ANOVA de un factor
A pesar de que pueda parecer largo el desarrollo, realmente se trata de realizar cuatro o
cinco puntos. Veamos:
•
Calcular la varianza intergrupo:
i.
•
Σ (media del grupo – media total) 2 / (nº de grupos –1)
Calcular la varianza intragrupo:
i.
Σ (valor de cada observación – media del grupo)2 / Σ (nº de casos del
grupo –1)
•
Calcular F:
i.
•
Varianza intergrupo / varianza intragrupo
Definir las regiones de aceptación y rechazo mediante las tablas:
i.
F
a , n1 , n2
5. Ejercicio planteado
Siguiendo la misma metodología, realizar el siguiente ejercicio 9.1 del libro “Curso y
ejercicios de estadística” (Quesada), página 415.
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