Resolución de sistemas lineales

RESOLUCIÓ DE
SISTEMES LINEALS
Mètodes directes
Mètodes iteratius
Mètode de Cramer
Mètode de Jacobi
Mètode de Gauss
Mètode de Gauss-Seidel
Factorització L U
Mètodes de relaxació
Mètode de Txoleski
Mètode de Cramer
Sigui el sistema lineal A·x = b . Suposem que det ( A) ≠ 0 , llavors sabem
que la solució és:
b1
a12 ... a1n
a11 ... a1i-1
b2 a 22 ... a 2 n
...
x1 =
... ...
...
... ...
xi =
a12 ... a1n
... ...
...
...
... ...
...
a n1 ... a ni-1 bn a ni+1 ... a nn
a12 ... a1n
a11
a 21 a 22 ... a 2n
...
a1i+1 ... a1n
a 21 ... a 2i-1 b2 a 2i+1 ... a 2 n
bn a n 2 ... a nn
a11
b1
a 21 a 22 ... a 2n
...
...
a n1 a n 2 ... a nn
... ...
...
a n1 a n 2 ... a nn
a11
a12 ... a1n-1
b1
a 21 a 22 ... a 2n-1 b2
...
xn =
... ...
...
...
a n1 a n 2 ... a nn-1 bn
a11
a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2n
...
... ...
...
a n1 a n 2 ... a nn
Per resoldre el sistema cal calcular n + 1 determinants d’ordre n i per
calcular-ne un fan falta n! / 2 determinants d’ordre 2, la qual cosa dóna un
total de n! multiplicacions, i per tant per resoldre un sistema lineal pel
mètode de Cramer hem de fer:
(n + 1)! Multiplicacions
Mètode de Gauss
EXEMPLE:
Donat el sistema:
1
0
3 4ö
æ1
ç
÷
1 −1 1 1 ÷
ç 2
A=ç
3 − 1 − 1 2 − 3÷
çç
÷÷
−
1
2
3
−
1
4
è
ø
Restem a la 2a fila la 1a multiplicada per a21 i dividida per a11
1
0
3 4 ö
æ1
ç
÷
−
−
−
7
0
1
1
5
−
ç
÷
A=ç
3 −1 −1 2 − 3 ÷
çç
÷÷
−
1
2
3
−
1
4
è
ø
Restem a la 3a fila la 1a multiplicada per a31 i dividida per a11
1
0
3 4 ö
æ1
ç
÷
−
−
−
7
0
1
1
5
−
ç
÷
A=ç
0 − 4 − 1 − 7 − 15 ÷
çç
÷
3 − 1 4 ÷ø
è−1 2
Restem a la 4a fila la 1a multiplicada per a41 i dividida per a11
0
3 4 ö
æ1 1
ç
÷
ç0 −1 −1 − 5 − 7 ÷
A=ç
0 − 4 − 1 − 7 − 15 ÷
çç
÷÷
8
0
3
3
2
è
ø
Restem a la 3a fila la 2a multiplicada per a32 i dividida per a22
0
3
æ1 1
ç
ç0 −1 −1 − 5
A=ç
0 0
3 13
çç
3
2
è0 3
4 ö
÷
− 7÷
13 ÷
÷
8 ÷ø
Restem a la 4a fila la 2a multiplicada per a42 i dividida per a22
0
3
æ1 1
ç
ç0 −1 −1 − 5
A=ç
0 0
3
13
çç
0 − 13
è0 0
4 ö
÷
−7 ÷
13 ÷
÷
− 13 ÷ø
Restem a la 4a fila la 3a multiplicada per a43 i dividida per a33
0
3
æ1 1
ç
ç0 −1 −1 − 5
A=ç
0 0
3
13
çç
0 − 13
è0 0
4 ö
÷
−7 ÷
13 ÷
÷
− 13 ÷ø
La solució del sistema triangularitzat ve donada per
x4 = a45/a44
x4 = 1
x3 = (a35 - a34 x4)/a33
x3 = 0
x2 = (a25 - a23 x3 - a24 x4) /a22
x2 = 2
x1 = (a15 - a12 x2 - a13 x3 - a14 x4) /a11
x1 = -1
En aquest exemple podem distingir dues parts:
- Triangularització del sistema
- Resolució del sistema triangularitzat.
Mètode de Gauss
Considerem el sistema:
ìa11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
ï
ïa 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2
í
ï...
ïa x + a x + ... + a x = b
n2 2
nn n
n
î n1 1
Suposem que el a11 ≠ 0, eliminem la variable x1 de les equacions 2 fins a la n.
(0 ) x + a (0 ) x + L + a (0 ) x = b (0 )
ìa11
1
12 2
1n n
1
ï
(1) x + L + a (1) x = b (1)
ï
a 22
2
2n n
2
í
L
L
L
L
ï
ï
(1) x = b (1)
a n(12) x 2 + L + a nn
n
n
î
on
(1)
(0 )
aij = aij
−
ai(10 ) a1(0j )
(0 )
a11
ai(10 )b1(0 )
(
(
1)
0)
bi = bi −
a (0 )
11
per a i, j : 2, ..., n
(0 ) x + a (0 ) x + ... + a (0 ) x + a (0 ) x
(0 )
(0 )
ìa11
1
12 2
1k k
1k +1 k +1 + ... + a1n x n = b1
ï
(1) x + ... + a (1) x + a (1) x
(1)
(1)
ï
a 22
2
2k k
2 k +1 k +1 + ... + a 2 n x n = b2
ï
.....
ï
ï
(k −1) x + a (k −1) x
(k −1)
(k −1)
a kk
í
k
kk +1 k +1 + ... + a kn x n = bk
ï
a k(k+)1k +1 xk +1 + ... + a k(k+)1n x n = bk(k+1)
ï
ï
.....
ï
(k ) x
(k ) x = b (k )
ï
+
+
a
a
...
+
1
+
1
nk
k
nn
n
n
î
aik(k −1)akj(k −1)
(
(
k)
k −1)
aij = aij −
a (k −1)
kk
a (k −1)b(k −1)
bi(k ) =bi(k −1) −
ik
k
a (k −1)
kk
per a
i = k + 1,...,n , j = k + 1,...,n fins a obtenir un sistema triangular
(0 ) x + a (0 ) x + ... + a (0 ) x = b (0 )
ìa11
1
12 2
1n n
1
ï
(1) x + ... + a (1) x = b (1)
ï
a 22
2
2n n
2
í
.....
ï
ï
(n−1) x = b (n −1)
a nn
n
n
î
I a partir d'aquest sistema calculem les solucions:
bn(n −1)
xn =
(n −1)
ann
...
n
b(i −1) i
å
aij(i −1) x j
j=i+1
aii(i −1)
xi =
...
b (0 ) 1
x1 =
n
å a1(0j )x j
i= 2
(0 )
a11
EXEMPLE 2:
Suposem que fem servir aritmètica de 8 dígits per resoldre el sistema següent:
ì10 −8 x + y = 0.1234
í
î − x + 4y = 0
pel mètode de Gauss.
ìï10 −8 x + y = 0.1234
í
ïî 108 y = 1234 ⋅ 10 4
y=
( 108 + 4 = 100000004 ≈ 108 )
1234 104
108
= 0.1234
10-8 x + 0.1234 = 0.1234 Þ x = 0 !! ( - 0 + 4 ⋅ 0.1234 ≠ 0 )
Evidentment la solució obtinguda no és correcte.
Canviem l'ordre de les equacions
ì − x + 4y = 0
í −8
î10 x + y = 0.1234
i tornem a aplicar el mètode de Gauss
ì − x + 4y = 0
í
î y = 0.1234
y = 0.1234
( 4 ⋅ 10-8 + 1 = 1.00000004 ≈ 1 )
- x + 4 0.1234 = 0 Þ x = 0.4936
Substituïm per fer la prova i
( 10 -8 ⋅ 0.4936 + 0.1234 = 0.12340000 4936 ≈ 0.1234 )
Solució exacta del sistema:
x = 0.49359998 0.. . y = 0.1234
EXEMPLE 5
Suposem que fem servir aritmètica de 3 dígits per resoldre el sistema següent
ì0.196 x + 3.14 y = 4.14
í
î0.344 x + 5.51 y = 7.27
pel mètode de Gauss.
Per eliminar x multipliquem la primera equació per
-
0.344
= - 1.755102... ≈ - 1.76
0.196
i sumant el resultat a la segona ens surt
ì0.196 x + 3.14 y = 4.14
í
î− 0.001x − 0.002 y = −0.002
¡¡ El coeficient de x en la segona equació no ha sortit 0 !!
Si el considerem 0 de totes maneres obtenim la solució següent:
x=
4.14 - 3.14
≈ 5.10
0.196
y =1
Canviem l'ordre de les equacions
ì0.344 x + 5.51 y = 7.27
í
î0.196 x + 3.14 y = 4.14
Per eliminar x multipliquem la primera equació per
-
0.196
≈ - 0.570
0.344
I si sumem el resultat a la segona ens surt
ì0.344 x + 5.51y = 7.27
í
î0 x + 0 y = 0
¡¡ Infinites solucions !!
La solució exacta del sistema és
x = 82
y = -3.8
Al fer servir aritmètica finita per resoldre un sistema lineal es pot perdre la
unicitat de la solució vectorial.
Pivotatge parcial
(k −1) sigui el màxim
A cada pas bescanviem les files de forma que l'element akk
dels elements aik(k −1) en valor absolut de la columna ( i = k,...,n ).
(k −1) = max a (k −1)
a kk
ik
i =k ,K,n
Pivotatge complet
A cada pas bescanviem files i columnes de forma que l'element a(kkk-1) sigui el
màxim dels elements aik(k −1) en valor absolut per i = k,...,n i j = k,...,n
(k −1) = max a (k −1)
a kk
ik
i =k ,K,n
j =k ,K,n
EXEMPLE 3:
Els següents sistemes són equivalents:
ì 10 x + 5 y = 8
í
î0.03x +0.06 y = 0.03
ì 10 x + 5 y = 8
í
î30 x +60 y = 30
ì x + 0.5 y = 0.8
í
î0.5 x + y = 0.5
Observem que segons el cas prendrem com a pivot a11=10 en el primer
sistema, a12=30 en el segon o bé a11=1 en el tercer.
És recomanable el tercer cas, doncs els coeficients de les dues equacions són
comparables. Tot i que la divisió no la farem mai efectiva sinó que només la
calcularem per determinar quin és el pivot adequat (doncs si la féssim
introduiríem errors d’arrodoniment innecessaris)
Escalat
Per tal de fer que els coeficients d'un sistema d'equacions siguin
comparables entre ells i poder aplicar correctament el mètode de Gauss
amb pivotatge previ, farem un escalat del sistema, dividint cada equació per
un número adequat. Els més usuals son:
•
El màxim dels coeficients en valor absolut de cada equació.
max aij(k −1)
j =k ,K,n
•
La suma dels valors absoluts dels coeficients de cada equació.
n
å | aij |
j=1
EXEMPLE d’aplicació del Mètode de Gauss amb pivotatge i escalat:
Suposem el sistema amb matriu ampliada
æ 0.1000
ç
ç 5.0000
A=ç
0.0100
çç
è 8.0000
0.1000 0.1000 0.1000 0.2000 ö
÷
5.0100 10.000 10.000 0.2000 ÷
0.0200 0.0200 0.0100 0.3000 ÷
÷
9.0000 8.0000 8.0000 2.0000 ÷ø
Prenem com a pivot de la 1a columna 0.1000
æ 0.1000
ç
ç 0
A=ç
0
çç
è 0
0.1000 0.1000 0.1000 0.2000 ö
÷
0.0100 5.0000 5.0000 − 9.8000 ÷
0.0100 0.0100
0
0.2800 ÷
÷
1.0000
0
0
− 14.000 ÷ø
Prenem com a pivot de la 2a columna 0.0100, (també es pot prendre el 1.000)
æ 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 |
ç
ç
0 0.0100 0.0100
0 |
A=ç
ç
0
0 4.9900 5.0000 |
ç
ç
0
0 1.0000
0 |
è
0.2000 ö
÷
0.2800 ÷
÷
10.080 ÷
÷
42.000 ÷ø
Prenem com a pivot de la 3a columna -1.0000
æ 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000
ç
0.0100 0.0100
0
ç 0
A=ç
0
0
0
− 1.0000
çç
0
0
5.0000
è 0
0.2000 ö
÷
0.2800 ÷
− 42.000 ÷
÷
− 219.66 ÷ø
Factorització L.U.
Considerem el sistema lineal A x = b. Suposem que la matriu A és tal que el
sistema pot resoldre’s pel mètode de Gauss sense necessitat de fer canvis de
files o columnes. Anomenem:
aik(k −1)
mik = (k −1)
a kk
per i = k + 1,..., n i llavors un pas del mètode de eliminació de Gauss el
podem expressar en forma matricial com segueix
A(k ) = M (k-1) A(k-1)
on
A(k) = æ ( 0 ) ( 0 )
0)
0)
ç a11 a12 ... a1( k0 )
a1( k+
a1( k+
1
2
ç
ç 0
a(221 ) ... a(21k)
a(21k+) 1
a(21k+) 2
ç
ç
... ...
...
...
...
ç ...
ç
1)
1)
1)
0 ... a(ka(ka(kç 0
kk
kk+1
kk+2
ç
(k)
0 ...
0 a(k)
ç 0
k+1k+1 a k+1k+2
ç
ç 0
(k)
0 ...
0 a(k)
k+2 k+1 a k+2 k+2
ç
ç
... ...
...
...
...
ç ...
ç 0
0 ...
0
a(k)
a(k)
è
nk+1
nk+2
...
...
...
...
...
...
...
...
ö
a1( n0 ) ÷
÷
÷
a(21n) ÷
÷
...÷
1)÷
a(kkn ÷
÷
(k) ÷
a k+1n
÷
÷
a(k)
k+2 n ÷
÷
....÷
÷
a(k)
nn ø
M (k −1) = æ
ç1
ç
ç0
ç ...
ç
ç0
ç0
ç
ç0
ç ...
ç
ç0
è
i per tant
0
...
0
0
0
...
1
...
0
0
0
...
... ...
...
... ... ...
0
...
1
0
0
...
0
... − mk −1k
1
0
...
0
1
...
0
... − mk −2 k
... ...
0
...
− mnk
...
... ... ...
0
0
...
ö
0÷
÷
0÷
... ÷
÷
0÷
0÷
÷
0÷
....÷
÷
1 ÷ø
A(n-1) = M (n- 2 ) ... M (0 ) A = M A
La matriu M és una matriu triangular inferior, invertible i tal que els
elements de la diagonal son 1. Si anomenem U a la matriu A(n-1) i L a la
matriu M -1 , podem escriure
A= L U
TEOREMA
Sigui A un matriu n × n i denotem per Ak la matriu k × k formada per les k
primeres files i columnes de A. Si det Ak ≠ 0 per k = 1,...,n llavors existeix
( )
una única matriu triangular inferior L = lij amb lii = 1 i = 1,...,n i una única
( )
matriu triangular superior U = u ij tal que A = L U .
PROPOSICIÓ
En l'eliminació Gaussiana podem factoritzar A = L U amb
ì
a ik(k −1)
i≥k
ïm =
l ik = í ik a (k −1)
kk
ï
î0 i < k
ìï0 k > j
u kj = í (k )
ïîa kj k ≤ j
TEOREMA
Si A és un a matriu invertible, sempre és possible trobar una matriu P de
permutacions tal que P A = L U .
Una vegada factoritzada la matriu en forma LU per resoldre un sistema, ens
cal fer el següent:
El sistema
Ax=b
és equivalent al sistema
LUx=b
i si anomenem
y =U x
podem resoldre el sistema triangular inferior
L y=b
i una vegada tenim y , podem resoldre el sistema triangular superior
U x= y
amb la qual cosa haurem obtingut la solució del sistema.
El mètode és especialment interessant si hem de resoldre diferents sistemes
d'equacions amb la mateixa matriu i diferents termes independents.
EXEMPLE 7
Anem a resoldre el sistema lineal
ì4 x1 − 9 x 2 + 2 x3 = 2
ï
í2 x1 − 4 x 2 + 4 x3 = 3
ï− x + 2 x + 2 x = 1
î 1
2
3
Triangularitzant la matriu associada A per Gauss obtenim:
9
2ö
9 2ö
æ 4 9 2ö
æ4
æ4
÷
÷
÷
ç
ç
ç
A = ç 2 4 4 ÷ → ç 0 0.5
3 ÷ → ç 0 0.5 3 ÷
÷÷
÷÷
÷÷
çç
çç
çç
1
2
2
.
.
0
0
25
2
5
0
0
4
ø
ø
ø
è
è
è
i aplicant al mètode L U tenim:
æ
ç1
ç
L = ç2
4
ç1
ç
è4
ö
æ 1 0 0ö
0÷
ç
÷
÷
0 ÷ = ç 0.5
1 0÷
ç
ç 0.25 0.5 1÷÷
0.25 1 ÷÷
è
ø
0.5
ø
0
1
9 2ö
æ4
÷
ç
U = ç 0 0.5 3 ÷
÷÷
çç
0
0
4
ø
è
Are resolem L y = b
æ 1 0 0 ö æç y1 ö÷ æ 2 ö
÷
ç
ç ÷
ç 0.5
1 0 ÷ ç y2 ÷ = ç 3÷
÷÷ ç ÷ çç ÷÷
çç
è 0.25 0.5 1ø çè y3 ÷ø è 1ø
ì
ï
1 + y2 = 3
í
ï 0.5 1 + y = 1
3
î
y1 = 2
y2 = 2
y3 = 2.5
i a continuació resolem U x = y
9 2 ö æ x1ö æ 2 ö
æ4
÷ç ÷ ç ÷
ç
ç 0 0.5 3 ÷ ç x2 ÷ = ç 2 ÷
÷÷ ç ÷ çç ÷÷
çç
0
0
4
ø çè x3 ÷ø è 2.5 ø
è
2.5
ì
x3=
= 0.625
ï
4
ï
í 0.5 x2+ 3 x3 = 2 x 2= 2(2 − 1.875) = 0.25
ï
4 x1 − 9 0.25 + 2 0.625 = 2 x1= 0.75
ï
î
Mètode de Txoleski
Sigui A una matriu simètrica i definida positiva, es a dir tal que:
aij = a ji i = 1,...n j = 1,...n
n
v Av =å
t
n
å vi aij v j > 0
si v ≠ 0
i=1 j=1
TEOREMA
Si A és una matriu simètrica definida positiva aleshores existeix una matriu
triangular inferior L, invertible tal que
L Lt = A
Igualem element a element les matrius A i LLt, així tenim
i
aij = å lik l jk
j ≥i
k=1
i per tant
l11 = a11
li1 =
a1i
l11
per
i = 2 ,...,n
i-1
lii = aii -
i-1
å lik2
k=1
aij -
, l ji =
å lil l jk
k=1
lii
per a
j = i +1,..., n i = 2,..., n
Un cop tenim la matriu L, només caldrà resoldre els dos sistemes
triangulars
Ly = b i Lt x = y
EXEMPLE Si resolem el sistema lineal
æ13 11 11öæ x1 ö æ13 ö
ç
÷ç ÷ ç ÷
11
13
11
ç
÷ç x 2 ÷ = ç 9 ÷
ç 11 11 13 ÷ç x ÷ ç13 ÷
è
øè 3 ø è ø
pel mètode de Txoleski, tenim A = L·Lt
0
0 ö
æ 3.6055
ç
÷
L = ç 3.0508 1.9216
0 ÷;
ç 3.0508 0.8808 1.7078 ÷
è
ø
llavors,
y1 = 3.6056,
x1 = 0.9999,
y2 = -1.0408,
x2 = -1.0000,
i la solució exacta és (1, -1, 1).
y3 = 1.7079,
x3 = 1.0000,
MÈTODES ITERATIUS
Donat el sistema A x = b l'expressem de forma equivalent com x = T x + c i
a partir d'una aproximació de la solució x(0 ) construïm la successió x(n ) de la
forma següent:
x(k ) = T x(k-1) + c
i si convergeix convergirà vers la solució del sistema.
Mètode de Jacobi
EXEMPLE
Sigui el sistema d' equacions:
ì7 x1 − 2 x 2 + 3 x3 = 0
ï
í− x1 + 5 x 2 − 2 x3 = 11
ï x + x − 3x = 6
î 1
2
3
Aïllem de cada equació una incògnita diferent
2 x 2 − 3x3
ì
=
x
ï 1
7
ï
11 + x1 + 2 x3
ï
x
=
í 2
5
ï
6 − x1 − x 2
ï
=
x
ï 3
−3
î
i el mètode iteratiu queda de la forma següent:
ì (i ) 2 x 2(i −1) − 3x 3(i −1)
ï x1 =
7
ï
(i −1)
(i −1)
ï
ï (i ) 11 + x1 + 2 x3
íx2 =
5
ï
ï
6 − x1(i −1) − x 2(i −1)
(
i)
ï x3 =
−3
ïî
I iniciant el procediment en el punt (0,0,0) tenim:
i
x1
x2
0
0.0000
0.0000
1
0.0000
2.2000
2
1.4857
1.4000
3
0.9429
1.9905
4
1.0136
1.9733
5
1.0019
1.9938
6
1.0001
1.9986
7
1.0002
1.9995
8
1.0000
1.9999
9
1.0000
2.0000
x3
0.0000
-2.0000
-1.2667
-1.0381
-1.0222
-1.0044
-1.0014
-1.0004
-1.0001
-1.0000
MÈTODE DE JACOBI
Sigui el sistema lineal A x = b suposem que aii ≠ 0 per a i = 1,2 ,...,n .
Aïllem de l'equació i-èssima, la variable xi i obtenim:
n
bi − å a ij x j
j =1
j ≠i
xi =
per a
a ii
i = 1,2 ,...,n
i així el mètode es pot escriure:
n
bi − å a ij x (jk −1)
x i(k ) =
on s'acostuma a prendre
j =1
j ≠i
per a
a ii
i = 1,2 ,...,n
x (0 ) = 0 .
Observem que A es pot expressar de la forma següent:
æ a11 0
ç 0 a
22
A=ç
ç ... ...
ç
0
è 0
...
...
...
...
0 0 ö æ 0
0 0 ÷ ç −a 21
÷−ç
... ... ÷ ç ...
÷ ç
0 a nn ø è −a n1
que en forma reduïda s’escriu
0
0
...
−a n 2
...
0
0 ö æ 0 −a12
...
0
0 ÷ ç ... ...
÷−ç
...
...
... ÷ ç 0
0
÷ ç
... −a nn−1 0 ø è 0
0
A=D-L-U
Així el sistema es transforma en:
(D - L - U ) x = b
D x = (L + U ) x + b
x = D-1 (L + U )x + D-1 b
i el mètode en forma matricial ens queda
x(k ) = D-1 (L + U ) x(k-1) + D-1 b
I el criteri que aplicarem per deturar el procés és l’usual
x (k ) − x (k- 1 )
x
(k )
< ε
... −a1n−1 −a1n ö
...
...
... ÷
÷
...
0
−a n−1n ÷
÷
...
0
0 ø
Mètode de Gauss-Seidel
Una manera natural d'intentar millorar el mètode de Jacobi és utilitzar a cada
iteració els valors ja calculats, doncs, si el mètode convergeix, són una millor
aproximació de la solució.
i-1
xi(k+1) =
bi − å aij x(jk+1)
j=1
n
− å
j=i+1
aij x(jk )
per
i = 1,2,..., n
aii
Per escriure el mètode en forma matricial multipliquem les equacions
anteriors per aii i col·loquem el iterats k-èssims al mateix costat de la igualtat
i s’obnté:
ìa11 x1(k )
= − a12 x2(k −1) − a13 x3(k −1) − ... − a1n xn(k −1) + b1
ï
ïa21 x1(k ) + a22 x2(k ) = − a23 x3(k −1) − ... − a2 n xn(k −1) + b2
í
...
ï
ï
(k )
(k )
(k )
bn
îan1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn =
I en forma matricial ens queda:
(D -L ) x(k ) = U x(k-1) + b
−1
−1
x(k ) = (D - L ) U x(k-1) + (D -L ) b
EXEMPLE 10
Volem resoldre el sistema d' equacions:
ì7 x1 − 2 x 2 + 3 x3 = 0
ï
í− x1 + 5 x 2 − 2 x3 = 11
ï x + x − 3x = 6
î 1
2
3
Aïllem de cada equació una incògnita diferent
2 x 2 − 3x3
ì
=
x
ï 1
7
ï
11 + x1 + 2 x3
ï
íx2 =
5
ï
6 − x1 − x 2
ï
x
=
ï 3
−3
î
El mètode iteratiu queda de la forma següent:
ì (i ) 2 x 2(i −1) − 3x 3(i −1)
ï x1 =
7
ï
(i )
(i −1)
ï
ï (i ) 11 + x1 + 2 x3
íx2 =
5
ï
ï
6 − x1(i ) − x 2(i )
(
i)
ï x3 =
−3
ïî
I iniciant en el punt (0,0,0) tenim:
i
x1
x2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.0000
0.0000
1.1714
0.9652
1.0059
0.9988
1.0002
1.0000
1.0000
0.0000
2.2000
1.9276
2.0062
1.9974
2.0002
1.9999
2.0000
2.0000
x3
0.0000
-1.2667
-0.9670
-1.0095
-0.9989
-1.0003
-1.0000
-1.0000
-1.0000
EXEMPLE 11
Sigui el sistema
ì3 x1 + x 2 = 17
í
î− x1 + x 2 = 1
æ x1(0 ) ö æ 0 ö
Partint de ç (0 ) ÷ = çç ÷÷
ç x ÷ è0ø
è 2 ø
el mètode de Gauss-Seidel ens va determinant els següents valors:
17 − x 2(i )
(
i +1)
x1
=
3
(
)
x 2(i +1) = 1 + x1(i +1)
és a dir
æ 0ö
x (0 ) = çç ÷÷
,
è 0ø
æ 3.44.. ö
÷÷ ,
x (2 ) = çç
è 4.44..ø
æ 3.938.. ö
÷÷ ,
x (4 ) = çç
4
.
938
..
è
ø
æ 5.66.. ö
÷÷
x (1) = çç
è 6.66.. ø
æ 4.185..ö
÷÷
x (3) = çç
è 5.185.. ø
æ 4.02.. ö
÷÷
x (5 ) = çç
5
.
02
..
è
ø
,
,
, ...
que convergeixen cap a la solució del sistema (4, 5).
En la figura adjunta es pot interpretar el procés seguit:
20
15
10
5
-x1+x2=1
3x1+x2=17
0
-5
0
2
4
6
8
Mètodes de relaxació(SOR)
Una altra família de mètodes, són els de relaxació, consistents en fer una
ponderació entre l’aproximació que ja tenim i la que obtindríem aplicant el
mètode de Gauss-Seidel.
Considerem les equivalències següents
A x=b
Dx = Dx − ω [(− L + D − U )x − b]
(D − ωL )x = [(1 − ω )D + ωU ]x + ωb
x = (D − ωL )−1[(1 − ω )D + ωU ]x + ω (D − ωL )−1 b
de manera que el sistema és equivalent a x = Tω x + cω amb
Tω = (D − ω L )−1 [(1 − ω )D + ωU ]
cω = ω (D − ω L )−1 b
Així el mètode iteratiu es pot escriure en forma matricial com
x (k +1) = Tω x (k ) + cω
o bé
(I − ωD L )x = [I − ω (I − D U )]x + ωD b
(I − ωD L)x( ) = [I − ω (I − D U )]x( ) + ωD b
x ( ) = x − ωD [− Lx ( ) + (D − U )x ( ) − b ]
−1
−1
k +1
−1
k +1
k
−1
−1
−1
−1
k
k +1
k
i en forma d'equacions
xi(k+1) = xi(k ) − ω
i-1
n
j=1
j=i
(k+1)
(k )
å aij x j + å aij x j − bi
a ii
per a i = 1,2,.., n
que si el comparem amb el mètode de Gauss-Seidel, observem que
+1)
xi(k +1) = (1 − ω )xi(k ) + ω xi((kGS
)
on ω fa un paper de pes entre els valors nous i antics dels resultats.
Convergència dels mètodes iteratius
Definició: Si • és una norma vectorial a ℜn i A és una matriu real n x n
anomenem norma matricial natural de A a:
A = max Ax .
x =1
Definició: Anomenem radi espectral ρ( A) de la matriu A al màxim dels
valors propis en valor absolut:
ρ( A) = max | λ |
on λ és un valor propi de A.
Teorema: Per a qualsevol x (0 ) ∈ ℜ n la successió definida per
x (k ) = T x (k −1) + c
per a k ≥ 1 i c ≠ 0 convergeix a la solució única de x = T x + c si i només si
ρ(T ) < 1 és a dir quan tots els valors propis de la matriu T són menors que 1.
Corol·lari: Si T < 1 per a qualsevol norma matricial natural, llavors la
successió definida per x (k ) = T x (k −1) + c convergeix, per a qualsevol
n
x (0 ) ∈ ℜ , a un vector x ∈ ℜ n i satisfà les fites d'error següents:
k
x - x ( k ) ≤ T x − x (0 )
k
T
x-x ≤
x (1) − x(0 )
1− T
Teorema: Si A és un matriu real n x n llavors ρ( A) ≤ A per a tota norma
matricial natural.
(k )
Dels resultats anteriors es dedueix que:
x − x (k ) ≈ ρ(T )k x − x (0 )
i per tant ρ(T) és una mesura de la velocitat de convergència del mètode
iteratiu.
Definició: Direm que una matriu A té diagonal estrictament dominant si:
n
aii > å aij
j =1
j ≠i
Teorema: Donat un sistema lineal A x = b . Si la matriu A té diagonal
estrictament dominant llavors els mètodes de Jacobi i Gauss-Seidel són
convergents.
Teorema: Si a ii ≠ 0 per a cada i = 1,2,..., n llavors ρ(T ω) ≥ ω − 1 | i per tant
ρ(Tω ) < 1 si i només si 0 < ω< ω2 .
Teorema: Si A és definida positiva i tridiagonal llavors ρ(T G ) = [ρ(T J )]2 < 1
i el ω òptim per al mètode de SOR es:
ω=
2
1 + 1 − [ρ(T J )]2
Nombre de Condició:
Considerem el sistema lineal Ax = b .
Fent una pertorbació del terme independent tenim:
A( x + ∆x ) = b + ∆b
d’aquí tenim :
∆x = A −1∆b
Prenent normes tenim:
b ≤ A ∆b
(1)
∆x ≤ A−1 ∆b
(2)
Dividint l’equació (2) per x tenim:
∆x
∆b
≤ A −1
x
x
per altre part (1) es pot escriure:
1
1
≤ A
x
b
i substituint a (3) s’obté:
∆x
∆b
≤ A −1 A
x
b
(3)
(4)
Fent una pertorbació de la matriu tenim:
( A + ∆A)( x + ∆x ) = b
Ax + A∆x + ∆A( x + ∆x ) = b
∆x = A −1∆A( x + ∆x )
prenent normes tenim:
∆x ≤ A −1 ∆A x + ∆x
i per tant
∆x
x + ∆x
≤ A −1 ∆A = A −1 A
∆A
A
Definició: Anomenem nombre de condició de A a:
ìï A −1 A si A no singular
k ( A) = í
ïî ∞
si A singular
(5)
Obtenció del nombre de condició de forma aproximada:
Sigui x0 una solució aproximada del sistema Ax=b. Sigui r0=b-Ax0 el
corresponent residu i d0 la solució aproximada del sistema Ad=r0. Llavors
d 0 ≈ A −1r0 = A −1 (b − Ax 0 ) = A −1b − A −1 Ax 0 = x − x 0
prenent normes tenim
∆A
x
d 0 ≈ x − x 0 = ∆x ≤ k ( A)
A 0
suposant que realitzem els càlculs amb t xifres significatives tenim:
∆A
≈ 10 − t
A
i per tant
d 0 ≈ x − x 0 ≈ k ( A) x 0 10 −t
i així podem obtenir una aproximació del nombre de condició de la següent
manera
d
k ( A) ≈ 0 10t
x0